Naći jednačinu za dvije tačke. Razne jednadžbe prave linije

Definicija. Bilo koja linija u ravni može se dati jednačinom prvog reda

Ah + Wu + C = 0,

a konstante A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - prava prolazi kroz ishodište

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0) - prava je paralelna s osom Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0) - prava je paralelna sa Oy osom

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - prava linija se poklapa sa osom Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - prava linija se poklapa sa osom Ox

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo kojeg datog početnog uslova.

Jednačina prave linije po tački i vektor normale

Definicija. U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B) je okomit na pravu datu jednačinom Ax + By + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1, 2) okomito na (3, -1).

Rješenje. Sastavimo na A = 3 i B = -1 jednadžbu prave linije: 3x - y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C, zamjenjujemo koordinate date točke A u rezultirajući izraz. Dobijamo: 3 - 2 + C = 0, dakle, C \u003d -1. Ukupno: željena jednadžba: 3x - y - 1 \u003d 0.

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), a onda jednačina prave koja prolazi kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli. Na ravni je jednačina pravolinijske jednadžbe napisana iznad je pojednostavljena:

ako je x 1 ≠ x 2 i x = x 1 ako je x 1 = x 2.

Razlomak = k se zove faktor nagiba ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Rješenje. Primjenom gornje formule dobijamo:

Jednačina prave linije iz tačke i nagiba

Ako ukupni Ax + Wu + C = 0 dovede do oblika:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednačina zove jednačina prave linije sa nagibomk.

Jednadžba prave linije sa vektorom tačke i smjera

Po analogiji sa paragrafom koji razmatra jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete uneti zadavanje prave linije kroz tačku i usmeravajućeg vektora prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1, α 2), čije komponente zadovoljavaju uslov A α 1 + B α 2 = 0 naziva se usmjeravajući vektor prave

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A(1, 2).

Rješenje. Tražićemo jednačinu željene prave u obliku: Ax + By + C = 0. U skladu sa definicijom, koeficijenti moraju zadovoljiti uslove:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0. za x = 1, y = 2 dobijamo C / A = -3, tj. željena jednačina:

Jednačina prave linije u segmentima

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Wu + C = 0 C≠0, onda, dijeljenjem sa –C, dobijamo: ili

Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent a je koordinata tačke preseka prave sa x-osom, i b- koordinata tačke preseka prave linije sa Oy osom.

Primjer. Zadata je opšta jednačina prave x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normalna jednačina prave linije

Ako se obje strane jednačine Ax + Vy + C = 0 pomnože sa brojem , koji se zove normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normalna jednačina prave linije. Predznak ± faktora normalizacije mora se odabrati tako da μ * S< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Primjer. Zadata je opšta jednačina prave 12x - 5y - 65 = 0. Za ovu pravu je potrebno napisati različite vrste jednačina.

jednadžba ove prave u segmentima:

jednadžba ove prave sa nagibom: (podijelite sa 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Treba napomenuti da se svaka prava linija ne može predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave linije paralelne sa osama ili koje prolaze kroz ishodište.

Primjer. Prava linija odsijeca jednake pozitivne segmente na koordinatnim osama. Napišite jednadžbu ravne linije ako je površina trokuta koji čine ovi segmenti 8 cm 2.

Rješenje. Jednačina prave linije ima oblik: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Primjer. Napišite jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku A (-2, -3) i ishodište.

Rješenje. Jednačina prave linije ima oblik: , gdje je x 1 = y 1 = 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Ugao između linija na ravni

Definicija. Ako su date dvije prave y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , tada će oštar ugao između ovih pravih biti definiran kao

Dvije prave su paralelne ako je k 1 = k 2 . Dvije prave su okomite ako je k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Prave Ax + Vy + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelne kada su koeficijenti A 1 = λA, B 1 \u003d λB proporcionalni. Ako je i S 1 = λS, tada se prave poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se kao rešenje sistema jednačina ovih pravih.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku okomita na datu pravu

Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomita na pravu y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

Udaljenost od tačke do linije

Teorema. Ako je data tačka M(x 0, y 0), tada je udaljenost do prave Ax + Vy + C \u003d 0 definirana kao

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i y 1 mogu se naći kao rješenje sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina prave linije koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito na datu pravu liniju. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomite.

Rješenje. Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Naći jednačinu za visinu povučenu iz vrha C.

Rješenje. Pronalazimo jednačinu stranice AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Željena jednačina visine je: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b. k = . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Prava koja prolazi kroz tačku K(x 0; y 0) i paralelna je pravoj y = kx + a nalazi se po formuli:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Gdje je k nagib prave linije.

Alternativna formula:
Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1 ; y 1) i paralelna je sa pravom Ax+By+C=0 predstavljena je jednadžbom

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Primjer #1. Sastaviti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0 (-2.1) i istovremeno:
a) paralelno sa pravom 2x+3y -7 = 0;
b) okomito na pravu 2x+3y -7 = 0.
Rješenje . Hajde da predstavimo jednadžbu nagiba kao y = kx + a. Da bismo to učinili, prenijet ćemo sve vrijednosti osim y na desnu stranu: 3y = -2x + 7. Zatim dijelimo desnu stranu sa koeficijentom 3 . Dobijamo: y = -2/3x + 7/3
Naći jednačinu NK koja prolazi kroz tačku K(-2;1) paralelnu pravoj liniji y = -2 / 3 x + 7 / 3
Zamjenom x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 = 1 dobivamo:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
ili
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ili 3y + 2x +1 = 0

Primjer #2. Napišite jednačinu prave paralelne pravoj liniji 2x + 5y = 0 i formirajući zajedno sa koordinatnim osama trokut čija je površina 5.
Rješenje . Budući da su prave paralelne, jednadžba željene linije je 2x + 5y + C = 0. Površina pravokutnog trokuta, gdje su a i b njegove noge. Pronađite točke presjeka željene linije sa koordinatnim osa:
;
.
Dakle, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Zamjena u formuli za područje: . Dobijamo dva rješenja: 2x + 5y + 10 = 0 i 2x + 5y - 10 = 0 .

Primjer #3. Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku (-2; 5) i paralelnu pravu 5x-7y-4=0 .
Rješenje. Ova prava linija se može predstaviti jednačinom y = 5/7 x – 4/7 (ovdje a = 5/7). Jednačina željene linije je y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), tj. 7(y-5)=5(x+2) ili 5x-7y+45=0 .

Primjer #4. Rješavajući primjer 3 (A=5, B=-7) koristeći formulu (2), nalazimo 5(x+2)-7(y-5)=0.

Primjer broj 5. Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku (-2;5) i paralelne prave 7x+10=0.
Rješenje. Ovdje A=7, B=0. Formula (2) daje 7(x+2)=0, tj. x+2=0. Formula (1) nije primenljiva, jer se ova jednačina ne može rešiti u odnosu na y (ova prava je paralelna sa y-osom).

Svojstva prave linije u euklidskoj geometriji.

Postoji beskonačno mnogo pravih koje se mogu povući kroz bilo koju tačku.

Kroz bilo koje dvije tačke koje se ne poklapaju, postoji samo jedna prava linija.

Dvije nepodudarne prave u ravni ili se sijeku u jednoj tački, ili su

paralelno (slijedi iz prethodnog).

U trodimenzionalnom prostoru postoje tri opcije za relativni položaj dvije linije:

linije se seku;

ravne linije su paralelne;

prave se seku.

Pravo linija- algebarska kriva prvog reda: u Dekartovom koordinatnom sistemu prava linija

je dato na ravni jednačinom prvog stepena (linearna jednačina).

Opšta jednačina prave linije.

Definicija. Bilo koja linija u ravni može se dati jednačinom prvog reda

Ah + Wu + C = 0,

i konstantan A, B nije jednako nuli u isto vrijeme. Ova jednačina prvog reda se zove general

jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i OD Mogući su sljedeći posebni slučajevi:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linija prolazi kroz ishodište

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- prava paralelna sa osom Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- prava paralelna sa osom OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linija se poklapa sa osom OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linija se poklapa sa osom Oh

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo koje date

početni uslovi.

Jednačina prave linije po tački i vektor normale.

Definicija. U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B)

okomito na pravu datu jednacinom

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Rješenje. Sastavimo na A = 3 i B = -1 jednadžbu prave linije: 3x - y + C = 0. Da pronađemo koeficijent C

u rezultirajući izraz zamjenjujemo koordinate date tačke A. Dobijamo: 3 - 2 + C = 0, dakle

C = -1. Ukupno: željena jednadžba: 3x - y - 1 \u003d 0.

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i M2 (x 2, y 2 , z 2), onda jednačina prave linije,

prolazeći kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli. Na

ravni, gore napisana jednačina prave je pojednostavljena:

ako x 1 ≠ x 2 i x = x 1, ako x 1 = x 2 .

Razlomak = k pozvao faktor nagiba ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Rješenje. Primjenom gornje formule dobijamo:

Jednadžba prave linije po tački i nagibu.

Ako je opća jednačina prave linije Ah + Wu + C = 0 dovesti u formu:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednačina zove

jednačina prave linije sa nagibom k.

Jednadžba prave linije na tački i usmjerivača.

Po analogiji sa tačkom koja razmatra jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete ući u zadatak

prava linija kroz tačku i vektor pravca prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1 , α 2), čije komponente zadovoljavaju uslov

Aα 1 + Bα 2 = 0 pozvao vektor smjera prave linije.

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A(1, 2).

Rješenje. Tražićemo jednadžbu željene prave linije u obliku: Ax + By + C = 0. prema definiciji,

koeficijenti moraju zadovoljiti uslove:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.

at x=1, y=2 dobijamo C/ A = -3, tj. željena jednačina:

x + y - 3 = 0

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Wu + C = 0 C≠0, tada, dijeljenjem sa -C, dobijamo:

ili , gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da je koeficijent a koordinata tačke preseka

ravno sa osovinom Oh, a b- koordinata tačke preseka linije sa osom OU.

Primjer. Daje se opšta jednačina prave linije x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normalna jednačina prave linije.

Ako obje strane jednačine Ah + Wu + C = 0 podijeliti brojem , koji se zove

normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednačina prave linije.

Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da μ * C< 0.

R- dužina okomice spuštena od početka do prave,

a φ je ugao koji formira ova okomita s pozitivnim smjerom ose Oh.

Primjer. Zadata je opšta jednačina prave linije 12x - 5y - 65 = 0. Potreban za pisanje različitih vrsta jednačina

ovu pravu liniju.

Jednačina ove prave linije u segmentima:

Jednačina ove prave sa nagibom: (podijeliti sa 5)

Jednačina prave linije:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Treba napomenuti da se ne može svaka prava linija predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave,

paralelno sa osovinama ili prolazeći kroz ishodište.

Ugao između linija na ravni.

Definicija. Ako su data dva reda y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, zatim oštar ugao između ovih linija

će se definisati kao

Dvije prave su paralelne ako k 1 = k 2. Dvije prave su okomite

ako k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direktno Ah + Wu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 su paralelni kada su koeficijenti proporcionalni

A 1 = λA, B 1 \u003d λB. Ako takođe C 1 \u003d λ C, tada se linije poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave

nalaze se kao rješenje sistema jednačina ovih linija.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku je okomita na datu pravu.

Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomito na pravu y = kx + b

predstavljena jednačinom:

Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Ako je dat poen M(x 0, y 0), zatim udaljenost do linije Ah + Wu + C = 0 definirano kao:

Dokaz. Pusti poentu M 1 (x 1, y 1)- osnova okomice ispuštena iz tačke M za dato

ravno. Zatim udaljenost između tačaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i 1 može se naći kao rješenje sistema jednačina:

Druga jednačina sistema je jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito

zadata linija. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Jednačina prave na ravni.

Kao što je poznato, bilo koja tačka na ravni je određena sa dve koordinate u nekom koordinatnom sistemu. Koordinatni sistemi mogu biti različiti u zavisnosti od izbora baze i porekla.

Definicija. Jednačina linije je odnos y = f(x) između koordinata tačaka koje čine ovu pravu.

Imajte na umu da se jednadžba linije može izraziti na parametarski način, to jest, svaka koordinata svake tačke se izražava kroz neki nezavisni parametar t.

Tipičan primjer je putanja pokretne tačke. U ovom slučaju vrijeme igra ulogu parametra.

Jednačina prave linije na ravni.

Definicija. Bilo koja linija u ravni može se dati jednačinom prvog reda

Ah + Wu + C = 0,

štaviše, konstante A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli, tj. A 2 + B 2  0. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina prave linije.

Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C \u003d 0, A  0, B  0 - prava prolazi kroz ishodište

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - prava je paralelna s osom Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C = 0) - prava je paralelna sa Oy osom

B \u003d C \u003d 0, A  0 - prava linija se poklapa sa osom Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - prava linija se poklapa sa osom Ox

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo kojeg datog početnog uslova.

Jednačina prave linije po tački i vektor normale.

Definicija. U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B) je okomit na pravu datu jednačinom Ax + By + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A (1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Sastavimo na A = 3 i B = -1 jednadžbu prave linije: 3x - y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C, zamjenjujemo koordinate date točke A u rezultirajući izraz.

Dobijamo: 3 - 2 + C \u003d 0, dakle C = -1.

Ukupno: željena jednadžba: 3x - y - 1 \u003d 0.

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), a onda jednačina prave koja prolazi kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli.

Na ravni, jednadžba ravne linije koja je gore napisana je pojednostavljena:

ako je x 1  x 2 i x = x 1, ako je x 1 = x 2.

Razlomak
=k se poziva faktor nagiba ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Primjenom gornje formule dobijamo:

Jednadžba prave linije po tački i nagibu.

Ako opšta jednačina prave Ax + Vy + C = 0 dovede do oblika:

i odrediti
, tada se rezultirajuća jednačina zove jednačina prave linije sa nagibomk.

Jednadžba prave linije na tački i usmjerivača.

Po analogiji sa paragrafom koji razmatra jednadžbu prave kroz vektor normale, možete uneti zadavanje prave linije kroz tačku i usmeravajućeg vektora prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule ( 1 ,  2), čije komponente zadovoljavaju uslov A 1 + B 2 = 0 naziva se usmjeravajući vektor prave

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednadžbu prave linije sa vektorom pravca (1, -1) i prolazi kroz tačku A(1, 2).

Tražićemo jednačinu željene prave u obliku: Ax + By + C = 0. U skladu sa definicijom, koeficijenti moraju zadovoljiti uslove:

1A + (-1)B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C/A = 0.

kod x = 1, y = 2 dobijamo S/A = -3, tj. željena jednačina:

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Wu + C = 0 C 0, onda, dijeljenjem sa –C, dobijamo:
ili

, gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent a je koordinata tačke preseka prave sa x-osom, i b- koordinata tačke preseka prave linije sa Oy osom.

Primjer. Zadata je opšta jednačina prave x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Normalna jednačina prave linije.

Ako su obje strane jednadžbe Ax + Wy + C = 0 podijeljeno brojem
, koji se zove normalizujući faktor, onda dobijamo

xcos + ysin - p = 0 –

normalna jednačina prave linije.

Predznak  faktora normalizacije mora biti odabran tako da S< 0.

p je dužina okomice spuštene od početka do prave, a  je ugao koji ova okomica formira sa pozitivnim smjerom ose Ox.

Primjer. Zadata je opšta jednačina prave 12x - 5y - 65 = 0. Za ovu pravu je potrebno napisati različite vrste jednačina.

jednadžba ove prave u segmentima:

jednadžba ove prave sa nagibom: (podijelite sa 5)

normalna jednačina prave linije:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Treba napomenuti da se svaka prava linija ne može predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave linije paralelne sa osama ili koje prolaze kroz ishodište.

Primjer. Prava linija odsijeca jednake pozitivne segmente na koordinatnim osama. Napišite jednadžbu ravne linije ako je površina trokuta koji čine ovi segmenti 8 cm 2.

Jednačina prave linije ima oblik:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -četiri.

a = -4 ne odgovara uslovu problema.

Ukupno:
ili x + y - 4 = 0.

Primjer. Napišite jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku A (-2, -3) i ishodište.

Jednačina prave linije ima oblik:
, gdje je x 1 = y 1 = 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Ugao između linija na ravni.

Definicija. Ako su date dvije prave y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , tada će oštar ugao između ovih pravih biti definiran kao

Dvije prave su paralelne ako je k 1 = k 2 .

Dvije prave su okomite ako je k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Prave Ax + Vy + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelni kada su koeficijenti A proporcionalni 1 =  A, B 1 =  B. Ako i C 1 =  C, tada se linije poklapaju.

Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se kao rešenje sistema jednačina ovih pravih.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku

okomito na ovu pravu.

Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomita na pravu y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Ako je tačka M(x 0 , y 0 ), tada je udaljenost do prave Ax + Vy + C = 0 definirana kao

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

Koordinate x 1 i y 1 mogu se naći kao rješenje sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina prave linije koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito na datu pravu liniju.

Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomite.

Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Naći jednačinu za visinu povučenu iz vrha C.

Pronalazimo jednačinu stranice AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Željena jednačina visine je: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.

k = . Tada je y =
. Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu:
odakle je b = 17. Ukupno:
.

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Analitička geometrija u prostoru.

Jednačina linije u prostoru.

Jednačina prave u prostoru po tački i

vektor smjera.

Uzmite proizvoljnu liniju i vektor (m, n, p) paralelno sa datom pravom. Vector pozvao vodeći vektor ravno.

Uzmimo dvije proizvoljne tačke M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i M(x, y, z) na pravoj liniji.

Označimo radijus vektore ovih tačaka kao i , očigledno je da - =
.

Jer vektori
i su kolinearni, onda je relacija tačna
= t, gdje je t neki parametar.

Ukupno možemo napisati: = + t.

Jer ova jednačina je zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na pravoj, onda je rezultirajuća jednačina parametarska jednačina prave linije.

Ova vektorska jednadžba se može predstaviti u koordinatnom obliku:

Transformirajući ovaj sistem i izjednačavajući vrijednosti parametra t, dobijamo kanonske jednačine prave u prostoru:

Definicija. Smjer kosinus direktni su kosinusi smjera vektora , koji se može izračunati po formulama:

;

.

Odavde dobijamo: m: n: p = cos : cos : cos.

Zovu se brojevi m, n, p faktori nagiba ravno. Jer je vektor različit od nule, m, n i p ne mogu biti nula u isto vrijeme, ali jedan ili dva od ovih brojeva mogu biti nula. U ovom slučaju, u jednačini prave linije, odgovarajuće brojioce treba izjednačiti sa nulom.

Jednačina prave linije u prolazu kroz prostor

kroz dve tačke.

Ako su dvije proizvoljne tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2) označene na pravoj liniji u prostoru, tada koordinate tih tačaka moraju zadovoljiti jednadžbu ravna linija dobijena gore:

Osim toga, za tačku M 1 možemo napisati:

Zajedno rješavajući ove jednačine dobijamo:

Ovo je jednadžba prave linije koja prolazi kroz dvije tačke u prostoru.

Opće jednačine prave u prostoru.

Jednačina prave linije se može smatrati jednadžbom linije preseka dve ravni.

Kao što je gore objašnjeno, ravan u vektorskom obliku može se dati jednadžbom:

+ D = 0, gdje je

- normalna ravan; - radijus-vektor proizvoljne tačke ravni.

Kanonske jednadžbe prave linije u prostoru su jednačine koje definiraju pravu liniju koja prolazi kroz datu tačku kolinearno do vektora smjera.

Neka su data tačka i vektor pravca. Proizvoljna tačka leži na pravoj l samo ako su vektori i kolinearni, tj. zadovoljavaju uslov:

Gore navedene jednadžbe su kanonske jednačine prave.

Brojevi m , n i str su projekcije vektora smjera na koordinatne ose. Pošto vektor nije nula, onda su svi brojevi m , n i str ne može biti nula u isto vrijeme. Ali jedan ili dva od njih mogu biti nula. U analitičkoj geometriji, na primjer, dozvoljena je sljedeća notacija:

što znači da su projekcije vektora na ose Oy i Oz jednaki su nuli. Dakle, i vektor i prava linija date kanonskim jednadžbama su okomiti na osi Oy i Oz, odnosno avioni yOz .

Primjer 1 Sastaviti jednadžbe prave linije u prostoru okomitoj na ravan i prolazi kroz tačku preseka ove ravni sa osom Oz .

Rješenje. Pronađite tačku preseka date ravni sa osom Oz. Od bilo koje tačke na osi Oz, ima koordinate , dakle, pod pretpostavkom u datoj jednadžbi ravnine x=y= 0, dobijamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2 . Dakle, tačka preseka date ravni sa osom Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Pošto je željena prava okomita na ravan, ona je paralelna sa svojim vektorom normale. Stoga vektor normale može poslužiti kao usmjeravajući vektor prave linije dati avion.

Sada pišemo željene jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:

Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Prava linija se može definirati sa dvije tačke koje leže na njoj i U ovom slučaju, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor . Tada kanonske jednadžbe prave dobijaju oblik

Gore navedene jednačine definiraju pravu liniju koja prolazi kroz dvije date tačke.

Primjer 2 Napišite jednadžbu prave linije u prostoru koja prolazi kroz točke i .

Rješenje. Zapisujemo željene jednačine prave u gore navedenom obliku u teorijskoj referenci:

Budući da je , tada je željena linija okomita na os Oy .

Prava kao linija preseka ravnina

Prava linija u prostoru se može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni, odnosno kao skup tačaka koje zadovoljavaju sistem dve linearne jednačine

Jednačine sistema se nazivaju i opšte jednačine prave u prostoru.

Primjer 3 Sastaviti kanonske jednadžbe prave linije u prostoru datom općim jednačinama

Rješenje. Da biste napisali kanonske jednadžbe prave linije ili, što je isto, jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke, morate pronaći koordinate bilo koje dvije tačke na pravoj liniji. One mogu biti tačke preseka prave linije sa bilo koje dve koordinatne ravni, na primer yOz i xOz .

Tačka presjeka prave sa ravninom yOz ima apscisu x= 0 . Stoga, pretpostavljajući u ovom sistemu jednačina x= 0, dobijamo sistem sa dve varijable:

Njena odluka y = 2 , z= 6 zajedno sa x= 0 definira tačku A(0; 2; 6) željene linije. Pretpostavljajući tada u datom sistemu jednačina y= 0 , dobijamo sistem

Njena odluka x = -2 , z= 0 zajedno sa y= 0 definira tačku B(-2; 0; 0) presek prave sa ravninom xOz .

Sada pišemo jednačine prave linije koja prolazi kroz tačke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

ili nakon dijeljenja nazivnika sa -2: