Pronađite interval pouzdanosti za procjenu matematičkog očekivanja. Tačkaste i intervalne procjene specifične težine

INTERVAL POVERENJA ZA OČEKIVANJE

1. Neka se to zna sl. veličina x podliježe normalnom zakonu s nepoznatom sredinom μ i poznatim σ 2: X~N(μ,σ 2), σ 2 je dato, μ nije poznato. S obzirom na β. Na osnovu uzorka x 1, x 2, … , x n, potrebno je konstruisati I β (θ) (sada θ=μ) zadovoljavajući (13)

Srednja vrijednost uzorka (takođe kažu i srednja vrijednost uzorka) poštuje normalni zakon sa istim centrom μ, ali manjom varijansom X~N (μ , D ), gdje je varijansa D =σ 2 =σ 2 /n.

Potreban nam je broj K β definisan za ξ~N(0,1) uslovom

Riječima: između tačaka -K β i K β x-ose nalazi se površina ispod krivulje gustine standardnog normalnog zakona, jednaka β

Na primjer, K 0,90 \u003d 1,645 kvantil nivoa 0,95 vrijednosti ξ

K 0,95 = 1,96. ; K 0,997 \u003d 3.

Konkretno, odvajajući 1,96 standardnih devijacija udesno i isto toliko lijevo od centra bilo kojeg normalnog zakona, uhvatićemo površinu ispod krivulje gustine jednaku 0,95, zbog čega je K 0 95 kvantil nivo 0,95 + 1/2 * 0,005 = 0,975 za ovaj zakon.

Željeni interval povjerenja za opći prosjek μ je I A (μ) = (x-σ, x + σ),

gdje je δ = (15)

Hajde da se opravdamo:

Prema onome što je rečeno, vrednost pada u interval J=μ±σ sa verovatnoćom β (slika 9). U ovom slučaju, vrijednost odstupa od centra μ manje od δ, i slučajni interval ± δ (sa slučajnim centrom i istom širinom kao J) će pokriti tačku μ. To je Ê J<=> μ Є ja β , i stoga R(μÊÍ β ) = R(Ê J )=β.

Dakle, interval konstante uzorka I β sadrži srednju vrijednost μ sa vjerovatnoćom β.

Jasno, što više n, to manje σ a interval je uži, i što je veća garancija β, to je širi interval povjerenja.

Primjer 21.

Po uzorku sa n=16 for normalna veličina With poznata varijansaσ 2 =64 pronađeno x=200. Konstruirajte interval povjerenja za opću srednju vrijednost (drugim riječima, za matematičko očekivanje) μ, uz pretpostavku β=0,95.

Odluka. I β (μ)= ± δ, gdje je δ = K β σ/ -> K β σ/ =1,96*8/ = 4

I 0,95 (μ)=200 4=(196;204).

Zaključujući da, uz garanciju od β=0,95, prava srednja vrednost pripada intervalu (196,204), shvatamo da je greška moguća.

Od 100 intervala povjerenja I 0,95 (μ), u prosjeku 5 ne sadrže μ.

Primjer 22.

U uslovima prethodnog primjera 21, šta treba uzeti n da bi se interval povjerenja prepolovio? Da biste imali 2δ=4, morate uzeti

U praksi se često koriste jednostrani intervali povjerenja. Dakle, ako je korisno ili nije strašno visoke vrijednostiμ, ali ne ugodno nisko, kao u slučaju snage ili pouzdanosti, razumno je izgraditi jednostrani interval. Da biste to učinili, trebate podići njegovu gornju granicu što je više moguće. Ako izgradimo, kao u primjeru 21, dvostrani interval povjerenja za dati β, a zatim ga proširimo što je više moguće zbog jedne od granica, onda ćemo dobiti jednostrani interval s većom garancijom β" = β + (1-β) / 2 = (1+ β)/2, na primjer, ako je β = 0,90, onda je β = 0,90 + 0,10/2 = 0,95.

Na primjer, to ćemo pretpostaviti mi pričamo na jačinu proizvoda i podignite gornju granicu intervala na . Tada za μ u primeru 21 dobijamo jednostrani interval poverenja (196,°°) sa donjom granicom od 196 i verovatnoćom poverenja β"=0,95+0,05/2=0,975.

Praktični nedostatak formule (15) je što se ona izvodi pod pretpostavkom da je disperzija = σ 2 (dakle = σ 2 /n) poznata; a to se retko dešava u stvarnom životu. Izuzetak je slučaj kada je veličina uzorka velika, recimo, n se mjeri stotinama ili hiljadama, i tada za σ 2 možemo praktično uzeti njegovu procjenu s 2 ili .

Primjer 23.

Pretpostavimo da u nekim veliki grad kao rezultat uzorak ankete uslovima života štićenika dobijena je sledeća tabela podataka (primer sa rada).

Tabela 8

Izvorni podaci na primjer

To je prirodno pretpostaviti vrijednost X - ukupna (korisna) površina (u m 2) po osobi je u skladu sa normalnim zakonom. Srednja vrijednost μ i varijansa σ 2 nisu poznati. Za μ, potrebno je konstruirati interval pouzdanosti od 95%. Da bismo pronašli uzorku srednje vrijednosti i varijansu iz grupisanih podataka, sastavit ćemo sljedeću tablicu proračuna (Tabela 9).

Tabela 9

X i 5 Proračuni na grupisanim podacima

N grupa h	Ukupna površina po 1 osobi, m 2	Broj stanovnika u grupi r j	Interval x j	r j x j	rjxj 2
	Do 5.0		2.5	20.0	50.0
	5.0-10.0		7.5	712.5	5343.75
	10.0-15.0		12.5	2550.0	31875.0
	15.0-20.0		17.5	4725.0	82687.5
	20.0-25.0		22.5	4725.0	106312.5
	25.0-30.0		27.5	3575.0	98312.5
	preko 30.0		32.5 *	2697.5	87668.75
			-	19005.0	412250.0

U ovoj pomoćnoj tabeli, prema formuli (2), izračunavaju se prvi i drugi početni statistički momenti a 1 i a 2

Iako je varijansa σ 2 ovdje nepoznata, zbog velike veličine uzorka, formula (15) se može primijeniti u praksi, postavljajući u njoj σ= =7,16.

Tada je δ=k 0,95 σ/ =1,96*7,16/ =0,46.

Interval pouzdanosti za opštu srednju vrednost pri β=0,95 je I 0,95 (μ) = ± δ = 19 ± 0,46 = (18,54; 19,46).

Dakle, prosječna vrijednost površine po osobi u ovom gradu sa garancijom od 0,95 leži u intervalu (18,54; 19,46).

2. Interval pouzdanosti za matematičko očekivanje μ u slučaju nepoznate varijanse σ 2 normalne vrijednosti. Ovaj interval za datu garanciju β se konstruiše prema formuli , gdje je ν = n-1 ,

(16)

Koeficijent t β,ν ima isto značenje za t - distribuciju sa ν stepeni slobode, kao i za β za distribuciju N(0,1), i to:

Drugim riječima, sl. Vrijednost tν pada u interval (-t β,ν ; +t β,ν) sa vjerovatnoćom β. Vrijednosti t β,ν date su u tabeli 10 za β=0,95 i β=0,99.

Tabela 10

Vrijednosti t β,ν

Vraćajući se na primjer 23, vidimo da je interval povjerenja u njemu izgrađen prema formuli (16) sa koeficijentom t β,υ =k 0..95 =1.96, budući da je n=1000.

Možete koristiti ovaj obrazac za pretragu da pronađete pravi zadatak. Unesite riječ, frazu iz zadatka ili njegov broj ako ga znate.

Traži samo u ovaj odeljak

Intervali pouzdanosti: Lista rješenja problema

Intervali povjerenja: teorija i problemi

Razumijevanje intervala povjerenja

Hajde da ukratko predstavimo koncept intervala poverenja, koji
1) procjenjuje neki parametar numeričkog uzorka direktno iz podataka samog uzorka,
2) pokriva vrijednost ovog parametra sa vjerovatnoćom γ.

Interval povjerenja za parametar X(sa vjerovatnoćom γ) naziva se interval oblika , takav da , a vrijednosti se na neki način izračunavaju iz uzorka.

Obično u primijenjenim zadacima nivo samopouzdanja uzeti jednako γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Razmotrimo neki uzorak veličine n, napravljen od stanovništva, raspoređene po svoj prilici prema normalnom zakonu distribucije . Hajde da pokažemo po kojim formulama se nalaze intervali povjerenja za parametre distribucije- matematičko očekivanje i disperzija (standardna devijacija).

Interval pouzdanosti za matematička očekivanja

Slučaj 1 Varijanca distribucije je poznata i jednaka je . Zatim interval pouzdanosti za parametar a izgleda kao:
t se određuje iz Laplaceove tabele raspodjele omjerom

Slučaj 2 Varijanca distribucije je nepoznata, izračunata iz uzorka tačka procene disperzija. Zatim interval pouzdanosti za parametar a izgleda kao:
, gdje je srednja vrijednost uzorka izračunata iz uzorka, parametar t utvrđeno iz Studentove tabele raspodjele

Primjer. Na osnovu podataka 7 mjerenja određene količine, utvrdili smo prosječni rezultati mjerenja jednaka 30 i varijansa uzorka, jednako 36. Pronađite granice u kojima je, sa pouzdanošću od 0,99, istinska vrijednost izmjerena vrijednost.

Odluka. Hajde da nađemo . Tada se granice pouzdanosti za interval koji sadrži pravu vrijednost izmjerene vrijednosti mogu pronaći po formuli:
, gdje je srednja vrijednost uzorka, je varijansa uzorka. Ubacivanjem svih vrijednosti dobijamo:

Interval pouzdanosti za varijansu

Vjerujemo da je, općenito govoreći, matematičko očekivanje nepoznato, a poznata je samo točkasta nepristrasna procjena varijanse. Tada interval pouzdanosti izgleda ovako:
, gdje - kvantile distribucije određene iz tabela.

Primjer. Na osnovu podataka 7 ispitivanja pronađena je vrijednost procjene standardne devijacije s=12. Odrediti sa vjerovatnoćom od 0,9 širinu intervala pouzdanosti izgrađenog za procjenu varijanse.

Odluka. Interval pouzdanosti za nepoznatu varijansu populacije može se pronaći pomoću formule:

Zamijenite i dobijete:

Tada je širina intervala povjerenja 465,589-71,708=393,881.

Interval pouzdanosti za vjerovatnoću (postotak)

Slučaj 1 Neka su veličina uzorka i frakcija uzorka (relativna frekvencija) poznati u zadatku. Tada je interval povjerenja za opći razlomak (prava vjerovatnoća):
, gdje je parametar t se određuje iz Laplaceove tablice raspodjele omjerom .

Slučaj 2 Ako problem dodatno poznaje ukupnu veličinu populacije iz koje je uzet uzorak, interval povjerenja za opći dio (prava vjerovatnoća) može se pronaći pomoću prilagođene formule:
.

Primjer. Poznato je da se sa vjerovatnoćom Nađite granice u kojima se zaključuje opći udio.

Odluka. Koristimo formulu:

Nađimo parametar iz uslova , dobijamo zamjenu u formuli:

Ostali primjeri zadataka za matematičke statistike naći ćete na stranici

Neka se napravi uzorak iz opšte populacije koja je podložna zakonu normalno distribucija XN( m;  ). Ova osnovna pretpostavka matematičke statistike zasniva se na središnjoj graničnoj teoremi. Neka je poznata opšta standardna devijacija  , ali matematičko očekivanje teorijske distribucije je nepoznato m(prosječna vrijednost).

U ovom slučaju, srednja vrijednost uzorka , dobijena tokom eksperimenta (odjeljak 3.4.2), također će biti slučajna varijabla m;
). Zatim "normalizovano" odstupanje
N(0;1) je standardna normalna slučajna varijabla.

Problem je pronaći procjenu intervala za m. Konstruirajmo dvostrani interval povjerenja za m tako da mu pravo matematičko očekivanje pripada sa datom vjerovatnoćom (pouzdanošću)  .

Postavite takav interval za vrijednost
znači pronaći maksimalnu vrijednost ove količine
i minimum
, koje su granice kritičnog regiona:
.

Jer ova vjerovatnoća je
, zatim korijen ove jednadžbe
može se pronaći pomoću tabela Laplaceove funkcije (Tablica 3, Dodatak 1).

Onda sa vjerovatnoćom  može se tvrditi da je slučajna varijabla
, odnosno željena opšta sredina pripada intervalu
. (3.13)

vrijednost
(3.14)

pozvao tačnost procjene.

Broj
– kvantil normalna distribucija - može se naći kao argument Laplaceove funkcije (Tabela 3, Dodatak 1), s obzirom na omjer 2F( u)=, tj. F( u)=
.

nazad, do postavljena vrijednost odstupanja  moguće je pronaći s kojom vjerovatnoćom nepoznata opšta sredina pripada intervalu
. Da biste to učinili, morate izračunati

. (3.15)

Neka se iz opće populacije uzme slučajni uzorak metodom ponovne selekcije. Iz jednadžbe
može se naći minimum volumen ponovnog uzorkovanja n potrebno da se osigura da interval pouzdanosti sa datom pouzdanošću nije premašio unapred podešenu vrednost  . Potrebna veličina uzorka se procjenjuje pomoću formule:

. (3.16)

Istraživanje tačnost procjene
:

1) Sa povećanjem veličine uzorka n magnitude  smanjuje se, a time i tačnost procjene povećava.

2) C povećati pouzdanost procjena vrijednost argumenta se povećava u(jer F(u) monotono raste) i stoga povećava  . U ovom slučaju, povećanje pouzdanosti smanjuje tačnost njegove procjene  .

Procjena
(3.17)

pozvao klasična(gde t je parametar koji zavisi od i n), jer karakterizira najčešće zakone distribucije.

3.5.3 Intervali pouzdanosti za procjenu očekivanja normalne distribucije sa nepoznatom standardnom devijacijom 

Neka bude poznato da opća populacija podliježe zakonu normalne distribucije XN( m; ), gdje je vrijednost srednji kvadratni korijen odstupanja nepoznato.

Da bi se izgradio interval pouzdanosti za procjenu opšte srednje vrijednosti, u ovom slučaju se koristi statistika
, koji ima Studentovu distribuciju sa k= n–1 stepen slobode. Ovo proizilazi iz činjenice da N(0;1) (vidi tačku 3.5.2), i
(vidjeti tačku 3.5.3) i iz definicije Studentove distribucije (dio 1. tačka 2.11.2).

Nađimo tačnost klasične procjene Studentove distribucije: tj. nađi t iz formule (3.17). Neka je vjerovatnoća ispunjenja nejednakosti
koju daje pouzdanost  :

. (3.18)

Zbog TSt( n-1), očigledno je da t zavisi od  i n, tako obično pišemo
.

(3.19)

gdje
je Studentova funkcija distribucije sa n-1 stepen slobode.

Rješavanje ove jednadžbe za m, dobijamo interval
koji sa pouzdanošću  pokriva nepoznati parametar m.

Vrijednost t  , n-1 , koristi se za određivanje intervala pouzdanosti slučajna varijabla T(n-1), distribuira Student sa n-1 stepen slobode se zove Studentov koeficijent. Treba ga pronaći prema datim vrijednostima n i  iz tabela " Kritične tačke Raspodjela studenata. (Tabela 6, Dodatak 1), koji su rješenja jednadžbe (3.19).

Kao rezultat, dobijamo sljedeći izraz tačnost interval povjerenja za procjenu matematičkog očekivanja (opća sredina), ako je varijansa nepoznata:

(3.20)

Dakle, postoji opšta formula za konstruisanje intervala poverenja za matematička očekivanja opšte populacije:

gdje je tačnost intervala povjerenja  ovisno o poznatoj ili nepoznatoj varijansi nalazi se prema formulama 3.16. i 3.20.

Zadatak 10. Obavljeni su neki testovi, čiji su rezultati navedeni u tabeli:


x i

Poznato je da se pridržavaju zakona normalne raspodjele s
. Pronađite procjenu m* za matematičko očekivanje m, izgradite interval pouzdanosti od 90% za to.

Odluka:

dakle, m(2.53;5.47).

Zadatak 11. Dubina mora se mjeri instrumentom čija je sistematska greška 0, a slučajne greške se distribuiraju prema normalnom zakonu, sa standardnom devijacijom  =15m. Koliko nezavisnih mjerenja treba izvršiti da bi se odredila dubina s greškama ne većim od 5 m sa nivoom pouzdanosti od 90%?

Odluka:

Po uslovu problema imamo XN( m;  ), gdje  =15m,  =5m,  =0,9. Nađimo volumen n.

1) Sa zadatom pouzdanošću = 0,9, iz tabele 3 (Dodatak 1) nalazimo argument Laplaceove funkcije u  = 1.65.

2) Poznavanje date tačnosti procjene  =u  =5, pronađi
. Imamo

. Dakle, broj suđenja n25.

Zadatak 12. Uzorkovanje temperature t za prvih 6 dana januara prikazan je u tabeli:

Pronađite interval pouzdanosti za očekivanje m opšta populacija sa pouzdanom verovatnoćom
i procijeniti opšte standardna devijacija s.

Odluka:

i
.

2) Nepristrasna procjena pronađite po formuli
:

							=-175

							=234.84

;
;

							=-192

							=116

3) Pošto je opšta varijansa nepoznata, ali je njena procena poznata, onda da se proceni matematičko očekivanje m koristimo Studentovu distribuciju (Tabela 6, Prilog 1) i formulu (3.20).

Jer n 1 =n 2 =6, onda ,
, s 1 =6,85 imamo:
, dakle -29,2-4,1<m 1 < -29.2+4.1.

Dakle -33.3<m 1 <-25.1.

Slično, imamo
, s 2 = 4,8, dakle

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33,3;-25,1) i m 2 (-34.9;-29.1).

U primijenjenim naukama, na primjer, u građevinskim disciplinama, za procjenu tačnosti objekata koriste se tabele intervala pouzdanosti, koje su date u relevantnoj referentnoj literaturi.

Neka je slučajna varijabla X opće populacije normalno raspoređena, s obzirom da su varijansa i standardna devijacija s ove distribucije poznate. Potrebno je procijeniti nepoznato matematičko očekivanje iz srednje vrijednosti uzorka. U ovom slučaju, problem se svodi na pronalaženje intervala povjerenja za matematičko očekivanje s pouzdanošću b. Ako postavimo vrijednost vjerovatnoće pouzdanosti (pouzdanosti) b, onda možemo pronaći vjerovatnoću pada u interval za nepoznato matematičko očekivanje koristeći formulu (6.9a):

gdje je F(t) Laplaceova funkcija (5.17a).

Kao rezultat, možemo formulirati algoritam za pronalaženje granica intervala povjerenja za matematičko očekivanje ako je poznata varijansa D = s 2:

Postavite vrijednost pouzdanosti na b.
Iz (6.14) izraziti F(t) = 0,5× b. Odaberite vrijednost t iz tabele za Laplaceovu funkciju po vrijednosti F(t) (vidi Dodatak 1).
Izračunajte devijaciju e koristeći formulu (6.10).
Interval povjerenja napišite prema formuli (6.12) tako da je s vjerovatnoćom b tačna sljedeća nejednakost:

Primjer 5.

Slučajna varijabla X ima normalnu distribuciju. Pronađite intervale povjerenja za procjenu s pouzdanošću b = 0,96 nepoznate srednje vrijednosti a, ako je dato:

1) opšta standardna devijacija s = 5;

2) srednja vrednost uzorka;

3) veličina uzorka n = 49.

U formuli (6.15) intervalne procjene matematičkog očekivanja a sa pouzdanošću b, sve veličine osim t su poznate. Vrijednost t se može naći pomoću (6.14): b = 2F(t) = 0,96. F(t) = 0,48.

Prema tabeli Dodatka 1 za Laplaceovu funkciju F(t) = 0,48, naći odgovarajuću vrijednost t = 2,06. shodno tome, . Zamjenom izračunate vrijednosti e u formulu (6.12) možemo dobiti interval povjerenja: 30-1,47< a < 30+1,47.

Željeni interval pouzdanosti za procjenu sa pouzdanošću b = 0,96 nepoznatog matematičkog očekivanja je: 28,53< a < 31,47.

Prvo, prisjetimo se sljedeće definicije:

Razmotrimo sljedeću situaciju. Neka varijante opšte populacije imaju normalnu distribuciju sa matematičkim očekivanjem $a$ i standardnom devijacijom $\sigma $. Srednja vrijednost uzorka u ovom slučaju će se smatrati slučajnom varijablom. Kada je $X$ normalno raspoređena, srednja vrijednost uzorka će također imati normalnu distribuciju s parametrima

Nađimo interval pouzdanosti koji pokriva $a$ sa pouzdanošću $\gamma $.

Da bismo to učinili, potrebna nam je jednakost

Iz toga dobijamo

Odavde možemo lako pronaći $t$ iz tablice vrijednosti funkcije $F\left(t\right)$ i, kao rezultat, pronaći $\delta $.

Prisjetite se tablice vrijednosti funkcije $F\left(t\right)$:

Slika 1. Tabela vrijednosti funkcije $F\left(t\right).$

Integral pouzdanosti za procjenu očekivanja kada je $(\mathbf \sigma )$ nepoznat

U ovom slučaju koristićemo vrijednost korigirane varijanse $S^2$. Zamenivši $\sigma $ u gornjoj formuli sa $S$, dobijamo:

Primjer zadataka za pronalaženje intervala povjerenja

Primjer 1

Neka veličina $X$ ima normalnu distribuciju sa varijansom $\sigma =4$. Neka veličina uzorka bude $n=64$, a pouzdanost jednaka $\gamma =0,95$. Naći interval pouzdanosti za procjenu matematičkog očekivanja date distribucije.

Moramo pronaći interval ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$.

Kao što smo vidjeli gore

\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\ t)(2)\]

Parametar $t$ pronalazimo iz formule

\[F\left(t\right)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]

Iz tabele 1 dobijamo da je $t=1.96$.