Cramer i Gaussova metoda online. Cramerova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina

U prvom dijelu razmatrali smo teorijski materijal, metodu zamjene, kao i metodu sabiranja sistemskih jednačina po članu. Preporučujem svima koji su pristupili stranici preko ove stranice da pročitaju prvi dio. Možda će nekim posjetiteljima materijal biti prejednostavan, ali u procesu rješavanja sistema linearnih jednačina iznio sam niz vrlo važnih komentara i zaključaka u vezi sa rješavanjem matematičkih problema općenito.

Sada ćemo analizirati Cramerovo pravilo, kao i rješavanje sistema linearnih jednadžbi korištenjem inverzne matrice (matrična metoda). Svi materijali su predstavljeni jednostavno, detaljno i jasno skoro svi čitaoci će moći da nauče kako da rešavaju sisteme koristeći gore navedene metode.

Prvo ćemo pobliže pogledati Cramerovo pravilo za sistem od dvije linearne jednačine u dvije nepoznate. Za šta? – Na kraju krajeva, najjednostavniji sistem se može riješiti školskom metodom, metodom sabiranja termin po član!

Činjenica je da ponekad, ali ponekad postoji takav zadatak - riješiti sistem od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice koristeći Cramerove formule. Drugo, jednostavniji primjer će vam pomoći da shvatite kako koristiti Cramerovo pravilo za složeniji slučaj - sistem od tri jednačine sa tri nepoznate.

Osim toga, postoje sistemi linearnih jednadžbi sa dvije varijable, koje je preporučljivo riješiti korištenjem Cramerovog pravila!

Razmotrimo sistem jednačina

U prvom koraku izračunavamo determinantu, ona se zove glavna odrednica sistema.

Gaussova metoda.

Ako je , onda sistem ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene moramo izračunati još dvije determinante:
I

U praksi se gore navedeni kvalifikatori mogu označiti i latiničnim slovom.

Korijene jednadžbe pronalazimo pomoću formula:
,

Primjer 7

Riješiti sistem linearnih jednačina

Rješenje: Vidimo da su koeficijenti jednačine prilično veliki na desnoj strani su decimalni razlomci sa zarezom. Zarez je prilično rijedak gost u praktičnim zadacima iz matematike. Ovaj sistem sam preuzeo iz ekonometrijskog problema.

Kako riješiti takav sistem? Možete pokušati izraziti jednu varijablu u terminima druge, ali u ovom slučaju ćete vjerovatno završiti sa strašnim fensi razlomcima s kojima je izuzetno nezgodno raditi, a dizajn rješenja će izgledati jednostavno užasno. Možete pomnožiti drugu jednačinu sa 6 i oduzeti član po član, ali i ovdje će se pojaviti isti razlomci.

sta da radim? U takvim slučajevima u pomoć priskaču Cramerove formule.

;

;

Odgovori: ,

Oba korijena imaju beskonačne repove i nalaze se približno, što je sasvim prihvatljivo (pa čak i uobičajeno) za probleme ekonometrije.

Komentari ovdje nisu potrebni, jer se zadatak rješava pomoću gotovih formula, međutim, postoji jedno upozorenje. Kada koristite ovu metodu, obavezno Fragment dizajna zadatka je sljedeći fragment: “To znači da sistem ima jedinstveno rješenje”. U suprotnom, recenzent vas može kazniti zbog nepoštovanja Cramerove teoreme.

Ne bi bilo suvišno provjeriti, što se zgodno može izvesti na kalkulatoru: zamjenjujemo približne vrijednosti u lijevu stranu svake jednadžbe sistema. Kao rezultat toga, uz malu grešku, trebali biste dobiti brojeve koji su na desnoj strani.

Primjer 8

Odgovor predstaviti u običnim nepravilnim razlomcima. Proveri.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (primjer konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).

Hajdemo dalje da razmotrimo Cramerovo pravilo za sistem od tri jednačine sa tri nepoznanice:

Pronalazimo glavnu odrednicu sistema:

Ako je , onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan (nema rješenja). U ovom slučaju, Cramerovo pravilo neće pomoći;

Ako je , tada sistem ima jedinstveno rješenje i da bismo pronašli korijene moramo izračunati još tri determinante:
, ,

I na kraju, odgovor se izračunava pomoću formula:

Kao što vidite, slučaj „tri po tri“ se u osnovi ne razlikuje od slučaja „dva po dva“ kolona slobodnih pojmova uzastopno „šeta“ s lijeva na desno duž stupaca glavne determinante.

Primjer 9

Riješite sistem koristeći Cramerove formule.

Rješenje: Rešimo sistem koristeći Cramerove formule.

, što znači da sistem ima jedinstveno rješenje.

Odgovori: .

Zapravo, ovdje se opet nema šta posebno komentirati, s obzirom na to da rješenje slijedi gotove formule. Ali ima par komentara.

Dešava se da se kao rezultat proračuna dobiju "loši" nesvodljivi razlomci, na primjer: .
Preporučujem sljedeći algoritam "liječenja". Ako nemate računar pri ruci, uradite ovo:

1) Možda postoji greška u proračunima. Čim naiđete na "loš" razlomak, odmah morate provjeriti Da li je uslov ispravno napisan?. Ako je uslov prepisan bez grešaka, onda morate ponovo izračunati determinante koristeći proširenje u drugom redu (koloni).

2) Ako se ne identifikuju greške kao rezultat provjere, onda je najvjerovatnije došlo do greške u kucanju u uslovima zadatka. U ovom slučaju, mirno i PAŽLJIVO odradite zadatak do kraja, a zatim obavezno provjeri a mi to sastavljamo na čist list nakon odluke. Naravno, provjera razlomaka odgovora je neugodan zadatak, ali će to biti razoružavajući argument za nastavnika, koji zaista voli dati minus za svako sranje poput . Kako postupati s razlomcima detaljno je opisano u odgovoru na primjer 8.

Ako imate računar pri ruci, koristite automatizirani program za provjeru, koji možete besplatno preuzeti na samom početku lekcije. Inače, najisplativije je koristiti program odmah (čak i prije pokretanja rješenja odmah ćete vidjeti međukorak u kojem ste pogriješili); Isti kalkulator automatski izračunava rješenje sistema koristeći matričnu metodu.

Druga primjedba. S vremena na vrijeme postoje sistemi u čijim jednačinama nedostaju neke varijable, na primjer:

Ovdje u prvoj jednačini nema varijable, u drugoj nema varijable. U takvim slučajevima veoma je važno pravilno i PAŽLJIVO zapisati glavnu odrednicu:
– nule se stavljaju na mjesto varijabli koje nedostaju.
Inače, racionalno je otvarati determinante sa nulama prema redu (koloni) u kojem se nula nalazi, jer je primjetno manje proračuna.

Primjer 10

Riješite sistem koristeći Cramerove formule.

Ovo je primjer za samostalno rješenje (uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).

Za slučaj sistema od 4 jednačine sa 4 nepoznate, Cramerove formule se pišu po sličnim principima. Primjer uživo možete vidjeti u lekciji Svojstva determinanti. Smanjenje reda determinante - pet determinanti 4. reda je sasvim rješivo. Iako zadatak već jako podsjeća na profesorsku cipelu na grudima srećnog studenta.

Rješavanje sistema korištenjem inverzne matrice

Metoda inverzne matrice je u suštini poseban slučaj matrična jednačina(Vidi primjer br. 3 navedene lekcije).

Da biste proučavali ovaj odjeljak, morate biti u stanju proširiti determinante, pronaći inverznu vrijednost matrice i izvršiti množenje matrice. Relevantne veze će biti dostupne kako objašnjenja budu napredovala.

Primjer 11

Riješite sistem matričnim metodom

Rješenje: Zapišimo sistem u matričnom obliku:
, Gdje

Molimo pogledajte sistem jednačina i matrica. Mislim da svi razumiju princip po kojem upisujemo elemente u matrice. Jedini komentar: ako neke varijable nedostaju u jednadžbi, onda bi nule morale biti postavljene na odgovarajuća mjesta u matrici.

Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule:
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.

Prvo, pogledajmo determinantu:

Ovdje je determinanta proširena na prvi red.

Pažnja! Ako je , tada inverzna matrica ne postoji i nemoguće je riješiti sistem matričnim metodom. U ovom slučaju sistem se rješava metodom eliminacije nepoznanica (Gaussova metoda).

Sada trebamo izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora

referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva cifra je broj reda u kojem se element nalazi. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi:

To jest, dvostruki indeks označava da se element nalazi u prvom redu, trećem stupcu i, na primjer, element je u 3 reda, 2 stupca

Neka sistem linearnih jednačina sadrži onoliko jednačina koliko je nezavisnih varijabli, tj. izgleda kao

Takvi sistemi linearnih jednačina nazivaju se kvadratnim. Determinanta, sastavljena od koeficijenata za nezavisne varijable sistema (1.5), naziva se glavna determinanta sistema. Označit ćemo ga grčkim slovom D. Dakle,

. (1.6)

Ako glavna determinanta sadrži proizvoljan ( j th) kolonu, zamijenite kolonom slobodnih termina sistema (1.5), onda možete dobiti n pomoćne kvalifikacije:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerovo pravilo rješavanje kvadratnog sistema linearnih jednačina je kako slijedi. Ako je glavna determinanta D sistema (1.5) različita od nule, onda sistem ima jedinstveno rešenje, koje se može naći pomoću formula:

(1.8)

Primjer 1.5. Rešite sistem jednačina koristeći Cramerovu metodu

.

Izračunajmo glavnu determinantu sistema:

Od D¹0 sistem ima jedinstveno rješenje, koje se može pronaći pomoću formula (1.8):

dakle,

Akcije na matrice

1. Množenje matrice brojem. Operacija množenja matrice brojem definirana je na sljedeći način.

2. Da biste matricu pomnožili brojem, potrebno je da pomnožite sve njene elemente ovim brojem. To je

. (1.9)

Primjer 1.6. .

Sabiranje matrice.

Ova operacija je uvedena samo za matrice istog reda.

Da biste dodali dvije matrice, potrebno je elementima jedne matrice dodati odgovarajuće elemente druge matrice:

(1.10)
Operacija sabiranja matrice ima svojstva asocijativnosti i komutativnosti.

Primjer 1.7. .

Množenje matrice.

Ako je broj kolona matrice A poklapa se sa brojem redova matrice IN, tada se za takve matrice uvodi operacija množenja:

2

Dakle, prilikom množenja matrice A dimenzije m´ n na matricu IN dimenzije n´ k dobijamo matricu WITH dimenzije m´ k. U ovom slučaju, elementi matrice WITH izračunavaju se prema sljedećim formulama:

Problem 1.8. Pronađite, ako je moguće, proizvod matrica AB I B.A.:

Rješenje. 1) Da biste pronašli posao AB, potrebni su vam redovi matrice A pomnožiti matričnim stupcima B:

2) Rad B.A. ne postoji, jer je broj stupaca matrice B ne odgovara broju redova matrice A.

Inverzna matrica. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrix A- 1 se naziva inverznom kvadratnom matricom A, ako je jednakost zadovoljena:

gde kroz I označava matricu identiteta istog reda kao i matrica A:

.

Da bi kvadratna matrica imala inverznu, potrebno je i dovoljno da njena determinanta bude različita od nule. Inverzna matrica se nalazi pomoću formule:

, (1.13)

Gdje A ij- algebarski dodaci elementima a ij matrice A(imajte na umu da algebarski dodaci redovima matrice A nalaze se u inverznoj matrici u obliku odgovarajućih kolona).

Primjer 1.9. Pronađite inverznu matricu A- 1 na matricu

.

Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule (1.13), koja je za slučaj n= 3 ima oblik:

.

Hajde da nađemo det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Pošto je determinanta originalne matrice različita od nule, inverzna matrica postoji.

1) Pronađite algebarske komplemente A ij:

Radi lakšeg pronalaženja inverzne matrice, stavili smo algebarske dodatke redovima originalne matrice u odgovarajuće kolone.

Od dobijenih algebarskih sabiraka sastavljamo novu matricu i dijelimo je determinantom det A. Tako dobijamo inverznu matricu:

Kvadratni sistemi linearnih jednadžbi s glavnom determinantom različitom od nule mogu se riješiti korištenjem inverzne matrice. Da bi se to uradilo, sistem (1.5) je napisan u matričnom obliku:

Gdje

Množenje obje strane jednakosti (1.14) s lijeve strane sa A- 1, dobijamo rešenje sistema:

, gdje

Dakle, da biste pronašli rješenje za kvadratni sistem, morate pronaći inverznu matricu glavne matrice sistema i pomnožiti je s desne strane matricom stupaca slobodnih članova.

Problem 1.10. Riješiti sistem linearnih jednačina

koristeći inverznu matricu.

Rješenje. Zapišimo sistem u matričnom obliku: ,

Gdje - glavna matrica sistema, - kolona nepoznatih i - kolona slobodnih termina. Pošto je glavna determinanta sistema , zatim glavna matrica sistema A ima inverznu matricu A-1. Da pronađemo inverznu matricu A-1, izračunavamo algebarske komplemente svim elementima matrice A:

Od dobijenih brojeva sastavit ćemo matricu (i algebarske dodatke redovima matrice A upišite ga u odgovarajuće kolone) i podijelite determinantom D. Tako smo pronašli inverznu matricu:

Rješenje sistema pronalazimo pomoću formule (1.15):

dakle,

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi uobičajenom Jordanovom metodom eliminacije

Neka je dat proizvoljan (ne nužno kvadratni) sistem linearnih jednačina:

(1.16)

Potrebno je pronaći rješenje sistema, tj. takav skup varijabli koji zadovoljava sve jednakosti sistema (1.16). U opštem slučaju, sistem (1.16) može imati ne samo jedno rešenje, već i bezbroj rešenja. Takođe možda nema nikakvih rješenja.

Prilikom rješavanja ovakvih zadataka koristi se poznati školski kurs eliminacije nepoznatih metoda, koji se naziva i obična Jordanova metoda eliminacije. Suština ove metode je da se u jednoj od jednačina sistema (1.16) jedna od varijabli izražava u terminima drugih varijabli. Ova varijabla se zatim zamjenjuje drugim jednadžbama u sistemu. Rezultat je sistem koji sadrži jednu jednačinu i jednu varijablu manje od originalnog sistema. Pamti se jednačina iz koje je varijabla izražena.

Ovaj proces se ponavlja sve dok još jedna posljednja jednačina ne ostane u sistemu. Kroz proces eliminacije nepoznanica, neke jednačine mogu postati pravi identiteti, npr. Takve jednadžbe su isključene iz sistema, jer su zadovoljene za bilo koje vrijednosti varijabli i stoga ne utiču na rješenje sistema. Ako u procesu eliminacije nepoznanica barem jedna jednadžba postane jednakost koja se ne može zadovoljiti ni za jednu vrijednost varijabli (na primjer), onda zaključujemo da sistem nema rješenja.

Ako se tokom rješavanja ne pojave kontradiktorne jednačine, tada se jedna od preostalih varijabli u njemu nalazi iz posljednje jednačine. Ako je u posljednjoj jednačini ostala samo jedna varijabla, onda se ona izražava brojem. Ako druge varijable ostanu u posljednjoj jednadžbi, one se smatraju parametrima, a varijabla izražena kroz njih bit će funkcija ovih parametara. Tada se odvija takozvani „obrnuti pokret“. Pronađena varijabla se zamjenjuje u posljednju zapamćenu jednačinu i pronalazi se druga varijabla. Zatim se dvije pronađene varijable zamjenjuju u pretposljednju memorisanu jednačinu i pronalazi se treća varijabla, i tako dalje, do prve memorisane jednačine.

Kao rezultat dobijamo rešenje sistema. Ovo rješenje će biti jedinstveno ako su pronađene varijable brojevi. Ako prva pronađena varijabla, a zatim i sve ostale, zavise od parametara, tada će sistem imati beskonačan broj rješenja (svaki skup parametara odgovara novom rješenju). Formule koje vam omogućavaju da pronađete rješenje za sistem ovisno o određenom skupu parametara nazivaju se općim rješenjem sistema.

Primjer 1.11.

x

Nakon pamćenja prve jednačine i donoseći slične članove u drugoj i trećoj jednačini dolazimo do sistema:

Hajde da se izrazimo y iz druge jednadžbe i zamijenite je u prvu jednačinu:

Prisjetimo se druge jednačine, a iz prve nalazimo z:

Radeći unazad, stalno nalazimo y I z. Da bismo to učinili, prvo zamjenjujemo posljednju zapamćenu jednačinu, odakle nalazimo y:

.

Zatim ćemo ga zamijeniti u prvu naučenu jednačinu gde ga možemo naći x:

Problem 1.12. Riješite sistem linearnih jednačina eliminacijom nepoznanica:

. (1.17)

Rješenje. Izrazimo varijablu iz prve jednačine x i zamijeni ga u drugu i treću jednačinu:

.

Prisjetimo se prve jednadžbe

U ovom sistemu, prva i druga jednačina su kontradiktorne jedna drugoj. Zaista, izražavanje y , dobijamo da je 14 = 17. Ova jednakost ne vrijedi ni za jednu vrijednost varijabli x, y, And z. Shodno tome, sistem (1.17) je nekonzistentan, tj. nema rješenje.

Pozivamo čitaoce da sami provjere da li je glavna determinanta originalnog sistema (1.17) jednaka nuli.

Razmotrimo sistem koji se od sistema (1.17) razlikuje samo po jednom slobodnom članu.

Problem 1.13. Riješite sistem linearnih jednačina eliminacijom nepoznanica:

. (1.18)

Rješenje. Kao i ranije, izražavamo varijablu iz prve jednačine x i zamijeni ga u drugu i treću jednačinu:

.

Prisjetimo se prve jednadžbe i predstavljaju slične članove u drugoj i trećoj jednačini. Dolazimo do sistema:

Izražavanje y iz prve jednačine i zamjenjujući je u drugu jednačinu , dobijamo identitet 14 = 14, koji ne utiče na rešenje sistema, pa se stoga može isključiti iz sistema.

U posljednjoj zapamćenoj jednakosti, varijabla z smatraćemo to parametrom. Vjerujemo. Onda

Zamenimo y I z u prvu zapamćenu jednakost i pronalazak x:

.

Dakle, sistem (1.18) ima beskonačan broj rješenja, a bilo koje rješenje se može pronaći pomoću formule (1.19), odabirom proizvoljne vrijednosti parametra t:

(1.19)
Dakle, rješenja sistema, na primjer, su sljedeći skupovi varijabli (1; 2; 0), (2; 26; 14) itd. Formule (1.19) izražavaju općenito (bilo koje) rješenje sistema (1.18 ).

U slučaju kada originalni sistem (1.16) ima dovoljno veliki broj jednačina i nepoznanica, naznačena metoda obične Jordanove eliminacije izgleda glomazna. Međutim, to nije tačno. Dovoljno je izvesti algoritam za ponovno izračunavanje sistemskih koeficijenata u jednom koraku u opštem obliku i formalizirati rješenje problema u obliku posebnih Jordanovih tabela.

Neka je dat sistem linearnih oblika (jednačina):

, (1.20)
Gdje x j- nezavisne (tražene) varijable, a ij- konstantni koeficijenti
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Desni delovi sistema y i (i = 1, 2,…, m) mogu biti ili varijable (zavisne) ili konstante. Potrebno je pronaći rješenja za ovaj sistem uklanjanjem nepoznanica.

Razmotrimo sljedeću operaciju, koja se u nastavku naziva “jedan korak običnih Jordanovih eliminacija”. Od proizvoljnog ( r th) jednakost izražavamo proizvoljnu varijablu ( xs) i zamijeniti sve ostale jednakosti. Naravno, to je moguće samo ako a rs¹ 0. Koeficijent a rs naziva se razlučujući (ponekad vodeći ili glavni) element.

Dobićemo sledeći sistem:

. (1.21)

Od s- jednakost sistema (1.21), zatim nalazimo varijablu xs(nakon što se pronađu preostale varijable). S-ti red se pamti i potom isključuje iz sistema. Preostali sistem će sadržavati jednu jednačinu i jednu nezavisnu varijablu manje od originalnog sistema.

Izračunajmo koeficijente rezultujućeg sistema (1.21) kroz koeficijente originalnog sistema (1.20). Počnimo sa r ta jednačina, koja nakon izražavanja varijable xs kroz preostale varijable to će izgledati ovako:

Dakle, novi koeficijenti r jednadžbe se izračunavaju korištenjem sljedećih formula:

(1.23)
Izračunajmo sada nove koeficijente b ij(i¹ r) proizvoljne jednačine. Da bismo to učinili, zamijenimo varijablu izraženu u (1.22) xs V i jednačina sistema (1.20):

Nakon donošenja sličnih uslova, dobijamo:

(1.24)
Iz jednakosti (1.24) dobijamo formule po kojima se izračunavaju preostali koeficijenti sistema (1.21) (s izuzetkom r ta jednačina):

(1.25)
Transformacija sistema linearnih jednačina metodom obične Jordanove eliminacije prikazana je u obliku tabela (matrica). Ove tabele se nazivaju „jordanski stolovi“.

Dakle, problem (1.20) je povezan sa sljedećom Jordanovom tablicom:

Tabela 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		a je		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Jordanova tabela 1.1 sadrži lijevu kolonu zaglavlja u kojoj su upisani desni dijelovi sistema (1.20) i gornji red zaglavlja u koji su upisane nezavisne varijable.

Preostali elementi tabele čine glavnu matricu koeficijenata sistema (1.20). Ako pomnožite matricu A na matricu koja se sastoji od elemenata gornjeg reda naslova, dobijate matricu koja se sastoji od elemenata lijevog stupca naslova. To jest, u suštini, Jordanova tabela je matrični oblik pisanja sistema linearnih jednačina: . Sistem (1.21) odgovara sljedećoj Jordanovoj tabeli:

Tabela 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b je		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Permisivni element a rs Istaknut ćemo ih podebljanim slovima. Podsjetimo da za implementaciju jednog koraka Jordanove eliminacije, element razrješenja mora biti različit od nule. Red tabele koji sadrži omogućavajući element naziva se red za omogućavanje. Stupac koji sadrži element omogućavanja naziva se stupac omogućavanja. Prilikom prelaska sa date na sljedeću tablicu, jedna varijabla ( xs) iz gornjeg reda zaglavlja tabele se pomera u lijevu kolonu zaglavlja i, obrnuto, jedan od slobodnih članova sistema ( y r) se pomiče iz lijevog glavnog stupca tabele u gornji glavni red.

Opišimo algoritam za ponovno izračunavanje koeficijenata pri prelasku iz Jordanove tabele (1.1) u tabelu (1.2), što sledi iz formula (1.23) i (1.25).

1. Razlučujući element je zamijenjen inverznim brojem:

2. Preostali elementi niza za rješavanje podijeljeni su elementom za razrješenje i mijenjaju predznak u suprotan:

3. Preostali elementi stupca rezolucije podijeljeni su na element rezolucije:

4. Elementi koji nisu uključeni u redak i stupac koji dozvoljavaju se ponovo izračunavaju pomoću formula:

Posljednju formulu je lako zapamtiti ako primijetite da su elementi koji čine razlomak , nalaze se na raskrsnici i-oh i r-ti redovi i j th and s th kolone (razrješavajući red, razrješavajući stupac i red i kolona na čijem se presjeku nalazi ponovo izračunati element). Tačnije, prilikom pamćenja formule možete koristiti sljedeći dijagram:

-21 -26 -13 -37

Prilikom izvođenja prvog koraka Jordanovih izuzetaka, možete odabrati bilo koji element iz Tabele 1.3 koji se nalazi u kolonama kao element za rješavanje x 1 ,…, x 5 (svi navedeni elementi nisu nula). Samo nemojte odabrati element za omogućavanje u posljednjoj koloni, jer morate pronaći nezavisne varijable x 1 ,…, x 5. Na primjer, biramo koeficijent 1 sa promenljivom x 3 u trećem redu tabele 1.3 (element omogućavanja je podebljan). Prilikom prelaska na tabelu 1.4, varijabla x 3 iz gornjeg reda zaglavlja zamjenjuje se konstantom 0 lijevog stupca zaglavlja (treći red). U ovom slučaju, varijabla x 3 se izražava kroz preostale varijable.

String x 3 (Tabela 1.4) može se, nakon pamćenja unaprijed, isključiti iz Tabele 1.4. Treća kolona sa nulom u gornjem redu naslova takođe je isključena iz tabele 1.4. Poenta je da bez obzira na koeficijente date kolone b i 3 svi odgovarajući članovi svake jednačine 0 b i 3 sistema će biti jednaka nuli. Stoga ove koeficijente nije potrebno izračunavati. Eliminacija jedne varijable x 3 i sećajući se jedne od jednačina, dolazimo do sistema koji odgovara tabeli 1.4 (sa precrtanom linijom x 3). Odabir u tabeli 1.4 kao element za razrješenje b 14 = -5, idite na tabelu 1.5. U tabeli 1.5 zapamtite prvi red i isključite ga iz tabele zajedno sa četvrtom kolonom (sa nulom na vrhu).

Tabela 1.5 Tabela 1.6

Iz zadnje tabele 1.7 nalazimo: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Dosljedno zamjenjujući već pronađene varijable u zapamćene redove, nalazimo preostale varijable:

Dakle, sistem ima bezbroj rješenja. Varijabilna x 5, mogu se dodijeliti proizvoljne vrijednosti. Ova varijabla djeluje kao parametar x 5 = t. Dokazali smo kompatibilnost sistema i pronašli njegovo generalno rješenje:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Parametar davanja t različitih vrijednosti, dobićemo beskonačan broj rješenja originalnog sistema. Tako, na primjer, rješenje sistema je sljedeći skup varijabli (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Gabriel Kramer je švicarski matematičar, učenik i prijatelj Johanna Bernoullija, jednog od tvoraca linearne algebre.

Cramer je razmatrao sistem proizvoljnog broja linearnih jednadžbi sa kvadratnom matricom. Rešenje sistema je predstavio kao kolonu razlomaka sa zajedničkim nazivnikom – determinantom matrice. Cramerova metoda se zasniva na upotrebi determinanti u rješavanju sistema linearnih jednačina, što može značajno ubrzati proces rješavanja. Ova metoda se može koristiti za rješavanje sistema od onoliko linearnih jednačina koliko ima nepoznatih u svakoj jednačini. Glavna stvar je da determinanta sistema nije jednaka "0", onda se Cramerova metoda može koristiti u rješenju, ako "0" - ova metoda se ne može koristiti. Ova metoda se također može koristiti za rješavanje sistema linearnih jednačina sa jedinstvenim rješenjem.

Cramerova teorema. Ako je determinanta sistema različita od nule, onda sistem linearnih jednačina ima jedno jedinstveno rešenje, a nepoznata je jednaka odnosu determinanti. Imenilac sadrži determinantu sistema, a brojilac sadrži determinantu dobijenu iz determinante sistema zamenom koeficijenata ove nepoznanice slobodnim članovima. Ova teorema vrijedi za sistem linearnih jednačina bilo kojeg reda.

Pretpostavimo da nam je dat SLAE ovog tipa:

\[\left\(\begin(matrica) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(matrica)\desno.\]

Prema Cramerovoj teoremi dobijamo:

Odgovor: \

Gdje mogu riješiti jednačinu koristeći Cramerovu metodu koristeći online rješavač?

Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako i dalje imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek smo sretni da vam pomognemo.

Sa istim brojem jednačina kao i broj nepoznanica sa glavnom determinantom matrice, koja nije jednaka nuli, koeficijenti sistema (za takve jednačine postoji rješenje i postoji samo jedno).

Cramerova teorema. Kada je determinanta matrice kvadratnog sistema različita od nule, to znači da je sistem konzistentan i da ima jedno rešenje i da se može naći kao:

Cramerove formule gdje je Δ -,

Δ determinanta sistemske matrice i i je determinanta matrice sistema, u kojoj umjesto

Kada je determinanta sistema nula, to znači da sistem može postati kooperativan ili nekompatibilan.

Ova metoda se obično koristi za male sisteme sa velikim proračunima i ako je potrebno odrediti jednu od nepoznanica. Složenost metode je u tome što je potrebno izračunati mnoge determinante.

Opis Cramerove metode.

Postoji sistem jednačina:

Sistem od 3 jednačine može se riješiti korištenjem Cramerove metode, o kojoj je gore bilo riječi za sistem od 2 jednačine.

Od koeficijenata nepoznatih sastavljamo determinantu:

Biće sistemska determinanta. Kada D≠0, što znači da je sistem konzistentan. Sada kreirajmo 3 dodatne determinante:

,,

Sistem rješavamo po Kada je determinanta matrice kvadratnog sistema različita od nule, to znači da je sistem konzistentan i da ima jedno rešenje i da se može naći kao:

Primjeri rješavanja sistema jednačina primjenom Cramerove metode.

Primjer 1.

Dati sistem:

Rešimo ga Cramerovom metodom.

Prvo morate izračunati determinantu sistemske matrice:

Jer Δ≠0, što znači da je iz Cramerove teoreme sistem konzistentan i da ima jedno rješenje. Izračunavamo dodatne determinante. Determinanta Δ 1 se dobija iz determinante Δ, zamjenjujući njen prvi stupac kolonom slobodnih koeficijenata. dobijamo:

Na isti način dobijamo determinantu Δ 2 iz determinante sistemske matrice zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih koeficijenata:

Metode Kramer I Gauss- jedna od najpopularnijih metoda rješenja SLAU. Osim toga, u nekim slučajevima je preporučljivo koristiti posebne metode. Sesija je blizu, a sada je vrijeme da ih ponovite ili savladate od nule. Danas ćemo pogledati rješenje korištenjem Cramerove metode. Na kraju krajeva, rješavanje sistema linearnih jednačina korištenjem Cramerove metode je vrlo korisna vještina.

Sistemi linearnih algebarskih jednadžbi

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi je sistem jednadžbi oblika:

Postavljena vrijednost x , u kojem se jednadžbe sistema pretvaraju u identitete, naziva se rješenjem sistema, a I b su realni koeficijenti. Jednostavan sistem koji se sastoji od dvije jednačine sa dvije nepoznate može se riješiti u vašoj glavi ili izražavanjem jedne varijable u terminima druge. Ali u SLAE može biti mnogo više od dvije varijable (xes), a ovdje jednostavne školske manipulacije nisu dovoljne. sta da radim? Na primjer, riješite SLAE koristeći Cramerovu metodu!

Dakle, neka se sistem sastoji od n jednačine sa n nepoznato.

Takav sistem se može prepisati u matričnom obliku

Evo A – glavna matrica sistema, X I B , odnosno matrice kolona nepoznatih varijabli i slobodnih termina.

Rješavanje SLAE-a korištenjem Cramerove metode

Ako determinanta glavne matrice nije jednaka nuli (matrica nije singularna), sistem se može riješiti Cramerovom metodom.

Prema Cramerovoj metodi, rješenje se nalazi pomoću formula:

Evo delta je determinanta glavne matrice, i delta x n-ti – determinanta dobijena iz determinante glavne matrice zamjenom n-te kolone sa kolonom slobodnih članova.

Ovo je cela suština Cramerove metode. Zamjena vrijednosti pronađenih korištenjem gornjih formula x u željeni sistem, uvjereni smo u ispravnost (ili obrnuto) našeg rješenja. Kako bismo vam pomogli da brzo shvatite suštinu, u nastavku dajemo primjer detaljnog rješenja SLAE korištenjem Cramerove metode:

Čak i ako ne uspijete prvi put, nemojte se obeshrabriti! Uz malo vježbe, počet ćete lomiti SLAU kao orahe. Štaviše, sada apsolutno nije potrebno da se bavite notebookom, rešavajući glomazne proračune i zapisujući jezgro. Možete jednostavno riješiti SLAE koristeći Cramerovu metodu na mreži, samo zamjenom koeficijenata u gotov oblik. Možete isprobati online kalkulator rješenja koristeći Cramerovu metodu, na primjer, na ovoj web stranici.

A ako se pokaže da je sistem tvrdoglav i ne odustaje, uvijek se možete obratiti našim autorima za pomoć, na primjer, da. Ako u sistemu ima najmanje 100 nepoznatih, mi ćemo to sigurno riješiti ispravno i na vrijeme!