Primjena grafova u rješavanju jednačina. Proučavanje osnovnih osnovnih funkcija u školskom predmetu matematike

Da li znate da svaki naručeni par brojeva odgovara konkretna tačka on koordinatna ravan. Budući da je svako rješenje jednadžbe s dvije varijable x i y uređeni par brojeva, sva njena rješenja mogu biti predstavljena točkama na koordinatnoj ravni. U tim tačkama, apscisa je vrijednost varijable x, a ordinata je odgovarajuća vrijednost y varijable. Dakle, dobijamo graf jednačine sa dve varijable.

Zapamtite!

Graf jednadžbe s dvije varijable je slika na koordinatnoj ravni svih tačaka čije koordinate zadovoljavaju zadata jednačina.

Pogledajte slike 64 i 65. Vidite grafik jednačine 0,5 x - y = 2, gdje je x paran jednocifreni broj (slika 64), i grafik jednačine x 2 + y 2 = 4 (slika 65). Prvi graf sadrži samo četiri tačke jer varijable x i y mogu uzeti samo četiri vrijednosti. Drugi grafik je prava na koordinatnoj ravni. Sadrži mnogo tačaka, pošto varijabla x može uzeti bilo koju vrijednost od -2 do 2 i takvih brojeva ima mnogo. Postoje i mnoge odgovarajuće vrijednosti. Oni variraju od 2 do 2.

Slika 66 prikazuje grafik jednačine x + y = 4. Za razliku od grafika jednačine x 2 + y 2 = 4 (vidi sliku 65), svaka apscisna tačka ovog grafika odgovara jednoj ordinati. To znači da je na slici 66 prikazan graf funkcije. Uvjerite se da je graf jednadžbe na slici 64 ujedno i graf funkcije.

Imajte na umu

Nema svaka jednadžba graf funkcije, ali svaki graf funkcije je graf neke jednačine.

Jednačina x + y = 4 je linearna jednačina u dvije varijable. Nakon što smo ga riješili za y, dobijamo: y = -x + 4. Rezultirajuća jednakost se može shvatiti kao formula koja definira linearnu funkciju y = -x + 4. Grafikon takve funkcije je prava linija. Dakle, raspored linearna jednačina x + y = 4, što je prikazano na slici 66, je prava linija.

Možemo li reći da je graf bilo koje linearne jednačine u dvije varijable prava linija? br. Na primjer, linearnu jednačinu 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 zadovoljava bilo koji par brojeva, pa stoga graf ove jednačine sadrži sve tačke koordinatne ravni.

Hajde da saznamo kakav je graf linearne jednadžbe sa dvije varijable ax + bu + c = 0 ovisno o vrijednostima koeficijenata a, b i c. Takvi slučajevi su mogući.

Neka je a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Tada se jednačina ax + by + c = 0 može predstaviti kao:

Dobili smo jednakost koja definira linearnu funkciju y(x). Njegov grafik, a samim tim i grafik ove jednačine, je prava linija koja ne prolazi kroz početak koordinata (slika 67).

2. Neka je a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0. Tada jednačina ax + by + c = 0 poprima oblik ax + by + 0 = 0, ili y = x.

Dobili smo jednakost, koja specificira direktnu proporcionalnost sa y(x). Njegov grafik, a samim tim i grafik ove jednačine, je prava linija koja prolazi kroz početak koordinata (slika 68).

3. Neka je a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0. Tada jednačina ax + by + c = 0 poprima oblik ax + 0 ∙ y + c = 0, ili x = -.

Primljena jednakost ne specificira funkciju y(). Ova jednakost je zadovoljena takvim parovima brojeva (x; y), u kojima je x = , a y je bilo koji broj. Na koordinatnoj ravni ove tačke leže na pravoj liniji paralelnoj sa OY osom. Dakle, grafik ove jednačine je prava linija paralelna sa ordinatnom osom (slika 69).

4. Neka je a ≠ 0, b = 0, c = 0. Tada jednačina ax + by + c = 0 poprima oblik ax + 0 ∙ y + 0 = 0, ili x = 0.

Ova jednakost je zadovoljena takvim parovima brojeva (x; y), u kojima je x = 0, a y je bilo koji broj. Na koordinatnoj ravni ove tačke leže na osi OY. Dakle, graf ove jednačine je prava linija koja se poklapa sa ordinatnom osom.

5. Neka je a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠0. Tada jednačina ax + bu + c = 0 poprima oblik 0 ∙ x + by + c = 0, ili y = -. Ova jednakost definira funkciju y(x), koja poprima iste vrijednosti za bilo koju vrijednost x, odnosno konstantna je. Njegov grafik, a samim tim i grafik ove jednačine, je prava linija paralelna sa osom apscise (slika 70).

6. Neka je a = 0, b ≠ 0, c = 0. Tada jednačina ax + by + c = 0 poprima oblik 0 ∙ x + by + 0 = 0, ili b = 0. Dobijamo konstantna funkcija y(x), u kojoj svaka tačka grafa leži na OX osi. Dakle, graf ove jednačine je prava linija koja se poklapa sa apscisnom osom.

7. Neka je a = 0, b = 0, c ≠ 0. Tada jednačina ax + by + c = 0 poprima oblik 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, ili 0 ∙ x + 0 ∙ b = c . A takva linearna jednadžba nema rješenja, pa njen graf ne sadrži ni jednu tačku na koordinatnoj ravni.

8. Neka je a = 0, b = 0, c = 0. Tada jednačina ax + by + c = 0 poprima oblik 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0, ili 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 Takva linearna jednadžba ima mnogo rješenja, pa je njen graf cijela koordinatna ravan.

Možemo sumirati dobijene rezultate.

Grafikon linearne jednadžbe sa dvije varijable ax + bu + s = 0:

Pravo je ako je a ≠ 0 ili b ≠ 0;

Je li cijela ravan ako je a = 0, b = 0 i c = 0;

Ne sadrži ni jednu tačku koordinatne ravni ako je a = 0, b = 0 i c ≠ 0.

Zadatak. Grafikujte jednačinu 2x - y - 3 = 0

Rješenja. Jednačina 2x - y - 3 = 0 je linearna. Prema tome, njegov graf je prava y = 2x - 3. Da bismo ga konstruirali, dovoljno je navesti dvije tačke koje pripadaju ovoj pravoj. Napravimo tablicu vrijednosti y za dvije proizvoljne vrijednosti x, na primjer, za x = 0 i x = 2 (tablica 27).

Tabela 27

Na koordinatnoj ravni označimo tačke sa koordinatama (0; -3) i (2; 1) i kroz njih povučemo pravu liniju (Sl. 70). Ova prava linija je željeni grafik jednačine 2x - y - 3 = 0.

Da li je moguće identificirati graf linearne jednačine s dvije varijable i graf jednačine prvog stepena sa dvije varijable? Ne, jer postoje linearne jednačine koje nisu jednačine prvog stepena. Na primjer, to su jednadžba 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0.

Imajte na umu:

Grafikon linearne jednadžbe u dvije varijable može biti prava linija, cijela ravan ili ne sadržavati ni jednu tačku na koordinatnoj ravni;

Grafikon jednačine prvog stepena u dvije varijable je uvijek ravan.

Saznajte više

1. Neka je a ≠ 0. Tada opšte rešenje Jednačine se također mogu predstaviti u ovom obliku: X = - y -. Dobili smo linearnu funkciju x(y). Njegov graf je prava linija. Da biste konstruirali takav graf, morate drugačije kombinirati koordinatne ose: prvo koordinatna osa(nezavisna varijabla) uzeti u obzir osovinu op-amp, a drugu (zavisnu varijablu)

OX os. Tada je zgodno pozicionirati OU os horizontalno, a OX os

Vertikalno (sl. 72). Grafikon jednačine u ovom slučaju će također biti različito postavljen na koordinatnoj ravni u zavisnosti od oznaka koeficijenata b i c. Istražite sami.

2. Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov (1909-1992) - istaknuti ruski matematičar i mehaničar, teorijski fizičar, osnivač naučne škole nelinearne mehanike i teorijske fizike, akademik Akademije nauka Ukrajinske SSR (1948) i Akademije nauka SSSR (od 1953). Rođen u Nižnji Novgorod Rusko carstvo. Godine 1921. porodica se preselila u Kijev. Nakon što je završio sedmogodišnju školu, Bogoljubov je samostalno studirao fiziku i matematiku, a sa 14 godina već je učestvovao na seminaru odseka. matematička fizika Kijevski univerzitet pod vodstvom akademika D. A. Gravea. Godine 1924, u dobi od 15 godina, Bogoljubov je napisao svoj prvi naučni rad, a god. sljedeće godine primljen je na postdiplomske studije ANURSR-a u akademike. M. Krilova, koju je diplomirao 1929. godine, stekavši zvanje doktora matematičkih nauka sa 20 godina.

Godine 1929. str. MM. Bogoljubov je postao naučni saradnik Ukrajinske akademije nauka, a 1934. je počeo da predaje na Kijevskom univerzitetu (od 1936. - profesor). Od kasnih 40-ih godina XX veka. Istovremeno je radio u Rusiji. Bio je direktor Zajedničkog instituta za nuklearna istraživanja, a kasnije - direktor Matematičkog instituta po imenu. A. Steklova u Moskvi, predavao u Moskvi državni univerzitet nazvan po Mihailu Lomonosovu. Godine 1966. postao je prvi direktor Instituta za teorijsku fiziku Ukrajinske akademije nauka u Kijevu, koji je osnovao, a istovremeno (1963-1988) bio je akademik i sekretar Katedre za matematiku Akademija nauka SSSR.

MM. Bogoljubov - dvaput heroj Socijalistički rad(1969,1979), nagrađen Lenjinova nagrada(1958), Državna nagrada SSSR-a (1947.1953,1984), Zlatna medalja nazvana po. M. V. Lomonosov Akademija nauka SSSR (1985).

21. septembra 2009. na fasadi Crvene zgrade Kijeva nacionalni univerzitet nazvana po Tarasu Ševčenku spomen ploču briljantnom akademiku Nikolaju Bogoljubovu u čast stogodišnjice njegovog rođenja.

Godine 1992 Nacionalna akademija nauka Ukrajine, osnovana je nagrada NAS Ukrajine nazvana po N. M. Bogoljubovu, koju dodeljuje Odeljenje za matematiku NAS Ukrajine za izuzetne naučni radovi iz matematike i teorijske fizike. Mala planeta "22616 Bogolyubov" dobila je ime u čast naučnika.

ZAPAMTITE VAŽNO

1. Šta je graf linearne jednačine u dvije varijable?

2. U svakom slučaju, grafik jednačine sa dvije varijable je prava linija; avion?

3. U kom slučaju graf linearne jednačine u dvije varijable prolazi kroz ishodište?

RJEŠAVAJTE PROBLEME

1078 . Koja od slika 73-74 prikazuje grafik linearne jednačine u dvije varijable? Objasnite svoj odgovor.

1079 . Pri kojim vrijednostima koeficijenata a, b i c je prava linija ax + bu + c = 0.

1) prolazi kroz ishodište;

2) paralelno sa x-osom;

3) paralelno sa ordinatnom osom;

4) poklapa se sa osom apscisa;

5) poklapa se sa ordinatnom osom?

1080 . Bez izvođenja konstrukcije odredite da li tačka pripada grafu linearne jednačine sa dve varijable 6x - 2y + 1 = 0:

1)A(-1;2.5); 2)B(0;3.5); 3) C(-2; 5,5); 4)D(1,5;5).

1081 . Bez izvođenja konstrukcije odredite da li tačka pripada grafu linearne jednačine sa dve varijable 3x + 3y - 5 = 0:

1) A (-1; ); 2) B (0; 1).

1082

1) 2x + y - 4 = 0 ako je x = 0; 3) 3x + 3y - 1 = 0 ako je x = 2;

2) 4x - 2y + 5 = 0, ako je x = 0; 4) -5x - y + 6 = 0 ako je x = 2.

1083 . Za datu linearnu jednačinu u dvije varijable, pronađite vrijednost y koja odgovara za datu vrijednost X:

1)3x - y + 2 = 0 ako je x = 0; 2) 6x - 5y - 7 = 0 ako je x = 2.

1084

1) 2x + y - 4 = 0; 4) -x + 2y + 8 = 0; 7) 5x - 10 = 0;

2) 6x - 2y + 12 = 0; 5)-x - 2y + 4 = 0; 8)-2u + 4 = 0;

3) 5x - 10y = 0; 6)x - y = 0; 9) x - y = 0.

1085 . Grafikujte linearnu jednačinu sa dve varijable:

1) 4x + y - 3 = 0; 4) 10x - 5y - 1 = 0;

2) 9x - 3y + 12 = 0; 5) 2x + 6 = 0;

3) -4x - 8y = 0; 6) y - 3 = 0.

1086 . Pronađite koordinate točke presjeka grafa linearne jednadžbe sa dvije varijable 2x - 3y - 18 = 0 sa osom:

1) osovine; 2) osovine.

1087 . Pronađite koordinate tačke presjeka grafa linearne jednadžbe sa dvije varijable 5x + 4y - 20 = 0 sa osom:

1) osovine; 2) osovine.

1088 . Na pravoj liniji, koja je grafik jednačine 0,5 x + 2y - 4 = 0, označena je tačka. Pronađite ordinatu ove tačke ako je njena apscisa:

5) 4(x - y) = 4 - 4y;

6) 7x - 2y = 2(1 + 3,5 x).

1094 . Graf linearne jednadžbe u dvije varijable prolazi kroz tačku A(3; -2). Pronađite nepoznati koeficijent jednačine:

1) ax + 3y - 3 = 0;

2) 2x - po + 8 = 0;

3)-x + 3y - c = 0.

1095 . Odredi vrstu četvorougla čiji su vrhovi tačke preseka grafova jednačina:

x - y + 4 = 0, x - y - 4 = 0, -x - y + 4 = 0, -x - y - 4 = 0

1096 . Nacrtajte jednačinu:

1) a - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;

2) 0 ∙ a + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.

PRIMJENITE TO U PRAKSU

1097 . Napravite linearnu jednačinu sa dve varijable na osnovu sledećih podataka: 1) 3 kg slatkiša i 2 kg kolačića koštaju 120 UAH; 2) 2 olovke su 20 UAH skuplje od 5 olovaka. Grafikujte jednačinu koju ste kreirali.

1098 . Napravite grafik jednačine za zadatak o: 1) broju devojčica i dečaka u vašem odeljenju; 2) nabavka sveska u liniji i kvadratu.

PREGLED PROBLEMA

1099. Turista je pješačio 12 km za sat vremena. Koliko će sati biti potrebno jednom turistu da pređe razdaljinu od 20 km istom brzinom?

1100. Kolika bi trebala biti brzina voza po novom redu vožnje da može preći put između dvije stanice za 2,5 sata, ako ga je po starom redu vožnje, krećući se brzinom od 100 km/h, prešao za 3 sati?

Stranica 2

Nacrtajte graf jednadžbe x+y=3 i pomoću grafa pronađite nekoliko rješenja ove jednačine.

Zatim se studentima skreće pažnja da je lakše konstruisati graf linearne jednačine sa dve varijable ako se jednačina konvertuje u oblik y=kx+b, za šta se koristi termin „linearna funkcija“. Kasnije im je rečeno da postoje i druge funkcije, kao što je y=x2 (što je pokriveno u Poglavlju 7).

Udžbenik uvodi teoreme bez dokaza, na primjer:

Teorema 2. Graf linearna funkcija y=kx+b je prava linija.

Teorema 4. Prava linija koja služi kao grafik linearne funkcije y=kx+b paralelna je pravoj koja služi kao grafik direktne proporcionalnosti y=kx.

Sa kvadratnom funkcijom, učenici u udžbenicima Sh.A. Alimova se prvi put susrela u 8. razredu.

U §35 studenti se upoznaju sa definicijom kvadratne funkcije. Navedeni su primjeri iz života gdje se odigrava kvadratna funkcija. Na primjer, ovisnost površine kvadrata na njegovoj strani je primjer funkcije y=x2.

U §36 se predlaže razmatranje funkcije y=x2, tj. kvadratna funkcija y=ax2+bx+c at, a=1, b=0, c=0.

Da bi se konstruisala funkcija, sastavlja se tabela, a zatim se tačke označavaju na koordinatnoj ravni i povezuju. Graf funkcije y=x2 naziva se parabola.

Nakon toga razjašnjavaju se neka svojstva funkcije y=x2.

U §37 od učenika se traži da grafički nacrtaju funkciju y=ax2. Upoređuju se grafovi funkcija y=ax2 i y=x2. Kažu da se grafik funkcije y=ax2 dobija rastezanjem grafika funkcije y=x2 od ose Oh duž ose Ou za jedan put.

Razmatraju se svojstva funkcije y=ax2, gdje je a¹0

1) ako je a>0, tada preuzima funkcija y=ax2 pozitivne vrijednosti na x¹0;

ako a<0, то функция y=ax2 принимает отрицательные значения при х¹0;

2) Parabola y=ax2 je simetrična u odnosu na ordinatu;

3) Ako je a>0, tada funkcija y=ax2 raste kao x³0 i opada kao x £ 0;

Ako a<0, то функция y=ax2 убывает при х³0 и возрастает при х£0.

U §38 autor predlaže konstruisanje grafa kvadratne funkcije. Da biste to učinili, predlaže se korištenje metode izolacije potpunog kvadrata (dobili smo y=(x+m)2+n), a zatim uporediti rezultirajući graf sa grafikom funkcije y=x2. Zaključeno je da dobijamo parabolu pomerenu za m jedinica duž ose Ox i za n jedinica duž ose Oy.

Odjeljak 39 pruža algoritam za konstruiranje grafa bilo koje kvadratne funkcije y=ax2+bx+c:

Konstruirajte vrh parabole (x0, y0) tako što ćete izračunati x0, y0 koristeći formule.

Povucite ravnu liniju kroz vrh parabole paralelno sa ordinatnom osom - osom simetrije parabole.

Pronađite nule funkcije, ako ih ima, i nacrtajte odgovarajuće točke parabole na osi apscise.

Konstruirajte dvije tačke parabole, simetrične oko njene ose. Da biste to učinili, trebate uzeti dvije točke na osi, simetrične u odnosu na tačku x0 (x0 ¹ 0), i izračunati odgovarajuće vrijednosti funkcije (ove vrijednosti su iste). Na primjer, možete konstruirati tačke parabole sa apscisama x=0 i x=2x0 (ordinate ovih tačaka su jednake c)

Nacrtajte parabolu kroz konstruisane tačke.

Prilikom proučavanja teme formira se sposobnost da se iz grafa odrede intervali rastuće funkcije, intervali konstantnog predznaka i nule funkcije. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije i rješavanje problema pomoću njih nije potrebno.

U zaključku, učenicima se daje mogućnost da još jednom ponove rješenja sistema dvije jednačine, od kojih je jedna prvog, a druga drugog stepena.

U udžbenicima Yu.N. Makarycheva i dr., učenici se prvi put susreću sa funkcijom y=x2 u 7. razredu. Sve informacije su razmotrene u ovom paragrafu slično kao u udžbeniku Sh.A. Alimova za 8. razred.

Linearna jednadžba u dvije varijable je svaka jednačina koja ima sljedeći oblik: a*x + b*y =s. Ovdje su x i y dvije varijable, a,b,c su neki brojevi.

Rješenje linearne jednačine a*x + b*y = c je bilo koji par brojeva (x,y) koji zadovoljava ovu jednačinu, odnosno pretvara jednačinu sa varijablama x i y u ispravnu numeričku jednakost. Linearna jednadžba ima beskonačan broj rješenja.

Ako je svaki par brojeva koji su rješenja linearne jednadžbe u dvije varijable prikazan na koordinatnoj ravni kao tačke, tada sve ove točke čine graf linearne jednadžbe u dvije varijable. Koordinate tačaka će biti naše x i y vrijednosti. U ovom slučaju, vrijednost x će biti apscisa, a vrijednost y će biti ordinata.

Grafikon linearne jednadžbe u dvije varijable

Graf linearne jednadžbe sa dvije varijable je skup svih mogućih tačaka na koordinatnoj ravni čije će koordinate biti rješenja ove linearne jednačine. Lako je pretpostaviti da će graf biti prava linija. Zbog toga se takve jednačine nazivaju linearnim.

Algoritam izgradnje

Algoritam za crtanje linearne jednačine u dvije varijable.

1. Nacrtajte koordinatne ose, označite ih i označite jediničnu skalu.

2. U linearnoj jednadžbi, stavite x = 0 i riješite rezultirajuću jednačinu za y. Označite rezultujuću tačku na grafikonu.

3. U linearnoj jednačini uzmite broj 0 kao y i riješite rezultirajuću jednačinu za x. Označite rezultujuću tačku na grafikonu

4. Ako je potrebno, uzmite proizvoljnu vrijednost x i riješite rezultirajuću jednačinu za y. Označite rezultujuću tačku na grafikonu.

5. Povežite rezultirajuće tačke i nastavite graf iza njih. Potpišite rezultirajuću ravnu liniju.

primjer: Grafikujte jednačinu 3*x - 2*y =6;

Stavimo x=0, zatim - 2*y =6; y= -3;

Stavimo y=0, zatim 3*x = 6; x=2;

Dobijene tačke označavamo na grafikonu, kroz njih povlačimo pravu liniju i označavamo je. Pogledajte sliku ispod, grafikon bi trebao izgledati upravo ovako.

CILJ:1) Upoznavanje učenika sa pojmom „jednačina sa dve varijable“;

2) Naučite da odredite stepen jednačine sa dve varijable;

3) Naučite odrediti iz date funkcije koja je figura graf

data jednadžba;

4) Razmotriti transformacije grafova sa dve varijable;

data jednadžba sa dvije varijable pomoću programa Agrapher;

6) Razvijati logičko razmišljanje učenika.

I. Novi materijal - pojašnjeno predavanje sa elementima razgovora.

(predavanje se izvodi korišćenjem autorskih slajdova; grafikoni se crtaju u programu Agrapher)

T: Prilikom proučavanja linija javljaju se dva problema:

Koristeći geometrijska svojstva date linije, pronađite njenu jednačinu;

Inverzni zadatak: date jednadžbinu prave, proučite njene geometrijske osobine.

Prvi problem iz kursa geometrije razmatrali smo u odnosu na kružnice i prave linije.

Danas ćemo razmotriti inverzni problem.

Razmotrite jednadžbe oblika:

A) x(x-y)=4; b) 2u-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.

su primjeri jednadžbi sa dvije varijable.

Jednačine sa dvije varijable X I at izgleda kao f(x,y)=(x,y), Gdje f I – izrazi sa varijablama X I u.

Ako u jednadžbi x(x-y)=4 zamjena za varijablu X njegova vrijednost je -1, a umjesto toga at– vrijednost 3, tada će se dobiti tačna jednakost: 1*(-1-3)=4,

Uparite (-1; 3) varijabilne vrijednosti X I at je rješenje jednačine x(x-y)=4.

To je rješavanje jednačine sa dvije varijable se zove skup uređenih parova vrijednosti varijabli koji ovu jednačinu formiraju u pravu jednakost.

Jednačine sa dvije varijable obično imaju beskonačno mnogo rješenja. Izuzeci oblikuju, na primjer, jednadžbe kao npr X 2 +(g 2 - 4) 2 = 0 ili

2x 2 + at 2 = 0 .

Prvo od njih ima dva rješenja (0; -2) i (0; 2), drugo ima jedno rješenje (0; 0).

Jednačina x 4 + y 4 +3 = 0 uopće nema rješenja. Zanimljivo je kada su vrijednosti varijabli u jednadžbi cijeli brojevi. Rješavanjem ovakvih jednadžbi s dvije varijable pronalaze se parovi cijelih brojeva. U takvim slučajevima se kaže da je jednačina riješena cijelim brojevima.

Zovu se dvije jednadžbe koje imaju isti skup rješenja ekvivalentne jednačine. Na primjer, jednačina x(x + y 2) = x + 1 je jednačina trećeg stepena, jer se može transformisati u jednačinu xy 2 + x 2 - x-1 = 0, čija je desna strana polinom standardnog oblika trećeg stepena.

Stepen jednačine sa dvije varijable, predstavljene u obliku F(x, y) = 0, gdje je F(x, y) polinom standardnog oblika, naziva se stepen polinoma F(x, y).

Ako su sva rješenja jednadžbe s dvije varijable prikazana kao tačke u koordinatnoj ravni, dobićete graf jednadžbe sa dvije varijable.

Raspored jednadžba sa dvije varijable je skup tačaka čije koordinate služe kao rješenja ove jednačine.

Dakle, graf jednačine ax + by + c = 0 je prava ako je barem jedan od koeficijenata a ili b nije jednako nuli (slika 1). Ako a = b = c = 0, tada je graf ove jednačine koordinatna ravan (slika 2), ako a = b = 0, A c0, onda je graf prazan set (slika 3).

Grafikon jednadžbe y = a x 2 + po + c je parabola (slika 4), grafik jednačine xy=k (k0) – hiperbola (sl. 5). Grafikon jednadžbe X 2 + y 2 = r, gdje su x i y varijable, r je pozitivan broj, is krug sa centrom u početku i poluprečnikom jednakim r(Sl. 6). Grafikon jednadžbe je elipsa, Gdje a I b– velika i mala poluos elipse (sl. 7).

Konstrukcija grafova nekih jednadžbi je olakšana upotrebom njihovih transformacija. Hajde da razmotrimo pretvaranje grafova jednadžbi u dvije varijable i formulirati pravila po kojima se izvode najjednostavnije transformacije grafova jednadžbi

1) Grafikon jednačine F (-x, y) = 0 dobija se iz grafika jednačine F (x, y) = 0 koristeći simetriju oko ose u.

2) Grafikon jednačine F (x, -y) = 0 dobija se iz grafa jednačine F (x, y) = 0 koristeći simetriju oko ose X.

3) Grafikon jednačine F (-x, -y) = 0 dobija se iz grafika jednačine F (x, y) = 0 koristeći centralnu simetriju oko početka.

4) Grafikon jednačine F (x-a, y) = 0 dobija se iz grafika jednačine F (x, y) = 0 kretanjem paralelno sa x-osi za |a| jedinice (desno, ako a> 0, a lijevo ako A < 0).

5) Graf jednačine F (x, y-b) = 0 dobija se iz grafika jednačine F (x, y) = 0 prelaskom na |b| jedinice paralelne sa osom at(gore ako b> 0, i dolje ako b < 0).

6) Graf jednačine F (ax, y) = 0 dobija se iz grafa jednačine F (x, y) = 0 kompresijom na y-osu i puta, ako A> 1, i rastezanjem od y-ose puta, ako je 0< A < 1.

7) Grafikon jednačine F (x, by) = 0 dobija se iz grafa jednačine F (x, y) = 0 kompresijom na x-osu u b puta ako b> 1, i rastezanjem od x ose puta ako je 0 < b < 1.

Ako se graf neke jednadžbe zarotira za određeni ugao u blizini ishodišta, tada će novi graf biti grafik druge jednačine. Važni su posebni slučajevi rotacije pod uglovima od 90 0 i 45 0.

8) Grafikon jednačine F (x, y) = 0 kao rezultat rotacije u smjeru kazaljke na satu u blizini početka koordinata za ugao od 90 0 pretvara se u grafik jednačine F (-y, x) = 0, i suprotno od kazaljke na satu u graf jednadžbe F (y, -x) = 0.

9) Grafikon jednačine F (x, y) = 0 kao rezultat rotacije u smjeru kazaljke na satu u blizini početka koordinata za ugao od 45 0 pretvara se u grafik jednačine F = 0, a suprotno od kazaljke na satu u grafik jednačina F = 0.

Iz pravila koja smo razmatrali za transformaciju grafova jednadžbi sa dve varijable lako se dobijaju pravila za transformaciju grafova funkcija.

Primjer 1. Pokažimo to grafičkim prikazom jednačine X 2 + y 2 + 2x – 8y + 8 = 0 je krug (slika 17).

Transformirajmo jednačinu na sljedeći način:

1) grupisati termine koji sadrže varijablu X i koji sadrži varijablu at, i zamislite svaku grupu pojmova u obliku potpunog kvadratnog trinoma: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2*4*y + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;

2) dobijene trinome zapisati kao kvadrat zbira (razlike) dva izraza: (x + 1) 2 + (y – 4) 2 - 9 = 0;

3) analizirajmo, prema pravilima za transformaciju grafova jednadžbi sa dvije varijable, jednačinu (x + 1) 2 + (y – 4) 2 = 3 2: graf ove jednačine je kružnica sa centrom u tačka (-1; 4) i radijus od 3 jedinice.

Primjer 2. Nacrtajmo jednačinu grafikonom X 2 + 4u 2 = 9 .

Zamislimo 4y 2 u obliku (2y) 2, dobijamo jednačinu x 2 + (2y) 2 = 9, čiji se graf može dobiti iz kruga x 2 + y 2 = 9 kompresijom x ose za a faktor 2.

Nacrtajte krug sa centrom u početku i poluprečnikom od 3 jedinice.

Smanjimo udaljenost svake tačke od ose X za 2 puta i dobijemo graf jednadžbe

x 2 + (2y) 2 = 9.

Dobili smo figuru kompresijom kruga na jedan od njegovih promjera (na promjer koji leži na X osi). Ova figura se zove elipsa (slika 18).

Primjer 3. Hajde da saznamo šta predstavlja grafik jednačine x 2 - y 2 = 8.

Koristimo formulu F= 0.

Zamijenimo u ovu jednačinu umjesto X i umjesto Y, dobićemo:

T: Koji je graf jednadžbe y = ?

D: Grafikon jednadžbe y = je hiperbola.

U: Transformisali smo jednačinu oblika x 2 - y 2 = 8 u jednačinu y =.

Koja će linija biti grafik ove jednačine?

D: Dakle, graf jednačine x 2 - y 2 = 8 je hiperbola.

U: Koje prave su asimptote hiperbole y =.

D: Asimptote hiperbole y = su prave linije y = 0 i x = 0.

U: Kada se rotacija završi, ove prave će se pretvoriti u prave = 0 i = 0, odnosno u prave y = x i y = - x. (Sl. 19).

Primer 4: Hajde da saznamo kakav će oblik imati jednačina y = x 2 parabole kada se rotira oko početka za ugao od 90 0 u smeru kazaljke na satu.

Koristeći formulu F (-y; x) = 0, u jednačini y = x 2 zamjenjujemo varijablu x sa – y, a varijablu y sa x. Dobijamo jednačinu x = (-y) 2, tj. x = y 2 (slika 20).

Pogledali smo primjere grafova jednadžbi drugog stepena s dvije varijable i otkrili da grafovi takvih jednačina mogu biti parabola, hiperbola, elipsa (posebno krug). Pored toga, graf jednačine drugog stepena može biti par pravih (seku ili paralelne). Ovo je takozvani degenerisani slučaj. Dakle, grafik jednačine x 2 - y 2 = 0 je par linija koje se seku (slika 21a), a grafik jednačine x 2 - 5x + 6 + 0y = 0 je paralelne prave.

II Konsolidacija.

(učenicima se daju kartice „Uputstva” za konstruisanje grafika jednačina sa dve varijable u programu Agrapher (Prilog 2) i kartice „Praktični zadatak” (Prilog 3) sa formulacijom zadataka 1-8. Nastavnik demonstrira grafove jednačina za zadaci 4-5 na slajdovima).

Zadatak 1. Koji od parova (5;4), (1;0), (-5;-4) i (-1; -) su rješenja jednadžbe:

a) x 2 - y 2 = 0, b) x 3 - 1 = x 2 y + 6y?

Rješenje:

Zamena u zadata jednačina, uzimajući koordinate ovih tačaka jednu po jednu, uvjereni smo da niti jedan dati par nije rješenje jednačine x 2 - y 2 = 0, a rješenja jednačine x 3 - 1 = x 2 y + 6y su parovi (5;4), (1;0) i (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (I)

1 - 1= 0 + 0 (I)

125 – 1 = -100 – 24 (L)

1 – 1 = - - (I)

odgovor: A); b) (5;4), (1; 0), (-1; -).

Zadatak 2. Pronađite rješenja jednačine xy 2 - x 2 y = 12 u kojoj je vrijednost X jednako 3.

Rješenje: 1) Zamijenite vrijednost 3 umjesto X u datoj jednačini.

2) Dobijamo kvadratnu jednačinu za varijablu Y, koja ima oblik:

3y 2 - 9y = 12.

4) Hajde da riješimo ovu jednačinu:

3y 2 - 9y – 12 = 0

D = 81 + 144 = 225

Odgovor: parovi (3;4) i (3;-1) su rješenja jednačine xy 2 - x 2 y = 12

Zadatak 3. Odredite stepen jednačine:

a) 2y 2 - 3x 3 + 4x = 2; c) (3 x 2 + x)(4x - y 2) = x;

b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 = 0; d) (2y - x 2) 2 = x(x 2 + 4xy + 1).

Odgovor: a) 3; b) 5; c) 4; d) 4.

Zadatak 4. Koja je figura grafik jednadžbe:

a) 2x = 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x = y – 1; c) 2(x + 1) = x 2 - y;

d) (x - 1,5)(x – 4) = 0; e) xy – 1,2 = 0; e) x 2 + y 2 = 9.

Zadatak 5. Napišite jednačinu čiji je graf simetričan grafu jednačine x 2 - xy + 3 = 0 (slika 24) u odnosu na: a) osu X; b) osovine at; c) prava y = x; d) prava y = -x.

Zadatak6. Napravite jednačinu čiji se graf dobija rastezanjem grafika jednačine y = x 2 -3 (slika 25):

a) od x-ose 2 puta; b) od y-ose 3 puta.

Provjerite programom Agrapher da li je zadatak ispravno obavljen.

Odgovor: a)y - x 2 + 3 = 0 (Sl. 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (slika 25b).

b) prave su paralelne, kreću se paralelno sa x-osi 1 jedinica udesno i paralelno sa y-osom 3 jedinice dole (slika 26b);

c) prave se seku, simetričan prikaz u odnosu na x osu (slika 26c);

d) prave se seku, simetričan prikaz u odnosu na y-osu (slika 26d);

e) linije su paralelne, simetrično prikazane u odnosu na ishodište (slika 26e);

e) prave se seku, rotacija oko ishodišta za 90 u smeru kazaljke na satu i simetričan prikaz u odnosu na x osu (slika 26e).

III. Samostalan rad edukativne prirode.

(učenicima se daju kartice „Samostalni rad“ i „Tabela izveštaja o rezultatima samostalnog rada“, u koje učenici zapisuju svoje odgovore i nakon samotestiranja ocenjuju rad prema predloženoj šemi) Prilog 4 ..

I. opcija.

a) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 = 2(x + y).

a) x 3 + y 3 -5x 2 = 0; b) x 4 +4x 3 y +6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 = 1.

x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.

a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

b) x 2 -y 2 = 1;

c) x - y 2 = 9.

x 2 - 2x + y 2 - 4y = 20.

Odredite koordinate centra kruga i njegov polumjer.

6. Kako treba pomjeriti hiperbolu y = u koordinatnoj ravni tako da njena jednačina dobije oblik x 2 - y 2 = 16?

Provjerite svoj odgovor grafičkim prikazom pomoću Agrapher-a.

7. Kako parabolu y = x 2 pomjeriti u koordinatnoj ravni tako da njena jednadžba dobije oblik x = y 2 - 1

Opcija II.

1. Odredite stepen jednačine:

a)3xy = (y-x 3)(x 2 +y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 = 0.

2. Da li je par brojeva (-2;3) rješenje jednačine:

a) x 2 -y 2 -3x = 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6xy 2 + y 3 = -1.

3. Pronađite skup rješenja jednadžbe:

x 2 + y 2 -2x – 8y + 17 = 0.

4. Kakva je kriva (hiperbola, krug, parabola) skup tačaka ako jednačina ove krive ima oblik:

a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 =9

b) y 2 - x 2 =1

c) x = y 2 - 1.

(provjerite programom Agrapher da li je zadatak ispravno obavljen)

5. Koristeći program Agrapher, nacrtajte jednačinu:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.

6. Kako treba pomjeriti hiperbolu y = u koordinatnoj ravni tako da njena jednačina dobije oblik x 2 - y 2 = 28?

7. Kako treba pomjeriti parabolu y = x 2 po koordinatnoj ravni tako da njena jednačina dobije oblik x = y 2 + 9.

I ) Grafičko rješenje kvadratna jednačina:

Razmotrimo datu kvadratnu jednačinu: x2+px+q=0;

Hajde da to prepišemo ovako: x2=-px-q.(1)

Napravimo grafove zavisnosti: y=x2 i y=-px-q.

Znamo graf prve zavisnosti; to je parabola; drugo zavisnost - linearna; njegov graf je prava linija. Iz jednačine (1) je jasno da su u slučaju kada je x njeno rješenje, ordinate tačaka oba grafa međusobno jednake. To znači da data vrijednost x odgovara istoj tački i na paraboli i na pravoj liniji, odnosno da se parabola i prava sijeku u tački sa apscisom od x.

Otuda sledeća grafička metoda rješenja kvadratne jednadžbe: nacrtati parabolu y=x2, nacrtati (po tačkama) pravu liniju y=-px-q.

Ako se prava linija i parabola sijeku, tada su apscise presječnih tačaka korijeni kvadratne jednadžbe. Ova metoda je prikladna ako nije potrebna velika preciznost.

1. Riješite jednačinu: 4x2-12x+7=0

Zamislimo to u obliku x2=3x-7/4.

Konstruirajmo parabolu y=x2 i pravu liniju y=3x-7/4.

Slika 1.

Da biste konstruisali pravu liniju, možete uzeti, na primer, tačke (0;-7/4) i (2;17/4) Parabola i prava se seku u dve tačke sa apscisama x1=0,8 i x2=). 2.2 (vidi sliku 1).

2.Rješiti jednačinu: x2-x+1=0.

Zapišimo jednačinu u obliku: x2=x-1.

Nakon što smo konstruisali parabolu y=x2 i pravac y=x-1, vidimo da se ne seku (slika 2), što znači da jednačina nema korena.

Slika 2.

Hajde da to proverimo. Izračunajmo diskriminanta:

D=(-1)2-4=-3<0,

I stoga jednadžba nema korijen.

3. Riješite jednačinu: x2-2x+1=0

Slika 3.

Ako pažljivo nacrtamo parabolu y=x2 i pravu liniju y=2x-1, videćemo da imaju jednu zajedničku tačku (prava dodiruje parabolu, vidi sliku 3), x=1, y=1; jednadžba ima jedan korijen x=1 (obavezno provjerite ovo proračunom).

II ) Sistemi jednačina.

Graf jednadžbe s dvije varijable je skup tačaka na koordinatnoj ravni čije koordinate pretvaraju jednačinu u pravu jednakost. Grafovi jednadžbi u dvije varijable su prilično raznoliki. Na primjer, grafik jednačine 2x+3y=15 je prava linija, jednačina y=0,5x2 –2 je parabola, jednačina x2 +y2=4 je kružnica, itd.

Stepen cijele jednačine sa dvije varijable određuje se na isti način kao i stepen cijele jednačine sa jednom promjenljivom. Ako je lijeva strana jednadžbe sa dvije varijable polinom standardnog oblika, a desna broj 0, tada se smatra da je stepen jednačine jednak stepenu polinoma. Da bi se saznalo koliki je stepen bilo koje jednačine sa dve varijable, ona se zamenjuje ekvivalentnom jednačinom čija je leva strana polinom standardnog oblika, a desna nula. Razmotrimo grafičko rješenje.

Primjer 1: riješite sistem ⌠ x2 +y2 =25 (1)

⌠y=-x2+2x+5 (2)

Napravimo grafove jednadžbi u jednom koordinatnom sistemu (slika 4):

Hajde da napravimo grafikone u jednom koordinatnom sistemu)

x2 +y2=25 i y=-x2+2x+5

Koordinate bilo koje tačke konstruisanog kruga su rešenje jednadžbe 1, a koordinate bilo koje tačke parabole su rešenje jednačine 2. To znači da su koordinate svake od tačaka preseka kružnice i parabole zadovoljavaju i prvu jednačinu sistema i drugu, tj. predstavljaju rješenje za sistem koji se razmatra. Koristeći sliku, nalazimo približne vrijednosti koordinata tačaka presjeka grafova: A(-2,2; -4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4;- 3. Dakle, sistem jednačina ima četiri rješenja:

x1≈-2,2, y1≈-4,5; x2≈0, y2≈5;

x3≈2.2, y3≈4.5; x4≈4, y4≈-3.

Zamjenom pronađenih vrijednosti u jednadžbe sistema možete se uvjeriti da su drugo i četvrto od ovih rješenja tačne, a prvo i treće približne.

III) Trigonometrijske jednadžbe:

Trigonometrijske jednadžbe se rješavaju i analitički i grafički. Pogledajmo grafičko rješenje koristeći primjer.

Slika 5.

Primjer1: sinx+cosx=1. Nacrtajmo funkcije y=sinx u y=1-cosx (slika 5).

Iz grafikona je jasno da jednačina ima 2 rješenja: x = 2πp, gdje je nÊZ i x = π/2+2πk, gdje je kÊZ (Obavezno provjerite ovo proračunima). Slika 6.

Primjer 2: Riješite jednačinu: tg2x+tgx=0. Ovu jednačinu ćemo riješiti po principu rješavanja prethodne. Prvo, napravimo grafove (vidi sliku 6) funkcija: y=tg2x u y=-tgx. Grafikon pokazuje da jednačina ima 2 rješenja: x=πp, pÊZ u x=2πk/3, gdje je kÊZ (provjerite ovo proračunima).

Primjena grafova u rješavanju nejednačina.

1) Nejednakosti sa modulom.

Riješite nejednačinu |x-1|+|x+1|<4.

Na integralu (-1;-∞), po definiciji modula, imamo |x-1|=-x+1,|x+1|=-x-1, pa stoga na ovom integralu nejednakost je ekvivalentno linearnoj nejednakosti –2x<4,которое справедливо при х>-2. Dakle, skup rješenja uključuje integral (-2,-1) Na segmentu [-1,1] originalna nejednakost je ekvivalentna ispravnoj brojčanoj nejednakosti 2.<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.

Na integralu (1;+∞) ponovo dobijamo linearnu nejednačinu 2h<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Međutim, isti rezultat se može dobiti iz vizualnih i u isto vrijeme strogih geometrijskih razmatranja. Na slici 7 prikazani su grafovi funkcija: y=f(x)=|x-1|+|x+1| i y=4.

Slika 7.

Na integralu (-2;2) graf funkcije y=f(x) nalazi se ispod grafa funkcije y=4, što znači da je nejednakost f(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II) Nejednakosti sa parametrima.

Rješavanje nejednačina sa jednim ili više parametara je po pravilu složeniji zadatak u odnosu na problem u kojem nema parametara.

Na primjer, nejednakost √a+x+√a-x>4, koja sadrži parametar a, prirodno zahtijeva mnogo više truda za rješavanje nego nejednakost √1+x + √1-x>1.

Šta znači riješiti prvu od ovih nejednakosti? To, u suštini, znači rješavanje ne samo jedne nejednakosti, već cijele klase, cijelog skupa nejednakosti koje se dobijaju ako parametru a dodijelimo određene numeričke vrijednosti. Druga napisana nejednačina je poseban slučaj prve, jer se iz nje dobija sa vrijednošću a = 1.

Dakle, riješiti nejednakost koja sadrži parametre znači odrediti pri kojim vrijednostima parametara nejednakost ima rješenja i za sve takve vrijednosti parametara pronaći sva rješenja.

Riješiti nejednakost|x-a|+|x+a| 0.

Da bismo riješili ovu nejednakost s dva parametra aub, koristimo geometrijska razmatranja. Na slikama 8 i 9 prikazani su grafovi funkcija.

Y=f(x)=|x-a|+|x+a| uy=b.

Očigledno, za b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, tada prava linija y=b siječe grafik funkcije y=f(x) u dvije tačke (-b/2;b) u (b/2;b) (slika 6) i nejednakosti u ovom slučaju vrijedi za – b/2

Odgovor: Ako b<=2|a| , то решений нет,

Ako je b>2|a|, onda je x €(-b/2;b/2).

III ) Trigonometrijske nejednakosti:

Prilikom rješavanja nejednačina sa trigonometrijskim funkcijama u osnovi se koristi periodičnost ovih funkcija i njihova monotonost na odgovarajućim intervalima. Najjednostavnije trigonometrijske nejednakosti. Funkcija sinx ima pozitivan period od 2π. Dakle, nejednakosti oblika: sinx>a, sinx>=a,

sin x

Dovoljno je prvo riješiti na nekom segmentu 2π prave. Skup svih rješenja dobijamo dodavanjem brojeva oblika 2πp, pÊZ svakom od rješenja pronađenih na ovom segmentu.

Primjer 1: Riješite nejednačinu sinx>-1/2 (Slika 10).

Prvo, riješimo ovu nejednakost na intervalu [-π/2;3π/2]. Razmotrimo njegovu lijevu stranu - segment [-π/2;3π/2] Ovdje jednačina sinx=-1/2 ima jedno rješenje x=-π/6; a funkcija sinx monotono raste. To znači da ako je –π/2<=x<= -π/6, то sinx<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sinx>sin(-π/6) = –1/2. Sve ove vrijednosti x nisu rješenja nejednakosti.

Na preostalom segmentu [π/2;3π/2], funkcija sinx monotono opada i jednačina sinx = -1/2 ima jedno rješenje x=7π/6. Stoga, ako je π/2<=x<7π/, то sinx>sin(7π/6)=-1/2, tj. sve ove vrijednosti x su rješenja nejednakosti. Za x Ê imamo sinx<= sin(7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются. Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).

Zbog periodičnosti funkcije sinx sa periodom od 2π, vrijednosti x iz bilo kojeg integrala oblika: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nÊZ, također su rješenja nejednakosti . Nijedna druga vrijednost x nije rješenja ove nejednakosti.

Odgovor: -π/6+2πn

Slika 10.