Pronalaženje zbira niza kroz integraciju i diferencijaciju. Integracija i diferencijacija redova stepena

Redovi.

Osnovne definicije.

Definicija. Zove se zbir članova beskonačnog niza brojeva numeričke serije.

U ovom slučaju, brojevi će se zvati članovi serije, i u n je čest član serije.

Definicija. sume, n = 1, 2, … pozvao privatni (djelimični) iznosi red.

Dakle, moguće je razmotriti nizove parcijalnih suma niza S 1 , S 2 , …, S n , …

Definicija. Red se zove konvergirajući ako se niz njegovih parcijalnih suma konvergira. Zbir konvergentnog niza je granica niza njegovih parcijalnih suma.

Definicija. Ako se niz parcijalnih suma niza razilazi, tj. nema ograničenja ili ima beskonačnu granicu, tada se niz naziva divergentan i nikakav iznos mu nije dodijeljen.

svojstva reda.

1) Konvergencija ili divergencija niza neće biti narušena ako promijenite, odbacite ili dodate konačan broj članova u niz.

2) Razmotrimo dvije serije i , gdje je C konstantan broj.

Teorema. Ako se niz konvergira i njegov zbir je jednak S, tada i niz konvergira i njegov zbir je jednak CS. (C¹0)

3) Razmotrimo dva reda i . suma ili razlika ovih serija će se zvati niz u kojem se elementi dobijaju kao rezultat sabiranja (oduzimanja) originalnih elemenata sa istim brojevima.

Teorema. Ako su red i konvergiraju i njihovi sumi jednaki S i s, redom, tada i niz konvergira i njegov zbir je jednak S + s.

Razlika dva konvergentna reda će također biti konvergentni niz.

Zbir konvergentnog i divergentnog niza će biti divergentni niz.

Nemoguće je dati opštu tvrdnju o zbiru dva divergentna niza.

Prilikom proučavanja serija uglavnom se rješavaju dva problema: proučavanje konvergencije i pronalaženje zbira niza.

Cauchyjev kriterijum.

(neophodni i dovoljni uslovi za konvergenciju niza)

Da bi niz bio konvergentan, potrebno je i dovoljno da za bilo koji postoji broj N takav da za n > N i bilo koji p > 0, gdje je p cijeli broj, vrijedi sljedeća nejednakost:

Dokaz. (nužnost)

Neka , Zatim za bilo koji broj postoji broj N takav da je nejednakost

Izvodi se kada je n>N. Za n>N i bilo koji cijeli broj p>0, nejednakost također vrijedi. Uzimajući u obzir obje nejednakosti, dobijamo:

Potreba je dokazana. Nećemo razmatrati dokaz dovoljnosti.

Formulirajmo Cauchyjev kriterij za seriju.

Da bi niz bio konvergentan potrebno je i dovoljno da za bilo koji postoji broj N takav da je za n>N i bilo koje p>0 nejednakost

Međutim, u praksi nije baš zgodno koristiti Cauchyjev kriterij direktno. Stoga se u pravilu koriste jednostavniji kriteriji konvergencije:

1) Ako je red konvergira, neophodno je da zajednički pojam u n gravitirao ka nuli. Međutim, ovaj uslov nije dovoljan. Možemo samo reći da ako zajednički pojam ne teži nuli, tada se niz tačno divergira. Na primjer, takozvani harmonijski niz je divergentan, iako njegov zajednički pojam teži nuli.

Primjer. Istražite konvergenciju niza

Nađimo - potreban kriterij konvergencije nije zadovoljen, pa se niz divergira.

2) Ako red konvergira, tada je niz njegovih parcijalnih suma ograničen.

Međutim, ni ova karakteristika nije dovoljna.

Na primjer, niz 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n+1 +… divergira jer redoslijed njegovih parcijalnih suma divergira zbog činjenice da

Međutim, u ovom slučaju je niz parcijalnih suma ograničen, jer za bilo koji n.

Serija sa nenegativnim članovima.

Kada proučavamo nizove sa konstantnim predznakom, ograničavamo se na razmatranje nizova sa nenegativnim članovima, jer kada se jednostavno pomnože sa -1, ove serije se mogu koristiti za dobijanje nizova sa negativnim članovima.

Teorema. Da bi niz s nenegativnim članovima konvergirao, potrebno je i dovoljno da parcijalni zbroji niza budu ograničeni.

Znak poređenja serija sa nenegativnim članovima.

Neka budu dva reda i na u n , v n ³ 0.

Teorema. Ako u n£ v n za bilo koji n, tada konvergencija niza implicira konvergenciju niza , i od divergencije serije slijedi divergencija serije.

Dokaz. Označiti sa S n i s n parcijalne sume serija i . Jer Prema uslovu teoreme, red konvergira, tada su njegovi parcijalni sumi ograničeni, tj. za sve n s n< M, где М – некоторое число. Но т.к. u n£ v n, onda S n£ s n zatim parcijalne sume serije su također ograničeni, a to je dovoljno za konvergenciju.

Primjer.

Jer , a harmonijski niz divergira, onda se i niz divergira.

Primjer. Istražite nizove konvergencije

Jer , i red konvergira (kao opadajuća geometrijska progresija), tada i niz konvergira.

Također se koristi sljedeći kriterij konvergencije:

Teorema. Ako i postoji granica , gdje je h broj različit od nule, tada red i red vode na isti način u smislu konvergencije.

Znak d'Alamberta.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - francuski matematičar)

Ako za niz sa pozitivnim članovima postoji broj q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

tada red konvergira ako je za sve dovoljno veliko n uslov

onda se serija razilazi.

Ograničavajući znak d'Alamberta.

Ograničavajući d'Alembertov test je posljedica gornjeg d'Alembertovog testa.

< 1 ряд сходится, а при r >1 - divergira. Ako je r = 1, onda se ne može odgovoriti na pitanje konvergencije.

Primjer. Odrediti konvergenciju serije .

Zaključak: niz konvergira.

Primjer. Odrediti konvergenciju niza

Zaključak: niz konvergira.

Cauchy znak. (radikalni znak)

Ako za niz sa nenegativnim članovima postoji broj q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

tada red konvergira ako je, za sve dovoljno veliko n, nejednakost

onda se serija razilazi.

Posljedica. Ako postoji granica , tada za r<1 ряд сходится, а при r>1 red se razilazi.

Primjer. Odrediti konvergenciju serije .

Zaključak: niz konvergira.

Primjer. Odrediti konvergenciju serije .

One. Cauchyjev kriterij ne daje odgovor na pitanje o konvergenciji serije. Provjerimo ispunjenost potrebnih uslova konvergencije. Kao što je gore spomenuto, ako se niz konvergira, tada zajednički član niza teži nuli.

dakle, nužni uslov za konvergenciju nije zadovoljen, što znači da red divergira.

Integralni Cauchy test.

Ako je j(h) kontinuirana pozitivna funkcija koja se smanjuje na intervalu i tada se integrali ponašaju na isti način u smislu konvergencije.

Varijabilni redovi.

Naizmjenični redovi.

Naizmjenični niz može se napisati kao:

Leibnizov znak.

Ako naizmjenični niz ima apsolutne vrijednosti u i koje se smanjuju, a zajednički pojam teži nuli, tada red konvergira.

Apsolutna i uslovna konvergencija redova.

Razmotrimo neke naizmjenične serije (sa terminima proizvoljnih znakova).

i niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova niza (1):

Teorema. Konvergencija serije (2) implicira konvergenciju serije (1).

Dokaz. Serija (2) je pored nenegativnih članova. Ako niz (2) konvergira, onda prema Cauchyjevom kriteriju za bilo koji e>0 postoji broj N takav da je za n>N i bilo koji cijeli broj p>0 tačna sljedeća nejednakost:

Prema svojstvu apsolutnih vrijednosti:

Odnosno, prema Cauchyjevom kriteriju, konvergencija reda (2) podrazumijeva konvergenciju niza (1).

Definicija. Red se zove apsolutno konvergentno ako se niz konvergira.

Očigledno, za nizove konstantnog znaka, koncepti konvergencije i apsolutne konvergencije se poklapaju.

Definicija. Red se zove uslovno konvergentan ako se konvergira, a niz divergira.

d'Alembertov i Cauchyjev test za naizmjenične serije.

Neka je naizmjenična serija.

Znak d'Alamberta. Ako postoji granica , tada za r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>

Cauchy znak. Ako postoji granica , tada za r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 red će biti divergentan. Kada je r=1, znak ne daje odgovor o konvergenciji niza.

Svojstva apsolutno konvergentnih redova.

1) Teorema. Za apsolutnu konvergenciju niza, potrebno je i dovoljno da se može predstaviti kao razlika dva konvergentna niza s nenegativnim članovima.

Posljedica. Uslovno konvergentni niz je razlika dva divergentna niza sa nenegativnim članovima koji teže nuli.

2) U konvergentnom nizu, svako grupisanje članova niza koje ne mijenja njihov redosled čuva konvergenciju i veličinu reda.

3) Ako niz konvergira apsolutno, onda i niz dobijen iz njega bilo kojom permutacijom članova također apsolutno konvergira i ima isti zbir.

Preuređivanjem članova uslovno konvergentnog niza, može se dobiti uslovno konvergentan niz koji ima bilo koji unapred određeni zbir, pa čak i divergentni niz.

4) Teorema. Uz bilo koje grupisanje članova apsolutno konvergentnog niza (u ovom slučaju, broj grupa može biti ili konačan ili beskonačan, a broj članova u grupi može biti ili konačan ili beskonačan), dobija se konvergentni niz, zbir od kojih je jednak zbiru originalnog niza.

5) Ako su redovi i apsolutno konvergirani i njihovi sumi su jednaki, respektivno S i s, tada se niz sastavljen od svih proizvoda oblika uzetih bilo kojim redom također apsolutno konvergira i njegov zbir je jednak S×s- proizvod zbroja pomnoženog niza.

Ako se, međutim, pomnoži uslovno konvergentni niz, onda rezultat može biti divergentan niz.

Funkcionalne sekvence.

Definicija. Ako članovi serije nisu brojevi, već funkcije iz X, tada se zove serija funkcionalan.

Proučavanje konvergencije funkcionalnih redova je teže od proučavanja numeričkih nizova. Isti funkcionalni niz može, za iste vrijednosti varijable X konvergiraju, au drugima - divergiraju. Stoga se pitanje konvergencije funkcionalnih redova svodi na određivanje tih vrijednosti varijable X za koje se niz konvergira.

Skup takvih vrijednosti se zove region konvergencije.

Budući da je granica svake funkcije uključene u područje konvergencije niza određeni broj, tada će granica funkcionalnog niza biti određena funkcija:

Definicija. Slijed ( f n (x)} konvergira da funkcioniše f(x) na segmentu , ako je za bilo koji broj e>0 i bilo koju tačku X iz segmenta koji se razmatra postoji broj N = N(e, x) takav da je nejednakost

se izvodi za n>N.

Sa odabranom vrijednošću e>0, svaka tačka segmenta odgovara svom broju i stoga će postojati beskonačan broj brojeva koji odgovaraju svim tačkama segmenta. Ako odaberete najveći od svih ovih brojeva, onda će ovaj broj biti prikladan za sve tačke segmenta, tj. biće zajednička za sve tačke.

Definicija. Slijed ( f n (x)} konvergira jednoliko da funkcioniše f(x) na intervalu ako za bilo koji broj e>0 postoji broj N = N(e) takav da je nejednakost

se izvodi za n>N za sve tačke segmenta .

Primjer. Razmotrite sekvencu

Ovaj niz konvergira na cijeloj brojevnoj osi funkciji f(x)=0, jer

Nacrtajmo ovaj niz:

Kao što se može vidjeti, kako se broj povećava n graf sekvence se približava osi X.

funkcionalni redovi.

Definicija. Privatni (djelimični) iznosi funkcionalni nizovi se nazivaju funkcijama

Definicija. Funkcionalni niz se zove konvergirajući u tački ( x=x 0) ako se niz njegovih parcijalnih suma konvergira u ovoj tački. Granica niza se zove suma veslajte u tački x 0.

Definicija. Skup svih vrijednosti X, za koji se red konvergira zove se region konvergencije red.

Definicija. Red se zove uniformno konvergentan na segmentu ako se niz parcijalnih suma ovog niza ravnomjerno konvergira na ovom segmentu.

Teorema. (Cauchyjev kriterij za uniformnu konvergenciju niza)

Da bi niz ravnomjerno konvergirao, potrebno je i dovoljno da za bilo koji broj e>0 postoji broj N(e) takav da je za n>N i bilo koji cijeli broj p>0 nejednakost

vrijedi za sve x na segmentu .

Teorema. (Weierstrassov test uniformne konvergencije)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - njemački matematičar)

Niz ravnomjerno konvergira i, štoviše, apsolutno na segmentu , ako moduli njegovih članova na istom segmentu ne prelaze odgovarajuće članove konvergentnog numeričkog niza s pozitivnim članovima:

one. postoji nejednakost:

Također kažu da je u ovom slučaju funkcionalna serija majorized strana broja.

2) Teorema o integraciji niza po član.

Niz sa neprekidnim članovima koji ravnomerno konvergiraju na intervalu može se integrisati pojam po član na ovom intervalu, tj. niz sastavljen od integrala njegovih članova nad segmentom konvergira integralu zbira niza nad ovim segmentom.

3) Teorema o diferencijaciji niza po članu.

Ako su članovi niza koji konvergiraju na segmentu kontinuirane funkcije koje imaju neprekidne izvode, a redovi sastavljeni od ovih izvoda konvergiraju jednoliko na ovom segmentu, tada se ovaj niz ravnomjerno konvergira i može se diferencirati pojam po član.

Zasnovano na činjenici da je zbir niza neka funkcija varijable X, možete izvesti operaciju predstavljanja funkcije kao serije (proširivanje funkcije u niz), koja se široko koristi u integraciji, diferencijaciji i drugim operacijama s funkcijama.

(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - norveški matematičar)

Teorema. Ako niz stepena konvergira za x = x 1, tada konvergira i, osim toga, apsolutno za sve.

Dokaz. Prema uslovu teoreme, pošto su članovi serije ograničeni, onda

gdje k je neki konstantan broj. Tačna je sljedeća nejednakost:

Iz ove nejednakosti se vidi da x numeričke vrijednosti članova našeg niza bit će manje (u svakom slučaju, ne više) od odgovarajućih članova niza na desnoj strani gore napisane nejednakosti, koji čine geometrijsku progresiju. Imenitelj ove progresije je manji od jedan, stoga je ova progresija konvergentan niz.

Dakle, na osnovu kriterijuma poređenja zaključujemo da red konvergira, što znači da je niz

REDOVI SNAGE Abelov teorem. Interval i radijus konvergencije niza stepena Ravnomerna konvergencija niza stepena i kontinuitet njegovog sume Integracija redova stepena Diferencijacija redova stepena Taylorov red Uslovi za proširenje funkcije u Taylorov red elementarnih funkcija Tabela proširenja u stepen niz (Maclaurinov niz) osnovnih elementarnih funkcija.
Abelova teorema. Interval i radijus konvergencije niza stepena Niz stepena je funkcionalni niz oblika (o ili oblika (2) gde su koeficijenti konstanti. Niz (2) formalnom zamenom x - x<> na x se svodi na seriju (1). Niz stepena (1) uvek konvergira u tački x = 0, a red (2) konvergira u tački x0, a njihov zbir u tim tačkama je jednak co. Primjer. Redovi su naslagani redovi. Otkrijmo oblik područja konvergencije stepena. Teorema 1 (Abel). Ako se niz stepena konvergira na, tada konvergira apsolutno za sve x tako da ako se red potencira divergira na x = xi, onda se divergira na bilo kojem x za koji Neka se red potencija KONVERGira na. brojevni red konvergira SREDSTVA POWER Abelov teorem. Interval i radijus konvergencije niza stepena Ravnomerna konvergencija niza stepena i kontinuitet njegovog sume Integracija redova stepena Diferencijacija redova stepena Taylorov red Uslovi za proširenje funkcije u Taylorov red elementarnih funkcija Tabela proširenja u stepen niz (Maclaurinov niz) osnovnih elementarnih funkcija. Iz ovoga slijedi da, i stoga, postoji broj takav da je M za sve n. Razmotrite niz gdje i procijenite njegov zajednički član. Imamo gdje je = . Ali niz se sastoji od članova geometrijske progresije sa nazivnikom q, gdje to znači konvergira. Na osnovu znaka poređenja serije 2 |s„:gp| konvergira u bilo kojoj tački x za koju. Prema tome, red stepena konvergira apsolutno ZA Neka sada niz stepena tačke O), koji razdvaja intervale divergencije od intervala konvergencije. Vrijedi sljedeća teorema. Teorema 2. Neka se niz stepena konvergira u tački x Φ 0. Tada ovaj niz ili apsolutno konvergira u svakoj tački realne prave, ili postoji broj R > 0 takav da niz konvergira apsolutno u i divergira u divergentnoj. Abs. konvergira divergentno d Sl. 1 Definicija. Interval konvergencije stepena niza je interval (-R, R), gdje je R > 0, takav da u svakoj tački x € (-A, R) red konvergira apsolutno, au tačkama x takvim da je |n| > R, serija se razilazi. Broj R se naziva radijus konvergencije niza stepena. Komentar. Što se tiče krajeva intervala konvergencije (-R, R), moguća su sljedeća tri slučaja: I) niz stepena konvergira i u tački x = -R i u tački x = R, 2) niz stepena divergira u obe tačke, 3) niz stepena konvergira na jednom kraju intervala konvergencije i divergira na drugom. Komentar. Red stepena gdje x φ 0 ima isti radijus konvergencije kao i niz Da bismo dokazali formulu (3), razmotrimo niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova ovog niza Primjenjujući d'Alembertov test na ovaj niz, mi find Iz toga slijedi da će niz (4) konvergirati , ako i divergirati ako. niz stepena konvergira apsolutno za sve x takve da i divergira na. Po definiciji radijusa konvergencije, nalazimo da se radijus konvergencije stepena niza može naći i po formuli ako postoji konačna granica. Formula (5) se lako može dobiti pomoću Cauchyjevog kriterija. Ako se red stepena konvergira samo u tački x = 0, onda kažu da je njegov poluprečnik konvergencije R = 0 (ovo je moguće, na primjer, kada je lim b^A = oo ili ako se niz stepena konvergira u svim tačkama realnu osu, tada stavljamo R = + oo (to se dešava, na primjer, kada je lim n^p = 0 ili Domen konvergencije stepena niza može biti ili interval (, ili segment [, ili jedan od poluintervali (x0 - R, x0 + D) ili [. Ako je R = + oo, tada će područje konvergencije niza biti cijela numerička os, tj. interval (-oo, + oo). pronaći područje konvergencije niza stepena, prvo morate izračunati njegov radijus konvergencije R (na primjer, koristeći jednu od gornjih formula) i pronaći interval konvergencije tačke O) koji razdvaja intervale divergencije od intervala Vrijedi sljedeća teorema: Teorema 2. Neka niz stepena konvergira u tački x Φ 0. Tada ovaj niz konvergira apsolutno u svakoj tački na realnoj pravoj, ili postoji broj R > O takav da red konvergira apsolutno at i divergira na | Potrošnja to. Abs. konvergira divergentna definicija. Interval konvergencije stepena niza je interval (-R, R), gdje je R > 0, takav da u svakoj tački x € (-A, R) red konvergira apsolutno, au tačkama x takvim da je |n| > R, serija se razilazi. Broj R se naziva radijus konvergencije niza stepena. Komentar. Što se tiče krajeva intervala konvergencije (-R, R), moguća su sljedeća tri slučaja: I) niz stepena konvergira i u tački x = -R i u tački x = R, 2) niz stepena divergira u obe tačke, 3) niz stepena konvergira na jednom kraju intervala konvergencije i divergira na drugom. Komentar. Red stepena gdje x φ 0 ima isti radijus konvergencije kao i niz Da bismo dokazali formulu (3), razmotrimo niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova ovog niza Primjenjujući d'Alembertov test na ovaj niz, mi find Iz toga slijedi da će red (4) konvergirati , ako je \, i divergirati ako, tj., niz stepena konvergira apsolutno za sve x tako da i divergira za \. Po definiciji radijusa konvergencije dobijamo da je R = £, tj. SREDSTVA POWER Abelov teorem. Interval i radijus konvergencije niza stepena Ravnomerna konvergencija niza stepena i kontinuitet njegovog sume Integracija redova stepena Diferencijacija redova stepena Taylorov red Uslovi za proširenje funkcije u Taylorov red elementarnih funkcija Tabela proširenja u stepen niz (Maclaurinov niz) osnovnih elementarnih funkcija. Poluprečnik konvergencije stepena niza se takođe može naći pomoću formule ako postoji konačna granica. Formula (5) se može lako dobiti pomoću Cauchyjevog kriterijuma. Ako se niz stepena konvergira samo u tački x = 0, onda kažu da je njegov polumjer konvergencije R = 0 (ovo je moguće, na primjer, kada je lim b^A = oo ili. Ako se niz stepena konvergira u svim tačkama realne ose, tada pretpostavljamo R = + oo (to se dešava, na primer, kada Područje konvergencije niza stepena može biti ili interval (, ili segment ], ili jedan od poluintervala (x0 - R, x0 + D) ili [. Ako je R = + oo, tada će područje konvergencije niza biti cijela numerička os, tj. interval (-oo, + oo). Da se pronađe područje konvergencije od stepena niza, prvo morate izračunati njegov radijus konvergencije R (na primjer, koristeći jednu od gornjih formula) i na taj način pronaći interval konvergencije u kojem se niz apsolutno konvergira, a zatim - da istražite. (3) Pošto ćemo imati niz konvergira apsolutno na intervalu 2) Hajde da istražimo Procjenjujemo konvergenciju serije (6) na krajevima intervala konvergencije. Stavljajući x = -1, dobijamo niz brojeva čija je divergencija očigledna (nije ispunjen neophodni kriterijum konvergencije: . Za x - 1 dobijamo niz brojeva za koji ne postoji, što znači da ovaj niz divergira. Dakle, Površina konvergencije niza (6) je interval. Primjer 2. Naći područje konvergencije niza M 1) Polumjer konvergencije se nalazi po formuli (3). Imamo red (7) apsolutno konvergira na intervalu, odakle kada dobijemo numerički niz koji divergira (harmonični niz). Za x = 0, imaćemo niz brojeva koji konvergira uslovno. Dakle, niz (7) konvergira u području Primjer 3. Naći interval konvergencije reda Pošto je = , tada za pronalaženje polumjera konvergencije primjenjujemo formulu područje konvergencije je interval Primjer 4. Naći interval konvergencije niza, tada dobijamo Jednakost R = 0 znači da niz (8) konvergira samo u tački. tj. oblast konvergencije datog niza stepena sastoji se od jedne tačke §2. Uniformna konvergencija niza stepena i kontinuitet njegovog zbira Teorema 1. Potencijalni red konvergira apsolutno i uniformno na bilo kom segmentu sadržanom u intervalu konvergencije niza Let. Tada za sve x koji zadovoljavaju uslov i za bilo koje n =. će imati. Ali pošto se brojevni niz konvergira, onda, prema Weierstrassovom kriterijumu, ovaj stepen stepena konvergira apsolutno i ravnomerno na segmentu. Teorema 2. Zbir stepena niza je kontinuiran u svakoj tački x njegovog intervala konvergencije (4) Bilo koja tačka x iz intervala konvergencije (-D, R) može biti zatvorena u neki segment na kojem ovaj niz ravnomjerno konvergira. x) će biti kontinuiran na segmentu [-a, a], a samim tim i u tački x. Integracija redova stepena Teorema 3 (o integraciji stepena po članu niza stepena) Može se integrisati stepen stepena pojam po član u svom intervalu konvergencije (-R, R ), R > 0, a radijus konvergencije niza dobijenog integracijom pojam po član je također jednak R. Konkretno, za bilo koji x iz interval (-R, R) formula vrijedi. Bilo koja tačka x iz intervala konvergencije (-D, R) može se zaključiti u nekom segmentu [-a, a], gdje će se na ovom segmentu konvergirati dati niz ravnomerno, a pošto su članovi niza neprekidni, može se integrisati pojam po član, na primer, u opsegu od 0 do x. Tada, prema teoremi 4 poglavlja XVIII, pronađimo poluprečnik konvergencije R" dobijene serije POWER P OTROVI Abelova teorema. Interval i radijus konvergencije niza stepena Ravnomerna konvergencija niza stepena i kontinuitet njegovog sume Integracija redova stepena Diferencijacija redova stepena Taylorov red Uslovi za proširenje funkcije u Taylorov red elementarnih funkcija Tabela proširenja u stepen niz (Maclaurinov niz) osnovnih elementarnih funkcija. pod dodatnim uslovom postojanja konačnog limita R. Dakle, radijus konvergencije stepena reda se ne menja tokom integracije. Komentar. Tvrdnja teoreme ostaje važeća za H = +oo. §4. Derivacija redova stepena Teorema 4 (o diferencijaciji stepena reda po članu). Niz stepena se može diferencirati član po član u bilo kojoj tački x njegovog intervala konvergencije 1) i (2) su jednaki. Označimo zbir nizova (2) sa nizom (1) i (2) koji se ravnomjerno konvergiraju na bilo kojem intervalu [ -a, a|, gde. Štaviše, svi članovi niza (2) su neprekidni i derivati su odgovarajućih članova niza (1). Prema tome, prema teoremi 5 poglavlja XVIII, jednakost važi na intervalu [ -a, a) Zbog proizvoljnosti a, zadnja jednakost vrijedi i na intervalu C. Definicija niza stepena Reći ćemo da se funkcija f(x) širi u niz stepena ]Γ) CnXn na intervalu ako naznačeni niz konvergira na ovom intervalu i njegov je zbir jednak f(x): Dokažimo prvo da funkcija f(x) ne može imati dva različita proširenja niza stepena oblika Teorema 5. Ako se funkcija /(x) na intervalu (-R, R) proširi u niz stepena (1), onda je ovo proširenje jedinstveno, tj. koeficijenti niza (1) su jednoznačno određeni njegovim sumom. Neka funkcija u intervalu bude proširena u konvergentni niz stepena Diferencirajući ovaj niz pojam po član n puta, nalazimo Za x = 0 dobijamo odakle su koeficijenti niza stepena (1) jednoznačno određeni sa formula (2). Komentar. Ako se funkcija /(x) proširi u niz stepena po stepenu razlike x-zq, tada su koeficijenti cn ovog niza određeni formulama. Neka funkcija / ima derivate svih redova. je beskonačno diferencibilan u tački jo. Sastavimo formalni niz stepena za ovu funkciju tako što ćemo izračunati njene koeficijente koristeći formulu (3). §pet. Definicija. Taylorov red funkcije f(x) u odnosu na tačku x0 naziva se nizom stepena u kojem se funkcija /(x) širi u niz stepena, tada je ovaj niz Taylorov red funkcije /(x) . gdje je Pjn(i) polinom stepena 3n u odnosu na j. Pokažimo sada da u tački 2 = 0 ova funkcija također ima derivate bilo kojeg reda i svi su jednaki nuli. Na osnovu definicije derivacije, imamo. Na sličan način možemo dokazati da. Dakle, data funkcija ima derivate svih redova na realnoj osi. Konstruirajte formalni Taylorov red originalne funkcije u odnosu na tačku z0 = Imamo. zbir ovog niza je identično jednak nuli, dok sama funkcija f(x) nije identično jednaka nuli. ^ Ovaj primjer vrijedi zapamtiti kada se raspravlja o složenoj analizi (analitičnosti): funkcija koja je spolja potpuno pristojna, pokazuje hiroviti karakter na realnoj osi, što je posljedica problema na imaginarnoj osi. Niz formalno konstruiran u primjeru za datu beskonačno diferencijabilnu funkciju konvergira, ali se njen zbir se ne poklapa sa vrijednostima ove funkcije za x F 0. S tim u vezi, postavlja se prirodno pitanje: koji uvjeti bi trebala biti funkcija f( x) zadovoljava na intervalu (xo - R, xo + R) tako da se može proširiti u Tejlorov red koji konvergira njemu? Uvjeti za proširenje funkcije u Taylorov red Radi jednostavnosti, razmotrit ćemo niz stepena oblika m. e. Maclaurin serija. Teorema 7. Da bi se funkcija f(x) proširila u niz stepena na intervalu (-R, R), potrebno je i dovoljno da na tom intervalu funkcija f(x) ima derivate svih redova i da u svojoj Taylorovoj formuli preostali član Rn(x) teži nuli kao za sve m Neophodnosti. Neka je na intervalu (funkcija f(x) proširiva u niz stepena, tj. niz (2) konvergira i njegov zbir je jednak f(x). Tada, prema teoremi 4 i posljedicama iz nje, funkcija f(x) ima na intervalu (-R , R) izvode f(n^(x) svih redova. Prema teoremi 5 (formula (2)) koeficijenti serije (2) imaju oblik tj. možemo napisati jednakost Zbog konvergencije ovog niza na intervalu (-R, R ) njegov ostatak 0 teži nuli kao n oo za sve x Dovoljnost Neka funkcija f(xr) na intervalu (-R, R) ima izvode od sve redove iu njegovoj Taylorovoj formuli preostali član Rn(x) 0 kao n oo za bilo koje x € (-D, R). Budući da je za n -» oo. Pošto je n-ti parcijalni zbir Taylorovog reda zapisan u uglaste zagrade, formula (4) znači da Taylorov red funkcije f (x) konvergira na intervalu (-D , R) i da je njegov zbir funkcija f(x). Dovoljni uslovi za proširenje funkcije u redovi stepena, pogodni za praktičnu upotrebu, opisani su sljedećom teoremom: Teorema 8. Da bi funkcija f(x) bilo moguće Dovoljno je dodati niz stepena tako da funkcija f(x) ima derivate svih redova na ovom intervalu i da postoji konstanta M > 0 takva da. Neka funkcija f(x) ima derivate svih redova na intervalu (-D, R). Tada možemo formalno napisati Taylorov red za njega. Dokažimo da konvergira funkciji f(x). Da bismo to učinili, dovoljno je pokazati da preostali član u Taylorovoj formuli (1) teži nuli kao n oo za sve x € (-A, R). Zaista, s obzirom na to). Brojevni niz konvergira na osnovu d'Alembertovog kriterijuma: na osnovu neophodnog kriterijuma konvergencije. Iz nejednakosti (3) dobijamo! Taylorov niz elementarnih funkcija Razmotrite proširenja u niz osnovnih elementarnih funkcija. 6 Ova funkcija ima derivate svih redova na intervalu (- bilo koji broj, i Stoga se eksponencijalna funkcija ex proširuje u Taylorov red na bilo kojem intervalu (-a, a) i, dakle, na cijeloj osi Ox. Od tada dobijamo niz Ako u ekspanziji (1) zamijenimo x sa -a*, tada imamo Ova funkcija ima derivate bilo kojeg reda, a osim toga, prema teoremi 8, funkcija sin x se proširuje u Taylorov red koji joj konvergira na intervalu (-oo, +oo). Od tada ovaj niz ima sljedeći oblik Radijus konvergencije reda Slično, dobijamo da - bilo koji realan broj Ova funkcija zadovoljava relaciju i uslov Tražićemo niz stepena čiji je zbir 5(g ) zadovoljava relaciju (4) i uslov 5(0) = 1. Postavljamo Odavde nalazimo Zamjenom odnosa (5) i (6) u formulu (4), imat ćemo Izjednačavanje koeficijenata na istim potencijama od x u lijevom i desnom dijelu jednakosti, dobijamo iz čega nalazimo POWER SERIJA Abelov teorem. Interval i radijus konvergencije niza stepena Ravnomerna konvergencija niza stepena i kontinuitet njegovog sume Integracija redova stepena Diferencijacija redova stepena Taylorov red Uslovi za proširenje funkcije u Taylorov red elementarnih funkcija Tabela proširenja u stepen niz (Maclaurinov niz) osnovnih elementarnih funkcija. Zamjenom ovih vrijednosti koeficijenata u relaciju (5) dobijamo niz Nađimo radijus konvergencije niza (7) u slučaju kada a nije prirodan broj. Imamo Dakle, niz (7) konvergira u. e. na intervalu Dokažimo da je zbir 5(x) serije (7) na intervalu (-1,1) jednak (1 + x)°. Da biste to učinili, razmotrite relaciju Budući da 5(x) zadovoljava relaciju (onda za derivaciju funkcije φ(x) dobijamo: za. Iz toga slijedi da. Konkretno, za x = 0 imamo i stoga, ili rezultirajući niz naziva se binom, a njegovi koeficijenti - binomni koeficijenti. Napomena. Ako je a prirodan broj (o = z"), funkcija (1 + z) a će biti polinom stepena n, a Dn (x) = 0 za sve n > a. Također primjećujemo ako je a = -1, imat ćemo Zamjenom w sa -x u posljednjoj jednakosti, dobićemo proširenje ove funkcije u Taylorov red po stepenu x, integriramo jednakost (9 ) unutar o Jednakost (11) vrijedi u intervalu.Možemo dokazati da jednakost (11) vrijedi i za x = 1: Tabela proširenja niza stepena (Maclaurinov red) osnovnih elementarnih funkcija.na primjerima kako se to radi .Primjer 1. Proširiti funkciju 4 u stepenu p otrova u blizini tačke xq = 2, tj. u stepenima razlike z -2. Transformirajmo ovu funkciju tako da možemo koristiti niz (10) za funkciju Imamo. Zamjena x u formuli (10) sa ^. dobijamo I I Ova ekspanzija vrijedi kada je zadovoljena bilo koja od ekvivalentnih nejednakosti Primjer 2. Proširiti funkciju po stepenu x koristeći formulu (10). 4 Rastavljajući imenilac na faktore, ovu racionalnu funkciju predstavljamo kao razliku dva prosta razlomka. Nakon jednostavnih transformacija, dobijamo Oba niza (14) i (15) će konvergirati istovremeno za \. Pošto se nizovi (14) i (15) konvergiraju u intervalu (-1,1), mogu se oduzimati član po član. Kao rezultat, dobijamo željeni niz stepena čiji je radijus konvergencije R = 1. Ovaj niz apsolutno konvergira za primjer 3. Proširimo funkciju arcsin x u Taylorov red u blizini tačke x0 = 0. 4 Poznato je da Primijenimo na funkciju (formulu (8). zamjenjujući x sa -x2 u njoj. Kao rezultat, dobivamo Integriranje oba dijela posljednje jednakosti od nule do x (integracija po članu je zakonit, budući da niz stepena konvergira ravnomjerno na bilo kojem segmentu sa krajevima u tačkama 0 i x koji leže u intervalu (-1,1)), nalazimo ili Dakle, konačno dobijamo onaj Primjer 4. Izračunajte integral (integralni sinus ) , Poznato je da se antiderivat za funkciju ^ ne izražava u terminima elementarnih funkcija. Integrand proširujemo u niz stepena, koristeći činjenicu da iz jednakosti (16) nalazimo Napomena da dijeljenje reda (16) sa t na t f 0 je legalno Jednakost (17) je također sačuvana ako pretpostavimo da je pri t = 0 omjer - = 1. Dakle, niz (17) konvergira za sve vrijednosti Integrirajući ga pojam po član, dobijamo tako da se lako procjenjuje greška u zamjeni njene sume djelomičnim zbirom. Primjer 5. Izračunajte integral Ovdje antiderivat za integrand e također nije elementarna funkcija. Da bismo izračunali integral, zamjenjujemo u formuli. Dobijamo Integrirajmo oba dijela ove jednakosti u rasponu od 0 do x: Ovaj niz konvergira za bilo koje r (njegov radijus konvergencije R = + oo) i izmjenjuje se na Vježbe Pronađite područje konvergencije stepena niza: Proširite sljedeće funkcije u nizu Makloreya i naznačite područja konvergencije dobijenog niza: Indikacija. Koristite sto. Koristeći tabelu, proširite date funkcije u Taylorov red po stepenima x - x0 i naznačite intervale konvergencije rezultirajućeg reda.

Elementi semantičke strukture

Semantička struktura rečenice.

(Ovo pitanje je za samostalno proučavanje!)

Ova vrsta analize povezuje semantičku organizaciju rečenice sa njenom formalnom organizacijom. Ovaj smjer iznio je koncept semantičke strukture rečenice (prvenstveno N.Yu. Shvedova).

Blok dijagram ima svoju semantiku, koju stvaraju formalne vrijednosti komponenti, pravila za njihov leksički sadržaj i odnos komponenti jedna prema drugoj (u nejednokomponentnim dijagramima).

Jezičko značenje određene rečenice konstruirane prema jednom ili drugom obrascu formirano je uzajamnim djelovanjem semantike ovog obrasca i leksičke semantike onih riječi koje su zauzele pozicije njenih komponenti: Učenik piše; dijete se raduje općom semantikom MSS-a („odnos subjekta i njegove predikativne karakteristike - radnja ili procesno stanje“) u prvom slučaju, prikazano je značenje „odnos između subjekta i njegove specifične radnje“, u drugom slučaj - “odnos između subjekta i njegovog emocionalnog stanja” .

Funkcionalni nizovi oblika gdje su (koeficijenti serije) i (centar niza) konstante, varijabla, nazivaju se power series. Jasno je da ako naučimo kako izračunati područje konvergencije stepena niza (sa centrom), onda lako možemo pronaći područje konvergencije originalnog niza. Stoga ćemo od sada, osim ako nije drugačije navedeno, razmotrite redove stepena forme.

Abelova teorema.Ako se niz stepena konvergira u tački, tada konvergira apsolutno iu intervalu Na bilo kojem segmentu, naznačeni niz konvergira jednoliko.

Dokaz. Kako se niz konvergira, njegov zajednički pojam je stoga ograničen, tj. postoji konstanta takva da

Pusti sada. Onda ćemo imati

Pošto geometrijska progresija konvergira (), tada konvergira prva teorema poređenja i serija Prvi dio teoreme je dokazan.

Budući da se niz konvergira prema onome što je dokazano i da se majorizira kao (vidi) niz, onda prema Weierstrassovom teoremu posljednji niz konvergira uniformno kao . Teorema je potpuno dokazana.

Iz Abelove teoreme slijedi da možemo proširiti interval sve dok ne dođe trenutak kada se niz u tački razilazi (ili takav trenutak uopće ne dođe, tj.). Tada će naznačeni interval biti područje konvergencije reda, tako da svaki stepen konvergencije ima za područje konvergencije ne proizvoljan skup, već upravo interval. Hajde da damo precizniju definiciju intervala konvergencije.

Definicija 2. Broj je pozvan radijus konvergencije serije, ako unutar intervala ovaj niz konvergira apsolutno, a izvan segmenta divergira. U ovom slučaju, interval se poziva interval konvergencije red.

Imajte na umu da za , naznačeni redovi snaga konvergiraju samo u točki i za , konvergiraju za sve realne vrijednosti.Sljedeći primjeri pokazuju da ovi slučajevi nisu isključeni: Primjer niza s konačnim polumjerom konvergencije koji nije nula može biti Imajte na umu da na granici intervala konvergencije redovi stepena mogu biti i konvergirani i divergirani. Na primjer, niz uslovno konvergira u tački i divergira u tački

Iz svojstava uniformno konvergentnih funkcionalnih redova (teoreme 1-3) lako se izvode sljedeća svojstva nizova stepena.

Teorema 4.Neka je radijus konvergencije potencijskog reda. Tada se dešavaju sljedeće izjave:

1. Zbir datog niza stepena je kontinuiran u intervalu konvergencije;

2. Ako je radijus konvergencije stepena niza, tada će niz derivacija imati isti radijus konvergencije. Iz toga slijedi da se niz stepena može diferencirati bilo koji broj puta (tj. njegov zbir je beskonačno diferencibilan u intervalu konvergencije) i jednakosti

3. Potencijalni niz se može integrirati na bilo koji interval koji leži unutar njegovog intervala konvergencije, tj.

Dokaz, na primjer, prvo svojstvo će biti ovako. Neka je proizvoljna tačka intervala konvergencije . Okružimo ovu tačku simetričnim segmentom Prema Abelovom teoremu, red konvergira jednolično na segmentu, pa je njegov zbir neprekidan na naznačenom segmentu, a samim tim i kontinuiran, posebno, a u tački je dokazano svojstvo 1. Preostala svojstva naše teoreme dokazuju se na sličan način.

Sada izračunajmo radijus konvergencije stepena niza iz njegovih koeficijenata.

Teorema 4 . Neka je zadovoljen barem jedan od sljedećih uslova:

a) postoji (konačna ili beskonačna) granica

b) postoji (konačna ili beskonačna) granica (pretpostavlja se da postoji broj takav da).

Tada je broj polumjer konvergencije serije.

Dokaz izvršićemo za slučaj a). Primijenimo Cauchyjev test na modularni niz: Prema navedenom testu, niz apsolutno konvergira ako broj tj. ako Ako, tj. ako se tada naznačeni niz razilazi. Dakle, radijus konvergencije serije. Teorema je dokazana.

Napomena 1. Teorema 1-4 se može prenijeti na stepene nizova oblika gotovo bez promjene teksta (uz malu korekciju da je u ovom slučaju područje konvergencije interval).

Primjer 1 Pronađite područje konvergencije niza ( zadatak 10, T.R., Kuznjecov L.A.)

Odluka. Primjenjujemo analog od a) Cauchyjeve teoreme: radijus konvergencije datog niza. Dakle, serija se apsolutno približava regionu

Istražujemo konvergenciju niza na krajevima intervala. Imamo

odstupa, jer

odstupa, jer

Stoga je područje konvergencije originalnog niza interval.

Definicija. Funkcionalni niz forme

gdje ... su realni brojevi, naziva se potencijskim redom.

Područje apsolutne konvergencije niza je interval , gdje je broj R je radijus konvergencije.

Neka redovi stepena imaju radijus konvergencije R > 0. Tada su tačne sljedeće tvrdnje:

1. Zbroj serije je kontinuirana funkcija od x u cijelom intervalu konvergencije.

2. Niz ravnomjerno konvergira na bilo kojem segmentu gdje .

3. Niz se može integrirati pojam po član preko bilo kojeg intervala koji leži unutar intervala .

4. Niz se može diferencirati pojam po član u bilo kojoj tački bilo kada.

napomene:

1. Integracijom ili diferenciranjem niza stepena po članu dobijaju se novi redovi stepena, dok njihov radijus konvergencije ostaje isti.

2. Radijus konvergencije niza stepena može se naći pomoću jedne od formula:

, (10)

(11)

pod uslovom da navedene granice postoje, je koeficijent serije.

Zadatak 17.31

Nađi zbir niza .

Odluka:

I način. Pronađite interval konvergencije niza:

, , .

Pojednostavite racionalni razlomak , .

Tada se niz može predstaviti razlikom dva niza:

Konvergencija svakog od njih ostaje ista (uvjerite se sami). Dakle, postoji jednakost. Označite sume serije sa i , odnosno, a željeni zbir sa , .

Nađimo zbir prvog reda:

Razlikujući član po član niz unutar intervala konvergencije, dobijamo: ; je geometrijska progresija sa nazivnikom .

Kada se progresija konvergira, , , a zbir je: ; . Sada, integrirajući na intervalu koji leži unutar intervala konvergencije, dobijamo:

.

Pronađite zbir drugog reda:

Uradimo transformaciju:

Označimo zbir niza u zagradama sa i razlikujemo u intervalu:

Ovo je takođe geometrijska progresija.

, , ;

.

Dakle, zbir originalne serije je:

ili
za .

II način. Ne ponavljajući detalje prve metode vezane za interval konvergencije ovog niza, nudimo drugu opciju za rješavanje problema. Označimo zbir niza sa: .

Pomnožite ovim redom: . Razlikujte dvaput dobijeni niz:

,

Predstavlja geometrijsku progresiju sa nazivnikom , onda . Integrirajmo na intervalu:

Integracijom po dijelovima dobijamo:

za .

Zadatak 18.31

Nađi zbir niza .

Odluka:

Ovaj niz konvergira u intervalu (uvjerite se sami). Prepišimo ga, predstavljajući ga kao zbir tri reda:

To je moguće, jer svaki od nizova ima istu oblast konvergencije - interval. Označite sume tri serije sa , , , odnosno, a željeni zbir sa .

kao zbir članova geometrijske progresije sa nazivnikom

Uradimo transformaciju:

Označimo sa sumom niza .

Integrirajući član po član ovaj niz na segmentu unutar intervala konvergencije, dobijamo:

Da bismo pronašli, moramo razlikovati razlomak:

.

shodno tome, .

Sada pronađimo:

Izvadimo to iz zagrada:

Označimo zbirom niza u zagradama. Onda

U ovim zagradama nalazi se niz čiji se zbir nalazi: . Dobijamo: .

Ali , . Zatim zbir originalne serije

dakle, za .

Taylor serija

Definicija. Red

se naziva Taylorov red u potencijama funkcije .

Funkcija se može proširiti u Taylorov red ako ima derivate svih redova u tački koja se razmatra i ako preostali član u tački u teži nuli. Taylorova serija se ponekad naziva i Maclaurin serija.

Teorema

Ako se funkcija proširuje u niz stepena, onda je ovaj niz jedinstven za nju i predstavlja Taylorov niz.

Bilješka. Uzastopnim pronalaženjem izvoda funkcija i njihovih vrijednosti u tački , može se zapisati Taylorov red. Ali u isto vrijeme, proučavanje zaostalog člana predstavlja velike poteškoće. Stoga često idu drugim putem: koriste gotova proširenja osnovnih elementarnih funkcija u nizove stepena u kombinaciji s pravilima sabiranja, oduzimanja, množenja redova i teorema o njihovoj integraciji i diferencijaciji, kao što je npr. prikazano u zadacima 17.31 i 18.31.

Zadatak 19.31

Funkcija proširenja u Taylorovom nizu u moćima od .

Odluka:

X 0 = 0. Koristimo napomenu. Jer

onda je funkcija pojednostavljena ako primijenimo metodu neodređenih koeficijenata:

.

Zbir članova geometrijske progresije sa nazivnikom je: . U našem slučaju . je radijus konvergencije ovog niza. termin ,

Zbrajanjem redova dobijamo: ili , gdje je opća oblast konvergencije. leži u potpunosti u području konvergencije serije.

Da bismo izračunali ovaj integral sa tačnošću od 0,001, moramo uzeti dva njegova člana u rezultujućoj seriji (0,0005<0,001) (см. задачу 9.31).

dakle,

Pitanja za samoispitivanje

Brojne serije

1. Dajte definicije konvergentnih i divergentnih redova.

2. Formulirati potreban kriterij za konvergenciju niza.

3. Formulirati dovoljne znakove konvergencije redova sa pozitivnim članovima: poređenje nizova sa pozitivnim članovima; znak d'Alamberta; radikalni Cauchyjev znak, integralni Cauchyjev znak.

4. Definirajte apsolutno konvergentan niz. Navedite svojstva apsolutno konvergentnih redova.

5. Formulirajte Leibnizov znak.

funkcionalni redovi

6. Definirajte područje konvergencije funkcionalnog niza.

7. Koji se niz naziva uniformno konvergentan?

8. Formulirajte Weierstrassov znak.

9. Uvjeti za proširenje funkcije u Taylorov red.

10. Formulirati teoreme o integraciji i diferencijaciji stepena redova.

11. Navedite metodu aproksimativnog izračunavanja definitivnih integrala pomoću serija.

1. Kudryavtsev L.D. Kratki kurs matematičke analize. – M.: Nauka, 1989. – 736 str.

2. Bugrov Ya.S. Diferencijalni i integralni račun / Ya.S. Bugrov, S.M. Nikolsky. – M.: Nauka, 1984. – 432 str.

3. Shmelev P.A. Teorija nizova u zadacima i vježbama. - M.: Viša škola, 1983. - 176 str.

4. Piskunov N.S. Diferencijalni i integralni račun za visoke tehničke škole. T. 2. - M.: Nauka, 1985. - 576 str.

5. Fikhtengolts G.M. Kurs diferencijalnog i integralnog računa. T. 2. - M.: Fizmatgiz, 1962. - 808 str.

6. Zaporožec G.I. Vodič za rješavanje problema u matematičkoj analizi. - M.: Viša škola, 1966. - 460 str.

7. Kuznjecov L.A. Zbirka zadataka iz više matematike (TR). - M.: Viša škola, 1983. - 174 str.

8. Danko P.E. Viša matematika u vježbama i zadacima. 2. dio / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikov. - M.: Viša škola, 1986. - 415 str.

9. Bronstein I.N. Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova / I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev. – M.: Nauka, 1986. – 544 str.

Edukativno izdanje

Borodin Nikolaj Pavlovich

Mlinski kamen Varvara Viktorovna

Šumetova Ljudmila Viktorovna

Shorkin Vladimir Sergeevich

REDOVI

Nastavno pomagalo

Urednik T.D. Vasiliev

Tehnički urednik T.P. Prokudin

Orel State Technical University

Licenca ID br. 00670 od 01.05.2000

Potpisano za objavljivanje 26. avgusta 2004. Format 60 x 84 1/16.

Ofset štampa. Uch.-ed. l. 1.9. Konv. pećnica l. 2.4. Tiraž 500 primjeraka.

Narudžba br.____

Štampano iz gotovog originalnog izgleda

u štamparskoj bazi OrelGTU,

302030, Orel, ul. Moskva, 65.