Normalni zakon distribucije vjerovatnoće

Bez pretjerivanja, može se nazvati filozofskim zakonom. Promatrajući razne objekte i procese svijeta oko nas, često se susrećemo s činjenicom da nešto nije dovoljno, te da postoji norma:


Evo osnovnog pogleda funkcije gustine normalna raspodjela vjerovatnoće, i želim vam dobrodošlicu u ovu najzanimljiviju lekciju.

Koji se primjeri mogu navesti? Oni su samo tama. To je, na primjer, visina, težina ljudi (i ne samo), njihova fizička snaga, mentalne sposobnosti itd. postoji "masa" (na ovaj ili onaj način) i ima odstupanja u oba smjera.

To su različite karakteristike neživih predmeta (iste dimenzije, težina). Ovo je nasumično trajanje procesa, na primjer, vrijeme trke na sto metara ili transformacije smole u ćilibar. Iz fizike su mi pali na pamet molekuli zraka: među njima ima sporih, ima i brzih, ali većina se kreće „standardnim“ brzinama.

Zatim odstupimo od centra za još jednu standardnu ​​devijaciju i izračunamo visinu:

Označavanje tačaka na crtežu (zelena boja) i vidimo da je to sasvim dovoljno.

U završnoj fazi pažljivo crtamo graf i posebno pažljivo odražavaju to konveksnost / konkavnost! Pa, vjerovatno ste odavno shvatili da je apscisa osa horizontalna asimptota, i apsolutno je nemoguće „popeti se“ za njega!

Sa elektronskim dizajnom rješenja, graf je lako izgraditi u Excelu, a neočekivano za sebe, čak sam snimio i kratak video na ovu temu. Ali prvo, razgovarajmo o tome kako se oblik normalne krive mijenja ovisno o vrijednostima i .

Prilikom povećanja ili smanjenja "a" (sa nepromijenjenom "sigmom") graf zadržava svoj oblik i pomiče se desno/lijevo respektivno. Tako, na primjer, kada funkcija poprimi oblik a naš graf "pomiče" 3 jedinice ulijevo - tačno do početka:


Normalno raspoređena veličina sa nultim matematičkim očekivanjem dobila je potpuno prirodno ime - centriran; njegovu funkciju gustine – čak, a graf je simetričan oko y-ose.

U slučaju promjene "sigme" (sa konstantom "a"), graf "ostaje na mjestu", ali mijenja oblik. Kada se uveća, postaje niži i izdužen, poput hobotnice koja rasteže svoje pipke. I obrnuto, kada se graf smanjuje postaje uži i viši- ispada "iznenađena hobotnica." Da, u smanjiti"sigma" dva puta: prethodni grafikon se dva puta sužava i proteže prema gore:

Sve je u potpunosti u skladu sa geometrijske transformacije grafova.

Normalna distribucija sa jediničnom vrijednošću naziva se "sigma". normalizovano, i ako je također centriran(naš slučaj), onda se takva distribucija zove standard. Ima još jednostavniju funkciju gustoće, koja se već susrela u lokalna Laplaceova teorema: . Standardna distribucija je našla široku primjenu u praksi, a vrlo brzo ćemo konačno shvatiti njenu svrhu.

A sada pogledajmo film:

Da, sasvim tačno – nekako nezasluženo smo ostali u senci funkcija raspodjele vjerovatnoće. Pamtimo je definicija:
- vjerovatnoća da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost MANJU od varijable, koja "pokreće" sve realne vrijednosti do "plus" beskonačnosti.

Unutar integrala se obično koristi drugo slovo kako ne bi bilo "preklapanja" s notacijom, jer je ovdje svakoj vrijednosti dodijeljena nepravilan integral , što je jednako nekom broj iz intervala.

Gotovo sve vrijednosti se ne mogu precizno izračunati, ali kao što smo upravo vidjeli, uz modernu računarsku snagu, to nije teško. Dakle, za funkciju standardne distribucije, odgovarajuća excel funkcija općenito sadrži jedan argument:

=NORMSDIST(z)

Jedan, dva - i gotovi ste:

Crtež jasno pokazuje implementaciju svega svojstva funkcije distribucije, a od tehničkih nijansi ovdje treba obratiti pažnju horizontalne asimptote i tačka pregiba.

Sada se prisjetimo jednog od ključnih zadataka teme, naime, saznati kako pronaći - vjerovatnoću da normalna slučajna varijabla će uzeti vrijednost iz intervala. Geometrijski, ova vjerovatnoća je jednaka području između normalne krive i x-ose u odgovarajućem dijelu:

ali svaki put samljeti približnu vrijednost je nerazumno, pa je stoga racionalnije koristiti "laka" formula:
.

! takođe pamti , šta

Ovdje možete ponovo koristiti Excel, ali postoji nekoliko značajnih "ali": prvo, nije uvijek pri ruci, a drugo, "gotove" vrijednosti će najvjerovatnije pokrenuti pitanja od nastavnika. Zašto?

O tome sam već više puta govorio: svojevremeno (i ne tako davno) običan kalkulator je bio luksuz, a „ručni“ način rješavanja problema koji se razmatra još uvijek je sačuvan u obrazovnoj literaturi. Njegova suština je da standardizovati vrijednosti "alfa" i "beta", odnosno reduciraju rješenje na standardnu ​​distribuciju:

Bilješka : funkciju je lako dobiti iz opšteg slučajakoristeći linearnu zamjene. Zatim i:

a od zamjene samo slijedi formula prijelaz sa vrijednosti proizvoljne distribucije na odgovarajuće vrijednosti standardne distribucije.

Zašto je ovo potrebno? Činjenica je da su vrijednosti savjesno izračunali naši preci i sažeti u posebnu tabelu, koja se nalazi u mnogim knjigama o terveru. Ali još češća je tabela vrijednosti, u kojoj smo se već pozabavili Laplaceov integralni teorem:

Ako imamo na raspolaganju tablicu vrijednosti Laplaceove funkcije , onda kroz to rješavamo:

Razlomke se tradicionalno zaokružuju na 4 decimale, kao što se radi u standardnoj tabeli. I za kontrolu Stavka 5 raspored.

Podsećam te na to , i kako bi se izbjegla zabuna uvek pod kontrolom, tabela ŠTA funkcija pred vašim očima.

Odgovori je potrebno dati kao postotak, tako da se izračunata vjerovatnoća mora pomnožiti sa 100 i dati rezultat sa smislenim komentarom:

- sa letom od 5 do 70 m, oko 15,87% granata će pasti

Treniramo samostalno:

Primjer 3

Prečnik ležajeva proizvedenih u fabrici je slučajna varijabla normalno raspoređena sa očekivanjem od 1,5 cm i standardnom devijacijom od 0,04 cm.Nađite verovatnoću da se veličina slučajno uzetog ležaja kreće od 1,4 do 1,6 cm.

U primjeru rješenja i ispod, koristit ću Laplaceovu funkciju kao najčešću opciju. Usput, imajte na umu da, prema formulaciji, ovdje možete uključiti krajeve intervala u razmatranje. Međutim, to nije kritično.

I već u ovom primjeru susreli smo se sa posebnim slučajem - kada je interval simetričan u odnosu na matematičko očekivanje. U takvoj situaciji, može se napisati u obliku i, koristeći neparnost Laplaceove funkcije, pojednostaviti radnu formulu:

Poziva se parametar delta odstupanje iz matematičkog očekivanja, a dvostruka nejednakost se može “upakovati” koristeći modul:

je vjerovatnoća da vrijednost slučajne varijable odstupa od matematičkog očekivanja za manje od .

Pa resenje koje stane u jedan red :)
je vjerovatnoća da se promjer nasumično uzetog ležaja razlikuje od 1,5 cm za najviše 0,1 cm.

Ispostavilo se da je rezultat ovog zadatka blizak jedinici, ali bih želio još više pouzdanosti - naime, otkriti granice u kojima je promjer skoro svi ležajevi. Postoji li neki kriterijum za ovo? Postoji! Na pitanje odgovara tzv

tri sigma pravilo

Njegova suština je u tome praktično pouzdan je činjenica da će normalno raspoređena slučajna varijabla uzeti vrijednost iz intervala .

Zaista, vjerovatnoća odstupanja od očekivanja je manja od:
ili 99,73%

Što se tiče "ležajeva" - radi se o 9973 komada promjera od 1,38 do 1,62 cm i samo 27 "podstandardnih" primjeraka.

U praktičnim istraživanjima, pravilo “tri sigme” se obično primjenjuje u suprotnom smjeru: ako statistički utvrdili da gotovo sve vrijednosti slučajna varijabla koja se proučava uklapaju se u interval od 6 standardnih devijacija, onda postoje dobri razlozi za vjerovanje da je ova vrijednost distribuirana prema normalnom zakonu. Provjera se vrši korištenjem teorije statističke hipoteze.

Nastavljamo da rješavamo teške sovjetske zadatke:

Primjer 4

Slučajna vrijednost greške vaganja distribuira se prema normalnom zakonu sa nultim matematičkim očekivanjem i standardnom devijacijom od 3 grama. Odrediti vjerovatnoću da će sljedeće vaganje biti izvršeno s greškom koja ne prelazi 5 grama u apsolutnoj vrijednosti.

Rješenje veoma jednostavno. Po uslovu, a to odmah konstatujemo pri sledećem vaganju (nešto ili neko) skoro 100% ćemo dobiti rezultat sa tačnošću od 9 grama. Ali u problemu postoji uže odstupanje i po formuli :

- vjerovatnoća da će sljedeće vaganje biti izvršeno s greškom koja ne prelazi 5 grama.

Odgovori:

Rešen problem se suštinski razlikuje od naizgled sličnog. Primjer 3 lekcija o ujednačena distribucija. Došlo je do greške zaokruživanje rezultata mjerenja, ovdje je riječ o slučajnoj grešci samih mjerenja. Takve greške nastaju zbog tehničkih karakteristika samog uređaja. (opseg dozvoljenih grešaka, u pravilu, naveden je u njegovom pasošu), a također i krivnjom eksperimentatora - kada, na primjer, "na oko" uzimamo očitanja sa strelice iste skale.

Između ostalih, postoje i tzv sistematično greške merenja. Već je nonrandom greške koje nastaju zbog neispravnog podešavanja ili rada uređaja. Tako, na primjer, neprilagođena podna vaga može dosljedno "dodavati" kilogram, a prodavač sustavno potencira kupce. Ili ne sistematski, jer možete kvariti. Međutim, u svakom slučaju, takva greška neće biti slučajna, a njeno očekivanje je drugačije od nule.

…Hitno razvijam kurs za obuku prodaje =)

Hajde da sami riješimo problem:

Primjer 5

Prečnik valjka je slučajna normalno raspoređena slučajna varijabla, njena standardna devijacija je mm. Odredite dužinu intervala, simetričnog u odnosu na matematičko očekivanje, u kojem će dužina prečnika perle pasti sa vjerovatnoćom.

Stavka 5* dizajn rasporeda pomoći. Napominjemo da matematičko očekivanje ovdje nije poznato, ali to ni najmanje ne ometa rješavanje problema.

I ispitni zadatak, koji toplo preporučujem za konsolidaciju gradiva:

Primjer 6

Normalno raspoređena slučajna varijabla je data svojim parametrima (matematičko očekivanje) i (standardna devijacija). Obavezno:

a) zapisati gustinu vjerovatnoće i shematski prikazati njen graf;
b) naći vjerovatnoću da će uzeti vrijednost iz intervala ;
c) naći vjerovatnoću da modul ne odstupa od više od ;
d) primjenom pravila "tri sigme" pronađite vrijednosti slučajne varijable.

Takvi problemi se nude posvuda, a tokom godina prakse uspio sam riješiti stotine i stotine njih. Obavezno vježbajte crtanje rukom i korištenje papirnih tabela ;)

Pa, analizirat ću primjer povećane složenosti:

Primjer 7

Gustina raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable ima oblik . Find , matematičko očekivanje , varijansa , funkcija distribucije , gustina dijagrama i funkcije distribucije , find .

Rješenje: prije svega, obratimo pažnju da uvjet ne govori ništa o prirodi slučajne varijable. Samo po sebi prisustvo izlagača ne znači ništa: to može biti npr. demonstrativna ili generalno proizvoljno kontinuirana distribucija. I stoga, „normalnost“ distribucije još uvijek treba potkrijepiti:

Od funkcije utvrđeno na bilo koji realna vrijednost , a može se svesti na oblik , tada se slučajna varijabla raspoređuje prema normalnom zakonu.

Predstavljamo. Za ovo odaberite cijeli kvadrat i organizovati trospratni razlomak:


Obavezno izvršite provjeru, vraćajući indikator u izvorni oblik:

što smo hteli da vidimo.

Na ovaj način:
- uključeno pravilo moći"štipanje". I ovdje možete odmah zapisati očigledne numeričke karakteristike:

Sada pronađimo vrijednost parametra. Budući da množitelj normalne distribucije ima oblik i , tada:
, iz koje izražavamo i zamjenjujemo u našu funkciju:
, nakon čega ćemo još jednom očima pregledati zapis i uvjeriti se da rezultirajuća funkcija ima oblik .

Nacrtajmo gustinu:

i dijagram funkcije distribucije :

Ako pri ruci nema Excela, pa čak ni običnog kalkulatora, onda se posljednji grafikon lako gradi ručno! U tom trenutku funkcija distribucije poprima vrijednost i evo

Definicija. normalno naziva se distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable, koja je opisana gustinom vjerovatnoće

Normalna distribucija se također naziva Gaussov zakon.

Zakon normalne distribucije je centralni za teoriju vjerovatnoće. To je zbog činjenice da se ovaj zakon manifestira u svim slučajevima kada je slučajna varijabla rezultat djelovanja velikog broja različitih faktora. Svi ostali zakoni distribucije se približavaju normalnom zakonu.

Lako se može pokazati da su parametri i , uključeni u gustinu distribucije su, respektivno, matematičko očekivanje i standardna devijacija slučajne varijable X.

Nađimo funkciju distribucije F(x) .

Zove se dijagram gustine normalne distribucije normalna kriva ili Gaussova kriva.

Normalna kriva ima sljedeća svojstva:

1) Funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj osi.

2) Za sve X funkcija raspodjele uzima samo pozitivne vrijednosti.

3) Osa OX je horizontalna asimptota grafa gustine vjerovatnoće, jer uz neograničeno povećanje apsolutne vrijednosti argumenta X, vrijednost funkcije teži nuli.

4) Naći ekstremu funkcije.

Jer at y’ > 0 at x < m i y’ < 0 at x > m, zatim u tački x = t funkcija ima maksimum jednak
.

5) Funkcija je simetrična u odnosu na pravu liniju x = a, jer razlika

(x - a) ulazi u funkciju gustine distribucije na kvadrat.

6) Da bismo pronašli prevojne tačke grafa, nalazimo drugi izvod funkcije gustoće.

At x = m+  i x = m-  drugi izvod je jednak nuli, a pri prolasku kroz ove tačke mijenja predznak, tj. u ovim tačkama funkcija ima fleksiju.

U ovim tačkama, vrijednost funkcije je
.

Napravimo graf funkcije gustine raspodjele (slika 5).

Grafovi su napravljeni za t=0 i tri moguće vrijednosti standardne devijacije  = 1,  = 2 i  = 7. Kao što vidite, kako se vrijednost standardne devijacije povećava, grafik postaje ravniji, a maksimalna vrijednost opada.

Ako a a> 0, tada će se graf pomjeriti u pozitivnom smjeru ako a < 0 – в отрицательном.

At a= 0 i  = 1 kriva se zove normalizovano. Normalizirana jednačina krivulje:

Laplaceova funkcija

Pronađite vjerovatnoću da slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu padne u dati interval.

Označite

Jer integral
se ne izražava u terminima elementarnih funkcija, onda funkcija

,

koji se zove Laplaceova funkcija ili integral vjerovatnoće.

Vrijednosti ove funkcije za različite vrijednosti X izračunati i prikazani u posebnim tabelama.

Na sl. 6 prikazuje graf Laplaceove funkcije.

Laplaceova funkcija ima sljedeća svojstva:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

Laplaceova funkcija se također poziva funkcija greške i označavamo erf x.

Još uvijek u upotrebi normalizovano Laplaceova funkcija, koja je povezana s Laplaceovom funkcijom relacijom:

Na sl. 7 prikazuje dijagram normalizirane Laplaceove funkcije.

P tri sigma pravilo

Kada se razmatra normalna distribucija, izdvaja se važan poseban slučaj, poznat kao tri sigma pravilo.

Zapišimo vjerovatnoću da je odstupanje normalno raspoređene slučajne varijable od matematičkog očekivanja manje od date vrijednosti :

Ako prihvatimo  = 3, onda dobijamo pomoću tablica vrijednosti Laplaceove funkcije:

One. vjerovatnoća da slučajna varijabla odstupi od svog matematičkog očekivanja za iznos veći od tri puta standardne devijacije je praktično nula.

Ovo pravilo se zove tri sigma pravilo.

U praksi se smatra da ako je za bilo koju slučajnu varijablu zadovoljeno pravilo tri sigme, onda ova slučajna varijabla ima normalnu distribuciju.

Zaključak predavanja:

Na predavanju smo razmatrali zakone raspodjele kontinualnih veličina.U pripremi za naredno predavanje i praktične vježbe treba samostalno dopuniti zapise sa predavanja detaljnim proučavanjem preporučene literature i rješavanjem predloženih problema.

Kratka teorija

Normalna je raspodjela vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable, čija gustina ima oblik:

gdje je matematičko očekivanje , je standardna devijacija .

Vjerovatnoća da će uzeti vrijednost koja pripada intervalu:

gdje je Laplaceova funkcija:

Vjerovatnoća da je apsolutna vrijednost odstupanja manja od pozitivnog broja:

Konkretno, za , vrijedi sljedeća jednakost:

Prilikom rješavanja problema koje postavlja praksa, moramo se baviti različitim distribucijama kontinuiranih slučajnih varijabli.

Pored normalne distribucije, glavni zakoni distribucije za kontinuirane slučajne varijable su:

Primjer rješenja problema

Dio se izrađuje na mašini. Njegova dužina je slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu s parametrima , . Odrediti vjerovatnoću da će dužina dijela biti između 22 i 24,2 cm Od koje se odstupanje dužine dijela može garantovati sa vjerovatnoćom od 0,92; 0,98? U kojim granicama, simetrično u odnosu na , će praktično sve dimenzije dijelova ležati?

pridruži se VK grupi.

Rješenje:

Vjerovatnoća da će slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu biti u intervalu:

Dobijamo:

Vjerovatnoća da slučajna varijabla, raspoređena prema normalnom zakonu, odstupa od srednje vrijednosti za najviše:

Po stanju

:

Ako vam sada ne treba pomoć, ali će vam možda trebati u budućnosti, onda kako ne biste izgubili kontakt,

Tu će biti i zadaci za samostalno rješenje na koje možete vidjeti odgovore.

Normalna distribucija: teorijske osnove

Primjeri slučajnih varijabli raspoređenih prema normalnom zakonu su visina osobe, masa ulovljene ribe iste vrste. Normalna distribucija znači sljedeće : postoje vrijednosti ljudske visine, mase riba iste vrste, koje se intuitivno percipiraju kao "normalne" (a zapravo - u prosjeku), a mnogo su češće u dovoljno velikom uzorku od onih koji se razlikuju gore ili dolje.

Normalna raspodjela vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable (ponekad Gaussova raspodjela) može se nazvati zvonastom zbog činjenice da je funkcija gustoće ove raspodjele, koja je simetrična u odnosu na srednju vrijednost, vrlo slična rezu zvona ( crvena kriva na gornjoj slici).

Vjerovatnoća ispunjavanja određenih vrijednosti u uzorku jednaka je površini figure ispod krive, a u slučaju normalne raspodjele vidimo da je ispod vrha "zvona" , što odgovara vrijednostima koje teže prosjeku, površina, a samim tim i vjerovatnoća, je veća nego ispod rubova. Dakle, dobijamo isto što je već rečeno: vjerovatnoća da ćete sresti osobu "normalne" visine, uloviti ribu "normalne" težine veća je nego za vrijednosti koje se razlikuju gore ili dolje. U mnogim slučajevima u praksi, greške mjerenja se distribuiraju prema zakonu koji je blizak normalnom.

Zaustavimo se ponovo na slici na početku lekcije koja prikazuje funkciju gustoće normalne distribucije. Grafikon ove funkcije dobijen je izračunavanjem nekog uzorka podataka u softverskom paketu STATISTIKA. Na njemu kolone histograma predstavljaju intervale vrijednosti uzorka čija je distribucija bliska (ili, kako kažu u statistici, ne razlikuje se značajno od) samom grafu funkcije gustoće normalne distribucije, koji je crvena kriva. Grafikon pokazuje da je ova kriva zaista zvonastog oblika.

Normalna distribucija je vrijedna na mnogo načina jer znajući samo srednju vrijednost kontinuirane slučajne varijable i standardnu ​​devijaciju, možete izračunati bilo koju vjerovatnoću povezanu s tom varijablom.

Normalna distribucija ima dodatnu prednost jer je jedna od najlakših za korištenje statistički kriterijumi koji se koriste za testiranje statističkih hipoteza - Studentov t-test- može se koristiti samo u slučaju kada podaci uzorka poštuju zakon normalne distribucije.

Funkcija gustoće normalne distribucije kontinuirane slučajne varijable može se pronaći pomoću formule:

,

gdje x- vrijednost varijable, - srednja vrijednost, - standardna devijacija, e\u003d 2,71828 ... - osnova prirodnog logaritma, \u003d 3,1416 ...

Svojstva funkcije gustoće normalne distribucije

Promjene srednje vrijednosti pomiču krivulju zvona u smjeru ose Ox. Ako se povećava, kriva se pomiče udesno, ako se smanjuje, onda ulijevo.

Ako se standardna devijacija promijeni, tada se mijenja visina vrha krive. Kada se standardna devijacija povećava, vrh krivulje je viši, kada se smanjuje, niži.

Vjerovatnoća da će vrijednost normalno raspoređene slučajne varijable pasti unutar datog intervala

Već u ovom paragrafu počet ćemo rješavati praktične probleme čije je značenje naznačeno u naslovu. Hajde da analiziramo koje mogućnosti teorija pruža za rešavanje problema. Početni koncept za izračunavanje vjerovatnoće da normalno raspoređena slučajna varijabla padne u dati interval je integralna funkcija normalne distribucije.

Integralna funkcija normalne distribucije:

.

Međutim, problematično je dobiti tabele za svaku moguću kombinaciju srednje vrijednosti i standardne devijacije. Stoga je jedan od jednostavnih načina da se izračuna vjerovatnoća da će normalno raspoređena slučajna varijabla pasti u dati interval korištenje tablica vjerovatnoće za standardiziranu normalnu distribuciju.

Normalna distribucija se naziva standardizovana ili normalizovana distribucija., čija je srednja vrijednost , a standardna devijacija je .

Funkcija gustoće standardizirane normalne distribucije:

.

Kumulativna funkcija standardizirane normalne distribucije:

.

Slika ispod prikazuje integralnu funkciju standardizirane normalne distribucije, čiji je graf dobiven izračunavanjem nekog uzorka podataka u softverskom paketu STATISTIKA. Sam graf je crvena kriva, a vrijednosti uzorka joj se približavaju.

Da biste uvećali sliku, možete kliknuti na nju levim tasterom miša.

Standardizacija slučajne varijable znači prelazak sa originalnih jedinica korištenih u zadatku na standardizirane jedinice. Standardizacija se vrši prema formuli

U praksi, sve moguće vrijednosti slučajne varijable često nisu poznate, pa se vrijednosti srednje vrijednosti i standardne devijacije ne mogu precizno odrediti. Oni su zamijenjeni aritmetičkom sredinom opažanja i standardnom devijacijom s. Vrijednost z izražava odstupanja vrijednosti slučajne varijable od aritmetičke sredine pri mjerenju standardnih devijacija.

Otvoreni interval

Tabela vjerovatnoće za standardiziranu normalnu distribuciju, koja je dostupna u gotovo svakoj knjizi o statistici, sadrži vjerovatnoće da slučajna varijabla ima standardnu ​​normalnu distribuciju Z poprima vrijednost manju od određenog broja z. Odnosno, pasti će u otvoreni interval od minus beskonačnosti do z. Na primjer, vjerojatnost da vrijednost Z manje od 1,5 je jednako 0,93319.

Primjer 1 Kompanija proizvodi dijelove koji imaju normalno raspoređeni vijek trajanja sa srednjom vrijednosti od 1000 i standardnom devijacijom od 200 sati.

Za nasumično odabrani dio izračunajte vjerovatnoću da će njegov vijek trajanja biti najmanje 900 sati.

Rješenje. Hajde da uvedemo prvu notaciju:

Željena vjerovatnoća.

Vrijednosti slučajne varijable su u otvorenom intervalu. Ali možemo izračunati vjerovatnoću da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od zadane, a prema uvjetu problema potrebno je pronaći jednaku ili veću od date. Ovo je drugi dio prostora ispod zvonaste krivine. Stoga, da bismo pronašli željenu vjerovatnoću, potrebno je od jedne oduzeti spomenutu vjerovatnoću da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od navedenih 900:

Sada slučajnu varijablu treba standardizirati.

Nastavljamo da uvodimo notaciju:

z = (X ≤ 900) ;

x= 900 - data vrijednost slučajne varijable;

μ = 1000 - prosječna vrijednost;

σ = 200 - standardna devijacija.

Na osnovu ovih podataka dobijamo uslove zadatka:

.

Prema tabelama standardizovane slučajne varijable (granica intervala) z= −0,5 odgovara vjerovatnoći 0,30854. Oduzmite ga od jedinice i dobijete ono što je potrebno u uslovu problema:

Dakle, vjerovatnoća da će vijek trajanja dijela biti najmanje 900 sati je 69%.

Ova vjerovatnoća se može dobiti pomoću MS Excel funkcije NORM.DIST (vrijednost integralne vrijednosti je 1):

P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

O proračunima u MS Excelu - u jednom od narednih paragrafa ove lekcije.

Primjer 2 U određenom gradu prosječni godišnji prihod porodice je normalno raspoređena slučajna varijabla sa srednjom vrijednošću od 300 000 i standardnom devijacijom od 50 000. Poznato je da je prihod 40% porodica manji od vrijednosti A. Pronađite vrijednost A.

Rješenje. U ovom problemu, 40% nije ništa drugo do vjerovatnoća da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz otvorenog intervala koja je manja od određene vrijednosti, označene slovom A.

Da biste pronašli vrijednost A, prvo sastavljamo integralnu funkciju:

Prema zadatku

μ = 300000 - prosječna vrijednost;

σ = 50000 - standardna devijacija;

x = A je vrijednost koju treba pronaći.

Stvaranje jednakosti

.

Prema statističkim tabelama, nalazimo da vjerovatnoća od 0,40 odgovara vrijednosti granice intervala z = −0,25 .

Dakle, pravimo jednakost

i pronađite njegovo rješenje:

A = 287300 .

Odgovor: prihod 40% porodica manji je od 287300.

Zatvoreni interval

U mnogim problemima potrebno je pronaći vjerovatnoću da normalno raspoređena slučajna varijabla uzme vrijednost u intervalu od z 1 to z 2. Odnosno, pasti će u zatvoreni interval. Za rješavanje ovakvih problema potrebno je u tabeli pronaći vjerovatnoće koje odgovaraju granicama intervala, a zatim pronaći razliku između ovih vjerovatnoća. Ovo zahtijeva oduzimanje manje vrijednosti od veće. Primjeri za rješavanje ovih uobičajenih problema su sljedeći, a predlaže se da ih sami riješite i tada možete vidjeti tačna rješenja i odgovore.

Primjer 3 Dobit preduzeća za određeni period je slučajna varijabla koja podliježe normalnom zakonu raspodjele sa prosječnom vrijednošću od 0,5 miliona c.u. i standardnu ​​devijaciju od 0,354. Odrediti, sa tačnošću od dvije decimale, vjerovatnoću da će dobit preduzeća biti od 0,4 do 0,6 c.u.

Primjer 4 Dužina proizvedenog dijela je slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu s parametrima μ =10 i σ =0,071 . Odrediti, sa tačnošću od dvije decimale, vjerovatnoću braka ako dozvoljene dimenzije dijela budu 10 ± 0,05.

Savjet: u ovom zadatku, pored pronalaženja vjerovatnoće da slučajna varijabla padne u zatvoreni interval (vjerovatnoća dobivanja neispravnog dijela), potrebna je još jedna radnja.

omogućava vam da odredite vjerovatnoću da je standardizirana vrijednost Z ne manje -z i ne više +z, gdje z- proizvoljno odabrana vrijednost standardizirane slučajne varijable.

Približna metoda za provjeru normalnosti distribucije

Približna metoda za provjeru normalnosti distribucije vrijednosti uzorka zasniva se na sljedećem svojstvo normalne distribucije: nakrivljenost β 1 i koeficijent ekscesa β 2 nula.

Koeficijent asimetrije β 1 numerički karakteriše simetriju empirijske distribucije u odnosu na srednju vrednost. Ako je asimetrija nula, tada su aritmetrijska sredina, medijan i mod jednaki: a kriva gustine raspodjele je simetrična u odnosu na srednju vrijednost. Ako je koeficijent asimetrije manji od nule (β 1 < 0 ), tada je aritmetička sredina manja od medijane, a medijana je, zauzvrat, manja od moda () i kriva je pomaknuta udesno (u poređenju sa normalnom distribucijom). Ako je koeficijent asimetrije veći od nule (β 1 > 0 ), tada je aritmetička sredina veća od medijane, a medijana je, zauzvrat, veća od moda () i kriva je pomaknuta ulijevo (u poređenju sa normalnom distribucijom).

Kurtosis koeficijent β 2 karakterizira koncentraciju empirijske distribucije oko aritmetičke sredine u smjeru ose Oy i stepen vrhunca krivulje gustine distribucije. Ako je koeficijent kurtosis veći od nule, tada je kriva više izdužena (u poređenju s normalnom distribucijom) duž ose Oy(grafikon je šiljatiji). Ako je koeficijent kurtosis manji od nule, tada je kriva više spljoštena (u poređenju sa normalnom distribucijom) duž ose Oy(grafikon je tupiviji).

Koeficijent zakrivljenosti se može izračunati pomoću MS Excel funkcije SKRS. Ako provjeravate jedan niz podataka, tada morate unijeti raspon podataka u jedno polje "Broj".

Koeficijent ekscesa se može izračunati pomoću MS Excel funkcije kurtosis. Prilikom provjere jednog niza podataka dovoljno je upisati i raspon podataka u jedno polje "Broj".

Dakle, kao što već znamo, sa normalnom distribucijom, koeficijenti nagiba i kurtozisa su jednaki nuli. Ali šta ako imamo koeficijente asimetrije jednake -0,14, 0,22, 0,43 i koeficijente kurtosis jednake 0,17, -0,31, 0,55? Pitanje je sasvim pošteno, jer u praksi imamo posla samo s približnim, selektivnim vrijednostima asimetrije i ekscesa, koji su podložni nekom neizbježnom, nekontroliranom raspršenju. Stoga je nemoguće zahtijevati striktnu jednakost ovih koeficijenata na nulu, oni bi trebali biti samo dovoljno blizu nuli. Ali šta znači dovoljno?

Potrebno je uporediti primljene empirijske vrijednosti sa dozvoljenim vrijednostima. Da biste to učinili, trebate provjeriti sljedeće nejednakosti (uporedite vrijednosti koeficijenata po modulu sa kritičnim vrijednostima - granicama područja testiranja hipoteze).

Za koeficijent asimetrije β 1 .

Definicija. normalno naziva se distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable, koja je opisana gustinom vjerovatnoće

Normalna distribucija se također naziva Gaussov zakon.

Zakon normalne distribucije je centralni za teoriju vjerovatnoće. To je zbog činjenice da se ovaj zakon manifestira u svim slučajevima kada je slučajna varijabla rezultat djelovanja velikog broja različitih faktora. Svi ostali zakoni distribucije se približavaju normalnom zakonu.

Lako se može pokazati da su parametri i , uključeni u gustinu distribucije su, respektivno, matematičko očekivanje i standardna devijacija slučajne varijable X.

Nađimo funkciju distribucije F(x) .

Zove se dijagram gustine normalne distribucije normalna kriva ili Gaussova kriva.

Normalna kriva ima sljedeća svojstva:

1) Funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj osi.

2) Za sve X funkcija raspodjele uzima samo pozitivne vrijednosti.

3) Osa OX je horizontalna asimptota grafa gustine vjerovatnoće, jer uz neograničeno povećanje apsolutne vrijednosti argumenta X, vrijednost funkcije teži nuli.

4) Naći ekstremu funkcije.

Jer at y’ > 0 at x < m i y’ < 0 at x > m, zatim u tački x = t funkcija ima maksimum jednak
.

5) Funkcija je simetrična u odnosu na pravu liniju x = a, jer razlika

(x - a) ulazi u funkciju gustine distribucije na kvadrat.

6) Da bismo pronašli prevojne tačke grafa, nalazimo drugi izvod funkcije gustoće.

At x = m+  i x = m-  drugi izvod je jednak nuli, a pri prolasku kroz ove tačke mijenja predznak, tj. u ovim tačkama funkcija ima fleksiju.

U ovim tačkama, vrijednost funkcije je
.

Napravimo graf funkcije gustine raspodjele (slika 5).

Grafovi su napravljeni za t=0 i tri moguće vrijednosti standardne devijacije  = 1,  = 2 i  = 7. Kao što vidite, kako se vrijednost standardne devijacije povećava, grafik postaje ravniji, a maksimalna vrijednost opada.

Ako a a> 0, tada će se graf pomjeriti u pozitivnom smjeru ako a < 0 – в отрицательном.

At a= 0 i  = 1 kriva se zove normalizovano. Normalizirana jednačina krivulje:

Laplaceova funkcija

Pronađite vjerovatnoću da slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu padne u dati interval.

Označite

Jer integral
se ne izražava u terminima elementarnih funkcija, onda funkcija

,

koji se zove Laplaceova funkcija ili integral vjerovatnoće.

Vrijednosti ove funkcije za različite vrijednosti X izračunati i prikazani u posebnim tabelama.

Na sl. 6 prikazuje graf Laplaceove funkcije.

Laplaceova funkcija ima sljedeća svojstva:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

Laplaceova funkcija se također poziva funkcija greške i označavamo erf x.

Još uvijek u upotrebi normalizovano Laplaceova funkcija, koja je povezana s Laplaceovom funkcijom relacijom:

Na sl. 7 prikazuje dijagram normalizirane Laplaceove funkcije.

P tri sigma pravilo

Kada se razmatra normalna distribucija, izdvaja se važan poseban slučaj, poznat kao tri sigma pravilo.

Zapišimo vjerovatnoću da je odstupanje normalno raspoređene slučajne varijable od matematičkog očekivanja manje od date vrijednosti :

Ako prihvatimo  = 3, onda dobijamo pomoću tablica vrijednosti Laplaceove funkcije:

One. vjerovatnoća da slučajna varijabla odstupi od svog matematičkog očekivanja za iznos veći od tri puta standardne devijacije je praktično nula.

Ovo pravilo se zove tri sigma pravilo.

U praksi se smatra da ako je za bilo koju slučajnu varijablu zadovoljeno pravilo tri sigme, onda ova slučajna varijabla ima normalnu distribuciju.

Zaključak predavanja:

Na predavanju smo razmatrali zakone raspodjele kontinualnih veličina.U pripremi za naredno predavanje i praktične vježbe treba samostalno dopuniti zapise sa predavanja detaljnim proučavanjem preporučene literature i rješavanjem predloženih problema.