Primjeri integracije racionalnih funkcija razlomaka. Integracija racionalnih funkcija Razlomak - racionalna funkcija Najjednostavniji

Ranije smo razgovarali o opštim metodama integracije. U ovom i narednim odeljcima govorićemo o integraciji određenih klasa funkcija uz pomoć razmatranih tehnika.

Integracija najjednostavnijih racionalnih funkcija

Razmotrimo integral forme \textstyle(\int R(x)\,dx), gdje je y=R(x) racionalna funkcija. Svaki racionalni izraz R(x) može se predstaviti kao \frac(P(x))(Q(x)), gdje su P(x) i Q(x) polinomi. Ako je ovaj razlomak netačan, odnosno ako je stepen brojioca veći ili jednak stepenu nazivnika, onda se može predstaviti kao zbir polinoma (celobrojnog dela) i pravilnog razlomka. Stoga je dovoljno razmotriti integraciju pravih razlomaka.

Pokažimo da se integracija takvih razlomaka svodi na integraciju prosti razlomci, odnosno izrazi oblika:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

gdje A,\,B,\,a,\,p,\,q su realni brojevi, a kvadratni trinom x^2+px+q nema realnih korijena. Izrazi oblika 1) i 2) nazivaju se razlomci 1. vrste, a izrazi oblika 3) i 4) nazivaju se razlomci 2. vrste.

Integrali razlomaka 1. vrste izračunavaju se direktno

\begin(aligned)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\ldots). \end (poravnano)

Razmotrimo izračun integrala iz razlomaka 2. vrste: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

Prvo, primetimo to

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

Da bismo sveli izračunavanje integrala 3) na ova dva integrala, transformiramo kvadratni trinom x^2+px+q tako što ćemo iz njega izdvojiti cijeli kvadrat:

x^2+px+q= (\levo(x+\frac(p)(2)\desno)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Pošto po pretpostavci ovaj trinom nema pravi korijen, onda q-\frac(p^2)(4)>0 i možemo staviti q-\frac(p^2)(4)=a^2. Zamjena x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dt transformira integral 3) u linearnu kombinaciju gornja dva integrala:

\begin(poravnano)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2)\desno )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\desno)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\desno)\!\ \operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C. \end (poravnano)

U konačnom odgovoru, trebate samo zamijeniti (t) sa x+\frac(p)(2) i (a) sa \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Pošto je t^2+a^2=x^2+px+q, onda

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operatorname(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac) (p^2)(4)))+C.

Razmotrite slučaj \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Kao iu prethodnom slučaju, postavljamo x+\frac(p)(2)=t . Dobijamo:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \lijevo(B-\frac(Ap)(2)\desno)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

Prvi član se računa ovako:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

Drugi integral se izračunava pomoću rekurentne formule.

Primjer 1 Compute \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Rješenje. Imamo: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Neka je x+1=t . Tada je dx=dt i 3x+2=3(t-1)+2=3t-1 i stoga

\begin(poravnano)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \end (poravnano)

Primjer 2 Compute \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Rješenje. Imamo: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Hajde da uvedemo novu varijablu postavljanjem x+3=t. Tada je dt=dx i x+2=t-1. Zamjenom varijable pod predznakom integrala dobijamo:

\begin(poravnano)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \end(poravnano))

Hajde da stavimo I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Imamo:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), ali I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \operatorname(arctg)t Na ovaj način, I_2= \frac(1)(2)\operatorname(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

Konačno dobijamo:

\begin(poravnano)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\operatorname(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)+C \end(poravnano)

Integracija pravih razlomaka

Razmotrimo pravi razlomak R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), gdje je Q(x) polinom stepena n. Bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da je vodeći koeficijent u Q(x) jednak 1. U toku algebre je dokazano da se takav polinom sa realnim koeficijentima može rastaviti na faktore prvog i drugog stepena sa realnim koeficijentima :

Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\ldots (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\ldots (x^2 +r\,x+s)^(\delta).

gdje su x_1,\ldots,x_k realni korijeni polinoma Q(x), a kvadratni trinomi nemaju realne korijene. Može se dokazati da je tada R(x) predstavljen kao zbir prostih razlomaka oblika 1) -4):

\begin(poravnano)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta ))(x^2+rx+s)\, \end(poravnano)

gdje eksponenti nazivnika opadaju uzastopno od \alpha do 1, ..., od \beta do 1, od \gamma do 1, ..., od \delta do 1, i A_1,\ldots,F_(\delta)- nedefinisani koeficijenti. Da bismo pronašli ove koeficijente, potrebno je osloboditi se nazivnika i, nakon što smo dobili jednakost dva polinoma, koristiti metodu neodređenih koeficijenata.

Drugi način za određivanje koeficijenata A_1,\ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta) zasniva se na zamjeni vrijednosti varijable x. Zamjenom bilo kojeg broja umjesto x u jednakost dobijenu iz jednakosti (1) nakon nazivnika, dolazimo do linearne jednačine u odnosu na željene koeficijente. Zamjenom potrebnog broja takvih posebnih vrijednosti varijable dobijamo sistem jednadžbi za pronalaženje koeficijenata. Najprikladnije je odabrati korijene nazivnika (i realne i kompleksne) kao privatne vrijednosti varijable. U ovom slučaju, gotovo svi članovi na desnoj strani jednakosti (što znači jednakost dva polinoma) nestaju, što olakšava pronalaženje preostalih koeficijenata. Prilikom zamjene kompleksnih vrijednosti treba imati na umu da su dva kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im realni i imaginarni dijelovi jednaki. Stoga se iz svake jednakosti koja sadrži kompleksne brojeve dobijaju dvije jednadžbe.

Nakon pronalaženja neodređenih koeficijenata, ostaje da se izračunaju integrali dobijenih prostih razlomaka. Budući da se pri integraciji najjednostavnijih razlomaka, kao što smo vidjeli, dobijaju samo racionalne funkcije, arktangenti i logaritmi, onda integral bilo koje racionalne funkcije izražava se kroz racionalnu funkciju, arktangente i logaritme.

Primjer 3 Izračunajte integral pravilnog racionalnog razlomka \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Rješenje. Dekomponujemo imenilac integranda na faktore:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Zapisujemo integrand i predstavljamo ga kao zbir prostih razlomaka:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

Nakon što smo se oslobodili nazivnika u ovoj jednakosti, dobijamo:

6x+1=A\cdot (x+3)+B\cdot (x-1)\,.

Za pronalaženje koeficijenata koristimo metodu zamjene parcijalnih vrijednosti. Za pronalaženje koeficijenta A stavljamo x=1. Tada iz jednakosti (2) dobijamo 7=4A , odakle je A=7/4 . Za pronalaženje koeficijenta B postavljamo x=-3 . Tada iz jednakosti (2) dobijamo -17=-4B , odakle je B=17/4 .

dakle, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1)(x+3). znači,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

Primjer 4 Compute \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Rješenje. Zapisujemo integrand i predstavljamo ga kao zbir prostih razlomaka. Imenilac sadrži faktor x^2+2, koji nema pravi korijen, odgovara razlomku 2. vrste: \frac(Ax+B)(x^2+2) faktor (x-1)^2 odgovara zbiru dva razlomka 1. vrste: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); konačno, faktor x+2 odgovara jednom razlomku 1. vrste \frac(E)(x+2) . Dakle, predstavićemo integrand kao zbir četiri razlomka:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

Oslobodimo se nazivnika u ovoj jednakosti. Dobijamo:

\begin(poravnano) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\phantom(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(poravnano)

Imenilac integranda ima dva realna korena: x=1 i x=-2. Prilikom zamjene x=1 u jednakost (4), dobijamo 16=9C , iz čega nalazimo C=16/9 . Prilikom zamjene x=-2 dobijamo 13=54E i prema tome određujemo E=13/54. Zamjena vrijednosti x=i\,\sqrt(2) (korijen polinoma x^2+2) omogućava nam da prijeđemo na jednakost

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot(i\,\sqrt(2)+2).

Transformiše se u:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,i, odakle je 10A+2B=5 , i (2A-5B)\sqrt(2)=8\sqrt(2).

Rješavanje sistema od dvije jednačine sa dvije varijable \begin(slučajevi)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(slučajevi) mi nalazimo: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

Ostaje odrediti vrijednost koeficijenta D. Da bismo to učinili, u jednakosti (4) otvaramo zagrade, dajemo slične pojmove, a zatim uporedimo koeficijente na x^4. Dobijamo:

A+D+E=1, odnosno D=0.

Zamijenimo pronađene vrijednosti koeficijenata u jednakost (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

a zatim pređite na integraciju:

\begin(poravnano)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16 )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41 )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(poravnano)

Integracija nepravih razlomaka

Neka je potrebno integrirati funkciju y=\frac(f(x))(g(x)), gdje su f(x) i g(x) polinomi, a stepen polinoma f(x) je veći ili jednak stepenu polinoma g(x) . U ovom slučaju, prije svega, potrebno je odabrati cijeli broj nepravilnog razlomka \frac(f(x))(g(x)), tj. predstaviti ga u obliku

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

gdje je s(x) polinom stepena jednak razlici stupnjeva polinoma f(x) i g(x), i \frac(r(x))(g(x)) je pravilan razlomak.

Onda imamo \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

Primjer 5 Izračunaj integral nepravilnog razlomka \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Rješenje. Imamo:

\begin(poravnano)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end (poravnano)

Da bismo izdvojili cijeli broj, podijelimo f(x) sa g(x): \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

znači, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Imamo: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

Za izračunavanje integrala \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx primijenjena, kao gore, metoda neodređenih koeficijenata. Nakon proračuna, koje ostavljamo čitaocu, dobijamo.

Integracija racionalnih funkcija Razlomak - racionalna funkcija Najjednostavniji racionalni razlomci Dekompozicija racionalnog razlomka na najjednostavnije razlomke Integracija najjednostavnijih razlomaka Opće pravilo za integraciju racionalnih razlomaka

polinom stepena n. Razlomka racionalna funkcija Razlomka racionalna funkcija je funkcija jednaka omjeru dva polinoma: Racionalni razlomak se naziva pravim ako je stepen brojioca manji od stepena nazivnika, tj.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Razlomak - racionalna funkcija Pretvorite nepravilan razlomak u ispravan oblik: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Najjednostavniji racionalni razlomci Pravi racionalni razlomci oblika: Nazivaju se najjednostavnijim racionalnim razlomcima tipova. axA); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Dekompozicija racionalnog razlomka na proste razlomke Teorema: Svaki pravi racionalni razlomak, čiji je imenilac je faktorizovan: može se, štaviše, predstaviti na jedinstven način kao zbir prostih razlomaka: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Dekompozicija racionalnog razlomka na jednostavne razlomke Pojasnimo formulaciju teoreme koristeći sljedeće primjere: Za pronalaženje neodređenih koeficijenata A, B, C, D ... koriste se dvije metode: metoda poređenja koeficijenata i metoda parcijalnih vrijednosti varijable. Pogledajmo prvu metodu s primjerom. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Dekompozicija racionalnog razlomka na proste razlomke Predstavite razlomak kao zbir prostih razlomaka: Najjednostavnije razlomke svesti na zajednički nazivnik Izjednačiti brojioce rezultujućeg i originalnog razlomka Izjednačiti koeficijente na istim potencijama x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integracija najjednostavnijih razlomaka Nađimo integrale najjednostavnijih racionalnih razlomaka: Razmotrimo na primjeru integraciju razlomaka 3. tipa. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Integracija prostih razlomakadx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 dtt 32 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Integracija prostih razlomaka Integral ovog tipa zamjenom: svodi se na zbir dvaju integrala: Prvi integral se izračunava uvođenjem t pod znakom diferencijala. Drugi integral se izračunava pomoću rekurzivne formule: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk pri dt N na dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integracija prostih razlomaka a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t 2 t) 2 t 2 t (4)1(

Opće pravilo za integraciju racionalnih razlomaka Ako je razlomak nepravilan, onda ga predstavite kao zbir polinoma i pravilnog razlomka. Nakon što ste razložili nazivnik pravilnog racionalnog razlomka na faktore, predstavite ga kao zbir prostih razlomaka sa neodređenim koeficijentima.Neodređene koeficijente pronađite upoređivanjem koeficijenata ili metodom parcijalnih vrijednosti varijable. Integrirajte polinom i rezultujuću sumu prostih razlomaka.

Primjer Dovedemo razlomak u ispravan oblik. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 x

Primjer Faktoriranje nazivnika pravilnog razlomka Predstavljanje razlomka kao zbira prostih razlomaka Pronalaženje nesigurnih koeficijenata korištenjem metode parcijalnih vrijednosti varijable xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Primjer dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

Racionalna funkcija je razlomak oblika , čiji su brojnik i nazivnik polinomi ili produkti polinoma.

Primjer 1 Korak 2

.

Neodređene koeficijente množimo polinomima koji nisu u ovom pojedinačnom razlomku, ali koji se nalaze u drugim dobijenim razlomcima:

Otvaramo zagrade i izjednačavamo brojnik prvobitnog integranda dobijenog izraza:

U oba dijela jednakosti tražimo članove sa istim potencijama x i od njih pravimo sistem jednačina:

.

Poništavamo sve x i dobijamo ekvivalentan sistem jednačina:

.

Dakle, konačno proširenje integrala u zbir prostih razlomaka:

.

Primjer 2 Korak 2 U koraku 1 dobili smo sljedeću ekspanziju originalnog razlomka u zbir prostih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojiocima:

.

Sada počinjemo tražiti neizvjesne koeficijente. Da bismo to učinili, izjednačavamo brojilac originalnog razlomka u izrazu funkcije sa brojnikom izraza koji se dobije nakon svođenja sume razlomaka na zajednički nazivnik:

Sada treba da kreirate i rešite sistem jednačina. Da bismo to uradili, izjednačavamo koeficijente varijable do odgovarajućeg stepena u brojiocu originalnog izraza funkcije i slične koeficijente u izrazu dobijenom u prethodnom koraku:

Rezultujući sistem rešavamo:

Dakle, odavde

.

Primjer 3 Korak 2 U koraku 1 dobili smo sljedeću ekspanziju originalnog razlomka u zbir prostih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojiocima:

Počinjemo tražiti neizvjesne koeficijente. Da bismo to učinili, izjednačavamo brojilac originalnog razlomka u izrazu funkcije sa brojnikom izraza koji se dobije nakon svođenja sume razlomaka na zajednički nazivnik:

Kao iu prethodnim primjerima, sastavljamo sistem jednadžbi:

Smanjujemo x i dobijamo ekvivalentan sistem jednačina:

Rješavajući sistem dobijamo sljedeće vrijednosti neizvjesnih koeficijenata:

Dobijamo konačno proširenje integrala u zbir prostih razlomaka:

.

Primjer 4 Korak 2 U koraku 1 dobili smo sljedeću ekspanziju originalnog razlomka u zbir prostih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojiocima:

.

Kako izjednačiti brojilac originalnog razlomka sa izrazom u brojniku koji se dobije nakon što se razlomak razloži na zbir prostih razlomaka i ovaj zbroj svede na zajednički imenilac, već znamo iz prethodnih primjera. Stoga, samo za kontrolu, predstavljamo rezultujući sistem jednačina:

Rješavajući sistem dobijamo sljedeće vrijednosti neizvjesnih koeficijenata:

Dobijamo konačno proširenje integrala u zbir prostih razlomaka:

Primjer 5 Korak 2 U koraku 1 dobili smo sljedeću ekspanziju originalnog razlomka u zbir prostih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojiocima:

.

Nezavisno dovodimo ovaj zbir u zajednički nazivnik, izjednačavamo brojilac ovog izraza sa brojnikom originalnog razlomka. Rezultat bi trebao biti sljedeći sistem jednačina:

Rješavajući sistem dobijamo sljedeće vrijednosti neizvjesnih koeficijenata:

.

Dobijamo konačno proširenje integrala u zbir prostih razlomaka:

.

Primjer 6 Korak 2 U koraku 1 dobili smo sljedeću ekspanziju originalnog razlomka u zbir prostih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojiocima:

S ovim iznosom izvodimo iste radnje kao u prethodnim primjerima. Rezultat bi trebao biti sljedeći sistem jednačina:

Rješavajući sistem dobijamo sljedeće vrijednosti neizvjesnih koeficijenata:

.

Dobijamo konačno proširenje integrala u zbir prostih razlomaka:

.

Primjer 7 Korak 2 U koraku 1 dobili smo sljedeću ekspanziju originalnog razlomka u zbir prostih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojiocima:

.

Nakon poznatih radnji sa rezultujućim zbirom, treba dobiti sledeći sistem jednačina:

Rješavajući sistem dobijamo sljedeće vrijednosti neizvjesnih koeficijenata:

Dobijamo konačno proširenje integrala u zbir prostih razlomaka:

.

Primjer 8 Korak 2 U koraku 1 dobili smo sljedeću ekspanziju originalnog razlomka u zbir prostih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojiocima:

.

Hajde da napravimo neke izmene u radnjama koje su već dovedene do automatizma da bismo dobili sistem jednačina. Postoji umjetni trik, koji u nekim slučajevima pomaže u izbjegavanju nepotrebnih proračuna. Dovodeći zbir razlomaka u zajednički nazivnik, dobijamo i izjednačavajući brojilac ovog izraza sa brojnikom originalnog razlomka, dobijamo.

„Matematičar, poput umjetnika ili pjesnika, stvara obrasce. A ako su njegovi obrasci stabilniji, to je samo zato što su sastavljeni od ideja... Obrasci matematičara, baš kao i oni umetnika ili pesnika, moraju biti lepi; ideje, baš kao i boje ili riječi, treba da se podudaraju. Ljepota je prvi uslov: na svijetu nema mjesta za ružnu matematiku».

G.H. Hardy

U prvom poglavlju je napomenuto da postoje antiderivati ​​prilično jednostavnih funkcija koje se više ne mogu izraziti elementarnim funkcijama. U tom smislu te klase funkcija dobijaju veliki praktični značaj, za koje se sa sigurnošću može reći da su njihovi antiderivati ​​elementarne funkcije. Ova klasa funkcija uključuje racionalne funkcije, što je omjer dva algebarska polinoma. Mnogi problemi dovode do integracije racionalnih razlomaka. Stoga je vrlo važno biti u mogućnosti integrirati takve funkcije.

2.1.1. Frakcionalne racionalne funkcije

Racionalni razlomak(ili frakciona racionalna funkcija) je omjer dva algebarska polinoma:

gdje su i polinomi.

Prisjetite se toga polinom (polinom, čitava racionalna funkcija) nth stepen naziva se funkcija oblika

gdje su realni brojevi. Na primjer,

je polinom prvog stepena;

je polinom četvrtog stepena, itd.

Racionalni razlomak (2.1.1) se zove ispravan, ako je stepen manji od stepena , tj. n<m, inače se zove razlomak pogrešno.

Svaki nepravilan razlomak se može predstaviti kao zbir polinoma (cijeli dio) i pravilnog razlomka (razlomački dio). Odabir cjelobrojnih i razlomaka nepravilnog razlomka može se izvršiti prema pravilu dijeljenja polinoma „uglom“.

Primjer 2.1.1. Odaberite cijeli broj i razlomke sljedećih nepravilnih racionalnih razlomaka:

a) , b) .

Rješenje . a) Koristeći algoritam dijeljenja "ugao", dobijamo

Dakle, dobijamo

.

b) Ovdje također koristimo algoritam podjele “ugao”:

Kao rezultat, dobijamo

.

Hajde da sumiramo. Neodređeni integral racionalnog razlomka općenito se može predstaviti kao zbir integrala polinoma i pravilnog racionalnog razlomka. Pronalaženje antiderivata polinoma nije teško. Stoga ćemo u budućnosti uglavnom razmatrati pravilne racionalne razlomke.

2.1.2. Najjednostavniji racionalni razlomci i njihova integracija

Postoje četiri vrste pravih racionalnih razlomaka, koji su klasifikovani kao najjednostavniji (elementarni) racionalni razlomci:

3) ,

4) ,

gdje je cijeli broj, , tj. kvadratni trinom nema prave korene.

Integracija najjednostavnijih razlomaka 1. i 2. tipa ne predstavlja velike poteškoće:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Razmotrimo sada integraciju najjednostavnijih razlomaka 3. tipa i nećemo razmatrati razlomke 4. tipa.

Počinjemo sa integralima oblika

.

Ovaj integral se obično izračunava uzimanjem punog kvadrata u nazivniku. Rezultat je tablični integral sljedećeg oblika

ili .

Primjer 2.1.2. Pronađite integrale:

a) , b) .

Rješenje . a) Biramo pun kvadrat iz kvadratnog trinoma:

Odavde nalazimo

b) Odabirom punog kvadrata iz kvadratnog trinoma dobijamo:

Na ovaj način,

.

Da pronađemo integral

možemo izdvojiti izvod nazivnika u brojiocu i proširiti integral u zbir dvaju integrala: prvi zamjenom svodi se na formu

,

a drugi - na gore navedeno.

Primjer 2.1.3. Pronađite integrale:

.

Rješenje . primeti, to . Odabiremo derivaciju nazivnika u brojiocu:

Prvi integral se izračunava zamjenom :

U drugom integralu biramo puni kvadrat u nazivniku

Konačno, dobijamo

2.1.3. Proširivanje pravilnog racionalnog razlomka
zbir prostih razlomaka

Bilo koji pravilan racionalni razlomak može se jedinstveno predstaviti kao zbir prostih razlomaka. Da biste to učinili, nazivnik se mora razložiti na faktore. Iz više algebre je poznato da svaki polinom sa realnim koeficijentima

TEMA: Integracija racionalnih razlomaka.

Pažnja! Prilikom proučavanja jedne od glavnih metoda integracije - integracije racionalnih razlomaka - potrebno je uzeti u obzir polinome u kompleksnoj domeni za rigorozne dokaze. Stoga je neophodno uči unapred neka svojstva kompleksnih brojeva i operacije nad njima.

Integracija najjednostavnijih racionalnih razlomaka.

Ako a P(z) i Q(z) su polinomi u kompleksnoj domeni, onda je racionalni razlomak. To se zove ispravan ako je diploma P(z) manji stepen Q(z) , i pogrešno ako je diploma R ništa manjeg stepena Q.

Svaki nepravilan razlomak se može predstaviti kao: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – polinom čiji je stepen manji od stepena Q(z).

Dakle, integracija racionalnih razlomaka se svodi na integraciju polinoma, odnosno funkcija stepena i pravih razlomaka, budući da je to pravi razlomak.

Definicija 5. Najjednostavniji (ili elementarni) razlomci su razlomci sljedećih tipova:

1) , 2) , 3) , 4) .

Hajde da saznamo kako su integrisani.

3) (istraženo ranije).

Teorema 5. Svaki pravi razlomak se može predstaviti kao zbir prostih razlomaka (bez dokaza).

Posljedica 1. Ako je pravi racionalni razlomak, i ako među korijenima polinoma postoje samo jednostavni realni korijeni, tada će u proširenju razlomka u zbir prostih razlomaka biti samo prosti razlomci 1. tipa:

Primjer 1

Korolar 2. Ako je pravi racionalni razlomak, i ako među korijenima polinoma postoji samo više realnih korijena, onda će u proširenju razlomka u zbir prostih razlomaka postojati samo prosti razlomci 1. i 2. vrste :

Primjer 2

Korolar 3. Ako je pravi racionalni razlomak i ako među korijenima polinoma postoje samo jednostavni kompleksni konjugirani korijeni, tada će u proširenju razlomka u zbir prostih razlomaka biti samo prosti razlomci trećeg tipa:

Primjer 3

Korolar 4. Ako je pravi racionalni razlomak, i ako među korijenima polinoma postoji samo višestruko složeno konjugirani korijen, onda će u proširenju razlomka u zbir prostih razlomaka biti samo prosti razlomci 3. i 4. vrste:

Da biste odredili nepoznate koeficijente u gornjim proširenjima, postupite na sljedeći način. Lijevi i desni dio proširenja koji sadrži nepoznate koeficijente se množe sa Dobija se jednakost dva polinoma. Iz njega se dobijaju jednadžbe za željene koeficijente, koristeći:

1. jednakost vrijedi za sve vrijednosti X (metoda parcijalnih vrijednosti). U ovom slučaju se dobija bilo koji broj jednačina, od kojih nam bilo koji m omogućava da pronađemo nepoznate koeficijente.

2. koeficijenti se poklapaju na istim potencijama X (metoda neodređenih koeficijenata). U ovom slučaju se dobija sistem m - jednačina sa m - nepoznatim, iz kojih se nalaze nepoznati koeficijenti.

3. kombinovana metoda.

Primjer 5. Proširite razlomak do najjednostavnijeg.

Rješenje:

Pronađite koeficijente A i B.

1 način - metoda privatne vrijednosti:

Metoda 2 - metoda nesigurnih koeficijenata:

odgovor:

Integracija racionalnih razlomaka.

Teorema 6. Neodređeni integral bilo kojeg racionalnog razlomka na bilo kojem intervalu na kojem njegov nazivnik nije jednak nuli postoji i izražava se u terminima elementarnih funkcija, odnosno racionalnih razlomaka, logaritma i arktangensa.

Dokaz.

Predstavljamo racionalni razlomak u obliku: . Štaviše, posljednji član je pravi razlomak, a prema teoremi 5 može se predstaviti kao linearna kombinacija jednostavnih razlomaka. Dakle, integracija racionalnog razlomka svodi se na integraciju polinoma S(x) i najjednostavniji razlomci, čiji antiderivati, kao što je pokazano, imaju oblik naznačen u teoremi.

Komentar. Glavna poteškoća u ovom slučaju je dekompozicija nazivnika na faktore, odnosno potraga za svim njegovim korijenima.

Primjer 1. Pronađite integral