Ovim videom započinjem dugu seriju lekcija o izvedenicama. Ova lekcija ima nekoliko dijelova.

Prije svega, reći ću vam šta su izvedenice uopće i kako ih izračunati, ali ne na sofisticiranom akademskom jeziku, već na način na koji ja to i sam razumijem i kako to objašnjavam svojim studentima. Drugo, razmotrit ćemo najjednostavnije pravilo za rješavanje problema u kojem ćemo tražiti izvode zbira, izvode razlike i izvode funkcije stepena.

Pogledat ćemo složenije kombinirane primjere, iz kojih ćete posebno naučiti da se slični problemi koji uključuju korijene, pa čak i razlomke, mogu riješiti korištenjem formule za izvod funkcije stepena. Uz to, naravno, bit će mnogo zadataka i primjera rješenja različitih nivoa složenosti.

Generalno, u početku sam htela da snimim kratak 5-minutni video, ali vidite i sami šta je od toga ispalo. Dakle, dosta tekstova - hajdemo na posao.

Šta je derivat?

Dakle, počnimo izdaleka. Prije mnogo godina, kada je drveće bilo zelenije i život zabavniji, matematičari su razmišljali o ovome: razmotrite jednostavnu funkciju koju daje njen graf, nazovimo je $y=f\left(x \right)$. Naravno, graf ne postoji sam po sebi, tako da je potrebno nacrtati os $x$, kao i osu $y$. A sada izaberimo bilo koju tačku na ovom grafikonu, apsolutno bilo koju. Nazovimo apscisu $((x)_(1))$, ordinata će, kao što možete pretpostaviti, biti $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Razmotrite drugu tačku na istom grafikonu. Nije bitno koji, glavno je da se razlikuje od originala. Ona, opet, ima apscisu, nazovimo je $((x)_(2))$, kao i ordinatu - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Dakle, dobili smo dvije točke: imaju različite apscise i, prema tome, različite vrijednosti funkcije, iako je ovo drugo opciono. Ali ono što je zaista važno jeste da iz kursa planimetrije znamo da se prava linija može povući kroz dve tačke i, štaviše, samo jednu. Evo, pokrenimo ga.

A sada povucimo pravu liniju kroz prvu od njih, paralelnu sa x-osi. Dobijamo pravougli trougao. Nazovimo ga $ABC$, pravi ugao $C$. Ovaj trougao ima jedno veoma interesantno svojstvo: činjenica je da je ugao $\alpha $, u stvari, jednak uglu pod kojim se prava linija $AB$ seče sa nastavkom ose apscise. Procijenite sami:

1. prava $AC$ je po konstrukciji paralelna osi $Ox$,
2. prava $AB$ seče $AC$ ispod $\alpha $,
3. stoga $AB$ seče $Ox$ pod istim $\alpha $.

Šta možemo reći o $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Ništa konkretno, osim što je u trouglu $ABC$ odnos kraka $BC$ i kraka $AC$ jednak tangenti samog ovog ugla. Pa da napišemo:

Naravno, $AC$ u ovom slučaju se lako razmatra:

Slično za $BC$:

Drugim riječima, možemo napisati sljedeće:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \desno))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Sada kada smo sve to riješili, vratimo se na naš graf i pogledamo novu $B$ tačku. Obrišite stare vrijednosti i uzmite i odnesite $B$ negdje bliže $((x)_(1))$. Označimo ponovo njenu apscisu kao $((x)_(2))$, a njenu ordinatu kao $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Razmotrite ponovo naš mali trougao $ABC$ i $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ unutar njega. Sasvim je očigledno da će ovo biti potpuno drugačiji ugao, tangenta će takođe biti drugačija jer su se dužine segmenata $AC$ i $BC$ značajno promenile, a formula za tangentu ugla se uopšte nije promenila - ovo je još uvijek omjer između promjene funkcije i promjene argumenta.

Konačno, nastavljamo da pomičemo $B$ sve bliže i bliže početnoj tački $A$, kao rezultat toga, trokut će se još više smanjivati, a linija koja sadrži segment $AB$ izgledat će sve više i više kao tangenta na graf funkcije.

Kao rezultat toga, ako se nastavimo približavati tačkama, tj. smanjiti udaljenost na nulu, tada će se prava linija $AB$ zaista pretvoriti u tangentu na graf u ovoj tački, a $\text( )\!\! \alpha\!\ !\text( )$ će se promijeniti iz običnog elementa trougla u ugao između tangente na graf i pozitivnog smjera $Ox$ ose.

I ovdje glatko prelazimo na definiciju $f$, naime, derivacija funkcije u tački $((x)_(1))$ je tangenta ugla $\alpha $ između tangente na graf u tački $((x)_( 1))$ i pozitivnom smjeru ose $Ox$:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\ime operatera(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Vraćajući se na naš graf, treba napomenuti da kao $((x)_(1))$, možete odabrati bilo koju tačku na grafu. Na primjer, sa istim uspjehom, mogli bismo ukloniti potez u tački prikazanoj na slici.

Nazovimo ugao između tangente i pozitivnog smjera ose $\beta $. Prema tome, $f$ u $((x)_(2))$ će biti jednako tangentu ovog ugla $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Svaka tačka grafa će imati svoju tangentu, a samim tim i svoju vrijednost funkcije. U svakom od ovih slučajeva, pored tačke u kojoj tražimo izvod razlike ili sume, ili derivaciju funkcije stepena, potrebno je uzeti još jednu tačku koja se nalazi na nekoj udaljenosti od nje, a zatim usmjerite ovu tačku na izvornu i, naravno, saznajte kako će u tom procesu takvo kretanje promijeniti tangentu ugla nagiba.

Derivat funkcije moći

Nažalost, ova definicija nam nikako ne odgovara. Sve ove formule, slike, uglovi ne daju nam ni najmanju predstavu kako da izračunamo pravi izvod u stvarnim problemima. Stoga, hajde da odstupimo malo od formalne definicije i razmotrimo efikasnije formule i tehnike pomoću kojih već možete riješiti stvarne probleme.

Počnimo s najjednostavnijim konstrukcijama, naime, funkcijama oblika $y=((x)^(n))$, tj. funkcije snage. U ovom slučaju možemo napisati sljedeće: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Drugim riječima, stepen koji je bio u eksponentu prikazan je u množitelju ispred , a sam eksponent se smanjuje za jedinicu, na primjer:

\[\begin(poravnati)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(poravnati) \]

A evo još jedne opcije:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Koristeći ova jednostavna pravila, pokušajmo skinuti prednost sa sljedećih primjera:

Tako dobijamo:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Sada da riješimo drugi izraz:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Naravno, to su bili vrlo jednostavni zadaci. Međutim, stvarni problemi su složeniji i nisu ograničeni na ovlasti funkcije.

Dakle, pravilo broj 1 - ako je funkcija predstavljena kao druge dvije, onda je derivacija ovog zbroja jednaka zbroju izvoda:

\[((\left(f+g \desno))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Slično, derivacija razlike dvije funkcije jednaka je razlici izvoda:

\[((\left(f-g \desno))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \desno))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prosti ))+((\lijevo(x \desno))^(\prime ))=2x+1\]

Osim toga, postoji još jedno važno pravilo: ako nekom $f$ prethodi konstanta $c$, s kojom se ova funkcija množi, onda se $f$ cijele ove konstrukcije smatra na sljedeći način:

\[((\left(c\cdot f \desno))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prosti ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Konačno, još jedno vrlo važno pravilo: problemi često sadrže poseban pojam koji uopće ne sadrži $x$. Na primjer, to možemo uočiti u našim današnjim izrazima. Derivat konstante, tj. broja koji ni na koji način ne zavisi od $x$, uvek je jednak nuli i uopšte nije bitno čemu je jednaka konstanta $c$:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

Primjer rješenja:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Još jednom ključne tačke:

1. Derivat zbira dvije funkcije uvijek je jednak zbiru izvoda: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Iz sličnih razloga, derivacija razlike dvije funkcije jednaka je razlici dvije derivacije: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Ako funkcija ima faktor konstantu, onda se ova konstanta može izvući iz predznaka derivacije: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)" $;
4. Ako je cijela funkcija konstanta, onda je njen izvod uvijek nula: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Pogledajmo kako sve funkcionira na stvarnim primjerima. dakle:

Zapisujemo:

\[\begin(poravnati)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \desno))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \desno))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(poravnati)\]

U ovom primjeru vidimo i derivaciju zbira i derivaciju razlike. Dakle, derivat je $5((x)^(4))-6x$.

Pređimo na drugu funkciju:

Zapišite rješenje:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \desno))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x) ^(2)) \desno))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Ovdje smo pronašli odgovor.

Pređimo na treću funkciju - ona je već ozbiljnija:

\[\begin(poravnati)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \desno)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \desno))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Našli smo odgovor.

Pređimo na posljednji izraz - najsloženiji i najduži:

Dakle, smatramo:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Ali rješenje se tu ne završava, jer se od nas traži ne samo da uklonimo potez, već da izračunamo njegovu vrijednost u određenoj tački, pa u izraz zamjenjujemo −1 umjesto $x$:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Idemo dalje i prelazimo na još složenije i zanimljivije primjere. Stvar je u tome da je formula za rješavanje derivacije stepena $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ ima još širi opseg nego što se obično vjeruje. Uz njegovu pomoć možete rješavati primjere sa razlomcima, korijenima itd. To ćemo sada učiniti.

Za početak, zapišimo još jednom formulu, koja će nam pomoći da pronađemo izvod funkcije stepena:

A sada pažnja: do sada smo smatrali samo prirodne brojeve kao $n$, ali ništa nas ne sprečava da razmatramo razlomke, pa čak i negativne brojeve. Na primjer, možemo napisati sljedeće:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(poravnati)\]

Ništa komplikovano, pa da vidimo kako će nam ova formula pomoći u rješavanju složenijih problema. Dakle primjer:

Zapišite rješenje:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(poravnati)\]

Vratimo se na naš primjer i napišimo:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Ovo je tako teška odluka.

Pređimo na drugi primjer - postoje samo dva pojma, ali svaki od njih sadrži i klasičan stepen i korijene.

Sada ćemo naučiti kako pronaći derivaciju funkcije stepena, koja osim toga sadrži korijen:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3) )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Oba termina su izračunata, ostaje da zapišemo konačan odgovor:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Našli smo odgovor.

Derivat razlomka u smislu funkcije stepena

Ali mogućnosti formule za rješavanje izvoda funkcije stepena se tu ne završavaju. Činjenica je da uz njegovu pomoć možete brojati ne samo primjere s korijenima, već i s razlomcima. Ovo je samo ona rijetka prilika koja uvelike pojednostavljuje rješavanje ovakvih primjera, ali je često ignorišu ne samo učenici, već i nastavnici.

Dakle, sada ćemo pokušati kombinirati dvije formule odjednom. S jedne strane, klasični izvod funkcije stepena

\[((\left(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

S druge strane, znamo da izraz oblika $\frac(1)(((x)^(n)))$ može biti predstavljen kao $((x)^(-n))$. shodno tome,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Tako se i derivati ​​prostih razlomaka, gdje je brojilac konstanta, a nazivnik stepen, također izračunavaju po klasičnoj formuli. Pogledajmo kako to funkcionira u praksi.

Dakle, prva funkcija:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ desno))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Prvi primjer je riješen, idemo na drugi:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \desno))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^) (3))) \desno))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \desno) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ lijevo(3((x)^(4)) \desno))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^ (3))=12((x)^(3)) \\\end(align)\]...

Sada skupljamo sve ove pojmove u jednu formulu:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Dobili smo odgovor.

Međutim, prije nego što krenemo dalje, skrećem vam pažnju na oblik pisanja samih originalnih izraza: u prvom izrazu smo napisali $f\left(x \right)=...$, u drugom: $y =...$ Mnogi učenici se izgube kada vide različite oblike zapisa. Koja je razlika između $f\left(x \right)$ i $y$? Zapravo, ništa. To su samo različiti unosi sa istim značenjem. Samo, kada kažemo $f\left(x\right)$, onda govorimo, prije svega, o funkciji, a kada govorimo o $y$, najčešće mislimo na graf funkcije. Inače je isti, tj. derivat se smatra istim u oba slučaja.

Složeni problemi s izvedenicama

U zaključku, želio bih razmotriti nekoliko složenih kombiniranih problema koji koriste sve što smo danas razmatrali odjednom. U njima čekamo korijene, razlomke i zbrojeve. Međutim, ovi primjeri će biti složeni samo u okviru današnjeg video tutorijala, jer će vas zaista složene derivativne funkcije čekati naprijed.

Dakle, završni dio današnjeg video tutorijala, koji se sastoji od dva kombinovana zadatka. Počnimo s prvim:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \desno))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ lijevo(((x)^(-3)) \desno))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Derivat funkcije je:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Prvi primjer je riješen. Razmotrite drugi problem:

U drugom primjeru postupamo slično:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \desno))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime))\]

Izračunajmo svaki pojam posebno:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \desno))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ lijevo(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3)) )(4)))) \desno))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Svi termini se računaju. Sada se vraćamo na prvobitnu formulu i sabiramo sva tri pojma. Dobijamo da će konačni odgovor biti:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

I to je sve. Ovo je bila naša prva lekcija. U narednim lekcijama ćemo se osvrnuti na složenije konstrukcije, a također ćemo saznati zašto su derivati ​​uopće potrebni.

Izračun izvoda je jedna od najvažnijih operacija u diferencijalnom računu. Ispod je tabela za pronalaženje izvoda jednostavnih funkcija. Za složenija pravila diferencijacije pogledajte druge lekcije:

• Tablica izvoda eksponencijalnih i logaritamskih funkcija

Koristite date formule kao referentne vrijednosti. Oni će pomoći u rješavanju diferencijalnih jednadžbi i problema. Na slici, u tabeli derivacija jednostavnih funkcija, nalazi se "cheat sheet" glavnih slučajeva pronalaženja izvoda u obliku koji je razumljiv za upotrebu, pored nje su objašnjenja za svaki slučaj.

Derivati ​​jednostavnih funkcija

1. Derivat broja je nula
s´ = 0
primjer:
5' = 0

Objašnjenje:
Izvod pokazuje brzinu kojom se mijenja vrijednost funkcije kada se promijeni argument. Pošto se broj ni na koji način ne menja ni pod kojim uslovima, brzina njegove promene je uvek nula.

2. Derivat varijable jednako jedan
x' = 1

Objašnjenje:
Sa svakim povećanjem argumenta (x) za jedan, vrijednost funkcije (rezultat proračuna) raste za isti iznos. Dakle, brzina promjene vrijednosti funkcije y = x je tačno jednaka brzini promjene vrijednosti argumenta.

3. Izvod varijable i faktora jednak je ovom faktoru
sx´ = s
primjer:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Objašnjenje:
U ovom slučaju, svaki put argument funkcije ( X) njegova vrijednost (y) raste sa jednom. Dakle, stopa promjene vrijednosti funkcije u odnosu na brzinu promjene argumenta je tačno jednaka vrijednosti sa.

Otkud to sledi
(cx + b)" = c
odnosno diferencijal linearne funkcije y=kx+b jednak je nagibu prave linije (k).

4. Modulo derivat varijable jednak je količniku ove varijable prema njenom modulu
|x|"= x / |x| pod uslovom da je x ≠ 0
Objašnjenje:
Budući da je derivacija varijable (vidi formulu 2) jednaka jedan, derivacija modula se razlikuje samo po tome što se vrijednost brzine promjene funkcije mijenja u suprotno pri prelasku početne točke (pokušajte nacrtati graf funkcije y = |x| i uvjerite se. Ovo je upravo vrijednost i vraća izraz x / |x| Kada je x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - jedan. To jest, s negativnim vrijednostima varijable x, sa svakim povećanjem promjene argumenta, vrijednost funkcije se smanjuje za potpuno istu vrijednost, a s pozitivnim vrijednostima, naprotiv, raste, ali za točno istu vrijednost.

5. Izvod snage varijable jednak je proizvodu broja ovog stepena i varijable u stepenu, umanjenom za jedan
(x c)"= cx c-1, pod uslovom da su x c i cx c-1 definisani i c ≠ 0
primjer:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Da zapamtite formulu:
Uzmite eksponent varijable "dolje" kao množitelj, a zatim smanjite sam eksponent za jedan. Na primjer, za x 2 - dva je bila ispred x, a onda nam je smanjena snaga (2-1 = 1) samo dala 2x. Isto se dogodilo i za x 3 - snizimo trojku, smanjimo je za jedan, a umjesto kocke imamo kvadrat, odnosno 3x 2 . Malo "nenaučno", ali vrlo lako za pamćenje.

6.Derivat frakcije 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
primjer:
Pošto se razlomak može predstaviti kao podizanje na negativan stepen
(1/x)" = (x -1)" , tada možete primijeniti formulu iz pravila 5 tabele derivata
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivat frakcije sa promenljivom proizvoljnog stepena u nazivniku
(1/x c)" = - c / x c+1
primjer:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. korijen derivat(derivacija varijable ispod kvadratnog korijena)
(√x)" = 1 / (2√x) ili 1/2 x -1/2
primjer:
(√x)" = (x 1/2)" tako da možete primijeniti formulu iz pravila 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivat varijable pod korijenom proizvoljnog stepena
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definirana pravila diferencijacije. . Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) bili su prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata.

Stoga, u naše vrijeme, da bismo pronašli izvod bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već je potrebno samo koristiti tablicu izvedenica i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz ispod znaka poteza razbiti jednostavne funkcije i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Dalje, izvode elementarnih funkcija nalazimo u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Tablica derivacija i pravila diferencijacije date su nakon prva dva primjera.

Primjer 1 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod "X" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i nalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Diferencirati kao derivaciju sume, u kojoj je drugi član sa konstantnim faktorom, može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako i dalje postoje pitanja odakle nešto dolazi, ona po pravilu postaju jasni nakon čitanja tablice izvedenica i najjednostavnijih pravila diferencijacije. Idemo do njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek nula. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, trebate pretvoriti nekvadratne korijene u stepen.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratnog korijena
6. Sinusni derivat
7. Kosinusni derivat
8. Tangentni izvod
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat arc tangente
13. Derivat inverzne tangente
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački , a zatim u istoj točki funkcije

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju za konstantu, onda su njihovi derivati, tj.

Pravilo 2Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj tački , onda je njihov proizvod također diferencibilan u istoj točki

i

one. derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbiru proizvoda svake od ovih funkcija i izvoda druge.

Posljedica 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Posljedica 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbiru proizvoda izvoda svakog od faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku i , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciran.u/v , i

one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojilac razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojioca .

Gdje pogledati na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja izvoda proizvoda i količnika u realnim problemima, uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa više primjera o ovim izvodnicama ima u članku."Derivat proizvoda i količnika".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegov izvod je jednak nuli, a u slučaju konstantnog faktora uzet je iz predznaka izvoda. Ovo je tipična greška koja se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako prosječan student riješi nekoliko jedno-dvokomponentnih primjera, prosječan student više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, pri čemu u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (takav slučaj je analiziran u primjeru 10) .

Druga česta greška je mehaničko rješenje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećeno posebnom članku. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnike za novi Windows Akcije sa moćima i korijenima i Radnje sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za derivate s potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda , zatim slijedi lekcija " Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima".

Ako imate zadatak kao , onda ste u lekciji "Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član sa predznakom minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "x" se pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće vrijednosti derivata:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: derivacija količnika dvije funkcije jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika između umnožaka nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo i da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za takve probleme u kojima morate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i stupnjeva, kao što je npr. onda dobrodosli na cas "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate saznati više o izvodima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda imate lekciju "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5 Pronađite izvod funkcije

Odluka. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, sa čijom smo se derivacijom upoznali u tabeli derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Primjer 6 Pronađite izvod funkcije

Odluka. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojiocu, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Na kojoj smo analizirali najjednostavnije derivacije, a također se upoznali s pravilima diferencijacije i nekim tehnikama za pronalaženje izvodnica. Stoga, ako niste baš dobri sa derivatima funkcija ili neke tačke ovog članka nisu sasvim jasne, onda prvo pročitajte gornju lekciju. Uključite se u ozbiljno raspoloženje - materijal nije lak, ali ću ipak pokušati da ga predstavim jednostavno i jasno.

U praksi se sa izvodom složene funkcije morate suočiti vrlo često, čak bih rekao gotovo uvijek, kada vam se daju zadaci da nađete izvode.

U tabeli gledamo pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Razumijemo. Prije svega, pogledajmo notaciju. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, figurativno rečeno, ugniježđena u funkciju. Funkcija ove vrste (kada je jedna funkcija ugniježđena u drugu) naziva se složena funkcija.

Ja ću pozvati funkciju eksterna funkcija, i funkciju – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teorijske i ne bi se trebale pojaviti u konačnom dizajnu zadataka. Neformalne izraze "spoljna funkcija", "unutrašnja" funkcija koristim samo da bih vam olakšao razumijevanje gradiva.

Da razjasnite situaciju, razmotrite:

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "x", već cijeli izraz, tako da pronalaženje izvedenice odmah iz tabele neće raditi. Također primjećujemo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da je nemoguće “pocijepati” sinus:

U ovom primjeru, već iz mojih objašnjenja, intuitivno je jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom je interna funkcija (ugradnja) i eksterna funkcija.

Prvi korak, koji se mora izvesti kada se pronađe izvod kompleksne funkcije je to razumjeti koja je funkcija unutrašnja, a koja eksterna.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom ugniježđen ispod sinusa. Ali šta ako nije očigledno? Kako tačno odrediti koja je funkcija eksterna, a koja unutrašnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može provesti mentalno ili na nacrtu.

Zamislimo da trebamo izračunati vrijednost izraza pomoću kalkulatora (umjesto jednog, može postojati bilo koji broj).

Šta prvo izračunamo? Primarno morat ćete izvesti sljedeću radnju: , tako da će polinom biti interna funkcija:

Drugo morat ćete pronaći, tako da će sinus - biti vanjska funkcija:

Nakon nas RAZUMIJETI s unutarnjim i vanjskim funkcijama, vrijeme je da se primijeni pravilo diferencijacije složenih funkcija .

Počinjemo da odlučujemo. Sa lekcije Kako pronaći derivat? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje derivacije uvijek počinje ovako - stavljamo izraz u zagrade i stavljamo crtu gore desno:

Prvo nalazimo derivaciju eksterne funkcije (sinus), pogledamo tabelu izvoda elementarnih funkcija i uočimo da . Sve tabelarne formule su primjenjive čak i ako je "x" zamijenjen složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da je unutrašnja funkcija nije se promijenilo, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očigledno

Rezultat primjene formule cisto izgleda ovako:

Konstantni faktor se obično stavlja na početak izraza:

Ako dođe do nesporazuma, odluku zapišite na papir i ponovo pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Kao i uvek, pišemo:

Shvatimo gdje imamo eksternu funkciju, a gdje unutrašnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) izračunati vrijednost izraza za . Šta prvo treba uraditi? Prije svega, morate izračunati koliko je baza jednaka:, što znači da je polinom interna funkcija:

I tek tada se izvodi eksponencijacija, dakle, funkcija snage je vanjska funkcija:

Prema formuli , prvo morate pronaći derivaciju eksterne funkcije, u ovom slučaju stepen. Tražimo željenu formulu u tabeli:. Ponavljamo ponovo: bilo koja tablična formula vrijedi ne samo za "x", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije sljedeći:

Ponovo naglašavam da kada uzmemo derivaciju vanjske funkcije, unutrašnja funkcija se ne mijenja:

Sada ostaje pronaći vrlo jednostavan izvod unutrašnje funkcije i malo "pročešljati" rezultat:

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Za konsolidaciju razumijevanja derivacije složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte sami shvatiti, razlog, gdje je vanjska, a gdje unutrašnja funkcija, zašto se zadaci rješavaju na taj način?

Primjer 5

a) Pronađite izvod funkcije

b) Naći derivaciju funkcije

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo ga razlikovali, on mora biti predstavljen kao stepen. Dakle, prvo dovodimo funkciju u odgovarajući oblik za diferencijaciju:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbir tri člana interna funkcija, a eksponencijacija eksponencijalna funkcija. Primjenjujemo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije :

Stepen je opet predstavljen kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo za diferenciranje sume:

Spreman. Također možete dovesti izraz do zajedničkog nazivnika u zagradama i sve napisati kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada se dobiju glomazni dugi derivati, bolje je to ne raditi (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu grešku, a nastavniku će biti nezgodno provjeriti).

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da se ponekad, umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije, može koristiti pravilo za diferenciranje kvocijenta , ali takvo rješenje će izgledati kao perverzija neobično. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije količnika , ali je mnogo isplativije pronaći izvod kroz pravilo diferencijacije složene funkcije:

Pripremamo funkciju za diferencijaciju - vadimo znak minus iz derivacije i dižemo kosinus na brojnik:

Kosinus je interna funkcija, eksponencijacija je vanjska funkcija.
Koristimo naše pravilo :

Pronalazimo derivaciju unutrašnje funkcije, resetujemo kosinus nazad:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je da se ne zbunite u znakovima. Usput, pokušajte to riješiti pravilom , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo razmatrali slučajeve u kojima smo imali samo jedno ugniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći derivate, gdje se, poput lutkica za gniježđenje, jedna u drugoj, 3 ili čak 4-5 funkcija ugniježđuju odjednom.

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Razumijemo priloge ove funkcije. Pokušavamo procijeniti izraz koristeći eksperimentalnu vrijednost. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći, što znači da je arcsin najdublje gniježđenje:

Ovaj arksinus jedinstva tada treba kvadrirati:

I na kraju, dižemo sedam na stepen:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugniježđenja, dok je najnutarnja funkcija arcsinus, a najudaljenija funkcija eksponencijalna funkcija.

Počinjemo da odlučujemo

Po pravilu prvo morate uzeti derivaciju vanjske funkcije. Gledamo tablicu izvoda i nalazimo izvod eksponencijalne funkcije: Jedina razlika je u tome što umjesto "x" imamo složen izraz, koji ne negira valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije sljedeći.

Prvi nivo

Izvod funkcije. Sveobuhvatni vodič (2019.)

Zamislite ravan put koji prolazi kroz brdsko područje. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće desno ili lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno duž ceste, a vertikalno, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:

Osa je određeni nivo nulte visine, u životu kao nju koristimo nivo mora.

Krećući se naprijed takvim putem, također se krećemo gore ili dolje. Takođe možemo reći: kada se argument promijeni (kretanje duž ose apscise), vrijednost funkcije se mijenja (kretanje duž ose ordinate). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" našeg puta? Koja bi mogla biti ova vrijednost? Vrlo jednostavno: koliko će se visina promijeniti kada se krećete naprijed na određenu udaljenost. Zaista, na različitim dionicama puta, krećući se naprijed (duž apscise) jedan kilometar, mi ćemo se podizati ili spuštati za različit broj metara u odnosu na nivo mora (duž ordinate).

Označavamo napredak naprijed (čitaj "delta x").

Grčko slovo (delta) se obično koristi u matematici kao prefiks koji znači "promjena". To je - ovo je promena veličine, - promena; šta je onda? Tako je, promjena veličine.

Važno: izraz je jedan entitet, jedna varijabla. Nikada ne smijete otkinuti "delta" od "x" ili bilo kojeg drugog slova! To je, na primjer, .

Dakle, krenuli smo naprijed, horizontalno, dalje. Ako uporedimo liniju puta sa grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Naravno, . Odnosno, kada idemo naprijed dalje se dižemo više.

Lako je izračunati vrijednost: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja bili smo na visini, onda. Ako se krajnja tačka ispostavi da je niža od početne, bit će negativna - to znači da se ne penjemo, već se spuštamo.

Povratak na "strminu": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko (strmo) raste visina kada se krećete naprijed po jedinici udaljenosti:

Pretpostavimo da se na nekom dijelu puta, kada se napreduje za km, put uzdiže za km. Tada je strmina na ovom mjestu jednaka. A ako bi put, kada je napredovao za m, potonuo za km? Tada je nagib jednak.

Sada razmislite o vrhu brda. Ako početak dionice uzmete pola kilometra do vrha, a kraj - pola kilometra nakon nje, možete vidjeti da je visina gotovo ista.

Odnosno, prema našoj logici, ispada da je nagib ovdje gotovo jednak nuli, što očito nije tačno. Mnogo toga se može promijeniti samo nekoliko milja dalje. Za adekvatniju i tačniju procjenu strmine potrebno je uzeti u obzir manja područja. Na primjer, ako izmjerite promjenu visine pri pomicanju jednog metra, rezultat će biti mnogo precizniji. Ali ni ta preciznost nam možda neće biti dovoljna – uostalom, ako postoji stub na sredini puta, možemo jednostavno da se provučemo kroz njega. Koju udaljenost onda da izaberemo? Centimetar? Milimetar? Manje je bolje!

U stvarnom životu, mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra je više nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Dakle, koncept je bio infinitezimal, to jest, vrijednost modula je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: trilionti dio! Koliko manje? I podijelite ovaj broj sa - i bit će još manje. itd. Ako želimo da zapišemo da je vrednost beskonačno mala, pišemo ovako: (čitamo „x teži nuli“). Veoma je važno razumjeti da ovaj broj nije jednak nuli! Ali vrlo blizu tome. To znači da se može podijeliti na.

Koncept suprotan beskonačno malom je beskonačno velik (). Vjerovatno ste se već susreli s tim kada ste radili na nejednačinama: ovaj broj je veći po modulu od bilo kojeg broja kojeg možete zamisliti. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite sa dva i dobit ćete još više. A beskonačnost je čak i više od onoga što se dešava. U stvari, beskonačno veliki i beskonačno mali su inverzni jedno drugom, odnosno at, i obrnuto: at.

Sada se vratimo na naš put. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za beskonačno mali segment puta, odnosno:

Napominjem da će s beskonačno malim pomakom i promjena visine biti beskonačno mala. Ali da vas podsjetim da beskonačno malo ne znači jednako nuli. Ako podijelite beskonačno male brojeve jedni s drugima, možete dobiti sasvim običan broj, na primjer. To jest, jedna mala vrijednost može biti tačno dvostruko veća od druge.

Zašto sve ovo? Put, strmina... Ne idemo na reli, ali učimo matematiku. A u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.

Koncept derivata

Derivat funkcije je omjer prirasta funkcije i inkrementa argumenta pri beskonačno malom prirastu argumenta.

Povećanje u matematici se zove promena. Poziva se koliko se argument () promijenio pri kretanju duž ose povećanje argumenta i označeno sa Koliko se funkcija (visina) promijenila pri kretanju naprijed duž ose za rastojanje naziva se povećanje funkcije i označeno je.

Dakle, derivacija funkcije je odnos kada. Izvod označavamo istim slovom kao i funkcija, samo potezom odozgo desno: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu derivacije koristeći ove oznake:

Kao iu analogiji sa cestom, i ovdje, kada se funkcija povećava, izvod je pozitivan, a kada se smanjuje negativan.

Ali da li je izvod jednak nuli? Naravno. Na primjer, ako vozimo po ravnom horizontalnom putu, strmina je nula. Zaista, visina se uopće ne mijenja. Dakle, s izvodom: izvod konstantne funkcije (konstante) jednak je nuli:

budući da je prirast takve funkcije nula za bilo koju.

Uzmimo primjer na vrhu brda. Pokazalo se da je moguće rasporediti krajeve segmenta na suprotnim stranama vrha na takav način da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan s osi:

Ali veliki segmenti su znak netačnog mjerenja. Naš segment ćemo podići paralelno sa sobom, a zatim će se njegova dužina smanjiti.

Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrha, dužina segmenta će postati beskonačno mala. Ali u isto vrijeme, ostao je paralelan s osom, odnosno visinska razlika na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, ali je jednaka). Dakle, derivat

To se može shvatiti na sljedeći način: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak lijevo ili desno mijenja našu visinu zanemarljivo.

Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo već ranije saznali, kada se funkcija povećava, derivacija je pozitivna, a kada se smanjuje negativna. Ali mijenja se glatko, bez skokova (jer put nigdje ne mijenja naglo nagib). Stoga mora postojati između negativnih i pozitivnih vrijednosti. To će biti tamo gdje se funkcija niti povećava niti smanjuje - u točki vrha.

Isto vrijedi i za dolinu (područje gdje funkcija opada s lijeve strane, a raste s desne strane):

Još malo o inkrementima.

Dakle, mijenjamo argument u vrijednost. Mi mijenjamo od koje vrijednosti? Šta je on (argument) sada postao? Možemo izabrati bilo koju tačku, a sada ćemo plesati iz nje.

Zamislite tačku sa koordinatama. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isti inkrement: povećavamo koordinatu za. Šta je sada argument? Vrlo jednostavno: . Koja je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, tamo ide i funkcija: . Šta je sa povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je još uvijek iznos za koji se funkcija promijenila:

Vježbajte pronalaženje inkremenata:

1. Pronađite prirast funkcije u tački s prirastom argumenta jednakim.
2. Isto za funkciju u tački.

rješenja:

U različitim tačkama, sa istim povećanjem argumenta, prirast funkcije će biti različit. To znači da derivacija u svakoj tački ima svoju (o tome smo razgovarali na samom početku - strmina puta na različitim tačkama je različita). Stoga, kada pišemo derivat, moramo naznačiti u kojoj točki:

Funkcija napajanja.

Funkcija snage naziva se funkcija u kojoj je argument u određenoj mjeri (logičan, zar ne?).

I - u bilo kojoj mjeri: .

Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:

Nađimo njen derivat u jednoj tački. Zapamtite definiciju derivata:

Dakle, argument se mijenja od do. Koliki je prirast funkcije?

Prirast je. Ali funkcija je u bilo kojoj tački jednaka svom argumentu. Zbog toga:

Izvod je:

Derivat od je:

b) Sada razmotrite kvadratnu funkciju (): .

A sada da se prisjetimo toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, jer je beskonačno mala, a samim tim i beznačajna na pozadini drugog pojma:

Dakle, imamo još jedno pravilo:

c) Nastavljamo logički niz: .

Ovaj izraz se može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu koristeći formulu za skraćeno množenje kocke zbira, ili razložiti cijeli izraz na faktore koristeći formulu za razliku kocki. Pokušajte to učiniti sami na bilo koji od predloženih načina.

Dakle, dobio sam sledeće:

I prisjetimo se toga ponovo. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:

Dobijamo: .

d) Slična pravila se mogu dobiti za velike snage:

e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za funkciju stepena s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:

(2)

Pravilo možete formulirati riječima: "stepen se prenosi naprijed kao koeficijent, a zatim se smanjuje za".

Ovo pravilo ćemo dokazati kasnije (skoro na samom kraju). Pogledajmo sada nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcija:

1. (na dva načina: formulom i korištenjem definicije derivacije - brojanjem prirasta funkcije);

1. . Vjerovali ili ne, ovo je funkcija snage. Ako imate pitanja poput „Kako je? A gdje je diploma? ”, Zapamtite temu“ !
   Da, da, korijen je također stepen, samo razlomak:.
   Dakle, naš kvadratni korijen je samo potencija s eksponentom:
   .
   Tražimo derivat koristeći nedavno naučenu formulu:

   Ako u ovom trenutku ponovo postane nejasno, ponovite temu "" !!! (oko diplome sa negativnim pokazateljem)

2. . Sada eksponent:

   A sada kroz definiciju (jeste li već zaboravili?):
   ;
   .
   Sada, kao i obično, zanemarujemo pojam koji sadrži:
   .

3. . Kombinacija prethodnih slučajeva: .

trigonometrijske funkcije.

Ovdje ćemo koristiti jednu činjenicu iz više matematike:

Kada izraz.

Dokaz ćete naučiti na prvoj godini instituta (a da biste tamo stigli, potrebno je dobro položiti ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:

Vidimo da kada funkcija ne postoji - tačka na grafu je probušena. Ali što je bliža vrijednosti, to je funkcija bliža. To je sama „težnja“.

Osim toga, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, ne stidite se, uzmite kalkulator, nismo još na ispitu.

Pa hajde da pokušamo: ;

Ne zaboravite prebaciti kalkulator u način rada radijana!

itd. Vidimo da što je manji, to je bliža vrijednost omjera.

a) Razmotrite funkciju. Kao i obično, nalazimo njegov prirast:

Pretvorimo razliku sinusa u proizvod. Da bismo to učinili, koristimo formulu (zapamtite temu ""):.

Sada derivat:

Napravimo zamjenu: . Zatim, za beskonačno mali, takođe je beskonačno mali: . Izraz za ima oblik:

I sada se toga sećamo sa izrazom. I također, šta ako se beskonačno mala vrijednost može zanemariti u zbiru (tj. at).

Tako dobijamo sledeće pravilo: derivacija sinusa je jednaka kosinsu:

Ovo su osnovne („tabele”) derivate. Evo ih na jednoj listi:

Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovo su najvažnije, jer se najčešće koriste.

vježbajte:

1. Pronađite izvod funkcije u tački;
2. Pronađite izvod funkcije.

rješenja:

1. Prvo, nalazimo derivat u opštem obliku, a zatim umjesto njega zamjenjujemo njegovu vrijednost:
   ;
   .
2. Ovdje imamo nešto slično funkciji snage. Pokušajmo je dovesti do toga
   normalan pogled:
   .
   Ok, sada možete koristiti formulu:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Šta je????

Dobro, u pravu ste, još uvijek ne znamo kako pronaći takve derivate. Ovdje imamo kombinaciju nekoliko vrsta funkcija. Da biste radili s njima, morate naučiti još nekoliko pravila:

Eksponent i prirodni logaritam.

Postoji takva funkcija u matematici, čiji je izvod za bilo koji jednak vrijednosti same funkcije za istu. Zove se "eksponent" i eksponencijalna je funkcija

Osnova ove funkcije - konstanta - je beskonačan decimalni razlomak, odnosno iracionalni broj (kao što je). Zove se "Eulerov broj", zbog čega se označava slovom.

Dakle, pravilo je:

Vrlo je lako zapamtiti.

Pa, nećemo ići daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Što je inverzno od eksponencijalne funkcije? logaritam:

U našem slučaju, baza je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam sa osnovom) naziva se „prirodnim“ i za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Šta je jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponent i prirodni logaritam su funkcije koje su jedinstveno jednostavne u smislu derivacije. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Koja pravila? Opet novi mandat?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivacije.

Samo i sve. Koja je druga riječ za ovaj proces? Nije proizvodnovanje... Diferencijal matematike se naziva samim prirastom funkcije at. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka, ili lakše.

Primjeri.

Pronađite derivate funkcija:

1. u tački;
2. u tački;
3. u tački;
4. u tački.

rješenja:

1. (izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvodimo novu funkciju i nalazimo njen prirast:

Derivat:

primjeri:

1. Pronađite derivate funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li već zaboravili šta je to?).

Pa gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo našu funkciju dovesti na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristimo jednostavno pravilo: . onda:

Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Desilo se?

Evo, uvjerite se sami:

Ispostavilo se da je formula vrlo slična derivatu eksponenta: kako je bilo, tako je ostalo, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite derivate funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se napisati u jednostavnijem obliku. Stoga je u odgovoru ostavljeno u ovom obliku.

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljan iz logaritma s različitom bazom, na primjer, :

Moramo dovesti ovaj logaritam u bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada umjesto da pišemo:

Pokazalo se da je imenilac samo konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod je vrlo jednostavan:

Derivati ​​eksponencijalne i logaritamske funkcije se gotovo nikada ne nalaze na ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, a ne tangenta luka. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam se logaritam čini teškim, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će uspjeti), ali u matematičkom smislu riječ "složeno" ne znači "teško".

Zamislite mali transporter: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi omota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Ispada takav kompozitni predmet: čokoladica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate napraviti suprotne korake obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, daju nam broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu drugu akciju s onim što se dogodilo kao rezultat prve.

Iste radnje možemo učiniti obrnutim redoslijedom: prvo kvadriraš, a onda tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.

Drugim riječima, Kompleksna funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za prvi primjer, .

Drugi primjer: (isto). .

Posljednja akcija koju uradimo će biti pozvana "vanjsku" funkciju, a radnja izvedena prva - respektivno "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično promjeni varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju akciju ćemo prvo preduzeti? Prvo izračunamo sinus, a tek onda ga dižemo na kocku. Dakle, to je unutrašnja funkcija, a ne eksterna.
   A originalna funkcija je njihov sastav: .
2. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
3. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
4. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
5. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .

mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sad ćemo izvući našu čokoladu - potražite derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. Za originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se da je sve jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(samo nemojte pokušavati da smanjite do sada! Ništa se ne vadi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da ovdje postoji kompleksna funkcija na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a još uvijek izvlačimo korijen iz nje, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i sa trakom u aktovci). Ali nema razloga za strah: u svakom slučaju, ovu funkciju ćemo “raspakovati” istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim slučajevima, zgodno je numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti "spoljašnja". Redoslijed radnji - kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo pravac akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Root. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Stavljajući sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNOM

Izvod funkcije- omjer povećanja funkcije i prirasta argumenta s beskonačno malim povećanjem argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivatni proizvod:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

1. Definiramo "unutarnju" funkciju, pronalazimo njen izvod.
2. Definiramo "vanjsku" funkciju, pronalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge tačke.