Definicija jednačine prave iz dvije tačke. Jednadžba prave koja prolazi kroz tačku, jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke, ugao između dvije prave, nagib prave

Lekcija iz serije "Geometrijski algoritmi"

Zdravo dragi čitaoče!

Danas ćemo početi da učimo algoritme vezane za geometriju. Činjenica je da u informatici ima dosta olimpijskih problema vezanih za računsku geometriju, a rješavanje takvih problema često izaziva poteškoće.

U nekoliko lekcija razmotrićemo niz elementarnih podproblema na kojima se zasniva rešavanje većine problema računarske geometrije.

U ovoj lekciji ćemo napisati program za nalaženje jednačine prave linije prolazeći kroz dato dvije tačke. Za rješavanje geometrijskih problema potrebno nam je određeno poznavanje računske geometrije. Deo lekcije posvetićemo njihovom upoznavanju.

Informacije iz računske geometrije

Računarska geometrija je grana računarske nauke koja proučava algoritme za rešavanje geometrijskih problema.

Početni podaci za takve probleme mogu biti skup tačaka na ravni, skup segmenata, poligon (dat, na primjer, listom njegovih vrhova u smjeru kazaljke na satu) itd.

Rezultat može biti ili odgovor na neko pitanje (kao što je da li tačka pripada segmentu, da li se dva segmenta seku, ...), ili neki geometrijski objekat (na primer, najmanji konveksni poligon koji povezuje date tačke, površina poligon, itd.).

Probleme računske geometrije ćemo razmatrati samo na ravni i samo u Dekartovom koordinatnom sistemu.

Vektori i koordinate

Za primjenu metoda računske geometrije potrebno je geometrijske slike prevesti na jezik brojeva. Pretpostavit ćemo da je na ravni dat Dekartov koordinatni sistem u kojem se smjer rotacije u smjeru suprotnom od kazaljke na satu naziva pozitivnim.

Sada geometrijski objekti dobijaju analitički izraz. Dakle, da biste postavili tačku, dovoljno je navesti njene koordinate: par brojeva (x; y). Segment se može specificirati specificiranjem koordinata njegovih krajeva, prava linija se može specificirati specificiranjem koordinata para njegovih tačaka.

Ali glavni alat za rješavanje problema bit će vektori. Podsjetiću vas, dakle, na neke podatke o njima.

Segment linije AB, što ima poentu A smatra se početkom (tačkom primjene) i tačkom IN- kraj se zove vektor AB i označeno ili , ili podebljanim malim slovom, na primjer A .

Da bismo označili dužinu vektora (odnosno, dužinu odgovarajućeg segmenta), koristićemo simbol modula (na primjer, ).

Proizvoljni vektor imat će koordinate jednake razlici između odgovarajućih koordinata njegovog kraja i početka:

,

tačke ovde A I B imaju koordinate respektivno.

Za proračune ćemo koristiti koncept orijentisani ugao, odnosno ugao koji uzima u obzir relativni položaj vektora.

Orijentirani ugao između vektora a I b pozitivan ako je rotacija udaljena od vektora a na vektor b se radi u pozitivnom smjeru (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) i negativno u drugom slučaju. Vidi sl.1a, sl.1b. Takođe se kaže da je par vektora a I b pozitivno (negativno) orijentisan.

Dakle, vrijednost orijentiranog ugla ovisi o redoslijedu nabrajanja vektora i može imati vrijednosti u intervalu .

Mnogi problemi računske geometrije koriste koncept vektorskih (kosih ili pseudoskalarnih) proizvoda vektora.

Vektorski proizvod vektora a i b je proizvod dužina ovih vektora i sinusa ugla između njih:

.

Vektorski proizvod vektora u koordinatama:

Izraz na desnoj strani je determinanta drugog reda:

Za razliku od definicije date u analitičkoj geometriji, ovo je skalar.

Znak unakrsnog proizvoda određuje položaj vektora jedan u odnosu na drugi:

a I b pozitivno orijentisan.

Ako je vrijednost , tada je par vektora a I b negativno orijentisan.

Unakrsni proizvod nenultih vektora je nula ako i samo ako su kolinearni ( ). To znači da leže na istoj liniji ili na paralelnim linijama.

Razmotrimo nekoliko jednostavnih zadataka potrebnih za rješavanje složenijih.

Definirajmo jednačinu prave po koordinatama dvije tačke.

Jednačina prave linije koja prolazi kroz dvije različite tačke date njihovim koordinatama.

Neka su na pravoj date dvije nepodudarne tačke: sa koordinatama (x1;y1) i sa koordinatama (x2; y2). Prema tome, vektor sa početkom u tački i krajem u tački ima koordinate (x2-x1, y2-y1). Ako je P(x, y) proizvoljna tačka na našoj liniji, tada su koordinate vektora (x-x1, y - y1).

Uz pomoć unakrsnog proizvoda, uslov kolinearnosti vektora i može se napisati na sljedeći način:

One. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Posljednju jednačinu prepisujemo na sljedeći način:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Dakle, prava linija se može dati jednačinom oblika (1).

Zadatak 1. Date su koordinate dvije tačke. Pronađite njen prikaz u obliku ax + by + c = 0.

U ovoj lekciji smo se upoznali sa nekim informacijama iz računske geometrije. Riješili smo problem nalaženja jednačine prave po koordinatama dvije tačke.

U sledećoj lekciji ćemo napisati program za pronalaženje presečne tačke dve prave date našim jednačinama.

U ovom članku ćemo razmotriti opštu jednadžbu prave linije u ravni. Navedimo primjere konstruiranja opće jednadžbe prave ako su poznate dvije tačke ove prave ili ako su poznate jedna tačka i vektor normale ove prave. Predstavimo metode za transformaciju jednačine u opštem obliku u kanonske i parametarske oblike.

Neka je dat proizvoljan kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem Oxy. Razmotrimo jednačinu prvog stepena ili linearnu jednačinu:

Ax+By+C=0,

(1)

Gdje A, B, C su neke konstante i barem jedan od elemenata A I B različito od nule.

Pokazaćemo da linearna jednačina u ravni definiše pravu liniju. Dokažimo sljedeću teoremu.

Teorema 1. U proizvoljnom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni, svaka prava linija može biti data linearnom jednačinom. Obrnuto, svaka linearna jednačina (1) u proizvoljnom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni definiše pravu liniju.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da je linija L je određen linearnom jednačinom za bilo koji Dekartov pravougaoni koordinatni sistem, pošto će tada biti određen linearnom jednačinom i za bilo koji izbor Dekartovog pravougaonog koordinatnog sistema.

Neka je na ravni data prava linija L. Biramo koordinatni sistem tako da os Ox poravnati sa linijom L, i osa Oy bio okomit na njega. Zatim jednačina prave Lće poprimiti sljedeći oblik:

y=0.

(2)

Sve tačke na pravoj Lće zadovoljiti linearnu jednačinu (2), a sve tačke izvan ove prave linije neće zadovoljiti jednačinu (2). Prvi dio teoreme je dokazan.

Neka je zadan kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem i neka linearna jednadžba (1), gdje je barem jedan od elemenata A I B različito od nule. Odrediti lokus tačaka čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (1). Budući da je barem jedan od koeficijenata A I B je različit od nule, tada jednačina (1) ima barem jedno rješenje M(x 0 ,y 0). (Na primjer, kada A≠0, tačka M 0 (−C/A, 0) pripada datom lokusu tačaka). Zamjenom ovih koordinata u (1) dobijamo identitet

Sjekira 0 +By 0 +C=0.

(3)

Oduzmimo identitet (3) od (1):

A(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Očigledno, jednačina (4) je ekvivalentna jednačini (1). Stoga je dovoljno dokazati da (4) definira neku pravu.

Pošto razmatramo kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem, iz jednakosti (4) slijedi da vektor sa komponentama ( x−x 0 , y−y 0 ) je ortogonalno na vektor n sa koordinatama ( A,B}.

Razmislite o nekoj liniji L prolazeći kroz tačku M 0 (x 0 , y 0) i okomito na vektor n(Sl.1). Pusti poentu M(x,y) pripada liniji L. Zatim vektor sa koordinatama x−x 0 , y−y 0 okomito n i jednačina (4) je zadovoljena (skalarni proizvod vektora n i jednaka je nuli). Obrnuto, ako je poenta M(x,y) ne leži na pravoj L, zatim vektor sa koordinatama x−x 0 , y−y 0 nije ortogonalno na vektor n a jednačina (4) nije zadovoljena. Teorema je dokazana.

Dokaz. Kako linije (5) i (6) definiraju istu liniju, normalni su vektori n 1 ={A 1 ,B 1) i n 2 ={A 2 ,B 2) su kolinearni. Pošto su vektori n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, onda postoji broj λ , Šta n 2 =n 1 λ . Dakle, imamo: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Dokažimo to C 2 =C 1 λ . Očigledno je da linije koje se poklapaju imaju zajedničku tačku M 0 (x 0 , y 0). Množenje jednadžbe (5) sa λ i oduzimanjem jednačine (6) od nje dobijamo:

Pošto su prve dvije jednakosti iz izraza (7) zadovoljene, onda C 1 λ −C 2=0. One. C 2 =C 1 λ . Primedba je dokazana.

Imajte na umu da jednačina (4) definira jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0) i ima normalan vektor n={A,B). Dakle, ako su poznati vektor normale prave i tačka koja pripada ovoj pravoj, onda se opšta jednačina prave može konstruisati pomoću jednačine (4).

Primjer 1. Prava prolazi kroz tačku M=(4,−1) i ima normalan vektor n=(3, 5). Konstruisati opštu jednačinu prave.

Rješenje. Imamo: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Da bismo konstruirali opću jednadžbu prave linije, ove vrijednosti zamjenjujemo u jednačinu (4):

odgovor:

Vektor paralelan pravoj L i stoga je okomita na normalni vektor prave L. Konstruirajmo vektor normalne linije L, s obzirom da je skalarni proizvod vektora n i jednaka je nuli. Možemo napisati npr. n={1,−3}.

Da bismo konstruirali opštu jednačinu prave, koristimo formulu (4). Zamijenimo u (4) koordinate tačke M 1 (možemo uzeti i koordinate tačke M 2) i vektor normale n:

Zamjena koordinata tačke M 1 i M 2 u (9) možemo osigurati da prava linija data jednačinom (9) prolazi kroz ove tačke.

odgovor:

Oduzmi (10) od (1):

Dobili smo kanonsku jednačinu prave. Vector q={−B, A) je vektor smjera prave (12).

Vidi obrnutu transformaciju.

Primer 3. Prava linija u ravni je predstavljena sledećom opštom jednačinom:

Pomerite drugi član udesno i podelite obe strane jednačine sa 2 5.

Kanonske jednadžbe prave linije u prostoru su jednačine koje definiraju pravu liniju koja prolazi kroz datu tačku kolinearno do vektora smjera.

Neka su data tačka i vektor pravca. Proizvoljna tačka leži na pravoj l samo ako su vektori i kolinearni, tj. zadovoljavaju uslov:

.

Gore navedene jednadžbe su kanonske jednačine prave.

Brojevi m , n I str su projekcije vektora smjera na koordinatne ose. Pošto vektor nije nula, onda su svi brojevi m , n I str ne može biti nula u isto vrijeme. Ali jedan ili dva od njih mogu biti nula. U analitičkoj geometriji, na primjer, dozvoljena je sljedeća notacija:

,

što znači da su projekcije vektora na ose Oy I Oz jednaki su nuli. Dakle, i vektor i prava linija date kanonskim jednadžbama su okomiti na osi Oy I Oz, odnosno avioni yOz .

Primjer 1 Sastaviti jednadžbe prave linije u prostoru okomitoj na ravan i prolazi kroz tačku preseka ove ravni sa osom Oz .

Rješenje. Pronađite tačku preseka date ravni sa osom Oz. Od bilo koje tačke na osi Oz, ima koordinate , dakle, pod pretpostavkom u datoj jednačini ravnine x=y= 0, dobijamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2 . Dakle, tačka preseka date ravni sa osom Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Pošto je željena prava okomita na ravan, ona je paralelna sa svojim vektorom normale. Stoga vektor normale može poslužiti kao usmjeravajući vektor prave linije dati avion.

Sada pišemo željene jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:

Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Prava linija se može definisati sa dve tačke koje leže na njoj I U ovom slučaju, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor . Tada kanonske jednadžbe prave dobijaju oblik

.

Gornje jednačine definiraju pravu liniju koja prolazi kroz dvije date tačke.

Primjer 2 Napišite jednadžbu prave linije u prostoru koja prolazi kroz točke i .

Rješenje. Zapisujemo željene jednačine prave u gore navedenom obliku u teorijskoj referenci:

.

Budući da je , tada je željena linija okomita na os Oy .

Prava kao linija preseka ravnina

Prava linija u prostoru se može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni, odnosno kao skup tačaka koje zadovoljavaju sistem dve linearne jednačine

Jednačine sistema se nazivaju i opšte jednačine prave u prostoru.

Primjer 3 Sastaviti kanonske jednadžbe prave linije u prostoru zadanom općim jednačinama

Rješenje. Da biste napisali kanonske jednadžbe prave linije ili, što je isto, jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke, morate pronaći koordinate bilo koje dvije tačke na pravoj liniji. One mogu biti tačke preseka prave linije sa bilo koje dve koordinatne ravni, na primer yOz I xOz .

Tačka preseka prave sa ravninom yOz ima apscisu x= 0 . Stoga, pretpostavljajući u ovom sistemu jednačina x= 0, dobijamo sistem sa dve varijable:

Njena odluka y = 2 , z= 6 zajedno sa x= 0 definira tačku A(0; 2; 6) željene linije. Pretpostavljajući tada u datom sistemu jednačina y= 0 , dobijamo sistem

Njena odluka x = -2 , z= 0 zajedno sa y= 0 definira tačku B(-2; 0; 0) presek prave sa ravninom xOz .

Sada pišemo jednačine prave linije koja prolazi kroz tačke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

ili nakon dijeljenja nazivnika sa -2:

,

Definicija. Bilo koja linija u ravni može se dati jednačinom prvog reda

Ah + Wu + C = 0,

a konstante A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - prava prolazi kroz ishodište

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0) - prava je paralelna s osom Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0) - prava je paralelna sa Oy osom

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - prava linija se poklapa sa osom Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - prava linija se poklapa sa osom Ox

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo kojeg datog početnog uslova.

Jednadžba prave linije po tački i vektora normale

Definicija. U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B) je okomit na pravu datu jednačinom Ax + By + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1, 2) okomito na (3, -1).

Rješenje. Kod A = 3 i B = -1 sastavljamo jednačinu prave linije: 3x - y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C, zamijenimo koordinate date tačke A u rezultirajući izraz. Dobijamo: 3 - 2 + C = 0, dakle, C = -1. Ukupno: željena jednadžba: 3x - y - 1 \u003d 0.

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), a onda jednačina prave koja prolazi kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od imenilaca jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli.Na ravni, jednačina pravolinijske jednadžbe koja je gore napisana je pojednostavljena:

ako je x 1 ≠ x 2 i x = x 1 ako je x 1 = x 2.

Razlomak = k se zove faktor nagiba ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Rješenje. Primjenom gornje formule dobijamo:

Jednačina prave linije iz tačke i nagiba

Ako ukupni Ax + Wu + C = 0 dovede do oblika:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednačina zove jednačina prave linije sa nagibomk.

Jednadžba prave linije sa vektorom tačke i smjera

Po analogiji sa tačkom s obzirom na jednadžbu prave kroz vektor normale, možete uneti zadavanje prave linije kroz tačku i usmeravajućeg vektora prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1, α 2), čije komponente zadovoljavaju uslov A α 1 + B α 2 = 0 naziva se usmjeravajući vektor prave

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A(1, 2).

Rješenje. Tražićemo jednačinu željene prave u obliku: Ax + By + C = 0. U skladu sa definicijom, koeficijenti moraju zadovoljiti uslove:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0. za x = 1, y = 2 dobijamo C / A = -3, tj. željena jednačina:

Jednačina prave linije u segmentima

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Wu + C = 0 C≠0, onda, dijeljenjem sa –C, dobijamo: ili

Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent A je koordinata tačke preseka prave sa x-osom, i b- koordinata tačke preseka prave linije sa Oy osom.

Primjer. Zadata je opšta jednačina prave x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normalna jednačina prave linije

Ako se obje strane jednačine Ax + Vy + C = 0 pomnože brojem , koji se zove normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normalna jednačina prave linije. Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da μ * S< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Primjer. Zadata je opšta jednačina prave 12x - 5y - 65 = 0. Za ovu pravu je potrebno napisati različite vrste jednačina.

jednadžba ove prave u segmentima:

jednadžba ove prave sa nagibom: (podijelite sa 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Treba napomenuti da se svaka prava linija ne može predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave linije paralelne sa osama ili koje prolaze kroz ishodište.

Primjer. Prava linija odsijeca jednake pozitivne segmente na koordinatnim osa. Napišite jednadžbu ravne linije ako je površina trokuta koji čine ovi segmenti 8 cm 2.

Rješenje. Jednačina prave linije ima oblik: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Primjer. Napišite jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku A (-2, -3) i ishodište.

Rješenje. Jednačina prave linije ima oblik: , gdje je x 1 = y 1 = 0; x 2 \u003d -2; y 2 = -3.

Ugao između linija na ravni

Definicija. Ako su date dvije prave y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , tada će oštar ugao između ovih pravih biti definiran kao

.

Dvije prave su paralelne ako je k 1 = k 2 . Dvije prave su okomite ako je k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Prave linije Ax + Vy + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelne kada su koeficijenti A 1 = λA, B 1 \u003d λB proporcionalni. Ako je i S 1 = λS, tada se prave poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se kao rešenje sistema jednačina ovih pravih.

Jednadžba prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu

Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomita na pravu y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

Udaljenost od tačke do linije

Teorema. Ako je data tačka M(x 0, y 0), tada je udaljenost do prave Ax + Vy + C \u003d 0 definirana kao

.

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i y 1 mogu se naći kao rješenje sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina prave linije koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito na datu pravu liniju. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomite.

Rješenje. Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Naći jednačinu za visinu povučenu iz vrha C.

Rješenje. Pronalazimo jednačinu stranice AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Željena jednadžba visine je: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b. k = . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Svojstva prave linije u euklidskoj geometriji.

Postoji beskonačno mnogo pravih koje se mogu povući kroz bilo koju tačku.

Kroz bilo koje dvije tačke koje se ne poklapaju, postoji samo jedna prava linija.

Dvije nepodudarne prave u ravni se ili seku u jednoj tački, ili su

paralelno (slijedi iz prethodnog).

U trodimenzionalnom prostoru postoje tri opcije za relativni položaj dvije linije:

• linije se seku;

• ravne su paralelne;

• prave se seku.

Pravo linija- algebarska kriva prvog reda: u Dekartovom koordinatnom sistemu prava linija

je dato na ravni jednačinom prvog stepena (linearna jednačina).

Opšta jednačina prave linije.

Definicija. Bilo koja linija u ravni može se dati jednačinom prvog reda

Ah + Wu + C = 0,

i konstantan A, B nije jednako nuli u isto vrijeme. Ova jednačina prvog reda se zove general

jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B I WITH Mogući su sljedeći posebni slučajevi:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linija prolazi kroz ishodište

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- prava paralelna sa osom Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- prava paralelna sa osom OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linija se poklapa sa osom OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linija se poklapa sa osom Oh

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo koje date

početni uslovi.

Jednadžba prave linije po tački i vektora normale.

Definicija. U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B)

okomito na pravu datu jednacinom

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Rješenje. Sastavimo na A = 3 i B = -1 jednadžbu prave linije: 3x - y + C = 0. Da pronađemo koeficijent C

u rezultirajući izraz zamjenjujemo koordinate date tačke A. Dobijamo: 3 - 2 + C = 0, dakle

C = -1. Ukupno: željena jednadžba: 3x - y - 1 \u003d 0.

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1 , y 1 , z 1) I M2 (x 2, y 2 , z 2), Onda jednačina prave linije,

prolazeći kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli. On

ravni, gore napisana jednačina prave je pojednostavljena:

Ako x 1 ≠ x 2 I x = x 1, Ako x 1 = x 2 .

Razlomak = k pozvao faktor nagiba ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Rješenje. Primjenom gornje formule dobijamo:

Jednadžba prave linije po tački i nagibu.

Ako je opšta jednačina prave linije Ah + Wu + C = 0 dovesti u formu:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednačina zove

jednačina prave linije sa nagibom k.

Jednadžba prave linije na tački i usmjerivača.

Po analogiji sa tačkom koja razmatra jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete ući u zadatak

prava linija kroz tačku i vektor pravca prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1 , α 2), čije komponente zadovoljavaju uslov

Aα 1 + Bα 2 = 0 pozvao vektor smjera prave linije.

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A(1, 2).

Rješenje. Tražićemo jednadžbu željene prave linije u obliku: Ax + By + C = 0. prema definiciji,

koeficijenti moraju zadovoljiti uslove:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.

at x=1, y=2 dobijamo C/ A = -3, tj. željena jednačina:

x + y - 3 = 0

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Wu + C = 0 C≠0, onda, dijeljenjem sa -C, dobijamo:

ili , gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da je koeficijent a koordinata tačke preseka

ravno sa osovinom Oh, A b- koordinata tačke preseka linije sa osom OU.

Primjer. Daje se opšta jednačina prave linije x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normalna jednačina prave linije.

Ako obje strane jednačine Ah + Wu + C = 0 podijeliti brojem , koji se zove

normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednačina prave linije.

Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da μ * C< 0.

R- dužina okomice spuštena od početka do prave,

A φ - ugao koji formira ova okomita sa pozitivnim smjerom ose Oh.

Primjer. S obzirom na opštu jednačinu prave linije 12x - 5y - 65 = 0. Potreban za pisanje različitih vrsta jednačina

ovu pravu liniju.

Jednačina ove prave linije u segmentima:

Jednačina ove prave sa nagibom: (podijeliti sa 5)

Jednačina prave linije:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Treba napomenuti da se ne može svaka prava linija predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave,

paralelno sa osama ili prolazeći kroz ishodište.

Ugao između linija na ravni.

Definicija. Ako su data dva reda y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, zatim oštar ugao između ovih linija

će se definisati kao

Dvije prave su paralelne ako k 1 = k 2. Dvije prave su okomite

Ako k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direktno Ah + Wu + C = 0 I A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 su paralelni kada su koeficijenti proporcionalni

A 1 = λA, B 1 \u003d λB. Ako takođe S 1 \u003d λS, tada se linije poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave

nalaze se kao rješenje sistema jednačina ovih linija.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku je okomita na datu pravu.

Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomito na pravu y = kx + b

predstavljena jednačinom:

Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Ako je dat poen M(x 0, y 0), zatim udaljenost do linije Ah + Wu + C = 0 definirano kao:

Dokaz. Pusti poentu M 1 (x 1, y 1)- osnova okomice ispuštena iz tačke M za dato

direktno. Zatim udaljenost između tačaka M I M 1:

(1)

Koordinate x 1 I 1 može se naći kao rješenje sistema jednačina:

Druga jednačina sistema je jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito

zadata linija. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.