Praktični zadaci iz matematičke logike iskaza i operacija nad njima. Šta je istinita izjava

Primjer 1. Utvrditi istinitost tvrdnje · S Odluka. Složeni iskaz se sastoji od 3 jednostavna iskaza: A, B, C.

Kolone u tabeli su ispunjene vrednostima (0, 1). Naznačene su sve moguće situacije. Proste rečenice su odvojene od složenih dvostrukom okomitom linijom. Prilikom sastavljanja tabele, morate paziti da se ne zbuni redosled radnji; popunjavajući kolone treba se kretati “iznutra prema van”, tj. od elementarnih formula do sve složenijih; posljednja kolona za popunjavanje sadrži vrijednosti originalne formule.

ALI	AT	OD		A+		· IZ
0	0	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	0	0
0	1	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	1	1
1	0	0	1	1	0	0
1	0	1	1	1	0	0
1	1	0	0	1	0	0
1	1	1	0	1	0	0

Tabela pokazuje da je ova izjava istinita samo ako je A=0, B=1, C=1. U svim ostalim slučajevima je lažna.

Informacije od interesa možete pronaći i u naučnom pretraživaču Otvety.Online. Koristite formular za pretragu:

Više o temi 1. Utvrđivanje istinitosti složenih izjava.:

29. Problem odlučivosti u algebri propozicija (AB). Algoritmi za provjeru formula propozicione algebre za identičnu istinu: sastavljanje tablice istinitosti, izvođenje ekvivalentnih transformacija (CNF analiza), algoritam redukcije, Quineov algoritam. Prednosti i nedostaci ovih metoda.
Pitanje 6. Propozicioni račun. Aksiomi. pravilo zaključivanja. Zaključak. Identična istinitost izvedenih formula (dokazati). Konzistentnost propozicionog računa. Teorema o potpunosti propozicionog računa. Problem rješivosti. Račun iskaza. Problem odlučivosti

Vrijednost istine

Ovaj članak ili odjeljak je grubi prijevod članka na drugom jeziku (pogledajte Provjera prijevoda). Mogao je da bude generisan programom prevodioca ili da ga napravi neko ko malo poznaje originalni jezik. ¬( Uzorak:Mvar∧Uzorak:Mvar) ⇔ ¬Obrazac:Mvar ∨ ¬Obrazac:Mvar ¬( Uzorak:Mvar∨Uzorak:Mvar) ⇔ ¬Obrazac:Mvar ∧ ¬Obrazac:Mvar

Viševrijedna logika

Viševrednosna logika (na primer, rasplinuta logika dozvoljava više od dve istinite vrednosti, moguće da sadrži neke unutrašnje strukture.

Algebarska semantika

Nisu svi logički sistemi pravi sistemi vrednosti u smislu da se logičke veze mogu tumačiti kao istinitost funkcija. Na primjer, intuicionističkoj logici nedostaje kompletan skup vrijednosti istine jer je njena semantika definirana u smislu dokazivosti uvjeta, a ne direktno u smislu obavezne valjanosti formula.

U drugim teorijama

Intuicionistička teorija tipova koristi tipove umjesto vrijednosti istine.

Teorija toposa koristi vrijednosti istine u posebnom smislu: istinita vrijednost toposa je globalni element x podobjekat klasifikatora. Imati vrijednost istine u ovom smislu nema vrijednosnu logiku istine.

vidi takođe

Linkovi

Wikimedia fondacija. 2010 .

Pogledajte koja je "vrijednost istine" u drugim rječnicima:

Sadržaj označen jednim ili drugim jezičkim izrazom riječju, rečenicom, znakom itd. Pitanje Z. jezičkih izraza proučavaju lingvistika, semiotika i logička semantika. Razlikovati subjekt, semantičko i ekspresivno Z. lingvističko ... Philosophical Encyclopedia

Vrijednost istine (u logici), vrijednost koju Izjava (rečenica, presuda) zauzima, razmatrana u odnosu na sadržaj prikazan u njoj. U običnoj (klasičnoj) logici, dva I. z. "tačno", "netačno"; u… … Velika sovjetska enciklopedija

Tabela istinitosti je tabela koja opisuje logičku funkciju. Pod "logičkom funkcijom" u ovom slučaju se podrazumijeva funkcija u kojoj vrijednosti varijabli (parametara funkcije) i vrijednost same funkcije izražavaju logičku istinu. ... ... Wikipedia.

Tablica koja utvrđuje vrijednost istinitosti složenog iskaza s obzirom na vrijednosti njegovih jednostavnih iskaza. U klasičnoj matematičkoj logici pretpostavlja se da je svaki prosti (koji ne sadrži logički ... ... Rječnik logičkih termina

Denotatum (od lat. denotatum označen), termin lingvistike i ekstenzionalne logike, koji označava 1) proširenje, 2) designatum, 3) referent i 4) semantičko jezgro značenja. Sadržaj 1 Oznaka kao ekstenzija 2 Oznaka kao oznaka ... Wikipedia

Jedna od mogućih karakteristika iskaza u smislu njegove korespondencije sa opisanim fragmentom stvarnosti. Ako se pretpostavi da je svaki iskaz ili tačan ili netačan (tj. da je ili istinit... Rječnik logičkih termina

Skup logičkih sistema zasnovanih na principu dvosmislenosti. U klasičnoj dvovrijednoj logici, izrazi poprimaju samo dvije vrijednosti “tačno” i “netačno” tokom interpretacije, u M.l. uzimaju se u obzir i druge vrijednosti, npr. "neograničeno" ...... Philosophical Encyclopedia

- (od lat. factum učinjeno, ostvareno) 1) sinonim za pojmove "istina", "događaj", "rezultat"; nešto stvarno za razliku od izmišljenog; konkretno, pojedinačno za razliku od apstraktnog i opšteg; 2) u filozofiji nauke posebne vrste p ... Philosophical Encyclopedia

- (u logistici) - istinitost rečenice (presude, izjave), zbog, za razliku od tzv. logicno istina, sadržaj ove rečenice. Drugim riječima, rečenica je zapravo istinita kada njena istinitost zavisi od vrijednosti... Philosophical Encyclopedia

Stereometrijska semantika- tumačenje logike kao nauke o dobijanju istinitih posledica iz istinitih premisa sve više ustupa mesto širem konceptu koji se odnosi ili na generalizaciju koncepta praćenja, zasnovanog na tradicionalnoj proceni istine i na praktičnim ... ... Projektivni filozofski rječnik

Knjige

Kako iskreno verovati u Boga, ili jedino što je bitno za razvoj vere, Vrajev V. okruženje sa...

1.1 . Koje od sljedećih rečenica su izjave?

a) Moskva je glavni grad Rusije.

b) Student Fizičko-matematičkog fakulteta Pedagoškog zavoda.

c) Trougao ABC je sličan trouglu A "B" C.

d) Mjesec je Marsov satelit.

e) Kiseonik je gas.

g) Kaša je ukusno jelo.

h) Matematika je zanimljiv predmet.

i) Picassove slike su previše apstraktne.

j) Gvožđe je teže od olova.

l) Živele muze!

m) Trougao se naziva jednakostraničan ako su mu stranice jednake.

m) Ako su svi uglovi u trouglu jednaki, onda je on jednakostraničan.

o) Danas je loše vrijeme.

o) U romanu A. S. Puškina "Evgenije Onjegin" 136.245 pisama.

p) Reka Angara se uliva u Bajkalsko jezero.

Rješenje. b) Ova rečenica nije izjava jer ne govori ništa o učeniku.

c) Rečenica nije izjava: ne možemo utvrditi da li je istinita ili netačna, jer ne znamo o kakvim je trouglovima riječ.

g) Rečenica nije izjava, jer je koncept "ukusnog jela" previše nejasan.

o) Rečenica je izjava, ali je potrebno dosta vremena da se sazna njena istinitost.

1.2. Navedite koje su tvrdnje u prethodnom zadatku tačne, a koje netačne.

1.3. Formulirajte negativnosti sljedećih izjava; naznačiti istinite vrijednosti ovih izjava i njihove negacije:

a) Volga se uliva u Kaspijsko more.

b) Broj 28 nije djeljiv brojem 7.

e) Svi prosti brojevi su neparni.

1.4. Odredi koji su iskazi u sljedećim parovima međusobno negacije, a koji nisu (objasni zašto):

a) 2< 0, 2 > 0. -

b) 6< 9, 6  9.

c) “Trougao ABC je pravougli”, “Trougao ABC je tupougli”.

d) „Prirodni broj n paran", "Prirodni broj nčudno."

e) “Funkcija f neparan", "Funkcija fčak."

f) "Svi prosti brojevi su neparni", "Svi prosti brojevi su parni".

g) “Svi prosti brojevi su neparni”, “Postoji paran prost broj”.

h) “Čovjek poznaje sve vrste životinja koje žive na Zemlji”, “Na Zemlji postoji vrsta životinja koja čovjeku nije poznata.”

i) "Postoje iracionalni brojevi", "Svi brojevi su racionalni".

Rješenje. a) Propozicija "2 > 0" nije negacija "propozicije "2< 0», потому что требование не быть меньше 0 оставляет две возможности: быть равным 0 и быть больше 0. Таким образом, отрицанием высказывания «2 < 0» является высказывание «2  0».

1.5. Napišite sljedeće tvrdnje bez negativnog predznaka:

a)
; u)
;

b)
; G)
.

1.6.

a) Lenjingrad se nalazi na Nevi i 2 + 3 = 5.

b) 7 je prost broj, a 9 je prost broj.

c) 7 je prost broj ili 9 je prost broj.

d) Broj 2 je paran ili je ovaj broj prost.

e) 2  3, 2  3, 2 2  4, 2 2  4.

f) 2 2 = 4 ili polarni medvjedi žive u Africi.

g) 2 2 = 4, i 2 2  5, i 2 2  4.

Rješenje. a) Budući da su oba jednostavna iskaza na koje se primjenjuje operacija veznika istinita, prema tome, na osnovu definicije ove operacije, njihova konjunkcija je istinit iskaz.

1.7. Odredite istinite vrijednosti izjava A, B, C, D i E ako:

- istinite izjave

- su lažni.

Rješenje. c) Disjunkcija propozicija je istinita samo ako je barem jedan od sastavnih iskaza (članova disjunkcije) koji su uključeni u disjunkciju istinit. U našem slučaju, drugi sastavni iskaz "2 2 = 5" je netačan, a disjunkcija ova dva iskaza je tačna. Dakle, prva konstitutivna izjava OD tačno.

1.8. Formulirajte i zapišite u obliku veznika ili disjunkcije uslov istinitosti svake rečenice ( a i b- realni brojevi):

a)
G) i)

b)
e)
h)

u)
e)
i)

Rješenje. d) Razlomak je jednak nuli samo u slučaju kada je brojilac jednak nuli, a imenilac nije jednak nuli, tj. a = 0) & (b  0).

1.9. Odredite istinite vrijednosti sljedećih izjava:

a) Ako je 12 deljivo sa 6, onda je 12 deljivo sa 3.

b) Ako je 11 deljivo sa 6, onda je 11 deljivo sa 3.

c) Ako je 15 deljivo sa 6, onda je 15 deljivo sa 3.

d) Ako je 15 deljivo sa 3, onda je 15 deljivo sa 6.

e) Ako se Saratov nalazi na Nevi, tada polarni medvjedi žive u Africi.

f) 12 je deljivo sa 6 ako i samo ako je 12 deljivo sa 3.

g) 11 je deljivo sa 6 ako i samo ako je 11 deljivo sa 3.

h) 15 je deljivo sa 6 ako i samo ako je 15 deljivo sa 3.

i) 15 je deljivo sa 5 ako i samo ako je 15 deljivo sa 4.

j) Telesna masa m ima potencijalnu energiju mgh ako i samo ako je na svojoj visini h iznad površine zemlje.

Rješenje. a) Pošto je premisa tvrdnja "12 je deljivo sa 6" tačna, a posljedična izjava "12 je deljivo sa 3" tačna, tada je tačna i složena izjava zasnovana na definiciji implikacije.

g) Iz definicije ekvivalencije vidimo da je iskaz oblika
istina ako su logičke vrijednosti propozicija R i Q podudaranje, a u suprotnom lažno. U ovom primjeru, obje izjave na koje se primjenjuje veznik "ako i samo tada" su netačne. Stoga je čitav složeni prijedlog istinit.

1.10. Neka A označava tvrdnju “9 je deljivo sa 3”, a neka B označava izjavu “8 je deljivo sa 3”. Odredite istinite vrijednosti sljedećih izjava:

a)
G)
i)
do)

b)
e)
h)
l)

u)
e)
i)
m)

Rješenje. f) Imamo
,
. Zbog toga

1.11.

a) Ako je 4 paran broj, tada je A.

b) Ako je B, onda je 4 neparan broj.

c) Ako je 4 paran broj, onda je C.

d) Ako je D, onda je 4 neparan broj.

Rješenje. a) Implikacija dva iskaza je lažna izjava samo u jedinstvenom slučaju kada je premisa tačna, a zaključak lažan. U ovom slučaju, premisa „4 je paran broj“ je tačna, a po uslovu je tačna i cela tvrdnja. Dakle, zaključak A ne može biti lažan, tj. izjava A je tačna.

1.12. Odredite istinite vrijednosti iskaza A, B, C i D u sljedećim rečenicama, od kojih su prve dvije istinite, a posljednje dvije netačne:

a)
; b)
;

u)
; G)
.

1.13. Neka A označava tvrdnju "Ovaj trougao je jednakokračan", a neka je B izjava "Ovaj trougao je jednakostraničan". Pročitajte sljedeće izjave:

a)
G)

b)
e)

u)
e)

Rješenje. f) Ako je trougao jednakokračan, a ne jednakokračan, onda nije tačno da nije jednakokračan.

1.14. Podijelite sljedeće složene izjave na jednostavne i zapišite ih simbolički, uvodeći slovne oznake za njihove jednostavne komponente:

a) Ako je 18 deljivo sa 2, a nije deljivo sa 3, onda nije deljivo sa 6.

b) Proizvod tri broja jednak je nuli ako i samo ako je jedan od njih jednak nuli.

c) Ako je izvod funkcije u nekoj tački jednak nuli, a drugi izvod ove funkcije u istoj tački negativan, tada je ta tačka tačka maksimuma ove funkcije.

d) Ako u trouglu medijana nije visina i simetrala, onda ovaj trougao nije jednakokračan i nije jednakostraničan.

Rješenje. d) Najjednostavnije komponente iskaza izdvajamo i označavamo na sljedeći način:

O: "U trouglu, medijana je visina";

P: "U trouglu, medijana je simetrala";

C: "Ovaj trougao je jednakokraki";

D: "Ovaj trougao je jednakostraničan."

Tada se ova izjava simbolično piše na sljedeći način:

1.15. Iz data dva iskaza A i B konstruirajte složeni iskaz koristeći operacije negacije, konjunkcije i disjunkcije, što bi bilo:

a) istinito ako i samo ako su oba data iskaza netačna;

b) je netačan ako i samo ako su oba iskaza tačna.

1.16. Iz date tri tvrdnje A, B, C konstruirajte složenu propoziciju koja je istinita kada je bilo koja od datih tvrdnji tačna, i samo tada.

1.17. Neka izjava
tačno. Šta se može reći o logičnom značenju izjave?

1.18. Ako je izjava
tačno (netačno), šta se onda može reći o logičkom značenju iskaza:

a)
; b)
; u)
; G)
?

1.19. Ako je izjava
istina i izjava
lažno, šta se može reći o logičkom značenju izjave
?

1.20. Postoje li tri takva iskaza A, B, C, tako da je u isto vrijeme iskaz
bila je tačna, izjava
- lažna i izjava
- lažno?

1.21. Za svaku od naredbi u nastavku odredite da li su pružene informacije dovoljne za utvrđivanje njene logičke vrijednosti. Ako je dovoljno, navedite ovu vrijednost. Ako nije dovoljno, pokažite da su obje istinite vrijednosti moguće:

Rješenje. a) Pošto je zaključak implikacije tačan, onda će cijela implikacija biti istinita propozicija, bez obzira na logičko značenje premise.

Svojstva

Razmotrite nekoliko svojstava kartezijanskog proizvoda:

1. Ako A,B su konačni skupovi, onda A× B- konačno. I obrnuto, ako je jedan od skupova množitelja beskonačan, onda je rezultat njihovog proizvoda beskonačan skup.

2. Broj elemenata u kartezijanskom proizvodu jednak je proizvodu brojeva elemenata skupova množenja (ako su, naravno, konačni): | A× B|=|A|⋅|B| .

3. A np ≠(A n) str- u prvom slučaju, preporučljivo je uzeti u obzir rezultat kartezijanskog proizvoda kao matricu dimenzija 1× np, u drugom - kao matrica veličina n× str .

4. Komutativni zakon nije ispunjen, jer parovi elemenata rezultata kartezijanskog proizvoda su poredani: A× B≠B× A .

5. Zakon o udruživanju nije ispunjen: ( A× B)× C≠A×( B× C) .

6. Postoji distributivnost u odnosu na osnovne operacije na skupovima: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}

11. Koncept iskaza. Elementarni i složeni iskazi.

izjava je izjava ili deklarativna rečenica za koju se može reći da je istinita (T-1) ili netačna (L-0), ali ne oboje u isto vrijeme.

Na primjer, "Danas pada kiša", "Ivanov je završio laboratorijski rad br. 2 iz fizike."

Ako imamo nekoliko početnih iskaza, onda od njih koristeći logičke unije ili čestice možemo formirati nove tvrdnje čija istinitost zavisi samo od istinitosti originalnih iskaza i od specifičnih veznika i čestica koje učestvuju u konstrukciji novog iskaza. Riječi i izrazi "i", "ili", "ne", "ako...onda", "dakle", "ako i samo tada" su primjeri takvih veznika. Originalne izjave se zovu jednostavno , i nove izjave konstruirane od njih uz pomoć određenih logičkih sindikata - sastavni . Naravno, riječ "jednostavno" nema nikakve veze sa suštinom ili strukturom originalnih izjava, koje same po sebi mogu biti prilično složene. U ovom kontekstu, riječ "jednostavno" je sinonim za riječ "original". Važno je da istinite vrijednosti jednostavnih propozicija treba da budu poznate ili date; u svakom slučaju, o njima se ni na koji način ne raspravlja.

Iako izjava poput "Danas nije četvrtak" nije sastavljena od dvije različite jednostavne tvrdnje, zbog uniformnosti konstrukcije ona se također smatra složenom, jer je njena istinitost određena istinitošću druge tvrdnje "Danas je četvrtak "

Primjer 2 Sljedeće izjave se tretiraju kao složene izjave:

Čitao sam Moskovsky Komsomolets i čitao sam Kommersant.

Ako je to rekao, onda je to istina.

Sunce nije zvezda.

Ako je sunčano i temperatura pređe 25 0 , stići ću vozom ili autom

Prosti iskazi uključeni u složene iskaze sami po sebi mogu biti potpuno proizvoljni. Konkretno, oni sami mogu biti kompozitni. Osnovni tipovi složenih iskaza opisani u nastavku definirani su neovisno o jednostavnim iskazima koji ih formiraju.

12. Operacije nad izjavama.

1. operacija negacije.

Negacija izjave ALI ( glasi „ne ALI"," to nije tačno ALI"), što je tačno kada ALI lažno i lažno kada ALI- tačno.

Negativne izjave ALI i pozvao suprotno.

2. rad veznika.

konjunkcija izjave ALI i AT naziva se izjava A B(čitaj " ALI i AT”), čija se prava značenja određuju ako i samo ako obje izjave ALI i AT tačno.

Konjunkcija iskaza naziva se logički proizvod i često se označava AB.

Neka izjava ALI– “u martu temperatura vazduha od 0 S do + 7 C» i govoreći AT- "U Vitebsku pada kiša." Onda A Bće biti ovako: „u martu temperatura vazduha od 0 S do + 7 C a u Vitebsku pada kiša." Ova veznica će biti tačna ako postoje izjave ALI i AT tačno. Ako se ispostavi da je temperatura bila niža 0 S ili u Vitebsku tada nije bilo kiše A Bće biti lažno.

3 . rad disjunkcije.

disjunkcija izjave ALI i AT naziva se izjava A B (ALI ili AT), što je tačno ako i samo ako je barem jedan od iskaza tačan i netačan - kada su oba iskaza netačna.

Disjunkcija stavova se takođe naziva logičkom sumom A+B.

Izjava " 4<5 ili 4=5 ' istina je. Od izjave " 4<5 "tačno je, a izjava" 4=5 ' je onda lažno A B je istinita izjava 4 5 ».

4 . operacija implikacije.

implikacija izjave ALI i AT naziva se izjava A B("ako ALI, onda AT", "od ALI trebalo bi AT”), čija je vrijednost lažna ako i samo ako ALI istina, i AT false.

U implikaciji A B izjava ALI pozvao fondacija, ili slanje i izjavu AT – posljedica, ili zaključak.

13. Tabele istinitosti iskaza.

Tablica istinitosti je tablica koja uspostavlja korespondenciju između svih mogućih skupova logičkih varijabli uključenih u logičku funkciju i vrijednosti funkcije.

Tablice istine se koriste za:

Izračunavanje istinitosti složenih izjava;

Uspostavljanje ekvivalencije iskaza;

Definicije tautologija.

Utvrđivanje istinitosti složenih izjava.

Primjer 1 Utvrdite istinitost tvrdnje C

Rješenje. Sastav složenog iskaza uključuje 3 jednostavne izjave: A, B, C. Kolone u tabeli su ispunjene vrijednostima (0, 1). Naznačene su sve moguće situacije. Proste rečenice su odvojene od složenih dvostrukom okomitom linijom.
Prilikom sastavljanja tabele, morate paziti da se ne zbuni redosled radnji; popunjavajući kolone treba se kretati “iznutra prema van”, tj. od elementarnih formula do sve složenijih; posljednja kolona za popunjavanje sadrži vrijednosti originalne formule.

ALI	AT	OD	A+	· IZ

Tabela pokazuje da je ova izjava istinita samo ako je A=0, B=1, C=1. U svim ostalim slučajevima je lažna.

14. Ekvivalentne formule.

Dvije formule ALI i AT nazivaju se ekvivalentnim ako uzimaju iste logičke vrijednosti za bilo koji skup vrijednosti elementarnih propozicija uključenih u formulu.

Ekvivalencija je označena znakom "". Za transformaciju formula u ekvivalentne, važnu ulogu imaju osnovne ekvivalencije, izražavanje nekih logičkih operacija kroz druge, ekvivalencije, izražavanje osnovnih zakona algebre logike.

Za bilo koje formule ALI, AT, OD ekvivalencije su validne.

I. Osnovne ekvivalencije

zakon idempotencije

1-tačno

0-false

Zakon protivrečnosti

Zakon isključene sredine

zakon apsorpcije

formule za razdvajanje

zakon o vezivanju

II. Ekvivalencije koje izražavaju neke logičke operacije u terminima drugih.

de Morganov zakon

III. Ekvivalencije koje izražavaju osnovne zakone algebre logike.

komutativno pravo

asocijativno pravo

distributivno pravo

15. Formule propozicionalne logike.

Vrste formula u klasičnoj propozicionoj logici- u propozicionoj logici razlikuju se sljedeće vrste formula:

1. Zakoni(identično istinite formule) - formule koje za bilo koju interpretaciju propozicionih varijabli poprimaju vrijednost "tačno";

2. kontradikcije(identično lažne formule) - formule koje za bilo koju interpretaciju propozicionih varijabli poprimaju vrijednost "lažno";

3. Zadovoljive formule- one koje poprimaju značenje "tačno" za najmanje jedan skup istinitih vrijednosti propozicionih varijabli uključenih u njih.

Osnovni zakoni klasične propozicionalne logike:

1. Zakon o identitetu: ;

2. Zakon kontradikcije: ;

3. Zakon isključene sredine: ;

4. Zakoni komutativnosti i: , ;

5. Zakoni distributivnosti su relativni na , i obrnuto: , ;

6. Zakon uklanjanja pravog pojma veznika: ;

7. Zakon uklanjanja lažnog člana disjunkcije: ;

8. Zakon kontrapozicije: ;

9. Zakoni međusobne ekspresivnosti propozicionih veziva: , , , , , .

Procedura rješivosti- metoda koja omogućava svakoj formuli da utvrdi da li je to zakon, kontradikcija ili izvodljiva formula. Najčešći postupak rješivosti je metoda tablice istinitosti. Međutim, on nije jedini. Efikasna metoda rješivosti je metoda normalne forme za propozicione logičke formule. normalna forma propozicionalna logička formula je oblik koji ne sadrži znak implikacije "". Postoje konjunktivni i disjunktivni normalni oblici. Konjunktivni oblik sadrži samo znakove veznika "". Ako formula svedena na konjunktivni normalni oblik sadrži podformulu oblika , tada je cijela formula u ovom slučaju kontradikcija. Disjunktivni oblik sadrži samo znakove disjunkcije "". Ako formula svedena na disjunktivni normalni oblik sadrži podformulu oblika , tada je cijela formula u ovom slučaju zakon. U svim ostalim slučajevima, formula je zadovoljavajuća formula.

16. Predikati i operacije nad njima. Kvantifikatori.

Poziva se rečenica koja sadrži jednu ili više varijabli i koja je za određene vrijednosti varijabli iskaz propozicioni oblik ili predikat.

U zavisnosti od broja varijabli uključenih u prijedlog, razlikuju se jednostruke, dvostruke, trostruke itd. predikati označeni redom: A( X), AT( X, at), FROM( X, at, z).

Ako je dat neki predikat, tada su mu pridružena dva skupa:

1. Skup (domen) definicije X, koji se sastoji od svih vrijednosti varijabli, kada se zamijene u predikat, potonji se pretvara u izjavu. Kada se specificira predikat, obično se specificira njegov opseg.

2. Skup istine T, koji se sastoji od svih tih vrijednosti varijabli, kada se zamjene u predikat, dobiva se istinit iskaz.

Skup istinitosti predikata je uvijek podskup njegovog domena, tj.

Možete izvesti iste operacije na predikatima kao i na naredbama.

1. Poricanje predikat A( X) definiran na skupu X naziva se predikat istinit za one vrijednosti za koje je predikat A( X) pretvara u lažnu izjavu, i obrnuto.

Iz ove definicije slijedi da su predikati A( X) i B( X) nisu negacije jedna na drugu ako postoji barem jedna vrijednost za koju predikati A( X) i B( X) pretvaraju se u propozicije sa istim vrijednostima istine.

Skup istinitosti predikata je dopuna skupu istine predikata A( X). Označimo sa T A skup istinitosti predikata A( X), a kroz T - skup istinitosti predikata . Onda .

2. konjunkcija predikati A( X) i B( XX) AT( X X X, pod kojim se oba predikata pretvaraju u istinite iskaze.

Skup istinitosti konjunkcije predikata je presjek skupova istinitosti predikata A( X) AT( X). Ako označimo skup istinitosti predikata A(x) sa T A, a skup istine predikata B(x) sa T B i skup istine predikata A(x) B(x) sa , tada

3. disjunkcija predikati A( X) i B( X) definisan na skupu X naziva se predikat A( X) AT( X), što se pretvara u pravi prijedlog za te i samo te vrijednosti X X, pod kojim se barem jedan od predikata pretvorio u istinit iskaz.

Skup istinitosti disjunkcije predikata je unija skupova istinitosti predikata koji ga formiraju, tj. .

4.implikacija predikati A( X) i B( X) definisan na skupu X naziva se predikat A( X) AT( X), što je netačno za one i samo one vrijednosti varijable za koje prvi predikat postaje istinit, a drugi lažan.

Skup istinitosti implikacije predikata je unija skupa istinitosti predikata B( X) sa dodatkom skupa istinitosti predikata A( X), tj.

5. Ekvivalencija predikati A( X) i B( X) definiran na skupu X naziva se predikat koji se pretvara u istinit iskaz za sve one i samo one vrijednosti varijable za koje se oba predikata pretvaraju u istinite iskaze ili u lažne iskaze.

Skup istinitosti ekvivalenta predikata je presjek skupa istinitosti predikata sa skupom istinitosti predikata.

Operacije kvantifikatora nad predikatima

Predikat se može prevesti u iskaz metodom supstitucije i metodom „viseći kvantifikator“.

O brojevima 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 možete reći: a) sve dati brojevi su prosti; b) neki od datih brojeva su parni.

Budući da se za ove rečenice može reći da su istinite ili netačne, rezultirajuće rečenice su prijedlozi.

Ako iz rečenice “a” uklonimo riječ “svi”, a iz rečenice “b” riječ “neki”, dobićemo sljedeće predikate: “dati brojevi su prosti”, “dati brojevi su neparni”.

Riječi "svi" i "neki" nazivaju se kvantifikatorima. Riječ “kvantifikator” je latinskog porijekla i znači “koliko”, odnosno kvantifikator pokazuje koliko (svih ili nekih) objekata se spominje u određenoj rečenici.

Postoje dvije glavne vrste kvantifikatora: opći kvantifikator i egzistencijalni kvantifikator.

Uslovi zovu se "bilo koji", "bilo koji", "svako". – univerzalni kvantifikator. Određeno .

Neka A( X) je određeni predikat dat na skupu X. Pod izrazom A( X) shvatićemo da je izjava tačna kada A( X) je istinit za svaki element skupa X, a netačan u suprotnom.

U primjeru 1 za R1 domen definicije: , skup vrijednosti - . Za R2 domen definicije: , skup vrijednosti: .

U mnogim slučajevima zgodno je koristiti grafički prikaz binarne relacije. Izvodi se na dva načina: uz pomoć tačaka na ravni i uz pomoć strelica.

U prvom slučaju, dvije međusobno okomite linije biraju se kao horizontalna i vertikalna osa. Na horizontalnoj osi položite elemente seta A i nacrtajte okomitu liniju kroz svaku tačku. Na okomitoj osi položite elemente kompleta B kroz svaku tačku nacrtajte vodoravnu liniju. Točke sjecišta horizontalnih i vertikalnih linija prikazuju elemente direktnog proizvoda

18. Metode za postavljanje binarnih relacija.

Svaki podskup kartezijanskog proizvoda A × B naziva se binarna relacija definirana na paru skupova A i B (na latinskom "bis" znači "dvaput"). U opštem slučaju, po analogiji sa binarnim relacijama, n-arne relacije se takođe mogu posmatrati kao uređeni nizovi od n elemenata uzetih iz jednog od n skupova.

Za označavanje binarne relacije koristi se simbol R. Pošto je R podskup skupa A×B, možemo napisati R⊆A×. Ako je potrebno naznačiti da (a, b) ∈ R, tj. da postoji relacija R između elemenata a ∈ A i b ∈ B, onda napišite aRb.

Načini specificiranja binarnih odnosa:

1. Ovo je upotreba pravila prema kojem su naznačeni svi elementi uključeni u ovu relaciju. Umjesto pravila, možete navesti elemente date relacije direktnim nabrajanjem;

2. Tabelarni, u obliku grafikona i pomoću sekcija. Osnova tabelarne metode je pravougaoni koordinatni sistem, gde su elementi jednog skupa iscrtani duž jedne ose, a elementi drugog skupa duž druge. Presijeci koordinata formiraju tačke koje označavaju elemente kartezijanskog proizvoda.

Na (slika 1.16) prikazana je koordinatna mreža za skupove. Točke preseka tri vertikalne sa šest horizontalnih odgovaraju elementima skupa A×B. Krugovi na mreži označavaju elemente relacije aRb, pri čemu a ∈ A i b ∈ B, R označava relaciju “podijeli”.

Binarne relacije su date dvodimenzionalnim koordinatnim sistemima. Očigledno, svi elementi kartezijanskog proizvoda tri skupa mogu se na sličan način predstaviti u trodimenzionalnom koordinatnom sistemu, četiri skupa u četvorodimenzionalnom sistemu, itd.;

3. Metoda specificiranja relacija korištenjem sekcija se rjeđe koristi, pa je nećemo razmatrati.

19. Refleksivnost binarne relacije. Primjer.

U matematici, binarna relacija na skupu se naziva refleksivna ako je svaki element ovog skupa u odnosu na sebe.

Svojstvo refleksivnosti za date relacije matricom karakteriše činjenica da su svi dijagonalni elementi matrice jednaki 1; za date relacije grafom, svaki element ima petlju - luk (x, x).

Ako ovaj uslov nije zadovoljen ni za jedan element skupa, tada se relacija naziva antirefleksivnom.

Ako je antirefleksivna relacija data matricom, tada su svi dijagonalni elementi nula. Kada je takva relacija data grafom, svaki vrh nema petlju - ne postoje lukovi oblika (x, x).

Formalno, antirefleksivnost odnosa se definiše kao: .

Ako uslov refleksivnosti nije zadovoljen za sve elemente skupa, kaže se da je relacija nerefleksivna.

©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne tvrdi autorstvo, ali omogućava besplatno korištenje.
Datum kreiranja stranice: 2016-04-12

Utvrđivanje istinitosti složenih izjava.

Primjer 1 Utvrdite istinitost tvrdnje C

ALI	AT	OD	A+	· IZ

Tabela pokazuje da je ova izjava istinita samo ako je A=0, B=1, C=1. U svim ostalim slučajevima je lažna.

13. Ekvivalentne formule.

Dvije formule ALI i AT nazivaju se ekvivalentnim ako uzimaju iste logičke vrijednosti za bilo koji skup vrijednosti elementarnih propozicija uključenih u formulu.

Za bilo koje formule ALI, AT, OD ekvivalencije su validne.

I. Osnovne ekvivalencije

zakon idempotencije

1-tačno

0-false

Zakon protivrečnosti

Zakon isključene sredine

zakon apsorpcije

formule za razdvajanje

zakon o vezivanju

II. Ekvivalencije koje izražavaju neke logičke operacije u terminima drugih.

de Morganov zakon

III. Ekvivalencije koje izražavaju osnovne zakone algebre logike.

komutativno pravo

asocijativno pravo

distributivno pravo

14. Formule propozicionalne logike.

Vrste formula u klasičnoj propozicionoj logici- u propozicionoj logici razlikuju se sljedeće vrste formula:

1. Zakoni(identično istinite formule) - formule koje za bilo koju interpretaciju propozicionih varijabli poprimaju vrijednost "tačno";

2. kontradikcije(identično lažne formule) - formule koje za bilo koju interpretaciju propozicionih varijabli poprimaju vrijednost "lažno";

3. Zadovoljive formule- one koje poprimaju značenje "tačno" za najmanje jedan skup istinitih vrijednosti propozicionih varijabli uključenih u njih.

Osnovni zakoni klasične propozicionalne logike:

1. Zakon o identitetu: ;

2. Zakon kontradikcije: ;

3. Zakon isključene sredine: ;

4. Zakoni komutativnosti i: , ;

5. Zakoni distributivnosti su relativni na , i obrnuto: , ;

6. Zakon uklanjanja pravog pojma veznika: ;

7. Zakon uklanjanja lažnog člana disjunkcije: ;

8. Zakon kontrapozicije: ;

9. Zakoni međusobne ekspresivnosti propozicionih veziva: , , , , , .

15. Predikati i operacije nad njima. Kvantifikatori.

Poziva se rečenica koja sadrži jednu ili više varijabli i koja je za određene vrijednosti varijabli iskaz propozicioni oblik ili predikat.

U zavisnosti od broja varijabli uključenih u prijedlog, razlikuju se jednostruke, dvostruke, trostruke itd. predikati označeni redom: A( X), AT( X, at), FROM( X, at, z).

Ako je dat neki predikat, tada su mu pridružena dva skupa:

2. Skup istine T, koji se sastoji od svih tih vrijednosti varijabli, kada se zamjene u predikat, dobiva se istinit iskaz.

Skup istinitosti predikata je uvijek podskup njegovog domena, tj.

Možete izvesti iste operacije na predikatima kao i na naredbama.

1. Poricanje predikat A( X) definiran na skupu X naziva se predikat istinit za one vrijednosti za koje je predikat A( X) pretvara u lažnu izjavu, i obrnuto.

Skup istinitosti predikata je dopuna skupu istine predikata A( X). Označimo sa T A skup istinitosti predikata A( X), a kroz T - skup istinitosti predikata . Onda .

2. konjunkcija predikati A( X) i B( XX) AT( X X X, pod kojim se oba predikata pretvaraju u istinite iskaze.

Skup istinitosti disjunkcije predikata je unija skupova istinitosti predikata koji ga formiraju, tj. .

Skup istinitosti implikacije predikata je unija skupa istinitosti predikata B( X) sa dodatkom skupa istinitosti predikata A( X), tj.

Skup istinitosti ekvivalenta predikata je presjek skupa istinitosti predikata sa skupom istinitosti predikata.

Operacije kvantifikatora nad predikatima

Predikat se može prevesti u iskaz metodom supstitucije i metodom „viseći kvantifikator“.

O brojevima 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 možete reći: a) sve dati brojevi su prosti; b) neki od datih brojeva su parni.

Budući da se za ove rečenice može reći da su istinite ili netačne, rezultirajuće rečenice su prijedlozi.

Ako iz rečenice “a” uklonimo riječ “svi”, a iz rečenice “b” riječ “neki”, dobićemo sljedeće predikate: “dati brojevi su prosti”, “dati brojevi su neparni”.

Postoje dvije glavne vrste kvantifikatora: opći kvantifikator i egzistencijalni kvantifikator.

Uslovi zovu se "bilo koji", "bilo koji", "svako". – univerzalni kvantifikator. Određeno .

Neka A( X) je određeni predikat dat na skupu X. Pod izrazom A( X) shvatićemo da je izjava tačna kada A( X) je istinit za svaki element skupa X, a netačan u suprotnom.

Istinitost propozicija sa opštim kvantifikatorom utvrđuje se dokazom. Da bismo potvrdili neistinitost ovakvih izjava (da bi ih opovrgli), dovoljno je dati protuprimjer.

16. Definicija binarne relacije između skupova A i B.

Binarna relacija između skupova A i Bnaziva se podskup R direktnog proizvoda. U slučaju kada možete samo pričati o vezi R na A.

Primjer 1. Napišite uređene parove koji pripadaju binarnim relacijama R1 i R2, definisan na skupovima A i : , . Podset R1 sastoji se od parova: . Podset .

Domena R je skup svih elemenata iz A tako da za neke elemente imamo . Drugim riječima, domen definicije R je skup svih prvih koordinata uređenih parova iz R.

Mnoge vrijednosti odnosi R na postoji skup svih takvih da za neke . Drugim riječima, skup vrijednosti R je skup svih drugih koordinata uređenih parova iz R.

U primjeru 1 za R1 domen definicije: , skup vrijednosti - . Za R2 domen definicije: , skup vrijednosti: .

U mnogim slučajevima zgodno je koristiti grafički prikaz binarne relacije. Izvodi se na dva načina: uz pomoć tačaka na ravni i uz pomoć strelica.

17. Metode za postavljanje binarnih relacija.

Načini specificiranja binarnih odnosa:

1. Ovo je upotreba pravila prema kojem su naznačeni svi elementi uključeni u ovu relaciju. Umjesto pravila, možete navesti elemente date relacije direktnim nabrajanjem;

3. Metoda specificiranja relacija korištenjem sekcija se rjeđe koristi, pa je nećemo razmatrati.

18. Refleksivnost binarne relacije. Primjer.

U matematici, binarna relacija na skupu se naziva refleksivna ako je svaki element ovog skupa u odnosu na sebe.

Svojstvo refleksivnosti za date relacije matricom karakteriše činjenica da su svi dijagonalni elementi matrice jednaki 1; za date relacije grafom, svaki element ima petlju - luk (x, x).

Ako ovaj uslov nije zadovoljen ni za jedan element skupa, tada se relacija naziva antirefleksivnom.

Ako je antirefleksivna relacija data matricom, tada su svi dijagonalni elementi nula. Kada je takva relacija data grafom, svaki vrh nema petlju - ne postoje lukovi oblika (x, x).

Formalno, antirefleksivnost odnosa se definiše kao: .

Ako uslov refleksivnosti nije zadovoljen za sve elemente skupa, kaže se da je relacija nerefleksivna.