Izvod je jednak koeficijentu tangente. Lekcija "jednadžba tangente na graf funkcije"

U sadašnjoj fazi razvoja obrazovanja, jedan od njegovih glavnih zadataka je formiranje kreativno misleće ličnosti. Sposobnost za kreativnost kod učenika se može razviti samo ako su sistematski uključeni u osnove istraživačke aktivnosti. Osnova da učenici koriste svoje kreativne moći, sposobnosti i talente su formirana punopravna znanja i vještine. U tom smislu, problem formiranja sistema osnovnih znanja i vještina za svaku temu školskog predmeta matematike je od velikog značaja. U isto vrijeme, punopravne vještine trebale bi biti didaktički cilj ne pojedinačnih zadataka, već pažljivo osmišljenog sistema istih. U najširem smislu, sistem se shvata kao skup međusobno povezanih elemenata koji imaju integritet i stabilnu strukturu.

Razmotrimo tehniku za podučavanje učenika kako da napišu jednačinu za tangentu na graf funkcije. U suštini, svi problemi nalaženja tangentne jednačine svode se na potrebu da se iz skupa (snopa, familije) linija izaberu one koje zadovoljavaju određeni zahtjev – one su tangente na graf određene funkcije. U ovom slučaju, skup linija iz kojih se vrši odabir može se specificirati na dva načina:

a) tačka koja leži na ravni xOy (centralna olovka pravih);
b) ugaoni koeficijent (paralelni snop pravih linija).

S tim u vezi, prilikom proučavanja teme „Tangenta na graf funkcije“ kako bismo izolovali elemente sistema, identifikovali smo dve vrste problema:

1) zadaci na tangentu zadanu tačkom kroz koju ona prolazi;
2) problemi na tangentu koju daje njen nagib.

Obuka u rješavanju tangentnih problema obavljena je korištenjem algoritma koji je predložio A.G. Mordkovich. Njegova fundamentalna razlika od već poznatih je u tome što je apscisa tangentne tačke označena slovom a (umjesto x0), te stoga jednačina tangente ima oblik

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(uporedi sa y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Ova metodološka tehnika, po našem mišljenju, omogućava studentima da brzo i lako shvate gdje su upisane koordinate trenutne tačke. opšta jednačina tangente i gde su tačke dodira.

Algoritam za sastavljanje tangentne jednadžbe na graf funkcije y = f(x)

1. Apscisu tačke tangente označiti slovom a.
2. Naći f(a).
3. Pronađite f "(x) i f "(a).
4. Zamijenite pronađene brojeve a, f(a), f"(a) u opštu tangentnu jednačinu y = f(a) = f "(a)(x – a).

Ovaj algoritam se može sastaviti na osnovu samostalnog identifikacije operacija učenika i redoslijeda njihove implementacije.

Praksa je pokazala da uzastopno rješavanje svakog od ključnih problema pomoću algoritma omogućava da razvijete vještine pisanja jednadžbe tangente na graf funkcije u fazama, a koraci algoritma služe kao referentne točke za radnje. . Ovaj pristup odgovara teoriji postepenog formiranja mentalnih radnji koju je razvio P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.

U prvoj vrsti zadataka identifikovana su dva ključna zadatka:

tangenta prolazi kroz tačku koja leži na krivulji (problem 1);
tangenta prolazi kroz tačku koja ne leži na krivulji (problem 2).

Zadatak 1. Napišite jednačinu za tangentu na graf funkcije u tački M(3; – 2).

Rješenje. Tačka M(3; – 2) je tačka tangente, pošto

1. a = 3 – apscisa tangentne tačke.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – jednačina tangente.

Zadatak 2. Napišite jednačine svih tangenti na graf funkcije y = – x 2 – 4x + 2 koja prolazi kroz tačku M(– 3; 6).

Rješenje. Tačka M(– 3; 6) nije tangentna tačka, jer je f(– 3) 6 (slika 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – jednačina tangente.

Tangenta prolazi kroz tačku M(– 3; 6), pa njene koordinate zadovoljavaju jednadžbu tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ako je a = – 4, onda je tangentna jednačina y = 4x + 18.

Ako je a = – 2, onda tangentna jednadžba ima oblik y = 6.

U drugoj vrsti, ključni zadaci će biti sljedeći:

tangenta je paralelna nekoj pravoj (problem 3);
tangenta prolazi pod određenim uglom na datu pravu (problem 4).

Zadatak 3. Napišite jednačine svih tangenti na graf funkcije y = x 3 – 3x 2 + 3, paralelno s pravom y = 9x + 1.

1. a – apscisa tangentne tačke.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ali, s druge strane, f"(a) = 9 (uslov paralelizma). To znači da trebamo riješiti jednačinu 3a 2 – 6a = 9. Njeni korijeni su a = – 1, a = 3 (Sl. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – jednačina tangente;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – jednačina tangente.

Zadatak 4. Napišite jednačinu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 – 3x + 1, koja prolazi pod uglom od 45° na pravu liniju y = 0 (slika 4).

Rješenje. Iz uslova f "(a) = tan 45° nalazimo a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – apscisa tangentne tačke.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – jednačina tangente.

Lako je pokazati da se rješavanje bilo kojeg drugog problema svodi na rješavanje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva problema kao primjer.

1. Napišite jednačine tangenti na parabolu y = 2x 2 – 5x – 2, ako se tangente seku pod pravim uglom i jedna od njih dodiruje parabolu u tački sa apscisom 3 (slika 5).

Rješenje. Pošto je data apscisa tačke tangente, prvi dio rješenja svodi se na ključni problem 1.

1. a = 3 – apscisa tačke tangente jedne od stranica pravog ugla.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – jednačina prve tangente.

Neka je a ugao nagiba prve tangente. Pošto su tangente okomite, onda je ugao nagiba druge tangente. Iz jednačine y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Nađimo

To znači da je nagib druge tangente jednak .

Dalje rješenje se svodi na ključni zadatak 3.

Neka je B(c; f(c)) tačka dodira druge prave, onda

1. – apscisa druge tačke dodira.
2.
3.
4.
– jednačina druge tangente.

Bilješka. Ugaoni koeficijent tangente može se lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravih k 1 k 2 = – 1.

2. Napišite jednačine svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija

Rješenje. Zadatak se svodi na pronalaženje apscise tačaka dodira zajedničkih tangenti, odnosno rješavanje ključnog problema 1 u opštem obliku, sastavljanje sistema jednačina i njegovo rješavanje (slika 6).

1. Neka je a apscisa tačke tangente koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Neka je c apscisa tačke tangente koja leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Pošto su tangente opšte, onda

Dakle, y = x + 1 i y = – 3x – 3 su zajedničke tangente.

Osnovni cilj razmatranih zadataka je pripremiti studente za samostalno prepoznavanje vrste ključnog problema pri rješavanju složenijih problema koji zahtijevaju određene istraživačke vještine (sposobnost analize, upoređivanja, generalizacije, postavljanja hipoteze i sl.). Takvi zadaci uključuju svaki zadatak u kojem je ključni zadatak uključen kao komponenta. Razmotrimo kao primjer problem (inverzan zadatku 1) nalaženja funkcije iz porodice njenih tangenta.

3. Za koje su b i c prave y = x i y = – 2x tangente na grafik funkcije y = x 2 + bx + c?

Neka je t apscisa tačke dodira prave linije y = x sa parabolom y = x 2 + bx + c; p je apscisa tačke dodira prave linije y = – 2x sa parabolom y = x 2 + bx + c. Tada će jednačina tangente y = x poprimiti oblik y = (2t + b)x + c – t 2 , a jednačina tangente y = – 2x će imati oblik y = (2p + b)x + c – p 2 .

Sastavimo i riješimo sistem jednačina

odgovor:

U ovom članku ćemo analizirati sve vrste problema koje treba pronaći

Podsjetimo se geometrijsko značenje derivacije: ako je tangenta nacrtana na graf funkcije u nekoj tački, tada je koeficijent nagiba tangente (jednak tangenti kuta između tangente i pozitivnog smjera ose) jednak derivaciji funkcije u tački.

Uzmimo proizvoljnu tačku na tangenti sa koordinatama:

I razmislite o pravokutnom trokutu:

U ovom trouglu

Odavde

Ovo je jednadžba tangente povučene na graf funkcije u tački.

Da bismo napisali jednadžbu tangente, potrebno je samo znati jednadžbu funkcije i tačku u kojoj je tangenta nacrtana. Tada možemo pronaći i .

Postoje tri glavna tipa problema tangentnih jednačina.

1. Date kontaktnu tačku

2. Zadan je koeficijent nagiba tangente, odnosno vrijednost derivacije funkcije u tački.

3. Date su koordinate tačke kroz koju je povučena tangenta, ali koja nije tačka tangente.

Pogledajmo svaku vrstu zadatka.

1 . Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije u tački .

b) Pronađite vrijednost derivacije u tački . Prvo pronađimo derivaciju funkcije

Zamijenimo pronađene vrijednosti u tangentnu jednadžbu:

Otvorimo zagrade na desnoj strani jednačine. Dobijamo:

odgovor: .

2. Pronađite apscisu tačaka u kojima su funkcije tangente na graf paralelno sa x-osom.

Ako je tangenta paralelna sa x-osi, stoga je ugao između tangente i pozitivnog smjera ose nula, stoga je tangenta kuta tangente nula. To znači da je vrijednost derivacije funkcije na dodirnim tačkama je nula.

a) Naći derivaciju funkcije .

b) Izjednačimo derivaciju sa nulom i nađemo vrijednosti u kojima je tangenta paralelna s osom:

Izjednačavajući svaki faktor sa nulom, dobijamo:

Odgovor: 0;3;5

3. Napišite jednadžbe za tangente na graf funkcije , paralelno ravno .

Tangenta je paralelna pravoj. Nagib ove linije je -1. Pošto je tangenta paralelna sa ovom pravom, nagib tangente je takođe -1. To je znamo nagib tangente, i, samim tim, vrijednost derivata u tački tangentnosti.

Ovo je druga vrsta problema za pronalaženje tangentne jednačine.

Dakle, data nam je funkcija i vrijednost derivacije u tački tangente.

a) Pronađite tačke u kojima je derivacija funkcije jednaka -1.

Prvo, pronađimo jednačinu derivata.

Izjednačimo izvod sa brojem -1.

Nađimo vrijednost funkcije u tački.

(po stanju)

b) Pronađite jednadžbu tangente na graf funkcije u tački .

Nađimo vrijednost funkcije u tački.

(po stanju).

Zamijenimo ove vrijednosti u tangentnu jednadžbu:

odgovor:

4 . Napišite jednačinu tangente na krivu , prolazeći kroz tačku

Prvo, hajde da proverimo da li je tačka tangentna tačka. Ako je tačka tangentna tačka, tada pripada grafu funkcije, a njene koordinate moraju zadovoljiti jednadžbu funkcije. Zamenimo koordinate tačke u jednadžbu funkcije.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} nije kontaktna tačka.

Ovo je posljednja vrsta problema za pronalaženje tangentne jednačine. Prva stvar moramo pronaći apscisu tačke tangente.

Nađimo vrijednost.

Neka bude tačka kontakta. Tačka pripada tangenti na graf funkcije. Ako zamenimo koordinate ove tačke u jednadžbu tangente, dobićemo tačnu jednakost:

Vrijednost funkcije u tački je .

Nađimo vrijednost derivacije funkcije u tački.

Prvo, pronađimo derivaciju funkcije. Ovo .

Izvod u tački je jednak .

Zamijenimo izraze za i u tangentnu jednadžbu. Dobijamo jednačinu za:

Hajde da riješimo ovu jednačinu.

Smanjite brojilac i imenilac razlomka za 2:

Dovedemo desnu stranu jednačine na zajednički nazivnik. Dobijamo:

Pojednostavimo brojilac razlomka i pomnožimo obje strane sa - ovaj izraz je striktno veći od nule.

Dobijamo jednačinu

Hajde da to rešimo. Da bismo to učinili, kvadriramo oba dijela i prijeđimo na sistem.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) ) ))( )">!}

Rešimo prvu jednačinu.

Rešimo kvadratnu jednačinu, dobijamo

Drugi korijen ne zadovoljava uslov title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Napišimo jednačinu tangente na krivu u tački. Da biste to učinili, zamijenite vrijednost u jednadžbu - Već smo to snimili.

odgovor:
.

Tangenta je prava linija , koji dodiruje graf funkcije u jednoj tački i čije su sve tačke na najkraćoj udaljenosti od grafika funkcije. Prema tome, tangenta prolazi tangentu na graf funkcije pod određenim uglom, a nekoliko tangenta pod različitim uglovima ne može proći kroz tačku tangente. Tangentne jednadžbe i normalne jednadžbe na graf funkcije konstruiraju se pomoću izvoda.

Jednačina tangente je izvedena iz jednačine linije .

Izvedemo jednadžbu tangente, a zatim i jednadžbu normale na graf funkcije.

y = kx + b .

U njemu k- ugaoni koeficijent.

Odavde dobijamo sledeći unos:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Vrijednost derivata f "(x 0 ) funkcije y = f(x) u tački x0 jednak nagibu k= tg φ tangenta na graf funkcije povučen kroz tačku M0 (x 0 , y 0 ) , Gdje y0 = f(x 0 ) . Ovo je geometrijsko značenje derivacije .

Dakle, možemo zamijeniti k on f "(x 0 ) i dobijete sljedeće jednadžba tangente na graf funkcije :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

U problemima koji uključuju sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije (a uskoro ćemo prijeći na njih), potrebno je jednadžbu dobivenu iz gornje formule svesti na jednačina prave linije u opštem obliku. Da biste to učinili, trebate premjestiti sva slova i brojeve na lijevu stranu jednačine, a ostaviti nulu na desnoj strani.

Sada o normalnoj jednadžbi. Normalno - ovo je prava linija koja prolazi kroz tačku tangente na graf funkcije okomite na tangentu. Normalna jednačina :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Da biste se zagrijali, od vas se traži da sami riješite prvi primjer, a zatim pogledate rješenje. S razlogom se nadamo da ovaj zadatak neće biti „hladan tuš“ za naše čitatelje.

Primjer 0. Kreirajte jednadžbu tangente i normalnu jednačinu za graf funkcije u tački M (1, 1) .

Primjer 1. Napišite jednadžbu tangente i normalnu jednačinu za graf funkcije , ako je apscisa tangenta .

Nađimo derivaciju funkcije:

Sada imamo sve što treba zamijeniti u unosu datom u teorijskoj pomoći da se dobije jednačina tangente. Dobijamo

U ovom primjeru imali smo sreće: koeficijent nagiba se pokazao nula, tako da nije bilo potrebe da se jednačina posebno dovodi u njen opći oblik. Sada možemo kreirati normalnu jednačinu:

Na slici ispod: graf funkcije je bordo, tangenta je zelena, normala je narandžasta.

Sljedeći primjer također nije kompliciran: funkcija je, kao i u prethodnom, također polinom, ali nagib neće biti jednak nuli, pa će se dodati još jedan korak - dovođenje jednačine u opći oblik.

Primjer 2.

Rješenje. Nađimo ordinatu tangentne tačke:

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo vrijednost derivacije u tački tangente, odnosno nagib tangente:

Sve dobijene podatke zamenimo u „praznu formulu“ i dobijemo tangentnu jednačinu:

Dovodimo jednadžbu u njen opći oblik (sakupljamo sva slova i brojeve osim nule na lijevoj strani, a ostavljamo nulu na desnoj):

Sastavljamo normalnu jednačinu:

Primjer 3. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa tačka tangente.

Rješenje. Nađimo ordinatu tangentne tačke:

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo vrijednost derivacije u tački tangente, odnosno nagib tangente:

Pronalazimo tangentnu jednačinu:

Prije nego što dovedete jednadžbu u njen opći oblik, trebate je malo "pročešljati": pomnožite član po član sa 4. Ovo radimo i dovedemo jednačinu u njen opći oblik:

Sastavljamo normalnu jednačinu:

Primjer 4. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa tačka tangente.

Rješenje. Nađimo ordinatu tangentne tačke:

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo vrijednost derivacije u tački tangente, odnosno nagib tangente:

Dobijamo tangentnu jednačinu:

Dovodimo jednačinu u njen opći oblik:

Sastavljamo normalnu jednačinu:

Uobičajena greška pri pisanju tangentnih i normalnih jednačina je da se ne primijeti da je funkcija data u primjeru složena i da se njen izvod izračuna kao izvod jednostavne funkcije. Sljedeći primjeri su već iz složene funkcije(odgovarajuća lekcija će se otvoriti u novom prozoru).

Primjer 5. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa tačka tangente.

Rješenje. Nađimo ordinatu tangentne tačke:

Pažnja! Ova funkcija je složena, jer argument tangente (2 x) je sama po sebi funkcija. Stoga derivaciju funkcije nalazimo kao derivaciju kompleksne funkcije.

Primjer 1. Zadata funkcija f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) u tački grafikona sa apscisom x 0 = 1.

Rješenje. Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da je nađemo:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Onda f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangentna jednadžba ima oblik:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Odgovori. y = 10x – 8.

Primjer 2. Zadata funkcija f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x), paralelno sa linijom y = 2x – 11.

Rješenje. Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da je nađemo:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Budući da je tangenta na graf funkcije f(x) u tački apscise x 0 je paralelno sa pravom y = 2x– 11, tada je njegov nagib jednak 2, tj. ( x 0) = 2. Nađimo ovu apscisu iz uslova da je 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ova jednakost vrijedi samo kada x 0 = 0 i at x 0 = 2. Pošto je u oba slučaja f(x 0) = 5, zatim ravno y = 2x + b dodiruje graf funkcije ili u tački (0; 5) ili u tački (2; 5).

U prvom slučaju je tačna numerička jednakost 5 = 2×0 + b, gdje b= 5, au drugom slučaju je tačna numerička jednakost 5 = 2×2 + b, gdje b = 1.

Dakle, postoje dvije tangente y = 2x+ 5 i y = 2x+ 1 na graf funkcije f(x), paralelno sa linijom y = 2x – 11.

Odgovori. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Primjer 3. Zadata funkcija f(x) = x 2 – 6x+ 7. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x), prolazeći kroz tačku A (2; –5).

Rješenje. Jer f(2) –5, zatim poen A ne pripada grafu funkcije f(x). Neka x 0 - apscisa tačke tangente.

Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da je nađemo:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

Onda f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Tangentna jednačina ima oblik:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Od tačke A pripada tangenti, tada je numerička jednakost tačna

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

gdje x 0 = 0 ili x 0 = 4. To znači da kroz tačku A možete nacrtati dvije tangente na graf funkcije f(x).

Ako x 0 = 0, tada tangentna jednadžba ima oblik y = –6x+ 7. Ako x 0 = 4, tada tangentna jednačina ima oblik y = 2x – 9.

Odgovori. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Primjer 4. Date funkcije f(x) = x 2 – 2x+ 2 i g(x) = –x 2 – 3. Napišimo jednadžbu zajedničke tangente na grafove ovih funkcija.

Rješenje. Neka x 1 - apscisa tačke tangentnosti željene linije sa grafikom funkcije f(x), A x 2 - apscisa tačke tangente iste prave sa grafikom funkcije g(x).

Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da je nađemo:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

Onda f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Tangentna jednačina ima oblik:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Nađimo derivaciju funkcije g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Jednadžba tangente na graf funkcije

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Chelyabinsk region

Jednadžba tangente na graf funkcije

Članak je objavljen uz podršku Hotelskog kompleksa ITAKA+. Kada boravite u gradu brodograditelja Severodvinsk, nećete naići na problem pronalaska privremenog smještaja. , na web stranici hotelskog kompleksa “ITHAKA+” http://itakaplus.ru, možete jednostavno i brzo iznajmiti stan u gradu, za bilo koji period, uz dnevnu uplatu.

a) tačka koja leži na ravni xOy (centralna olovka pravih);
b) ugaoni koeficijent (paralelni snop pravih linija).

S tim u vezi, prilikom proučavanja teme „Tangenta na graf funkcije“ kako bismo izolovali elemente sistema, identifikovali smo dve vrste problema:

1) zadaci na tangentu zadanu tačkom kroz koju ona prolazi;
2) problemi na tangentu koju daje njen nagib.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(uporedi sa y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Ova metodološka tehnika, po našem mišljenju, omogućava studentima da brzo i jednostavno shvate gdje su upisane koordinate trenutne tačke. opšta jednačina tangente i gde su tačke dodira.

Algoritam za sastavljanje tangentne jednadžbe na graf funkcije y = f(x)

1. Označite apscisu tačke tangente slovom a.
2. Naći f(a).
3. Pronađite f "(x) i f "(a).
4. Zamijenite pronađene brojeve a, f(a), f"(a) u opštu tangentnu jednačinu y = f(a) = f "(a)(x – a).

Ovaj algoritam se može sastaviti na osnovu samostalnog identifikacije operacija učenika i redoslijeda njihove implementacije.

Praksa je pokazala da uzastopno rješavanje svakog od ključnih problema pomoću algoritma omogućava da razvijete vještine pisanja jednadžbe tangente na graf funkcije u fazama, a koraci algoritma služe kao referentne točke za radnje. . Ovaj pristup odgovara teoriji postupnog formiranja mentalnih radnji koju je razvio P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.

U prvoj vrsti zadataka identifikovana su dva ključna zadatka:

tangenta prolazi kroz tačku koja leži na krivulji (problem 1);
tangenta prolazi kroz tačku koja ne leži na krivulji (problem 2).

Zadatak 1. Napišite jednačinu za tangentu na graf funkcije u tački M(3; – 2).

Rješenje. Tačka M(3; – 2) je tačka tangente, pošto

1. a = 3 – apscisa tangentne tačke.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – jednačina tangente.

Zadatak 2. Napišite jednačine svih tangenti na graf funkcije y = – x 2 – 4x + 2 koja prolazi kroz tačku M(– 3; 6).

Rješenje. Tačka M(– 3; 6) nije tangentna tačka, jer f(– 3) 6 (sl. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – jednačina tangente.

Tangenta prolazi kroz tačku M(– 3; 6), pa njene koordinate zadovoljavaju jednadžbu tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ako je a = – 4, onda je tangentna jednačina y = 4x + 18.

Ako je a = – 2, onda tangentna jednadžba ima oblik y = 6.

U drugoj vrsti, ključni zadaci će biti sljedeći:

tangenta je paralelna nekoj pravoj (problem 3);
tangenta prolazi pod određenim uglom na datu pravu (problem 4).

Zadatak 3. Napišite jednačine svih tangenti na graf funkcije y = x 3 – 3x 2 + 3, paralelno s pravom y = 9x + 1.

Rješenje.

1. a – apscisa tangentne tačke.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ali, s druge strane, f"(a) = 9 (uslov paralelizma). To znači da trebamo riješiti jednačinu 3a 2 – 6a = 9. Njeni korijeni su a = – 1, a = 3 (Sl. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – jednačina tangente;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – jednačina tangente.

Zadatak 4. Napišite jednačinu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 – 3x + 1, koja prolazi pod uglom od 45° na pravu liniju y = 0 (slika 4).

Rješenje. Iz uslova f "(a) = tan 45° nalazimo a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – apscisa tangentne tačke.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – jednačina tangente.

Lako je pokazati da se rješavanje bilo kojeg drugog problema svodi na rješavanje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva problema kao primjer.

1. Napišite jednačine tangenti na parabolu y = 2x 2 – 5x – 2, ako se tangente seku pod pravim uglom i jedna od njih dodiruje parabolu u tački sa apscisom 3 (slika 5).

Rješenje. Pošto je data apscisa tačke tangente, prvi dio rješenja svodi se na ključni problem 1.

1. a = 3 – apscisa tačke tangente jedne od stranica pravog ugla.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – jednačina prve tangente.

Neka a – ugao nagiba prve tangente. Pošto su tangente okomite, onda je ugao nagiba druge tangente. Iz jednačine y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Nađimo

To znači da je nagib druge tangente jednak .

Dalje rješenje se svodi na ključni zadatak 3.

Neka je B(c; f(c)) tačka dodira druge prave, onda

1. – apscisa druge tačke dodira.
2.
3.
4.
– jednačina druge tangente.

Bilješka. Ugaoni koeficijent tangente može se lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravih k 1 k 2 = – 1.

2. Napišite jednačine svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija

1. Neka je a apscisa tačke tangente koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Neka je c apscisa tačke tangente koja leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Pošto su tangente opšte, onda

Dakle, y = x + 1 i y = – 3x – 3 su zajedničke tangente.

3. Za koje su b i c prave y = x i y = – 2x tangente na grafik funkcije y = x 2 + bx + c?

Rješenje.

Sastavimo i riješimo sistem jednačina

odgovor:

Problemi koje treba riješiti samostalno

1. Napišite jednačine tangenti povučenih na graf funkcije y = 2x 2 – 4x + 3 u tačkama preseka grafika sa pravom y = x + 3.

Odgovor: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Za koje vrijednosti a tangenta povučena na graf funkcije y = x 2 – ax u tački grafika sa apscisom x 0 = 1 prolazi kroz tačku M(2; 3)?

Odgovor: a = 0,5.

3. Za koje vrijednosti p prava linija y = px – 5 dodiruje krivu y = 3x 2 – 4x – 2?

Odgovor: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Pronađite sve zajedničke tačke grafa funkcije y = 3x – x 3 i tangentu povučenu na ovaj graf kroz tačku P(0; 16).

Odgovor: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Pronađite najkraću udaljenost između parabole y = x 2 + 6x + 10 i prave

odgovor:

6. Na krivoj y = x 2 – x + 1 pronađite tačku u kojoj je tangenta grafika paralelna pravoj liniji y – 3x + 1 = 0.

Odgovor: M(2; 3).

7. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije y = x 2 + 2x – | 4x |, koji ga dodiruje u dvije tačke. Napravite crtež.

Odgovor: y = 2x – 4.

8. Dokazati da prava y = 2x – 1 ne siječe krivu y = x 4 + 3x 2 + 2x. Pronađite udaljenost između njihovih najbližih tačaka.

odgovor:

9. Na paraboli y = x 2 uzete su dvije tačke sa apscisama x 1 = 1, x 2 = 3. Kroz ove tačke je povučena sekansa. U kojoj tački parabole će tangenta na nju biti paralelna sa sekantom? Napišite jednadžbe sekansa i tangente.

Odgovor: y = 4x – 3 – sekantna jednačina; y = 4x – 4 – jednačina tangente.

10. Pronađite ugao q između tangenti na graf funkcije y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, povučen u tačkama sa apscisama 0 i 1.

Odgovor: q = 45°.

11. U kojim tačkama tangenta na graf funkcije formira ugao od 135° sa Ox osom?

Odgovor: A(0; – 1), B(4; 3).

12. U tački A(1; 8) do krive povučena je tangenta. Odredite dužinu tangentnog segmenta između koordinatnih osa.

odgovor:

13. Napišite jednačinu svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija y = x 2 – x + 1 i y = 2x 2 – x + 0,5.

Odgovor: y = – 3x i y = x.

14. Nađite udaljenost između tangenti na graf funkcije paralelne s x-osi.

odgovor:

15. Odredite pod kojim uglom parabola y = x 2 + 2x – 8 seče x-osu.

Odgovor: q 1 = arktan 6, q 2 = arktan (– 6).

16. Funkcijski graf pronaći sve tačke, od kojih tangenta u svakoj na ovaj graf siječe pozitivne poluose koordinata, odsijecajući od njih jednake segmente.

Odgovor: A(– 3; 11).

17. Prava y = 2x + 7 i parabola y = x 2 – 1 seku se u tačkama M i N. Pronađite tačku K preseka pravih tangentnih na parabolu u tačkama M i N.

Odgovor: K(1; – 9).

18. Za koje vrijednosti b je prava y = 9x + b tangenta na grafik funkcije y = x 3 – 3x + 15?

Odgovor: – 1; 31.

19. Za koje vrijednosti k prava linija y = kx – 10 ima samo jednu zajedničku tačku sa grafikom funkcije y = 2x 2 + 3x – 2? Za pronađene vrijednosti k, odredite koordinate tačke.

Odgovor: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Za koje vrijednosti b tangenta povučena na graf funkcije y = bx 3 – 2x 2 – 4 u tački sa apscisom x 0 = 2 prolazi kroz tačku M(1; 8)?

Odgovor: b = – 3.

21. Parabola sa vrhom na osi Ox dodiruje pravu koja prolazi kroz tačke A(1; 2) i B(2; 4) u tački B. Pronađite jednačinu parabole.

odgovor:

22. Pri kojoj vrijednosti koeficijenta k parabola y = x 2 + kx + 1 dodiruje osu Ox?

Odgovor: k = d 2.

23. Pronađite uglove između prave y = x + 2 i krive y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Odrediti udaljenost između tangenti na graf funkcije i generatora sa pozitivnim smjerom ose Ox pod kutom od 45°.

odgovor:

30. Odrediti geometrijsko mjesto vrhova svih parabola oblika y = x 2 + ax + b tangenta na pravu y = 4x – 1.

Odgovor: prava y = 4x + 3.

Književnost

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra i počeci analize: 3600 zadataka za školarce i studente. – M., Drfa, 1999.
2. Mordkovich A. Seminar četiri za mlade nastavnike. Tema: Derivatne aplikacije. – M., „Matematika”, br. 21/94.
3. Formiranje znanja i vještina zasnovanih na teoriji postupne asimilacije mentalnih radnji. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Moskovski državni univerzitet, 1968.