Gausova metoda dodjele. Obrnuto od Gaussove metode

Ovdje možete besplatno riješiti sistem linearnih jednačina Gaussova metoda online velike veličine u kompleksnim brojevima s vrlo detaljnim rješenjem. Naš kalkulator može online rješavati uobičajene i neodređene sisteme linearnih jednačina koristeći Gaussovu metodu, koja ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, u odgovoru ćete dobiti zavisnost nekih varijabli preko drugih, slobodnih. Također možete provjeriti konzistentnost sistema jednačina na mreži koristeći Gaussovo rješenje.

O metodi

Prilikom rješavanja sistema linearnih jednadžbi online korištenjem Gaussove metode, izvode se sljedeći koraci.

Pišemo proširenu matricu.
Zapravo, rješenje je podijeljeno na korake naprijed i nazad Gaussove metode. Direktan pristup Gaussove metode je redukcija matrice na stepenasti oblik. Obrnuto Gaussove metode je redukcija matrice na poseban stepenasti oblik. Ali u praksi je zgodnije odmah nulirati ono što se nalazi i iznad i ispod dotičnog elementa. Naš kalkulator koristi upravo ovaj pristup.
Važno je napomenuti da pri rješavanju Gaussovom metodom prisustvo u matrici najmanje jednog nultog reda sa desnom stranom koja nije nula (kolona slobodnih pojmova) ukazuje na nekonzistentnost sistema. U ovom slučaju, rješenje za linearni sistem ne postoji.

Da biste najbolje razumjeli kako Gaussov algoritam funkcionira na mreži, unesite bilo koji primjer, odaberite "vrlo detaljno rješenje" i pogledajte njegovo rješenje na mreži.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Pretpostavimo da moramo pronaći rješenje za sistem iz n linearne jednačine sa n nepoznate varijable
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se od sekvencijalnog eliminisanja nepoznatih varijabli: prvo eliminisanje x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge, dalje je isključeno x 2 od svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok u posljednjoj jednačini ne ostane samo nepoznata varijabla x n. Ovaj proces transformacije sistemskih jednačina da bi se sekvencijalno eliminisale nepoznate varijable naziva se direktna Gausova metoda. Nakon završetka napredovanja Gaussove metode prema naprijed, iz posljednje jednačine nalazimo x n, koristeći ovu vrijednost iz pretposljednje jednadžbe koju izračunavamo xn-1, i tako dalje, iz prve jednačine koju nalazimo x 1. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sistema na prvu naziva se inverzno od Gausove metode.

Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Uklonite nepoznatu varijablu x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednačini sistema dodajemo prvu, pomnoženu sa , trećoj jednačini dodajemo prvu, pomnoženu sa , i tako dalje, da nth jednadžbi dodajemo prvu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje i .

Došli bismo do istog rezultata kada bismo se izrazili x 1 kroz druge nepoznate varijable u prvoj jednačini sistema i rezultirajući izraz je zamijenjen u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 isključeno iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim nastavljamo na sličan način, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici

Da bismo to učinili, trećoj jednačini sistema dodajemo drugu, pomnoženu sa , četvrtoj jednačini dodamo drugu, pomnoženu sa , i tako dalje, da nth jednadžbi dodajemo drugu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje i . Dakle, varijabla x 2 isključeno iz svih jednačina počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, u ovom slučaju postupamo slično sa dijelom sistema označenim na slici

Tako nastavljamo direktnu progresiju Gausove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnuto od Gaussove metode: računamo x n iz posljednje jednačine kao, koristeći dobijenu vrijednost x n mi nalazimo xn-1 iz pretposljednje jednadžbe, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačine.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina Gaussova metoda.

Carl Friedrich Gauss, najveći matematičar, dugo je oklijevao birajući između filozofije i matematike. Možda mu je upravo taj način razmišljanja omogućio da napravi tako uočljivo "naslijeđe" u svjetskoj nauci. Konkretno, stvaranjem "Gaussove metode" ...

Gotovo 4 godine, članci na ovom sajtu su se bavili školskim obrazovanjem, uglavnom sa stanovišta filozofije, principima (ne)razumijevanja koji se uvode u svijest djece. Dolazi vrijeme konkretnijih, primjera i metoda... Vjerujem da je upravo to pristup poznatom, zbunjujućem i bitan oblasti života daje bolje rezultate.

Mi smo ljudi dizajnirani tako da ma koliko pričali apstraktno razmišljanje, Ali razumijevanje Uvijek dešava se kroz primjere. Ako nema primjera, onda je nemoguće shvatiti principe... Kao što je nemoguće doći do vrha planine osim hodanjem cijelom strminom od podnožja.

Isto i sa školom: za sada žive priče Nije dovoljno što ga instinktivno nastavljamo smatrati mjestom gdje se djeca uče da razumiju.

Na primjer, podučavanje Gaussove metode...

Gaussova metoda u 5. razredu škole

Odmah ću napraviti rezervaciju: Gaussova metoda ima mnogo širu primjenu, na primjer, kod rješavanja sistemi linearnih jednačina. Ono o čemu ćemo pričati dešava se u 5. razredu. Ovo počeo, shvativši koje, mnogo je lakše razumjeti "naprednije opcije". U ovom članku govorimo o Gaussova metoda (metoda) za pronalaženje zbira niza

Evo primjera koji je moj najmlađi sin, koji ide u 5. razred moskovske gimnazije, donio iz škole.

Školska demonstracija Gaussove metode

Nastavnik matematike je koristeći interaktivnu tablu (savremene nastavne metode) pokazao deci prezentaciju istorije „stvaranja metode“ malog Gausa.

Učiteljica je bičevala malog Karla (zastarjela metoda, koja se ovih dana ne koristi u školama) jer je on

umjesto uzastopnog sabiranja brojeva od 1 do 100, pronađite njihov zbir primijetio da parovi brojeva koji su jednako razmaknuti od rubova aritmetičke progresije sabiraju isti broj. na primjer, 100 i 1, 99 i 2. Prebrojavši broj takvih parova, mali Gauss je gotovo trenutno riješio problem koji je predložio učitelj. Zbog čega je pogubljen pred zapanjenom javnošću. Kako bi drugi bili obeshrabreni u razmišljanju.

Šta je uradio mali Gauss? razvijen smisao broja? Primećeno neke karakteristike brojevni niz sa konstantnim korakom (aritmetička progresija). I upravo ovo kasnije ga je učinio velikim naučnikom, oni koji znaju da primete, imajući osećaj, instinkt razumevanja.

Zato je matematika vrijedna, razvija se sposobnost da se vidi generalno posebno - apstraktno razmišljanje. Dakle, većina roditelja i poslodavaca instinktivno smatraju matematiku važnom disciplinom ...

„Onda treba da naučite matematiku, jer to dovodi u red vaš um.
M.V.Lomonosov“.

Međutim, sljedbenici onih koji su buduće genije bičevali štapovima pretvorili su Metodu u nešto suprotno. Kao što je moj supervizor rekao prije 35 godina: “Pitanje je naučeno.” Ili kao što je moj najmlađi sin juče rekao o Gaussovoj metodi: „Možda nije vredno praviti veliku nauku od ovoga, ha?“

Posledice kreativnosti „naučnika” vidljive su u nivou aktuelne školske matematike, nivou njene nastave i shvatanju „Kraljice nauka” kod većine.

Ipak, nastavimo...

Metode objašnjenja Gaussove metode u 5. razredu škole

Nastavnik matematike u moskovskoj gimnaziji, objašnjavajući Gaussovu metodu prema Vilenkinu, zakomplikovao je zadatak.

Šta ako razlika (korak) aritmetičke progresije nije jedan, već drugi broj? Na primjer, 20.

Problem koji je zadao učenicima petog razreda:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Prije nego što se upoznamo sa gimnazijskom metodom, pogledajmo internet: kako to rade školski nastavnici i profesori matematike?..

Gausova metoda: objašnjenje br. 1

Poznati tutor na svom YOUTUBE kanalu daje sljedeće obrazloženje:

„Zapišimo brojeve od 1 do 100 na sljedeći način:

prvo niz brojeva od 1 do 50, a striktno ispod njega još jedan niz brojeva od 50 do 100, ali obrnutim redoslijedom"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Imajte na umu: zbir svakog para brojeva iz gornjeg i donjeg reda je isti i jednak je 101! Izbrojimo broj parova, on je 50 i pomnožimo zbir jednog para sa brojem parova! Voila: odgovor je spreman!"

„Ako nisi mogao da razumeš, nemoj se nervirati!”, ponovio je učitelj tri puta tokom objašnjenja. "Ovu metodu ćete uzeti u 9. razredu!"

Gausova metoda: objašnjenje br. 2

Drugi tutor, manje poznat (sudeći po broju pregleda), koristi naučniji pristup, nudeći algoritam rješenja od 5 tačaka koji se moraju popuniti uzastopno.

Za neupućene, 5 je jedan od Fibonačijevih brojeva koji se tradicionalno smatraju magičnim. Metoda od 5 koraka je uvijek naučnija od metode od 6 koraka, na primjer. ...I teško da je ovo slučajno, najverovatnije, Autor je skriveni pristalica Fibonačijeve teorije

S obzirom na aritmetičku progresiju: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritam za pronalaženje zbira brojeva u nizu pomoću Gaussove metode:

Korak 1: prepišite dati niz brojeva u obrnutom smjeru, upravo ispod prvog.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Korak 2: izračunajte zbir parova brojeva koji se nalaze u vertikalnim redovima: 260.

Korak 3: prebrojite koliko je takvih parova u nizu brojeva. Da biste to učinili, oduzmite minimum od maksimalnog broja niza brojeva i podijelite s veličinom koraka: (256 - 4) / 6 = 42.

Istovremeno, morate zapamtiti plus jedno pravilo : moramo dodati jedan rezultujućem količniku: inače ćemo dobiti rezultat koji je za jedan manji od pravog broja parova: 42 + 1 = 43.

Korak 4: Pomnožite zbir jednog para brojeva sa brojem parova: 260 x 43 = 11.180

Korak 5: pošto smo izračunali iznos parovi brojeva, tada bi dobiveni iznos trebao podijeliti sa dva: 11,180 / 2 = 5590.

Ovo je potreban zbir aritmetičke progresije od 4 do 256 sa razlikom od 6!

Gaussova metoda: objašnjenje u 5. razredu moskovske gimnazije

Evo kako riješiti problem pronalaženja zbira niza:

20+40+60+ ... +460+480+500

u 5. razredu moskovske gimnazije, Vilenkinov udžbenik (prema mom sinu).

Nakon prikaza prezentacije, nastavnik matematike je pokazao nekoliko primjera koristeći Gaussovu metodu i dao razredu zadatak da pronađe zbir brojeva u nizu u koracima od 20.

Za to je bilo potrebno sljedeće:

Korak 1: obavezno zapišite sve brojeve u nizu u svoju bilježnicu od 20 do 500 (u koracima od 20).

2. korak: zapišite sekvencijalne pojmove - parove brojeva: prvi sa zadnjim, drugi sa pretposljednjim itd. i izračunati njihove iznose.

Korak 3: izračunajte "zbir suma" i pronađite zbir cijelog niza.

Kao što vidite, ovo je kompaktnija i efikasnija tehnika: broj 3 je takođe član Fibonačijevog niza

Moji komentari o školskoj verziji Gaussove metode

Veliki matematičar bi definitivno odabrao filozofiju da je predvidio u šta će njegov "metod" pretvoriti njegovi sljedbenici Nastavnica njemačkog, koji je bičevao Karla štapovima. Video bi simboliku, dijalektičku spiralu i beskonačnu glupost "učitelja", pokušavajući da izmeri harmoniju žive matematičke misli sa algebrom nesporazuma ....

Usput: da li ste znali. da je naš obrazovni sistem ukorijenjen u njemačkoj školi 18. i 19. vijeka?

Ali Gauss je izabrao matematiku.

Šta je suština njegove metode?

IN pojednostavljenje. IN posmatranje i hvatanje jednostavni obrasci brojeva. IN pretvaranje suve školske aritmetike u zanimljiva i uzbudljiva aktivnost , aktivirajući u mozgu želju za nastavkom, umjesto da blokiraju skupu mentalnu aktivnost.

Da li je moguće koristiti jednu od datih "modifikacija Gaussove metode" za izračunavanje sume brojeva aritmetičke progresije skoro odmah? Prema „algoritmima“, mali Karl bi garantovano izbegao batinanje, razvio averziju prema matematici i potisnuo svoje kreativne impulse u korenu.

Zašto je učiteljica tako uporno savjetovala petake „da se ne boje pogrešnog razumijevanja“ metode, uvjeravajući ih da će „takve“ probleme rješavati već u 9. razredu? Psihološki nepismena akcija. Bio je to dobar potez za napomenuti: "Vidimo se već u 5. razredu možeš riješite probleme koje ćete riješiti tek za 4 godine! Kakav si ti sjajan momak!”

Za korištenje Gaussove metode dovoljan je nivo klase 3, kada normalna djeca već znaju da zbrajaju, množe i dijele 2-3 cifre. Problemi nastaju zbog nesposobnosti odraslih nastavnika koji su „van kontakta“ da normalnim ljudskim jezikom objasne najjednostavnije stvari, a da ne govorimo o matematici... Oni nisu u stanju da zainteresuju ljude za matematiku i potpuno obeshrabre čak i one koji „ sposoban.”

Ili, kako je moj sin prokomentarisao: „napraviti veliku nauku od toga“.

Kako (u opštem slučaju) saznati koji broj treba da „proširite“ zapis brojeva u metodi br. 1?

Šta učiniti ako se pokaže da je broj članova serije jednak odd?

Zašto pretvoriti u “Pravilo plus 1” nešto što bi dijete jednostavno moglo naučitičak i u prvom razredu, da sam razvio „čulo za brojeve“, i nisam se setio"broj do deset"?

I na kraju: gdje je nestala NULA, briljantan izum star više od 2.000 godina i koji savremeni nastavnici matematike izbjegavaju koristiti?!

Gaussova metoda, moja objašnjenja

Supruga i ja smo objasnili svom detetu ovu "metodu", izgleda, još pre škole...

Jednostavnost umjesto složenosti ili igra pitanja i odgovora

"Vidi, evo brojeva od 1 do 100. Šta vidiš?"

Poenta nije u tome šta dete tačno vidi. Trik je u tome da ga nateramo da pogleda.

"Kako ih možete spojiti?" Sin je shvatio da se takva pitanja ne postavljaju "tek tako" i da na to pitanje treba gledati "nekako drugačije, drugačije nego što on obično radi"

Nije bitno da li dete odmah vidi rešenje, malo je verovatno. Važno je da on prestao da se plaši da gledam, ili kako ja kažem: "pomerio zadatak". Ovo je početak puta ka razumijevanju

„Šta je lakše: sabiranje, na primjer, 5 i 6 ili 5 i 95?“ Sugestivno pitanje... Ali svaka obuka se svodi na to da osobu „vodi“ do „odgovora“ – na bilo koji njemu prihvatljiv način.

U ovoj fazi već se mogu pojaviti nagađanja o tome kako "uštedjeti" na proračunima.

Sve što smo uradili je nagovještaj: “frontalni, linearni” način brojanja nije jedini mogući. Ako dijete to shvati, kasnije će smisliti još mnogo takvih metoda, jer je zanimljivo!!! I definitivno će izbjeći "nerazumijevanje" matematike i neće se osjećati gađenjem prema njoj. On je pobedio!

Ako dete otkriveno da je onda sabiranje parova brojeva koji sabiraju do stotinu "aritmetička progresija s razlikom 1"- prilično turobna i nezanimljiva stvar za dijete - odjednom našao život za njega . Red je nastao iz haosa, a to uvijek izaziva entuzijazam: tako smo stvoreni!

Pitanje na koje treba odgovoriti: zašto bi ga, nakon uvida koje je steklo, ponovo tjeralo u okvire suhih algoritama, koji su u ovom slučaju i funkcionalno beskorisni?!

Zašto forsirati glupo prepisivanje? redni brojevi u svesci: tako da ni sposobni nemaju ni jednu šansu da razumeju? Statistički, naravno, ali masovno obrazovanje je usmjereno na "statistiku"...

Gdje je nestala nula?

Pa ipak, sabiranje brojeva koji zbrajaju do 100 mnogo je prihvatljivije za um od onih koji zbrajaju 101...

"Metoda Gaussove škole" zahteva upravo ovo: bezumno fold parovi brojeva jednako udaljeni od centra progresije, Uprkos svemu.

Šta ako pogledaš?

Ipak, nula je najveći izum čovječanstva, star više od 2.000 godina. A profesori matematike ga i dalje ignorišu.

Mnogo je lakše transformisati niz brojeva koji počinje sa 1 u niz koji počinje sa 0. Zbir se neće promeniti, zar ne? Morate prestati "razmišljati u udžbenicima" i početi tražiti... I vidite da se parovi sa zbrojem 101 mogu u potpunosti zamijeniti parovima sa zbrojem od 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Kako ukinuti "pravilo plus 1"?

Da budem iskren, prvi put sam čuo za takvo pravilo od onog YouTube tutora...

Šta još da radim kada trebam odrediti broj članova serije?

Gledam redosled:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

a kada ste potpuno umorni, pređite na jednostavniji red:

1, 2, 3, 4, 5

i pretpostavljam: ako oduzmete jedan od 5, dobićete 4, ali apsolutno sam jasan vidim 5 brojeva! Stoga, morate dodati jedan! Osjet brojeva razvijen u osnovnoj školi sugerira: čak i ako postoji cijeli Gugl članova serije (10 na stotu potenciju), obrazac će ostati isti.

Koja su pravila?..

Pa da za par-tri godine popuniš sav prostor između čela i potiljka i prestaneš da razmišljaš? Kako zaraditi svoj kruh i puter? Na kraju krajeva, ravnomjerno se krećemo u eru digitalne ekonomije!

Više o Gaussovoj školskoj metodi: „Zašto praviti nauku od ovoga?..“

Nije uzalud objavio snimak ekrana iz sveske mog sina...

"Šta se dogodilo na času?"

"Pa, ja sam odmah prebrojao, digao ruku, ali ona nije pitala. Zato sam, dok su ostali brojali, počeo da radim domaći na ruskom da ne gubim vreme. Onda, kada su ostali završili pisanje (? ??), pozvala me je na tablu. Rekao sam odgovor."

"Tako je, pokaži mi kako si to riješio", rekao je učitelj. Pokazao sam to. Rekla je: „Pogrešno, treba da brojiš kao što sam pokazala!“

"Dobro je da nije dala lošu ocjenu. I natjerala me da na njihov način zapišem u njihovu svesku "tok rješenja". Zašto od ovoga praviti veliku nauku?.."

Glavni zločin nastavnika matematike

Jedva posle taj incident Carl Gauss je iskusio veliko poštovanje prema svom školskom nastavniku matematike. Ali kad bi znao kako sledbenici tog učitelja će iskriviti samu suštinu metode... urlao bi od ogorčenja i preko Svjetske organizacije za intelektualnu svojinu WIPO postigao zabranu korištenja njegovog dobrog imena u školskim udžbenicima!..

U čemu glavna greška školskog pristupa? Ili, kako sam rekao, zločin školskih nastavnika matematike nad djecom?

Algoritam nesporazuma

Šta rade školski metodičari, od kojih velika većina ne zna razmišljati?

Oni kreiraju metode i algoritme (vidi). Ovo odbrambena reakcija koja štiti nastavnike od kritike (“Sve se radi po...”), a djecu od razumijevanja. I tako – iz želje da se kritikuju nastavnici!(Drugi derivat birokratske „mudrosti“, naučni pristup problemu). Osoba koja ne shvaća značenje radije će kriviti svoje nerazumijevanje, a ne glupost školskog sistema.

Evo šta se dešava: roditelji krive svoju decu, a učitelji... čine isto za decu koja "ne razumeju matematiku!"

Jeste li pametni?

Šta je uradio mali Karl?

Potpuno nekonvencionalan pristup formulisanom zadatku. Ovo je suština Njegovog pristupa. Ovo glavna stvar koju treba naučiti u školi je razmišljati ne udžbenicima, već svojom glavom. Naravno, postoji i instrumentalna komponenta koja se može koristiti... u potrazi jednostavnije i efikasnije metode brojanja.

Gaussova metoda prema Vilenkinu

U školi uče da je Gaussova metoda da

u parovima pronaći zbir brojeva jednako udaljenih od rubova niza brojeva, svakako počevši od ivica!

pronaći broj takvih parova itd.

Šta, ako je broj elemenata serije neparan, kao u problemu koji je dodeljen mom sinu?..

"Kvaka" je u tome u ovom slučaju trebalo bi da nađete "dodatni" broj u seriji i dodajte je zbiru parova. U našem primjeru ovaj broj je 260.

Kako otkriti? Kopiranje svih parova brojeva u svesku!(Zato je učitelj natjerao djecu da rade ovaj glupi posao pokušavajući da podučavaju "kreativnost" koristeći Gaussovu metodu... I zato je takva "metoda" praktično neprimjenjiva na velike serije podataka, I zato je ne Gausovom metodom.)

Malo kreativnosti u skolskoj rutini...

Sin je postupio drugačije.

Prvo je primijetio da je lakše pomnožiti broj 500, a ne 520

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Zatim je izračunao: broj koraka se pokazao neparnim: 500 / 20 = 25.

Zatim je na početak serije dodao NULU (iako je bilo moguće odbaciti zadnji član serije, što bi također osiguralo paritet) i dodao brojeve dajući ukupno 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 koraka je 13 parova "petsto": 13 x 500 = 6500..

Ako odbacimo posljednji član serije, tada će parova biti 12, ali ne treba zaboraviti dodati "odbačenih" pet stotina na rezultat izračuna. Zatim: (12 x 500) + 500 = 6500!

Nije teško, zar ne?

Ali u praksi to postaje još lakše, što vam omogućava da odvojite 2-3 minute za daljinsko ispitivanje na ruskom, dok se ostali "broje". Osim toga, zadržava broj koraka metode: 5, što ne dozvoljava da se pristup kritikuje kao nenaučan.

Očigledno je da je ovaj pristup jednostavniji, brži i univerzalniji, u stilu Metode. Ali... učiteljica ne samo da nije pohvalila, već me je i natjerala da to prepišem “na pravi način” (vidi screenshot). Odnosno, učinila je očajnički pokušaj da uguši kreativni impuls i sposobnost razumijevanja matematike u korijenu! Navodno, da bi kasnije bila angažovana kao tutor... Napala je pogrešnu osobu...

Sve što sam tako dugo i zamorno opisivao normalnom djetetu može se objasniti za najviše pola sata. Uz primjere.

I to na način da to nikada neće zaboraviti.

I biće korak ka razumevanju...ne samo matematičari.

Priznajte: koliko ste puta u životu dodavali koristeći Gaussovu metodu? I nikad nisam!

Ali instinkt razumevanja, koji se razvija (ili se gasi) u procesu izučavanja matematičkih metoda u školi... Oh!.. Ovo je zaista nezamjenjiva stvar!

Pogotovo u doba univerzalne digitalizacije u koje smo tiho ušli pod strogim rukovodstvom Partije i Vlade.

Par reči u odbranu nastavnika...

Nepravedno je i pogrešno svu odgovornost za ovakav način poučavanja svaljivati isključivo na školske nastavnike. Sistem je na snazi.

Neki nastavnici shvataju apsurdnost onoga što se dešava, ali šta da se radi? Zakon o obrazovanju, Savezni državni obrazovni standardi, metode, planovi nastave... Sve se mora raditi „u skladu i na osnovu“ i sve mora biti dokumentovano. Odmaknite se - stajali u redu za otpuštanje. Ne budimo licemeri: plate moskovskih nastavnika su veoma dobre... Ako vas otpuste, gde da idete?..

Stoga ova stranica ne o obrazovanju. On je oko individualno obrazovanje, jedini mogući način da se izvučete iz gomile generacija Z ...

Dva sistema linearnih jednadžbi nazivaju se ekvivalentnima ako se skup svih njihovih rješenja poklapa.

Elementarne transformacije sistema jednačina su:

Brisanje trivijalnih jednačina iz sistema, tj. oni za koje su svi koeficijenti jednaki nuli;

Množenje bilo koje jednačine brojem koji nije nula;

Dodavanje bilo kojoj i-toj jednačini bilo koje j-te jednačine pomnožene bilo kojim brojem.

Varijabla x i se naziva slobodnom ako ova varijabla nije dozvoljena, ali je ceo sistem jednačina dozvoljen.

Teorema. Elementarne transformacije transformišu sistem jednačina u ekvivalentan.

Smisao Gaussove metode je transformacija originalnog sistema jednačina i dobijanje ekvivalentnog razriješenog ili ekvivalentnog nekonzistentnog sistema.

Dakle, Gaussova metoda se sastoji od sljedećih koraka:

Pogledajmo prvu jednačinu. Odaberimo prvi koeficijent različit od nule i s njim podijelimo cijelu jednačinu. Dobijamo jednačinu u koju neka varijabla x i ulazi sa koeficijentom 1;
Oduzmimo ovu jednačinu od svih ostalih, množimo je sa takvim brojevima da se koeficijenti varijable x i u preostalim jednačinama nule. Dobijamo sistem riješen u odnosu na varijablu x i i ekvivalentan originalnom;
Ako se pojave trivijalne jednadžbe (rijetko, ali se dešava; na primjer, 0 = 0), precrtavamo ih iz sistema. Kao rezultat toga, jedna je jednačina manje;
Prethodne korake ponavljamo ne više od n puta, gdje je n broj jednačina u sistemu. Svaki put biramo novu varijablu za “obradu”. Ako se pojave nekonzistentne jednačine (na primjer, 0 = 8), sistem je nekonzistentan.

Kao rezultat, nakon nekoliko koraka dobićemo ili riješen sistem (moguće sa slobodnim varijablama) ili nekonzistentan. Dozvoljeni sistemi spadaju u dva slučaja:

Broj varijabli jednak je broju jednačina. To znači da je sistem definisan;
Broj varijabli je veći od broja jednačina. Sakupljamo sve slobodne varijable na desnoj strani - dobijamo formule za dozvoljene varijable. Ove formule su zapisane u odgovoru.

To je sve! Sistem linearnih jednačina riješen! Ovo je prilično jednostavan algoritam i da biste ga savladali ne morate kontaktirati višeg nastavnika matematike. Pogledajmo primjer:

Zadatak. Riješite sistem jednačina:

Opis koraka:

Oduzmite prvu jednačinu od druge i treće - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
Drugu jednačinu pomnožimo sa (−1), a treću podelimo sa (−3) - dobićemo dve jednačine u koje promenljiva x 2 ulazi sa koeficijentom 1;
Prvoj dodajemo drugu jednačinu, a trećoj oduzimamo. Dobijamo dozvoljenu varijablu x 2 ;
Konačno, oduzimamo treću jednačinu od prve - dobijamo dozvoljenu varijablu x 3;
Dobili smo odobreni sistem, zapišite odgovor.

Opšte rješenje simultanog sistema linearnih jednačina je novi sistem, ekvivalentan originalnom, u kojem su sve dozvoljene varijable izražene u terminima slobodnih.

Kada bi moglo biti potrebno opšte rješenje? Ako morate napraviti manje koraka od k (k je koliko jednačina ima). Međutim, razlozi zašto se proces završava u nekom koraku l< k , может быть две:

Nakon l. koraka dobili smo sistem koji ne sadrži jednačinu sa brojem (l + 1). U stvari, ovo je dobro, jer... autorizovani sistem se i dalje dobija - čak i nekoliko koraka ranije.
Nakon l-tog koraka dobili smo jednačinu u kojoj su svi koeficijenti varijabli jednaki nuli, a slobodni koeficijent različit od nule. Ovo je kontradiktorna jednačina, pa je sistem nedosljedan.

Važno je shvatiti da je pojava nekonzistentne jednačine pomoću Gaussove metode dovoljna osnova za nekonzistentnost. Istovremeno, napominjemo da kao rezultat l. koraka ne mogu ostati trivijalne jednadžbe - sve se precrtavaju upravo u procesu.

Opis koraka:

Oduzmite prvu jednačinu, pomnoženu sa 4, od druge. Prvu jednačinu dodajemo i trećoj - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
Oduzmite treću jednačinu, pomnoženu sa 2, od druge - dobijamo kontradiktornu jednačinu 0 = −5.

Dakle, sistem je nekonzistentan jer je otkrivena nekonzistentna jednačina.

Zadatak. Istražite kompatibilnost i pronađite opće rješenje za sistem:

Opis koraka:

Prvu jednačinu oduzimamo od druge (nakon množenja sa dva) i treće - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
Oduzmite drugu jednačinu od treće. Pošto su svi koeficijenti u ovim jednačinama isti, treća jednačina će postati trivijalna. Istovremeno, pomnožite drugu jednačinu sa (−1);
Oduzmite drugu od prve jednačine - dobijamo dozvoljenu varijablu x 2. Cijeli sistem jednačina je sada također riješen;
Pošto su varijable x 3 i x 4 slobodne, pomeramo ih udesno da izrazimo dozvoljene varijable. Ovo je odgovor.

Dakle, sistem je konzistentan i neodređen, jer postoje dvije dozvoljene varijable (x 1 i x 2) i dvije slobodne (x 3 i x 4).