Rešavanje matrica– koncept koji generalizuje operacije na matricama. Matematička matrica je tabela elemenata. Slična tabela sa m redova i n kolona kaže se da je matrica m po n.
Opšti pogled na matricu

Glavni elementi matrice:
Glavna dijagonala. Sastoji se od elemenata a 11, a 22.....a mn
Bočna dijagonala. Sastoji se od elemenata a 1n, i 2n-1.....a m1.
Prije nego što pređemo na rješavanje matrica, razmotrimo glavne vrste matrica:
Square– u kojoj je broj redova jednak broju kolona (m=n)
Nula – svi elementi ove matrice su jednaki 0.
Transponovana matrica- matrica B dobijena iz originalne matrice A zamjenom redaka kolonama.
Single– svi elementi glavne dijagonale su jednaki 1, svi ostali su 0.
Inverzna matrica- matrica, kada se pomnoži s kojom originalna matrica rezultira matricom identiteta.
Matrica može biti simetrična u odnosu na glavnu i sekundarnu dijagonalu. To jest, ako je a 12 = a 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…. a m-1n =a mn-1. tada je matrica simetrična oko glavne dijagonale. Samo kvadratne matrice su simetrične.
Pređimo sada direktno na pitanje kako riješiti matrice.

Sabiranje matrice.

Matrice se mogu algebarski dodavati ako imaju istu dimenziju. Da dodate matricu A sa matricom B, potrebno je da dodate element prvog reda prvog stupca matrice A sa prvim elementom prvog reda matrice B, element drugog stupca prvog reda matrice A sa elementom druge kolone prvog reda matrice B, itd.
Svojstva sabiranja
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Množenje matrice.

Matrice se mogu množiti ako su konzistentne. Matrice A i B se smatraju konzistentnim ako je broj stupaca matrice A jednak broju redova matrice B.
Ako je A dimenzija m sa n, B je dimenzija n sa k, tada će matrica C=A*B biti dimenzije m sa k i biće sastavljena od elemenata

Gdje je C 11 zbir parnih proizvoda elemenata reda matrice A i stupca matrice B, odnosno, element je zbir proizvoda elementa prvog stupca prvog reda matrice A sa elementom prve kolone prvog reda matrice B, elementom druge kolone prvog reda matrice A sa elementom prve kolone matrice drugog reda B, itd.
Prilikom množenja važan je redoslijed množenja. A*B nije jednako B*A.

Pronalaženje determinante.

Bilo koja kvadratna matrica može generirati determinantu ili determinantu. Piše det. Ili | matrični elementi |
Za matrice dimenzija 2 sa 2. Odrediti da postoji razlika između umnoška elemenata glavne i elemenata sekundarne dijagonale.

Za matrice dimenzija 3 puta 3 ili više. Operacija pronalaženja determinante je složenija.
Hajde da predstavimo koncepte:
Element minor– je determinanta matrice dobijene iz originalne matrice precrtavanjem reda i stupca originalne matrice u kojoj se ovaj element nalazio.
Algebarski komplement element matrice je umnožak minora ovog elementa za -1 na stepen zbira reda i stupca originalne matrice u kojoj se ovaj element nalazio.
Determinanta bilo koje kvadratne matrice jednaka je zbroju proizvoda bilo kojeg reda matrice i njihovih odgovarajućih algebarskih komplemenata.

Inverzija matrice

Inverzija matrice je proces pronalaženja inverza matrice, čiju smo definiciju dali na početku. Inverzna matrica se označava na isti način kao i originalna uz dodatak stepena -1.
Pomoću formule pronađite inverznu matricu.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Gdje je A * T transponirana matrica algebarskih komplementa.

Napravili smo primjere rješavanja matrica u obliku video tutorijala

:

Ako želite da shvatite, svakako ga pogledajte.

Ovo su osnovne operacije za rješavanje matrica. Ako imate dodatnih pitanja o kako riješiti matrice, slobodno pišite u komentarima.

Ako i dalje ne možete shvatiti, pokušajte kontaktirati stručnjaka.

Matrice u matematici su jedan od najvažnijih objekata od praktičnog značaja. Često izlet u teoriju matrica počinje riječima: "Matrica je pravokutna tablica...". Ovu ekskurziju ćemo započeti iz malo drugačijeg smjera.

Telefonski imenici bilo koje veličine i sa bilo kojom količinom podataka o pretplatnicima nisu ništa drugo do matrice. Takve matrice izgledaju otprilike ovako:

Jasno je da svi mi koristimo takve matrice skoro svaki dan. Ove matrice dolaze s različitim brojem redova (razlikuje se kao imenik koji izdaje telefonska kompanija, koji može imati hiljade, stotine hiljada, pa čak i milione redova, i nova bilježnica koju ste upravo započeli, koja ima manje od deset redova) i kolone (imenik neke vrste službenika u kojem mogu postojati kolone kao što su pozicija i broj kancelarije i vaš isti adresar, gdje možda nema nikakvih podataka osim imena, pa stoga postoje samo dvije kolone). u njemu - ime i broj telefona).

Mogu se sabirati i množiti razne matrice, kao i druge operacije na njima, ali nema potrebe za sabiranjem i množenjem telefonskih imenika, nema koristi od toga, a osim toga, možete koristiti svoj um.

Ali mnoge matrice se mogu i trebaju sabirati i množiti i na taj način riješiti razne hitne probleme. U nastavku su primjeri takvih matrica.

Matrice u kojima su stupci proizvodnja jedinica određene vrste proizvoda, a redovi su godine u kojima je zabilježena proizvodnja ovog proizvoda:

Možete dodati matrice ovog tipa, koje uzimaju u obzir izlaz sličnih proizvoda različitih preduzeća, kako biste dobili zbirne podatke za industriju.

Ili matrice koje se sastoje, na primjer, od jedne kolone, u kojoj su redovi prosječna cijena određene vrste proizvoda:

Posljednje dvije vrste matrica mogu se pomnožiti, a rezultat je matrica reda koja sadrži troškove svih vrsta proizvoda po godinama.

Matrice, osnovne definicije

Pravougaona tabela koja se sastoji od brojeva raspoređenih u m linije i n kolone se zove mn-matrica (ili samo matrica ) i piše se ovako:

(1)

U matrici (1) brojevi se nazivaju svojim elementi (kao i u determinanti, prvi indeks označava broj reda, drugi – kolonu na čijem preseku se element nalazi; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matrica se zove pravougaona , Ako .

Ako m = n, tada se matrica zove kvadrat , a broj n je njegov po redu .

Determinanta kvadratne matrice A je determinanta čiji su elementi elementi matrice A. To je označeno simbolom | A|.

Kvadratna matrica se zove nije posebno (ili nedegenerisan , ne-jednina ), ako njegova determinanta nije nula, i poseban (ili degenerisati , jednina ) ako je njegova determinanta nula.

Matrice se pozivaju jednaka , ako imaju isti broj redova i stupaca i svi odgovarajući elementi se podudaraju.

Matrica se zove null , ako su svi njegovi elementi jednaki nuli. Nultu matricu ćemo označiti simbolom 0 ili .

na primjer,

Matrica-red (ili mala slova ) se zove 1 n-matrica, i matrica-kolona (ili columnar ) – m 1-matrica.

Matrix A“, koji se dobija iz matrice A zamena redova i kolona u njemu se zove transponovano u odnosu na matricu A. Dakle, za matricu (1) transponovana matrica je

Operacija tranzicije matrice A" transponirano u odnosu na matricu A, naziva se matrična transpozicija A. Za mn-matrica transponovana je nm-matrica.

Matrica transponovana u odnosu na matricu je A, odnosno

(A")" = A .

Primjer 1. Pronađite matricu A", transponirano u odnosu na matricu

i saznati da li su determinante originalne i transponovane matrice jednake.

Glavna dijagonala Kvadratna matrica je zamišljena linija koja povezuje njene elemente, za koju su oba indeksa ista. Ovi elementi se nazivaju dijagonala .

Poziva se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli dijagonala . Nisu svi dijagonalni elementi dijagonalne matrice nužno različiti od nule. Među njima može biti jednako nuli.

Kvadratna matrica u kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jednaki istom broju, različiti od nule, a svi ostali jednaki nuli, naziva se skalarna matrica .

Matrica identiteta naziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici. Na primjer, matrica identiteta trećeg reda je matrica

Primjer 2. Zadate matrice:

Rješenje. Izračunajmo determinante ovih matrica. Koristeći pravilo trokuta, nalazimo

Matrična determinanta B izračunajmo koristeći formulu

Lako to shvatamo

Dakle, matrice A i su nesingularni (nedegenerirani, nesingularni) i matrica B– poseban (degenerisan, jednina).

Determinanta matrice identiteta bilo kojeg reda očito je jednaka jedan.

Sami riješite problem matrice, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 3. Zadane matrice

,

,

Odredi koji su od njih nesingularni (nedegenerisani, nesingularni).

Primjena matrica u matematičkom i ekonomskom modeliranju

Strukturirani podaci o određenom objektu se jednostavno i zgodno bilježe u obliku matrica. Matrični modeli se kreiraju ne samo za pohranjivanje ovih strukturiranih podataka, već i za rješavanje raznih problema s tim podacima korištenjem linearne algebre.

Dakle, dobro poznati matrični model ekonomije je input-output model, koji je uveo američki ekonomista ruskog porijekla Vasilij Leontijev. Ovaj model se zasniva na pretpostavci da je ceo proizvodni sektor privrede podeljen na nčiste industrije. Svaka industrija proizvodi samo jednu vrstu proizvoda, a različite industrije proizvode različite proizvode. Zbog ovakve podjele rada između industrija, dolazi do međuindustrijskog povezivanja, čiji je smisao da se dio proizvodnje svake industrije prenosi u druge industrije kao proizvodni resurs.

Volumen proizvoda i-ta industrija (mjerena određenom mjernom jedinicom), koja je proizvedena u izvještajnom periodu, označava se i naziva se punim outputom i-th industrija. Problemi se mogu zgodno smjestiti n-komponentni red matrice.

Broj jedinica i-industrija koju treba potrošiti j-industrija za proizvodnju jedinice svoje proizvodnje označava se i naziva koeficijent direktnih troškova.

U ovoj temi ćemo razmotriti koncept matrice, kao i vrste matrica. Pošto u ovoj temi ima dosta pojmova, dodaću kratak sažetak kako bih olakšao snalaženje u materijalu.

Definicija matrice i njenog elementa. Notacija.

Matrix je tabela od $m$ redova i $n$ kolona. Elementi matrice mogu biti objekti potpuno različite prirode: brojevi, varijable ili, na primjer, druge matrice. Na primjer, matrica $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ sadrži 3 reda i 2 stupca; njegovi elementi su cijeli brojevi. Matrica $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ sadrži 2 reda i 4 kolone.

Različiti načini pisanja matrica: prikaži\sakrij

Matrica se može pisati ne samo u okruglim, već iu kvadratnim ili dvostrukim ravnim zagradama. To jest, unosi ispod znače istu matricu:

$$ \left(\begin(niz) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(niz) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(niz) \right]; \;\; \left \Vert \begin(niz) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(niz) \right \Vert $$

Poziva se proizvod $m\puta n$ veličina matrice. Na primjer, ako matrica sadrži 5 redaka i 3 stupca, onda govorimo o matrici veličine $5\puta 3$. Matrica $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ ima veličinu $3 \puta 2$.

Tipično, matrice se označavaju velikim slovima latinice: $A$, $B$, $C$ i tako dalje. Na primjer, $B=\left(\begin(niz) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Numeracija redova ide od vrha do dna; kolone - s lijeva na desno. Na primjer, prvi red matrice $B$ sadrži elemente 5 i 3, a drugi stupac sadrži elemente 3, -87, 0.

Elementi matrica se obično označavaju malim slovima. Na primjer, elementi matrice $A$ su označeni sa $a_(ij)$. Dvostruki indeks $ij$ sadrži informacije o poziciji elementa u matrici. Broj $i$ je broj reda, a broj $j$ je broj kolone, na čijem se presjeku nalazi element $a_(ij)$. Na primjer, na presjeku drugog reda i pete kolone matrice $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $a_(25)= $59:

Na isti način, na presjeku prvog reda i prve kolone imamo element $a_(11)=51$; na preseku trećeg reda i druge kolone - element $a_(32)=-15$ i tako dalje. Imajte na umu da unos $a_(32)$ glasi “tri dva”, ali ne i “trideset dva”.

Za skraćenje matrice $A$, čija je veličina $m\puta n$, koristi se notacija $A_(m\times n)$. Možete malo detaljnije napisati:

$$ A_(m\puta n)=(a_(ij)) $$

gdje notacija $(a_(ij))$ označava elemente matrice $A$. U svom potpuno proširenom obliku, matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ može se napisati na sljedeći način:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Hajde da uvedemo još jedan termin - jednake matrice.

Dvije matrice iste veličine $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se nazivaju jednaka, ako su im odgovarajući elementi jednaki, tj. $a_(ij)=b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n)$.

Objašnjenje za unos $i=\overline(1,m)$: show\hide

Oznaka "$i=\overline(1,m)$" znači da parametar $i$ varira od 1 do m. Na primjer, notacija $i=\overline(1,5)$ označava da parametar $i$ uzima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5.

Dakle, da bi matrice bile jednake, moraju biti ispunjena dva uslova: podudarnost veličina i jednakost odgovarajućih elemenata. Na primjer, matrica $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ nije jednaka matrici $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ jer matrica $A$ ima veličinu $3\put 2$ i matrica $B$ ima veličinu $2\put $2. Takođe, matrica $A$ nije jednaka matrici $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ , budući da $a_( 21)\neq c_(21)$ (tj. $0\neq 98$). Ali za matricu $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ možemo sigurno napisati $A= F$ jer se i veličine i odgovarajući elementi matrica $A$ i $F$ poklapaju.

Primjer br. 1

Odredite veličinu matrice $A=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(niz) \desno)$. Navedite čemu su jednaki elementi $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Ova matrica sadrži 5 redaka i 3 kolone, tako da je njena veličina $5\put 3$. Također možete koristiti notaciju $A_(5\times 3)$ za ovu matricu.

Element $a_(12)$ je na raskrsnici prvog reda i druge kolone, tako da je $a_(12)=-2$. Element $a_(33)$ je na raskrsnici trećeg reda i treće kolone, tako da je $a_(33)=23$. Element $a_(43)$ je na raskrsnici četvrtog reda i treće kolone, tako da je $a_(43)=-5$.

Odgovori: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Vrste matrica ovisno o njihovoj veličini. Glavna i sekundarna dijagonala. Matrični trag.

Neka je data određena matrica $A_(m\times n)$. Ako je $m=1$ (matrica se sastoji od jednog reda), tada se data matrica naziva matrica-red. Ako je $n=1$ (matrica se sastoji od jednog stupca), onda se takva matrica naziva matrica-kolona. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ je matrica reda, a $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ je matrica stupaca.

Ako matrica $A_(m\times n)$ zadovoljava uslov $m\neq n$ (tj. broj redova nije jednak broju kolona), onda se često kaže da je $A$ pravougaona matrica. Na primjer, matrica $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ima veličinu $2\puta 4 $, one. sadrži 2 reda i 4 kolone. Pošto broj redova nije jednak broju kolona, ​​ova matrica je pravokutna.

Ako matrica $A_(m\times n)$ zadovoljava uslov $m=n$ (tj., broj redova je jednak broju stupaca), onda se za $A$ kaže da je kvadratna matrica reda $ n$. Na primjer, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ je kvadratna matrica drugog reda; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ je kvadratna matrica trećeg reda. Općenito, kvadratna matrica $A_(n\puta n)$ može se napisati na sljedeći način:

$$ A_(n\puta n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Za elemente $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ se kaže da su na glavna dijagonala matrice $A_(n\puta n)$. Ovi elementi se nazivaju glavni dijagonalni elementi(ili samo dijagonalni elementi). Elementi $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ su na bočna (sporedna) dijagonala; oni se zovu bočnih dijagonalnih elemenata. Na primjer, za matricu $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( niz) \desno)$ imamo:

Elementi $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ su glavni dijagonalni elementi; elementi $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ su bočni dijagonalni elementi.

Zove se zbir glavnih dijagonalnih elemenata nakon čega slijedi matrica i označava se sa $\Tr A$ (ili $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Na primjer, za matricu $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ imamo:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Koncept dijagonalnih elemenata se također koristi za nekvadratne matrice. Na primjer, za matricu $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ glavni dijagonalni elementi će biti $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Vrste matrica ovisno o vrijednostima njihovih elemenata.

Ako su svi elementi matrice $A_(m\times n)$ jednaki nuli, tada se takva matrica naziva null i obično se označava slovom $O$. Na primjer, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(niz) \desno)$ - nula matrice.

Neka matrica $A_(m\times n)$ ima sljedeći oblik:

Tada se ova matrica zove trapezoidan. Možda ne sadrži nula redova, ali ako postoje, nalaze se na dnu matrice. U općenitijem obliku, trapezoidna matrica se može napisati na sljedeći način:

Opet, završni null redovi nisu potrebni. One. Formalno, možemo razlikovati sljedeće uvjete za trapezoidnu matricu:

1. Svi elementi ispod glavne dijagonale su nula.
2. Svi elementi od $a_(11)$ do $a_(rr)$ koji leže na glavnoj dijagonali nisu jednaki nuli: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. Ili su svi elementi posljednjih $m-r$ redova nula, ili $m=r$ (tj. uopće nema nula redova).

Primjeri trapezoidnih matrica:

Pređimo na sljedeću definiciju. Poziva se matrica $A_(m\times n)$ stupio, ako ispunjava sledeće uslove:

Na primjer, matrice koraka bi bile:

Za poređenje, matrica $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ nije ešalon jer treći red ima isti nulti dio kao i drugi red. Odnosno, krši se princip "što je niža linija, veći je nulti dio". Dodaću da je trapezoidna matrica poseban slučaj stepenaste matrice.

Pređimo na sljedeću definiciju. Ako su svi elementi kvadratne matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki nuli, tada se takva matrica naziva gornja trokutasta matrica. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ je gornja trouglasta matrica. Imajte na umu da definicija gornje trokutaste matrice ne govori ništa o vrijednostima elemenata koji se nalaze iznad glavne dijagonale ili na glavnoj dijagonali. Mogu biti nula ili ne - nije bitno. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ je također gornja trouglasta matrica.

Ako su svi elementi kvadratne matrice koji se nalaze iznad glavne dijagonale jednaki nuli, tada se takva matrica naziva donja trokutasta matrica. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - donja trokutasta matrica. Imajte na umu da definicija donje trokutaste matrice ne govori ništa o vrijednostima elemenata koji se nalaze ispod ili na glavnoj dijagonali. Mogu biti nula ili ne - nije bitno. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ i $\left(\ begin (niz) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ su također niže trokutaste matrice.

Kvadratna matrica se zove dijagonala, ako su svi elementi ove matrice koji ne leže na glavnoj dijagonali jednaki nuli. Primjer: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(niz)\desno)$. Elementi na glavnoj dijagonali mogu biti bilo koji (jednaki nuli ili ne) - nije važno.

Dijagonalna matrica se zove single, ako su svi elementi ove matrice koji se nalaze na glavnoj dijagonali jednaki 1. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matrica identiteta četvrtog reda; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ je matrica identiteta drugog reda.

Ovaj priručnik će vam pomoći da naučite kako to izvoditi operacije sa matricama: sabiranje (oduzimanje) matrica, transpozicija matrice, množenje matrica, pronalaženje inverzne matrice. Sav materijal je predstavljen u jednostavnom i pristupačnom obliku, dati su relevantni primjeri, tako da čak i nepripremljena osoba može naučiti kako izvoditi radnje s matricama.

Za samokontrolu i samotestiranje možete besplatno preuzeti matrični kalkulator >>>. Pokušaću da minimiziram teorijske proračune, ponegde su moguća objašnjenja „na prste“ i upotreba nenaučnih termina. Ljubitelji čvrste teorije, molim vas da se ne upuštate u kritiku, naš zadatak je.

naučiti izvoditi operacije s matricama Za SUPER BRZU pripremu na temu (ko gori) postoji intenzivni pdf kurs

Matrica, determinanta i test! Matrica je pravokutna tablica nekih elementi Matrica je pravokutna tablica nekih. As razmatraćemo brojeve, odnosno numeričke matrice. ELEMENT

je pojam. Preporučljivo je zapamtiti termin, često će se pojavljivati, nije slučajno da sam koristio podebljani font da ga istaknem. Oznaka:

matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima primjer:

Razmotrite matricu dva po tri: Matrica je pravokutna tablica nekih:

Ova matrica se sastoji od šest

Svi brojevi (elementi) unutar matrice postoje sami za sebe, odnosno nema govora o bilo kakvom oduzimanju:

To je samo tabela (skup) brojeva! I mi ćemo se složiti nemojte preuređivati

brojevima, osim ako je drugačije navedeno u objašnjenjima. Svaki broj ima svoju lokaciju i ne može se miješati!

Matrica u pitanju ima dva reda:

i tri kolone: STANDARD : kada govorimo o veličinama matrice, onda isprva

označite broj redova, a tek onda broj kolona. Upravo smo razbili matricu dva po tri. kvadrat Ako je broj redaka i stupaca matrice isti, tada se matrica naziva , Na primjer:

– matrica tri po tri. Ako matrica ima jedan stupac ili jedan red, tada se takve matrice također nazivaju.

vektori

U stvari, koncept matrice znamo još od škole, uzmimo u obzir, na primjer, tačku sa koordinatama “x” i “y”: . U suštini, koordinate tačke se upisuju u matricu jedan po dva. Usput, evo primjera zašto je red brojeva bitan: a to su dvije potpuno različite tačke na ravni. A sada pređimo na učenje:

operacije sa matricama.

1) Prvi čin. Uklanjanje minusa iz matrice (uvođenje minusa u matricu) . Kao što ste vjerovatno primijetili, u ovoj matrici ima previše negativnih brojeva. Ovo je vrlo nezgodno sa stanovišta izvođenja raznih radnji s matricom, nezgodno je pisati toliko minusa i jednostavno izgleda ružno u dizajnu.

Pomerimo minus van matrice tako što ćemo promeniti predznak SVAKOM elementu matrice:

Na nuli, kao što razumete, znak se ne menja, nula je i nula u Africi.

Obrnuti primjer: . Ružno izgleda.

Hajde da unesemo minus u matricu promjenom predznaka SVAKOGA elementa matrice:

Pa, ispalo je mnogo ljepše. I, što je najvažnije, biće LAKŠE izvršiti bilo kakve radnje s matricom. Jer postoji takav matematički narodni znak: što više minusa, to je više zabune i grešaka.

2) Drugi čin. Množenje matrice brojem.

matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

Jednostavno je, da biste pomnožili matricu brojem, potrebno vam je svaki matrični element pomnožen datim brojem. U ovom slučaju - trojka.

Još jedan koristan primjer:

– množenje matrice sa razlomkom

Prvo da pogledamo šta da radimo NO NEED:

NEMA POTREBE unositi razlomak u matricu, prvo, to samo komplikuje dalje radnje sa matricom, a drugo, nastavniku je teško provjeriti rješenje (naročito ako; – konačni odgovor zadatka).

I, štaviše, NO NEED podijelite svaki element matrice sa minus sedam:

Iz članka Matematika za lutke ili odakle početi, sjećamo se da u višoj matematici na svaki mogući način pokušavaju izbjeći decimalne razlomke sa zarezima.

Jedina stvar je poželjno Ono što treba učiniti u ovom primjeru je dodati minus u matricu:

Ali ako samo SVE matrični elementi su podijeljeni sa 7 bez traga, tada bi bilo moguće (i potrebno!) podijeliti.

matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

U ovom slučaju, možete NEED TO pomnožite sve elemente matrice sa , jer su svi brojevi matrice djeljivi sa 2 bez traga.

Napomena: u teoriji matematike više škole ne postoji koncept “podjele”. Umjesto da kažete “ovo podijeljeno s onim”, uvijek možete reći “ovo pomnoženo s razlomkom”. Odnosno, dijeljenje je poseban slučaj množenja.

3) Treći čin. Matrix Transpose.

Da biste transponovali matricu, potrebno je da njene redove upišete u kolone transponovane matrice.

matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

Transponovana matrica

Ovdje je samo jedan red i po pravilu ga treba pisati u stupac:

– transponovana matrica.

Transponovana matrica je obično označena superskriptom ili prostim brojem u gornjem desnom uglu.

Korak po korak primjer:

Transponovana matrica

Prvo prepisujemo prvi red u prvu kolonu:

Zatim prepisujemo drugi red u drugi stupac:

I konačno, prepisujemo treći red u treću kolonu:

Spreman. Grubo rečeno, transponovanje znači okretanje matrice na stranu.

4) Četvrti čin. Zbir (razlika) matrica.

Zbir matrica je jednostavna operacija.
NE MOGU SE SAVIJATI SVE MATRICE. Za obavljanje sabiranja (oduzimanja) matrica potrebno je da budu ISTE VELIČINE.

Na primjer, ako je data matrica dva po dva, onda se može dodati samo sa matricom dva po dva i ničim drugim!

matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

Dodajte matrice I

Da biste dodali matrice, morate dodati njihove odgovarajuće elemente:

Za razliku matrica pravilo je slično, potrebno je pronaći razliku odgovarajućih elemenata.

matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

Pronađite razliku matrice ,

Kako možete lakše riješiti ovaj primjer, da se ne zbunite? Preporučljivo je da se riješite nepotrebnih minusa da biste to učinili, dodajte minus u matricu:

Napomena: u teoriji matematike više škole ne postoji koncept „oduzimanja“. Umjesto da kažete „oduzmi ovo od ovoga“, uvijek možete reći „ovome dodajte negativan broj“. Odnosno, oduzimanje je poseban slučaj sabiranja.

5) Čin peti. Množenje matrice.

Koje matrice se mogu množiti?

Da bi se matrica pomnožila sa matricom, neophodno je tako da je broj stupaca matrice jednak broju redova matrice.

matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima
Da li je moguće pomnožiti matricu sa matricom?

To znači da se matrični podaci mogu množiti.

Ali ako se matrice preurede, tada, u ovom slučaju, množenje više nije moguće!

Dakle, množenje nije moguće:

Nije tako rijetko naići na zadatke sa trikom, kada se od učenika traži da pomnoži matrice čije je množenje očigledno nemoguće.

Treba napomenuti da je u nekim slučajevima moguće množiti matrice na oba načina.
Na primjer, za matrice, moguće su i množenje i množenje

>> Matrice

4.1. Matrice. Operacije na matricama

Pravokutna matrica veličine mxn je kolekcija mxn brojeva raspoređenih u obliku pravokutne tablice koja sadrži m redova i n stupaca. Napisaćemo to u formularu

ili skraćeno kao A = (a i j) (i = ; j = ), brojevi a i j se nazivaju njegovim elementima; prvi indeks označava broj reda, drugi - broj kolone. A = (a i j) i B = (b i j) iste veličine nazivaju se jednakima ako su njihovi elementi koji stoje na istim mjestima parno jednaki, odnosno A = B ako je a i j = b i j.

Matrica koja se sastoji od jednog reda ili jednog stupca naziva se vektor reda ili vektor stupca, respektivno. Vektori stupaca i vektori reda se jednostavno nazivaju vektori.

Matrica koja se sastoji od jednog broja identificira se sa ovim brojem. A veličine mxn, čiji su svi elementi jednaki nuli, nazivaju se nula i označavaju se sa 0. Elementi sa istim indeksima nazivaju se elementi glavne dijagonale. Ako je broj redaka jednak broju stupaca, odnosno m = n, tada se matrica naziva kvadratna matrica reda n. Kvadratne matrice u kojima su samo elementi glavne dijagonale različiti od nule nazivaju se dijagonale i pišu se na sljedeći način:

.

Ako su svi elementi a i i dijagonale jednaki 1, onda se naziva jedinica i označava se slovom E:

.

Kvadratna matrica se naziva trokutastom ako su svi elementi iznad (ili ispod) glavne dijagonale jednaki nuli. Transpozicija je transformacija u kojoj se redovi i stupci zamjenjuju uz zadržavanje njihovog broja. Transpozicija je označena sa T na vrhu.

Ako preuredimo redove i stupce u (4.1), dobićemo

,

koji će biti transponovan u odnosu na A. Konkretno, kada se transponuje vektor kolone, dobija se vektor reda i obrnuto.

Proizvod A i broja b je matrica čiji se elementi dobijaju iz odgovarajućih elemenata iz A množenjem sa brojem b: b A = (b a i j).

Zbir A = (a i j) i B = (b i j) iste veličine naziva se C = (c i j) iste veličine, čiji su elementi određeni formulom c i j = a i j + b i j.

Proizvod AB je određen pod pretpostavkom da je broj kolona A jednak broju redova B.

Proizvod AB, gdje je A = (a i j) i B = (b j k), gdje je i = , j= , k= , dat određenim redom AB, naziva se C = (c i k), čiji su elementi određeni pomoću sljedeće pravilo:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Drugim riječima, element proizvoda AB određuje se na sljedeći način: element i-tog reda i k-tog stupca C jednak je zbiru proizvoda i-tog reda A i odgovarajući elementi k-te kolone B.

Primjer 2.1. Pronađite proizvod AB i .

Rješenje. Imamo: A veličine 2x3, B veličine 3x3, tada proizvod AB = C postoji i elementi C su jednaki

Od 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, od 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, od 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, a proizvod BA ne postoji.

Primjer 2.2. U tabeli je prikazan broj jedinica proizvoda koje se dnevno otpremaju iz mlekara 1 i 2 u prodavnice M 1, M 2 i M 3, a dostava jedinice proizvoda iz svake mlekare do prodavnice M 1 košta 50 den. jedinica, do prodavnice M 2 - 70, a do M 3 - 130 den. jedinice Izračunajte dnevne troškove transporta svake biljke.

Mliječna fabrika

Rješenje. Označimo sa A matricu koja nam je data u uslovu i sa
B - matrica koja karakteriše trošak isporuke jedinice proizvoda u prodavnice, tj.

,

Tada će matrica troškova transporta izgledati ovako:

.

Dakle, prva fabrika dnevno troši 4.750 deniera na transport. jedinica, drugi - 3680 novčanih jedinica.

Primjer 2.3. Šivaća kompanija proizvodi zimske kapute, demi sezonske kapute i kabanice. Planirani proizvod za jednu deceniju karakteriše vektor X = (10, 15, 23). Koriste se četiri vrste tkanina: T 1, T 2, T 3, T 4. Tabela prikazuje stope potrošnje tkanine (u metrima) za svaki proizvod. Vektor C = (40, 35, 24, 16) specificira cijenu metra tkanine svake vrste, a vektor P = (5, 3, 2, 2) specificira cijenu transporta metra tkanine svake vrste.

	Potrošnja tkanine
Zimski kaput
Demi-sezonski kaput

1. Koliko metara svake vrste tkanine će biti potrebno za završetak plana?

2. Pronađite trošak tkanine potrošen na šivanje svake vrste proizvoda.

3. Odredite cijenu cjelokupnog materijala potrebnog za završetak plana.

Rješenje. Označimo sa A matricu koja nam je data u uslovu, tj.

,

zatim da biste pronašli broj metara tkanine potrebnih za završetak plana, morate pomnožiti vektor X sa matricom A:

Pronalazimo trošak tkanine potrošen na šivanje proizvoda svake vrste množenjem matrice A i vektora C T:

.

Trošak sve tkanine potrebne za završetak plana odredit će se formulom:

Konačno, uzimajući u obzir transportne troškove, ceo iznos će biti jednak ceni tkanine, odnosno 9472 den. jedinice, plus vrijednost

X A P T =
.

Dakle, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (novčane jedinice).