Racionalne nejednakosti i njihov sistem. Frakcionalne racionalne nejednakosti

>>Matematika: Racionalne nejednakosti

Racionalna nejednakost sa jednom promenljivom x je nejednakost oblika - racionalnih izraza, tj. algebarski izrazi sastavljeni od brojeva i varijable x koristeći operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i povećanja na prirodni stepen. Naravno, varijabla se može označiti bilo kojim drugim slovom, ali u matematici se najčešće preferira slovo x.

Prilikom rješavanja racionalnih nejednakosti koriste se tri pravila koja su formulirana gore u § 1. Uz pomoć ovih pravila, data racionalna nejednakost se obično pretvara u oblik / (x) > 0, gdje je / (x) algebarska. razlomak (ili polinom). Zatim razložite brojilac i nazivnik razlomka f (x) na faktore oblika x - a (ako je, naravno, to moguće) i primijenite metodu intervala, koju smo već spomenuli gore (vidi primjer 3 u prethodnom stav).

Primjer 1. Riješite nejednačinu (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Rješenje. Razmotrimo izraz f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Okreće se na 0 u tačkama 1,-1,2; Označimo ove tačke na brojevnoj pravoj. Brojevna prava je podeljena naznačenim tačkama na četiri intervala (slika 6), na svakom od kojih izraz f (x) zadržava konstantan predznak. Da bismo to potvrdili, izvršimo četiri argumenta (za svaki od navedenih intervala posebno).

Uzmimo bilo koju tačku x iz intervala (2. Ova tačka se nalazi na brojevnoj pravoj desno od tačke -1, desno od tačke 1 i desno od tačke 2. To znači da je x > -1, x > 1, x > 2 (slika 7.) Ali tada je x-1>0, x+1>0, x - 2 > 0, pa je f (x) > 0 (kao proizvod racionalne nejednakosti od tri). pozitivni brojevi Dakle, nejednakost f (x) vrijedi na cijelom intervalu.

Uzmimo bilo koju tačku x iz intervala (1,2). Ova tačka se nalazi na brojevnoj pravoj desno od tačke-1, desno od tačke 1, ali levo od tačke 2. To znači x > -1, x > 1, ali x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Uzmimo bilo koju tačku x iz intervala (-1,1). Ova tačka se nalazi na brojevnoj pravoj desno od tačke -1, levo od tačke 1 i levo od tačke 2. To znači x > -1, ali x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (kao proizvod dva negativna i jednog pozitivnog broja). Dakle, na intervalu (-1,1) vrijedi nejednakost f (x)> 0.

Konačno, uzmite bilo koju tačku x iz otvorenog zraka (-oo, -1). Ova tačka se nalazi na brojevnoj pravoj levo od tačke -1, levo od tačke 1 i levo od tačke 2. To znači da je x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Hajde da sumiramo. Znaci izraza f (x) u odabranim intervalima su kao što je prikazano na sl. 11. Zanimaju nas oni od njih za koje vrijedi nejednakost f (x) > 0 Koristeći geometrijski model prikazan na Sl. 11, utvrđujemo da nejednakost f (x) > 0 vrijedi na intervalu (-1, 1) ili na otvorenom zraku
odgovor: -1 < х < 1; х > 2.

Primjer 2. Riješite nejednakost
Rješenje. Kao iu prethodnom primjeru, potrebne informacije ćemo prikupiti sa Sl. 11, ali sa dvije promjene u odnosu na primjer 1. Prvo, pošto nas zanima koje vrijednosti x vrijedi nejednakost f (x)< 0, нам придется выбрать промежутки Drugo, zadovoljni smo i onim tačkama u kojima važi jednakost f (x) = 0 To su tačke -1, 1, 2, označićemo ih na slici tamnim krugovima i uključiti ih u odgovor. Na sl. Slika 12 predstavlja geometrijski model odgovora sa kojeg je lako preći na analitičku notaciju.
odgovor:
Primjer 3. Riješite nejednakost
Rješenje. Faktorizirajmo brojnik i nazivnik algebarskog razlomka fx koji se nalazi na lijevoj strani nejednakosti. U brojiocu imamo x 2 - x = x(x - 1).

Za faktor kvadratnog trinoma x 2 - bx ~ 6 sadržanog u nazivniku razlomka, nalazimo njegove korijene. Iz jednačine x 2 - 5x - 6 = 0 nalazimo x 1 = -1, x 2 = 6. To znači (koristili smo formulu za faktorizaciju kvadratnog trinoma: ax 2 + bx + c = a(x - x 1 - x 2)).
Tako smo datu nejednakost transformisali u oblik

Razmotrite izraz:

Brojilac ovog razlomka se pretvara u 0 u tačkama 0 i 1, a u 0 u tačkama -1 i 6. Označimo ove tačke na brojevnoj pravoj (slika 13). Brojevna prava je podeljena naznačenim tačkama na pet intervala, a na svakom intervalu izraz fh) zadržava konstantan predznak. Rezonujući na isti način kao u primjeru 1, dolazimo do zaključka da su predznaci izraza fh) u odabranim intervalima kao što je prikazano na sl. 13. Zanima nas gdje vrijedi nejednakost f (x).< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0odgovor: -1

Primjer 4. Riješite nejednakost

Rješenje. Prilikom rješavanja racionalnih nejednakosti, po pravilu, radije ostavljaju samo broj 0 na desnoj strani nejednakosti. Stoga nejednakost pretvaramo u oblik

dalje:

Kao što pokazuje iskustvo, ako desna strana nejednakosti sadrži samo broj 0, zgodnije je provesti rasuđivanje kada na lijevoj strani i brojnik i nazivnik imaju pozitivan vodeći koeficijent nazivnik, razlomci u ovom smislu su svi u redu (vodeći koeficijent, tj. koeficijent od x 2, jednak je 6 - pozitivan broj), ali nije sve u redu u brojiocu - vodeći koeficijent (koeficijent od x) je jednako -4 (negativan broj -1 i promjenom predznaka nejednakosti na suprotan, dobivamo ekvivalentnu nejednakost).

Razložimo brojilac i imenilac algebarskog razlomka. U brojiocu je sve jednostavno:
Rastaviti kvadratni trinom sadržan u nazivniku razlomka

(opet smo koristili formulu za faktoring kvadratnog trinoma).
Tako smo datu nejednakost sveli na oblik

Razmotrite izraz

Brojilac ovog razlomka se pretvara u 0 u tački, a nazivnik - u tačkama Ove tačke označavamo na brojevnoj pravoj (slika 14), koja je podeljena označenim tačkama na četiri intervala, a na svakom intervalu izraz. f (x) zadržava konstantan predznak (ovi predznaci su prikazani na slici 14). Zanimaju nas oni intervali na kojima je nejednakost fx< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

U svim razmatranim primjerima datu nejednakost smo transformirali u ekvivalentnu nejednakost oblika f (x) > 0 ili f (x)<0,где
U ovom slučaju, broj faktora u brojniku i nazivniku razlomka može biti bilo koji. Tada su na brojevnoj pravoj označene tačke a, b, c, d. i odredili predznake izraza f (x) na odabranim intervalima. Primetili smo da na krajnjem desnom od izabranih intervala važi nejednakost f (x) > 0, a zatim se duž intervala smenjuju predznaci izraza f (x) (vidi sliku 16a). Ovu alternaciju je zgodno ilustrirati pomoću valovite krivulje, koja se povlači s desna na lijevo i odozgo prema dolje (Sl. 166). Na onim intervalima u kojima se ova kriva (ponekad nazvana predznakom) nalazi iznad x-ose, nejednakost f (x) > 0 je zadovoljena; gdje se ova kriva nalazi ispod x-ose, nejednakost f (x) je zadovoljena< 0.

Primjer 5. Riješite nejednakost

Rješenje. Imamo

(obe strane prethodne nejednakosti pomnožene su sa 6).
Da biste koristili metodu intervala, označite tačke na brojevnoj pravoj (u tim tačkama brojilac razlomka koji se nalazi na levoj strani nejednakosti postaje nula) i tačke (u tim tačkama imenilac navedenog razlomka postaje nula). Obično se tačke označavaju šematski, uzimajući u obzir redosled kojim se pojavljuju (koji je desno, koji je levo) i bez posebnog obraćanja pažnje na poštovanje razmere. To je jasno Situacija s brojevima je složenija. Prva procjena pokazuje da su oba broja nešto veća od 2,6, iz čega je nemoguće zaključiti koji je od navedenih brojeva veći, a koji manji. Pretpostavimo (nasumično) da Onda
Pokazalo se da je nejednakost tačna, što znači da je naša pretpostavka potvrđena: zapravo
dakle,

Označimo naznačenih 5 tačaka navedenim redosledom na brojevnoj pravoj (slika 17a). Složimo znakove izražavanja
na rezultujućim intervalima: na krajnjem desnom je znak +, a zatim se znakovi smenjuju (Sl. 176). Nacrtajmo krivu predznaka i označimo (senčenjem) one intervale na kojima vrijedi nejednakost koja nas zanima f (x) > 0 (slika 17c). Uzmimo to konačno u obzir mi pričamo o tome o nestriktnoj nejednakosti f (x) > 0, što znači da nas zanimaju i one tačke u kojima izraz f (x) nestaje. To su korijeni brojioca razlomka f (x), tj. bodova Označimo ih na sl. 17c u podočnjacima (i, naravno, biće uključeni u odgovor). Evo pirinča. 17c daje potpuni geometrijski model rješenja date nejednačine.

primjeri:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

Prilikom rješavanja frakcionih racionalnih nejednačina koristi se metoda intervala. Stoga, ako vam algoritam dat u nastavku stvara poteškoće, pogledajte članak na .

Kako riješiti razlomke racionalne nejednakosti:

Algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih nejednačina.

primjeri:



Postavite znakove na intervale brojevnih pravih. Da vas podsjetim na pravila postavljanja znakova:

Određujemo predznak u krajnjem desnom intervalu - uzimamo broj iz ovog intervala i zamjenjujemo ga u nejednakost umjesto X. Nakon toga određujemo znakove u zagradama i rezultat množenja ovih znakova;

primjeri:




Odaberite potrebne intervale. Ako postoji poseban korijen, označite ga potvrdnim okvirom kako ga ne biste zaboravili uključiti u odgovor (pogledajte primjer ispod).

primjeri:


Zapišite označene razmake i korijene označene zastavicom (ako ih ima) u svom odgovoru.

primjeri:
Odgovor: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)