Metode i faze matematičkih istraživanja u ekonomiji. Matematičke metode u istraživanju

UVOD ISTRAŽIVANJE DISCIPLINE OPERACIJA I ŠTA RADI

Formiranje operativnog istraživanja kao samostalne grane primijenjene matematike datira iz perioda 40-ih i 50-ih godina. Sledeće decenije i po obeležila je široka primena dobijenih fundamentalnih teorijskih rezultata na različite praktične probleme i preispitivanje potencijalnih mogućnosti teorije koja je s tim povezana. Kao rezultat toga, operativno istraživanje je dobilo obilježja klasične naučne discipline, bez koje je nezamislivo osnovno ekonomsko obrazovanje.

Obraćajući se zadacima i problemima koji su predmet operativnih istraživanja, ne može se ne prisjetiti doprinosa njihovom rješavanju od strane predstavnika nacionalne naučne škole, među kojima je L. V. Kantorovich, koji je 1975. godine postao dobitnik Nobelove nagrade za svoj rad na optimalno korišćenje resursa u privredi.

Početak razvoja operativnog istraživanja kao nauke tradicionalno se vezuje za četrdesete godine dvadesetog veka. Među prvim studijama u ovom pravcu može se nazvati rad L. V. Kantorovicha "Matematičke metode organizacije i planiranja proizvodnje", objavljen 1939. zadaci.

Treba napomenuti da ne postoji kruta, ustaljena i opšteprihvaćena definicija predmeta operativnog istraživanja. Često se prilikom odgovora na ovo pitanje kaže da " operativno istraživanje je skup naučnih metoda za rešavanje problema efikasnog upravljanja organizacionim sistemima.

Druga definicija: Istraživanja operacija - ovo je naučna priprema odluke koja se donosi - ovo je skup metoda predloženih za pripremu i pronalaženje najefikasnijih ili najekonomičnijih rješenja.

Priroda sistema koji se u gornjoj definiciji pojavljuju pod nazivom "organizacioni" može biti veoma različita, a njihovi opšti matematički modeli se koriste ne samo u rešavanju industrijskih i ekonomskih problema, već iu biologiji, sociološkim istraživanjima i drugim praktičnim oblastima. Inače, sam naziv discipline povezan je s korištenjem matematičkih metoda za upravljanje vojnim operacijama.

Unatoč raznolikosti zadataka organizacijskog menadžmenta, prilikom njihovog rješavanja može se izdvojiti određeni opći slijed faza kroz koje prolazi svako operativno istraživanje. Po pravilu, ovo je:

1. Izjava o problemu.

2. Izgradnja smislenog (verbalnog) modela razmatranog objekta (procesa). U ovoj fazi se formalizuje cilj upravljanja objektom, odabir mogućih kontrolnih radnji koje utiču na postizanje formulisanog cilja, kao i opis sistema ograničenja kontrolnih radnji.

3. Konstrukcija matematičkog modela, odnosno prevođenje konstruisanog verbalnog modela u oblik u kojem se može koristiti matematički aparat za njegovo proučavanje.

4. Rješavanje problema formuliranih na osnovu konstruiranog matematičkog modela.

5. Provjera adekvatnosti dobijenih rezultata prirodi sistema koji se proučava, uključujući proučavanje uticaja tzv. vanmodelnih faktora i moguću korekciju originalnog modela.

6. Implementacija dobijenog rješenja u praksi.

Fokus ovog kursa je na pitanjima koja se odnose na četvrtu tačku gornjeg dijagrama. Ovo se radi ne zato što je najvažnije, složeno ili najzanimljivije, već zato što preostale tačke značajno zavise od specifičnosti sistema koji se proučava, zbog čega se ne mogu formulisati univerzalne i smislene preporuke za radnje koje treba sprovesti. u njihovim okvirima..

U najrazličitijim oblastima ljudske delatnosti susreću se zadaci slični jedni drugima: organizacija proizvodnje, vođenje transporta, vojne operacije, raspoređivanje osoblja, telefonska komunikacija itd. Problemi koji se javljaju u ovim oblastima su slični po formulaciji, imaju niz zajedničkih karakteristika i rješavaju se sličnim metodama.

Primjer :

Organizuje se neki svrsishodan događaj (sistem akcija), koji se može organizovati na ovaj ili onaj način. Potrebno je izabrati određeno rješenje iz niza mogućih opcija. Svaka opcija ima prednosti i nedostatke - nije odmah jasno koja je poželjnija. Kako bi se razjasnila situacija i uporedile različite opcije za niz karakteristika, organiziran je niz matematičkih proračuna. Rezultati proračuna pokazuju koja opcija će se zaustaviti.

Matematičko modeliranje u operativnom istraživanju je, s jedne strane, veoma važan i složen proces, as druge strane, proces koji praktično nije podložan naučnoj formalizaciji. Treba napomenuti da su ponovljeni pokušaji da se identifikuju opšti principi za kreiranje matematičkih modela doveli ili do deklarisanja preporuka najopštije prirode, koje je teško primeniti na rešavanje konkretnih problema, ili, obrnuto, do pojave recepata koji su zapravo primjenjivi samo na uski raspon problema. Stoga je korisnije upoznati se s tehnikom matematičkog modeliranja na konkretnim primjerima.

1) Plan nabavke preduzeća.

Postoji veliki broj preduzeća koja koriste različite vrste sirovina; postoji niz resursnih baza. Baze su povezane sa preduzećima raznim sredstvima komunikacije (željeznica, motorna vozila, vodeni, vazdušni saobraćaj). Svaki prevoz ima svoje tarife. Potrebno je izraditi takav plan za snabdijevanje preduzeća sirovinama kako bi se potrebe za sirovinama zadovoljile uz minimalne troškove transporta.

2) Izgradnja dionice autoputa.

Dio željezničke pruge je u izgradnji. Imamo na raspolaganju određenu količinu resursa: ljude, opremu itd. Potrebno je rasporediti radove, rasporediti ljude i opremu duž dionica staze na način da se izgradnja završi u najkraćem mogućem roku.

Proizvodi se određena vrsta proizvoda. Da bi se osigurao visok kvalitet proizvoda, potrebno je organizirati sustav kontrole uzorkovanja: odrediti veličinu kontrolne partije, skup testova, pravila odbijanja itd. Potrebno je osigurati zadani nivo kvaliteta proizvoda uz minimalne troškove kontrole.

4) Vojne operacije.

Cilj u ovom slučaju je uništenje neprijateljskog objekta.

Ovakvi problemi se često susreću u praksi. Imaju zajedničke karakteristike. Svaki zadatak ima cilj - ti ciljevi su slični; postavljeni su određeni uslovi - u okviru ovih uslova mora se doneti odluka da ovaj događaj bude najisplativiji. U skladu sa ovim opštim karakteristikama primenjuju se i opšte metode.

1. OPŠTI POJMOVI

1.1. Svrha i osnovni pojmovi u istraživanju operacija

Operacija - ovo je svaki sistem radnji (događaja), ujedinjen jednim planom i usmjeren ka postizanju nekog cilja. Ovo je upravljani događaj, odnosno od nas zavisi kako ćemo izabrati neke od parametara koji karakterišu njegovu organizaciju.

Svaki konkretan izbor parametara koji zavisi od nas se zove odluka.

Svrha istraživanja operacija je preliminarno kvantitativno opravdanje optimalnih rješenja.

Ti parametri, čija ukupnost čini rješenje, nazivaju se elementi rješenja. Kao elementi rješenja mogu se koristiti različiti brojevi, vektori, funkcije, fizički atributi itd.

Primjer : transport homogenog tereta.

Postoje polazne tačke: I 1 , I 2 , I 3 ,…, I m .

Postoje destinacije: AT 1 , AT 2 , AT 3 ,…, AT n .

Elementi rješenja ovdje će biti brojevi x ij , pokazuje koliko će robe biti poslato od i-te tačke polaska do j-to odredište.

Ukupno ovih brojeva: x 11 , x 12 , x 13 ,…, x 1 m ,…, x n 1 , x n 2 ,…, x nm formira rešenje.

Da bi se različite opcije međusobno uporedile, potrebno je imati neku vrstu kvantitativnog kriterijuma - indikator efikasnosti ( W). Ovaj indikator se zove ciljna funkcija.

Ovaj indikator je odabran tako da odražava ciljnu orijentaciju operacije. Prilikom odabira rješenja nastojimo da ovaj pokazatelj teži maksimumu ili minimumu. Ako je W prihod, onda je W max; i ako je W brzina protoka, onda je W min.

Ako izbor zavisi od slučajnih faktora (vremenske prilike, kvar opreme, fluktuacije ponude i potražnje), tada se kao indikator učinka bira prosječna vrijednost – matematičko očekivanje.

Kao indikator efikasnosti ponekad se bira vjerovatnoća postizanja cilja. Ovdje je svrha operacije praćena slučajnim faktorima i radi po shemi DA-NE.

Da bismo ilustrirali principe odabira indikatora učinka, vratimo se na ranije razmatrane primjere:

1) Plan nabavke preduzeća.

Indikator učinka je vidljiv u cilju. R– broj – troškovi transporta, . U tom slučaju moraju se poštovati sva ograničenja.

2) Izgradnja dionice autoputa.

Slučajni faktori igraju važnu ulogu u problemu. Prosječno očekivano vrijeme završetka izgradnje odabrano je kao indikator učinka.

3) Selektivna kontrola proizvodnje.

Indikator prirodnog učinka koji sugerira izjava problema je prosječan očekivani trošak kontrole po jedinici vremena, pod pretpostavkom da sistem kontroliše postizanje datog nivoa kvaliteta.

U pratnji fizičkog ili matematički modeliranje. Fizičko modeliranje ... rasporeda i njihov naporan studija. Matematički simulacija se izvodi pomoću ... za simulaciju je potrebno učiniti sljedeće operacije: 1. uđite u meni...

Studija integrirajuća i diferencirajuća pojačala zasnovana na op-amp

Laboratorijski rad >> Komunikacije i komunikacije

Rad je eksperimentalan studija svojstva i karakteristike ... ovo je jedna od glavnih matematički operacije i njegova električna implementacija... dB Oscilogrami izlaznih napona pri istraživanja u pulsnom načinu rada: Integrirajuće pojačalo...

Matematički metode u ekonomskoj analizi

Test >> Ekonomsko-matematičko modeliranje

Some Methods matematički programiranje i metode istraživanja operacije, do optimizacijskih aproksimacija - dio metoda matematički programiranje, istraživanja operacije, ekonomska...

Matematički igre kao sredstvo za razvoj logičkog mišljenja

Teza >> Pedagogija

Razvoj logičkog mišljenja. Stavka istraživanja: matematički igre s kojima ... radnje koristeći logičke operacije. Mentalne radnje čine ... praktične komponente rada. Kompleks operacije apstraktno razmišljanje je isprepleteno sa...

Sadržaj članka

MATEMATIČKA ANALIZA, grana matematike koja pruža metode za kvantitativno proučavanje različitih procesa promjena; bavi se proučavanjem brzine promjene (diferencijalni račun) i određivanjem dužina krivih, površina i volumena figura ograničenih zakrivljenim konturama i površinama (integralni račun). Za probleme matematičke analize tipično je da je njihovo rješavanje povezano s pojmom granice.

Početak matematičke analize položili su 1665. I. Newton i (oko 1675.) samostalno G. Leibniz, iako su važne pripremne radove obavili I. Kepler (1571–1630), F. Cavalieri (1598–1647), P. Fermat (1601–1665), J. Wallis (1616–1703) i I. Barrow (1630–1677).

Da bismo prezentaciju učinili živahnijom, pribjegaćemo jeziku grafova. Stoga bi čitatelju moglo biti korisno da prije čitanja ovog članka pogleda članak ANALITIČKA GEOMETRIJA.

DIFERENCIJALNI RAČUN

Tangente.

Na sl. 1 prikazuje fragment krivulje y = 2x – x 2 priloženo između x= –1 i x= 3. Dovoljno mali segmenti ove krive izgledaju pravo. Drugim riječima, ako R je proizvoljna tačka ove krive, onda postoji neka prava linija koja prolazi kroz ovu tačku i predstavlja aproksimaciju krive u malom okruženju tačke R, i što je susjedstvo manje, to je bolja aproksimacija. Takva prava se naziva tangenta na krivu u tački R. Glavni zadatak diferencijalnog računa je da konstruiše opštu metodu koja vam omogućava da pronađete smer tangente u bilo kojoj tački na krivulji u kojoj tangenta postoji. Lako je zamisliti krivinu sa oštrim prekidom (slika 2). Ako R je vrh takvog preloma, onda je moguće konstruisati aproksimirajuću ravnu liniju PT 1 - desno od tačke R i još jedna aproksimirajuća linija RT 2 - lijevo od tačke R. Ali ne postoji jedna linija koja prolazi kroz tačku R, koji se jednako dobro približio krivulji u blizini tačke P i na desnoj i na lijevoj strani, dakle tangenta u tački P ne postoji.

Na sl. 1 tangenta OD provučen kroz ishodište O= (0,0). Nagib ove prave linije je 2, tj. kada se apscisa promijeni za 1, ordinata se povećava za 2. Ako x i y su koordinate proizvoljne tačke na OD, a zatim se udalji od O na daljinu X jedinice na desno, mi se udaljavamo O na 2 y jedinice gore. shodno tome, y/x= 2, ili y = 2x. Ovo je tangentna jednadžba OD do krivine y = 2x – x 2 u tački O.

Sada je potrebno objasniti zašto, iz skupa pravih koje prolaze kroz tačku O, bira se prava linija OD. Koja je razlika između prave linije sa nagibom od 2 i drugih pravih linija? Postoji jedan jednostavan odgovor i teško nam je odoljeti iskušenju da ga damo koristeći analogiju tangente na kružnicu: tangenta OD ima samo jednu zajedničku tačku sa krivom, dok svaka druga ne-vertikalna linija koja prolazi kroz tačku O, dva puta prelazi krivu. Ovo se može provjeriti na sljedeći način.

Od izraza y = 2x – x 2 se može dobiti oduzimanjem X 2 of y = 2x(direktne jednačine OD), zatim vrijednosti y za grafiku je manje znanja y za pravu liniju u svim tačkama, osim u tački x= 0. Dakle, graf je svuda osim tačke O, koji se nalazi ispod OD, a ova prava i graf imaju samo jednu zajedničku tačku. Osim toga, ako y = mx- jednačina neke druge prave linije koja prolazi kroz tačku O, tada moraju postojati dvije točke sjecišta. stvarno, mx = 2x – x 2 ne samo za x= 0, ali i za x = 2 – m. I to samo kada m= 2 obe tačke preseka se poklapaju. Na sl. 3 prikazuje slučaj kada m manje od 2, dakle desno od O postoji druga tačka raskrsnice.

Šta OD je jedina nevertikalna linija koja prolazi kroz tačku O i imaju samo jednu zajedničku tačku sa grafom, što nije njegovo najvažnije svojstvo. Zaista, ako se okrenemo drugim grafovima, uskoro će postati jasno da svojstvo tangente koju smo zabilježili općenito nije zadovoljeno. Na primjer, sa sl. 4 vidi se da je u blizini tačke (1,1) dijagram krive y = x 3 je dobro aproksimirana ravnom linijom RT, koji, međutim, ima više od jedne zajedničke tačke s njim. Međutim, željeli bismo razmotriti RT tangenta na ovaj graf u tački R. Stoga je potrebno pronaći neki drugi način da istaknemo tangentu od onog koji nam je tako dobro poslužio u prvom primjeru.

Pretpostavimo to kroz poentu O i proizvoljna tačka Q = (h,k) na grafu krive y = 2x – x 2 (Sl. 5) nacrtana je prava linija (koja se zove sekansa). Zamjena vrijednosti u jednadžbi krive x = h i y = k, razumemo k = 2h – h 2, dakle, nagib sekanse je jednak

Na vrlo malom h značenje m blizu 2. Štaviše, biranje h dovoljno blizu 0, možemo m proizvoljno blizu 2. Možemo to reći m"ide do granice" jednako 2 kada h teži nuli, ili koja je granica m jednako 2 kada h teži nuli. Simbolično je napisano ovako:

Zatim tangenta na graf u tački O definisana kao prava koja prolazi kroz tačku O, sa nagibom jednakim ovoj granici. Ova definicija tangente je primenljiva u opštem slučaju.

Prednosti ovog pristupa pokazat ćemo još jednim primjerom: naći ćemo nagib tangente na graf krivulje y = 2x – x 2 u proizvoljnoj tački P = (x,y), nije ograničen na najjednostavniji slučaj kada P = (0,0).

Neka Q = (x + h, y + k) je druga tačka na grafu, koja se nalazi na udaljenosti h desno od R(Sl. 6). Potrebno je pronaći koeficijent nagiba k/h secant PQ. Dot Q je na udaljenosti

preko ose X.

Proširujući zagrade, nalazimo:

Oduzimanje od ove jednačine y = 2x – x 2, pronađite vertikalnu udaljenost od tačke R do tačke Q:

Dakle, nagib m secant PQ jednaki

Sad to h teži nuli m teži 2 - 2 x; uzet ćemo zadnju vrijednost za nagib tangente PT. (Isti rezultat će se dobiti ako h uzima negativne vrijednosti, što odgovara izboru tačke Q na lijevoj strani P.) Imajte na umu da za x= 0 rezultat je isti kao i prethodni.

Izraz 2 - 2 x naziva se derivat od 2 x – x 2. U starim danima, derivat se nazivao i "diferencijalni odnos" i "diferencijalni koeficijent". Ako izraz 2 x – x 2 odrediti f(x), tj.

onda se derivacija može označiti

Da bismo saznali nagib tangente na graf funkcije y = f(x) u nekom trenutku potrebno je izvršiti zamjenu fў ( x) vrijednost koja odgovara ovoj tački X. Dakle, nagib f u (0) = 2 for X = 0, f u (0) = 0 for X= 1 i f¢ (2) = –2 at X = 2.

Izvod je takođe označen atў , dy/dx, D x y i Uradi.

Činjenica da je kriva y = 2x – x 2 blizu date tačke se praktično ne razlikuje od svoje tangente u ovoj tački, što nam omogućava da govorimo o nagibu tangente kao o "nagibu krive" u tački kontakta. Dakle, možemo tvrditi da nagib krive koju razmatramo ima nagib od 2 u tački (0,0). x= 0 stopa promjene y relativno x jednako 2. U tački (2,0), nagib tangente (i krive) je -2. (Znak minus znači da kao x varijabla y opada.) U tački (1,1) tangenta je horizontalna. Kažemo krivulja y = 2x – x 2 ima stacionarnu vrijednost u ovoj tački.

Usponi i padovi.

Upravo smo pokazali da je kriva f(x) = 2x – x 2 miruje u tački (1,1). As fў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x), jasno je da kada x, manje od 1, fў ( x) je pozitivan, i stoga y povećava; at x, veliki 1, fў ( x) je negativan, i stoga y smanjuje se. Dakle, u blizini tačke (1,1), prikazane na Sl. 6 pismo M, značenje at raste do tačke M, nepomičan u tački M i opada nakon tačke M. Takva tačka se naziva "maksimum" jer je vrijednost at u ovom trenutku premašuje bilo koju od njegovih vrijednosti u dovoljno malom susjedstvu. Slično, "minimum" je definiran kao tačka oko koje su sve vrijednosti y nadmašuju vrijednost at upravo u ovom trenutku. Takođe se može desiti da iako derivat od f(x) u nekom trenutku i nestane, njegov predznak se ne mijenja u susjedstvu ove tačke. Takva tačka, koja nije ni maksimum ni minimum, naziva se tačka pregiba.

Kao primjer, pronađimo stacionarnu tačku krive

Izvod ove funkcije je

i nestaje na x = 0, X= 1 i X= –1; one. u tačkama (0,0), (1, –2/15) i (–1, 2/15). Ako X onda nešto manje od -1 fў ( x) je negativan; ako X onda nešto više od -1 fў ( x) je pozitivan. Dakle, tačka (–1, 2/15) je maksimum. Slično, može se pokazati da je tačka (1, -2/15) minimum. Ali derivat fў ( x) je negativan i prije tačke (0,0) i poslije nje. Prema tome, (0,0) je prevojna tačka.

Provedena studija o obliku krivulje, kao i činjenici da kriva siječe os X at f(x) = 0 (tj. za X= 0 ili ) omogućava nam da predstavimo njegov graf približno kao što je prikazano na Sl. 7.

Općenito, ako izuzmemo neobične slučajeve (krive koje sadrže segmente pravih linija ili beskonačan broj krivina), postoje četiri opcije za relativni položaj krivulje i tangente u blizini tangentne točke R. (Cm. pirinač. 8, gdje tangenta ima pozitivan nagib.)

1) Sa obe strane tačke R kriva leži iznad tangente (slika 8, a). U ovom slučaju kažemo da je kriva u tački R konveksno prema dolje ili konkavno.

2) Sa obe strane tačke R kriva se nalazi ispod tangente (slika 8, b). U ovom slučaju se kaže da je kriva konveksna prema gore ili jednostavno konveksna.

3) i 4) Kriva se nalazi iznad tangente na jednoj strani tačke R a ispod - na drugoj. U ovom slučaju R- tačka pregiba.

Poređenje vrijednosti fў ( x) sa obe strane R sa svojom vrijednošću u tački R, možete odrediti s kojim od ova četiri slučaja morate imati posla u određenom problemu.

Prijave.

Sve navedeno nalazi značajnu primjenu u raznim oblastima. Na primjer, ako se tijelo baci okomito naviše s početnom brzinom od 200 stopa u sekundi, tada će visina s, na kojoj će se nalaziti kroz t sekundi u odnosu na početnu tačku će biti

Postupajući na isti način kao u primjerima koje smo razmatrali, nalazimo

ova vrijednost nestaje na s. Derivat fў ( x) je pozitivan do c i negativan nakon ovog vremena. shodno tome, s raste na , zatim postaje stacionarno, a zatim opada. Ovo je opći opis kretanja tijela bačenog prema gore. Iz njega saznajemo kada tijelo dostigne svoju najvišu tačku. Dalje, zamena t= 25/4 in f(t), dobijamo 625 stopa, maksimalnu visinu dizanja. U ovom zadatku fў ( t) ima fizičko značenje. Ovaj izvod pokazuje brzinu kojom se tijelo kreće u jednom trenutku t.

Razmotrimo sada drugu vrstu aplikacije (slika 9). Od lista kartona površine 75 cm 2 potrebno je napraviti kutiju s kvadratnim dnom. Koje treba da budu dimenzije ove kutije da bi imala maksimalnu zapreminu? Ako X- strana osnove kutije i h je njegova visina, tada je zapremina kutije jednaka V = x 2 h, a površina je 75 = x 2 + 4xh. Transformacijom jednačine dobijamo:

Derivat od V ispada da je jednaka

i nestaje na X= 5. Onda

i V= 125/2. Funkcija Graf V = (75x – x 3)/4 je prikazano na sl. 10 (negativne vrijednosti X izostavljen jer nema fizičkog značenja u ovom problemu).

Derivati.

Važan zadatak diferencijalnog računa je stvaranje metoda koje vam omogućavaju da brzo i jednostavno pronađete derivate. Na primjer, to je lako izračunati

(Izvod konstante je, naravno, nula.) Nije teško izvesti opšte pravilo:

gdje n- bilo koji cijeli broj ili razlomak. Na primjer,

(Ovaj primjer pokazuje koliko su korisni razlomci eksponenta.)

Evo nekih od najvažnijih formula:

Postoje i sljedeća pravila: 1) ako svaka od dvije funkcije g(x) i f(x) ima izvode, onda je izvod njihovog zbira jednak zbiru izvoda ovih funkcija, a izvod razlike je jednak razlici izvoda, tj.

2) derivacija proizvoda dvije funkcije izračunava se po formuli:

3) derivacija odnosa dve funkcije ima oblik

4) izvod funkcije pomnozen konstantom jednak je konstanti pomnozenoj sa izvodom ove funkcije, tj.

Često se dešava da se vrijednosti funkcije moraju izračunati u fazama. Na primjer, za izračunavanje grijeha x 2, prvo moramo pronaći u = x 2 , a zatim već izračunajte sinus broja u. Izvod takvih složenih funkcija nalazimo koristeći takozvano "pravilo lanca":

U našem primjeru f(u) = grijeh u, fў ( u) = cos u, Shodno tome,

Ova i druga slična pravila omogućavaju da se odmah zapišu derivati ​​mnogih funkcija.

Linearne aproksimacije.

Činjenica da, poznavajući derivaciju, u mnogim slučajevima možemo zamijeniti graf funkcije blizu neke tačke njenom tangentom u toj tački, od velike je važnosti, jer je s pravim linijama lakše raditi.

Ova ideja nalazi izravnu primjenu u izračunavanju približnih vrijednosti funkcija. Na primjer, prilično je teško izračunati vrijednost za x= 1.033. Ali možete iskoristiti činjenicu da je broj 1,033 blizu 1 i to . zatvori x= 1 možemo zamijeniti graf tangentne krive bez ikakve ozbiljne greške. Nagib takve tangente jednak je vrijednosti derivacije ( x 1/3)ŭ = (1/3) x–2/3 za x = 1, tj. 1/3. Budući da tačka (1,1) leži na krivulji i da je nagib tangente na krivu u ovoj tački 1/3, tangentna jednačina ima oblik

Na ovoj pravoj liniji X = 1,033

Primljena vrijednost y treba da bude veoma blizu pravoj vrednosti y; i, zaista, samo je 0,00012 više od pravog. U matematičkoj analizi razvijene su metode koje omogućavaju poboljšanje tačnosti takvih linearnih aproksimacija. Ove metode osiguravaju pouzdanost naših približnih proračuna.

Upravo opisana procedura sugerira jednu korisnu notaciju. Neka P- tačka koja odgovara grafu funkcije f varijabla X, i neka funkcija f(x) je diferencibilan. Promijenimo dijagram krive blizu tačke R tangenta na nju u toj tački. Ako X promijeniti u vrijednost h, tada će se tangentna ordinata promijeniti za vrijednost h H f ў ( x). Ako h vrlo mala, onda je potonja vrijednost dobra aproksimacija pravoj promjeni ordinate y grafika. Ako umjesto toga h napisaćemo lik dx(ovo nije proizvod!), već promjena ordinate y označiti dy, onda dobijamo dy = f ў ( x)dx, ili dy/dx = f ў ( x) (cm. pirinač. jedanaest). Stoga, umjesto Dy ili f ў ( x) za označavanje derivata često se koristi simbol dy/dx. Pogodnost ove notacije zavisi uglavnom od eksplicitnog izgleda pravila lanca (diferencijacije složene funkcije); u novoj notaciji ova formula izgleda ovako:

gde se podrazumeva da at zavisi od u, a u zauzvrat zavisi od X.

Vrijednost dy zove diferencijal at; zapravo zavisi od dva varijable, i to: from X i inkrementi dx. Kada se povećava dx vrlo mala, veličina dy je blizu odgovarajuće promjene vrijednosti y. Ali pretpostavimo da je prirast dx malo, nema potrebe.

Derivat funkcije y = f(x) označili smo f ў ( x) ili dy/dx. Često je moguće uzeti derivat izvedenice. Rezultat se naziva drugi derivat od f (x) i označeno f ўў ( x) ili d 2 y/dx 2. Na primjer, ako f(x) = x 3 – 3x 2, dakle f ў ( x) = 3x 2 – 6x i f ўў ( x) = 6x– 6. Slična notacija se koristi za derivate višeg reda. Međutim, da bi se izbjegao veliki broj prostih brojeva (jednaki redoslijedu izvoda), četvrti izvod (na primjer) može se napisati kao f (4) (x), i derivat n th red as f (n) (x).

Može se pokazati da je kriva u nekoj tački konveksna naniže ako je drugi izvod pozitivan, a naviše konveksan ako je drugi izvod negativan.

Ako funkcija ima drugi izvod, tada se mijenja vrijednost y odgovara inkrementu dx varijabla X, može se približno izračunati po formuli

Ova aproksimacija je općenito bolja od one koju daje diferencijal fў ( x)dx. To odgovara zamjeni dijela krivulje nije više prava linija, već parabola.

Ako funkcija ima f(x) onda postoje derivati ​​višeg reda

Ostatak termina ima oblik

gdje x- neki broj između x i x + dx. Gornji rezultat naziva se Taylor formula s ostatkom. Ako f(x) ima derivate svih redova, tada obično R n® 0 for n ® Ґ .

INTEGRALNI RAČUN

Kvadrati.

Proučavanje područja krivolinijskih ravnih figura otvara nove aspekte matematičke analize. Takve probleme pokušavali su riješiti čak i stari Grci, za koje je određivanje, na primjer, površine kruga bio jedan od najtežih zadataka. Veliki uspeh u rešavanju ovog problema postigao je Arhimed, koji je takođe uspeo da pronađe površinu paraboličnog segmenta (slika 12). Koristeći veoma složeno rezonovanje, Arhimed je dokazao da je površina paraboličnog segmenta 2/3 površine opisanog pravougaonika i stoga je u ovom slučaju jednaka (2/3)(16) = 32/ 3. Kao što ćemo kasnije vidjeti, ovaj rezultat se lako može dobiti metodama matematičke analize.

Prethodnici Newtona i Leibniza, uglavnom Kepler i Cavalieri, rješavali su probleme izračunavanja površina krivolinijskih figura metodom koja se teško može nazvati logički ispravnom, ali koja se pokazala izuzetno plodnom. Kada je Wallis 1655. spojio metode Keplera i Cavalierija sa Dekartovim (analitička geometrija) i iskoristio novonastalu algebru, faza za pojavu Newtona bila je potpuno pripremljena.

Wallis je podijelio lik, čiju je površinu trebalo izračunati, na vrlo uske trake, od kojih se svaka približno smatrala pravokutnikom. Zatim je sabrao površine aproksimirajućih pravougaonika i, u najjednostavnijim slučajevima, dobio vrijednost kojoj je težio zbir površina pravokutnika kada je broj traka otišao u beskonačnost. Na sl. 13 prikazuje pravokutnike koji odgovaraju nekom prugastom području ispod krive y = x 2 .

Glavna teorema.

Veliko otkriće Newtona i Leibniza omogućilo je eliminaciju napornog procesa prelaska do granice zbira površina. To je učinjeno zahvaljujući novom pogledu na koncept područja. Suština je da bismo trebali predstaviti površinu ispod krivulje kako je generirana ordinatom koja se kreće s lijeva na desno i pitati koliko se brzo mijenja područje koje su ordinate prekrivene. Ključ za odgovor na ovo pitanje dobijamo ako razmotrimo dva posebna slučaja u kojima je područje unaprijed poznato.

Počnimo s površinom ispod grafa linearne funkcije y = 1 + x, jer se u ovom slučaju površina može izračunati pomoću elementarne geometrije.

Neka A(x) je dio ravni zatvoren između prave y = 1 + x i segment OQ(Sl. 14). Tokom vožnje QP desni kvadrat A(x) povećava. kojom brzinom? Nije teško odgovoriti na ovo pitanje, jer znamo da je površina trapeza jednaka umnošku njegove visine i polovine zbira baza. shodno tome,

Stopa promjene područja A(x) određena je njegovom derivacijom

Vidimo to Aў ( x) poklapa se sa ordinatom at bodova R. Je li to slučajno? Pokušajmo provjeriti parabolu prikazanu na sl. 15. Kvadrat A (x) ispod parabole at = X 2 u rasponu od 0 do X je jednako A(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x 3/3. Brzina promjene ove površine određena je izrazom

koja se tačno poklapa sa ordinatom at pokretna tačka R.

Pod pretpostavkom da ovo pravilo važi u opštem slučaju, tako da

je stopa promjene površine ispod grafa funkcije y = f(x), onda se ovo može koristiti za proračune drugih područja. Zapravo, omjer Aў ( x) = f(x) izražava temeljnu teoremu koja bi se mogla formulirati na sljedeći način: derivacija ili brzina promjene površine kao funkcija X, jednako je vrijednosti funkcije f (x) u tački X.

Na primjer, da biste pronašli područje ispod grafa funkcije y = x 3 od 0 do X(Sl. 16), postavljamo

Mogući odgovor glasi:

budući da je derivat od X 4/4 je zaista jednako X 3 . osim toga, A(x) je nula za X= 0, kako bi trebalo biti ako A(x) je zaista područje.

U matematičkoj analizi je dokazano da nema drugog odgovora osim gornjeg izraza za A(x), ne postoji. Pokažimo da je ova izjava uvjerljiva koristeći sljedeće heurističko (nerigorozno) rezonovanje. Pretpostavimo da postoji neko drugo rješenje AT(x). Ako A(x) i AT(x) „start” istovremeno od nulte vrijednosti na X= 0 i stalno se mijenjaju istom brzinom, onda se njihove vrijednosti nikada neće X ne može postati drugačiji. Moraju se poklapati svuda; stoga postoji jedinstveno rješenje.

Kako možete opravdati odnos Aў ( x) = f(x) Uglavnom? Na ovo pitanje se može odgovoriti samo proučavanjem stope promjene površine kao funkcije X Uglavnom. Neka m- najmanja vrijednost funkcije f (x) u intervalu od X prije ( x + h), a M je najveća vrijednost ove funkcije u istom intervalu. Zatim povećanje površine nakon prolaska iz X do ( x + h) mora biti zatvoren između površina dva pravougaonika (slika 17). Osnove oba pravougaonika su jednake h. Manji pravougaonik ima visinu m i područje mh, veći, respektivno, M i Mh. Na parceli površine vs. X(Sl. 18) može se vidjeti da kada se apscisa promijeni u h, vrijednost ordinate (tj. površine) se povećava za iznos između mh i Mh. Nagib sekanse u ovom grafu je između m i M. šta se dešava kada h ide na nulu? Ako je graf funkcije y = f(x) je kontinuiran (tj. ne sadrži diskontinuitete), onda M, i m Nastojati f(x). Dakle, nagib Aў ( x) graf površine u funkciji od X jednaki f(x). To je bio zaključak do kojeg je trebalo doći.

Leibniz je predložio područje ispod krivulje y = f(x) od 0 do a oznaka

S rigoroznim pristupom, ovaj takozvani definitivni integral mora se definirati kao granica određenih suma na Wallisov način. S obzirom na gore dobiveni rezultat, jasno je da se ovaj integral izračunava pod uvjetom da možemo pronaći takvu funkciju A(x), koji nestaje kada X= 0 i ima izvod Aў ( x) jednak f (x). Pronalaženje takve funkcije obično se naziva integracijom, iako bi bilo prikladnije nazvati ovu operaciju antidiferencijacijom, što znači da je ona u određenom smislu inverzna diferencijaciji. U slučaju polinoma, integracija je laka. Na primjer, ako

što je lako provjeriti diferenciranjem A(x).

Za izračunavanje površine I 1 ispod krive y = 1 + x + x 2 /2 zatvoreno između ordinata 0 i 1, jednostavno pišemo

i zamenom X= 1, dobijamo A 1 = 1 + 1 / 2 + 1 / 6 = 5 / 3. Područje A(x) od 0 do 2 je A 2 = 2 + 4 / 2 + 8 / 6 = 16 / 3. Kao što se može vidjeti sa sl. 19, područje zatvoreno između ordinata 1 i 2 je A 2 – A 1 = 11 / 3. Obično se piše kao određeni integral

Volume.

Slično razmišljanje čini iznenađujuće jednostavnim izračunavanje volumena tijela okretanja. Pokažimo to na primjeru izračunavanja zapremine lopte, još jednog klasičnog problema koji su stari Grci, koristeći im poznate metode, s velikom mukom uspjeli riješiti.

Zarotirajmo dio ravnine zatvoren unutar četvrtine kruga polumjera r, pod uglom od 360° oko ose X. Kao rezultat, dobijamo hemisferu (slika 20), čiji volumen označavamo V(x). Potrebno je odrediti stopu po kojoj se V(x) sa povećanjem x. Idem iz X to X + h, lako je provjeriti da je prirast volumena manji od volumena str(r 2 – x 2)h kružni cilindar radijusa i visine h, i više od jačine zvuka str[r 2 – (x + h) 2 ]h radijus i visina cilindra h. Dakle, na grafu funkcije V(x) nagib sekansa je zatvoren između str(r 2 – x 2) i str[r 2 – (x + h) 2 ]. Kada h teži nuli, nagib teži

At x = r dobijamo

za zapreminu hemisfere, pa prema tome 4 p r 3/3 za volumen cijele lopte.

Slična metoda omogućava pronalaženje dužina krivih i površina zakrivljenih površina. Na primjer, ako a(x) – dužina luka PR na sl. 21, onda je naš zadatak da izračunamo aў( x). Na heurističkom nivou koristićemo tehniku ​​koja nam omogućava da ne pribegnemo uobičajenom prolazu do granice, što je neophodno za rigorozni dokaz rezultata. Pretpostavimo da je stopa promjene funkcije a(x) u tački R isto kao što bi bilo kada bi krivulju zamijenila njena tangenta PT u tački P. Ali sa Sl. 21 je direktno vidljiv pri iskoračenju h desno ili lijevo od tačke X zajedno RT značenje a(x) mijenja u

Dakle, brzina promjene funkcije a(x) je

Da pronađe samu funkciju a(x), potrebno je samo integrirati izraz na desnoj strani jednakosti. Ispostavilo se da je integracija prilično teška za većinu funkcija. Stoga je razvoj metoda integralnog računanja veliki dio matematičke analize.

Primitive.

Svaka funkcija čiji je izvod jednak datoj funkciji f(x), naziva se antiderivativnim (ili primitivnim) za f(x). Na primjer, X 3/3 - antiderivat za funkciju X 2 jer ( x 3 /3)ŭ = x 2. Naravno X 3/3 nije jedini antiderivat funkcije X 2 jer x 3 /3 + C je također derivat za X 2 za bilo koju konstantu OD. Međutim, u onome što slijedi slažemo se da izostavimo takve aditivne konstante. Uglavnom

gdje n je pozitivan cijeli broj, budući da ( x n + 1/(n+ 1))ŭ = x n. Relacija (1) je zadovoljena u još generalnijem smislu ako n zamijeniti bilo kojim racionalnim brojem k, osim -1.

Proizvoljna antiderivativna funkcija za datu funkciju f(x) se obično naziva neodređenim integralom f(x) i označimo ga kao

Na primjer, budući da (grijeh x)ŭ = cos x, formula

U mnogim slučajevima kada postoji formula za neodređeni integral date funkcije, ona se može naći u brojnim široko objavljenim tabelama neodređenih integrala. Integrali elementarnih funkcija su tabelarni (obuhvataju stepene, logaritme, eksponencijalnu funkciju, trigonometrijske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije, kao i njihove konačne kombinacije dobijene sabiranjem, oduzimanjem, množenjem i deljenjem). Uz pomoć tabelarnih integrala, integrali se mogu izračunati i iz složenijih funkcija. Postoji mnogo načina za izračunavanje neodređenih integrala; najčešća od njih je varijabilna supstitucija ili supstitucijska metoda. Sastoji se u tome da ako želimo zamijeniti u neodređenom integralu (2) x na neku diferencijabilnu funkciju x = g(u), tada je neophodno da se integral ne bi promijenio x zamijenjen sa gў ( u)du. Drugim riječima, jednakost

(zamjena 2 x = u, odakle 2 dx = du).

Predstavimo još jedan metod integracije – metod integracije po dijelovima. Zasnovan je na dobro poznatoj formuli

Nakon integracije lijeve i desne strane, i vodeći računa o tome

Ova formula se zove formula integracije po dijelovima.

Primjer 2. Treba pronaći . Pošto cos x= (grijeh x)ŭ , možemo to napisati

Iz (5), pod pretpostavkom u = x i v= grijeh x, dobijamo

I pošto (-cos x)ŭ = greh x nalazimo da i

Treba naglasiti da smo se ograničili na vrlo kratak uvod u vrlo opsežnu temu, u kojoj su se nakupile brojne duhovite trikove.

Funkcije dvije varijable.

Zbog krivine y = f(x), razmotrili smo dva problema.

1) Pronađite nagib tangente na krivu u datoj tački. Ovaj problem se rješava izračunavanjem vrijednosti derivata fў ( x) u datoj tački.

2) Pronađite površinu ispod krive iznad segmenta ose X omeđen vertikalnim linijama X = a i X = b. Ovaj problem se rješava izračunavanjem određenog integrala.

Svaki od ovih problema ima analogiju u slučaju površine z = f(x,y).

1) Pronađite ravan tangente na površinu u datoj tački.

2) Pronađite zapreminu ispod površine iznad dela ravnine hu, ograničena kriva OD, a sa strane - okomito na ravan xy prolazeći kroz tačke granične krive OD (cm. pirinač. 22).

Sljedeći primjeri pokazuju kako se ovi problemi rješavaju.

Primjer 4. Pronađite tangentnu ravan na površinu

u tački (0,0,2).

Ravan je definisana ako su date dve prave koje se u njoj seku. Jedan od ovih redova l 1) ući ćemo u avion xz (at= 0), sekunda ( l 2) - u avionu yz (x = 0) (cm. pirinač. 23).

Prije svega, ako at= 0, onda z = f(x,0) = 2 – 2x – 3x 2. Derivat u odnosu na X, označeno fў x(x,0) = –2 – 6x, at X= 0 ima vrijednost -2. Pravo l 1 dat jednadžbama z = 2 – 2x, at= 0 - tangenta na OD 1, linije presjeka površine sa ravninom at= 0. Slično, ako X= 0, onda f(0,y) = 2 – y – y 2 , i izvod u odnosu na at ima oblik

As fў y(0,0) = -1, kriva OD 2 - linija presjeka površine sa ravninom yz- ima tangentu l 2 dat jednadžbama z = 2 – y, X= 0. Željena tangentna ravan sadrži obe prave l 1 i l 2 i zapisuje se jednadžbom

Ovo je jednadžba ravnine. Osim toga, dobijamo direktno l 1 i l 2, uz pretpostavku, respektivno, at= 0 i X = 0.

Činjenica da jednačina (7) zaista definira tangentnu ravan može se provjeriti na heurističkom nivou ako primijetite da ova jednačina sadrži članove prvog reda koji se pojavljuju u jednačini (6), a da se članovi drugog reda mogu predstaviti kao -. Pošto je ovaj izraz negativan za sve vrijednosti X i at, Osim toga X = at= 0, površina (6) leži ispod ravni (7) svuda, osim tačke R= (0,0,0). Možemo reći da je površina (6) u tački konveksna prema gore R.

Primjer 5. Pronađite tangentnu ravan na površinu z = f(x,y) = x 2 – y 2 na početku 0.

Na površini at= 0 imamo: z = f(x,0) = x 2 i fў x(x,0) = 2x. On OD 1 , raskrsnice, z = x 2. U tački O nagib je fў x(0,0) = 0. Na ravni X= 0 imamo: z = f(0,y) = –y 2 i fў y(0,y) = –2y. On OD 2 , linije ukrštanja, z = –y 2. U tački O nagib krivine OD 2 jednako fў y(0,0) = 0. Pošto su tangente na OD 1 i OD 2 su sjekire X i at, tangentna ravan koja ih sadrži je ravan z = 0.

Međutim, u blizini ishodišta, naša površina nije na istoj strani tangentne ravni. Zaista, kriva OD 1 leži iznad tangentne ravni svuda, osim tačke 0 i krive OD 2 - odnosno ispod njega. Površina siječe tangentnu ravan z= 0 u ravnim linijama at = X i at = –X. Za takvu površinu se kaže da ima tačku sedla u početku (slika 24).

Privatni derivati.

U prethodnim primjerima koristili smo derivate od f (x,y) uključeno X i po at. Razmotrimo sada takve derivate na opštiji način. Ako imamo funkciju od dvije varijable, npr. F(x,y) = x 2 – xy, tada možemo odrediti u svakoj tački dva njena "parcijalna izvoda", jedan - diferenciranjem funkcije s obzirom na X i fiksiranje at, i razlikovanje drugog u odnosu na at i fiksiranje X. Prvi od ovih derivata se označava kao fў x(x,y) ili ¶ f/¶ x; drugo je kako f f y. Ako oba mješovita derivata (od X i at, on at i X) su kontinuirani, onda ¶ 2 f/¶ x¶ y= ¶ 2 f/¶ y¶ x; u našem primjeru ¶ 2 f/¶ x¶ y= ¶ 2 f/¶ y¶ x = –1.

Parcijalni derivat fў x(x,y) označava brzinu promjene funkcije f u tački ( x,y) u pravcu povećanja X, a fў y(x,y) je stopa promjene funkcije f u uzlaznom pravcu at. Brzina promjene funkcije f u tački ( X,at) u pravcu prave linije koja čini ugao q sa pozitivnim smjerom ose X, naziva se derivacija funkcije f prema; njegova vrijednost je kombinacija dva parcijalna izvoda funkcije f u tangentnoj ravni je skoro jednak (za male dx i dy) istinska promjena z na površini, ali je izračunavanje diferencijala obično lakše.

Formula koju smo već razmatrali iz metode promjene promjenljive, poznate kao izvod kompleksne funkcije ili pravilo lanca, u jednodimenzionalnom slučaju, kada at zavisi od X, a X zavisi od t, izgleda kao:

Za funkcije dvije varijable, slična formula ima oblik:

Koncepti i notacije parcijalne diferencijacije mogu se lako generalizirati na više dimenzije. Posebno, ako je površina data implicitno jednadžbom f(x,y,z) = 0, jednadžbi tangentne ravnine na površinu može se dati simetričniji oblik: jednačina tangentne ravnine u tački ( x(x 2 /4)], zatim integriše preko X od 0 do 1. Konačan rezultat je 3/4.

Formula (10) se može tumačiti i kao tzv. dvostruki integral, tj. kao granica zbira volumena elementarnih "ćelija". Svaka takva ćelija ima bazu D x D y i visina jednaka visini površine iznad neke tačke pravougaone osnove ( cm. pirinač. 26). Može se pokazati da su oba gledišta na formulu (10) ekvivalentna. Dvostruki integrali se koriste za pronalaženje centara gravitacije i brojnih momenata koji se susreću u mehanici.

Rigoroznije opravdanje matematičkog aparata.

Do sada smo predstavili koncepte i metode matematičke analize na intuitivnom nivou i bez oklijevanja pribjegavamo geometrijskim figurama. Ostaje nam da ukratko razmotrimo rigoroznije metode koje su se pojavile u 19. i 20. veku.

Početkom 19. vijeka, kada je završila era juriša i juriša u "stvaranju matematičke analize", u prvi plan izbijaju pitanja njene opravdanosti. U radovima Abela, Cauchyja i niza drugih istaknutih matematičara, pojmovi "granične", "kontinuirane funkcije", "konvergentnog niza" su precizno definisani. To je bilo neophodno kako bi se uveo logički red u osnovu matematičke analize kako bi ona postala pouzdan alat za istraživanje. Potreba za temeljnim opravdanjem postala je još očiglednija nakon što je Weierstrass 1872. otkrio funkcije koje su svuda neprekidne, ali nigdje ne diferencirane (graf takvih funkcija ima prekid u svakoj tački). Ovaj rezultat je ostavio zapanjujući utisak na matematičare, jer je bio u suprotnosti sa njihovom geometrijskom intuicijom. Još upečatljiviji primjer nepouzdanosti geometrijske intuicije bila je kontinuirana kriva koju je konstruirao D. Peano, a koja u potpunosti ispunjava određeni kvadrat, tj. prolazeći kroz sve njegove tačke. Ova i druga otkrića oživjela su program "aritmetizacije" matematike, tj. čineći ga pouzdanijim potkrepljujući sve matematičke pojmove uz pomoć pojma broja. Gotovo puritansko uzdržavanje od vizualizacije u radovima o osnovama matematike imalo je svoje istorijsko opravdanje.

Prema modernim kanonima logičke strogosti, neprihvatljivo je govoriti o površini ispod krivulje y = f(x) i iznad segmenta ose X, čak f je kontinuirana funkcija, bez prethodnog utvrđivanja tačnog značenja pojma "područje" i bez utvrđivanja da ovako definirano područje zaista postoji. Ovaj problem je 1854. godine uspješno riješio B. Riemann, koji je dao preciznu definiciju pojma određenog integrala. Od tada, ideja sumiranja iza koncepta određenog integrala bila je predmet mnogih dubokih istraživanja i generalizacija. Kao rezultat toga, danas je moguće dati značenje određenom integralu, čak i ako je integrand svuda diskontinuiran. Novi koncepti integracije, čijem stvaranju su A. Lebesgue (1875–1941) i drugi matematičari dali veliki doprinos, povećali su snagu i ljepotu moderne matematičke analize.

Teško da bi bilo prikladno ulaziti u detalje svih ovih i drugih koncepata. Ograničavamo se na davanje rigoroznih definicija granice i definitivnog integrala.

U zaključku, recimo da matematička analiza, kao izuzetno vrijedan alat u rukama naučnika i inženjera, i danas privlači pažnju matematičara kao izvor plodonosnih ideja. Istovremeno, čini se da savremeni razvoj ukazuje na to da je matematička analiza sve više apsorbovana od strane takvih dominantnih u 20. veku. grane matematike poput apstraktne algebre i topologije.

Uporedimo metodologiju primene matematike u praktičnim istraživanjima sa metodologijom drugih prirodnih nauka. Takve nauke kao što su fizika, hemija, biologija direktno proučavaju sam stvarni objekat (možda u smanjenom obimu i u laboratorijskim uslovima). Naučni rezultati, nakon neophodne provere, mogu se i direktno primeniti u praksi. Matematika ne proučava same objekte, već njihove modele. Opis objekta i formulacija problema prevedeni su sa običnog jezika na "jezik matematike" (formalizirani), što rezultira matematičkim modelom. Nadalje, ovaj model se proučava kao matematički problem. Dobijeni naučni rezultati se ne primenjuju odmah u praksi, jer su formulisani matematičkim jezikom. Stoga se provodi obrnuti proces – smisleno tumačenje (jezikom originalnog problema) dobijenih matematičkih rezultata. Tek nakon toga se odlučuje o pitanju njihove primjene u praksi.

Sastavni dio metodologije primijenjene matematike je sveobuhvatna analiza realnog problema koji prethodi njegovom matematičkom modeliranju. Općenito, sistemska analiza problema uključuje sljedeće korake:

Humanitarna (predmatematička) analiza problema;

· matematičko proučavanje problema;

primjena dobijenih rezultata u praksi.

Sprovođenje takve sistemske analize svakog konkretnog problema treba da sprovede istraživačka grupa, uključujući ekonomiste (kao rešavače problema ili kupce), matematičare, pravnike, sociologe, psihologe, ekologe, itd. Štaviše, matematičari, kao glavni istraživači, treba da učestvuje ne samo u „rešavanju » zadataka, već i u njegovom formulisanju, kao i u primeni rezultata u praksi.

Za izvođenje matematičkih studija ekonomskog problema potrebni su sljedeći glavni koraci:

1. proučavanje predmetne oblasti i određivanje svrhe studija;

2. formulacija problema;

3. prikupljanje podataka (statističkih, stručnih i drugih);

4. izgradnja matematičkog modela;

5. izbor (ili razvoj) računske metode i konstrukcija algoritma za rješavanje problema;

6. programiranje algoritama i otklanjanje grešaka u programu;

7. provjera kvaliteta modela na kontrolnom primjeru;

8. implementacija rezultata u praksi.

Faze 1 -3 spadaju u predmatematički dio studija. Predmetnu oblast moraju detaljno proučiti sami ekonomisti kako bi oni, kao kupci, mogli jasno formulisati problem i odrediti ciljeve za istraživače. Istraživačima treba dati sve potrebne dokumentarne i statističke podatke u iscrpnom obimu. Matematičari organizuju, pohranjuju, analiziraju i obrađuju podatke koje im u prikladnom (elektronskom) obliku daju kupci.

Faze 4 -7 spadaju u matematički dio istraživanja. Rezultat ove faze je formulacija originalnog problema u obliku rigoroznog matematičkog problema. Matematički model se rijetko može "pokupiti" među dostupnim, dobro poznatim modelima (slika 1.1). Poziva se proces odabira parametara modela na način da odgovara predmetu koji se proučava identifikacija modela. Na osnovu prirode dobijenog modela (zadatka) i svrhe istraživanja, bira se poznata metoda, ili se poznata metoda prilagođava (modifikuje), ili se razvija nova. Nakon toga se sastavlja algoritam (procedura rješavanja problema) i kompjuterski program. Rezultati dobijeni ovim programom se analiziraju: rješavaju testne probleme, unose potrebne izmjene i korekcije u algoritam i program.

Ako je za "čistu" matematiku tradicionalno da se matematički model odabere jednom i da se formulišu pretpostavke na samom početku studije, onda je u primijenjenom radu često korisno vratiti se modelu i izvršiti korekcije nakon prvog kruga ispitivanja. proračuni su već napravljeni. Štoviše, često se pokaže plodonosnim usporediti modele kada se isti fenomen opisuje ne jednim, već više modela. Ako se zaključci pokažu (približno) isti za različite modele, različite metode istraživanja, to je dokaz ispravnosti proračuna, adekvatnosti modela samom objektu i objektivnosti datih preporuka.

Završna faza 8 zajednički izvode kupci i programeri modela.

Rezultati matematičkih (kao i svih naučnih) istraživanja samo su preporuka za upotrebu u praksi. Konačna odluka o ovom pitanju – da li primijeniti model ili ne – ovisi o kupcu, odnosno o osobi odgovornoj za ishod i posljedice do kojih će primjena preporučenih rezultata dovesti.

Za izgradnju matematičkog modela određenog ekonomskog zadatka (problema), preporučuje se da se izvrši sljedeći redoslijed rada:

1. definisanje poznatih i nepoznatih veličina, kao i postojećih uslova i preduslova (šta je dato, a šta treba pronaći?);

2. identifikacija najvažnijih faktora problema;

3. identifikacija kontrolisanih i neupravljanih parametara;

4. matematički opis pomoću jednačina, nejednačina, funkcija i drugih odnosa između elemenata modela (parametara, varijabli), na osnovu sadržaja problema koji se razmatra.

Razmatraju se poznati parametri problema u odnosu na njegov matematički model vanjski(dato a priori, tj. prije izgradnje modela). U ekonomskoj literaturi se nazivaju egzogene varijable. Vrijednost inicijalno nepoznatih varijabli izračunava se kao rezultat proučavanja modela, pa se u odnosu na model razmatraju interni. U ekonomskoj literaturi se nazivaju endogene varijable.

AT § 2 Najvažniji faktori su oni koji igraju značajnu ulogu u samom zadatku i koji, na ovaj ili onaj način, utiču na konačni rezultat. AT § 3 upravljivi su oni parametri zadatka kojima se mogu dodijeliti proizvoljne numeričke vrijednosti na osnovu uslova zadatka; Neupravljani parametri su oni čija je vrijednost fiksna i ne može se mijenjati.

Sa stanovišta svrhe, može se razlikovati deskriptivni modeli i modeli donošenja odluka. Deskriptivni modeli odražavaju sadržaj i osnovna svojstva privrednih objekata kao takvih. Uz njihovu pomoć izračunavaju se numeričke vrijednosti ekonomskih faktora i pokazatelja.

Modeli odlučivanja pomažu u pronalaženju najboljih opcija za planirane indikatore ili upravljačke odluke. Među njima su najmanje složeni modeli optimizacije, koji opisuju (simuliraju) zadatke tipa planiranja, a najsloženiji su modeli igara koji opisuju probleme konfliktne prirode, uzimajući u obzir ukrštanje različitih interesa. Ovi modeli se razlikuju od deskriptivnih po tome što imaju mogućnost odabira vrijednosti kontrolnih parametara (što nije slučaj u deskriptivnim modelima).

Primjeri sastavljanja matematičkih modela

Primjer 1.1. Neka neka privredna regija proizvodi više vrsta proizvoda isključivo sama i samo za stanovništvo ovog kraja. Pretpostavlja se da je tehnološki proces razrađen, te da je proučena potražnja stanovništva za ovom robom. Neophodno je odrediti godišnji obim proizvodnje proizvoda, uzimajući u obzir činjenicu da taj obim mora obezbijediti i finalnu i industrijsku potrošnju.

Hajde da napravimo matematički model ovog problema. Prema datim uslovima: vrste proizvoda, potražnja za njima i tehnološki proces; potrebno je pronaći obim proizvodnje svake vrste proizvoda Označimo poznate vrijednosti: - potražnja stanovništva za -tim proizvodom; - količina i-tog proizvoda potrebna za proizvodnju jedinice -tog proizvoda prema ovoj tehnologiji . Označimo nepoznate količine: - obim proizvodnje -tog proizvoda . Agregat se naziva vektor potražnje, brojevi se nazivaju tehnološki koeficijenti, a skup - vektor oslobađanja. Prema uslovu zadatka, vektor se dijeli na dva dijela: za krajnju potrošnju (vektor ) i za reprodukciju (vektor ). Izračunajmo onaj dio vektora koji ide na reprodukciju. Na osnovu notacije za proizvodnju količine --tog dobra, ide količina -tog dobra. Zatim suma prikazuje vrijednost -tog proizvoda, koji je potreban za cjelokupni izlaz . Dakle, jednakost mora vrijediti:

Uopštavajući ovo razmišljanje na sve vrste proizvoda, dolazimo do željenog modela:

Rješavanje rezultirajućeg sistema linearnih jednadžbi u odnosu na traženi izlazni vektor.

Da bismo ovaj model zapisali u kompaktnijem (vektorskom) obliku, uvodimo notaciju:

Kvadratna matrica A (veličina) naziva se tehnološka matrica. Očigledno, model se može napisati kao: ili

Dobili smo klasični model “Cost-output” čiji je autor poznati američki ekonomista V. Leontiev.

Primjer 1.2. Rafinerija ima dvije vrste nafte: razred u količini od 10 jedinica, razred - 15 jedinica. Prilikom obrade ulja dobijaju se dva materijala: benzin () i lož ulje (). Postoje tri opcije za tehnologiju obrade:

I: 1 kom I+ 2 jedinice AT daje 3 jedinice. B+ 2 jedinice M;

II:2 jedinice I+ 1 jedinica AT daje 1 jedinicu. B+ 5 jedinica M;

III:2 jedinice I+ 2 jedinice AT daje 1 jedinicu. B+ 2 jedinice M.

Cijena benzina je 10 USD po jedinici, lož ulja 1 USD po jedinici. Potrebno je odrediti najpovoljniju kombinaciju tehnoloških procesa za preradu raspoložive količine nafte.

Prije modeliranja, pojašnjavamo sljedeće točke. Iz uslova problema proizilazi da „rentabilnost“ tehnološkog procesa za postrojenje treba shvatiti u smislu ostvarivanja maksimalnog prihoda od prodaje njegovih gotovih proizvoda (benzina i lož ulja). S tim u vezi, jasno je da je "odluka (donošenje) odluke" postrojenja da odredi koju tehnologiju i koliko puta primijeniti. Očigledno, postoji mnogo takvih mogućnosti.

Označimo nepoznate vrijednosti: - količina upotrebe -tog tehnološkog procesa . Ostali parametri modela (rezerve sorti nafte, cene benzina i lož ulja) poznato.

Tada se jedna konkretna odluka postrojenja svodi na izbor jednog vektora, za koji je prihod biljke jednak Ovde 32 dolara je prihod dobijen od jedne primene prvog tehnološkog procesa (10 dolara 3 jed. B+ $1 2 jedinice M= 32 USD). Koeficijenti 15 i 12 imaju slično značenje za drugi i treći tehnološki proces. Obračun rezervi nafte dovodi do sljedećih uslova:

za raznolikost I: ,

za raznolikost AT: ,

gdje su u prvoj nejednakosti koeficijenti 1, 2, 2 stope potrošnje ulja I za jednokratnu procesnu tehnologiju I, II, III respektivno. Koeficijenti druge nejednakosti imaju slično značenje za razred ulja AT.

Matematički model u cjelini ima oblik:

Pronađite vektor takav da

maksimizirati

kada su ispunjeni uslovi:

,

,

.

Skraćeni oblik ovog unosa je:

pod ograničenjima

, (1.4.2)

,

Dobili smo takozvani problem linearnog programiranja. Model (1.4.2.) je primjer optimizacijskog modela determinističkog tipa (sa dobro definiranim elementima).

Primjer 1.3. Investitor treba da odredi najbolji set dionica, obveznica i drugih vrijednosnih papira da ih kupi za određeni iznos kako bi ostvario određeni profit uz minimalan rizik za sebe. Povraćaj na svaki dolar uložen u hartiju od vrednosti -tog tipa karakterišu dva indikatora: očekivani prinos i stvarni prinos. Za investitora je poželjno da očekivana dobit po jednom dolaru ulaganja ne bude niža od zadate vrijednosti za cijeli set hartija od vrijednosti. Napominjemo da su za pravilno modeliranje ovog problema matematičaru potrebna određena osnovna znanja iz oblasti portfolio teorije hartija od vrijednosti. Označimo poznate parametre problema: - broj varijanti hartija od vrijednosti; - stvarna dobit (slučajni broj) od -te vrste hartije od vrijednosti - očekivana dobit od -te vrste hartije od vrijednosti. Označimo nepoznate veličine: - sredstva koja se izdvajaju za sticanje hartija od vrijednosti vrste . Na osnovu notacije, cjelokupni uloženi iznos je definiran kao . Da bismo pojednostavili model, uvodimo nove količine

Dakle, udio svih sredstava namijenjenih za kupovinu hartija od vrijednosti ove vrste. Očigledno je da . Iz stanja problema se vidi da je cilj investitora da uz minimalan rizik ostvari određeni nivo profita. U suštini, rizik je mjera odstupanja stvarne dobiti od očekivane. Stoga se može identificirati sa kovarijansom

dobit za hartije od vrijednosti vrste i vrste . Evo M- označavanje matematičkog očekivanja. Matematički model originalnog problema ima oblik:

(1.4.3)

Dobili smo poznati Markowitz model za optimizaciju strukture portfelja hartija od vrijednosti. Model (1.4.3.) je primjer optimizacijskog modela stohastičkog tipa (sa elementima slučajnosti).

Primjer 1.4. Na osnovu trgovinske organizacije postoje vrste jednog od proizvoda minimuma asortimana. Samo jedna od vrsta ovog proizvoda mora biti isporučena u prodavnicu. Potrebno je odabrati vrstu robe koju je poželjno donijeti u trgovinu. Ako je proizvod tog tipa tražen, onda će trgovina ostvariti profit od njegove prodaje, ako nije tražen, gubitak.

I geometrija. Glavna odlika analize u odnosu na druge oblasti je prisustvo funkcija varijabli kao predmeta proučavanja. Istovremeno, ako se elementarni dijelovi analize u nastavnim planovima i programima i materijalima često kombinuju s elementarnom algebrom (na primjer, postoje brojni udžbenici i predmeti pod nazivom „Algebra i počeci analize“), onda moderna analiza u velikoj mjeri koristi metode savremeni geometrijski preseci, prvenstveno diferencijalna geometrija i topologija.

istorija

Odvojite izdanke od "analize infinitezimala", kao što su teorija običnih diferencijalnih jednadžbi (Euler, Johann Bernoulli, D'Alembert), varijacijski račun (Euler, Lagrange), teorija analitičkih funkcija (Lagrange, Cauchy, kasnije Riemann), počeo se još više odvajati u XVIII - prvoj polovini XIX vijeka. Međutim, početkom formiranja analize kao samostalnog modernog odsjeka smatraju se radovi iz sredine 19. stoljeća na formalizaciji ključnih pojmova klasične analize – realnog broja, funkcije, granice, integrala, prvenstveno u djela Cauchyja i Bolzana, a gotov oblik dobija od 1870-ih - 1880-ih godina u djelima Weierstrassa, Dedekinda i Cantora. S tim u vezi formirana je teorija funkcija realne varijable i, u razvoju metoda za rad sa analitičkim funkcijama, teorija funkcija kompleksne varijable. Naivna teorija skupova koju je stvorio Cantor krajem 19. stoljeća dala je poticaj nastanku koncepata metričkih i topoloških prostora, koji su značajno promijenili cjelokupni alat za analizu, podižući nivo apstrakcije proučavanih objekata i pomjerajući fokus. od realnih brojeva do nenumeričkih koncepata.

Početkom 20. vijeka, uglavnom snagama francuske matematičke škole (Jordan, Borel, Lebesgue, Baer), nastala je teorija mjere, zahvaljujući kojoj je generaliziran koncept integrala, a teorija funkcija izgrađena je realna varijabla. Takođe, početkom 20. veka funkcionalna analiza je počela da se formira kao nezavisna podsekcija moderne analize koja proučava topološke vektorske prostore i njihova preslikavanja. Termin "funkcionalna analiza" uveo je Adamard, označavajući granu varijacionog računa, koju je na prijelazu iz 19. u 20. vijek razvila grupa italijanskih i francuskih matematičara (uključujući Volteru, Artselu). Godine 1900. Fredholm je objavio članak o integralnim jednačinama, koji je dao podsticaj razvoju teorije integralnih jednačina, razvoju opšte teorije integracije (Lebesgue) i formiranju funkcionalne analize. Godine 1906. Hilbert je izložio spektralnu teoriju, a iste godine je objavljen Fréchetov rad u kojem su apstraktni metrički prostori prvi put uvedeni u analizu. U 1910-im - 1920-im, koncepti separabilnosti su rafinirani i opće topološke metode su prvi put primijenjene na analizu (Hausdorff), savladani su funkcionalni prostori i počelo je formiranje opće teorije normiranih prostora (Hilbert, Rees, Banach, Hahn) . U periodu 1929-1932 formirana je aksiomatska teorija Hilbertovih prostora (John von Neumann, Marshall Stone, Rees). Sobolev je 1936. godine formulisao koncept generalizovane funkcije (kasnije, 1940-ih, nezavisno od njega, Laurent Schwartz je došao do sličnog koncepta), koji je postao široko rasprostranjen u mnogim granama analize i našao široku primenu u aplikacijama (npr. generalizirana funkcija je δ (\displaystyle \delta ) je Diracova funkcija). U 1930-im - 1950-im, značajni rezultati su dobijeni u funkcionalnoj analizi korištenjem općih algebarskih alata (vektorske rešetke, operatorske algebre, Banahove algebre).

Sredinom 20. stoljeća, područja kao što su teorija dinamičkih sistema i ergodička teorija (George Birkhoff, Kolmogorov, von Neumann) dobivaju samostalan razvoj, rezultati harmonske analize značajno su generalizirani korištenjem općih algebarskih sredstava - topoloških grupa. i reprezentacije (Weil, Peter, Pontryagin). Od 1940-ih - 1950-ih, metode funkcionalne analize našle su primjenu u primijenjenim područjima, posebno u radovima Kantorovicha 1930-ih - 1940-ih, alati funkcionalne analize korišteni su u računarskoj matematici i ekonomiji (linearno programiranje). Pedesetih godina prošlog veka, u radovima Pontrijagina i studenata, stvorena je teorija optimalnog upravljanja u razvoju metoda varijacionog računa.

Počevši od druge polovine 20. veka, razvojem diferencijalne topologije, analizi se pridružio novi pravac - analiza na mnogostrukostima, nazvana "globalna analiza", koja se zapravo počela formirati ranije, dvadesetih godina prošlog veka, u okviru Morseove teorije. kao generalizacija varijacionog računa (koji Morse naziva "varijacionim računom uopšte", engleski varijacioni račun u velikoj meri). Ovo područje uključuje područja nastala u razvoju teorije bifurkacija dinamičkih sistema (Andronov) kao što su teorija singulariteta (Whitney, ) i teorija katastrofa (Vol, i Maser, ), koji su razvijeni 1970-ih u radovima Ziemana i Arnolda.

Klasična matematička analiza

Klasična matematička analiza - dio koji zapravo u potpunosti odgovara istorijskoj "analizi infinitezimima", sastoji se od dvije glavne komponente: diferencijalnog i integralnog računa. Glavni koncepti su granica funkcije, diferencijal, derivacija, integral, glavni rezultati su Newton-Leibnizova formula, koja povezuje definitivni integral i antiderivativ i Taylorov red - proširenje niza beskonačno diferencibilne funkcije u susjedstvu od tačke.

Pod pojmom "matematička analiza" obično se podrazumijeva ovaj klasični dio, dok se uglavnom koristi u nastavnim programima i materijalima. Istovremeno, izučavanje osnova analize uključeno je u većinu srednjoškolskih programa, a manje ili više kompletno izučavanje predmeta uključeno je u programe prvih godina visokog obrazovanja za širok spektar specijalnosti, uključujući mnoge humanističke nauke. U anglo-američkoj obrazovnoj tradiciji, termin "kalkulus" (engleski račun) se koristi za označavanje klasične matematičke analize.

Teorija funkcija realne varijable(ponekad se spominje ukratko - teorija funkcija) nastao je kao rezultat formalizacije pojmova realnog broja i funkcije: ako su se u klasičnim dijelovima analize na prirodan način razmatrale samo funkcije koje se javljaju u određenim problemima, onda u teoriji funkcija same funkcije postaju proučava se predmet proučavanja, njihovo ponašanje i odnos njihovih svojstava. Jedan od rezultata koji ilustruju specifičnosti teorije funkcija realne varijable je činjenica da kontinuirana funkcija ne može imati derivaciju ni u jednoj tački (štaviše, prema ranijim idejama klasične matematičke analize, diferencijabilnost svih kontinuiranih funkcija je bila nije doveden u pitanje).

Glavni pravci teorije funkcija realne varijable:

Teorija funkcija kompleksne varijable

Predmet proučavanja teorije funkcija kompleksne varijable su numeričke funkcije definisane na kompleksnoj ravni C 1 (\displaystyle \mathbb (C) ^(1)) ili složeni euklidski prostor C n (\displaystyle \mathbb (C) ^(n)), dok su najtemeljitije proučavane analitičke funkcije , koje imaju važnu povezujuću ulogu za gotovo sve grane matematičke analize. Konkretno, koncept analitičke funkcije je generalizovan za proizvoljne Banahove prostore, pa su mnogi rezultati teorije funkcija kompleksne varijable generalizovani u funkcionalnoj analizi.

funkcionalna analiza

Funkcionalnu analizu kao granu karakteriše prisustvo kao predmet proučavanja topoloških vektorskih prostora i njihovih preslikavanja sa različitim algebarskim i topološkim uslovima koji im se nameću. Funkcijski prostori igraju centralnu ulogu u funkcionalnoj analizi, a klasičan primjer su prostori svih mjerljivih funkcija, čiji p (\displaystyle p)-. stepen je integrabilan; dok već L 2 (\displaystyle L^(2))- beskonačno-dimenzionalni prostor (Hilbertov prostor), i prostori beskonačnih dimenzija toliko su inherentni funkcionalnoj analizi da se ponekad cijeli dio definira kao dio matematike koji proučava beskonačno-dimenzionalne prostore i njihova preslikavanja. Najvažniji oblik prostora u klasičnim dijelovima funkcionalne analize su Banahovi prostori - normirani vektorski prostori, potpuni u smislu metrike generirane normom: značajan dio prostora zanimljivih u praksi su takvi, među njima su svi Hilbertovi prostori, prostori L p (\displaystyle L^(p)), Hardy prostori, Sobolev prostori. Važnu ulogu u funkcionalnoj analizi igraju algebarske strukture koje su Banahovi prostori - Banahove rešetke i Banahove algebre (uključujući - C ∗ (\displaystyle C^(*))-algebre, von Neumann algebre).

U apstraktnoj harmonijskoj analizi, klasične metode su generalizirane na apstraktne strukture koristeći koncepte kao što su Haar mjera i grupne reprezentacije. Najvažniji rezultat komutativne harmonijske analize je Pontrijaginova teorema o dualnosti, zahvaljujući kojoj se gotovo svi klasični rezultati harmonijske analize opisuju relativno jednostavnim općim algebarskim sredstvima. Dalji razvoj teorije je nekomutativna harmonijska analiza, koja ima važnu primjenu u kvantnoj mehanici.

Diferencijalne i integralne jednadžbe

U teoriji integralnih jednadžbi, pored klasičnih metoda rješavanja, postoje područja poput Fredholmove teorije, koja je značajno utjecala na formiranje funkcionalne analize kao samostalnog odjeljka, a posebno je doprinijela formiranju koncept Hilbertovog prostora.

Teorija dinamičkih sistema i ergodička teorija

Od glavnih oblasti proučavanja diferencijalnih jednačina izdvojile su se kao samostalne sekcije teorija dinamičkih sistema, koja proučava evoluciju mehaničkih sistema u vremenu, i ergodička teorija koja ima za cilj da potkrepi statističku fiziku. Uprkos primenjenoj prirodi problema, ovi delovi obuhvataju širok spektar koncepata i metoda od opšteg matematičkog značaja, a posebno su to koncepti stabilnosti i ergodičnosti.

Globalna analiza

Globalna analiza- grana analize koja proučava funkcije i diferencijalne jednadžbe na mnogostrukostima i vektorskim snopovima; ponekad se ovaj pravac naziva "analiza na mnogostrukostima".

Jedan od prvih pravaca globalne analize je Morseova teorija i njena primena na probleme o geodeziji na Riemanovim mnogostrukostima; smjer je nazvan "račun varijacija općenito". Glavni rezultati su Morseova lema, koja opisuje ponašanje glatkih funkcija na glatkim mnogostrukostima u nedegenerisanim singularnim tačkama, i takva homotopska invarijanta kao što je Lyusternik-Shnirelman kategorija. Mnoge konstrukcije i iskazi su generalizirani na slučaj beskonačno-dimenzionalnih mnogostrukosti ( Hilbertove mnogostrukosti *, Banach sorte). Rezultati dobijeni u okviru globalne analize singularnih tačaka našli su široku primenu za rešavanje čisto topoloških problema, kao što su npr. Bottova teorema periodičnosti, koji je u velikoj mjeri poslužio kao osnova za samostalnu sekciju matematike - K (\displaystyle K)-teoriju, kao i teoremu o h (\displaystyle h)-kobordizam , čija je posljedica ispunjenje Poincaréove pretpostavke za dimenzije veće od 4.

Drugi veliki blok oblasti globalne analize koji se široko koristi u fizici i ekonomiji je teorija singulariteta, teorija bifurkacija i teorija katastrofa; glavni pravac istraživanja u ovom bloku je klasifikacija ponašanja diferencijalnih jednadžbi ili funkcija u blizini kritičnih tačaka i identifikacija karakterističnih karakteristika odgovarajućih klasa.

Custom Analysis

Nestandardna analiza - formalizacija ključnih koncepata analize pomoću matematičke logike, glavna ideja je formalizacija beskonačno velikih i beskonačno malih veličina, te logička formalizacija manipulacija sa njima. Istovremeno, nestandardni alati za analizu pokazali su se vrlo zgodnim: dobili su rezultate koji ranije nisu pronađeni klasičnim sredstvima zbog nedostatka jasnoće.

Suština i definicija matematičkih metoda za proučavanje privrede

Definicija 1

Ekonomsko-matematičko modeliranje je koncentrisani izraz najznačajnijih odnosa i obrazaca ponašanja kontrolisanog sistema u matematičkom obliku.

Do danas postoji niz vrsta i modifikacija metoda ekonomskog i matematičkog modeliranja. U sistemu upravljanja inovativnim razvojem industrijskog preduzeća koristi se značajan broj njih. Razmotrimo glavne pristupe klasifikacije metodama modeliranja.

Prema industriji i namjeni upotrebe, metode ekonomskog i matematičkog modeliranja dijele se na:

1. teorijsko-analitički - analiziraju opšta svojstva i obrasce;
2. primijenjene - koriste se u rješavanju specifičnih ekonomskih problema analize i upravljanja.

Klasifikacija metoda modeliranja

Po vrsti pristupa društveno-ekonomskim sistemima: deskriptivni modeli - dizajnirani da opišu i objasne fenomene koji se stvarno posmatraju ili da predvide te pojave; normativni modeli – prikazuje razvoj privrednog sistema u kontekstu uticaja određenih kriterijuma.

Po načinu refleksije stvarnih objekata: funkcionalni modeli - subjekt modeliranja nastoji postići sličnost između modela i originala samo uz razumijevanje da obavljaju iste funkcije; strukturni modeli - subjekt modeliranja nastoji da rekonstruiše unutrašnju konstrukciju modelovane, i zbog preciznijeg prikaza strukture dobije tačniji prikaz funkcije.

Uzimajući u obzir faktor vremena: statički modeli - sve zavisnosti se odnose na jednu tačku u vremenu; dinamički modeli - opisuju ekonomske sisteme u razvoju. Prema tipu koji se koristi u modelu: analitički modeli - postavljaju se na osnovu apriornih informacija, grade se uzimajući u obzir postojeće obrasce, pisani u formalno-teorijskom obliku; identifikuju se modeli – izgrađeni na rezultatima posmatranja objekata.

Po koracima korištenja tipičnih elemenata: modeli sa fiksnom strukturom - proces modeliranja se svodi na odabir i podešavanje vrijednosti parametara tipičnih blokova; modeli sa varijabilnom strukturom - struktura modela se kreira tokom simulacije i nije tipična.

Prema karakteristikama matematičkih objekata uključenih u modele (osobine svakog tipa su određene tipom matematičkog aparata koji se koristi u modelu): matrični modeli; strukturni modeli; mrežni modeli; modeli linearnog i nelinearnog programiranja; faktorski modeli; kombinovano; modeli teorije igara itd.

Kako je model predstavljen ili opisan: modeli predstavljeni u analitičkom obliku - modeli su predstavljeni jezikom matematike; modeli predstavljeni u obliku algoritma - implementirani su numerički ili pomoću softvera; simulacijski modeli - numerička implementacija odnosa koji čine model provodi se bez preliminarnih transformacija; u procesu imitacije algoritam proračuna reproducira logiku funkcioniranja originalnog objekta.

Kao očekivani rezultat: modeli u kojima su troškovi minimizirani - očekivani krajnji rezultat se zasniva na minimizaciji troškova; modeli u kojima je krajnji rezultat minimiziran - modeli u kojima je cilj smanjiti pokazatelje koji karakteriziraju predmet proučavanja (ako su ti pokazatelji usmjereni na maksimum) ili povećati vrijednost indikatora (ako su ovi pokazatelji usmjereni na minimiziranje) .

Mjesto matematičkih istraživačkih metoda u upravljanju preduzećima

Prilikom proučavanja metoda ekonomsko-matematičkog modeliranja u kontekstu predviđanja inovativnog razvoja industrijskih preduzeća, postaje neophodno njihovo prilagođavanje realnim ekonomskim uslovima našeg vremena, postavlja tržišno okruženje i osnove strateškog marketing menadžmenta. Stoga je preporučljivo kombinovati formalizovane metode predviđanja sa analitičkim metodama koje mogu kvalitativno pokriti sve probleme tržišnog okruženja.

Napomena 1

Ekonomsko-matematički modeli optimizacije uključuju jednu ciljnu funkciju, formaliziraju kriterij optimalnosti, prema kojem se bira najbolji među izvodljivim planovima, a ograničenja na varijable određuju skup izvodljivih planova.

Dakle, sastavni element tekućeg plana preduzeća je proizvodni plan ili proizvodni program, koji uključuje sistem planiranih proizvodnih pokazatelja u pogledu obima, asortimana i kvaliteta proizvoda. Na kraju krajeva, važna faza u razvoju proizvodnog programa je formiranje optimalne strukture portfelja proizvoda, koja uključuje određivanje takvog obima, asortimana i asortimana proizvoda koji će preduzeću osigurati efikasno korištenje raspoloživih resursa i dobiti zadovoljavajući finansijski rezultat.

Odobrenje portfelja proizvoda i resursa za njegovu proizvodnju nastaje zbog upotrebe ekonomskih i matematičkih metoda, koje podliježu određenim zahtjevima. Prije svega, oni moraju biti identični vanjskim uslovima tržišta, a također moraju voditi računa o raznovrsnosti načina da se postigne glavni cilj preduzeća - maksimizacija profita.