Pozitivno određeni kvadratni oblici

Definicija. Kvadratni oblik iz n nepoznate se nazivaju pozitivno definitivno, ako je njegov rang jednak pozitivnom indeksu inercije i jednak broju nepoznatih.

Teorema. Kvadratični oblik je pozitivno određen ako i samo ako uzima pozitivne vrijednosti na bilo kojem nenultom skupu vrijednosti varijabli.

Dokaz. Neka je kvadratni oblik nedegenerirana linearna transformacija nepoznatih

vratio u normalu

.

Za bilo koji skup varijabilnih vrijednosti koji nije nula, barem jedan od brojeva različito od nule, tj. . Neophodnost teoreme je dokazana.

Pretpostavimo da kvadratni oblik ima pozitivne vrijednosti na bilo kojem skupu varijabli koji nije nula, ali njegov pozitivni indeks inercije je nedegenerirana linearna transformacija nepoznatih

Hajde da to dovedemo u normalnu formu. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da je u ovom normalnom obliku kvadrat posljednje varijable ili odsutan ili uključen sa predznakom minus, tj. , gdje ili . Pretpostavimo da je to nenulti skup vrijednosti varijabli dobijenih kao rezultat rješavanja sistema linearnih jednadžbi

U ovom sistemu, broj jednačina je jednak broju varijabli, a determinanta sistema je različita od nule. Prema Cramerovoj teoremi, sistem ima jedinstveno rješenje i ono je različito od nule. Za ovaj set. Kontradikcija sa uslovom. Dolazimo do kontradikcije sa pretpostavkom, što dokazuje dovoljnost teoreme.

Koristeći ovaj kriterij, nemoguće je iz koeficijenata utvrditi da li je kvadratni oblik pozitivno određen. Odgovor na ovo pitanje daje druga teorema, za čiju formulaciju uvodimo još jedan koncept. Glavni dijagonalni minori matrice– ovo su maloljetnici koji se nalaze u njegovom gornjem lijevom uglu:

, , , … , .

Teorema.Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi njegovi glavni dijagonalni minori pozitivni.

Dokaz izvršićemo metodu potpune matematičke indukcije na broj n kvadratne varijable f.

Hipoteza indukcije. Pretpostavimo da je to za kvadratne forme sa manje varijabli n izjava je tačna.

Razmotrimo kvadratni oblik n varijable. Stavimo sve pojmove koji sadrže . Preostali članovi formiraju kvadratni oblik varijabli. Prema hipotezi indukcije, izjava je tačna za nju.

Pretpostavimo da je kvadratni oblik pozitivno određen. Tada je kvadratni oblik pozitivno određen. Ako pretpostavimo da to nije slučaj, onda postoji skup vrijednosti varijabli koji nije nula , za koji i shodno tome, , a to je u suprotnosti s činjenicom da je kvadratni oblik pozitivno određen. Po hipotezi indukcije, svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika su pozitivni, tj. svi prvi glavni minori kvadratnog oblika f su pozitivni. Zadnji glavni mol kvadratnog oblika – ovo je determinanta njegove matrice. Ova determinanta je pozitivna, jer se njen predznak poklapa sa predznakom matrice njenog normalnog oblika, tj. sa predznakom determinante matrice identiteta.

Neka su svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika pozitivni. Tada su svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika pozitivni iz jednakosti . Po indukcijskoj hipotezi, kvadratni oblik je pozitivno određen, tako da postoji nedegenerirana linearna transformacija varijabli koja formu svodi na oblik zbira kvadrata novih varijabli. Ova linearna transformacija se može proširiti na nedegenerisanu linearnu transformaciju svih varijabli postavljanjem . Ova transformacija svodi kvadratni oblik na oblik

Kvadratnih oblika.
Znak određenosti oblika. Silvesterov kriterijum

Pridjev “kvadratičan” odmah sugerira da je ovdje nešto povezano s kvadratom (drugi stepen), a vrlo brzo ćemo saznati to “nešto” i kakav je oblik. Ispostavilo se da je to bila zverkalica :)

Dobrodošli u moju novu lekciju, a kao trenutno zagrijavanje pogledat ćemo prugasti oblik linearno. Linearni oblik varijable pozvao homogena polinom 1. stepena:

- neke specifične brojke * (pretpostavljamo da je barem jedan od njih različit od nule), a su varijable koje mogu uzeti proizvoljne vrijednosti.

* U okviru ove teme samo ćemo razmotriti realni brojevi .

Već smo se susreli sa terminom „homogeno“ u lekciji o homogeni sistemi linearnih jednačina, a u ovom slučaju to implicira da polinom nema plus konstantu.

Na primjer: – linearni oblik dvije varijable

Sada je oblik kvadratan. Kvadratni oblik varijable pozvao homogena polinom 2. stepena, čiji svaki termin sadrži ili kvadrat varijable ili dubl proizvod varijabli. Tako, na primjer, kvadratni oblik dvije varijable ima sljedeći oblik:

Pažnja! Ovo je standardni unos i nema potrebe ništa mijenjati u vezi s tim! Unatoč „zastrašujućem“ izgledu, ovdje je sve jednostavno - dvostruki indeksi konstanti signaliziraju koje su varijable uključene u koji termin:
– ovaj izraz sadrži proizvod i (kvadrat);
- evo posla;
- i evo posla.

– Odmah predvidim grubu grešku kada izgube „minus“ koeficijenta, ne shvatajući da se to odnosi na pojam:

Ponekad postoji „školska“ opcija dizajna u duhu, ali samo ponekad. Usput, imajte na umu da nam konstante ovdje uopće ništa ne govore, pa je stoga teže zapamtiti "laku notaciju". Pogotovo kada ima više varijabli.

A kvadratni oblik tri varijable već sadrži šest članova:

...zašto su “dva” faktora stavljena u “mješovite” pojmove? Ovo je zgodno i uskoro će biti jasno zašto.

Međutim, hajde da zapišemo opštu formulu; zgodno je napisati je u "listu":

– pažljivo proučavamo svaki red – u tome nema ništa loše!

Kvadratni oblik sadrži članove sa kvadratima varijabli i članove sa njihovim uparenim produktima (cm. kombinatorna kombinacija formule) . Ništa više - nema „usamljenog X“ i dodane konstante (onda ćete dobiti ne kvadratni oblik, već heterogena polinom 2. stepena).

Matrična notacija kvadratnog oblika

Ovisno o vrijednostima, dotični oblik može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti, a isto vrijedi i za bilo koji linearni oblik - ako je barem jedan njegov koeficijent različit od nule, tada može biti pozitivan ili negativan (u zavisnosti od vrijednosti).

Ovaj oblik se zove naizmjenični znak. A ako je sve transparentno s linearnim oblikom, onda su s kvadratnim oblikom stvari mnogo zanimljivije:

Apsolutno je jasno da ovaj oblik može poprimiti značenje bilo kojeg znaka, dakle kvadratni oblik također može biti naizmjeničan.

Možda nije:

– uvijek, osim ako je istovremeno jednako nuli.

- za bilo koga vektor osim nule.

I generalno govoreći, ako za bilo koga ne-nula vektor , , tada se kvadratni oblik naziva pozitivno definitivno; ako je tako onda negativno određeno.

I sve bi bilo u redu, ali određenost kvadratnog oblika vidljiva je samo u jednostavnim primjerima, a ta vidljivost se gubi čak i uz malu komplikaciju:
– ?

Moglo bi se pretpostaviti da je forma pozitivno definisana, ali da li je to zaista tako? Šta ako postoje vrijednosti na kojima je on manji od nule?

Postoji a teorema: Ako svi svojstvene vrijednosti matrice kvadratnog oblika su pozitivne * , onda je pozitivno određen. Ako su svi negativni, onda negativni.

* U teoriji je dokazano da su sve vlastite vrijednosti realne simetrične matrice validan

Napišimo matricu gornjeg obrasca:
i iz jednadžbe. hajde da je nađemo svojstvene vrijednosti:

Hajde da rešimo dobro staro kvadratna jednačina:

, što znači oblik definisano je pozitivno, tj. za bilo koje vrijednosti različite od nule to je veće od nule.

Čini se da razmatrana metoda funkcionira, ali postoji jedno veliko ALI. Već za matricu tri po tri, traženje odgovarajućih brojeva je dug i neprijatan zadatak; sa velikom vjerovatnoćom ćete dobiti polinom 3. stepena sa iracionalnim korijenima.

Sta da radim? Postoji lakši način!

Silvesterov kriterijum

Ne, ne Sylvester Stallone :) Prvo da vas podsjetim šta je to korner minors matrice. Ovo kvalifikacije koji "rastu" iz svog gornjeg lijevog ugla:

a posljednja je tačno jednaka determinanti matrice.

Sada, zapravo, kriterijum:

1) Definiran je kvadratni oblik pozitivno ako i samo ako su SVI njegovi ugaoni minori veći od nule: .

2) Definiran je kvadratni oblik negativan ako i samo ako se njegovi ugaoni minori smenjuju u znaku, pri čemu je 1. minor manji od nule: , , ako je – paran ili , ako je – neparan.

Ako je barem jedan ugaoni minor suprotnog predznaka, tada je oblik naizmjenični znak. Ako su ugaoni minori "pravog" predznaka, ali među njima ima nula, onda je ovo poseban slučaj, koji ću ispitati malo kasnije, nakon što pogledamo uobičajenije primjere.

Analizirajmo ugaone minore matrice :

I to nam odmah govori da forma nije negativno definirana.

Zaključak: svi manji uglovi su veći od nule, što znači oblik definiše se pozitivno.

Postoji li razlika s metodom vlastitih vrijednosti? ;)

Hajde da napišemo matricu oblika iz Primjer 1:

prvi je njegov ugaoni minor, a drugi , iz čega proizlazi da je oblik naizmjenično u znaku, tj. ovisno o vrijednostima, može imati i pozitivne i negativne vrijednosti. Međutim, to je već očigledno.

Uzmimo formu i njegovu matricu iz Primjer 2:

Ne postoji način da se ovo shvati bez uvida. Ali sa Sylvesterovim kriterijumom nas nije briga:
, dakle, forma definitivno nije negativna.

, i definitivno nije pozitivan (pošto svi ugaoni minori moraju biti pozitivni).

Zaključak: oblik se mijenja.

Primjeri za zagrijavanje za samostalno rješavanje:

Primjer 4

Istražite kvadratne forme za definitivnost znaka

A)

U ovim primjerima sve je glatko (pogledajte kraj lekcije), ali u stvari, da se izvrši takav zadatak Silvesterov kriterijum možda neće biti dovoljan.

Poenta je da postoje „rubni“ slučajevi, naime: ako postoji ne-nula vektor, tada se određuje oblik nenegativan, ako onda negativan. Ovi oblici imaju ne-nula vektori za koje .

Ovdje možete citirati sljedeću "harmoniku":

Isticanje savršen kvadrat, vidimo odmah nenegativnost oblik: , i jednak je nuli za bilo koji vektor sa jednakim koordinatama, na primjer: .

Primjer "ogledala". negativan određeni oblik:

i još trivijalniji primjer:
– ovdje je oblik jednak nuli za bilo koji vektor , gdje je proizvoljan broj.

Kako prepoznati ne-negativne ili nepozitivne forme?

Za ovo nam je potreban koncept glavni maloljetnici matrice. Glavni minor je mol sastavljen od elemenata koji stoje na sjecištu redova i kolona s istim brojevima. Dakle, matrica ima dva glavna minora 1. reda:
(element je na raskrsnici 1. reda i 1. kolone);
(element je na raskrsnici 2. reda i 2. kolone),

i jedan glavni mol 2. reda:
– sastavljena od elemenata 1., 2. reda i 1., 2. kolone.

Matrica je "tri sa tri" Postoji sedam glavnih minora, a ovdje ćete morati savijati bicepse:
– tri maloletna lica I reda,
tri minora 2. reda:
– sastavljena od elemenata 1., 2. reda i 1., 2. kolone;
– sastavljena od elemenata 1., 3. reda i 1., 3. kolone;
– sastavljena od elemenata 2., 3. reda i 2., 3. kolone,
i jedan mol 3. reda:
– sastavljena od elemenata 1., 2., 3. reda i 1., 2. i 3. kolone.
Vježbajte za razumijevanje: zapišite sve glavne sporedne vrijednosti matrice .
Provjeravamo na kraju lekcije i nastavljamo.

Švarcenegerov kriterijum:

1) Definisan kvadratni oblik koji nije nula* nenegativan ako i samo ako SVI njegovi glavni maloljetnici nenegativan(veće ili jednako nuli).

* Nulti (degenerisani) kvadratni oblik ima sve koeficijente jednake nuli.

2) Definisana je kvadratna forma koja nije nula sa matricom negativan ako i samo ako:
– glavni maloljetnici 1. reda nepozitivna(manje ili jednako nuli);
– glavni maloljetnici 2. reda nenegativan;
– glavni maloljetnici 3. reda nepozitivna(počela je naizmjena);
…
– dur mol . reda nepozitivna, ako – neparan ili nenegativan, ako – čak.

Ako je barem jedan maloljetnik suprotnog predznaka, tada je oblik predznak naizmjeničan.

Pogledajmo kako funkcionira kriterij u gornjim primjerima:

Kreirajmo matricu oblika i Prvo Izračunajmo ugaone minore - što ako je definiran pozitivno ili negativno?

Dobijene vrijednosti ne zadovoljavaju Sylvesterov kriterij, već drugi minor nije negativan, a zbog toga je potrebno provjeriti 2. kriterij (u slučaju 2. kriterijuma neće biti automatski ispunjen, tj. odmah se donosi zaključak o promeni znaka forme).

Glavni minori 1. reda:
- pozitivno,
dur-mol 2. reda:
– nije negativan.

Dakle, SVI glavni minori nisu negativni, što znači i oblik nenegativan.

Napišimo matricu oblika , za koji Sylvesterov kriterij očito nije zadovoljen. Ali također nismo dobili suprotne predznake (pošto su oba ugaona minora jednaka nuli). Stoga provjeravamo ispunjenost kriterija nenegativnosti/nepozitivnosti. Glavni minori 1. reda:
– nije pozitivno,
dur-mol 2. reda:
– nije negativan.

Dakle, prema Schwarzeneggerovom kriteriju (tačka 2), forma nije pozitivno definirana.

Sada pogledajmo izbliza zanimljiviji problem:

Primjer 5

Ispitajte kvadratnu formu za definitivnost znaka

Ovaj obrazac je ukrašen redoslijedom “alfa”, koji može biti jednak bilo kojem realnom broju. Ali biće samo zabavnije mi odlučujemo.

Prvo, zapišimo matricu obrazaca; mnogi su se vjerovatno već navikli da to rade usmeno: na glavna dijagonala Stavljamo koeficijente za kvadrate, a na simetrična mjesta stavljamo polovinu koeficijenata odgovarajućih „mješovitih“ proizvoda:

Izračunajmo ugaone minore:

Proširiću treću odrednicu na 3. red:

Homogeni polinom stepena 2 u nekoliko varijabli naziva se kvadratni oblik.

Kvadratni oblik varijabli sastoji se od dva tipa pojmova: kvadrata varijabli i njihovih parnih proizvoda sa određenim koeficijentima. Kvadratni oblik se obično piše kao sljedeći kvadratni dijagram:

Parovi sličnih članova zapisuju se sa jednakim koeficijentima, tako da svaki od njih čini polovinu koeficijenta odgovarajućeg proizvoda varijabli. Dakle, svaki kvadratni oblik je prirodno povezan sa svojom matricom koeficijenata, koja je simetrična.

Kvadratnu formu je prikladno predstaviti u sljedećoj matričnoj notaciji. Označimo sa X stupac varijabli kroz X - red, tj. matrica transponovana sa X. Tada

Kvadratni oblici se nalaze u mnogim granama matematike i njenim primjenama.

U teoriji brojeva i kristalografiji, kvadratni oblici se razmatraju pod pretpostavkom da varijable imaju samo cjelobrojne vrijednosti. U analitičkoj geometriji, kvadratni oblik je dio jednadžbe krive (ili površine) reda. U mehanici i fizici, čini se da kvadratni oblik izražava kinetičku energiju sistema kroz komponente generalizovanih brzina itd. Ali, osim toga, proučavanje kvadratnih oblika je neophodno i u analizi kada se proučavaju funkcije mnogih varijabli, u pitanjima za koje je važno otkriti kako ova funkcija u okolini date tačke odstupa od linearne funkcije koja je aproksimira. Primjer problema ovog tipa je proučavanje funkcije za njen maksimum i minimum.

Razmotrimo, na primjer, problem proučavanja maksimuma i minimuma za funkciju dvije varijable koja ima kontinuirane parcijalne izvode do reda. Neophodan uslov da bi tačka dala maksimum ili minimum funkcije je da su parcijalni derivati ​​reda u tački jednaki nuli. Pretpostavimo da je ovaj uslov ispunjen. Zadajmo varijablama x i y male priraštaje i k i razmotrimo odgovarajući prirast funkcije. Prema Taylorovoj formuli, ovaj prirast, do malih viših redova, jednak je kvadratnom obliku gdje su vrijednosti drugih izvoda izračunato u tački Ako je ovaj kvadratni oblik pozitivan za sve vrijednosti i k (osim ), tada funkcija ima minimum u tački; ​​ako je negativna, onda ima maksimum. Konačno, ako obrazac ima i pozitivne i negativne vrijednosti, tada neće postojati maksimum ili minimum. Na sličan način se proučavaju i funkcije većeg broja varijabli.

Proučavanje kvadratnih oblika uglavnom se sastoji od proučavanja problema ekvivalencije oblika u odnosu na jedan ili drugi skup linearnih transformacija varijabli. Za dva kvadratna oblika se kaže da su ekvivalentna ako se jedan od njih može pretvoriti u drugi kroz jednu od transformacija datog skupa. Usko vezan za problem ekvivalencije je problem redukcije forme, tj. transformišući ga u neki moguće najjednostavniji oblik.

U raznim pitanjima vezanim za kvadratne forme razmatraju se i različiti skupovi dozvoljenih transformacija varijabli.

U pitanjima analize koriste se sve nespecijalne transformacije varijabli; za potrebe analitičke geometrije od najvećeg su interesa ortogonalne transformacije, odnosno one koje odgovaraju prelasku iz jednog sistema promenljivih Dekartovih koordinata u drugi. Konačno, u teoriji brojeva i kristalografiji razmatraju se linearne transformacije sa cjelobrojnim koeficijentima i s determinantom jednakom jedinici.

Razmotrit ćemo dva od ovih problema: pitanje svođenja kvadratnog oblika na njegov najjednostavniji oblik kroz bilo koje nesingularne transformacije i isto pitanje za ortogonalne transformacije. Prije svega, hajde da saznamo kako se matrica kvadratne forme transformira tijekom linearne transformacije varijabli.

Neka je , gdje je A simetrična matrica koeficijenata oblika, X je stupac varijabli.

Napravimo linearnu transformaciju varijabli, pišući je skraćeno kao . Ovdje C označava matricu koeficijenata ove transformacije, X je stupac novih varijabli. Tada i stoga, tako da je matrica transformiranog kvadratnog oblika

Matrica se automatski ispostavi da je simetrična, što je lako provjeriti. Dakle, problem svođenja kvadratnog oblika na najjednostavniji oblik je ekvivalentan problemu svođenja simetrične matrice na najjednostavniji oblik množenjem s lijeve i desne strane međusobno transponovanim matricama.

Kvadratni oblici

Kvadratni oblik f(x 1, x 2,...,x n) od n varijabli je zbir, čiji je svaki član ili kvadrat jedne od varijabli, ili proizvod dvije različite varijable, uzete sa određenim koeficijentom: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matrica A sastavljena od ovih koeficijenata naziva se matrica kvadratnog oblika. Uvek je tako simetrično matrica (tj. matrica simetrična oko glavne dijagonale, a ij = a ji).

U matričnom zapisu, kvadratni oblik je f(X) = X T AX, gdje je

Zaista

Na primjer, zapišimo kvadratni oblik u matričnom obliku.

Da bismo to učinili, nalazimo matricu kvadratnog oblika. Njegovi dijagonalni elementi jednaki su koeficijentima varijabli na kvadrat, a preostali elementi jednaki su polovinama odgovarajućih koeficijenata kvadratnog oblika. Zbog toga

Neka se matrica-stupac varijabli X dobije nedegeneriranom linearnom transformacijom matrice-kolone Y, tj. X = CY, gdje je C nesingularna matrica n-tog reda. Zatim kvadratni oblik
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Dakle, s nedegeneriranom linearnom transformacijom C, matrica kvadratnog oblika ima oblik: A * = C T AC.

Na primjer, pronađimo kvadratni oblik f(y 1, y 2), dobijen iz kvadratnog oblika f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 linearnom transformacijom.

Kvadratni oblik se zove kanonski(Ima kanonski pogled), ako su svi njegovi koeficijenti a ij = 0 za i ≠ j, tj.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Njegova matrica je dijagonalna.

Teorema(dokaz nije dat ovdje). Bilo koji kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik korištenjem nedegenerirane linearne transformacije.

Na primjer, smanjimo kvadratni oblik na kanonski oblik
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Da biste to učinili, prvo odaberite cijeli kvadrat s promjenljivom x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Sada biramo ceo kvadrat sa promenljivom x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Tada nedegenerirana linearna transformacija y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 i y 3 = x 3 dovodi ovaj kvadratni oblik u kanonski oblik f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Imajte na umu da je kanonski oblik kvadratnog oblika određen dvosmisleno (isti kvadratni oblik se može svesti na kanonski oblik na različite načine). Međutim, kanonski oblici dobiveni različitim metodama imaju niz zajedničkih svojstava. Konkretno, broj članova s ​​pozitivnim (negativnim) koeficijentima kvadratnog oblika ne ovisi o načinu svođenja forme na ovaj oblik (na primjer, u razmatranom primjeru uvijek će postojati dva negativna i jedan pozitivan koeficijent). Ovo svojstvo se zove zakon inercije kvadratnih oblika.

Provjerimo ovo dovođenjem istog kvadratnog oblika u kanonski oblik na drugačiji način. Započnimo transformaciju s varijablom x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, gdje je y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 i y 3 = x 1 . Ovdje postoji pozitivan koeficijent 2 na y 3 i dva negativna koeficijenta (-3) na y 1 i y 2 (a drugom metodom dobili smo pozitivan koeficijent 2 na y 1 i dva negativna koeficijenta - (-5) na y 2 i (-1 /20) na y 3).

Također treba napomenuti da je rang matrice kvadratnog oblika, tzv rang kvadratnog oblika, jednak je broju nenultih koeficijenata kanonskog oblika i ne mijenja se pod linearnim transformacijama.

Kvadratni oblik f(X) se zove pozitivno (negativan) siguran, ako je za sve vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno jednake nuli, ono je pozitivno, tj. f(X) > 0 (negativno, tj.
f(X)< 0).

Na primjer, kvadratni oblik f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 je pozitivno određen, jer je zbir kvadrata, a kvadratni oblik f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je negativno određen, jer predstavlja može se predstaviti kao f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

U većini praktičnih situacija je nešto teže utvrditi definitivni predznak kvadratnog oblika, pa za to koristimo jednu od sljedećih teorema (formulisaćemo ih bez dokaza).

Teorema. Kvadratni oblik je pozitivno (negativno) određen ako i samo ako su sve vlastite vrijednosti njegove matrice pozitivne (negativne).

Teorema (Sylvesterov kriterij). Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi vodeći minori matrice ovog oblika pozitivni.

Glavni (ugaoni) mol Matrica k-tog reda A n-tog reda naziva se determinanta matrice, sastavljena od prvih k redova i stupaca matrice A ().

Imajte na umu da se za negativno određene kvadratne forme predznaci glavnih minora izmjenjuju, a minor prvog reda mora biti negativan.

Na primjer, hajde da ispitamo kvadratni oblik f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 radi definicije predznaka.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Stoga je kvadratni oblik pozitivno određen.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Dakle, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratni oblik je pozitivno definitivno.

Ispitujemo još jedan kvadratni oblik za definitivnost znaka, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednačina će imati oblik = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Stoga je kvadratni oblik negativno određen.

U ovom dijelu ćemo se fokusirati na posebnu, ali važnu klasu pozitivnih kvadratnih oblika.

Definicija 3. Realni kvadratni oblik naziva se nenegativan (nepozitivan) ako je za bilo koju realnu vrijednost varijabli

. (35)

U ovom slučaju, simetrična matrica koeficijenata naziva se pozitivna semidefinita (negativna semidefinita).

Definicija 4. Realni kvadratni oblik naziva se pozitivno određen (negativno određen) ako za bilo koje realne vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno nula,

. (36)

U ovom slučaju, matrica se naziva i pozitivno određena (negativno određena).

Klasa pozitivnih određenih (negativno određenih) oblika je dio klase nenegativnih (odnosno nepozitivnih) oblika.

Neka je zadan nenegativan oblik. Zamislimo to kao zbir nezavisnih kvadrata:

. (37)

U ovom prikazu, svi kvadrati moraju biti pozitivni:

. (38)

Zaista, ako ih ima, onda bi bilo moguće odabrati takve vrijednosti

Ali tada, sa ovim vrijednostima varijabli, oblik bi imao negativnu vrijednost, što je uvjetom nemoguće. Očigledno, obrnuto, iz (37) i (38) slijedi da je oblik pozitivan.

Dakle, nenegativni kvadratni oblik karakteriziraju jednakosti.

Neka je sada pozitivan određen oblik. Tada je to nenegativan oblik. Stoga se može predstaviti u obliku (37), gdje su svi pozitivni. Iz pozitivne određenosti oblika slijedi da . Zaista, u slučaju da je moguće odabrati vrijednosti koje nisu istovremeno jednake nuli, pri čemu bi se sve okrenulo na nulu. Ali onda, na osnovu (37), na , što je u suprotnosti sa uslovom (36).

Lako je vidjeti da je obrnuto, ako su u (37) i svi pozitivni, onda je to pozitivno određen oblik.

Drugim riječima, nenegativni oblik je pozitivno određen ako i samo ako nije singularan.

Sljedeća teorema daje kriterij za pozitivnu određenost oblika u obliku nejednakosti koje koeficijenti oblika moraju zadovoljiti. U ovom slučaju, koristi se notacija koja se već susrela u prethodnim paragrafima za uzastopne glavne minore matrice:

.

Teorema 3. Da bi kvadratni oblik bio pozitivno određen, potrebno je i dovoljno da nejednakosti budu zadovoljene

Dokaz. Dovoljnost uslova (39) proizilazi direktno iz Jacobijeve formule (28). Neophodnost uslova (39) utvrđuje se na sledeći način. Iz pozitivne određenosti oblika proizlazi pozitivna određenost „krnjih“ oblika

.

Ali onda svi ovi oblici moraju biti nejednini, tj.

Sada imamo priliku koristiti Jacobijevu formulu (28) (na ). Pošto na desnoj strani ove formule svi kvadrati moraju biti pozitivni, onda

To implicira nejednakosti (39). Teorema je dokazana.

Pošto se bilo koji glavni minor matrice, uz pravilno prenumerisanje varijabli, može postaviti u gornji lijevi kut, onda imamo

Posljedica. U pozitivno određenom kvadratnom obliku, svi glavni minori matrice koeficijenata su pozitivni:

Komentar. Iz nenegativnosti uzastopnih glavnih maloljetnika

ne-negativnost forme ne slijedi. Zaista, forma

,

pri čemu , zadovoljava uslove , ali nije nenegativno.

Međutim, vrijedi sljedeće

Teorema 4. Da bi kvadratni oblik bio nenegativan, potrebno je i dovoljno da svi glavni minori njegove matrice koeficijenata budu nenegativni:

Dokaz. Hajde da uvedemo pomoćni oblik je bio nepozitivan, potreban je i dovoljan da se nejednakosti ostvare