Izvod funkcije y x lnx je jednak. Derivat prirodnog logaritma i logaritma prema bazi a

Dokaz i izvođenje formula za izvod prirodnog logaritma i logaritma u bazi a. Primjeri izračunavanja izvedenica od ln 2x, ln 3x i ln nx. Dokaz formule za izvod logaritma n-tog reda metodom matematičke indukcije.

Izvođenje formula za izvode prirodnog logaritma i logaritma u bazi a

Derivat prirodnog logaritma od x jednak je jedinici podijeljenoj sa x:
(1) (lnx)′ =.

Derivat logaritma prema bazi a jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom x pomnoženom prirodnim logaritmom a:
(2) (log x)′ =.

Dokaz

Neka postoji neki pozitivan broj koji nije jednak jednom. Razmotrimo funkciju koja ovisi o varijabli x, koja je osnovni logaritam:
.
Ova funkcija je definirana sa . Nađimo njegovu derivaciju u odnosu na x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Hajde da transformišemo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Da bismo to učinili, moramo znati sljedeće činjenice:
ALI) Svojstva logaritma. Potrebne su nam sljedeće formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kontinuitet logaritma i svojstvo granica za kontinuiranu funkciju:
(7) .
Ovdje je neka funkcija koja ima granicu i ova granica je pozitivna.
AT) Značenje druge divne granice:
(8) .

Ove činjenice primjenjujemo do naših granica. Prvo transformiramo algebarski izraz
.
Da bismo to učinili, primjenjujemo svojstva (4) i (5).

.

Koristimo svojstvo (7) i drugu izuzetnu granicu (8):
.

I na kraju, primijenite svojstvo (6):
.
osnovni logaritam e pozvao prirodni logaritam. Označava se ovako:
.
Onda ;
.

Tako smo dobili formulu (2) za izvod logaritma.

Derivat prirodnog logaritma

Još jednom ispisujemo formulu za izvod logaritma u bazi a:
.
Ova formula ima najjednostavniji oblik za prirodni logaritam, za koji , . Onda
(1) .

Zbog ove jednostavnosti, prirodni logaritam se vrlo široko koristi u računanju i drugim područjima matematike koja se odnose na diferencijalni račun. Logaritamske funkcije sa drugim bazama mogu se izraziti prirodnim logaritmom koristeći svojstvo (6):
.

Osnovni izvod logaritma može se naći iz formule (1) ako se konstanta izuzme iz znaka diferencijacije:
.

Drugi načini dokazivanja derivacije logaritma

Ovdje pretpostavljamo da znamo formulu za izvod eksponenta:
(9) .
Tada možemo izvesti formulu za izvod prirodnog logaritma, s obzirom da je logaritam inverzan od eksponenta.

Dokažimo formulu za izvod prirodnog logaritma, primjenom formule za izvod inverzne funkcije:
.
U našem slučaju. Inverz od prirodnog logaritma je eksponent:
.
Njegov izvod je određen formulom (9). Varijable se mogu označiti bilo kojim slovom. U formuli (9) zamjenjujemo varijablu x sa y:
.
Jer, onda
.
Onda
.
Formula je dokazana.

Sada dokazujemo formulu za izvod prirodnog logaritma koristeći pravila za diferenciranje složene funkcije. Budući da su funkcije i inverzne jedna drugoj, onda
.
Izdiferencirajte ovu jednačinu s obzirom na varijablu x:
(10) .
Derivat od x je jednak jedan:
.
Primjenjujemo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije:
.
Evo. Zamijenite u (10):
.
Odavde
.

Primjer

Pronađite derivate od u 2x, U 3x i ln nx.

Rješenje

Originalne funkcije imaju sličan oblik. Stoga ćemo pronaći derivaciju funkcije y = log nx. Zatim zamjenjujemo n = 2 i n = 3. I, tako, dobijamo formule za derivate od U 2x i U 3x .

Dakle, tražimo derivaciju funkcije
y = log nx .
Predstavimo ovu funkciju kao složenu funkciju koja se sastoji od dvije funkcije:
1) Varijabilne zavisne funkcije : ;
2) Varijabilne zavisne funkcije : .
Tada se originalna funkcija sastoji od funkcija i:
.

Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu x:
.
Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu:
.
Primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije.
.
Evo zamenili smo.

Tako smo pronašli:
(11) .
Vidimo da derivacija ne zavisi od n. Ovaj rezultat je sasvim prirodan ako transformiramo originalnu funkciju koristeći formulu logaritma proizvoda:
.
- je konstanta. Njegov izvod je nula. Tada, prema pravilu diferencijacije sume, imamo:
.

Odgovori

; ; .

Derivat logaritma po modulu x

Nađimo izvod druge vrlo važne funkcije - prirodnog logaritma x modula:
(12) .

Hajde da razmotrimo slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
.
Njegov izvod je određen formulom (1):
.

Sada razmotrite slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
,
gdje .
Ali smo također pronašli derivaciju ove funkcije u gornjem primjeru. Ne zavisi od n i jednako je
.
Onda
.

Kombiniramo ova dva slučaja u jednu formulu:
.

Prema tome, za logaritam na osnovu a imamo:
.

Derivati ​​prirodnog logaritma višeg reda

Razmotrite funkciju
.
Pronašli smo njen derivat prvog reda:
(13) .

Nađimo izvod drugog reda:
.
Nađimo derivat trećeg reda:
.
Nađimo derivat četvrtog reda:
.

Može se vidjeti da izvod n-tog reda ima oblik:
(14) .
Dokažimo to matematičkom indukcijom.

Dokaz

Zamijenimo vrijednost n = 1 u formulu (14):
.
Budući da , tada za n = 1 , formula (14) je važeća.

Pretpostavimo da je formula (14) zadovoljena za n = k. Dokažimo da iz ovoga slijedi da formula vrijedi za n = k + 1 .

Zaista, za n = k imamo:
.
Diferenciraj u odnosu na x:

.
pa smo dobili:
.
Ova formula se poklapa sa formulom (14) za n = k + 1 . Dakle, iz pretpostavke da formula (14) vrijedi za n = k, slijedi da formula (14) vrijedi za n = k + 1 .

Prema tome, formula (14), za izvod n-tog reda, vrijedi za bilo koje n .

Izvodi višeg reda logaritma prema bazi a

Da biste pronašli n-ti izvod osnovnog logaritma a , morate ga izraziti prirodnim logaritmom:
.
Primjenom formule (14) nalazimo n-ti izvod:
.

Definicija. Neka je funkcija \(y = f(x) \) definirana u nekom intervalu koji sadrži tačku \(x_0 \) unutra. Povećajmo \(\Delta x \) na argument kako ne bismo napustili ovaj interval. Pronađite odgovarajući prirast funkcije \(\Delta y \) (pri prelasku iz tačke \(x_0 \) u tačku \(x_0 + \Delta x \)) i sastavite relaciju \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Ako postoji granica ove relacije na \(\Delta x \rightarrow 0 \), tada se navedena granica naziva derivirajuća funkcija\(y=f(x) \) u tački \(x_0 \) i označimo \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y se često koristi za označavanje izvoda. Imajte na umu da je y" = f(x) nova funkcija, ali prirodno povezana sa funkcijom y = f(x), definiranom u svim točkama x u kojima postoji gornja granica. Ova funkcija se zove ovako: izvod funkcije y \u003d f (x).

Geometrijsko značenje izvedenice sastoji se od sljedećeg. Ako se tangenta koja nije paralelna y osi može nacrtati na graf funkcije y = f (x) u tački sa apscisom x = a, tada f (a) izražava nagib tangente:
\(k = f"(a)\)

Pošto je \(k = tg(a) \), jednakost \(f"(a) = tg(a) \) je tačna.

A sada tumačimo definiciju derivacije u terminima približnih jednakosti. Neka funkcija \(y = f(x) \) ima izvod u određenoj tački \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znači da je blizu tačke x približna jednakost \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), tj. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Smisleno značenje dobijene približne jednakosti je sljedeće: prirast funkcije je “gotovo proporcionalan” prirastu argumenta, a koeficijent proporcionalnosti je vrijednost izvoda u datoj tački x. Na primjer, za funkciju \(y = x^2 \) vrijedi približna jednakost \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Ako pažljivo analiziramo definiciju derivacije, otkrićemo da ona sadrži algoritam za njeno pronalaženje.

Hajde da to formulišemo.

Kako pronaći izvod funkcije y \u003d f (x)?

1. Popravi vrijednost \(x \), pronađi \(f(x) \)
2. Povećajte \(x \) argument \(\Delta x \), pomaknite se na novu tačku \(x+ \Delta x \), pronađite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Pronađite prirast funkcije: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Sastavite relaciju \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Izračunajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ova granica je derivacija funkcije na x.

Ako funkcija y = f(x) ima izvod u tački x, onda se naziva diferencijabilna u tački x. Poziva se postupak za pronalaženje derivacije funkcije y = f (x). diferencijaciju funkcije y = f(x).

Razgovarajmo o sljedećem pitanju: kako su povezani kontinuitet i diferencijabilnost funkcije u nekoj tački?

Neka je funkcija y = f(x) diferencijabilna u tački x. Tada se tangenta može povući na graf funkcije u tački M (x; f (x)) i, podsjetimo, nagib tangente je jednak f "(x). Takav graf se ne može "lomiti" u tačka M, tj. funkcija mora biti kontinuirana na x.

Bilo je to obrazloženje "na prste". Hajde da iznesemo rigorozniji argument. Ako je funkcija y = f(x) diferencijabilna u tački x, tada vrijedi približna jednakost \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) nula, tada \(\Delta y \ ) će također težiti nuli, a to je uvjet za kontinuitet funkcije u tački.

dakle, ako je funkcija diferencijabilna u tački x, tada je i u toj tački kontinuirana.

Obratno nije tačno. Na primjer: funkcija y = |x| je kontinuirano svuda, posebno u tački x = 0, ali tangenta na graf funkcije u "tački spoja" (0; 0) ne postoji. Ako je u nekom trenutku nemoguće nacrtati tangentu na graf funkcije, tada nema izvoda u ovoj tački.

Još jedan primjer. Funkcija \(y=\sqrt(x) \) je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, uključujući u tački x = 0. A tangenta na graf funkcije postoji u bilo kojoj tački, uključujući i tačku x = 0 Ali u ovoj tački tangenta se poklapa sa y-osom, odnosno okomita je na osu apscise, njena jednadžba ima oblik x = 0. Ne postoji nagib za takvu pravu liniju, što znači da je \ ( f "(0) \) također ne postoji

Dakle, upoznali smo se sa novim svojstvom funkcije - diferencijabilnošću. Kako možete reći da li se funkcija može razlikovati od grafa funkcije?

Odgovor je zapravo dat gore. Ako se u nekom trenutku može povući tangenta na graf funkcije koja nije okomita na x-osu, tada je funkcija u ovom trenutku diferencibilna. Ako u nekom trenutku tangenta na graf funkcije ne postoji ili je okomita na x-osu, tada funkcija nije diferencibilna.

Pravila diferencijacije

Operacija pronalaženja derivacije se zove diferencijaciju. Prilikom izvođenja ove operacije često morate raditi s količnikima, zbrojima, produktima funkcija, kao i sa "funkcijama funkcija", odnosno složenim funkcijama. Na osnovu definicije derivacije, možemo izvesti pravila diferencijacije koja olakšavaju ovaj rad. Ako je C konstantan broj i f=f(x), g=g(x) su neke diferencibilne funkcije, onda je sljedeće istinito pravila diferencijacije:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \desno) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Izvod složene funkcije:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tablica izvoda nekih funkcija

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema nalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija po definiciji derivata kao granica odnosa inkrementa prema inkrementu argumenta pojavila se tabela derivata i precizno definisana pravila diferencijacije. Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) bili su prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata.

Stoga, u naše vrijeme, da bismo pronašli izvod bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već je potrebno samo koristiti tablicu izvedenica i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz ispod znaka poteza razbiti jednostavne funkcije i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Dalje, izvode elementarnih funkcija nalazimo u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Tablica derivacija i pravila diferencijacije date su nakon prva dva primjera.

Primjer 1 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod "X" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i nalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Diferencirati kao derivaciju sume, u kojoj je drugi član sa konstantnim faktorom, može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako i dalje postoje pitanja odakle nešto dolazi, ona po pravilu postaju jasni nakon čitanja tablice izvedenica i najjednostavnijih pravila diferencijacije. Idemo do njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek nula. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, trebate pretvoriti nekvadratne korijene u stepen.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratnog korijena
6. Sinusni derivat
7. Kosinusni derivat
8. Tangentni izvod
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat arc tangente
13. Derivat inverzne tangente
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. derivacija količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački , a zatim u istoj točki funkcije

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju za konstantu, onda su njihovi derivati, tj.

Pravilo 2Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj tački , onda je njihov proizvod također diferencibilan u istoj točki

i

one. derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbiru proizvoda svake od ovih funkcija i izvoda druge.

Posljedica 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Posljedica 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbiru proizvoda izvoda svakog od faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku i , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciran.u/v , i

one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojilac razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojioca .

Gdje pogledati na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja izvoda proizvoda i količnika u realnim problemima, uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa više primjera o ovim izvodnicama ima u članku."Derivat proizvoda i količnika " .

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegov izvod je jednak nuli, a u slučaju konstantnog faktora uzet je iz predznaka izvoda. Ovo je tipična greška koja se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako prosječan student riješi nekoliko jedno-dvokomponentnih primjera, prosječan student više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, pri čemu u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i stoga će cijeli član biti jednak nuli (takav slučaj je analiziran u primjeru 10) .

Druga česta greška je mehaničko rješenje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećeno posebnom članku. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnike za novi Windows Akcije sa moćima i korijenima i Radnje sa razlomcima.

Ako tražite rješenja za derivate s potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda onda prati lekciju" Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima ".

Ako imate zadatak kao , onda imaš posao "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član sa predznakom minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "x" se pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće vrijednosti derivata:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: derivacija količnika dvije funkcije jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika između umnožaka nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo i da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za takve probleme u kojima morate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i stupnjeva, kao što je npr. onda dobrodosli na cas "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima".

Ako trebate saznati više o izvodima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda imate lekciju "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Primjer 5 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, sa čijom smo se derivacijom upoznali u tabeli derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Primjer 6 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojiocu, pomnožite brojilac i imenilac sa .