mala. Pošto sa font-size:14.0pt">~ (vidi ), onda ~ .

S obzirom na ovo, dobijamo:

pa se serija razilazi.

D) veličina fonta:14.0pt">,

stoga se serija razilazi.

Stanje je neophodno, ali nije dovoljno Uslov konvergencije redova: postoji skup nizova za koji, ali koji se ipak razilaze.

Primjer 3 Istražite konvergenciju serije font-size:14.0pt"> Rješenje. primeti, to https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , tj. ispunjen je neophodan uslov konvergencije. delimična suma

lijevo">

- jednom

pa font-size:14.0pt"> što znači da se serija razlikuje po definiciji.

Dovoljni uslovi za konvergenciju predznak pozitivnih redova

Neka . Zatim serijafont-size:14.0pt"> Znak za poređenje

Neka i su znak pozitivne serije. Ako je nejednakost zadovoljena za sve, tada konvergencija niza slijedi iz konvergencije niza i iz divergencije niza

Ovaj znak ostaje važeći ako je nejednakost https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">, ali samo počevši od nekog broja. Može se protumačiti kako slijedi: ako se veći niz konvergira, onda manji niz konvergira sve više; ako manji niz divergira, onda se i veći razilazi.

Primjer 4 Istražite konvergenciju redova 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Rješenje.

A) Imajte na umu da font-size:14.0pt"> za sve . Serija sa zajedničkim pojmom

B) Uporedite red sa redom ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> divergira, pa se i serija divergira.

Uprkos jednostavnosti formulacije kriterijuma poređenja, u praksi je prikladnija sledeća teorema, koja je njena posledica.

Granični znak poređenja

Neka https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> – pozitivna serija. Ako postoji konačan i ne-nula limit , zatim oba reda i

konvergiraju u isto vrijeme ili razilaze u isto vrijeme.

Kao serija koja se koristi za poređenje sa podacima, serija obrasca . Takva serija se zove blizu Dirichleta. U primjerima 3 i 4 pokazano je da Dirichletov niz sa i divergira. Može za sada-

recimo da je red veličine fonta:14.0pt"> .

Ako , onda red pozvao harmonic. Harmonski niz se razilazi.

Primjer 5 Istražite nizove konvergencijekoristeći kriterijum poređenja granice, ako

Rješenje. a) Budući da za dovoljno veliki https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src=">, i

~ , onda ~ font-size:14.0pt">poređenje sa datim harmonijskim nizom font-size:14.0pt">, tj.

font-size:14.0pt"> Pošto je granica konačna i različita od nule, a harmonijski niz se divergira, i ovaj niz se divergira.

B) Za dovoljno velike https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> je uobičajeni član serije za poređenje sa:

Veličina fonta:14.0pt">Serija se konvergira ( Dirichletov red s veličinom fonta:16.0pt">), tako da i ovaj niz konvergira.

AT) , tako beskonačno mali font-size:14.0pt"> možete

biti zamijenjen vrijednošću koja mu odgovara na(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> with font-size: 20.0pt">). ;

;

;

G)

;

.

Takvi iznosi se nazivaju beskrajni redovi, a njihovi uslovi su termini serije. (Elipsa znači da je broj pojmova beskonačan.) Rješenja složenih matematičkih problema rijetko se mogu predstaviti u tačnom obliku pomoću formula. Međutim, u većini slučajeva ova rješenja se mogu napisati kao serije. Nakon što se takvo rješenje pronađe, metode teorije redova nam omogućavaju da procijenimo koliko članova serije treba uzeti za određene proračune ili kako napisati odgovor u najprikladnijem obliku. Uz numeričke serije možemo uzeti u obzir i tzv. funkcionalni redovi, čiji su termini funkcije . Mnoge funkcije se mogu predstaviti pomoću niza funkcija. Proučavanje numeričkih i funkcionalnih serija je važan dio računanja.

U primjerima (1) i (2) relativno je lako pogoditi po kojem se zakonu formiraju uzastopni pojmovi. Zakon formiranja članova niza može biti mnogo manje očigledan. Na primjer, za seriju (3) postat će jasno ako je ovaj niz napisan u sljedećem obliku:

Konvergentni redovi.

Pošto je dodavanje beskonačnog broja članova niza fizički nemoguće, potrebno je odrediti šta tačno treba razumeti pod zbir beskonačnog niza. Može se zamisliti da se ove operacije sabiranja i oduzimanja izvode uzastopno, jedna za drugom, na primjer, na računaru. Ako se dobijeni zbroji (djelomični zbroji) sve više približavaju određenom broju, onda je razumno ovaj broj nazvati zbirom beskonačnog niza. Dakle, zbir beskonačnog niza može se definirati kao granica niza parcijalnih suma. Štaviše, takav niz se naziva konvergentan.

Pronalaženje zbira niza (3) nije teško ako primijetite da se transformirani niz (4) može zapisati kao

Sukcesivne parcijalne sume nizova (5) su

itd.; možete vidjeti da parcijalni zbroji teže 1. Dakle, ovaj niz konvergira i njegov zbir je 1.

Kao primjer beskonačnog niza, razmotrite beskonačne decimalne razlomke. Dakle, 0,353535... je beskonačan ponavljajući decimalni razlomak, što je kompaktan način pisanja niza

Ovdje je jasan zakon formiranja uzastopnih članova. Slično, 3,14159265... znači

ali zakon formiranja narednih članova niza ovdje nije očigledan: cifre čine decimalni proširenje broja str, a teško je odmah reći koja je, na primjer, 100.000-ta znamenka, iako se teoretski ova brojka može izračunati.

Divergentni redovi.

Za beskonačan niz koji se ne konvergira kaže se da divergira (takav niz se zove divergentan). Na primjer, red

divergira, pošto su njegovi parcijalni zbroji 1/2, 1, 1 1 / 2 , 2,.... Ovi zbroji ne teže ni jednom broju kao granici, jer uzimanjem dovoljno članova serije možemo napraviti parcijalni suma ma koliko velika. Red

također divergira, ali iz drugog razloga: parcijalni zbroji ovog niza se naizmjenično pretvaraju u 1, zatim u 0 i ne teže granici.

Sumiranje.

Pronaći zbir konvergentnog niza (sa datom tačnošću) sukcesivnim sabiranjem njegovih članova, iako je teoretski moguće, praktično je teško implementirati. Na primjer, red

konvergira, a njen zbir sa do deset decimala je 1,6449340668, ali da bi se to izračunalo sa ovom tačnošću, bilo bi potrebno uzeti cca. 20 milijardi članova. Takve serije se obično sumiraju tako što se prvo transformišu različitim tehnikama. U ovom slučaju se koriste algebarske ili računske metode; na primjer, može se pokazati da je zbir serije (8) jednak str 2 /6.

Notacija.

Kada radite sa beskonačnim nizovima, korisno je imati zgodnu notaciju. Na primjer, konačni zbir serije (8) može se zapisati kao

Ovaj unos ukazuje na to n sukcesivno postavljeni na 1, 2, 3, 4 i 5, a rezultati se zbrajaju:

Slično, serija (4) se može napisati kao

gdje simbol Ґ označava da je riječ o beskonačnom nizu, a ne o njegovom konačnom dijelu. Simbol S (sigma) naziva se sumirajući znak.

Beskonačna geometrijska progresija.

Bili smo u mogućnosti da zbrojimo niz (4) jer je postojala jednostavna formula za njegove parcijalne sume. Slično, može se pronaći zbir serije (2), ili općenito,

ako r uzima vrijednosti između –1 i 1. U ovom slučaju, zbir serije (9) je jednak 1/(1 – r); za druge vrednosti r serija (9) se razilazi.

Možete zamisliti periodične decimale kao što je 0,353535... kao još jedan način pisanja beskonačne geometrijske progresije.

Ovaj izraz se može napisati i kao

gdje je serija (9) sa r= 0,01; dakle, zbir serije (10) je jednak

Na isti način, bilo koji periodični decimalni razlomak može se predstaviti kao običan razlomak.

Znakovi konvergencije.

U opštem slučaju, ne postoji jednostavna formula za parcijalne sume beskonačnog niza, pa se koriste posebne metode za utvrđivanje konvergencije ili divergencije niza. Na primjer, ako su svi članovi niza pozitivni, tada se može pokazati da red konvergira ako svaki od njegovih članova ne prelazi odgovarajući član drugog niza, za koji je poznato da konvergira. U prihvaćenoj notaciji to se može napisati na sljedeći način: if a n i 0 i konvergira, a zatim konvergira ako je 0 j b n Ј a n. Na primjer, pošto niz (4) konvergira i

onda možemo zaključiti da i niz (8) konvergira. Poređenje je glavna metoda za utvrđivanje konvergencije mnogih nizova upoređivanjem sa najjednostavnijim konvergentnim redovima. Ponekad se koriste posebniji kriteriji konvergencije (mogu se naći u literaturi o teoriji redova.) Evo još nekoliko primjera konvergentnih nizova s ​​pozitivnim pojmovima:

Poređenje se također može koristiti za utvrđivanje divergencije niza. Ako se niz divergira, onda se i niz divergira ako je 0 J b n Ј a n.

Primjeri divergentnih serija su nizovi

a posebno pošto harmonične serije

Divergencija ove serije može se provjeriti prebrojavanjem sljedećih parcijalnih suma:

itd. Dakle, parcijalni zbroji koji se završavaju na pojmove 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, j premašuju parcijalne sume divergentnog niza (6), te stoga niz (14) mora divergirati.

Apsolutna i uslovna konvergencija.

Za linije poput

metoda poređenja nije primjenjiva, jer pojmovi ove serije imaju različite predznake. Kada bi svi članovi niza (15) bili pozitivni, onda bismo dobili niz (3) za koji je poznato da konvergira. Može se pokazati da to podrazumijeva i konvergenciju reda (15). Kada se promjenom predznaka negativnih članova niza u suprotne može pretvoriti u konvergentni, kažu da je originalni niz konvergira apsolutno.

Naizmjenični harmonijski red (1) nije apsolutno konvergentan, jer niz (14), koji se sastoji od istih ali samo pozitivnih članova, ne konvergira. Međutim, uz pomoć posebnih kriterija konvergencije za naizmjenične nizove, može se pokazati da niz (1) zapravo konvergira. Konvergentni niz koji se ne konvergira apsolutno naziva se uslovno konvergentan.

Operacije sa redovima.

Na osnovu definicije konvergentnog niza, lako je pokazati da njegova konvergencija nije narušena brisanjem ili dodjeljivanjem konačnog broja pojmova, kao i množenjem ili dijeljenjem svih članova niza istim brojem (od naravno, deljenje sa 0 je isključeno). Za bilo koje preuređenje članova apsolutno konvergentnog niza, njegova konvergencija se ne krši, a zbir se ne mijenja. Na primjer, pošto je zbir niza (2) 1, zbir niza

je takođe jednak 1, pošto se ovaj niz dobija iz serije (2) zamenom susednih članova (1. član sa 2. itd.). Možete proizvoljno promijeniti redosljed članova apsolutno konvergentnog niza, sve dok su svi članovi originalnog niza prisutni u novom nizu. S druge strane, preuređivanje članova uslovno konvergentnog niza može promijeniti njegov zbir, pa čak i učiniti ga divergentnim. Štaviše, članovi uslovno konvergentnog niza uvek se mogu preurediti tako da konvergiraju bilo kom unapred određenom zbroju.

Dvije konvergentne serije S a n i S b n može se dodavati (ili oduzimati) pojam po član, tako da se zbir novog niza (koji također konvergira) dodaje zbiru originalnog niza, u našoj notaciji

Pod dodatnim uslovima, na primjer, ako se oba niza apsolutno konvergiraju, mogu se pomnožiti jedan s drugim, kao što se radi za konačne sume, a rezultirajući dvostruki niz ( vidi ispod) će konvergirati umnošku sume originalnog niza.

Sumabilnost.

Uprkos činjenici da se naša definicija konvergencije beskonačnog niza čini prirodnom, ona nije jedina moguća. Zbir beskonačnog niza može se odrediti na druge načine. Razmotrimo, na primjer, seriju (7), koja se može kompaktno napisati kao

Kao što smo već rekli, njegove parcijalne sume naizmjenično poprimaju vrijednosti 1 i 0, te stoga niz ne konvergira. Ali ako naizmenično formiramo prosječne vrijednosti u paru njegovih parcijalnih suma (trenutni prosjek), tj. Ako prvo izračunamo prosjek prvog i drugog parcijalnog zbira, zatim prosjek drugog i trećeg, trećeg i četvrtog itd., tada će svaki takav prosjek biti jednak 1/2, pa će stoga granica parnih prosjeka takođe biti jednak 1/2. U ovom slučaju, za niz se kaže da se može sabirati navedenom metodom i njegov zbir je jednak 1/2. Predložene su mnoge metode sumiranja, koje omogućavaju pripisivanje suma prilično velikim klasama divergentnih redova i na taj način korištenje nekih divergentnih redova u proračunima. U većini slučajeva, metoda sumiranja je korisna, međutim, samo ako, primijenjena na konvergentni niz, daje svoj konačni zbir.

Serija sa složenim pojmovima.

Do sada smo prešutno pretpostavljali da imamo posla samo sa realnim brojevima, ali sve definicije i teoreme važe za nizove sa kompleksnim brojevima (osim što sume koje se mogu dobiti preuređivanjem članova uslovno konvergentnih redova ne mogu imati proizvoljne vrednosti).

funkcionalni redovi.

Kao što smo već napomenuli, članovi beskonačnog niza mogu biti ne samo brojevi, već i funkcije, na primjer,

Zbir takvog niza je također funkcija čija se vrijednost u svakoj tački dobija kao granica parcijalnih suma izračunatih u toj tački. Na sl. 1 prikazuje grafikone nekoliko parcijalnih suma i sume niza (sa x, varira od 0 do 1); s n(x) znači zbir prvog nčlanovi. Zbir niza je funkcija jednaka 1 na 0 J x x = 1. Funkcionalni nizovi mogu konvergirati za iste vrijednosti x i ne slažu se sa drugima; u našem primjeru, niz konvergira na –1J x x.

Zbir funkcionalnog niza može se shvatiti na različite načine. U nekim slučajevima, važnije je znati da su parcijalni zbrojevi bliski (u ovom ili onom smislu) nekoj funkciji na cijelom intervalu ( a, b) nego dokazati konvergenciju ili divergenciju niza u pojedinačnim tačkama. Na primjer, označavanje djelomične sume n-ta narudžba do kraja s n(x), kažemo da red konvergira u srednjem kvadratu do sume s(x), ako

Niz može konvergirati u srednjem kvadratu čak i ako se ne konvergira ni u jednoj točki. Postoje i druge definicije konvergencije funkcionalnog niza.

Neke funkcionalne serije su nazvane prema funkcijama koje uključuju. Kao primjer možemo dati redove stepena i njihove sume:

Prva od ovih serija konvergira za sve x. Drugi red konvergira za | x| r x r x| J 1 ako r> 0 (osim kada r je nenegativan cijeli broj; u potonjem slučaju, niz se završava nakon konačnog broja članova). Formula (17) se naziva binomna ekspanzija za proizvoljan stepen.

Dirichletova serija.

Dirichletovi redovi su funkcionalni nizovi oblika S (1/ a n x), gdje su brojevi a n povećati neograničeno; Primjer Dirichletovog niza je Riemann zeta funkcija

Dirichletovi redovi se često koriste u teoriji brojeva.

trigonometrijske serije.

Ovo je naziv funkcionalnog niza koji sadrži trigonometrijske funkcije; trigonometrijski redovi posebne vrste koji se koriste u harmonijskoj analizi nazivaju se Fourierovi redovi. Primjer Fourierove serije je serija

F( x), koji ima sljedeće svojstvo: ako uzmemo određeni parcijalni zbir niza (18), na primjer, zbir njegova prva tri člana, onda razlika između f(x) i ovaj djelimični zbir izračunat za neku vrijednost x, bit će mali za sve vrijednosti x blizu 0. Drugim riječima, iako ne možemo postići dobru aproksimaciju funkcije f(x) u bilo kojoj određenoj tački x, daleko od nule, uzimajući čak i vrlo mnogo članova serije, ali za x blizu 0, samo nekoliko njegovih članova daje vrlo dobru aproksimaciju. Takvi redovi se nazivaju asimptotički. U numeričkim proračunima, asimptotski redovi su obično korisniji od konvergentnih redova, jer daju prilično dobru aproksimaciju uz pomoć malog broja članova. Asimptotski nizovi se široko koriste u teoriji vjerovatnoće i matematičkoj fizici.

Dvostruki redovi.

Ponekad morate sabrati dvodimenzionalne nizove brojeva

Možemo sabrati red po red, a zatim zbrojiti redove. Uopšteno govoreći, nemamo poseban razlog da preferiramo redove nad kolonama, ali ako se zbrajanje prvo izvrši preko kolona, ​​rezultat može biti drugačiji. Na primjer, razmotrite dvostruki red

Ovdje svaki red konvergira u zbir jednak 0, a zbir suma reda je stoga jednak nuli. S druge strane, zbir članova prvog stupca je 1, a svih ostalih kolona 0, tako da je zbir suma po kolonama 1. Jedini "pogodni" konvergentni dvostruki nizovi su apsolutno konvergentni dvostruki nizovi : mogu se sabrati po redovima ili kolonama, kao i na bilo koji drugi način, a iznos je uvijek isti. Ne postoji prirodna definicija uslovne konvergencije dvostrukih redova.

Osnovne definicije.

Definicija. Zove se zbir članova beskonačnog niza brojeva numeričke serije.

Istovremeno, brojevi
će se zvati članovi serije, i u n je čest član serije.

Definicija. Sume
,n = 1, 2, … pozvao privatni (djelimični) iznosi red.

Dakle, moguće je razmotriti nizove parcijalnih suma niza S 1 , S 2 , …, S n , …

Definicija. Red
pozvao konvergirajući ako se niz njegovih parcijalnih suma konvergira. Zbir konvergentnog niza je granica niza njegovih parcijalnih suma.

Definicija. Ako se niz parcijalnih suma niza razilazi, tj. nema ograničenja ili ima beskonačnu granicu, tada se niz naziva divergentan i nikakav iznos mu nije dodijeljen.

svojstva reda.

1) Konvergencija ili divergencija niza neće biti narušena ako promijenite, odbacite ili dodate konačan broj članova u niz.

2) Razmotrite dva reda
i
, gdje je C konstantan broj.

Teorema. Ako je red
konvergira i njen zbir jeS, zatim red
takođe konvergira, a njen zbir je CS. (C  0)

3) Razmotrite dva reda
i
.suma ili razlika ovi redovi će se zvati red
, gdje se elementi dobijaju kao rezultat sabiranja (oduzimanja) originalnih elemenata sa istim brojevima.

Teorema. Ako su redovi
i
konvergiraju i njihove sume su jednake, respektivno.Si , zatim red
takođe konvergira i njen zbir je jednakS +  .

Razlika dva konvergentna reda će također biti konvergentni niz.

Zbir konvergentnog i divergentnog niza će biti divergentni niz.

Nemoguće je dati opštu tvrdnju o zbiru dva divergentna niza.

Prilikom proučavanja serija uglavnom se rješavaju dva problema: proučavanje konvergencije i pronalaženje zbira niza.

Cauchyjev kriterijum.

(neophodni i dovoljni uslovi za konvergenciju niza)

U cilju redosleda
bio konvergentan, potrebno je i dovoljno da za bilo koje
postojao je brojN, koji un > Ni bilo kojistr> 0, gdje je p cijeli broj, vrijedi sljedeća nejednakost:

.

Dokaz. (potreba)

Neka
, zatim za bilo koji broj
postoji broj N takav da je nejednakost

se izvodi za n>N. Za n>N i bilo koji cijeli broj p>0, nejednakost također vrijedi
. Uzimajući u obzir obje nejednakosti, dobijamo:

Potreba je dokazana. Nećemo razmatrati dokaz dovoljnosti.

Formulirajmo Cauchyjev kriterij za seriju.

U redu za broj
bila konvergentna neophodna i dovoljna da za bilo
postojao je brojNtakav da nan> Ni bilo kojistr>0 bi zadovoljilo nejednakost

.

Međutim, u praksi nije baš zgodno koristiti Cauchyjev kriterij direktno. Stoga se u pravilu koriste jednostavniji kriteriji konvergencije:

1) Ako je red
konvergira, neophodno je da zajednički pojam u n gravitirao ka nuli. Međutim, ovaj uslov nije dovoljan. Možemo samo reći da ako zajednički pojam ne teži nuli, tada se niz tačno divergira. Na primjer, takozvani harmonijski niz je divergentan, iako njegov zajednički izraz teži nuli.

Primjer. Istražite konvergenciju niza

Hajde da nađemo
- nije zadovoljen nužni kriterijum konvergencije, pa se niz divergira.

2) Ako red konvergira, tada je niz njegovih parcijalnih suma ograničen.

Međutim, ni ova karakteristika nije dovoljna.

Na primjer, niz 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… divergira jer redoslijed njegovih parcijalnih suma divergira zbog činjenice da

Međutim, u ovom slučaju je niz parcijalnih suma ograničen, jer
za bilo koji n.

Serija sa nenegativnim pojmovima.

Kada proučavamo nizove sa konstantnim predznakom, ograničavamo se na razmatranje nizova sa nenegativnim članovima, jer kada se jednostavno pomnože sa -1, ove serije se mogu koristiti za dobijanje nizova sa negativnim članovima.

Teorema. Za konvergenciju serije
sa nenegativnim članovima potrebno je i dovoljno da parcijalni sumi niza budu ograničeni.

Znak poređenja serija sa nenegativnim članovima.

Neka budu dva reda
i
at u n , v n  0 .

Teorema. Ako a u n  v n za bilo koji n, zatim iz konvergencije serije
prati konvergenciju serije
, i od divergencije serije
prati divergenciju serije
.

Dokaz. Označiti sa S n i  n parcijalne sume serija
i
. Jer prema teoremi, serija
konvergira, tada su njegovi parcijalni sumi ograničeni, tj. za sve n n  M, gdje je M neki broj. Ali pošto u n  v n, onda S n   n zatim parcijalne sume serije
su također ograničeni, a to je dovoljno za konvergenciju.

Primjer. Istražite nizove konvergencije

Jer
, i harmonijski niz divergira, onda se niz razilazi
.

Primjer.

Jer
, i red
konvergira (kao opadajuća geometrijska progresija), zatim niz
konvergira takođe.

Također se koristi sljedeći kriterij konvergencije:

Teorema. Ako a
i postoji granica
, gdjehje broj različit od nule, zatim niz
i
ponašaju se na isti način u smislu konvergencije.

Znak d'Alamberta.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - francuski matematičar)

Ako za seriju
sa pozitivnim terminima, postoji brojq<1, что для всех достаточно больших nnejednakost

zatim serija
konvergira ako je za sve dovoljno velikonstanje

zatim serija
divergira.

Ograničavajući znak d'Alamberta.

Ograničavajući d'Alembertov test je posljedica gornjeg d'Alembertovog testa.

Ako postoji granica
, zatim u < 1 ряд сходится, а при  > 1 - divergira. Ako a = 1, onda se na pitanje konvergencije ne može odgovoriti.

Primjer. Odrediti konvergenciju niza .

Zaključak: niz konvergira.

Primjer. Odrediti konvergenciju niza

Zaključak: niz konvergira.

Cauchy znak. (radikalna karakteristika)

Ako za seriju
sa nenegativnim članovima, postoji brojq<1, что для всех достаточно больших nnejednakost

,

zatim serija
konvergira ako je za sve dovoljno velikonnejednakost

zatim serija
divergira.

Posljedica. Ako postoji granica
, zatim na <1 ряд сходится, а при >1 red se razilazi.

Primjer. Odrediti konvergenciju niza
.

Zaključak: niz konvergira.

Primjer. Odrediti konvergenciju niza
.

One. Cauchyjev kriterij ne daje odgovor na pitanje o konvergenciji serije. Provjerimo ispunjenost potrebnih uslova konvergencije. Kao što je gore spomenuto, ako se niz konvergira, tada zajednički član niza teži nuli.

,

dakle, nužni uslov za konvergenciju nije zadovoljen, što znači da red divergira.

Integralni Cauchy test.

Ako a (x) je kontinuirana pozitivna funkcija koja se smanjuje na intervalu i
zatim integrali
i
ponašaju se isto u smislu konvergencije.

Varijabilni redovi.

Naizmjenični redovi.

Naizmjenični niz može se napisati kao:

gdje

Leibnizov znak.

Ako je naizmjenična serija apsolutne vrijednostiu i smanjiti
a zajednički pojam teži nuli
, tada se niz konvergira.

Apsolutna i uslovna konvergencija redova.

Razmotrimo neke naizmjenične serije (sa terminima proizvoljnih znakova).

(1)

i niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova niza (1):

(2)

Teorema. Konvergencija serije (2) implicira konvergenciju serije (1).

Dokaz. Serija (2) je pored nenegativnih pojmova. Ako niz (2) konvergira, onda prema Cauchyjevom kriteriju za bilo koji >0 postoji broj N takav da je za n>N i bilo koji cijeli broj p>0 tačna sljedeća nejednakost:

Prema svojstvu apsolutnih vrijednosti:

Odnosno, prema Cauchyjevom kriteriju, konvergencija reda (2) podrazumijeva konvergenciju niza (1).

Definicija. Red
pozvao apsolutno konvergentno ako se niz konvergira
.

Očigledno, za nizove konstantnog znaka, koncepti konvergencije i apsolutne konvergencije se poklapaju.

Definicija. Red
pozvao uslovno konvergentan, ako konvergira, i niz
divergira.

d'Alembertov i Cauchyjev test za naizmjenične serije.

Neka
- naizmjenične serije.

Znak d'Alamberta. Ako postoji granica
, zatim na <1 ряд
biće apsolutno konvergentna, a kada >

Cauchy znak. Ako postoji granica
, zatim na <1 ряд
će biti apsolutno konvergentna, a kada >1 red će biti divergentan. Kada je =1, znak ne daje odgovor o konvergenciji reda.

Svojstva apsolutno konvergentnih redova.

1) Teorema. Za apsolutnu konvergenciju serije
neophodno je i dovoljno da se može predstaviti kao razlika dva konvergentna niza sa nenegativnim članovima.

Posljedica. Uslovno konvergentni niz je razlika dva divergentna niza sa nenegativnim članovima koji teže nuli.

2) U konvergentnom nizu, svako grupisanje članova niza koje ne mijenja njihov redosled čuva konvergenciju i veličinu niza.

3) Ako niz konvergira apsolutno, onda i niz dobijen iz njega bilo kojom permutacijom članova također apsolutno konvergira i ima isti zbir.

Preuređivanjem članova uslovno konvergentnog niza, može se dobiti uslovno konvergentan niz koji ima bilo koji unapred određeni zbir, pa čak i divergentni niz.

4) Teorema. Uz bilo koje grupisanje članova apsolutno konvergentnog niza (u ovom slučaju, broj grupa može biti ili konačan ili beskonačan, a broj članova u grupi može biti ili konačan ili beskonačan), dobija se konvergentni niz, zbir od kojih je jednak zbiru originalnog niza.

5) Ako su redovi i apsolutno konvergiraju i njihove sume su jednake, respektivno. S i , zatim niz sastavljen od svih proizvoda oblika
uzet bilo kojim redoslijedom, također apsolutno konvergira i njegov zbir je jednak S - proizvod zbroja pomnoženog niza.

Ako se, međutim, pomnoži uslovno konvergentni niz, onda rezultat može biti divergentan niz.

Funkcionalne sekvence.

Definicija. Ako članovi serije nisu brojevi, već funkcije iz X, tada se serija zove funkcionalan.

Proučavanje konvergencije funkcionalnih redova je teže od proučavanja numeričkih nizova. Isti funkcionalni niz može, za iste vrijednosti varijable X konvergiraju, au drugima - divergiraju. Stoga se pitanje konvergencije funkcionalnih redova svodi na određivanje tih vrijednosti varijable X za koje se niz konvergira.

Skup takvih vrijednosti se zove region konvergencije.

Budući da je granica svake funkcije uključene u područje konvergencije niza određeni broj, tada će granica funkcionalnog niza biti određena funkcija:

Definicija. Slijed ( f n (x) } konvergira da funkcioniše f(x) na segmentu , ako je za bilo koji broj >0 i bilo koju tačku X iz segmenta koji se razmatra postoji broj N = N(, x) takav da je nejednakost

se izvodi za n>N.

Sa odabranom vrijednošću >0, svaka tačka segmenta odgovara svom broju i stoga će postojati beskonačan broj brojeva koji odgovaraju svim tačkama segmenta. Ako odaberete najveći od svih ovih brojeva, onda će ovaj broj biti prikladan za sve tačke segmenta, tj. biće zajednička za sve tačke.

Definicija. Slijed ( f n (x) } konvergira jednoliko da funkcioniše f(x) na intervalu ako za bilo koji broj >0 postoji broj N = N() takav da je nejednakost

se izvodi za n>N za sve tačke segmenta .

Primjer. Razmotrite sekvencu

Ovaj niz konvergira na cijeloj brojevnoj osi funkciji f(x)=0 , jer

Nacrtajmo ovaj niz:

sinx

Kao što se može vidjeti, kako se broj povećava n graf sekvence se približava osi X.

funkcionalni redovi.

Definicija. Privatni (djelimični) iznosi funkcionalni raspon
funkcije se pozivaju

Definicija. Funkcionalni raspon
pozvao konvergirajući u tački ( x=x 0 ) ako se niz njegovih parcijalnih suma konvergira u ovoj tački. Granica sekvence
pozvao suma red
u tački X 0 .

Definicija. Skup svih vrijednosti X, za koji se niz konvergira
pozvao region konvergencije red.

Definicija. Red
pozvao uniformno konvergentan na segmentu ako se niz parcijalnih suma ovog niza ravnomjerno konvergira na ovom segmentu.

Teorema. (Cauchyjev kriterij za uniformnu konvergenciju niza)

Za jednoliku konvergenciju serije
potrebno i dovoljno da za bilo koji broj >0 postojao je takav brojN( ), koji un> Ni bilo koje celinestr>0 nejednakosti

vrijedi za sve x na intervalu [a, b].

Teorema. (Weierstrassov test uniformne konvergencije)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - njemački matematičar)

Red
konvergira jednoliko i apsolutno na segmentu [a, b], ako moduli njegovih članova na istom segmentu ne prelaze odgovarajuće članove konvergentnog numeričkog niza s pozitivnim članovima:

one. postoji nejednakost:

.

Također kažu da je u ovom slučaju funkcionalna serija
majorized numeričke serije
.

Primjer. Istražite nizove konvergencije
.

Jer
uvek, očigledno je da
.

Poznato je da je opšti harmonijski niz konvergira kada je =3>1, tada, u skladu sa Weierstrass testom, proučavani niz konvergira jednolično i, štaviše, u bilo kojem intervalu.

Primjer. Istražite nizove konvergencije .

Na segmentu [-1,1] nejednakost
one. prema Weierstrassovom testu, ispitivani nizovi konvergiraju na ovom segmentu, a divergiraju na intervalima (-, -1)  (1, ).

Svojstva uniformno konvergentnih redova.

1) Teorema o kontinuitetu zbira niza.

Ako su članovi serije
- kontinuirano na intervalu [a, b] i red konvergira ravnomjerno, a zatim njegov zbirS(x) je kontinuirana funkcija na intervalu [a, b].

2) Teorema o integraciji niza po član.

Uniformno konvergentno na intervalu [a, b] serije sa kontinuiranim članovima mogu se integrisati pojam po član na ovom segmentu, tj. niz sastavljen od integrala njegovih članova u intervalu [a, b] , konvergira integralu zbira niza nad ovim segmentom.

3) Teorema o diferencijaciji niza po članu.

Ako su članovi serije
konvergirajući na segmentu [a, b] su neprekidne funkcije s kontinuiranim izvodima i nizovi sastavljeni od tih izvoda
konvergira ravnomjerno na ovom intervalu, tada se i dati niz ravnomjerno konvergira i može se diferencirati pojam po član.

Zasnovano na činjenici da je zbir niza neka funkcija varijable X, možete izvesti operaciju predstavljanja funkcije kao serije (proširivanje funkcije u niz), koja se široko koristi u integraciji, diferencijaciji i drugim operacijama s funkcijama.

U praksi se često koristi proširenje funkcija u niz stepena.

Power series.

Definicija. power next se zove serija

.

Za proučavanje konvergencije stepena redova zgodno je koristiti d'Alembertov test.

Primjer. Istražite nizove konvergencije

Primjenjujemo d'Alembertov znak:

.

Nalazimo da se ovaj niz konvergira na
i razilazi se na
.

Definirajmo sada konvergenciju na graničnim tačkama 1 i –1.

Za x = 1:
Niz konvergira prema Leibnizovom testu (vidi Sl. Leibnizov znak.).

Za x = -1:
serija divergira (harmonični niz).

Abelove teoreme.

(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - norveški matematičar)

Teorema. Ako je snaga serije
konvergira nax = x 1 , onda konvergira i, štaviše, apsolutno za sve
.

Dokaz. Prema uslovu teoreme, pošto su članovi serije ograničeni, onda

gdje k je neki konstantan broj. Tačna je sljedeća nejednakost:

Iz ove nejednakosti se vidi da x< x 1 numeričke vrijednosti članova našeg niza bit će manje (u svakom slučaju, ne više) od odgovarajućih članova niza na desnoj strani gore napisane nejednakosti, koji čine geometrijsku progresiju. Imenilac ove progresije prema uslovu teoreme manji je od jedan, stoga je ova progresija konvergentan niz.

Stoga, na osnovu uporednog testa zaključujemo da je serija
konvergira, što znači niz
konvergira apsolutno.

Dakle, ako je red snage
konvergira u tački X 1 , tada konvergira apsolutno u bilo kojoj tački intervala dužine 2 centriran na tačku X = 0.

Posljedica. Ako na x = x 1 serija divergira, onda se divergira za sve
.

Dakle, za svaki stepen stepena postoji pozitivan broj R takav da za sve X takav da
serija konvergira apsolutno i za sve
red se razilazi. U ovom slučaju se poziva broj R radijus konvergencije. Interval (-R, R) se poziva interval konvergencije.

Imajte na umu da ovaj interval može biti zatvoren s jedne ili dvije strane, a ne zatvoren.

Radijus konvergencije može se naći pomoću formule:

Primjer. Pronađite područje konvergencije niza

Pronalaženje radijusa konvergencije
.

Stoga, ovaj niz konvergira za bilo koju vrijednost X. Uobičajeni član ove serije teži nuli.

Teorema. Ako je snaga serije
konvergira za pozitivnu vrijednost x=x 1 , tada konvergira jednoliko u bilo kojem unutarnjem intervalu
.

Radnje s nizom potenciranja.

Redovi za čajnike. Primjeri rješenja

Svi preživjeli dobrodošli u drugu godinu! U ovoj lekciji, odnosno u nizu lekcija, naučit ćemo kako upravljati redovima. Tema nije jako teška, ali da biste je savladali trebat će vam znanje iz prvog kursa, posebno morate razumjeti koja je granica, i moći pronaći najjednostavnije granice. Međutim, u redu je, u toku objašnjenja daću odgovarajuće linkove do potrebnih lekcija. Za neke čitatelje, tema matematičkih serija, metoda rješavanja, znakova, teorema može izgledati neobično, pa čak i pretenciozno, apsurdno. U ovom slučaju ne morate mnogo da se „opterećujete“, prihvatamo činjenice kakve jesu i jednostavno učimo da rešavamo tipične, uobičajene zadatke.

1) Redovi za čajnike, a za samovare odmah zadovoljan :)

Za ultrabrzu pripremu na temu postoji ekspresni kurs u pdf formatu, uz pomoć kojeg je zaista moguće "podići" praksu za samo jedan dan.

Koncept brojevnog niza

Uglavnom numeričke serije može se napisati ovako:
ovdje:
- matematička ikona zbira;
– zajednički termin serije(zapamtite ovaj jednostavan izraz);
- varijabla - "brojac". Zapis znači da se zbrajanje vrši od 1 do “plus beskonačnost”, to jest, prvo imamo , zatim , zatim , i tako dalje - do beskonačnosti. Varijabla ili se ponekad koristi umjesto varijable. Zbrajanje ne počinje nužno od jedan, u nekim slučajevima može početi od nule, od dva ili od bilo kojeg prirodni broj.

U skladu sa varijablom "counter", bilo koja serija se može detaljno oslikati:
– i tako dalje do beskonačnosti.

Uslovi - ovo je BROJEVI, koji se zovu članovi red. Ako su svi nenegativni (veće ili jednako nuli), onda se takav niz zove pozitivna brojevna prava.

Primjer 1

Inače, ovo je već "borbeni" zadatak - u praksi je često potrebno snimiti nekoliko članova serije.

Prvo, zatim:
Onda, onda:
Onda, onda:

Proces se može nastaviti beskonačno, ali prema uslovu je bilo potrebno napisati prva tri člana serije, pa zapisujemo odgovor:

Obratite pažnju na fundamentalnu razliku od numerički niz,
u kojima se pojmovi ne zbrajaju, već se tako tretiraju.

Primjer 2

Zapišite prva tri člana serije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, odgovor je na kraju lekcije.

Čak i za naizgled složenu seriju, nije je teško opisati u proširenom obliku:

Primjer 3

Zapišite prva tri člana serije

Zapravo, zadatak se obavlja usmeno: mentalna zamjena u uobičajenom terminu serije prvo , zatim i . na kraju:

Ostavite odgovor ovako bolje je ne pojednostavljivati ​​dobijene termine serije, to je ne pridržavajte se akcije: , , . Zašto? Odgovorite u obrascu nastavniku je mnogo lakše i praktičnije provjeriti.

Ponekad postoji i obrnuto

Primjer 4

Ovdje ne postoji jasan algoritam rješenja. samo treba da vidite šablon.
U ovom slučaju:

Za provjeru, rezultirajuća serija se može "obojiti natrag" u proširenom obliku.

Ali primjer je malo teži za nezavisno rješenje:

Primjer 5

Napišite zbroj u sažetom obliku sa zajedničkim članom niza

Provjerite ponovo pisanjem serije u proširenom obliku

Konvergencija brojevnih nizova

Jedan od ključnih ciljeva teme je ispitivanje niza na konvergenciju. U ovom slučaju moguća su dva slučaja:

1) Reddivergira. To znači da je beskonačan zbir jednak beskonačnosti: bilo koji zbir uopšte ne postoji, kao, na primjer, u seriji
(usput, evo primjera serije sa negativnim pojmovima). Dobar primjer divergentnog niza brojeva na koji ste naišli na početku lekcije: . Ovdje je sasvim očito da je svaki sljedeći član niza veći od prethodnog, dakle i stoga se serija razilazi. Još trivijalniji primjer: .

2) Redkonvergira. To znači da je beskonačan zbir jednak nekom konačan broj: . molim: Ovaj niz konvergira i njegov zbir je nula. Smisaoniji primjer je beskonačno opadajuća geometrijska progresija, poznata nam još od škole: . Zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije izračunava se po formuli: , gdje je prvi član progresije, a njegova baza, koja se po pravilu piše kao ispravan razlomci. U ovom slučaju: , . Na ovaj način: Dobija se konačan broj, što znači da red konvergira, što je i trebalo dokazati.

Međutim, u velikoj većini slučajeva pronađite zbir niza nije tako jednostavno, pa se stoga u praksi za proučavanje konvergencije serije koriste posebni znakovi, koji su teorijski dokazani.

Postoji nekoliko znakova konvergencije niza: neophodan kriterijum za konvergenciju niza, kriterijum poređenja, d'Alembertov kriterijum, Cauchyjev kriterijum, znak Lajbnica i neki drugi znakovi. Kada primijeniti koji znak? Zavisi od uobičajenog termina serije, slikovito rečeno - od "punjenja" serije. I vrlo brzo ćemo sve staviti na police.

! Za dalje učenje potrebno je dobro razumeti, koja je granica i dobro je moći otkriti nesigurnost forme. Za ponavljanje ili proučavanje materijala pogledajte članak Ograničenja. Primjeri rješenja.

Neophodan kriterijum za konvergenciju niza

Ako se niz konvergira, tada njegov zajednički član teži nuli: .

Obrnuto nije tačno u opštem slučaju, tj. ako je , tada se nizovi mogu i konvergirati i divergirati. I tako se ovaj znak koristi za opravdanje divergenciju red:

Ako je zajednički pojam serije ne ide na nulu, tada se serija razilazi

Ili ukratko: ako , onda se niz razilazi. Konkretno, moguća je situacija kada granica uopće ne postoji, kao npr. limit. Ovdje su odmah potkrijepili divergenciju jedne serije :)

Ali mnogo češće je granica divergentnog niza jednaka beskonačnosti, dok umjesto "x" djeluje kao "dinamička" varijabla. Osvježimo naše znanje: granice sa "x" nazivaju se granicama funkcija, a granice s promjenljivom "en" - granicama numeričkih nizova. Očigledna razlika je u tome što varijabla "en" uzima diskretne (diskontinuirane) prirodne vrijednosti: 1, 2, 3, itd. Ali ova činjenica ima malo utjecaja na metode rješavanja granica i metode otkrivanja neizvjesnosti.

Dokažimo da se niz iz prvog primjera divergira.
Uobičajeni član serije:

Zaključak: red divergira

Potrebna karakteristika se često koristi u stvarnim praktičnim zadacima:

Primjer 6

Imamo polinome u brojniku i nazivniku. Onaj koji je pažljivo pročitao i shvatio način otkrivanja neizvjesnosti u članku Ograničenja. Primjeri rješenja, sigurno je to shvatio kada su najveći potenci brojnika i nazivnika jednaka, onda je granica konačan broj .

Podijelite brojilac i imenilac sa

Study Series divergira, budući da nužni kriterijum za konvergenciju niza nije zadovoljen.

Primjer 7

Ispitati konvergenciju serije

Ovo je "uradi sam" primjer. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije

Dakle, kada nam se da BILO KOJI broj brojeva, kao prvo provjeravamo (mentalno ili na nacrtu): da li njegov zajednički izraz teži nuli? Ako ne teži, sastavljamo rješenje po uzoru na primjere br. 6, 7 i dajemo odgovor da se niz divergira.

Koje vrste naizgled divergentnih serija smo razmatrali? Odmah je jasno da se redovi slažu ili razilaze. Serija iz primjera br. 6, 7 također se razilazi: kada brojilac i nazivnik sadrže polinome, a najviši stepen brojila je veći ili jednak najvećem stepenu nazivnika. U svim ovim slučajevima, pri rješavanju i dizajniranju primjera koristimo neophodan kriterij za konvergenciju niza.

Zašto se znak zove neophodno? Shvatite na najprirodniji način: da bi se niz konvergirao, neophodno tako da njegov zajednički pojam teži nuli. I sve bi bilo u redu, ali ovo nije dovoljno. Drugim riječima, ako zajednički član niza teži nuli, TO NE ZNAČI da se niz konvergira- može i konvergirati i divergirati!

Upoznajte:

Ovaj red se zove harmonične serije. Molimo zapamtite! Među brojčanim serijama on je primabalerina. Tačnije balerina =)

Lako je to vidjeti , ALI. U teoriji matematičke analize to se dokazuje harmonijski niz se razilazi.

Također biste trebali zapamtiti koncept generaliziranog harmonijskog niza:

1) Ovaj red divergira u . Na primjer, nizovi se divergiraju, , .
2) Ovaj red konvergira u . Na primjer, serija , , . Još jednom naglašavam da nam u gotovo svim praktičnim zadacima uopće nije bitno koliki je zbir npr. niza, važna je sama činjenica njegove konvergencije.

To su elementarne činjenice iz teorije redova koje su već dokazane, a pri rješavanju nekog praktičnog primjera može se sa sigurnošću pozvati, na primjer, na divergenciju reda ili konvergenciju niza.

Općenito, materijal koji se razmatra je vrlo sličan proučavanje nepravih integrala, a onima koji su proučavali ovu temu bit će lakše. Pa za one koji nisu studirali duplo je lakše :)

Dakle, šta učiniti ako zajednički pojam serije IDE na nulu? U takvim slučajevima, da biste riješili primjere, trebate koristiti druge, dovoljno znakovi konvergencije/divergencije:

Kriterijumi poređenja pozitivnih brojeva

Skrećem vam pažnju da je ovdje riječ samo o pozitivnim brojčanim nizovima (sa nenegativnim članovima).

Postoje dva znaka poređenja, jedan od njih ću jednostavno nazvati znak poređenja, drugi - granični znak poređenja.

Prvo razmotrite znak poređenja, tačnije prvi dio:

Razmotrimo dvije pozitivne numeričke serije i . Ako je poznato, da je red konvergira, i, počevši od nekog broja , vrijedi nejednakost, zatim serija konvergira takođe.

Drugim riječima: Konvergencija niza sa većim članovima implicira konvergenciju niza sa manjim članovima. U praksi, nejednakost je često općenito zadovoljena za sve vrijednosti:

Primjer 8

Ispitati konvergenciju serije

Prvo, proveravamo(mentalno ili na nacrt) izvršenje:
, što znači da nije bilo moguće „izići sa malo krvi“.

Gledamo u "paket" generalizovanog harmonijskog niza i, fokusirajući se na najviši stepen, nalazimo sličan niz: Iz teorije je poznato da konvergira.

Za sve prirodne brojeve vrijedi očigledna nejednakost:

a veći imenioci odgovaraju manjim razlomcima:
, što znači da je, prema kriterijumu poređenja, serija koja se proučava konvergira zajedno sa pored .

Ako sumnjate, onda se nejednakost uvijek može detaljno oslikati! Zapišimo konstruiranu nejednakost za nekoliko brojeva "en":
Ako onda
Ako onda
Ako onda
Ako onda
….
a sada je sasvim jasno da je nejednakost vrijedi za sve prirodne brojeve "en".

Analizirajmo kriterij poređenja i riješeni primjer sa neformalne tačke gledišta. Ipak, zašto se serija konvergira? Evo zašto. Ako se niz konvergira, onda ima nešto final iznos : . I pošto su svi članovi serije manje odgovarajući članovi niza, onda je panj jasno da zbir niza ne može biti veći od broja , a čak i više od toga, ne može biti jednak beskonačnosti!

Slično, možemo dokazati konvergenciju "sličnih" serija: , , itd.

! Bilješka da u svim slučajevima imamo „plus“ u nazivnicima. Prisutnost najmanje jednog minusa može ozbiljno zakomplicirati korištenje razmatranog karakteristika poređenja. Na primjer, ako se niz uporedi na isti način sa konvergentnim nizom (zapišite nekoliko nejednakosti za prve članove), onda uvjet uopće neće biti ispunjen! Ovdje možete izbjeći i odabrati za usporedbu drugu konvergentnu seriju, na primjer, , ali to će za sobom povlačiti nepotrebne rezerve i druge nepotrebne poteškoće. Stoga je za dokazivanje konvergencije niza mnogo lakše koristiti marginalni kriterijum poređenja(vidi sljedeći paragraf).

Primjer 9

Ispitati konvergenciju serije

I u ovom primjeru predlažem da sami razmislite drugi dio funkcije poređenja:

Ako je poznato, da je red divergira, i počevši od nekog broja (često od prve) vrijedi nejednakost, tada serija takođe razilazi.

Drugim riječima: Divergencija niza sa manjim članovima implicira divergenciju niza sa većim članovima.

Šta treba učiniti?
Neophodno je uporediti ispitivani niz sa divergentnim harmonijskim nizom. Za bolje razumijevanje, konstruirajte neke specifične nejednakosti i uvjerite se da je nejednakost istinita.

Dizajn rješenja i uzorka na kraju lekcije.

Kao što je već napomenuto, u praksi se upravo razmatrana karakteristika poređenja rijetko koristi. Pravi "radni konj" serije brojeva je marginalni kriterijum poređenja, a u pogledu učestalosti korištenja, samo znak d'Alamberta.

Granični znak poređenja brojčanih pozitivnih serija

Razmotrimo dvije pozitivne numeričke serije i . Ako je granica omjera zajedničkih članova ovih serija jednaka konačan broj različit od nule: , tada se oba niza konvergiraju ili divergiraju u isto vrijeme.

Kada se koristi kriterijum poređenja granice? Granični znak poređenja se koristi kada je „punjenje“ serije polinom. Ili jedan polinom u nazivniku, ili polinomi i u brojniku i u nazivniku. Opciono, polinomi mogu biti ispod korijena.

Pozabavimo se serijama za koje je prethodni znak poređenja zastao.

Primjer 10

Ispitati konvergenciju serije

Uporedite ovaj niz sa konvergentnim redom. Koristimo granični test poređenja. Poznato je da se niz konvergira. Ako možemo da pokažemo da jeste konačni različit od nule broj, biće dokazano da i niz konvergira.

Dobija se konačan broj različit od nule, što znači da je niz koji se proučava konvergira zajedno sa pored .

Zašto je serija odabrana za poređenje? Da smo izabrali bilo koju drugu seriju iz "isječka" generaliziranog harmonijskog niza, onda ne bismo uspjeli u limitu konačni različit od nule brojevi (možete eksperimentirati).

Bilješka: kada koristimo funkciju marginalnog poređenja, nebitno, kojim redosledom sastaviti odnos zajedničkih članova, u razmatranom primeru, odnos bi se mogao nacrtati i obrnuto: - ovo ne bi promenilo suštinu stvari.