Pronađite ugao između gradijenata funkcija. Vektorska analiza skalarno polje površine i linija nivoa usmjerena derivacija derivacija skalarnog polja gradijent osnovna svojstva gradijenta invarijantna definicija pravila proračuna gradijenta

1 0 Gradijent je usmjeren duž normale na ravnu površinu (ili na liniju nivoa ako je polje ravno).

2 0 Gradijent je usmjeren u smjeru povećanja funkcije polja.

3 0 Modul gradijenta jednak je najvećoj derivaciji u pravcu u datoj tački polja:

Ova svojstva daju invarijantnu karakteristiku gradijenta. Kažu da vektor gradU ukazuje na smjer i veličinu najveće promjene u skalarnom polju u datoj tački.

Napomena 2.1. Ako je funkcija U(x,y) funkcija dvije varijable, tada je vektor

(2.3)

leži u oksi ravni.

Neka su U=U(x,y,z) i V=V(x,y,z) funkcije diferencijabilne u tački M 0 (x,y,z). Tada vrijede sljedeće jednakosti:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, gdje , U=U() ima izvod u odnosu na .

Primjer 2.1. Zadana je funkcija U=x 2 +y 2 +z 2. Odrediti gradijent funkcije u tački M(-2;3;4).

Rješenje. Prema formuli (2.2) imamo

.

Površine nivoa ovog skalarnog polja su porodica sfera x 2 +y 2 +z 2 , vektor gradU=(-4;6;8) je normalni vektor avioni.

Primjer 2.2. Pronađite gradijent skalarnog polja U=x-2y+3z.

Rješenje. Prema formuli (2.2) imamo

Površine nivoa datog skalarnog polja su ravni

x-2y+3z=C; vektor gradU=(1;-2;3) je normalni vektor ravnina ove porodice.

Primjer 2.3. Pronađite najstrmiji nagib površine U=x y u tački M(2;2;4).

Rješenje. Imamo:

Primjer 2.4. Nađi jedinični vektor normalno na ravnu površinu skalarnog polja U=x 2 +y 2 +z 2 .

Rješenje. Površine nivoa date skalarne sfere polja x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Gradijent je usmjeren duž normale na ravnu površinu, tako da

Definira vektor normale na ravnu površinu u tački M(x,y,z). Za jedinični normalni vektor dobijamo izraz

, gdje

.

Primjer 2.5. Pronađite gradijent polja U= , gdje su i konstantni vektori, r je radijus vektor tačke.

Rješenje. Neka

onda:
. Po pravilu diferencijacije determinante dobijamo

shodno tome,

Primjer 2.6. Pronađite gradijent udaljenosti, gdje je P(x,y,z) tačka polja koje se proučava, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) je neka fiksna tačka.

Rješenje. Imamo - jedinični vektor smjera.

Primjer 2.7. Odrediti ugao između gradijenata funkcija u tački M 0 (1,1).

Rješenje. Nalazimo gradijente ovih funkcija u tački M 0 (1,1), imamo

; Ugao između gradU i gradV u tački M 0 određuje se iz jednakosti

Dakle =0.

Primjer 2.8. Naći derivaciju u odnosu na pravac, radijus vektor je jednak

(2.4)

Rješenje. Pronalaženje gradijenta ove funkcije:

Zamjenom (2.5) u (2.4) dobijamo

Primjer 2.9. Pronađite u tački M 0 (1;1;1) smjer najveće promjene u skalarnom polju U=xy+yz+xz i veličinu ove najveće promjene u ovoj tački.

Rješenje. Smjer najveće promjene polja označen je vektorom grad U(M). Nalazimo ga:

I zbog toga, . Ovaj vektor određuje smjer najvećeg porasta dato polje u tački M 0 (1;1;1). Vrijednost najveće promjene u polju u ovoj tački je jednaka

.

Primjer 3.1. Pronađite vektorske linije vektorskog polja gdje je konstantni vektor.

Rješenje. Imamo tako

(3.3)

Pomnožite brojilac i imenilac prvog razlomka sa x, drugog sa y, trećeg sa z i dodajte član po član. Koristeći svojstvo proporcije, dobijamo

Dakle, xdx+ydy+zdz=0, što znači

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Sada pomnožimo brojilac i imenilac prvog razlomka (3.3) sa c 1, drugog sa c 2, trećeg sa c 3 i zbrojimo član po član, dobijamo

Odakle c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

I, prema tome, sa 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2-konst.

Potrebne jednadžbe vektorskih linija

Ove jednačine pokazuju da se vektorske linije dobijaju kao rezultat preseka sfera koje imaju zajednički centar u početku sa ravnima, okomito na vektor . Iz toga slijedi da su vektorske linije kružnice čiji su centri na pravoj liniji koja prolazi kroz početak u smjeru vektora c. Ravnine kružnica su okomite na navedenu liniju.

Primjer 3.2. Pronađite vektorsku liniju polja prolazeći kroz tačku (1,0,0).

Rješenje. Diferencijalne jednadžbe vektorske linije

dakle imamo . Rješavanje prve jednačine. Ili ako uvedemo parametar t, tada ćemo imati u ovom slučaju jednačinu poprima oblik ili dz=bdt, odakle z=bt+c 2 .

Zadatak 2. Odrediti kosinus ugla a između gradijenata polja u tačkama A(1, 2, 2) i B(-3, 1, 0). Rješenje.

Zadatak 3. Za funkciju pronađite izvod duž unutrašnje normale na cilindrična površina x 2 + z 2 = a 2 + c 2 u tački M 0(a, b, c). Rješenje. Neka je f(x, y, z) = x 2 + z 2. Površina data u uslovu je ravna površina za f koja prolazi kroz tačku M 0. Imamo Funkcija f u tački M 0 najbrže raste u pravcu grad f, dakle, u pravcu normalnom na datu površinu.

Na osnovu oblika funkcije f zaključujemo da je ovo smjer vanjske normale. Stoga će jedinični vektor unutrašnje normale u tački M 0 biti jednak

Zadatak 5. Izračunajte tok vektorskog polja a = (z 2 - x, 1, y 5) kroz unutrašnja površina S: y 2 = 2 x odsječeno ravnima: x = 2, z = 0, z = 3. Rješenje.

Rješenje. Metoda I Kontura L - kružnica poluprečnika R, koja leži u ravni z = 3. Odaberimo orijentaciju kao što je prikazano na slici, tj. u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Parametarske jednadžbe krugovi izgledaju

II način. Da bismo izračunali cirkulaciju u skladu sa Stokesovom teoremom, biramo neku površinu S prevučenu konturom. Prirodno je uzeti kao S kružnicu koja ima konturu L kao svoju granicu. Jednačina površine S ima oblik: Prema odabranoj orijentaciji konture, normala na površinu mora se uzeti jednakom

Zadatak 7. Koristeći Stokesovu teoremu, pronaći cirkulaciju vektorskog polja preko presjeka x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ravninom z = 0. Rješenje. Prema Stokesovoj formuli

Zadatak 8. Naći vektorski tok kroz dio sfere x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , za x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, u smjeru vanjske normale. Rješenje. Po definiciji vektorskog toka kroz površinu, nalazimo

Ako je u svakoj tački u prostoru ili dijelu prostora definirana vrijednost određene veličine, onda se kaže da je polje te veličine dato. Polje se naziva skalarno ako je razmatrana vrijednost skalarna, tj. dobro okarakterisan svojim numerička vrijednost. Na primjer, temperaturno polje. Skalarno polje je dato skalarnom funkcijom tačke u = /(M). Ako se u prostor uvede Dekartov koordinatni sistem, onda postoji funkcija tri varijable x, yt z - koordinate tačke M: Definicija. Nivo površina skalarnog polja je skup tačaka u kojima funkcija f(M) poprima istu vrijednost. Jednačina površine nivoa Primer 1. Pronađite površine nivoa skalarnog polja VEKTORSKA ANALIZA Površine nivoa skalarnog polja i linije nivoa Usmerena derivacija Izvod Gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila za izračunavanje nivoa gradijenta -4 po definiciji a jednačina površine će biti. Ovo je jednadžba sfere (sa F 0) sa središtem na početku. Skalarno polje se naziva ravno ako je polje isto u svim ravnima paralelnim nekoj ravni. Ako se navedena ravan uzme kao ravan xOy, tada funkcija polja neće ovisiti o z koordinati, tj. bit će funkcija samo argumenata x i y, kao i značenja. Jednačina ravnine - Primjer 2. Naći linije nivoa skalarnog polja Linije nivoa su date jednačinama. Kod c = 0 dobijamo par linija, dobijamo familiju hiperbola (slika 1). 1.1. Smjerni izvod Neka postoji skalarno polje definirano skalarnom funkcijom u = /(Af). Uzmimo tačku Afo i izaberemo pravac određen vektorom I. Uzmimo drugu tačku M tako da vektor M0M bude paralelan vektoru 1 (slika 2). Označimo dužinu MoM vektora sa A/, a prirast funkcije /(Af) - /(Afo), koji odgovara pomaku D1, sa Di. Stav određuje prosječna brzina promena skalarnog polja po jedinici dužine u datom pravcu Let sada teži nuli tako da vektor M0M ostaje paralelan vektoru I sve vreme. Ako za D/O postoji konačna granica relacije (5), onda se ona naziva derivacijom funkcije u datoj tački Afo u datom pravcu I i označava se simbolom zr!^. Dakle, po definiciji, ova definicija nije vezana za izbor koordinatnog sistema, odnosno ima **varijantni karakter. Nađimo izraz za derivaciju u odnosu na smjer u Kartezijanski sistem koordinate. Neka je funkcija / diferencijabilna u točki. Razmotrimo vrijednost /(Af) u tački. Tada se ukupni prirast funkcije može zapisati u sljedećem obliku: gdje i simboli znače da su parcijalne derivacije izračunate u tački Afo. Stoga su ovdje veličine jfi, ^ kosinus smjera vektora. Budući da su vektori MoM i I kousmjereni, njihovi kosinusi smjera su isti: budući da se M Afo, koji se cijelo vrijeme nalazi na pravoj liniji, paralelno sa vektorom 1, onda su uglovi konstantni, pa Konačno, iz jednakosti (7) i (8) dobijamo Eamuan i 1. Parcijalne derivacije su izvode funkcije i u smjerovima koordinatnih osa sa vanjskim nno- Primjer 3. Pronađite derivacija funkcije prema tački Vektor ima dužinu. Njegov kosinus smjera: Formulom (9) imat ćemo Činjenica da, znači da je skalarno polje u tački u datom smjeru starosti- Za ravno polje, derivacija u pravcu I u tački se izračunava po formuli gdje je a ugao koji formira vektor I sa osom Oh. Zmmchmm 2. Formula (9) za izračunavanje derivacije duž pravca I u datoj tački Afo ostaje na snazi ​​čak i kada tačka M teži tački Mo duž krive za koju je vektor I tangentan u tački PrISchr 4. Izračunajte derivacija skalarnog polja u tački Afo(l, 1). koja pripada paraboli u smjeru ove krive (u smjeru rastuće apscise). Smjer ] parabole u tački je smjer tangente na parabolu u ovoj tački (slika 3). Neka tangenta na parabolu u tački Afo formira ugao o sa osom Ox. Odakle onda usmjeravajući kosinus tangente Izračunajmo vrijednosti i u tački. Sada po formuli (10) dobijamo. Naći izvod skalarnog polja u tački u pravcu kružnice. Vektorska jednačina kružnice ima oblik. Nalazimo jedinični vektor m tangente na kružnicu.Tačka odgovara vrijednosti parametra. Gradijent skalarnog polja Neka je skalarno polje definirano skalarnom funkcijom za koju se pretpostavlja da je diferencijabilna. Definicija. Gradijent skalarnog polja » u datoj tački M je vektor označen simbolom grad i definisan jednakošću. Jasno je da ovaj vektor zavisi i od funkcije / i od tačke M u kojoj se izračunava njegov izvod. Neka je 1 jedinični vektor u smjeru. Tada se formula za usmjereni izvod može napisati na sljedeći način: . dakle, derivacija funkcije i u pravcu 1 jednaka je tačkasti proizvod gradijenta funkcije u(M) po jediničnom vektoru 1° pravca I. 2.1. Osnovna svojstva gradijenta Teorema 1. Gradijent skalarnog polja je okomit na površinu nivoa (ili na liniju nivoa ako je polje ravno). (2) Provući proizvoljna tačka M je ravna površina u = const i odaberite glatku krivu L na ovoj površini koja prolazi kroz tačku M (slika 4). Neka je I vektor tangent na krivulju L u tački M. Pošto je na površini nivoa u(M) = u(M|) za bilo koju tačku Mj ∈ L, onda je, s druge strane, = (gradu, 1°) . Zbog toga. To znači da su vektori grad i i 1° ortogonalni, tako da je vektor grad i ortogonan na bilo koju tangentu na površinu nivoa u tački M. Dakle, on je ortogonan na samu površinu nivoa u tački M. Teorema 2 Gradijent je usmjeren u smjeru rastuće funkcije polja. Ranije smo dokazali da je gradijent skalarnog polja usmjeren duž normale na ravnu površinu, koja može biti orijentirana ili ka porastu funkcije u(M) ili prema njenom smanjenju. Označimo sa n normalu ravnine površine orijentisane u pravcu rastuće funkcije ti(M), a izvod funkcije u pronađimo u pravcu ove normale (slika 5). Imamo Pošto prema uslovu sa slike 5 i samim tim VEKTORSKA ANALIZA Skalarna polja Površine i linije nivoa Usmerena derivacija Izvod Skalarni gradijent polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila za izračunavanje gradijenta Iz toga sledi da je grad i usmeren u isti smjer kao onaj koji smo odabrali normalu n, tj. u smjeru rastuće funkcije u(M). Teorema 3. Dužina gradijenta je jednaka najvećem izvodu u odnosu na pravac u datoj tački polja, (ovde se uzima max $ u svim mogućim pravcima u datoj tački M do tačke). Imamo gdje je ugao između vektora 1 i grad n. Pošto je najveća vrijednost Primjer 1. Pronađite smjer najvećeg imonija skalarnog polja u tački i također veličinu ove najveće promjene u navedenoj tački. Smjer najveće promjene u skalarnom polju označen je vektorom. Imamo tako. Ovaj vektor određuje smjer najvećeg povećanja polja do tačke. Vrijednost najveće promjene u polju u ovom trenutku je 2,2. Invarijantna definicija gradijenta Veličine koje karakterišu svojstva objekta koji se proučava i ne zavise od izbora koordinatnog sistema nazivaju se invarijantne ovaj objekat. Na primjer, dužina krive je invarijanta ove krive, ali ugao tangente na krivu sa x-osom nije invarijanta. Na osnovu tri dokazana svojstva skalarnog gradijenta polja, možemo dati sljedeće invarijantna definicija gradijent. Definicija. Gradijent skalarnog polja je vektor usmjeren duž normale na površinu razine u smjeru rastuće funkcije polja i koji ima dužinu jednaku najvećoj derivaciji smjera (u datoj tački). Neka je jedinični normalni vektor usmjeren u smjeru rastućeg polja. Zatim Primjer 2. Pronađite gradijent udaljenosti - neka fiksna tačka, i M(x,y,z) - trenutni. 4 Imamo gdje je jedinični vektor smjera. Pravila za izračunavanje gradijenta gdje je c konstantan broj. Gore navedene formule se dobijaju direktno iz definicije gradijenta i svojstava izvoda. Po pravilu diferencijacije proizvoda Dokaz je sličan dokazu svojstva Neka je F(u) diferencijabilna skalarna funkcija. Tada 4 Prema definiciji gradijenta, imamo Primijeni na sve pojmove na desnoj strani pravilo diferencijacije složena funkcija. Konkretno, formula (6) slijedi iz ravni formule na dvije fiksne tačke ove ravni. Razmotrimo proizvoljnu elipsu sa žarištima Fj i F] i dokažimo da svaki zrak svjetlosti koji izlazi iz jednog fokusa elipse, nakon refleksije od elipse, ulazi u njen drugi fokus. Linije nivoa funkcije (7) su VEKTORSKA ANALIZA Skalarna polja Površine i linije nivoa Smjerna derivacija Derivat Skalarni gradijent polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila proračuna gradijenta Jednačine (8) opisuju familiju elipsa sa žarištima u tačkama F) i Fj. Prema rezultatu primjera 2, imamo Gradijent dato polje jednak vektoru PQ dijagonale romba izgrađene na jediničnim vektorima od r? i radijus vektori. povučen u tačku P(x, y) iz žarišta F| i Fj, te stoga leži na simetrali ugla između ovih radijus vektora (slika 6). Prema Tooromu 1, gradijent PQ je okomit na elipsu (8) u tački. Stoga, sl.6. normala na elipsu (8) u bilo kojoj tački deli ugao između vektora radijusa povučenih u ovu tačku. Odavde i iz činjenice da je upadni ugao jednak kutu refleksije, dobijamo: zrak svetlosti koji izlazi iz jednog fokusa elipse, reflektujući se od njega, sigurno će pasti u drugi fokus ove elipse.