Matrična metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina

Razmotrimo sistem linearnih jednačina sljedećeg oblika:

$\left\(\begin(array)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(niz)\right. .$

Brojevi $a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ su koeficijenti sistema, brojevi $b_(i) (i=1..n)$ su slobodni termini .

Definicija 1

U slučaju kada su svi slobodni članovi jednaki nuli, sistem se naziva homogenim, inače - nehomogenim.

Svaki SLAE može biti povezan sa nekoliko matrica i sistem se može napisati u takozvanom matričnom obliku.

Definicija 2

Matrica koeficijenata sistema naziva se sistemska matrica i obično se označava slovom $A$.

Stupac slobodnih članova formira vektor stupca, koji se obično označava slovom $B$ i naziva se matrica slobodnih članova.

Nepoznate varijable formiraju vektor kolone, koji se po pravilu označava slovom $X$ i naziva se matrica nepoznatih.

Gore opisane matrice su:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \end(niz)\desno),B=\left(\begin(niz)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \end(niz)\desno),X=\left(\begin(niz)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(niz)\desno).$

Koristeći matrice, SLAE se može prepisati kao $A\cdot X=B$. Takva notacija se često naziva matrična jednačina.

Uopšteno govoreći, bilo koji SLAE se može napisati u matričnom obliku.

Primjeri rješavanja sistema korištenjem inverzne matrice

Primjer 1

Dana SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2) ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(array)\right.$.Write sistem u matričnom obliku.

Rješenje:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1 ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(niz)\desno),B=\left(\begin(niz)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(niz)\desno),X=\left(\begin(niz)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \ kraj (niz)\desno).$

$\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(niz)\desno)\cdot \left(\begin(niz)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \end(niz)\desno)=\left(\begin(niz)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(niz)\ desno)$

U slučaju kada je matrica sistema kvadratna, SLAE može riješiti jednačine na matrični način.

S obzirom na matričnu jednačinu $A\cdot X=B$, možemo izraziti $X$ iz nje na sljedeći način:

$A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$A^(-1) \cdot A=E$ (svojstvo matričnog proizvoda)

$E\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$E\cdot X=X$ (svojstvo matričnog proizvoda)

$X=A^(-1) \cdot B$

Algoritam za rješavanje sistema algebarskih jednadžbi pomoću inverzne matrice:

• zapisati sistem u matričnom obliku;
• izračunati determinantu matrice sistema;
• ako je determinanta sistemske matrice različita od nule, tada nalazimo inverznu matricu;
• rješenje sistema se izračunava po formuli $X=A^(-1) \cdot B$.

Ako matrica sistema ima determinantu koja nije jednaka nuli, onda ovaj sistem ima jedinstveno rješenje koje se može naći na matrični način.

Ako matrica sistema ima determinantu jednaku nuli, onda se ovaj sistem ne može riješiti matričnim metodom.

Primjer 2

Dana SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(array)\right.$ Riješite SLAE koristeći metodu inverzne matrice, ako je moguće.

Rješenje:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \end(niz)\desno),B=\left(\begin(niz)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \end(niz)\desno),X=\left (\begin(niz)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(niz)\desno). $

Pronalaženje determinante matrice sistema:

$\begin(array)(l) (\det A=\left|\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(array)\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(array)$ Kako determinanta nije jednaka nuli, matrica sistema ima inverznu matricu, pa se sistem jednačina može riješiti metodom inverzne matrice. Rezultirajuće rješenje će biti jedinstveno.

Sistem jednačina rješavamo korištenjem inverzne matrice:

$A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\begin(niz)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(niz) \right|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\begin(niz)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(niz) \right|=-(0-3)=3;$

$A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(niz)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(niz )\right|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\begin(niz)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(niz)\ desno|=-(0-6)=6; $

$A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(niz)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(niz) \right|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\begin(niz)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(niz)\ desno|=-(2-0)=-2;$

$A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\begin(niz)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(niz) \right|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\begin(niz)(cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \end(niz) \right|=-(1+3)=-4;$

$A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\begin(niz)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(niz )\right|=2-0=2$

Željena inverzna matrica:

$A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(array)(ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(array)\right)=\frac(1)(26) \cdot \left(\begin(array) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \end(niz)\right )=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ frac(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) ) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\ frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right).$

Pronađite rješenje za sistem:

$X=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1) )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(niz)\desno)\cdot \left(\begin(niz)(c) (26) \\ (52) \\ (52 ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3 )(13) \cdot 52) ​​\\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) \\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) ​​\end(array)\right )=\left(\ begin(niz)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \end(array)\right)=\left (\begin(niz) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(niz)\right)$

$X=\left(\begin(array)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$ - željeno rješenje sistema jednačina.

Razmislite sistem linearnih algebarskih jednadžbi(SLOW) u vezi n nepoznato x 1 , x 2 , ..., x n :

Ovaj sistem u "presavijenom" obliku može se napisati na sljedeći način:

S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.

U skladu sa pravilom množenja matrice, razmatrani sistem linearnih jednačina može se zapisati u matrični oblik ax=b, gdje

Matrix A, čiji su stupci koeficijenti za odgovarajuće nepoznate, a redovi koeficijenti za nepoznate u odgovarajućoj jednačini naziva se sistemska matrica. matrica stupaca b, čiji su elementi pravi dijelovi jednačina sistema, naziva se matrica desnog dijela ili jednostavno desnu stranu sistema. matrica stupaca x , čiji su elementi nepoznate nepoznanice, naziva se sistemsko rešenje.

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi zapisan kao ax=b, je matrična jednačina.

Ako je matrica sistema nedegenerisan, tada ima inverznu matricu, a zatim rješenje sistema ax=b je dato formulom:

x=A -1 b.

Primjer Riješite sistem matrična metoda.

Rješenje naći inverznu matricu za matricu koeficijenata sistema

Izračunajte determinantu proširivanjem na prvi red:

Zbog Δ ≠ 0 , onda A -1 postoji.

Inverzna matrica je ispravno pronađena.

Hajde da nađemo rešenje za sistem

shodno tome, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

pregled:

7. Kronecker-Capelli teorema o kompatibilnosti sistema linearnih algebarskih jednadžbi.

Sistem linearnih jednačina izgleda kao:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Ovdje su dati a i j i b i (i = ; j = ), a x j su nepoznati realni brojevi. Koristeći koncept proizvoda matrica, možemo prepisati sistem (5.1) u obliku:

gdje je A = (a i j) matrica koja se sastoji od koeficijenata nepoznatih sistema (5.1), koja se naziva sistemska matrica, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - vektori stupaca sastavljeni od nepoznatih x j i slobodnih članova b i .

Naručena kolekcija n realni brojevi (c 1 , c 2 ,..., c n) se zove sistemsko rešenje(5.1) ako se kao rezultat zamjene ovih brojeva umjesto odgovarajućih varijabli x 1 , x 2 ,..., x n svaka jednačina sistema pretvara u aritmetički identitet; drugim riječima, ako postoji vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T takav da je AC  B.

Sistem (5.1) se poziva zglob, ili rješivo ako ima barem jedno rješenje. Sistem se zove nespojivo, ili nerastvorljiv ako nema rješenja.

,

formiran dodeljivanjem kolone slobodnih pojmova matrici A na desnoj strani, naziva se prošireni matrični sistem.

Pitanje kompatibilnosti sistema (5.1) rješava se sljedećom teoremom.

Kronecker-Capelli teorema . Sistem linearnih jednačina je konzistentan ako i samo ako se rangovi matrica A i A poklapaju, tj. r(A) = r(A) = r.

Za skup M rješenja sistema (5.1) postoje tri mogućnosti:

1) M =  (u ovom slučaju sistem je nekonzistentan);

2) M se sastoji od jednog elementa, tj. sistem ima jedinstveno rješenje (u ovom slučaju sistem se zove siguran);

3) M se sastoji od više od jednog elementa (tada se sistem zove neizvjesno). U trećem slučaju sistem (5.1) ima beskonačan broj rješenja.

Sistem ima jedinstveno rješenje samo ako je r(A) = n. U ovom slučaju, broj jednačina nije manji od broja nepoznatih (mn); ako je m>n, onda su m-n jednadžbe posljedica ostatka. Ako je 0

Da bi se riješio proizvoljni sistem linearnih jednačina, mora se znati rješavati sistem u kojem je broj jednačina jednak broju nepoznatih, tzv. Sistemi tipa Cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Sistemi (5.3) se rešavaju na jedan od sledećih načina: 1) Gausovom metodom, ili metodom eliminisanja nepoznatih; 2) prema Cramerovim formulama; 3) matričnom metodom.

Primjer 2.12. Istražite sistem jednačina i riješite ga ako je kompatibilan:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Rješenje. Zapisujemo proširenu matricu sistema:

 .

Izračunajmo rang glavne matrice sistema. Očigledno, na primjer, minor drugog reda u gornjem lijevom uglu = 7  0; minori trećeg reda koji ga sadrže jednaki su nuli:

Dakle, rang glavne matrice sistema je 2, tj. r(A) = 2. Za izračunavanje ranga proširene matrice A, razmotrite granični minor

dakle, rang proširene matrice je r(A) = 3. Pošto je r(A)  r(A), sistem je nekonzistentan.

Ovaj online kalkulator rješava sistem linearnih jednačina koristeći matričnu metodu. Dato je vrlo detaljno rješenje. Da biste riješili sistem linearnih jednačina, odaberite broj varijabli. Odaberite metodu za izračunavanje inverzne matrice. Zatim unesite podatke u ćelije i kliknite na dugme "Izračunaj".

×

Upozorenje

Obrisati sve ćelije?

Zatvori Clear

Uputstvo za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimalni brojevi (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora otkucati kao a/b, gdje su a i b cijeli ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.

Matrična metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina

Razmotrimo sljedeći sistem linearnih jednačina:

Uzimajući u obzir definiciju inverzne matrice, imamo A −1 A=E, gdje E je matrica identiteta. Prema tome, (4) se može napisati na sljedeći način:

Dakle, za rješavanje sistema linearnih jednačina (1) (ili (2)), dovoljno je pomnožiti inverzno na A matrica po vektoru ograničenja b.

Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina matričnom metodom

Primjer 1. Riješite sljedeći sistem linearnih jednačina koristeći matričnu metodu:

Nađimo inverznu matricu A Jordan-Gaussovom metodom. Na desnoj strani matrice A napišite matricu identiteta:

Isključimo elemente 1. kolone matrice ispod glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte redove 2,3 sa redom 1, pomnožene sa -1/3, -1/3, respektivno:

Isključimo elemente 2. kolone matrice ispod glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte red 3 sa linijom 2 pomnožen sa -24/51:

Isključimo elemente 2. kolone matrice iznad glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte red 1 sa redom 2, pomnoženo sa -3/17:

Odvojite desnu stranu matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna od A :

Matrični oblik pisanja sistema linearnih jednačina: ax=b, gdje

Izračunati sve algebarske komplemente matrice A:

,

,

,

,

,

gdje A ij − algebarski komplement matričnog elementa A nalazi se na raskrsnici i-ti red i j-ti stupac, a Δ je determinanta matrice A.

Koristeći formulu inverzne matrice, dobijamo:

Servisni zadatak. Koristeći ovaj onlajn kalkulator, nepoznanice (x 1 , x 2 , ..., x n ) se izračunavaju u sistemu jednačina. Odluka je u toku metoda inverzne matrice. pri čemu:

• izračunava se determinanta matrice A;
• algebarskim sabiranjem se pronalazi inverzna matrica A -1;
• kreira se predložak rješenja u Excelu;

Rješenje se provodi direktno na stranici (online) i besplatno je. Rezultati proračuna su prikazani u izvještaju u Word formatu.

Uputstvo. Za dobivanje rješenja metodom inverzne matrice potrebno je specificirati dimenziju matrice. Zatim, u novom dijaloškom okviru, popunite matricu A i vektor rezultata B.

Podsjetimo da je rješenje sistema linearnih jednačina bilo koji skup brojeva (x 1 , x 2 , ..., x n ) čija zamjena u ovaj sistem umjesto odgovarajućih nepoznanica pretvara svaku jednačinu sistema u identitet.
Sistem linearnih algebarskih jednačina obično se piše kao (za 3 varijable): Vidi također Rješenje matričnih jednačina.

Algoritam rješenja

1. Izračunava se determinanta matrice A. Ako je determinanta nula, onda je kraj rješenja. Sistem ima beskonačan broj rješenja.
2. Kada je determinanta različita od nule, inverzna matrica A -1 se nalazi algebarskim sabiranjem.
3. Vektor odluke X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) se dobija množenjem inverzne matrice sa vektorom rezultata B.

Primjer #1. Naći rješenje sistema matričnom metodom. Zapisujemo matricu u obliku:

Algebarski dodaci.

A 1.1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

A 3,2 = (-1) 3+2

2 1 3 2

∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1

·

3

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
pregled:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Primjer #2. Riješite SLAE koristeći metodu inverzne matrice.
2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 1
3x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 = 2
5x1 + 7x2 + 6x3 + 2x4 = 3
4x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 4

Zapisujemo matricu u obliku:

Vektor B:
B T = (1,2,3,4)
Glavna odrednica
Minor za (1,1):

= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Minor za (2,1):

= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Minor za (3,1):

= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Minor za (4,1):

= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
Manja odrednica
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Primjer #4. Napišite sistem jednadžbi u matričnom obliku i riješite pomoću inverzne matrice.
Rješenje :xls

Primjer broj 5. Dat je sistem od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate. Potrebno: 1) pronaći njegovo rješenje koristeći Cramerove formule; 2) zapisati sistem u matričnom obliku i riješiti ga pomoću matričnog računa.
Smjernice. Nakon rješavanja Cramerovom metodom, pronaći dugme "Inverzno matrično rješenje za početne podatke". Dobićete odgovarajuću odluku. Dakle, podaci se neće morati ponovo popunjavati.
Rješenje. Označiti sa A - matrica koeficijenata za nepoznate; X - kolona matrica nepoznatih; B - matrica-kolona slobodnih članova:

-1 3 0 3 -2 1 2 1 -1

Vektor B:
B T =(4,-3,-3)
S obzirom na ove oznake, ovaj sistem jednačina ima sljedeći matrični oblik: A*X = B.
Ako je matrica A nesingularna (njena determinanta nije nula, tada ima inverznu matricu A -1. Množenjem obje strane jednadžbe sa A -1, dobivamo: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A=E.
Ova jednakost se zove matrična notacija rješenja sistema linearnih jednačina. Za pronalaženje rješenja sistema jednačina potrebno je izračunati inverznu matricu A -1 .
Sistem će imati rješenje ako je determinanta matrice A različita od nule.
Nađimo glavnu odrednicu.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
Dakle, determinanta je 14 ≠ 0, pa nastavljamo sa rješenjem. Da bismo to učinili, pronalazimo inverznu matricu putem algebarskih sabiranja.
Neka imamo nesingularnu matricu A:
Računamo algebarske sabirke.

A 1,1 =(-1) 1+1

-2 1 1 -1

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

A 1,2 =(-1) 1+2

3 1 0 -1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

A 1,3 =(-1) 1+3

3 -2 0 1

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

A 2.1 =(-1) 2+1

3 2 1 -1

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

A 2,2 =(-1) 2+2

-1 2 0 -1

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

A 2,3 =(-1) 2+3

-1 3 0 1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

A 3.1 =(-1) 3+1

3 2 -2 1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
·

4

-3

-3

X=1/14

-3))

Glavna odrednica
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
Transponovana matrica
∆ 1,1 =(0 1-(-2 3))=6

A 1,2 =(-1) 1+2

1 3 -1 1

∆ 1,2 =-(1 1-(-1 3))=-4

A 1,3 =(-1) 1+3

1 0 -1 -2

∆ 1,3 =(1 (-2)-(-1 0))=-2

A 2.1 =(-1) 2+1

2 0 -2 1

∆ 2,1 =-(2 1-(-2 0))=-2

A 2,2 =(-1) 2+2

4 0 -1 1

∆ 2,2 =(4 1-(-1 0))=4

A 2,3 =(-1) 2+3

4 2 -1 -2

∆ 2,3 =-(4 (-2)-(-1 2))=6

A 3.1 =(-1) 3+1

2 0 0 3

∆ 3,1 =(2 3-0 0)=6

A 3,2 =(-1) 3+2

4 0 1 3

∆ 3,2 =-(4 3-1 0)=-12

A 3,3 =(-1) 3+3

1/16

6 -4 -2 -2 4 6 6 -12 -2

E=A*A -1 =

(4 6)+(1 (-2))+(-1 6)	(4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12))	(4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2))
(2 6)+(0 (-2))+(-2 6)	(2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12))	(2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2))
(0 6)+(3 (-2))+(1 6)	(0 (-4))+(3 4)+(1 (-12))	(0 (-2))+(3 6)+(1 (-2))

=1/16

16 0 0 0 16 0 0 0 16

A*A -1 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Primjer broj 7. Rješenje matričnih jednačina.
označiti:

A=

3 0 5 2 1 4 -1 3 0

Algebarski dodaci

A 1.1 = (-1) 1+1

1 3 4 0

∆ 1,1 = (1*0 - 4*3) = -12

A 1,2 = (-1) 1+2

0 3 5 0

∆ 1,2 = -(0*0 - 5*3) = 15

A 1,3 = (-1) 1+3

0 1 5 4

∆ 1,3 = (0*4 - 5*1) = -5

A 2,1 = (-1) 2+1

2 -1 4 0

∆ 2,1 = -(2*0 - 4*(-1)) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

3 -1 5 0

∆ 2,2 = (3*0 - 5*(-1)) = 5

A 2,3 = (-1) 2+3

3 2 5 4

∆ 2,3 = -(3*4 - 5*2) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

2 -1 1 3

∆ 3,1 = (2*3 - 1*(-1)) = 7
1/-1

-12	15	-5
-4	5	-2
7	-9	3

= Vektor B:
B T =(31,13,10)

X T =(4.05,6.13,7.54)
x 1 = 158 / 39 = 4,05
x 2 = 239 / 39 = 6,13
x 3 = 294 / 39 = 7,54
Ispitivanje.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10

Primjer broj 9. Označiti sa A - matrica koeficijenata za nepoznate; X - kolona matrica nepoznatih; B - matrica-kolona slobodnih članova:

-2 1 6 1 -1 2 2 4 -3

Vektor B:
B T =(31,13,10)

X T =(5.21,4.51,6.15)
x 1 = 276 / 53 = 5,21
x 2 = 239 / 53 = 4,51
x 3 = 326 / 53 = 6,15
Ispitivanje.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10

Primjer #10. Rješenje matričnih jednačina.
označiti:

Algebarski dodaci
A 11 = (-1) 1 + 1 -3 = -3; A 12 = (-1) 1 + 2 3 = -3; A 21 = (-1) 2 + 1 1 = -1; A 22 = (-1) 2 + 2 2 \u003d 2;
Inverzna matrica A -1 .
1/-9

-3	-3
-1	2

=

1	-2
1	1

odgovor:

X=

1 -2 1 1

6.4. Neke primjene tačkastog proizvoda

11. Izraz skalarnog proizvoda vektora u terminima koordinata faktora. Teorema.

12. Dužina vektora, dužina segmenta, ugao između vektora, uslov okomitosti vektora.

13. Vektorski proizvod vektora, njegova svojstva. Površina paralelograma.

14. Mješoviti proizvod vektora, njegova svojstva. Uvjet vektorske komplanarnosti. Zapremina paralelepipeda. Zapremina piramide.

15. Metode postavljanja prave linije na ravni.

16. Normalna jednačina prave na ravni (derivacija). Geometrijsko značenje koeficijenata.

17. Jednačina prave na ravni u segmentima (zaključak).

Redukcija opšte jednačine ravnine na jednadžbu ravnine u segmentima.

18. Jednačina prave linije u ravni sa nagibom (izlaz).

19. Jednačina prave na ravni koja prolazi kroz dvije tačke (zaključak).

20. Ugao između pravih na ravni (zaključak).

21. Udaljenost od tačke do prave linije na ravni (izlaz).

22. Uvjeti paralelnosti i okomitosti pravih na ravni (zaključak).

23. Jednačina ravnine. Normalna jednadžba ravni (derivacija). Geometrijsko značenje koeficijenata.

24. Jednačina ravnine u segmentima (zaključak).

25. Jednačina ravni koja prolazi kroz tri tačke (izlaz).

26. Ugao između ravnina (izlaz).

27. Udaljenost od tačke do ravni (izlaz).

28. Uvjeti paralelnosti i okomitosti ravni (zaključak).

29. Jednačine prave u r3. Jednačine prave koja prolazi kroz dvije fiksne tačke (derivacija).

30. Kanonske jednadžbe prave u prostoru (derivacija).

Sastavljanje kanonskih jednadžbi prave u prostoru.

Posebni slučajevi kanonskih jednadžbi prave u prostoru.

Kanonske jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke u prostoru.

Prelaz sa kanonskih jednadžbi prave u prostoru na druge tipove jednačina prave linije.

31. Ugao između pravih (izlaz).

32. Udaljenost od tačke do prave linije na ravni (izlaz).

Udaljenost od tačke do prave na ravni - teorija, primjeri, rješenja.

Prvi način za pronalaženje udaljenosti od date tačke do date prave linije na ravni.

Drugi metod, koji vam omogućava da pronađete udaljenost od date tačke do date linije na ravni.

Rješavanje zadataka na pronalaženje udaljenosti od date tačke do date prave linije na ravni.

Udaljenost od tačke do prave u prostoru - teorija, primjeri, rješenja.

Prvi način za pronalaženje udaljenosti od tačke do prave u prostoru.

Druga metoda, koja vam omogućava da pronađete udaljenost od tačke do prave linije u prostoru.

33. Uvjeti paralelnosti i okomitosti pravih u prostoru.

34. Međusobni raspored pravih u prostoru i prave sa ravninom.

35. Klasična jednadžba elipse (derivacija) i njena konstrukcija. Kanonska jednadžba elipse ima oblik gdje su pozitivni realni brojevi, štaviše. Kako izgraditi elipsu?

36. Klasična jednadžba hiperbole (derivacija) i njena konstrukcija. Asimptote.

37. Kanonska jednadžba parabole (derivacija) i konstrukcija.

38. Funkcija. Osnovne definicije. Grafovi osnovnih elementarnih funkcija.

39. Brojčani nizovi. Granica numeričkog niza.

40. Beskonačno male i beskonačno velike količine. Teorema o povezanosti između njih, svojstva.

41. Teoreme o akcijama na varijable koje imaju konačne granice.

42. Broj e.

Sadržaj

Metode za određivanje

Svojstva

Priča

Aproksimacije

43. Definicija granice funkcije. Otkrivanje neizvjesnosti.

44. Izvanredne granice, njihov zaključak. Ekvivalentne beskonačno male količine.

Sadržaj

Prva divna granica

Druga divna granica

45. Jednostrane granice. Kontinuitet i diskontinuiteti funkcije. Jednostrane granice

Lijeva i desna granica funkcije

Tačka diskontinuiteta prve vrste

Tačka diskontinuiteta druge vrste

Prelomna tačka

46. ​​Definicija derivata. Geometrijsko značenje, mehaničko značenje izvedenice. Tangentne i normalne jednadžbe za krivu i tačku.

47. Teoreme o izvodu inverznih kompleksnih funkcija.

48. Derivati ​​najjednostavnijih elementarnih funkcija.

49. Diferencijacija parametarskih, implicitnih i eksponencijalnih funkcija.

21. Diferencijacija implicitnih i parametarski definiranih funkcija

21.1. Implicitna funkcija

21.2. Funkcija definirana parametarski

50. Derivati ​​višeg reda. Taylor formula.

51. Diferencijal. Primjena diferencijala za aproksimativne proračune.

52. Teoreme Rollea, Lagrangea, Cauchyja. L'Hopitalovo pravilo.

53. Teorema o potrebnim i dovoljnim uslovima za monotonost funkcije.

54. Određivanje maksimuma, minimuma funkcije. Teoreme o neophodnim i dovoljnim uslovima za postojanje ekstremuma funkcije.

Teorema (neophodan uslov ekstrema)

55. Konveksnost i konkavnost krivih. Pregibne tačke. Teoreme o neophodnim i dovoljnim uslovima za postojanje prevojnih tačaka.

Dokaz

57. Determinante n-tog reda, njihova svojstva.

58. Matrice i akcije na njima. Matrix rang.

Definicija

Povezane definicije

Svojstva

Linearna transformacija i rang matrice

59. Inverzna matrica. Teorema o postojanju inverzne matrice.

60. Sistemi linearnih jednačina. Matrično rješenje sistema linearnih jednačina. Cramerovo pravilo. Gaussova metoda. Kronecker-Capelli teorema.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi, metode rješenja, primjeri.

Definicije, koncepti, oznake.

Rješenje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.

Rješavanje sistema linearnih jednačina Cramerovom metodom.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Kronecker-Capelli teorema.

Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Zapisivanje opšteg rešenja homogenih i nehomogenih linearnih algebarskih sistema korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.

Rješenje sistema jednačina koje se svode na slough.

Primjeri problema koji se svode na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu je matrica A ima dimenziju n na n a njegova determinanta je različita od nule.

Budući da , onda matrica ALI je invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica. Ako obje strane jednakosti pomnožimo lijevo, dobićemo formulu za pronalaženje matrice stupaca nepoznatih varijabli. Tako smo dobili rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom.

matrična metoda.

Prepišimo sistem jednačina u matričnom obliku:

Jer tada se SLAE može riješiti matričnom metodom. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sistema se može naći kao .

Konstruiramo inverznu matricu koristeći matricu algebarskih komplemenata matričnih elemenata ALI(ako je potrebno, pogledajte metode članka za pronalaženje inverzne matrice):

Ostaje izračunati - matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na matrici-stupcu slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak o operacijama na matricama):

ili u drugom unosu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Glavni problem u pronalaženju rješenja sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom je složenost nalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.

Za detaljniji opis teorije i dodatne primjere pogledajte matričnu metodu članka za rješavanje sistema linearnih jednačina.

Vrh stranice

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da moramo pronaći rješenje za sistem iz n linearne jednadžbe sa n nepoznate varijable determinanta glavne matrice koja se razlikuje od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se u sukcesivnom isključivanju nepoznatih varijabli: prvo, the x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim x 2 od svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok u posljednjoj jednačini ne ostane samo nepoznata varijabla x n. Takav proces transformacije jednadžbi sistema za uzastopno eliminisanje nepoznatih varijabli naziva se direktna Gaussova metoda. Nakon završetka pomjeranja naprijed Gaussove metode, iz posljednje jednačine nalazimo x n, koristeći ovu vrijednost iz pretposljednje jednadžbe se izračunava x n-1, i tako dalje, iz prve jednačine se nalazi x 1 . Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa posljednje jednadžbe sistema na prvu naziva se reverzna Gaussova metoda.

Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Uklonite nepoznatu varijablu x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da biste to uradili, dodajte prvu jednačinu pomnoženu sa drugoj jednačini sistema, dodajte prvu pomnoženu sa trećom jednačinom, i tako dalje, na n-th dodajte prvu jednačinu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik gdje, a .

Do istog rezultata bismo došli da se izrazimo x 1 preko drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i rezultirajući izraz je zamijenjen u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 isključeno iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici

Da biste to uradili, dodajte drugo pomnoženo sa trećoj jednačini sistema, dodajte drugo pomnoženo sa četvrtoj jednačini, i tako dalje, na n-th dodajte drugu jednačinu, pomnoženu sa. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik gdje, a . Dakle, varijabla x 2 isključeno iz svih jednačina, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3 , dok slično postupamo sa dijelom sistema označenim na slici

Dakle, nastavljamo direktni tok Gaussove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnutim tokom Gaussove metode: računamo x n iz posljednje jednačine kao, koristeći dobijenu vrijednost x n naći x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačine.

Riješi sistem linearnih jednačina Gausova metoda.

Uklonite nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, oba dijela druge i treće jednačine dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i sa, respektivno:

Sada eliminišemo iz treće jednačine x 2 , dodavanjem lijevog i desnog dijela druge jednadžbe lijevog i desnog dijela druge jednačine, pomnožene sa:

Na ovome je završen kurs naprijed Gaussove metode, počinjemo obrnuti kurs.

Iz posljednje jednačine rezultirajućeg sistema jednačina nalazimo x 3 :

Iz druge jednačine dobijamo .

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time završavamo obrnuti tok Gaussove metode.

x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Za detaljnije informacije i dodatne primjere pogledajte odjeljak o rješavanju elementarnih sistema linearnih algebarskih jednadžbi pomoću Gaussove metode.

Vrh stranice