Evo tabele sažetka za praktičnost i jasnoću prilikom proučavanja teme.

Konstantnoy=C Funkcija snage y = x p (x p)" = p x p - 1	Eksponencijalna funkcijay = x (a x)" = a x ln a Konkretno, kadaa = eimamo y = e x (e x)" = e x
logaritamska funkcija (log a x) " = 1 x ln a Konkretno, kadaa = eimamo y = log x (ln x)" = 1 x	Trigonometrijske funkcije (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Inverzne trigonometrijske funkcije (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hiperboličke funkcije (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Hajde da analiziramo kako su dobijene formule navedene tabele, odnosno dokazaćemo izvođenje formula za izvode za svaku vrstu funkcije.

Derivat konstante

Dokaz 1

Da bismo izveli ovu formulu, uzimamo kao osnovu definiciju derivacije funkcije u tački. Koristimo x 0 = x, gdje x poprima vrijednost bilo kojeg realnog broja, ili, drugim riječima, x je bilo koji broj iz domene funkcije f (x) = C . Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta kao ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Imajte na umu da izraz 0 ∆ x spada pod granični znak. To nije nesigurnost “nule podijeljene sa nulom”, jer brojnik ne sadrži beskonačno malu vrijednost, već nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije je uvijek nula.

Dakle, derivacija konstantne funkcije f (x) = C jednaka je nuli u cijelom domenu definicije.

Primjer 1

Zadate konstantne funkcije:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Rješenje

Hajde da opišemo date uslove. U prvoj funkciji vidimo izvod prirodnog broja 3. U sljedećem primjeru, trebate uzeti derivat od a, gdje a- bilo koji pravi broj. Treći primjer nam daje derivaciju iracionalnog broja 4. 13 7 22 , četvrti - derivacija nule (nula je cijeli broj). Konačno, u petom slučaju imamo izvod racionalnog razlomka - 8 7 .

odgovor: derivacije datih funkcija su nula za bilo koju realnu x(preko cijelog domena definicije)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivat funkcije moći

Okrećemo se funkciji stepena i formuli za njen izvod, koja ima oblik: (x p) " = p x p - 1, gdje je eksponent str je bilo koji realan broj.

Dokaz 2

Evo dokaza formule kada je eksponent prirodan broj: p = 1 , 2 , 3 , …

Ponovo se oslanjamo na definiciju derivata. Napišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Da bismo pojednostavili izraz u brojiocu, koristimo Newtonovu binomnu formulu:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Na ovaj način:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Dakle, dokazali smo formulu za izvod funkcije stepena kada je eksponent prirodan broj.

Dokaz 3

Da dam dokaz za slučaj kada p- bilo koji realan broj osim nule, koristimo logaritamski izvod (ovdje treba razumjeti razliku od izvoda logaritamske funkcije). Za potpunije razumijevanje poželjno je proučiti izvod logaritamske funkcije i dodatno se pozabaviti izvodom implicitno zadane funkcije i izvodom kompleksne funkcije.

Razmotrimo dva slučaja: kada x pozitivno i kada x su negativni.

Dakle, x > 0 . Tada je: x p > 0 . Uzimamo logaritam jednakosti y \u003d x p na bazu e i primjenjujemo svojstvo logaritma:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

U ovoj fazi je dobijena implicitno definirana funkcija. Definirajmo njegovu derivaciju:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Sada razmatramo slučaj kada x- negativan broj.

Ako indikator str je paran broj, tada je funkcija stepena također definirana za x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Zatim xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ako a str je neparan broj, tada je funkcija stepena definirana za x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Posljednji prijelaz je moguć jer ako str je onda neparan broj p - 1 bilo paran broj ili nula (za p = 1), dakle, za negativan x jednakost (- x) p - 1 = x p - 1 je tačna.

Dakle, dokazali smo formulu za izvod funkcije stepena za bilo koje realno p.

Primjer 2

Zadate funkcije:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Odredite njihove derivate.

Rješenje

Dio datih funkcija transformiramo u tabelarni oblik y = x p , na osnovu svojstava stepena, a zatim koristimo formulu:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivat eksponencijalne funkcije

Dokaz 4

Izvodimo formulu za izvod, na osnovu definicije:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Imamo neizvjesnost. Da bismo ga proširili, pišemo novu varijablu z = a ∆ x - 1 (z → 0 kao ∆ x → 0). U ovom slučaju a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Za posljednji prijelaz koristi se formula za prijelaz na novu bazu logaritma.

Izvršimo zamjenu u originalnom limitu:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Prisjetite se druge divne granice i tada ćemo dobiti formulu za izvod eksponencijalne funkcije:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Primjer 3

Date su eksponencijalne funkcije:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Moramo pronaći njihove derivate.

Rješenje

Koristimo formulu za izvod eksponencijalne funkcije i svojstva logaritma:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivat logaritamske funkcije

Dokaz 5

Predstavljamo dokaz formule za izvod logaritamske funkcije za bilo koje x u domenu definicije i bilo koje važeće vrijednosti osnove a logaritma. Na osnovu definicije derivacije dobijamo:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Iz navedenog lanca jednakosti može se vidjeti da su transformacije izgrađene na osnovu svojstva logaritma. Jednakost lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e je tačna u skladu sa drugom značajnom granicom.

Primjer 4

Logaritamske funkcije su date:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Potrebno je izračunati njihove derivate.

Rješenje

Primijenimo izvedenu formulu:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" = 1 x ln e = 1 x

Dakle, izvod prirodnog logaritma je jedan podijeljen sa x.

Derivati ​​trigonometrijskih funkcija

Dokaz 6

Koristimo neke trigonometrijske formule i prvu divnu granicu da izvedemo formulu za izvod trigonometrijske funkcije.

Prema definiciji derivacije sinusne funkcije, dobijamo:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula za razliku sinusa omogućit će nam da izvršimo sljedeće radnje:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Konačno, koristimo prvu divnu granicu:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Dakle, derivacija funkcije sin x bice cos x.

Na isti način ćemo dokazati i formulu za kosinusni derivat:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

One. derivacija funkcije cos x će biti – sin x.

Izvodimo formule za izvode tangente i kotangensa na osnovu pravila diferencijacije:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivati ​​inverznih trigonometrijskih funkcija

Odjeljak o izvodu inverznih funkcija pruža opsežne informacije o dokazu formula za izvode arksinusa, arkosinusa, arktangensa i arkkotangensa, tako da ovdje nećemo duplicirati materijal.

Derivati ​​hiperboličkih funkcija

Dokaz 7

Možemo izvesti formule za izvode hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa koristeći pravilo diferencijacije i formulu za izvod eksponencijalne funkcije:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Dokaz i izvođenje formula za izvod eksponencijala (e na stepen x) i eksponencijalne funkcije (a na stepen x). Primjeri izračunavanja derivata e^2x, e^3x i e^nx. Formule za derivate višeg reda.

Sadržaj

Vidi također: Eksponencijalna funkcija - svojstva, formule, graf
Eksponent, e na stepen x - svojstva, formule, graf

Osnovne formule

Izvod eksponenta je jednak samom eksponentu (izvod e na stepen x je jednak e na stepen x):
(1) (e x )′ = e x.

Izvod eksponencijalne funkcije sa bazom stepena a jednak je samoj funkciji, pomnoženoj prirodnim logaritmom a:
(2) .

Eksponent je eksponencijalna funkcija čija je baza eksponenta jednaka broju e, što je sljedeća granica:
.
Ovdje to može biti prirodan ili realan broj. Zatim, izvodimo formulu (1) za izvod eksponenta.

Derivacija formule za izvod eksponenta

Razmotrimo eksponent, e na stepen x:
y = e x .
Ova funkcija je definirana za sve. Nađimo njegovu derivaciju u odnosu na x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Hajde da transformišemo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Za ovo su nam potrebne sljedeće činjenice:
ALI) Svojstvo eksponenta:
(4) ;
B) Svojstvo logaritma:
(5) ;
AT) Kontinuitet logaritma i svojstvo granica za kontinuiranu funkciju:
(6) .
Ovdje je neka funkcija koja ima granicu i ova granica je pozitivna.
G) Značenje druge divne granice:
(7) .

Ove činjenice primjenjujemo do naše granice (3). Koristimo imovinu (4):
;
.

Hajde da napravimo zamenu. Onda ; .
Zbog kontinuiteta eksponenta,
.
Stoga, na , . Kao rezultat, dobijamo:
.

Hajde da napravimo zamenu. Onda . U , . i imamo:
.

Primjenjujemo svojstvo logaritma (5):
. Onda
.

Primijenimo svojstvo (6). Pošto postoji pozitivna granica i logaritam je kontinuiran, onda:
.
Ovdje smo također koristili drugu izuzetnu granicu (7). Onda
.

Tako smo dobili formulu (1) za izvod eksponenta.

Derivacija formule za izvod eksponencijalne funkcije

Sada izvodimo formulu (2) za izvod eksponencijalne funkcije sa bazom stepena a. Vjerujemo da i . Zatim eksponencijalna funkcija
(8)
Definisano za sve.

Transformirajmo formulu (8). Da bismo to učinili, koristimo svojstva eksponencijalne funkcije i logaritma.
;
.
Dakle, formulu (8) smo transformisali u sledeći oblik:
.

Derivati ​​višeg reda od e na stepen x

Sada pronađimo derivate viših redova. Pogledajmo prvo eksponent:
(14) .
(1) .

Vidimo da je derivacija funkcije (14) jednaka samoj funkciji (14). Diferencirajući (1) dobijamo derivate drugog i trećeg reda:
;
.

Ovo pokazuje da je izvod n-tog reda također jednak originalnoj funkciji:
.

Izvodi višeg reda eksponencijalne funkcije

Sada razmotrite eksponencijalnu funkciju sa osnovom stepena a:
.
Pronašli smo njen derivat prvog reda:
(15) .

Diferencirajući (15) dobijamo derivate drugog i trećeg reda:
;
.

Vidimo da svaka diferencijacija vodi do množenja originalne funkcije sa . Dakle, n-ti izvod ima sljedeći oblik:
.

Vidi također:

složene derivate. Logaritamski izvod.
Derivat eksponencijalne funkcije

Nastavljamo da poboljšavamo našu tehniku ​​diferencijacije. U ovoj lekciji ćemo konsolidirati obrađeni materijal, razmotriti složenije derivacije, a također ćemo se upoznati s novim trikovima i trikovima za pronalaženje izvoda, posebno s logaritamskim izvodom.

Oni čitaoci koji imaju nizak nivo pripreme trebali bi pogledati članak Kako pronaći derivat? Primjeri rješenjašto će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivat kompleksne funkcije, razumjeti i riješiti sve primjere koje sam naveo. Ova lekcija je logično treća po redu, a nakon što je savladate, pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je držati se stava „Gdje drugdje? Da, i dosta je! ”, Budući da su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnih testova i često se nalaze u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. Na lekciji Derivat kompleksne funkcije razmotrili smo niz primjera sa detaljnim komentarima. U toku proučavanja diferencijalnog računa i drugih dijelova matematičke analize, morat ćete vrlo često razlikovati, a nije uvijek zgodno (i nije uvijek potrebno) detaljno slikati primjere. Stoga ćemo vježbati u usmenom pronalaženju izvedenica. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati ​​najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferencijacije složene funkcije :

Prilikom izučavanja drugih matan tema u budućnosti, ovako detaljan zapis najčešće nije potreban, pretpostavlja se da student može pronaći slične derivate na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutru zazvonio telefon i prijatan glas upitao: "Kolika je derivacija tangenta dva x?". Ovo bi trebalo da bude praćeno skoro trenutnim i ljubaznim odgovorom: .

Prvi primjer će odmah biti namijenjen za samostalno rješenje.

Primjer 1

Pronađite sljedeće izvedenice usmeno, u jednom koraku, na primjer: . Da biste dovršili zadatak, trebate samo koristiti tablica izvoda elementarnih funkcija(ako se već nije sjetila). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem da ponovo pročitate lekciju Derivat kompleksne funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složeni derivati

Nakon preliminarne artiljerijske pripreme, primjeri s 3-4-5 dodataka funkcija bit će manje zastrašujući. Možda će se sljedeća dva primjera nekom učiniti komplikovana, ali ako se razumiju (neko pati), onda će gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu izgledati kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već napomenuto, pri pronalaženju derivacije kompleksne funkcije, prije svega, to je neophodno u pravu RAZUMIJETE INVESTICIJE. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas na koristan trik: uzimamo eksperimentalnu vrijednost "x", na primjer, i pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) zamijeniti ovu vrijednost u "užasan izraz".

1) Prvo trebamo izračunati izraz, tako da je zbir najdublje ugniježđenje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim izrežite kosinus na kocku:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferencijaciju složenih funkcija primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema unutrašnjoj. Odlučujemo:

Izgleda da nema greške...

(1) Uzimamo derivaciju kvadratnog korijena.

(2) Izvod razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivat trojke je jednak nuli. U drugom članu uzimamo derivaciju stepena (kocke).

(4) Uzimamo derivaciju kosinusa.

(5) Uzimamo derivaciju logaritma.

(6) Konačno, uzimamo derivaciju najdubljeg gniježđenja.

Možda izgleda preteško, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, kolekciju Kuznjecova i cijenit ćete sav šarm i jednostavnost analiziranog derivata. Primetio sam da vole da daju sličnu stvar na ispitu da bi proverili da li student razume kako da pronađe izvod kompleksne funkcije, ili ne razume.

Sljedeći primjer je za samostalno rješenje.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da pređete na nešto kompaktnije i ljepše.
Nije neuobičajeno da se u primjeru navede proizvod ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju proizvoda tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo, pogledamo, ali je li moguće pretvoriti proizvod tri funkcije u proizvod dvije funkcije? Na primjer, ako imamo dva polinoma u proizvodu, onda bismo mogli otvoriti zagrade. Ali u ovom primjeru, sve funkcije su različite: stepen, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima je neophodno sukcesivno primijeniti pravilo diferencijacije proizvoda dvaput

Trik je u tome što za "y" označavamo proizvod dvije funkcije: , a za "ve" - ​​logaritam:. Zašto se to može uraditi? Je li - ovo nije proizvod dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplikovano:

Sada preostaje primijeniti pravilo po drugi put u zagradu:

Još uvijek možete izopačiti i izvaditi nešto iz zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor u ovom obliku - bit će lakše provjeriti.

Gornji primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno ekvivalentna.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje, u uzorku se rješava na prvi način.

Razmotrimo slične primjere sa razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići na nekoliko načina:

ili ovako:

Ali rješenje se može zapisati kompaktnije ako, prije svega, koristimo pravilo diferencijacije kvocijenta , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako se ostavi u ovom obliku, neće biti greška. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt, ali da li je moguće pojednostaviti odgovor? Dovodimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i osloboditi se trospratne frakcije:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od greške ne pri pronalaženju derivata, već prilikom banalnih školskih transformacija. S druge strane, nastavnici često odbacuju zadatak i traže da se „spomene” izvedenica.

Jednostavniji primjer za "uradi sam" rješenje:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo da savladavamo tehnike za pronalaženje derivacije, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se za diferencijaciju predlaže "strašan" logaritam

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo diferencijacije složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah uranja u malodušnost - morate uzeti neugodnu derivaciju razlomnog stepena, a zatim i iz razlomka.

Zbog toga prije kako uzeti derivaciju "fensi" logaritma, prethodno je pojednostavljen pomoću dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule upravo tamo. Ako nemate bilježnicu, nacrtajte je na komadu papira, jer će se ostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje se može formulirati ovako:

Transformirajmo funkciju:

Nalazimo derivat:

Preliminarna transformacija same funkcije uvelike je pojednostavila rješenje. Stoga, kada se sličan logaritam predlaže za diferencijaciju, uvijek je preporučljivo da ga „razbijete“.

A sada nekoliko jednostavnih primjera za samostalno rješenje:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori na kraju lekcije.

logaritamski izvod

Ako je derivat logaritama tako slatka muzika, onda se postavlja pitanje da li je u nekim slučajevima moguće organizovati logaritam veštački? Može! Čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Slične primjere smo nedavno razmatrali. sta da radim? Može se sukcesivno primijeniti pravilo diferencijacije količnika, a zatim i pravilo diferencijacije proizvoda. Nedostatak ove metode je što dobijate ogroman trospratni dio, s kojim uopće ne želite da se bavite.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamski izvod. Logaritmi se mogu umjetno organizirati tako što će se "okačiti" na obje strane:

Bilješka : jer funkcija može uzeti negativne vrijednosti, tada, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji nestaju kao rezultat diferencijacije. Međutim, trenutni dizajn je također prihvatljiv, gdje je po defaultu kompleks vrijednosti. Ali ako sa svom strogošću, onda je u oba slučaja potrebno rezervisati to.

Sada morate što više „razbiti“ logaritam desne strane (formule pred vašim očima?). Opisaću ovaj proces veoma detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo potezom:

Izvedba desne strane je prilično jednostavna, neću je komentirati, jer ako čitate ovaj tekst, trebali biste moći s povjerenjem da se nosite s njom.

Šta je sa lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: “Zašto, ima li jedno slovo “y” ispod logaritma?”.

Činjenica je da ovo "jedno slovo y" - JE FUNKCIJA ZA SEBI(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivat funkcije implicitno specificirane). Dakle, logaritam je eksterna funkcija, a "y" je interna funkcija. I koristimo pravilo diferencijacije složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao magijom, imamo izvedenicu. Nadalje, prema pravilu proporcije, bacamo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada se sjetimo o kakvoj smo "igri"-funkciji govorili prilikom razlikovanja? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je "uradi sam" primjer. Uzorak dizajna primjera ove vrste na kraju lekcije.

Uz pomoć logaritamskog izvoda bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su tamo funkcije jednostavnije i, možda, upotreba logaritamskog izvoda nije baš opravdana.

Derivat eksponencijalne funkcije

Ovu funkciju još nismo razmatrali. Eksponencijalna funkcija je funkcija koja ima a stepen i baza zavise od "x". Klasičan primjer koji će vam biti dat u bilo kojem udžbeniku ili na bilo kojem predavanju:

Kako pronaći izvod eksponencijalne funkcije?

Potrebno je koristiti upravo razmatranu tehniku ​​- logaritamski izvod. Objesite logaritme na obje strane:

U pravilu, stepen se vadi ispod logaritma na desnoj strani:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo proizvod dvije funkcije, koje će se razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo derivaciju, za to stavljamo oba dijela ispod poteza:

Sljedeći koraci su laki:

konačno:

Ako neka transformacija nije sasvim jasna, molimo ponovo pažljivo pročitajte objašnjenja primjera 11.

U praktičnim zadacima, eksponencijalna funkcija će uvijek biti složenija od razmatranog primjera predavanja.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamski izvod.

Na desnoj strani imamo konstantu i proizvod dva faktora - "x" i "logaritam logaritma od x" (drugi logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Prilikom diferenciranja konstante, kao što se sjećamo, bolje je odmah izvaditi iz predznaka derivacije kako ne bi smetala; i, naravno, primijeniti poznato pravilo :

Vrlo je lako zapamtiti.

Pa, nećemo ići daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Što je inverzno od eksponencijalne funkcije? logaritam:

U našem slučaju, baza je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam sa osnovom) naziva se „prirodnim“ i za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Šta je jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponent i prirodni logaritam su funkcije koje su jedinstveno jednostavne u smislu derivacije. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Koja pravila? Opet novi mandat?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivacije.

Samo i sve. Koja je druga riječ za ovaj proces? Nije proizvodnovanje... Diferencijal matematike se naziva samim prirastom funkcije at. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka, ili lakše.

Primjeri.

Pronađite derivate funkcija:

1. u tački;
2. u tački;
3. u tački;
4. u tački.

rješenja:

1. (izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvodimo novu funkciju i nalazimo njen prirast:

Derivat:

primjeri:

1. Pronađite derivate funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li već zaboravili šta je to?).

Pa gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo našu funkciju dovesti na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristimo jednostavno pravilo: . onda:

Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Desilo se?

Evo, uvjerite se sami:

Ispostavilo se da je formula vrlo slična derivatu eksponenta: kako je bilo, tako je ostalo, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite derivate funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se napisati u jednostavnijem obliku. Stoga je u odgovoru ostavljeno u ovom obliku.

Imajte na umu da je ovdje količnik dvije funkcije, tako da primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferencijacije:

U ovom primjeru, proizvod dvije funkcije:

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljan iz logaritma s različitom bazom, na primjer, :

Moramo dovesti ovaj logaritam u bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada umjesto da pišemo:

Pokazalo se da je imenilac samo konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod je vrlo jednostavan:

Derivati ​​eksponencijalne i logaritamske funkcije se gotovo nikada ne nalaze na ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, a ne tangenta luka. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam se logaritam čini teškim, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će uspjeti), ali u matematičkom smislu riječ "složeno" ne znači "teško".

Zamislite mali transporter: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi omota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Ispada takav kompozitni predmet: čokoladica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate napraviti suprotne korake obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, daju nam broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu drugu akciju s onim što se dogodilo kao rezultat prve.

Drugim riječima, Kompleksna funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer, .

Iste radnje možemo učiniti obrnutim redoslijedom: prvo kvadriraš, a onda tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.

Drugi primjer: (isto). .

Posljednja akcija koju uradimo će biti pozvana "vanjsku" funkciju, a radnja izvedena prva - respektivno "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično promjeni varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju akciju ćemo prvo preduzeti? Prvo izračunamo sinus, a tek onda ga dižemo na kocku. Dakle, to je unutrašnja funkcija, a ne eksterna.
   A originalna funkcija je njihov sastav: .
2. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
3. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
4. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
5. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .

mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sad ćemo izvući našu čokoladu - potražite derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. Za originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se da je jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(samo nemojte pokušavati da smanjite do sada! Ništa se ne vadi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da ovdje postoji kompleksna funkcija na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a još uvijek izvlačimo korijen iz nje, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i sa trakom u aktovci). Ali nema razloga za strah: u svakom slučaju, ovu funkciju ćemo “raspakovati” istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim slučajevima, zgodno je numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti "spoljašnja". Redoslijed radnji - kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo pravac akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Root. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Stavljajući sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNOM

Izvod funkcije- omjer povećanja funkcije i prirasta argumenta s beskonačno malim povećanjem argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivatni proizvod:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

1. Definiramo "unutarnju" funkciju, pronalazimo njen izvod.
2. Definiramo "vanjsku" funkciju, pronalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge tačke.

Derivacija formule za izvod funkcije stepena (x na stepen a). Razmatraju se derivati ​​korijena iz x. Formula za izvod funkcije snage višeg reda. Primjeri izračunavanja derivata.

Sadržaj

Vidi također: Funkcija stepena i korijeni, formule i graf
Grafičke funkcije snage

Osnovne formule

Derivat x na stepen a je puta x na stepen minus jedan:
(1) .

Derivat n-tog korijena od x na m-tu potenciju je:
(2) .

Derivacija formule za izvod funkcije stepena

Slučaj x > 0

Razmotrimo funkciju stepena varijable x s eksponentom a:
(3) .
Ovdje je a proizvoljan realan broj. Hajde da prvo razmotrimo slučaj.

Da bismo pronašli derivaciju funkcije (3), koristimo svojstva funkcije snage i transformiramo je u sljedeći oblik:
.

Sada pronalazimo izvod primjenom:
;
.
Evo.

Formula (1) je dokazana.

Derivacija formule za izvod korena stepena n od x na stepen m

Sada razmotrite funkciju koja je korijen sljedećeg oblika:
(4) .

Da bismo pronašli derivaciju, pretvaramo korijen u funkciju stepena:
.
Upoređujući sa formulom (3), vidimo da
.
Onda
.

Formulom (1) nalazimo derivaciju:
(1) ;
;
(2) .

U praksi nema potrebe za pamćenjem formule (2). Mnogo je zgodnije prvo pretvoriti korijene u funkcije stepena, a zatim pronaći njihove derivate pomoću formule (1) (vidi primjere na kraju stranice).

Slučaj x = 0

Ako je , tada je eksponencijalna funkcija također definirana za vrijednost varijable x = 0 . Nađimo derivaciju funkcije (3) za x = 0 . Da bismo to učinili, koristimo definiciju derivata:
.

Zamjena x = 0 :
.
U ovom slučaju, pod izvodom podrazumijevamo desnu granicu za koju .

Tako smo pronašli:
.
Iz ovoga se može vidjeti da na , .
U , .
U , .
Ovaj rezultat se također dobija formulom (1):
(1) .
Prema tome, formula (1) vrijedi i za x = 0 .

slučaj x< 0

Razmotrimo ponovo funkciju (3):
(3) .
Za neke vrijednosti konstante a definirana je i za negativne vrijednosti varijable x. Naime, neka je a racionalan broj. Tada se može predstaviti kao nesvodljivi razlomak:
,
gdje su m i n cijeli brojevi bez zajedničkog djelitelja.

Ako je n neparno, tada je eksponencijalna funkcija također definirana za negativne vrijednosti varijable x. Na primjer, za n = 3 i m = 1 imamo kubni korijen od x:
.
Također je definiran za negativne vrijednosti x.

Nađimo derivaciju funkcije stepena (3) za i za racionalne vrijednosti konstante a za koju je definirana. Da bismo to učinili, predstavljamo x u sljedećem obliku:
.
onda ,
.
Izvod pronalazimo tako što konstantu izvlačimo iz predznaka izvoda i primjenjujemo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije:

.
Evo. Ali
.
Od tada
.
Onda
.
Odnosno, formula (1) važi i za:
(1) .

Derivati ​​višeg reda

Sada nalazimo derivate višeg reda funkcije snage
(3) .
Već smo pronašli derivat prvog reda:
.

Uzimajući konstantu a iz predznaka derivacije, nalazimo izvod drugog reda:
.
Slično, nalazimo derivate trećeg i četvrtog reda:
;

.

Odavde je to jasno derivat proizvoljnog n-tog reda ima sljedeći oblik:
.

primeti, to ako je a prirodan broj, , tada je n-ti izvod konstantan:
.
Tada su svi naredni derivati ​​jednaki nuli:
,
u .

Primjeri izvedenica

Primjer

Pronađite izvod funkcije:
.

Pretvorimo korijene u stepene:
;
.
Tada originalna funkcija poprima oblik:
.

Nalazimo izvode stepeni:
;
.
Derivat konstante je nula:
.