Predstavimo nepoznatu lijevu jednačinu. Kako naučiti dijete da rješava jednačine

Linearne jednadžbe. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Linearne jednadžbe.

Linearne jednačine nisu najteža tema u školskoj matematici. Ali postoje neki trikovi koji mogu zbuniti čak i obučenog učenika. Hoćemo li to shvatiti?)

Linearna jednadžba se obično definira kao jednačina oblika:

sjekira + b = 0 gdje a i b- bilo koji broj.

2x + 7 = 0. Evo a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Ovdje a=0,1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Ovdje a=12, b=1/2

Ništa komplikovano, zar ne? Pogotovo ako ne primjećujete riječi: "gdje su a i b bilo koji brojevi"... A ako primijetite, ali nemarno razmislite o tome?) Uostalom, ako a=0, b=0(da li su mogući brojevi?), onda dobijamo smiješan izraz:

Ali to nije sve! ako, recimo, a=0, a b=5, ispada nešto sasvim apsurdno:

Ono što opterećuje i podriva samopouzdanje u matematici, da...) Pogotovo na ispitima. Ali od ovih čudnih izraza, također morate pronaći X! Koji uopšte ne postoji. I, iznenađujuće, ovaj X je vrlo lako pronaći. Naučit ćemo kako to učiniti. U ovoj lekciji.

Kako prepoznati linearnu jednačinu po izgledu? Zavisi kakav je izgled.) Trik je u tome što se linearne jednačine ne nazivaju samo jednadžbama oblika sjekira + b = 0 , ali i sve jednadžbe koje se transformacijama i simplifikacijama svode na ovaj oblik. I ko zna da li je smanjen ili ne?)

U nekim slučajevima može se jasno prepoznati linearna jednačina. Recimo, ako imamo jednačinu u kojoj postoje samo nepoznate u prvom stepenu, da brojevi. A jednačina nije razlomci podijeljeni sa nepoznato , važno je! I podjela po broj, ili brojčani razlomak - to je to! Na primjer:

Ovo je linearna jednadžba. Ovdje postoje razlomci, ali nema x u kvadratu, u kocki, itd., a nema x u nazivnicima, tj. br podjela sa x. A evo jednačine

ne može se nazvati linearnim. Ovdje su svi x u prvom stepenu, ali postoji podjela po izrazu sa x. Nakon pojednostavljenja i transformacija, možete dobiti i linearnu jednačinu, i kvadratnu, i sve što želite.

Ispostavilo se da je nemoguće pronaći linearnu jednačinu u nekom zamršenom primjeru dok je gotovo ne riješite. To je uznemirujuće. Ali u zadacima se po pravilu ne pitaju za oblik jednačine, zar ne? U zadacima su jednačine uređene odlučiti. Ovo me čini srećnom.)

Rješenje linearnih jednadžbi. Primjeri.

Cjelokupno rješenje linearnih jednačina sastoji se od identičnih transformacija jednačina. Inače, ove transformacije (čak dvije!) leže u osnovi rješenja sve matematičke jednačine. Drugim riječima, odluka bilo koji Jednačina počinje istim ovim transformacijama. U slučaju linearnih jednadžbi, ono (rješenje) na ovim transformacijama završava se potpunim odgovorom. Ima smisla pratiti vezu, zar ne?) Štaviše, postoje i primjeri rješavanja linearnih jednačina.

Počnimo s najjednostavnijim primjerom. Bez ikakvih zamki. Recimo da trebamo riješiti sljedeću jednačinu.

x - 3 = 2 - 4x

Ovo je linearna jednadžba. X-ovi su svi na prvi stepen, nema dijeljenja sa X. Ali, zapravo, nije nas briga šta je jednačina. Moramo to riješiti. Shema je ovdje jednostavna. Sakupite sve sa x-ovima na lijevoj strani jednačine, sve bez x-ova (brojeva) na desnoj strani.

Da biste to učinili, morate izvršiti transfer - 4x na lijevu stranu, uz promjenu predznaka, naravno, ali - 3 - nadesno. Usput, ovo je prva identična transformacija jednačina. Iznenađen? Dakle, nisu pratili link, ali uzalud ...) Dobijamo:

x + 4x = 2 + 3

Dajemo slično, smatramo:

Šta nam je potrebno da bismo bili potpuno srećni? Da, tako da je čisto X na lijevoj strani! Pet stane na put. Riješite se pet sa druga identična transformacija jednačina. Naime, oba dijela jednačine podijelimo sa 5. Dobijamo gotov odgovor:

Elementarni primjer, naravno. Ovo je za zagrevanje.) Nije baš jasno zašto sam se setio identičnih transformacija ovde? UREDU. Uzimamo bika za rogove.) Hajde da odlučimo nešto impresivnije.

Na primjer, evo ove jednadžbe:

Gdje da počnemo? Sa X - lijevo, bez X - desno? Moglo bi biti tako. Mali koraci duž dugog puta. A možete odmah, na univerzalan i moćan način. Osim ako, naravno, u vašem arsenalu postoje identične transformacije jednačina.

Postavljam vam ključno pitanje: Šta vam se najviše ne sviđa u ovoj jednačini?

95 ljudi od 100 će odgovoriti: razlomci ! Odgovor je tačan. Pa hajde da ih se rešimo. Tako da počinjemo odmah sa druga identična transformacija. Čime je potrebno pomnožiti razlomak s lijeve strane tako da se nazivnik potpuno smanji? Tako je, 3. A desno? Sa 4. Ali matematika nam omogućava da pomnožimo obje strane sa isti broj. Kako da izađemo? Pomnožimo obje strane sa 12! One. na zajednički imenilac. Tada će se tri smanjiti, a četiri. Ne zaboravite da svaki dio trebate pomnožiti u potpunosti. Evo kako izgleda prvi korak:

Proširivanje zagrada:

Bilješka! Brojač (x+2) Uzeo sam u zagrade! To je zato što se kada se množe razlomci, brojilac množi s cjelinom, u potpunosti! A sada možete smanjiti razlomke i smanjiti:

Otvaranje preostalih zagrada:

Nije primjer, već čisto zadovoljstvo!) Sada se prisjećamo čarolije iz nižih razreda: sa x - lijevo, bez x - desno! I primijenite ovu transformaciju:

Evo nekih poput:

I oba dijela podijelimo sa 25, tj. ponovo primijeni drugu transformaciju:

To je sve. odgovor: X=0,16

Imajte na umu: da bismo izvornu zbunjujuću jednadžbu doveli u ugodan oblik, koristili smo dva (samo dva!) identične transformacije- prevođenje lijevo-desno sa promjenom predznaka i množenjem-dijeljenjem jednačine istim brojem. Ovo je univerzalni način! Radićemo na ovaj način bilo koji jednačine! Apsolutno bilo koji. Zato stalno ponavljam ove identične transformacije.)

Kao što vidite, princip rješavanja linearnih jednadžbi je jednostavan. Uzimamo jednačinu i pojednostavljujemo je uz pomoć identičnih transformacija dok ne dobijemo odgovor. Ovdje su glavni problemi u proračunima, a ne u principu rješenja.

Ali... U procesu rješavanja najelementarnijih linearnih jednadžbi ima takvih iznenađenja da ih mogu dovesti u jaku omamljenost...) Na sreću, takva iznenađenja mogu biti samo dva. Nazovimo ih posebnim slučajevima.

Posebni slučajevi u rješavanju linearnih jednačina.

Prvo iznenađenje.

Pretpostavimo da naiđete na elementarnu jednačinu, nešto poput:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Pomalo dosadno prenosimo sa X na lijevo, bez X - na desno... Sa promjenom predznaka, sve je chin-chinar... Dobijamo:

2x-5x+3x=5-2-3

Vjerujemo, i... oh moj! Dobijamo:

Sama po sebi, ova jednakost nije sporna. Nula je zaista nula. Ali X je nestao! I moramo napisati u odgovoru, čemu je x jednako. Inače, rešenje se ne računa, da...) Slepa ulica?

Smiren! U takvim sumnjivim slučajevima spašavaju najopštija pravila. Kako riješiti jednačine? Šta znači riješiti jednačinu? Ovo znači, pronađite sve vrijednosti x koje će nam, kada se zamijene u originalnu jednadžbu, dati tačnu jednakost.

Ali imamo tačnu jednakost već dogodilo! 0=0, gdje stvarno?! Ostaje da shvatimo pri kojim x-ovima se ovo dobija. U koje se vrijednosti x mogu zamijeniti početni jednadžba ako su ova x i dalje smanjiti na nulu? Hajde?)

Da!!! Xs se mogu zamijeniti bilo koji!Šta želiš. Najmanje 5, najmanje 0,05, najmanje -220. I dalje će se smanjiti. Ako mi ne vjerujete, možete provjeriti.) Zamijenite bilo koje vrijednosti x u početni jednačinu i izračunaj. Sve vreme će se dobiti čista istina: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tako dalje.

Evo vašeg odgovora: x je bilo koji broj.

Odgovor se može napisati različitim matematičkim simbolima, suština se ne mijenja. Ovo je potpuno tačan i potpun odgovor.

Drugo iznenađenje.

Uzmimo istu elementarnu linearnu jednačinu i promijenimo samo jedan broj u njoj. Evo šta ćemo odlučiti:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Nakon istih identičnih transformacija, dobijamo nešto intrigantno:

Volim ovo. Riješio linearnu jednačinu, dobio čudnu jednakost. Matematički gledano, imamo pogrešna jednakost. A jednostavno rečeno, to nije tačno. Rave. Ali ipak, ova glupost je sasvim dobar razlog za ispravno rješenje jednadžbe.)

Opet, razmišljamo na osnovu opštih pravila. Šta će nam dati x, kada se zameni u originalnu jednačinu ispravan jednakost? Da, nijedan! Takvih X-ova nema. Šta god zamijenite, sve će se smanjiti, gluposti će ostati.)

Evo vašeg odgovora: nema rješenja.

Ovo je takođe savršeno validan odgovor. U matematici se takvi odgovori često javljaju.

Volim ovo. Sada se nadam da vam gubitak X-ova u procesu rješavanja bilo koje (ne samo linearne) jednadžbe neće nimalo smetati. Stvar je poznata.)

Sada kada smo riješili sve zamke u linearnim jednačinama, ima smisla riješiti ih.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

da rešavam matematiku. Pronađite brzo rješenje matematičke jednačine u modu online. Web stranica www.site dozvoljava riješiti jednačinu skoro svaki dat algebarski, trigonometrijski ili transcendentalna jednadžba online. Kada proučavate gotovo bilo koji dio matematike u različitim fazama, morate odlučiti jednačine online. Da biste odmah dobili odgovor, i što je najvažnije tačan, potreban vam je resurs koji vam to omogućava. Hvala www.site rješavajte jednačine na mreži trajat će nekoliko minuta. Glavna prednost www.site kod rješavanja matematičkih jednačine online- je brzina i tačnost izdatog odgovora. Stranica je u stanju riješiti bilo koje algebarske jednadžbe online, trigonometrijske jednadžbe online, transcendentalne jednadžbe na mreži, kao i jednačine sa nepoznatim parametrima u modu online. Jednačine služe kao moćan matematički aparat rješenja praktični zadaci. Uz pomoć matematičke jednačine moguće je izraziti činjenice i odnose koji na prvi pogled mogu izgledati zbunjujuće i složene. nepoznate količine jednačine može se naći formulisanjem problema u matematički jezik u formi jednačine i odlučiti primljeni zadatak u režimu online na web stranici www.site. Bilo koji algebarska jednačina, trigonometrijska jednačina ili jednačine koji sadrži transcendentalno lako vam nudi odlučiti online i dobiti pravi odgovor. Izučavajući prirodne nauke, neminovno se susreće sa potrebom rješavanje jednačina. U ovom slučaju, odgovor mora biti tačan i mora biti primljen odmah u režimu online. Stoga, za rješavati matematičke jednačine na mreži preporučujemo stranicu www.site, koja će postati vaš nezamjenjiv kalkulator rješavati algebarske jednadžbe online, trigonometrijske jednadžbe online, kao i transcendentalne jednadžbe na mreži ili jednačine sa nepoznatim parametrima. Za praktične probleme pronalaženja korijena raznih matematičke jednačine resurs www.. Rješavanje jednačine online sami, korisno je provjeriti primljeni odgovor koristeći online rješenje jednačina na web stranici www.site. Potrebno je pravilno napisati jednačinu i odmah dobiti online rješenje, nakon čega ostaje samo da uporedite odgovor sa vašim rješenjem jednadžbe. Provjera odgovora neće potrajati više od minute, dovoljno riješite jednačinu na mreži i uporedi odgovore. Ovo će vam pomoći da izbjegnete greške u odluka i na vrijeme ispraviti odgovor rješavanje jednačina na mreži da li algebarski, trigonometrijski, transcendentan ili jednačina sa nepoznatim parametrima.

Analiziraćemo dve vrste sistema rešavanja jednačina:

1. Rješenje sistema metodom zamjene.
2. Rješenje sistema po članu sabiranje (oduzimanje) jednačina sistema.

Da bi se riješio sistem jednačina metoda zamjene morate slijediti jednostavan algoritam:
1. Izražavamo. Iz bilo koje jednačine izražavamo jednu varijablu.
2. Zamjena. Rezultirajuću vrijednost zamjenjujemo drugom jednačinom umjesto izražene varijable.
3. Rezultirajuću jednačinu rješavamo s jednom promjenljivom. Pronalazimo rješenje za sistem.

Riješiti sistem sabiranjem (oduzimanjem) član po član treba:
1. Odaberite varijablu za koju ćemo napraviti iste koeficijente.
2. Sabiramo ili oduzimamo jednačine, kao rezultat dobijamo jednačinu sa jednom promenljivom.
3. Rješavamo rezultirajuću linearnu jednačinu. Pronalazimo rješenje za sistem.

Rješenje sistema su tačke preseka grafova funkcije.

Razmotrimo detaljno rješenja sistema na primjerima.

Primjer #1:

Rešimo metodom zamene

Rješavanje sistema jednačina metodom zamjene

2x+5y=1 (1 jednadžba)
x-10y=3 (2. jednadžba)

1. Express
Vidi se da u drugoj jednačini postoji varijabla x sa koeficijentom 1, pa se ispostavlja da je varijablu x najlakše izraziti iz druge jednačine.
x=3+10y

2. Nakon izražavanja, zamjenjujemo 3 + 10y u prvoj jednačini umjesto varijable x.
2(3+10y)+5y=1

3. Rezultirajuću jednačinu rješavamo s jednom promjenljivom.
2(3+10y)+5y=1 (otvorene zagrade)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Rešenje sistema jednačina su tačke preseka grafova, stoga treba da nađemo x i y, jer se presečna tačka sastoji od x i y. Nađimo x, u prvom pasusu gde smo izrazili tu zamenimo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Uobičajeno je da se na prvom mjestu ispisuju tačke, pišemo varijabla x, a na drugom mjestu varijabla y.
Odgovor: (1; -0,2)

Primjer #2:

Rešimo sabiranjem (oduzimanjem) član po član.

Rješavanje sistema jednačina metodom sabiranja

3x-2y=1 (1 jednadžba)
2x-3y=-10 (2. jednadžba)

1. Odaberite varijablu, recimo da odaberemo x. U prvoj jednačini varijabla x ima koeficijent 3, u drugoj - 2. Moramo učiniti koeficijente istim, za to imamo pravo pomnožiti jednačine ili podijeliti s bilo kojim brojem. Prvu jednačinu pomnožimo sa 2, a drugu sa 3 i dobijemo ukupan koeficijent 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Od prve jednačine oduzmite drugu da biste se riješili varijable x. Riješite linearnu jednačinu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Pronađite x. Zamjenjujemo pronađeno y u bilo kojoj od jednadžbi, recimo u prvoj jednačini.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6

Tačka presjeka će biti x=4,6; y=6.4
Odgovor: (4,6; 6,4)

Želite li se besplatno pripremati za ispite? Tutor online je besplatno. Bez šale.

Kvadratne jednačine se izučavaju u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplikovano. Sposobnost njihovog rješavanja je neophodna.

Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, napominjemo da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:

Nemaju korijene;
Imaju tačno jedan koren;
Imaju dva različita korijena.

Ovo je važna razlika između kvadratne i linearne jednadžbe, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko korijena ima jednačina? Postoji divna stvar za ovo - diskriminatorno.

Diskriminantno

Neka je data kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminanta jednostavno broj D = b 2 − 4ac .

Ova formula se mora znati napamet. Odakle dolazi sada nije važno. Još jedna stvar je važna: po znaku diskriminanta možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. naime:

Ako je D< 0, корней нет;
Ako je D = 0, postoji tačno jedan korijen;
Ako je D > 0, postojaće dva korena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne njihove znakove, kako iz nekog razloga mnogi misle. Pogledajte primjere i sve ćete sami razumjeti:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapisujemo koeficijente za prvu jednačinu i nalazimo diskriminanta:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, tako da jednačina ima dva različita korijena. Na isti način analiziramo i drugu jednačinu:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je negativan, nema korijena. Ostaje posljednja jednačina:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je jednak nuli - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da su za svaku jednačinu ispisani koeficijenti. Da, dugo je, da, zamorno je - ali nećete mešati šanse i nećete praviti glupe greške. Odaberite za sebe: brzinu ili kvalitet.

Usput, ako "napunite ruku", nakon nekog vremena više nećete morati ispisivati sve koeficijente. Takve operacije ćete izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednačina - općenito, ne toliko.

Korijeni kvadratne jednadžbe

Sada idemo na rješenje. Ako je diskriminanta D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobijate isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Hajde da ih pronađemo:

Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Hajde da ih nađemo

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(poravnati)\]

Konačno, treća jednačina:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednačina ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se greške javljaju kada se negativni koeficijenti zamijene u formulu. Ovdje će opet pomoći gore opisana tehnika: doslovno pogledajte formulu, obojite svaki korak - i riješite se grešaka vrlo brzo.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Dešava se da je kvadratna jednačina nešto drugačija od onoga što je dato u definiciji. Na primjer:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Lako je vidjeti da jedan od članova nedostaje u ovim jednačinama. Takve kvadratne jednadžbe još je lakše riješiti od standardnih: ne moraju čak ni izračunati diskriminanta. Pa hajde da predstavimo novi koncept:

Jednačina ax 2 + bx + c = 0 naziva se nepotpuna kvadratna jednačina ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.

Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b = c = 0. U ovom slučaju, jednadžba poprima oblik ax 2 = 0. Očigledno, takva jednadžba ima jednu korijen: x \u003d 0.

Hajde da razmotrimo druge slučajeve. Neka je b \u003d 0, tada ćemo dobiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c = 0. Lagano je transformirajmo:

Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnog broja, posljednja jednakost ima smisla samo kada je (−c / a ) ≥ 0. Zaključak:

Ako nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + c = 0 zadovoljava nejednakost (−c / a ) ≥ 0, postojaće dva korijena. Formula je data gore;
Ako (−c / a )< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminanta nije bila potrebna - u nepotpunim kvadratnim jednačinama uopće nema složenih proračuna. Zapravo, nije potrebno čak ni zapamtiti nejednakost (−c / a ) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti šta se nalazi na drugoj strani znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, korijena uopće neće biti.

Sada se pozabavimo jednadžbama oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će postojati dva korijena. Dovoljno je faktorizirati polinom:

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrade

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Odatle potiču korijeni. U zaključku ćemo analizirati nekoliko od ovih jednačina:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.