Zašto su ispunjena najvažnija svojstva trigonometrijskih operacija. Trigonometrija je jednostavna i jasna

Sinus, kosinus, tangenta - kada izgovarate ove riječi u prisustvu srednjoškolaca, možete biti sigurni da će dvije trećine njih izgubiti interes za dalji razgovor. Razlog leži u činjenici da se osnove trigonometrije u školi uče u potpunoj izolaciji od stvarnosti, te stoga učenici ne vide smisao u proučavanju formula i teorema.

Zapravo, ova oblast znanja, pomnijim ispitivanjem, ispada veoma zanimljiva, ali i primenjena - trigonometrija se koristi u astronomiji, građevinarstvu, fizici, muzici i mnogim drugim oblastima.

Hajde da se upoznamo sa osnovnim pojmovima i navedemo nekoliko razloga za proučavanje ove grane matematičke nauke.

Priča

Nije poznato u kom trenutku je čovečanstvo počelo da stvara buduću trigonometriju od nule. Međutim, dokumentirano je da su Egipćani već u drugom mileniju prije nove ere bili upoznati s osnovama ove nauke: arheolozi su pronašli papirus sa zadatkom u kojem je potrebno pronaći ugao nagiba piramide na dvije poznate strane.

Naučnici Drevnog Babilona postigli su ozbiljnije uspjehe. Baveći se astronomijom vekovima, savladali su niz teorema, uveli posebne metode za merenje uglova, koje, inače, danas koristimo: stepene, minute i sekunde je evropska nauka posudila u grčko-rimskoj kulturi, u kojoj su ovi jedinice potiču od Babilonaca.

Pretpostavlja se da je poznata Pitagorina teorema, koja se odnosi na osnove trigonometrije, bila poznata Vaviloncima prije skoro četiri hiljade godina.

Ime

Doslovno, pojam "trigonometrija" može se prevesti kao "mjerenje trouglova". Glavni predmet proučavanja ovog odeljka nauke dugi niz vekova bio je pravougli trougao, odnosno odnos između veličina uglova i dužina njegovih stranica (danas proučavanje trigonometrije počinje od ovog odeljka od ogrebotina). U životu nisu neuobičajene situacije kada je nemoguće praktično izmjeriti sve potrebne parametre nekog objekta (ili udaljenost do objekta), a tada postaje potrebno proračunima dobiti podatke koji nedostaju.

Na primjer, u prošlosti osoba nije mogla mjeriti udaljenost do svemirskih objekata, ali pokušaji izračunavanja tih udaljenosti dešavaju se mnogo prije naše ere. Trigonometrija je također igrala važnu ulogu u navigaciji: uz određeno znanje, kapetan je uvijek mogao noću navigirati po zvijezdama i ispraviti kurs.

Osnovni koncepti

Da biste savladali trigonometriju od nule, morate razumjeti i zapamtiti nekoliko osnovnih pojmova.

Sinus ugla je omjer suprotnog kraka i hipotenuze. Pojasnimo da je suprotna noga strana koja leži nasuprot ugla koji razmatramo. Dakle, ako je ugao 30 stepeni, sinus ovog ugla će uvek, za bilo koju veličinu trougla, biti jednak ½. Kosinus ugla je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Tangenta je omjer suprotnog kraka prema susjednom (ili, ekvivalentno, omjer sinusa i kosinusa). Kotangens je jedinica podijeljena tangentom.

Vrijedi spomenuti poznati broj Pi (3,14 ...), koji je polovina dužine kruga polumjera jedne jedinice.

Popularne greške

Ljudi koji uče trigonometriju od nule prave brojne greške – uglavnom zbog nepažnje.

Prvo, kada se rješavaju problemi iz geometrije, mora se imati na umu da je upotreba sinusa i kosinusa moguća samo u pravokutnom trokutu. Dešava se da učenik „na mašini“ uzme najdužu stranu trougla kao hipotenuzu i dobije netačne rezultate proračuna.

Drugo, u početku je lako pobrkati vrijednosti sinusa i kosinusa za odabrani kut: podsjetimo da je sinus od 30 stupnjeva brojčano jednak kosinusu od 60, i obrnuto. Ako zamijenite pogrešan broj, svi daljnji proračuni će biti pogrešni.

Treće, dok se problem u potpunosti ne riješi, ne vrijedi zaokruživati bilo kakve vrijednosti, vaditi korijene, pisati običan razlomak kao decimalu. Često učenici nastoje da dobiju "lijep" broj u trigonometrijskom zadatku i odmah izvuku korijen od tri, iako se nakon tačno jedne radnje ovaj korijen može smanjiti.

Etimologija riječi "sinus"

Istorija reči "sinus" je zaista neobična. Činjenica je da doslovni prijevod ove riječi sa latinskog znači "šuplji". To je zato što se ispravno razumijevanje riječi izgubilo pri prevođenju s jednog jezika na drugi.

Nazivi osnovnih trigonometrijskih funkcija potječu iz Indije, gdje je pojam sinusa na sanskrtu označavan riječju "žica" - činjenica je da je segment, zajedno sa lukom kruga na koji je počivao, izgledao kao luk. . Za vrijeme procvata arapske civilizacije posuđena su indijska dostignuća u oblasti trigonometrije, a termin je prešao u arapski jezik u obliku transkripcije. Desilo se da je ovaj jezik već imao sličnu riječ za depresiju, i ako su Arapi razumjeli fonetsku razliku između domaće i posuđene riječi, onda su Evropljani, prevodeći naučne rasprave na latinski, greškom doslovno preveli arapsku riječ, koja nije imao nikakve veze sa konceptom sinusa. Koristimo ih do danas.

Tabele vrijednosti

Postoje tabele koje sadrže numeričke vrijednosti za sinuse, kosinuse i tangente svih mogućih uglova. U nastavku donosimo podatke za uglove od 0, 30, 45, 60 i 90 stepeni, koji se moraju naučiti kao obavezni dio trigonometrije za "lutke", jer ih je prilično lako zapamtiti.

Ako se dogodilo da mi je brojčana vrijednost sinusa ili kosinusa ugla "izletjela iz glave", postoji način da to sami izvedete.

Geometrijski prikaz

Nacrtajmo kružnicu, nacrtamo apscisu i ordinatne osi kroz njegovo središte. Os apscisa je horizontalna, a osa ordinata okomita. Obično se potpisuju kao "X" i "Y" respektivno. Sada povlačimo ravnu liniju iz središta kruga na takav način da dobijemo ugao koji nam je potreban između nje i X ose. Konačno, od tačke u kojoj prava seče kružnicu, spuštamo okomicu na osu X. Dužina rezultujućeg segmenta biće jednaka brojčanoj vrednosti sinusa našeg ugla.

Ova metoda je vrlo relevantna ako ste zaboravili željenu vrijednost, na primjer, na ispitu, a nema udžbenika trigonometrije pri ruci. Na ovaj način nećete dobiti tačnu cifru, ali ćete sigurno vidjeti razliku između ½ i 1,73 / 2 (sinus i kosinus ugla od 30 stepeni).

Aplikacija

Jedni od prvih stručnjaka koji su koristili trigonometriju bili su mornari koji nisu imali drugu referentnu tačku na otvorenom moru osim neba iznad svojih glava. Danas kapetani brodova (aviona i drugih vidova transporta) ne traže najkraći put kroz zvijezde, već aktivno pribjegavaju pomoći GPS navigacije, što bi bilo nemoguće bez upotrebe trigonometrije.

U gotovo svakom dijelu fizike naći ćete proračune pomoću sinusa i kosinusa: bilo da se radi o primjeni sile u mehanici, proračunima putanje objekata u kinematici, vibracijama, širenju valova, prelamanju svjetlosti - jednostavno ne možete bez osnovne trigonometrije u formulama.

Još jedna profesija koja je nezamisliva bez trigonometrije je geodet. Koristeći teodolit i libelu, ili sofisticiraniji uređaj - tahometar, ovi ljudi mjere visinsku razliku između različitih tačaka na površini zemlje.

Ponovljivost

Trigonometrija se ne bavi samo uglovima i stranicama trougla, iako je tu počela svoje postojanje. U svim oblastima u kojima je prisutna cikličnost (biologija, medicina, fizika, muzika, itd.), naići ćete na graf čije ime vam je vjerovatno poznato - ovo je sinusoida.

Takav graf je krug koji se odvija duž vremenske ose i izgleda kao val. Ako ste ikada radili sa osciloskopom na času fizike, znate o čemu govorim. I muzički ekvilajzer i mjerač otkucaja srca koriste trigonometrijske formule u svom radu.

Konačno

Kada razmišljaju o tome kako naučiti trigonometriju, većina učenika srednjih i srednjih škola to počinje smatrati teškom i nepraktičnom naukom, jer se upoznaju samo sa dosadnim informacijama iz udžbenika.

Što se tiče nepraktičnosti, već smo vidjeli da je, u jednom ili drugom stepenu, sposobnost rukovanja sinusima i tangentima potrebna u gotovo svakom području aktivnosti. Što se tiče kompleksnosti... Razmislite: ako su ljudi koristili ovo znanje prije više od dvije hiljade godina, kada je odrasla osoba imala manje znanja od današnjeg srednjoškolca, da li je zaista moguće da vi lično izučavate ovu oblast nauke na osnovnom nivou ? Nekoliko sati promišljene prakse uz rješavanje problema - i postići ćete svoj cilj proučavanjem osnovnog kursa, takozvane trigonometrije za "lutke".

Kada izvodite trigonometrijske transformacije, slijedite ove savjete:

Ne pokušavajte odmah smisliti shemu za rješavanje primjera od početka do kraja.
Ne pokušavajte odjednom pretvoriti cijeli primjer. Krećite se naprijed malim koracima.
Zapamtite da pored trigonometrijskih formula u trigonometriji, još uvijek možete primijeniti sve poštene algebarske transformacije (zagrade, reducirajući razlomci, skraćene formule za množenje, itd.).
Vjerujte da će sve biti u redu.

Osnovne trigonometrijske formule

Većina formula u trigonometriji se često primjenjuje i s desna na lijevo i s lijeva na desno, tako da morate naučiti ove formule tako dobro da možete lako primijeniti neku formulu u oba smjera. Za početak zapisujemo definicije trigonometrijskih funkcija. Neka postoji pravougli trougao:

Tada je definicija sinusa:

Definicija kosinusa:

Definicija tangente:

Definicija kotangensa:

Osnovni trigonometrijski identitet:

Najjednostavniji rezultati osnovnog trigonometrijskog identiteta:

Formule dvostrukog ugla. Sinus dvostrukog ugla:

Kosinus dvostrukog ugla:

Tangenta dvostrukog ugla:

Dvokutni kotangens:

Dodatne trigonometrijske formule

Trigonometrijske formule sabiranja. Sinus sume:

Sinus razlike:

Kosinus sume:

Kosinus razlike:

Tangent sume:

Tangenta razlike:

Kotangens sume:

Kotangens razlike:

Trigonometrijske formule za pretvaranje zbroja u proizvod. Zbir sinusa:

Sinusna razlika:

Zbir kosinusa:

Kosinus razlika:

zbir tangenti:

Tangentna razlika:

Zbir kotangensa:

Kotangens razlika:

Trigonometrijske formule za pretvaranje proizvoda u zbir. Proizvod sinusa:

Umnožak sinusa i kosinusa:

Umnožak kosinusa:

Formule za smanjenje stepena.

Formule poluugla.

Formule trigonometrijske redukcije

Poziva se kosinusna funkcija kofunkcija sinusna funkcija i obrnuto. Slično, funkcije tangenta i kotangens su kofunkcije. Formule redukcije se mogu formulirati prema sljedećem pravilu:

Ako se u formuli redukcije ugao oduzme (doda) od 90 stepeni ili 270 stepeni, tada se reducibilna funkcija menja u kofunkciju;
Ako se u formuli redukcije ugao oduzme (doda) od 180 stepeni ili 360 stepeni, onda je naziv redukovane funkcije sačuvan;
U ovom slučaju redukovanoj funkciji prethodi znak koji redukovana (tj. originalna) funkcija ima u odgovarajućoj četvrtini, ako oduzeti (dodati) ugao smatramo oštarim.

Cast formule date su u obliku tabele:

By trigonometrijski krug lako je odrediti tabelarne vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

Trigonometrijske jednadžbe

Da bi se riješila određena trigonometrijska jednačina, ona se mora svesti na jednu od najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi, o kojoj će biti riječi u nastavku. Za ovo:

Možete primijeniti gornje trigonometrijske formule. U ovom slučaju, ne morate pokušavati odjednom pretvoriti cijeli primjer, već morate ići naprijed u malim koracima.
Ne smijemo zaboraviti na mogućnost transformacije nekog izraza uz pomoć algebarskih metoda, tj. na primjer, staviti nešto izvan zagrada ili, obrnuto, otvoriti zagrade, smanjiti razlomak, primijeniti skraćenu formulu množenja, dovesti razlomke u zajednički nazivnik, itd.
Prilikom rješavanja trigonometrijskih jednadžbi možete primijeniti metod grupisanja. Treba imati na umu da da bi proizvod nekoliko faktora bio jednak nuli, dovoljno je da bilo koji od njih bude jednak nuli, a ostalo je postojalo.
Primjena varijabilna metoda zamjene, kao i obično, jednadžba nakon uvođenja zamjene treba da postane jednostavnija i da ne sadrži originalnu varijablu. Također morate zapamtiti da napravite obrnutu zamjenu.
Zapamtite da se homogene jednadžbe često javljaju i u trigonometriji.
Prilikom otvaranja modula ili rješavanja iracionalnih jednadžbi s trigonometrijskim funkcijama, potrebno je zapamtiti i uzeti u obzir sve suptilnosti rješavanja odgovarajućih jednadžbi s običnim funkcijama.
Zapamtite ODZ (u trigonometrijskim jednadžbama ograničenja na ODZ se u osnovi svode na činjenicu da ne možete dijeliti sa nulom, ali ne zaboravite na druga ograničenja, posebno na pozitivnost izraza u racionalnim potencijama i pod korijenima parnih stupnjeva ). Također zapamtite da vrijednosti sinusa i kosinusa mogu biti samo između minus jedan i plus jedan, uključujući.

Glavna stvar je, ako ne znate što da radite, učinite barem nešto, a glavna stvar je da pravilno koristite trigonometrijske formule. Ako ono što dobijete postaje sve bolje i bolje, onda nastavite s rješenjem, a ako se pogorša, vratite se na početak i pokušajte primijeniti druge formule, tako radite dok ne naiđete na ispravno rješenje.

Formule za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. Za sinus, postoje dva ekvivalentna oblika pisanja rješenja:

Za ostale trigonometrijske funkcije, notacija je jedinstvena. za kosinus:

za tangentu:

za kotangens:

Rješenje trigonometrijskih jednadžbi u nekim posebnim slučajevima:

Naučite sve formule i zakone u fizici, te formule i metode u matematici. Zapravo, i to je vrlo jednostavno učiniti, postoji samo oko 200 potrebnih formula u fizici, a još nešto manje u matematici. U svakom od ovih predmeta postoji desetak standardnih metoda za rješavanje problema osnovnog nivoa složenosti, koje se također mogu naučiti, te tako potpuno automatski i bez poteškoća riješiti veći dio digitalne transformacije u pravom trenutku. Nakon toga ćete morati razmišljati samo o najtežim zadacima.

Pohađati sve tri faze probnog testiranja iz fizike i matematike. Svaki RT se može posjetiti dva puta kako bi se riješile obje opcije. Opet, na CT-u, pored sposobnosti brzog i efikasnog rješavanja problema, te poznavanja formula i metoda, potrebno je i znati pravilno planirati vrijeme, rasporediti snage i što je najvažnije ispravno popuniti formular za odgovore. , ne brkajući ni brojeve odgovora i zadataka, ni svoje ime. Takođe, tokom RT-a je važno da se naviknete na stil postavljanja pitanja u zadacima, što može izgledati vrlo neobično nespremnoj osobi na DT-u.

Uspješna, marljiva i odgovorna implementacija ove tri tačke omogućit će vam da na CT-u pokažete odličan rezultat, maksimum onoga za što ste sposobni.

Pronašli ste grešku?

Ako ste, kako vam se čini, pronašli grešku u materijalima za obuku, napišite o tome poštom. O grešci možete pisati i na društvenoj mreži (). U pismu navedite predmet (fizika ili matematika), naziv ili broj teme ili testa, broj zadatka ili mjesto u tekstu (stranici) na kojem, po vašem mišljenju, postoji greška. Također opišite koja je navodna greška. Vaše pismo neće proći nezapaženo, greška će biti ili ispravljena, ili će Vam biti objašnjeno zašto nije greška.

Već 1905. ruski čitaoci mogli su pročitati u Psihologiji Williama Jamesa, njegovo razmišljanje o tome "zašto je trpanje tako loš način učenja?"

„Znanje stečeno pukim trpanjem gotovo se neizbježno potpuno bez traga zaboravlja. Naprotiv, mentalni materijal, akumuliran pamćenjem postepeno, dan za danom, u vezi s različitim kontekstima, asocijativno povezan s drugim vanjskim događajima i više puta podvrgnut diskusijama, formira takav sistem, ulazi u takvu vezu s drugim aspektima našeg intelekta. , lako se obnavlja u pamćenju masom vanjskih razloga koji ostaju dugoročna čvrsta akvizicija.

Od tada je prošlo više od 100 godina, a ove riječi zadivljujuće ostaju aktuelne. To vidite svaki dan kada radite sa školarcima. Masovne praznine u znanju su toliko velike da se može tvrditi da školski predmet matematike u didaktičkom i psihološkom smislu nije sistem, već neka vrsta uređaja koji podstiče kratkoročno pamćenje i uopće ne brine o dugoročnom pamćenju. .

Poznavati školski predmet matematike znači savladati gradivo svake od oblasti matematike, moći u svakom trenutku ažurirati bilo koju od njih. Da biste to postigli, morate se sistematski baviti svakim od njih, što ponekad nije uvijek moguće zbog velikog opterećenja u lekciji.

Postoji još jedan način dugoročnog pamćenja činjenica i formula - to su referentni signali.

Trigonometrija je jedan od velikih odsjeka školske matematike koji se izučava u predmetu geometrije u 8., 9. razredu iu predmetu algebre u 9. razredu, algebre i početku analize u 10. razredu.

Najveća količina materijala koji se proučava iz trigonometrije pada na 10. razred. Velik dio ovog materijala iz trigonometrije može se naučiti i zapamtiti trigonometrijski krug(krug jediničnog radijusa sa središtem na početku pravougaonog koordinatnog sistema). Application1.ppt

Ovo su sljedeći koncepti trigonometrije:

definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ugla;
radijansko mjerenje uglova;
domena definicije i raspona trigonometrijskih funkcija
vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke vrijednosti numeričkog i kutnog argumenta;
periodičnost trigonometrijskih funkcija;
parne i neparne trigonometrijske funkcije;
povećanje i smanjenje trigonometrijskih funkcija;
formule redukcije;
vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija;
rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina;
rješenje najjednostavnijih nejednačina;
osnovne formule trigonometrije.

Razmotrite proučavanje ovih koncepata na trigonometrijskom krugu.

1) Definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Nakon uvođenja pojma trigonometrijske kružnice (krug jediničnog poluprečnika sa središtem u ishodištu), početnog poluprečnika (radijusa kružnice u pravcu ose Ox), ugla rotacije, učenici samostalno dobijaju definicije za sinus, kosinus , tangenta i kotangens na trigonometrijski krug, koristeći definicije iz geometrije kursa, odnosno uzimajući u obzir pravokutni trokut s hipotenuzom jednakom 1.

Kosinus ugla je apscisa tačke na kružnici kada je početni poluprečnik rotiran za dati ugao.

Sinus ugla je ordinata tačke na kružnici kada je početni radijus rotiran za dati ugao.

2) Radijansko mjerenje uglova na trigonometrijskom krugu.

Nakon uvođenja radijanske mjere ugla (1 radijan je centralni ugao, koji odgovara dužini luka jednakoj poluprečniku kruga), učenici zaključuju da je radijanska mjera ugla numerička vrijednost ugla rotacije na kružnici , jednaka dužini odgovarajućeg luka kada je početni polumjer rotiran za dati ugao. .

Trigonometrijski krug je podijeljen na 12 jednakih dijelova prečnicima kruga. Znajući da je ugao radijan, može se odrediti radijansko mjerenje za uglove koji su višestruki od .

I radijanska mjerenja uglova koji su višestruki dobivaju se na sličan način:

3) Područje definicije i domena vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Hoće li podudarnost uglova rotacije i vrijednosti koordinata točke na kružnici biti funkcija?

Svaki ugao rotacije odgovara jednoj tački na kružnici, tako da je ova korespondencija funkcija.

Dobivanje funkcija

Na trigonometrijskom krugu se može vidjeti da je domen definicije funkcija skup svih realnih brojeva, a domen vrijednosti je .

Uvedemo pojmove linija tangenta i kotangensa na trigonometrijskom krugu.

1) Neka Uvodimo pomoćnu ravnu liniju paralelnu sa Oy osi, na kojoj su određene tangente za bilo koji numerički argument.

2) Slično, dobijamo liniju kotangensa. Neka je y=1, onda . To znači da su vrijednosti kotangensa određene na pravoj liniji koja je paralelna s osom Ox.

Na trigonometrijskom krugu se lako može odrediti domen definicije i raspon vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

za tangentu -

za kotangens -

4) Vrijednosti trigonometrijskih funkcija na trigonometrijskom krugu.

Krak nasuprot ugla na polovini hipotenuze, odnosno drugi krak prema Pitagorinoj teoremi:

Dakle, po definiciji sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa, možete odrediti vrijednosti za uglove koji su višestruki ili radijani. Vrijednosti sinusa se određuju duž ose Oy, kosinusne vrijednosti duž ose Ox, a vrijednosti tangente i kotangensa se mogu odrediti iz dodatnih osa paralelnih s osa Oy i Ox, respektivno.

Tabelarne vrijednosti sinusa i kosinusa nalaze se na odgovarajućim osama kako slijedi:

Tabelarne vrijednosti tangenta i kotangensa -

5) Periodičnost trigonometrijskih funkcija.

Na trigonometrijskom krugu se može vidjeti da se vrijednosti sinusa, kosinusa ponavljaju svaki radijan, a tangenta i kotangens - svaki radijan.

6) Parne i neparne trigonometrijske funkcije.

Ovo svojstvo se može dobiti poređenjem vrijednosti pozitivnih i suprotnih uglova rotacije trigonometrijskih funkcija. Shvatili smo to

Dakle, kosinus je parna funkcija, sve ostale funkcije su neparne.

7) rastuće i opadajuće trigonometrijske funkcije.

Trigonometrijski krug pokazuje da se sinusna funkcija povećava i smanjuje se

Slično argumentirajući, dobijamo intervale povećanja i smanjenja kosinusnih, tangentnih i kotangensnih funkcija.

8) Formule redukcije.

Za ugao uzimamo manju vrijednost ugla na trigonometrijskom krugu. Sve formule su dobijene poređenjem vrijednosti trigonometrijskih funkcija na kracima odabranih pravokutnih trokuta.

Algoritam za primjenu formula redukcije:

1) Odredite predznak funkcije pri rotaciji kroz zadati ugao.

Prilikom skretanja iza ugla funkcija je sačuvana, pri okretanju za ugao - dobiva se cijeli broj, neparan broj, kofunkcija (

9) Vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija.

Uvodimo inverzne funkcije za trigonometrijske funkcije koristeći definiciju funkcije.

Svaka vrijednost sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa na trigonometrijskom krugu odgovara samo jednoj vrijednosti ugla rotacije. Dakle, za funkciju, domen definicije je , domen vrijednosti je - Za funkciju, domen definicije je , domen vrijednosti je . Slično, dobijamo domen definicije i opseg inverznih funkcija za kosinus i kotangens.

Algoritam za pronalaženje vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija:

1) nalaženje na odgovarajućoj osi vrednosti argumenta inverzne trigonometrijske funkcije;

2) pronalaženje ugla rotacije početnog radijusa, uzimajući u obzir raspon vrijednosti inverzne trigonometrijske funkcije.

Na primjer:

10) Rješenje najjednostavnijih jednačina na trigonometrijskom krugu.

Da bismo riješili jednadžbu oblika , nalazimo tačke na kružnici čije su ordinate jednake i zapisujemo odgovarajuće uglove, uzimajući u obzir period funkcije.

Za jednačinu nalazimo tačke na kružnici čije su apscise jednake i zapisujemo odgovarajuće uglove, uzimajući u obzir period funkcije.

Slično za jednačine oblika Vrijednosti se određuju na linijama tangenta i kotangensa i bilježe se odgovarajući kutovi rotacije.

Sve pojmove i formule trigonometrije učenici primaju sami pod jasnim vodstvom nastavnika uz pomoć trigonometrijskog kruga. U budućnosti će im ovaj "krug" služiti kao referentni signal ili vanjski faktor za reprodukciju u memoriji pojmova i formula trigonometrije.

Proučavanje trigonometrije na trigonometrijskom krugu doprinosi:

odabir stila komunikacije koji je optimalan za ovu lekciju, organizovanje obrazovne saradnje;
ciljevi časa postaju lično značajni za svakog učenika;
novi materijal se zasniva na ličnom iskustvu radnje, razmišljanja, osećanja učenika;
nastava obuhvata različite oblike rada i načine sticanja i usvajanja znanja; postoje elementi međusobnog i samoučenja; samokontrola i međusobna kontrola;
postoji brza reakcija na nesporazume i greške (zajednička diskusija, podrška-savjeti, međusobne konsultacije).

U ovoj lekciji ćemo govoriti o tome kako se javlja potreba za uvođenjem trigonometrijskih funkcija i zašto se one proučavaju, šta trebate razumjeti u ovoj temi, a gdje samo trebate napuniti ruku (što je tehnika). Imajte na umu da su tehnika i razumijevanje dvije različite stvari. Slažem se, postoji razlika: naučiti voziti bicikl, odnosno razumjeti kako to učiniti, ili postati profesionalni biciklista. Govorit ćemo o razumijevanju, o tome zašto su nam potrebne trigonometrijske funkcije.

Postoje četiri trigonometrijske funkcije, ali sve se mogu izraziti u terminima jedne koristeći identitete (jednakosti koje ih povezuju).

Formalne definicije trigonometrijskih funkcija za oštre uglove u pravokutnim trokutima (slika 1).

sinus Oštar ugao pravokutnog trokuta naziva se omjer suprotne katete i hipotenuze.

kosinus Oštar ugao pravokutnog trokuta naziva se omjer susjednog kraka i hipotenuze.

tangenta Oštar ugao pravokutnog trokuta naziva se omjer suprotne katete i susjedne katete.

Kotangens Oštar ugao pravouglog trougla naziva se omjer susjednog kraka i suprotnog kraka.

Rice. 1. Definicija trigonometrijskih funkcija oštrog ugla pravokutnog trokuta

Ove definicije su formalne. Ispravnije je reći da postoji samo jedna funkcija, na primjer, sinus. Da nisu toliko potrebne (ne tako često korištene) u tehnologiji, ne bi se uvodilo toliko različitih trigonometrijskih funkcija.

Na primjer, kosinus ugla je jednak sinusu istog ugla sa dodatkom (). Osim toga, kosinus ugla uvijek se može izraziti u terminima sinusa istog ugla, do znaka, koristeći osnovni trigonometrijski identitet (). Tangent ugla je omjer sinusa i kosinusa ili obrnuti kotangens (slika 2). Neki uopće ne koriste kotangens, zamjenjujući ga s . Stoga je važno razumjeti i znati raditi s jednom trigonometrijskom funkcijom.

Rice. 2. Povezivanje raznih trigonometrijskih funkcija

Ali zašto su vam takve funkcije uopće potrebne? Za koje praktične probleme se koriste? Pogledajmo nekoliko primjera.

Dvoje ljudi ( ALI i AT) gurnite auto iz lokve (slika 3). Čovjek AT može gurnuti automobil u stranu, dok je malo vjerovatno da će pomoći ALI. S druge strane, smjer njegovih napora može se postepeno mijenjati (slika 4).

Rice. 3. AT gura auto u stranu

Rice. četiri. AT počinje da menja pravac

Jasno je da će njihovi napori biti najefikasniji kada gurnu automobil u jednom pravcu (slika 5).

Rice. 5. Najefikasniji zajednički pravac napora

Koliko AT pomaže guranju mašine, sve dok je smjer njene sile blizak smjeru sile s kojom djeluje ALI, je funkcija ugla i izražava se kroz njegov kosinus (slika 6).

Rice. 6. Kosinus kao karakteristika efektivnosti napora AT

Ako pomnožimo veličinu sile kojom AT, na kosinus ugla, dobijamo projekciju njegove sile na smjer sile s kojom djeluje ALI. Što je ugao između smjerova sila bliži , to će rezultat zajedničkih akcija biti učinkovitiji ALI i AT(Sl. 7). Ako gurnu automobil istom silom u suprotnim smjerovima, automobil će ostati na mjestu (slika 8).

Rice. 7. Efikasnost zajedničkih napora ALI i AT

Rice. 8. Suprotan smjer sila ALI i AT

Važno je razumjeti zašto ugao (njegov doprinos konačnom rezultatu) možemo zamijeniti kosinusom (ili drugom trigonometrijskom funkcijom ugla). Zapravo, ovo slijedi iz takvog svojstva sličnih trokuta. Pošto u stvari govorimo sljedeće: ugao se može zamijeniti omjerom dva broja (kat-hipotenuza ili nog-noga). To bi bilo nemoguće ako bi, na primjer, za isti ugao različitih pravokutnih trouglova ovi odnosi bili različiti (slika 9).

Rice. 9. Jednaki omjeri strana u sličnim trouglovima

Na primjer, da su omjer i omjer različiti, tada ne bismo mogli uvesti funkciju tangente, jer bi za isti ugao u različitim pravokutnim trokutima tangenta bila različita. Ali zbog činjenice da su omjeri duljina krakova sličnih pravokutnih trokuta isti, vrijednost funkcije neće ovisiti o trokutu, što znači da su oštar kut i vrijednosti njegove trigonometrije funkcije su jedan na jedan.

Pretpostavimo da znamo visinu određenog drveta (slika 10). Kako izmjeriti visinu obližnje zgrade?

Rice. 10. Ilustracija stanja primjera 2

Pronalazimo tačku tako da linija povučena kroz ovu tačku i vrh kuće prolazi kroz vrh drveta (slika 11).

Rice. 11. Ilustracija rješenja zadatka iz primjera 2

Možemo izmjeriti udaljenost od ove tačke do drveta, udaljenost od nje do kuće i znamo visinu drveta. Iz omjera možete pronaći visinu kuće:.

Proporcija je omjer dva broja. U ovom slučaju, jednakost omjera dužina kateta sličnih pravokutnih trokuta. Štaviše, ovi omjeri su jednaki nekoj mjeri ugla, koja se izražava u terminima trigonometrijske funkcije (po definiciji, ovo je tangenta). Dobijamo da je za svaki akutni ugao vrijednost njegove trigonometrijske funkcije jedinstvena. To jest, sinus, kosinus, tangenta, kotangens su zaista funkcije, jer svaki oštar ugao odgovara tačno jednoj vrijednosti svakog od njih. Stoga se mogu dalje istraživati i njihova svojstva mogu koristiti. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za sve kutove su već izračunate, mogu se koristiti (mogu se pronaći iz Bradisovih tablica ili pomoću bilo kojeg inženjerskog kalkulatora). Ali da riješimo inverzni problem (na primjer, pomoću vrijednosti sinusa vratiti mjeru ugla koja mu odgovara), ne možemo uvijek.

Neka je sinus nekog ugla jednak ili približno (slika 12). Koji će ugao odgovarati ovoj vrijednosti sinusa? Naravno, opet možemo koristiti Bradisovu tabelu i pronaći neku vrijednost, ali se ispostavilo da ona neće biti jedina (slika 13).

Rice. 12. Pronalaženje ugla po vrijednosti njegovog sinusa

Rice. 13. Polivalentnost inverznih trigonometrijskih funkcija

Stoga, kada se vraća vrijednost trigonometrijske funkcije ugla, postoji polisemija inverznih trigonometrijskih funkcija. Možda izgleda komplikovano, ali u stvari se svakodnevno suočavamo sa sličnim situacijama.

Ako zavjesite prozore i ne znate da li je napolju svjetlo ili mrak, ili ako se nađete u pećini, onda je po buđenju teško reći da li je sada sat dana, noći ili sledećeg dana (slika 14). Zapravo, ako nas pitate "Koliko je sati?", trebali bismo iskreno odgovoriti: "Sat plus pomnožite sa gdje"

Rice. 14. Ilustracija polisemije na primjeru sata

Možemo zaključiti da - ovo je period (interval nakon kojeg će sat pokazati isto vrijeme kao sada). Trigonometrijske funkcije također imaju periode: sinus, kosinus, itd. To jest, njihove vrijednosti se ponavljaju nakon neke promjene u argumentu.

Ako planeta nije imala promjenu dana i noći ili promjenu godišnjih doba, onda ne bismo mogli koristiti periodično vrijeme. Na kraju krajeva, godine brojimo samo rastućim redoslijedom, a u danu ima sati, a svaki novi dan odbrojavanje počinje iznova. Ista je situacija i sa mjesecima: ako je sada januar, onda će opet u mjesecima doći januar i tako dalje. Vanjske referentne tačke nam pomažu da koristimo periodično brojanje vremena (sati, mjeseci), na primjer, rotaciju Zemlje oko svoje ose i promjenu položaja Sunca i Mjeseca na nebu. Kada bi Sunce uvijek visilo u istom položaju, tada bismo za izračunavanje vremena računali broj sekundi (minuta) od nastanka samog ovog izračuna. Datum i vrijeme bi tada mogli zvučati ovako: milijardu sekundi.

Zaključak: nema poteškoća u pogledu dvosmislenosti inverznih funkcija. Doista, mogu postojati opcije kada za isti sinus postoje različite vrijednosti ugla (slika 15).

Rice. 15. Obnavljanje ugla po vrijednosti njegovog sinusa

Obično pri rješavanju praktičnih problema uvijek radimo u standardnom rasponu od do . U ovom rasponu, za svaku vrijednost trigonometrijske funkcije, postoje samo dvije odgovarajuće vrijednosti mjere kuta.

Zamislite pokretni pojas i klatno u obliku kante s rupom iz koje ispada pijesak. Klatno se ljulja, traka se kreće (slika 16). Kao rezultat toga, pijesak će ostaviti trag u obliku grafa sinusne (ili kosinusne) funkcije, koja se naziva sinusni val.

Zapravo, grafovi sinusa i kosinusa razlikuju se jedan od drugog samo u referentnoj točki (ako nacrtate jednu od njih, a zatim izbrišete koordinatne osi, tada nećete moći odrediti koji je graf nacrtan). Stoga, nema smisla zvati kosinusni graf (zašto smisliti poseban naziv za isti graf)?

Rice. 16. Ilustracija iskaza problema u primjeru 4

Iz grafa funkcije također možete razumjeti zašto će inverzne funkcije imati mnogo vrijednosti. Ako je vrijednost sinusa fiksna, tj. povući pravu liniju paralelnu sa x-osi, a zatim na raskrsnici dobijamo sve tačke u kojima je sinus ugla jednak datom. Jasno je da će takvih tačaka biti beskonačno mnogo. Kao u primjeru sa satom, gdje se vrijednost vremena razlikovala za , samo ovdje će se vrijednost ugla razlikovati za iznos (Sl. 17).

Rice. 17. Ilustracija polisemije za sinus

Ako uzmemo u obzir primjer sa satom, tada se tačka (kraj kazaljke sata) kreće oko kruga. Na isti način se mogu definirati trigonometrijske funkcije - ne uzimajte u obzir kutove u pravokutnom trokutu, već ugao između polumjera kružnice i pozitivnog smjera ose. Broj krugova koje će tačka proći (dogovorili smo se da brojimo kretanje u smjeru kazaljke na satu sa znakom minus, a suprotno od kazaljke na satu sa znakom plus), to je period (slika 18).

Rice. 18. Vrijednost sinusa na kružnici

Dakle, inverzna funkcija je jedinstveno definirana na nekom intervalu. Za ovaj interval možemo izračunati njegove vrijednosti, a sve ostalo dobiti iz pronađenih vrijednosti dodavanjem i oduzimanjem perioda funkcije.

Razmotrimo još jedan primjer perioda. Auto se kreće putem. Zamislite da je njen točak zabio u farbu ili u lokvicu. Možete vidjeti povremene tragove boje ili lokve na cesti (Slika 19).

Rice. 19. Ilustracija perioda

U školskom kursu postoji mnogo trigonometrijskih formula, ali uglavnom je dovoljno zapamtiti samo jednu (Sl. 20).

Rice. 20. Trigonometrijske formule

Formulu dvostrukog ugla jednako je lako izvesti iz sinusa zbira zamjenom (slično za kosinus). Također možete izvesti formule proizvoda.

Zapravo, morate zapamtiti vrlo malo, jer će se s rješavanjem problema ove formule zapamtiti same. Naravno, neko će biti previše lijen da odluči mnogo, ali tada mu neće trebati ova tehnika, a time i same formule.

A pošto formule nisu potrebne, onda ih nema potrebe pamtiti. Samo trebate razumjeti ideju da su trigonometrijske funkcije funkcije s kojima se, na primjer, izračunavaju mostovi. Gotovo nijedan mehanizam ne može bez njihove upotrebe i proračuna.

1. Često se postavlja pitanje da li žice mogu biti apsolutno paralelne sa zemljom. Odgovor: ne, ne mogu, jer jedna sila deluje naniže, dok druge deluju paralelno – nikada neće uravnotežiti (Sl. 21).

2. Labud, rak i štuka vuku kolica u istoj ravni. Labud leti u jednom pravcu, rak vuče u drugom, a štuka u trećem (sl. 22). Njihove moći mogu biti u ravnoteži. Ovo balansiranje možete izračunati samo uz pomoć trigonometrijskih funkcija.

3. Most sa kablovima (sl. 23). Trigonometrijske funkcije pomažu u izračunavanju broja pokrova, kako ih treba usmjeriti i zategnuti.

Rice. 23. Most sa kablovima

Rice. 24. "String Bridge"

Rice. 25. Veliki Obuhovski most

Linkovi na ma-te-ri-a-ly stranicuInternetUrok

matematika 6. razred:

8. razred geometrije: