Princip Hermanna Euler d'Alemberta za materijalnu tačku. D'Alembertov princip teorijske mehanike

Metode za rješavanje mehaničkih problema koje su do sada razmatrane zasnivaju se na jednadžbama koje slijede ili direktno iz Newtonovih zakona ili iz općih teorema koje su posljedice ovih zakona. Međutim, ovaj put nije jedini. Ispostavilo se da se jednačine kretanja ili ravnotežni uslovi mehaničkog sistema mogu dobiti bazirajući ga na drugim opštim principima, nazvanim principima mehanike, umesto na Newtonovim zakonima. U velikom broju slučajeva, primena ovih principa omogućava, kao što ćemo videti, pronalaženje efikasnijih metoda za rešavanje odgovarajućih problema. Ovo poglavlje će ispitati jedan od opštih principa mehanike, nazvan d'Alambertov princip.

Hajde da prvo pronađemo izraz principa za jednu materijalnu tačku. Neka na materijalnu tačku s masom djeluje sistem aktivnih sila, čija će rezultanta biti označena reakcijom spajanja N (ako tačka nije slobodna). Pod uticajem svih ovih sila, tačka će se kretati u odnosu na inercijski referentni sistem sa određenim ubrzanjem a.

Hajde da uvedemo u obzir količinu

ima dimenziju sile. Vektorska veličina jednaka po veličini proizvodu mase tačke i njenog ubrzanja i usmjerena suprotno od ovog ubrzanja naziva se inercijska sila tačke.

Tada se ispostavlja da kretanje tačke ima sljedeće svojstvo: ako se u bilo kojem trenutku sila inercije doda aktivnim silama koje djeluju na tačku i reakciji spajanja, tada će rezultirajući sistem sila biti uravnotežen, tj.

Ova pozicija izražava d'Alambertov princip za materijalnu tačku. Lako je vidjeti da je on ekvivalentan drugom Newtonovom zakonu i obrnuto. Zapravo, drugi Newtonov zakon za tačku koja se razmatra daje Prenoseći ovdje vrijednost m na desnu stranu jednakosti i uzimajući u obzir notaciju (84), dolazimo do relacije (85). Naprotiv, prenoseći količinu iz jednačine (85) na drugi dio jednakosti i uzimajući u obzir notaciju (84), dobijamo izraz za drugi Newtonov zakon.

Razmotrimo sada mehanički sistem koji se sastoji od materijalnih tačaka. Odaberimo jednu od tačaka sistema sa masom . Pod utjecajem vanjskih i unutrašnjih sila koje se na nju primjenjuju (koje uključuju i aktivne sile i reakcije spajanja), tačka će se kretati u odnosu na inercijski referentni sistem uz određeno ubrzanje. Uvođenjem inercijalne sile za ovu tačku dobijamo prema jednakost (85) da

tj. da formiraju uravnotežen sistem sila. Ponavljajući takvo rezonovanje za svaku od tačaka sistema, dolazimo do sledećeg rezultata, izražavajući D'Alambertov princip za sistem: ako se u bilo kom trenutku odgovarajuće inercijalne sile dodaju svakoj tački sistema, u Osim vanjskih i unutrašnjih sila koje djeluju na njega, tada će rezultirajući sistem sila biti uravnotežen i na njega se mogu primijeniti sve jednačine statike.

Matematički, D'Alembertov princip za sistem je izražen vektorskim jednakostima oblika (85), koje su očigledno ekvivalentne diferencijalnim jednačinama kretanja sistema (13), dobijenim u § 106. Shodno tome, iz D'Alembertovog principa , kao i iz jednačina (13), mogu se dobiti sve opšte teoreme govornika.

Značaj d'Alamberovog principa leži u činjenici da kada se direktno primenjuju na probleme dinamike, jednačine kretanja sistema se sastavljaju u obliku dobro poznatih jednačina ravnoteže; ovo čini pristup rješavanju problema ujednačenim i često pojednostavljuje odgovarajuće proračune. Pored toga, u kombinaciji sa principom mogućih pomeranja, o čemu će biti reči u sledećem poglavlju, d'Alembertov princip nam omogućava da dobijemo novu opštu metodu za rešavanje problema dinamike (videti § 141).

Iz statike je poznato da su geometrijski zbir sila u ravnoteži i zbir njihovih momenata u odnosu na bilo koji centar O jednak nuli, i, kao što je pokazano u § 120, to vrijedi za sile koje djeluju ne samo na kruto tijelo, već i takođe na bilo kom promenljivom mehaničkom sistemu.

Zatim, na osnovu D'Alembertovog principa, trebalo bi da bude:

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:

Veličine predstavljaju glavni vektor i glavni moment u odnosu na centar O sistema inercijskih sila. Kao rezultat, uzimajući u obzir da su geometrijski zbir unutrašnjih sila i zbir njihovih momenata jednaki nuli, dobijamo iz jednakosti (86):

Upotreba jednačina (88), koje proizilaze iz d'Alamberovog principa, pojednostavljuje proces rješavanja problema, jer ove jednačine ne sadrže unutrašnje sile. U suštini, jednačine (88) su ekvivalentne jednačinama koje izražavaju teoreme o promjenama količine gibanja i glavnog momenta impulsa sistema, a razlikuju se od njih samo po obliku.

Jednačine (88) su posebno pogodne za korištenje pri proučavanju kretanja krutog tijela ili sistema krutih tijela. Za potpuno proučavanje kretanja bilo kog promenljivog sistema, ove jednačine neće biti dovoljne, kao što jednačine statike nisu dovoljne za proučavanje ravnoteže bilo kog mehaničkog sistema (videti § 120).

U projekcijama na koordinatne ose, jednakosti (88) daju jednačine slične odgovarajućim statičkim jednačinama (vidi § 16, 30). Da biste koristili ove jednadžbe pri rješavanju zadataka, morate znati izraze za glavni vektor i glavni moment inercijskih sila.

U zaključku, treba naglasiti da se prilikom proučavanja kretanja u odnosu na inercijski referentni okvir, koji se ovdje razmatra, inercijalne sile uvode samo kada se za rješavanje problema primjenjuje d'Alambertov princip.

d'Alambertov princip koristi se pri rješavanju prvog glavnog problema dinamike neslobodne tačke, kada je poznato kretanje tačke i aktivne sile koje na nju djeluju, te se traži rezultirajuća reakcija veze.

Zapišimo osnovnu jednačinu za dinamiku neslobodne tačke u inercijskom referentnom okviru:

Prepišimo jednačinu kao:

.

Označavajući , dobijamo

, (11.27)

gdje se vektor zove D'Alembertova inercijska sila.

Izjava o principu: U svakom trenutku kretanja neslobodne materijalne tačke, aktivna sila i reakcija veze su uravnotežene D'Alembertovom silom inercije..

Projektovanjem vektorske jednačine (11.27) na bilo koje koordinatne ose dobijamo odgovarajuće jednačine ravnoteže pomoću kojih možemo pronaći nepoznate reakcije.

Projicirajmo jednačinu (11.27) na prirodne ose:

(11.28)

Gdje naziva se centrifugalna sila inercije, uvijek usmjerena u negativnom smjeru glavne normale; .

napomene:

1). U stvarnosti, osim sila, ne postoje druge fizičke sile koje se primjenjuju na tačku, a te tri sile ne čine uravnotežen sistem sila. U tom smislu, d'Alembertova inercijska sila je fiktivna sila koja se uslovno primjenjuje na tačku.

2). D'Alembertov princip treba smatrati pogodnim metodološkim sredstvom koje omogućava da se problem dinamike svede na problem statike.

Primjer 1. Odredimo reakciju sprege koja djeluje na pilota kada avion koji se kreće u vertikalnoj ravni izađe iz ronilačkog leta (slika 11.5).

Na pilota utječu gravitacija i reakcija sjedišta. Primijenimo D'Alembertov princip, dodajući ovim silama D'Alembertovu silu inercije:

(11.29)

Zapišimo jednačinu (11.29) u projekcijama na normalu:

(11.30)

Gdje r- radijus kruga kada vazduhoplov ulazi u ravni let,

Maksimalna brzina aviona u ovom trenutku.

Iz jednadžbe (11.30)

(11.31)

Primjer 2. Odredimo sada istu reakciju koja djeluje na pilota u trenutku izlaska iz moda penjanja (slika 11.6).

Relativno kretanje materijalne tačke

Ako se referentni sistemi ne kreću translatorno u odnosu na inercijski referentni sistem, ili se ishodišta njihovih koordinata kreću neravnomjerno ili krivolinijsko, onda su takvi referentni sistemi neinercijalni. U ovim referentnim okvirima aksiomi A 1 i A 2 se ne primjećuju, ali iz ovoga ne slijedi da se u dinamici proučavaju samo kretanja koja se javljaju u inercijalnim referentnim sistemima. Razmotrimo kretanje materijalne tačke u neinercijskom koordinatnom sistemu ako su poznate sile koje djeluju na materijalnu tačku i ako je kretanje neinercijalnog referentnog sistema u odnosu na inercijalni referentni sistem specificirano. U nastavku, inercijalni referentni okvir će se zvati stacionarni okvir, a neinercijalni referentni okvir će se zvati pokretni referentni okvir. Neka je rezultanta aktivnih sila koje djeluju na tačku, i neka je rezultanta reakcije veza; - fiksni koordinatni sistem; - pokretni koordinatni sistem.

Razmotrite kretanje materijalne tačke M(Sl. 11.7), nije kruto povezan sa pokretnim koordinatnim sistemom, ali se kreće u odnosu na njega. U kinematici se ovo kretanje tačke naziva relativno, kretanje tačke u odnosu na fiksni koordinatni sistem naziva se apsolutnim, a kretanje pokretnog koordinatnog sistema naziva se prenosivim.

Osnovni zakon dinamike za apsolutno kretanje tačke Mće izgledati

(11.33)

gdje je apsolutno ubrzanje tačke.

Na osnovu teoreme o sabiranju ubrzanja kinematike (Coriolisov teorem), apsolutno ubrzanje je zbir relativnih, transportnih i Coriolisovih ubrzanja

. (11.34)

Zamjenom (11.34) u (11.33) dobivamo

i nakon prenošenja i unosa nota

(11.35)

Gdje ; vektor se naziva prenosna sila inercije; - Coriolisova sila inercije.

Jednakost (11.35) izražava zakon relativnog kretanja tačke. Posljedično, kretanje točke u neinercijskom referentnom okviru može se smatrati kretanjem u inercijskom okviru, ako broju aktivnih sila i reakcija spajanja koje djeluju na tačku dodamo prijenosne i Coriolisove inercijalne sile.

Sve metode za rješavanje problema dinamike koje smo do sada razmatrali zasnivaju se na jednadžbama koje slijede ili direktno iz Newtonovih zakona, ili iz općih teorema koje su posljedice ovih zakona. Međutim, ovaj put nije jedini. Ispostavilo se da se jednačine kretanja ili ravnotežni uslovi mehaničkog sistema mogu dobiti bazirajući ga na drugim opštim principima, nazvanim principima mehanike, umesto na Newtonovim zakonima. U velikom broju slučajeva, primena ovih principa omogućava, kao što ćemo videti, pronalaženje efikasnijih metoda za rešavanje odgovarajućih problema. Ovo poglavlje će ispitati jedan od opštih principa mehanike, nazvan d'Alambertov princip.

Hajde da imamo sistem koji se sastoji od n materijalne tačke. Odaberimo jednu od tačaka sistema sa masom . Pod utjecajem vanjskih i unutrašnjih sila koje se na nju primjenjuju (koje uključuju i aktivne sile i reakcije spajanja), tačka dobiva određeno ubrzanje u odnosu na inercijski referentni okvir.

Hajde da uvedemo u obzir količinu

ima dimenziju sile. Vektorska veličina jednaka umnošku mase tačke i njenog ubrzanja i usmjerena suprotno od ovog ubrzanja naziva se inercijska sila točke (ponekad i d’Alembertova inercijska sila).

Tada se ispostavlja da kretanje tačke ima sledeće opšte svojstvo: ako u svakom trenutku dodamo silu inercije silama koje stvarno deluju na tačku, onda će rezultujući sistem sila biti uravnotežen, tj. će

.

Ovaj izraz izražava d'Alambertov princip za jednu materijalnu tačku. Lako je vidjeti da je on ekvivalentan drugom Newtonovom zakonu i obrnuto. Zapravo, drugi Newtonov zakon za predmetnu tačku daje . Premještajući pojam ovdje na desnu stranu jednakosti, dolazimo do posljednje relacije.

Ponavljajući gornje rezonovanje u odnosu na svaku od tačaka sistema, dolazimo do sljedećeg rezultata, izražavajući D'Alambertov princip za sistem: ako se u bilo kojem trenutku na svaku tačku sistema primjenjuju odgovarajuće inercijalne sile, pored vanjskih i unutrašnjih sila koje stvarno djeluju na nju, tada će rezultirajući sistem sila biti u ravnoteži i sve statičke jednadžbe se mogu primijenjen na to.

Značaj d'Alamberovog principa leži u činjenici da kada se direktno primenjuju na probleme dinamike, jednačine kretanja sistema se sastavljaju u obliku dobro poznatih jednačina ravnoteže; što čini jedinstven pristup rješavanju problema i obično uvelike pojednostavljuje odgovarajuće proračune. Osim toga, u kombinaciji s principom mogućih pomaka, o kojem će biti riječi u sljedećem poglavlju, d'Alembertov princip nam omogućava da dobijemo novu opštu metodu za rješavanje problema dinamike.

Prilikom primjene d'Alamberovog principa, treba imati na umu da na tačku mehaničkog sistema, čije se kretanje proučava, djeluju samo vanjske i unutrašnje sile i , koje nastaju kao rezultat interakcije tačaka sistem međusobno i sa tijelima koja nisu uključena u sistem; pod uticajem ovih sila, tačke sistema se kreću odgovarajućim ubrzanjima. Sile inercije, o kojima se govori u D'Alembertovom principu, ne djeluju na pokretne tačke (inače bi ove tačke mirovale ili se kretale bez ubrzanja, a tada ne bi postojale same inercijalne sile). Uvođenje inercijalnih sila je samo tehnika koja omogućava sastavljanje dinamičkih jednačina koristeći jednostavnije statičke metode.

Iz statike je poznato da je geometrijski zbir sila u ravnoteži i zbir njihovih momenata u odnosu na bilo koji centar O jednake su nuli, a prema principu očvršćavanja, to vrijedi za sile koje djeluju ne samo na čvrsto tijelo, već i na bilo koji promjenljivi sistem. Onda bi, na osnovu D'Alembertovog principa, trebalo da bude.

D'Alembertov princip nam omogućava da formulišemo probleme dinamike mehaničkih sistema kao probleme statike. U ovom slučaju, dinamičke diferencijalne jednadžbe kretanja dobivaju oblik jednadžbi ravnoteže. Ova metoda se zove kinetostatska metoda .

D'Alambertov princip za materijalnu tačku: « U svakom trenutku, kretanje materijalne tačke, aktivne sile koje na nju stvarno deluju, reakcije veza i sila inercije uslovno primenjena na tačku čine uravnotežen sistem sila.»

Silom inercije tačke naziva se vektorska veličina čija je dimenzija sile jednaka po veličini proizvodu mase tačke i njenog ubrzanja i usmjerena je suprotno vektoru ubrzanja

. (3.38)

Razmatrajući mehanički sistem kao skup materijalnih tačaka, na svaku od kojih, prema D'Alembertovom principu, djeluje uravnoteženi sistem sila, imamo posljedice iz ovog principa primijenjenog na sistem. Glavni vektor i glavni moment u odnosu na bilo koji centar vanjskih sila primijenjenih na sistem i sile inercije svih njegovih tačaka jednaki su nuli:

(3.39)

Ovdje su vanjske sile aktivne sile i reakcije veza.

Glavni vektor sila inercije mehanički sistem jednak je umnošku mase sistema i ubrzanja njegovog centra mase i usmjeren je u smjeru suprotnom od ovog ubrzanja

. (3.40)

Glavni moment inercijskih sila sistema u odnosu na proizvoljni centar O jednaka je vremenskoj derivaciji uzetoj sa suprotnim predznakom njenog ugaonog momenta u odnosu na isti centar

. (3.41)

Za kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose Oz, nađimo glavni moment inercijskih sila u odnosu na ovu osu

. (3.42)

3.8. Elementi analitičke mehanike

Odjeljak „Analitička mehanika“ ispituje opšte principe i analitičke metode za rješavanje problema u mehanici materijalnih sistema.

3.8.1 Moguća kretanja sistema. Klasifikacija

neke veze

Moguća kretanja tačaka
mehaničkog sistema su bilo koja imaginarna, beskonačno mala kretanja dozvoljena vezama nametnutim sistemu u fiksnom trenutku u vremenu. A-priorat, broj stepena slobode Mehanički sistem se naziva brojem njegovih nezavisnih mogućih kretanja.

Pozivaju se veze koje su nametnute sistemu idealan , ako je zbir elementarnih radova njihovih reakcija na bilo koji od mogućih pomaka tačaka sistema jednak nuli

. (3. 43)

Pozivaju se veze za koje su ograničenja koja nameću sačuvana u bilo kojoj poziciji sistema holding . Relacije koje se ne mijenjaju tokom vremena, a čije jednačine ne uključuju eksplicitno vrijeme, nazivaju se stacionarno . Pozivaju se veze koje ograničavaju samo kretanja tačaka u sistemu geometrijski , a granične brzine su kinematička . U nastavku ćemo razmatrati samo geometrijske veze i one kinematičke koje se integracijom mogu svesti na geometrijske.

3.8.2. Princip mogućih pokreta

Za ravnotežu mehaničkog sistema sa držanjem idealnih i stacionarnih veza potrebno je i dovoljno da

zbir elementarnih radova svih aktivnih sila koje djeluju na njega, za sve moguće pomake sistema, bio je jednak nuli

. (3.44)

U projekcijama na koordinatne ose:

. (3.45)

Princip mogućih pomeranja omogućava da se u opštem obliku uspostave uslovi ravnoteže bilo kog mehaničkog sistema, bez razmatranja ravnoteže njegovih pojedinačnih delova. U ovom slučaju se uzimaju u obzir samo aktivne sile koje djeluju na sistem. Nepoznate reakcije idealnih veza nisu uključene u ove uslove. Istovremeno, ovaj princip omogućava određivanje nepoznatih reakcija idealnih veza odbacivanjem ovih veza i uvođenjem njihovih reakcija u broj aktivnih sila. Prilikom odbacivanja veza čije reakcije treba odrediti, sistem dobiva dodatni odgovarajući broj stupnjeva slobode.

Primjer 1 . Pronađite odnos između sila I dizalica, ako se zna da pri svakom okretanju ručke AB = l, šraf WITH produžava za iznos h(Sl. 3.3).

Rješenje

Mogući pokreti mehanizma su okretanje ručke  i pomicanje tereta  h. Uslov da elementarni rad sila bude jednak nuli:

Pl–Ph = 0;

Onda
. Od h 0, onda

3.8.3. Opća jednadžba varijacione dinamike

Razmotrite kretanje sistema koji se sastoji od n bodova. Na njega djeluju aktivne sile i reakcije veza .(k = 1,…,n) Ako sile inercije tačaka dodamo silama koje djeluju
, tada će, prema d’Alembertovom principu, rezultirajući sistem sila biti u ravnoteži i stoga vrijedi izraz napisan na osnovu principa mogućih pomaka (3.44):

. (3.46)

Ako su sve veze idealne, onda je 2. zbir jednak nuli i u projekcijama na koordinatne ose jednakost (3.46) će izgledati ovako:

Posljednja jednakost je opća varijaciona jednačina dinamike u projekcijama na koordinatne ose, koja nam omogućava sastavljanje diferencijalnih jednadžbi kretanja mehaničkog sistema.

Opća varijaciona jednačina dinamike je matematički izraz d'Alembert-Lagrangeov princip: « Kada se sistem kreće, podložan stacionarnim, idealnim, ograničavajućim vezama, u bilo kojem trenutku u vremenu, zbir elementarnih radova svih aktivnih sila primijenjenih na sistem i inercijskih sila na bilo koje moguće kretanje sistema je nula.».

Primjer 2 . Za mehanički sistem (Sl. 3.4) koji se sastoji od tri tijela, odredite ubrzanje opterećenja 1 i napetost kabla 1-2 ako: m 1 = 5m; m 2 = 4m; m 3 = 8m; r 2 = 0,5R 2 ; radijus rotacije bloka 2 i = 1,5r 2. Valjak 3 je kontinuirani homogeni disk.

Rješenje

Opišimo sile koje vrše elementarni rad na mogućem pomaku  s teret 1:

Zapišimo moguća kretanja svih tijela kroz moguće kretanje tereta 1:

Izrazimo linearna i kutna ubrzanja svih tijela kroz željeno ubrzanje opterećenja 1 (odnosi su isti kao i u slučaju mogućih pomaka):

.

Opća varijaciona jednadžba za ovaj problem ima oblik:

Zamjenom prethodno dobijenih izraza za aktivne sile, sile inercije i moguće pomake, nakon jednostavnih transformacija dobijamo

Od  s 0, dakle, izraz u zagradi koji sadrži ubrzanje jednak je nuli A 1 , gdje a 1 = 5g/8,25 = 0,606g.

Da bismo odredili napetost kabela koji drži opterećenje, oslobađamo opterećenje od kabela, zamjenjujući njegovo djelovanje željenom reakcijom . Pod uticajem određenih sila ,i inercijsku silu primijenjenu na teret
on je u ravnoteži. Shodno tome, d’Alembertov princip je primjenjiv na dotično opterećenje (tačku), tj. hajde da to zapišemo
. Odavde
.

3.8.4. Lagrangeova jednadžba 2. vrste

Generalizirane koordinate i generalizirane brzine. Zovu se svi međusobno nezavisni parametri koji na jedinstven način određuju položaj mehaničkog sistema u prostoru generalizovane koordinate . Ove koordinate, označene q 1 ,....q mogu imati bilo koju dimenziju. Konkretno, generalizirane koordinate mogu biti pomaci ili uglovi rotacije.

Za sisteme koji se razmatraju, broj generaliziranih koordinata jednak je broju stupnjeva slobode. Položaj svake tačke sistema je jednoznačna funkcija generaliziranih koordinata

Dakle, kretanje sistema u generalizovanim koordinatama je određeno sledećim zavisnostima:

Prvi izvodi generaliziranih koordinata se nazivaju generalizovane brzine :
.

Generalizovane sile. Izraz za elementarni rad sile o mogućem preseljenju
ima oblik:

.

Za elementarni rad sistema sila pišemo

Koristeći dobijene zavisnosti, ovaj izraz se može napisati kao:

,

gdje je generalizirana sila koja odgovara i th generalizovana koordinata,

. (3.49)

dakle, generalizovana sila koja odgovara i th generalizovana koordinata, je koeficijent varijacije ove koordinate u izrazu zbira elementarnih radova aktivnih sila na mogući pomak sistema . Za izračunavanje generalizovane sile potrebno je informisati sistem o mogućem pomaku, pri čemu se menja samo generalizovana koordinata q i. Koeficijent at
i biće željena generalizovana sila.

Jednačine kretanja sistema u generalizovanim koordinatama. Neka nam bude dat mehanički sistem sa s stepena slobode. Poznavajući sile koje na njega djeluju, potrebno je sastaviti diferencijalne jednadžbe gibanja u generaliziranim koordinatama
. Primijenimo proceduru za sastavljanje diferencijalnih jednačina kretanja sistema - Lagranžove jednačine 2. vrste - po analogiji sa izvođenjem ovih jednačina za slobodnu materijalnu tačku. Na osnovu 2. Newtonovog zakona, pišemo

Hajde da dobijemo analog ovih jednadžbi koristeći zapis za kinetičku energiju materijalne tačke,

Parcijalni izvod kinetičke energije u odnosu na projekciju brzine na osu
jednak projekciji impulsa na ovu osu, tj.

Da bismo dobili potrebne jednačine, izračunavamo derivacije s obzirom na vrijeme:

Rezultirajući sistem jednačina su Lagrangeove jednačine 2. vrste za materijalnu tačku.

Za mehanički sistem predstavljamo Lagrangeove jednačine 2. vrste u obliku jednačina u kojima umjesto projekcija aktivnih sila P x , P y , P z koristiti generalizovane sile Q 1 , Q 2 ,...,Q i i općenito uzimaju u obzir ovisnost kinetičke energije od generaliziranih koordinata.

Lagrangeove jednadžbe 2. vrste za mehanički sistem imaju oblik:

. (3.50)

Mogu se koristiti za proučavanje kretanja bilo kojeg mehaničkog sistema sa geometrijskim, idealnim i ograničavajućim ograničenjima.

Primjer 3 . Za mehanički sistem (slika 3.5), za koji su podaci dati u prethodnom primjeru, kreirajte diferencijalnu jednačinu kretanja koristeći Lagrangeovu jednačinu 2. vrste,

Rješenje

Mehanički sistem ima jedan stepen slobode. Uzmimo linearno kretanje tereta kao generaliziranu koordinatu q 1 = s; generalizovana brzina - . Uzimajući to u obzir, pišemo Lagrangeovu jednačinu 2. vrste

.

Napravimo izraz za kinetičku energiju sistema

.

Izrazimo sve ugaone i linearne brzine kroz generalizovanu brzinu:

Sada dobijamo

Izračunajmo generaliziranu silu sastavljanjem izraza za elementarni rad na mogućem pomaku  s sve aktivne snage. Bez uzimanja u obzir sila trenja, rad u sistemu obavlja samo sila gravitacije tereta 1
Zapišimo generaliziranu silu na  s, kao koeficijent u elementarnom radu Q 1 = 5mg. Sledeće ćemo naći

Konačno, diferencijalna jednačina kretanja sistema će imati oblik:

Ako uzmemo u obzir sistem koji se sastoji od nekoliko materijalnih tačaka, ističući jednu određenu tačku s poznatom masom, onda pod djelovanjem vanjskih i unutarnjih sila primijenjenih na njega, on dobiva određeno ubrzanje u odnosu na inercijski referentni okvir. Među takvim silama mogu postojati i aktivne sile i reakcije spajanja.

Inercijalna sila tačke je vektorska veličina koja je po veličini jednaka proizvodu mase tačke i njenog ubrzanja. Ova veličina se ponekad naziva d'Alembertovom inercijskom silom; ona je usmjerena suprotno od ubrzanja. U ovom slučaju se otkriva sljedeće svojstvo pokretne tačke: ako u svakom trenutku dodamo silu inercije silama koje stvarno djeluju na tačku, tada će rezultirajući sistem sila biti uravnotežen. Ovako možemo formulisati d'Alembertov princip za jednu materijalnu tačku. Ova izjava je u potpunosti u skladu sa drugim Newtonovim zakonom.

D'Alembertovi principi za sistem

Ako ponovimo sva rezonovanja za svaku tačku u sistemu, oni dovode do sljedećeg zaključka, koji izražava d'Alambertov princip formulisan za sistem: ako u bilo kom trenutku primenimo na svaku od tačaka u sistemu, dodatno na stvarno djelujuće vanjske i unutrašnje sile, tada će ovaj sistem biti u ravnoteži, pa se na njega mogu primijeniti sve jednačine koje se koriste u statici.

Ako primijenimo d'Alambertov princip za rješavanje problema dinamike, onda se jednačine kretanja sistema mogu sastaviti u obliku nama poznatih jednačina ravnoteže. Ovaj princip uvelike pojednostavljuje proračune i čini pristup rješavanju problema ujednačenim.

Primjena d'Alamberovog principa

Treba uzeti u obzir da na pokretnu tačku u mehaničkom sistemu djeluju samo vanjske i unutrašnje sile, koje nastaju kao rezultat interakcije tačaka jedna s drugom, kao i sa tijelima koja nisu uključena u ovaj sistem. Pod uticajem svih ovih sila tačke se kreću određenim ubrzanjima. Inercijalne sile ne djeluju na pokretne tačke, inače bi se kretale bez ubrzanja ili mirovale.

Inercijalne sile se uvode samo da bi se sastavljale dinamičke jednadžbe koristeći jednostavnije i pogodnije statičke metode. Takođe se uzima u obzir da je geometrijski zbir unutrašnjih sila i zbir njihovih momenata jednak nuli. Upotreba jednačina koje proizilaze iz d'Alamberovog principa olakšava proces rješavanja problema, jer ove jednačine više ne sadrže unutrašnje sile.