DEFINICIJA

Algebarski oblik kompleksnog broja je da se kompleksni broj \(\ z \) zapiše kao \(\ z=x+i y \), gdje su \(\ x \) i \(\ y \) realni brojevi, \ (\ i \ ) je imaginarna jedinica koja zadovoljava relaciju \(\ i^(2)=-1 \)

Broj \(\ x \) se naziva realnim dijelom kompleksnog broja \(\ z \) i označava se \(\ x=\operatorname(Re) z \)

Broj \(\ y \) naziva se imaginarni dio kompleksnog broja \(\ z \) i označava se \(\ y=\operatorname(Im) z \)

Na primjer:

Kompleksni broj \(\ z=3-2 i \) i njemu pridruženi broj \(\ \overline(z)=3+2 i \) su zapisani u algebarskom obliku.

Imaginarna vrijednost \(\ z=5 i \) je zapisana u algebarskom obliku.

Osim toga, ovisno o problemu koji se rješava, možete pretvoriti kompleksni broj u trigonometrijski ili eksponencijalni broj.

Zadatak

Zapišite broj \(\ z=\frac(7-i)(4)+13 \) u algebarskom obliku, pronađite njegove realne i imaginarne dijelove, kao i konjugirani broj.

Rješenje.

Primjenjujući pojam dijeljenja razlomaka i pravilo sabiranja razlomaka, dobivamo:

\(\ z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4) i \)

Dakle, pravi dio kompleksnog broja \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) je broj \(\ x=\operatorname(Re) z= \frac(59) (4) \) , imaginarni dio je broj \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Konjugirani broj: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Odgovori

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Radnje kompleksnih brojeva u poređenju algebarskog oblika

Dva kompleksna broja \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) su jednaka ako \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1)= y_ (2) \) tj. Njihovi stvarni i imaginarni dijelovi su jednaki.

Zadatak

Odredi za koje su x i y dva kompleksna broja \(\ z_(1)=13+y i \) i \(\ z_(2)=x+5 i \) jednaka.

Rješenje

Po definiciji, dva kompleksna broja su jednaka ako su im realni i imaginarni dijelovi jednaki, tj. \(\ x=13 \), \(\ y=5 \).

Odgovor \(\ x=13 \), \(\ y=5 \)

dodatak

Sabiranje kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) vrši se direktnim sabiranjem realnog i imaginarnog dijela:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\desno) +i\lijevo(y_(1)+y_(2)\desno)\)

Zadatak

Pronađite zbir kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Rješenje.

Pravi dio kompleksnog broja \(\ z_(1)=-7+5 i \) je broj \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \), imaginarni dio je broj \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Realni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja \(\ z_(2)=13-4 i \) su \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) i \(\ y_ (2 )=\ime operatora(Im) z_(2)=-4 \) .

Dakle, zbir kompleksnih brojeva je:

\(\ z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\desno)+i\left(y_(1)+y_(2)\desno)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i\)

Odgovori

\(\z_(1)+z_(2)=6+i \)

Više o dodavanju kompleksnih brojeva pročitajte u posebnom članku: Dodavanje kompleksnih brojeva.

Oduzimanje

Oduzimanje kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) i \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) vrši se direktnim oduzimanje realnog i imaginarnog dijela:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\desno)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right )\)

Zadatak

pronađi razliku kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Rješenje.

Pronađite stvarne i imaginarne dijelove kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

\(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\operatorname(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operatorname(Im) z_(2)=5 \)

Dakle, razlika kompleksnih brojeva je:

\(\ z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\desno)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)

Odgovori

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) množenje

Množenje kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) i \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) vrši se direktno generiranje brojeva u algebarskom obliku, uzimajući u obzir svojstvo imaginarne jedinice \(\ i^(2)=-1 \) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\desno) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\desno)= \)

\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\desno) \)

Zadatak

Pronađite proizvod kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=1-5 i \)

Rješenje.

Kompleks kompleksnih brojeva:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\desno)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i \)

Odgovori

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) split

Faktor kompleksnog broja \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) i \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) se određuje množenjem brojnik i nazivnik konjugovanog broja sa nazivnikom:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\desno)\lijevo(x_(2)-i y_(2)\desno))(\lijevo(x_(2)+i y_(2)\desno)\lijevo (x_(2)-i y_(2)\desno))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)

Zadatak

Podijeliti broj 1 sa kompleksnim brojem \(\ z=1+2 i \).

Rješenje.

Pošto je imaginarni dio realnog broja 1 nula, faktor je:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Odgovori

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva, koji se obično označavaju sa . Bilo koji kompleksni broj može se predstaviti kao formalni zbir, gdje su i realni brojevi, imaginarna jedinica.

Pisanje kompleksnog broja u obliku , , naziva se algebarski oblik kompleksnog broja.

Svojstva kompleksnih brojeva. Geometrijska interpretacija kompleksnog broja.

Akcije na kompleksne brojeve date u algebarskom obliku:

Razmotrite pravila po kojima se aritmetičke operacije izvode nad kompleksnim brojevima.

Ako su data dva kompleksna broja α = a + bi i β = c + di, onda

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α - β \u003d (a + bi) - (c + di) \u003d (a - c) + (b - d)i. (jedanaest)

Ovo proizilazi iz definicije operacija sabiranja i oduzimanja dva uređena para realnih brojeva (vidi formule (1) i (3)). Dobili smo pravila za sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva: za sabiranje dva kompleksna broja potrebno je posebno sabrati njihove realne dijelove i, shodno tome, imaginarne dijelove; da bi se od jednog kompleksnog broja oduzeo drugi, potrebno je oduzeti njihov realni i imaginarni dio.

Broj - α \u003d - a - bi naziva se suprotan od broja α \u003d a + bi. Zbir ova dva broja je nula: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0.

Da bismo dobili pravilo množenja za kompleksne brojeve, koristimo formulu (6), odnosno činjenicu da je i2 = -1. Uzimajući u obzir ovaj odnos, nalazimo (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, tj.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Ova formula odgovara formuli (2), koja je definirala množenje uređenih parova realnih brojeva.

Imajte na umu da su zbir i proizvod dva kompleksna konjugirana broja realni brojevi. Zaista, ako je α = a + bi, = a – bi, onda je α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, tj.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Prilikom dijeljenja dva kompleksna broja u algebarskom obliku, treba očekivati ​​da je količnik izražen i brojem istog tipa, tj. α/β = u + vi, gdje je u, v R. Izvedemo pravilo za dijeljenje kompleksa brojevi. Neka su dati brojevi α = a + bi, β = c + di i β ≠ 0, tj. c2 + d2 ≠ 0. Zadnja nejednakost znači da c i d ne nestaju istovremeno (slučaj kada je c = 0, d = 0). Primjenom formule (12) i druge od jednakosti (13) nalazimo:

Dakle, količnik dva kompleksna broja je dat sa:

odgovarajuću formulu (4).

Koristeći dobijenu formulu za broj β = c + di, možete pronaći njegovu recipročnu vrijednost β-1 = 1/β. Uz pretpostavku u formuli (14) a = 1, b = 0, dobijamo

Ova formula određuje recipročnost datog kompleksnog broja različitog od nule; ovaj broj je takođe složen.

Na primjer: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Akcije na kompleksne brojeve u algebarskom obliku.

55. Argument kompleksnog broja. Trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja (izlaz).

Arg.comm.number. – između pozitivnog smjera realne X ose vektorom koji predstavlja dati broj.

trigon formula. Brojevi: ,

Kompleksni brojevi

Imaginarno i kompleksni brojevi. Apscisa i ordinata

kompleksni broj. Konjugirajte kompleksne brojeve.

Operacije sa kompleksnim brojevima. Geometrijski

predstavljanje kompleksnih brojeva. kompleksna ravan.

Modul i argument kompleksnog broja. trigonometrijski

oblik kompleksnog broja. Operacije sa kompleksom

brojevi u trigonometrijskom obliku. Moivre formula.

Osnovne informacije o imaginarni i kompleksni brojevi dati su u dijelu "Zamišljeni i kompleksni brojevi". Potreba za ovim brojevima novog tipa pojavila se prilikom rješavanja kvadratnih jednadžbi za slučajD< 0 (здесь Dje diskriminanta kvadratne jednačine). Dugo vremena ovi brojevi nisu nalazili fizičku upotrebu, zbog čega su nazvani "imaginarni" brojevi. Međutim, sada se vrlo široko koriste u različitim poljima fizike.

i tehnologija: elektrotehnika, hidro- i aerodinamika, teorija elastičnosti itd.

Kompleksni brojevi su napisani kao:a+bi. Evo a i b – realni brojevi , a i – imaginarna jedinica. e. i 2 = –1. Broj a pozvao apscisa, a b - ordinatakompleksni broja + b .Dva kompleksna brojaa+bi i a-bi pozvao konjugirati kompleksni brojevi.

Glavni dogovori:

1. Realni brojatakođe može biti napisan u formikompleksni broj:a + 0 i ili a - 0 i. Na primjer, unosi 5 + 0i i 5 - 0 iznači isti broj 5 .

2. Kompleksni broj 0 + bipozvao čisto imaginarno broj. Snimanjebiznači isto što i 0 + bi.

3. Dva kompleksna brojaa+bi ic + dismatraju se jednakim akoa = c i b = d. Inače kompleksni brojevi nisu jednaki.

Dodatak. Zbir kompleksnih brojevaa+bi i c + dinaziva se kompleksnim brojem (a+c ) + (b+d ) i .Na ovaj način, kada se doda kompleksni brojevi, njihove apscise i ordinate se dodaju posebno.

Ova definicija prati pravila za rad sa običnim polinomima.

Oduzimanje. Razlika između dva kompleksna brojaa+bi(smanjeno) i c + di(oduzeto) se naziva kompleksnim brojem (a-c ) + (b-d ) i .

Na ovaj način, pri oduzimanju dva kompleksna broja, njihove apscise i ordinate se oduzimaju odvojeno.

Množenje. Proizvod kompleksnih brojevaa+bi i c + di naziva se kompleksnim brojem.

(ac-bd ) + (ad+bc ) i .Ova definicija proizilazi iz dva zahtjeva:

1) brojevi a+bi i c + ditreba da se množi kao algebarski binomi,

2) broj iima glavno svojstvo:i 2 = – 1.

PRIMJER ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . shodno tome, rad

dva konjugirana kompleksna broja jednaka je realnom

pozitivan broj.

Division. Podijelite kompleksan broja+bi (djeljivo) na druguc + di(razdjelnik) - znači pronaći treći broje + fi(chat), koji, kada se pomnoži sa djeliteljemc + di, što rezultira dividendoma + b .

Ako djelitelj nije nula, dijeljenje je uvijek moguće.

PRIMJER Pronađite (8+i ) : (2 – 3 i) .

Rješenje. Prepišimo ovaj omjer kao razlomak:

Množenjem brojioca i imenioca sa 2 + 3i

I nakon izvođenja svih transformacija, dobijamo:

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su predstavljeni tačkama na brojevnoj pravoj:

Ovdje je poenta Aznači broj -3, tačkaB je broj 2, i O- nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni tačkama na koordinatnoj ravni. Za to biramo pravokutne (kartezijanske) koordinate s istim razmjerima na obje ose. Zatim kompleksni broja+bi će biti predstavljena tačkom P sa apscisom a i ordinata b (vidi sl.). Ovaj koordinatni sistem se zove kompleksna ravan .

modul kompleksni broj naziva se dužina vektoraOP, koji prikazuje kompleksan broj na koordinati ( integrisan) avion. Kompleksni broj modulaa+bi označeno sa | a+bi| ili pismo r

Razmotrimo kvadratnu jednačinu.

Hajde da definišemo njegove korene.

Ne postoji pravi broj čiji je kvadrat -1. Ali ako formula definira operatora i kao imaginarna jedinica, onda se rješenje ove jednadžbe može zapisati u obliku . Gde i - kompleksni brojevi, kod kojih je -1 pravi dio, 2 ili u drugom slučaju -2 imaginarni dio. Imaginarni dio je također realan (realan) broj. Zamišljeni dio pomnožen imaginarnom jedinicom znači već imaginarni broj.

Općenito, kompleksni broj ima oblik

z = x + iy ,

gdje x, y su realni brojevi, je imaginarna jedinica. U brojnim primijenjenim znanostima, na primjer, u elektrotehnici, elektronici, teoriji signala, imaginarna jedinica se označava sa j. Realni brojevi x = Re(z) i y=Ja sam(z) pozvao stvarne i imaginarne dijelove brojevi z. Izraz se zove algebarski oblik zapis kompleksnog broja.

Svaki realan broj je poseban slučaj kompleksnog broja u obliku . Imaginarni broj je takođe poseban slučaj kompleksnog broja. .

Definicija skupa kompleksnih brojeva C

Ovaj izraz glasi kako slijedi: set OD, koji se sastoji od elemenata tako da x i y pripadaju skupu realnih brojeva R i je imaginarna jedinica. Imajte na umu da itd.

Dva kompleksna broja i jednaki su ako i samo ako su im stvarni i imaginarni dijelovi jednaki, tj. i .

Kompleksni brojevi i funkcije se široko koriste u nauci i tehnologiji, posebno u mehanici, analizi i proračunu strujnih kola, analognoj elektronici, teoriji i obradi signala, teoriji automatskog upravljanja i drugim primenjenim naukama.

1. Aritmetika kompleksnih brojeva

Sabiranje dva kompleksna broja sastoji se u sabiranju njihovih realnih i imaginarnih dijelova, tj.

Prema tome, razlika dva kompleksna broja

Kompleksni broj pozvao kompleks konjugirati broj z=x +i.y.

Kompleksno konjugirani brojevi z i z * razlikuju se po predznacima imaginarnog dijela. Očigledno je da

.

Svaka jednakost između složenih izraza ostaje važeća ako je u ovoj jednakosti svuda i zamijenjen sa - i, tj. idi na jednakost konjugiranih brojeva. Brojevi i i – i se algebarski ne razlikuju jer .

Proizvod (množenje) dva kompleksna broja može se izračunati na sljedeći način:

Podjela dva kompleksna broja:

Primjer:

1. Kompleksna ravan

Kompleksni broj se može grafički predstaviti u pravougaonom koordinatnom sistemu. Postavimo pravougaoni koordinatni sistem u ravni (x, y).

na osovini Ox sredićemo prave delove x, to se zove realna (realna) osa, na osi Oy– imaginarni dijelovi y kompleksni brojevi. Ona nosi to ime imaginarne ose. Štaviše, svaki kompleksni broj odgovara određenoj tački ravni i takva se ravan naziva kompleksna ravan. tačka ALI kompleksna ravan će odgovarati vektoru OA.

Broj x pozvao apscisa kompleksni broj, broj y – ordinate.

Par kompleksnih konjugiranih brojeva prikazan je kao tačke koje se nalaze simetrično oko realne ose.

Ako je u avionu polarni koordinatni sistem, zatim svaki kompleksni broj z određena polarnim koordinatama. Gde modul brojevi je polarni radijus tačke i ugao - njegov polarni ugao ili argument kompleksnog broja z.

Kompleksni broj modula uvijek nenegativna. Argument kompleksnog broja nije jednoznačno definiran. Glavna vrijednost argumenta mora zadovoljiti uslov . Svaka tačka kompleksne ravni takođe odgovara ukupnoj vrednosti argumenta. Argumenti koji se razlikuju za višekratnik od 2π smatraju se jednakim. Brojni argument nula nije definiran.

Glavna vrijednost argumenta određena je izrazima:

Očigledno je da

Gde
, .

Reprezentacija kompleksnih brojeva z as

pozvao trigonometrijski oblik kompleksni broj.

Primjer.

1. Eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva

Razgradnja u Maclaurin serija za realne argument funkcije izgleda kao:

Za eksponencijalnu funkciju kompleksnog argumenta z razgradnja je slična

.

Proširenje Maclaurinovog reda za eksponencijalnu funkciju imaginarnog argumenta može se predstaviti kao

Rezultirajući identitet se zove Ojlerova formula.

Za negativan argument, izgleda

Kombinacijom ovih izraza možemo definirati sljedeće izraze za sinus i kosinus

.

Koristeći Ojlerovu formulu, iz trigonometrijskog oblika predstavljanja kompleksnih brojeva

dostupan demonstrativna(eksponencijalni, polarni) oblik kompleksnog broja, tj. njegov prikaz u obliku

,

gdje - polarne koordinate tačke sa pravougaonim koordinatama ( x,y).

Konjugat kompleksnog broja zapisuje se u eksponencijalnom obliku na sljedeći način.

Za eksponencijalni oblik, lako je definirati sljedeće formule za množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva

To jest, u eksponencijalnom obliku, proizvod i podjela kompleksnih brojeva je lakši nego u algebarskom obliku. Prilikom množenja moduli faktora se množe, a argumenti dodaju. Ovo pravilo se primjenjuje na bilo koji broj faktora. Konkretno, prilikom množenja kompleksnog broja z na i vektor z rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90

Kod dijeljenja, modul brojioca se dijeli sa modulom nazivnika, a argument nazivnika se oduzima od argumenta brojnika.

Koristeći eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva, mogu se dobiti izrazi za dobro poznate trigonometrijske identitete. Na primjer, iz identiteta

koristeći Eulerovu formulu, možemo pisati

Izjednačavajući stvarni i imaginarni dio u ovom izrazu, dobijamo izraze za kosinus i sinus zbira uglova

1. Potencije, korijeni i logaritmi kompleksnih brojeva

Podizanje kompleksnog broja na prirodni stepen n proizveden po formuli

Primjer. Compute .

Zamislite broj u trigonometrijskom obliku

’

Primjenjujući formulu eksponencijalnosti, dobivamo

Stavljanje vrijednosti u izraz r= 1, dobijamo tzv De Moivreova formula, pomoću kojih možete odrediti izraze za sinuse i kosinuse više uglova.

Root n stepen kompleksnog broja z Ima n različite vrijednosti određene izrazom

Primjer. Hajde da nađemo.

Da bismo to učinili, izražavamo kompleksni broj () u trigonometrijskom obliku

.

Prema formuli za izračunavanje korijena kompleksnog broja, dobijamo

Logaritam kompleksnog broja z je broj w, za koji . Prirodni logaritam kompleksnog broja ima beskonačan broj vrijednosti i izračunava se po formuli

Sastoji se od realnih (kosinus) i imaginarnih (sinusnih) dijelova. Takav napon se može predstaviti kao vektor dužine U m, početna faza (ugao), rotirajući sa ugaonom brzinom ω .

Štoviše, ako se dodaju složene funkcije, onda se dodaju njihovi stvarni i imaginarni dijelovi. Ako se kompleksna funkcija pomnoži s konstantnom ili realnom funkcijom, tada se njeni stvarni i imaginarni dijelovi množe istim faktorom. Diferencijacija/integracija tako složene funkcije svodi se na diferencijaciju/integraciju realnog i imaginarnog dijela.

Na primjer, diferencijacija složenog izraza stresa

je pomnožiti sa iω je realni dio funkcije f(z), i je imaginarni dio funkcije. primjeri: .

Značenje z je predstavljena tačkom u kompleksnoj z ravnini i odgovarajućom vrijednošću w- tačka u kompleksnoj ravni w. Kada se prikaže w = f(z) ravnih linija z prelaze u linije aviona w, figure jedne ravni u figure druge, ali se oblici linija ili figura mogu značajno promijeniti.