Otvaranje kocke zbira. Kocka razlike i razlika kocki: pravila za primjenu skraćenih formula za množenje

Skraćene formule za množenje. Trening.

Pokušajte procijeniti sljedeće izraze na ovaj način:

odgovori:

Ili, ako znate kvadrate osnovnih dvocifrenih brojeva, zapamtite koliko je to? Sjećaš li se? . Odlično! Pošto kvadriramo, moramo pomnožiti sa. Ispostavilo se da.

Zapamtite da formule kvadratne sume i kvadratne razlike vrijede ne samo za numeričke izraze:

Izračunajte sami sljedeće izraze:

odgovori:

Skraćene formule za množenje. Zaključak.

Hajde da sumiramo malo i napišemo formule za kvadrat zbira i razlike u jednom redu:

Sada vježbajmo "sastavljanje" formule od dekomponiranog pogleda do pogleda. Ova vještina će nam trebati kasnije kada pretvaramo velike izraze.

Recimo da imamo sljedeći izraz:

Znamo da je kvadrat zbira (ili razlike). kvadrat jednog broja kvadrat drugog broja I dvostruki proizvod ovih brojeva.

U ovom zadatku lako je vidjeti kvadrat jednog broja - ovo. Prema tome, jedan od brojeva uključenih u zagradu je kvadratni korijen, tj

Pošto drugi član sadrži, to znači da je ovo dvostruki proizvod jednog i drugog broja, respektivno:

Gdje je drugi broj uključen u našu zagradu.

Drugi broj u zagradi je jednak.

Hajde da proverimo. treba da bude jednaka. Zaista, to je tako, što znači da smo pronašli oba broja u zagradama: i. Ostaje odrediti znak koji stoji između njih. Šta mislite kakav će znak biti tamo?

Tačno! Pošto mi dodati Ako se proizvod udvostruči, između brojeva će biti znak za sabiranje. Sada zapišite transformirani izraz. Jeste li uspjeli? Trebali biste dobiti sljedeće:

Napomena: promjena mjesta pojmova ne utiče na rezultat (nije bitno da li se zbrajanje ili oduzimanje stavlja između i).

Uopšte nije neophodno da termini u izrazu koji se konvertuje budu onako kako je napisano u formuli. Pogledajte ovaj izraz: . Pokušajte ga sami pretvoriti. Desilo se?

Vježbajte - transformirajte sljedeće izraze:

odgovori: Jeste li uspjeli? Hajde da popravimo temu. Odaberite između izraza ispod onih koji se mogu predstaviti kao kvadrat zbira ili razlike.

- dokazati da je ekvivalentan.

- ne može se predstaviti kao kvadrat; moglo bi se zamisliti da umjesto toga postoji.

Razlika kvadrata

Druga skraćena formula za množenje je razlika kvadrata.

Razlika kvadrata nije kvadrat razlike!

Razlika između kvadrata dva broja jednaka je umnošku zbira ovih brojeva i njihove razlike:

Provjerimo da li je ova formula tačna. Da bismo to učinili, pomnožimo, kao što smo radili kada smo izvodili formule za kvadrat zbira i razlike:

Dakle, upravo smo potvrdili da je formula zaista tačna. Ova formula također pojednostavljuje složene računske operacije. Evo primjera:

Potrebno je izračunati: . Naravno, možemo kvadrirati, zatim kvadrirati i oduzimati jedno od drugog, ali formula nam olakšava:

Desilo se? Uporedimo rezultate:

Baš kao i kvadrat zbira (razlike), formula za razliku kvadrata može se koristiti ne samo s brojevima:

Znati kako izračunati razliku kvadrata pomoći će nam da transformiramo složene matematičke izraze.

Obrati pažnju:

Pošto, kada se razlika pravog izraza dekomponuje kvadratom, dobijamo

Budite oprezni i pogledajte koji se termin kvadrira! Da biste konsolidirali temu, transformirajte sljedeće izraze:

Jeste li to zapisali? Uporedimo rezultirajuće izraze:

Sada kada ste savladali kvadrat zbira i kvadrat razlike, kao i razliku kvadrata, pokušajmo riješiti primjere na kombinaciji ove tri formule.

Konverzija elementarnih izraza (zbir na kvadrat, razlika na kvadrat, razlika kvadrata)

Recimo da nam je dat primjer

Ovaj izraz treba pojednostaviti. Pogledajte pažljivo, šta vidite u brojiocu? Tako je, brojilac je savršen kvadrat:

Kada pojednostavljujete izraz, zapamtite da je trag u kojem smjeru treba ići u pojednostavljivanju u nazivniku (ili brojniku). U našem slučaju, kada se nazivnik proširi i ništa se više ne može učiniti, možemo shvatiti da će brojilac biti ili kvadrat zbira ili kvadrat razlike. Pošto sabiramo, postaje jasno da je brojilac kvadrat zbira.

Pokušajte sami konvertirati sljedeće izraze:

Desilo se? Uporedite odgovore i nastavite dalje!

Kocka zbira i kocka razlike

Formule kocke zbira i kocke razlike se izvode na isti način kao kvadrat zbira I razlika na kvadrat: otvaranje zagrada prilikom množenja pojmova jedan s drugim.

Ako se kvadrat zbira i kvadrat razlike vrlo lako pamte, onda se postavlja pitanje: "kako zapamtiti kocke?"

Pažljivo pogledajte dvije opisane formule u poređenju sa kvadriranjem sličnih pojmova:

Koji obrazac vidite?

1. Kada je postavljen u kvadrat imamo kvadrat prvog dana i kvadrat sekunda; kada se podigne na kocku - da kocka isti broj i kocka drugi broj.

2. Kada je postavljen u kvadrat, imamo udvostručeno proizvod brojeva (brojevi podignuti na 1. stepen, što je za jedan stepen manje od onog na koji podižemo izraz); tokom izgradnje u kocka - utrostručio proizvod u kojem je jedan od brojeva na kvadrat (koji je također 1 stepen manji od stepena na koji podižemo izraz).

3. Prilikom kvadriranja, znak u zagradama u otvorenom izrazu se odražava pri sabiranju (ili oduzimanju) dvostrukog proizvoda - ako postoji sabirak u zagradama, onda sabiramo, ako postoji oduzimanje, oduzimamo; kada dižemo kocku, pravilo je sledeće: ako imamo kocku zbira, onda su svi znaci „+“, a ako imamo kocku razlike, onda se znaci smenjuju: “ ” - “ ” - “ ” - “ “ .

Sve navedeno, osim ovisnosti potencija pri množenju članova, prikazano je na slici.

Hoćemo li vježbati? Otvorite zagrade u sljedećim izrazima:

Uporedite dobijene izraze:

Razlika i zbir kocki

Pogledajmo zadnji par formula: razlika i zbir kocki.

Kao što se sjećamo, u razlici kvadrata množimo razliku i zbir ovih brojeva jedan s drugim. Postoje i dvije zagrade u razlici kocki i zbiru kocki:

1 zagrada - razlika (ili zbir) brojeva na prvi stepen (u zavisnosti od toga da li otkrivamo razliku ili zbir kocki);

2. zagrada je nepotpun kvadrat (pogledajte dobro: ako bismo oduzeli (ili dodali) dvostruki proizvod brojeva, postojao bi kvadrat), znak pri množenju brojeva je suprotan predznaku originalnog izraza.

Da bismo pojačali temu, riješimo nekoliko primjera:

Uporedite dobijene izraze:

Trening

odgovori:

Hajde da rezimiramo:

Postoji 7 skraćenih formula za množenje:

NAPREDNI NIVO

Skraćene formule množenja su formule koje, znajući što možete izbjeći izvođenje nekih standardnih radnji prilikom pojednostavljivanja izraza ili faktoringa polinoma. Skraćene formule za množenje treba znati napamet!

Kvadrat sume dva izraza jednaka su kvadratu prvog izraza plus dvostruki proizvod prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza:
Razlika na kvadrat dva izraza jednaka su kvadratu prvog izraza minus dvostruki proizvod prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza:
Razlika kvadrata dva izraza jednaka je umnošku razlike ovih izraza i njihovog zbira:
Kocka zbira dva izraza jednaka su kocki prvog izraza plus trostruki proizvod kvadrata prvog izraza i drugi plus trostruki proizvod prvog izraza i kvadrata drugog plus kocke drugog izraza:
Kocka razlike dva izraza jednaka su kocki prvog izraza minus trostruki proizvod kvadrata prvog izraza i drugog plus trostruki proizvod prvog izraza i kvadrata drugog minus kocke drugog izraza:
Zbir kocki dva izraza jednaka je umnošku zbira prvog i drugog izraza i nepotpunog kvadrata razlike ovih izraza:
Razlika kocke dva izraza jednak je proizvodu razlike prvog i drugog izraza nepotpunim kvadratom zbira ovih izraza:

Dokažimo sada sve ove formule.

Skraćene formule za množenje. Dokaz.

1. .
Kvadratirati izraz znači pomnožiti ga sam sa sobom:
.

Otvorimo zagrade i damo slične:

2. .
Radimo istu stvar: množimo razliku sama po sebi, otvaramo zagrade i dajemo slične:
.

3. .
Uzmimo izraz na desnoj strani i otvorimo zagrade:
.

4. .
Broj u kocki se može predstaviti kao ovaj broj pomnožen njegovim kvadratom:

Isto tako:

U razlici kocki znakovi se izmjenjuju.

6. .

.

7. .
Otvorimo zagrade na desnoj strani:
.

Korištenje skraćenih formula za množenje za rješavanje primjera

Primjer 1:

Pronađite značenje izraza:

Rješenje:

Koristimo formulu kvadrat zbira: .
Zamislimo ovaj broj kao razliku i koristimo formulu za kvadrat razlike: .

Primjer 2:

Pronađite značenje izraza: .

Rješenje:

Koristeći formulu za razliku kvadrata dva izraza, dobijamo:

Primjer 3:

Pojednostavite izraz:

Rješenje na dva načina:

Koristimo formule: kvadrat zbira i kvadrat razlike:

Metoda II.

Koristimo formulu za razliku kvadrata dva izraza:

SADA VAŠA RIJEČ...

Rekao sam vam sve što znam o skraćenim formulama za množenje.

Reci mi sada, hoćeš li ih koristiti? Ako ne, zašto ne?

Kako vam se sviđa ovaj članak?

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite u komentarima. Čitamo sve komentare i odgovaramo na sve.

I sretno na ispitima!

U prethodnoj lekciji bavili smo se faktorizacijom. Savladali smo dvije metode: stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada i grupiranje. U ovoj lekciji - sljedeća moćna metoda: skraćene formule za množenje. Ukratko - FSU.

Skraćene formule množenja (kvadrat zbira i razlike, kocka zbira i razlike, razlika kvadrata, zbroj i razlika kocki) su izuzetno potrebne u svim granama matematike. Koriste se za pojednostavljivanje izraza, rješavanje jednačina, množenje polinoma, smanjenje razlomaka, rješavanje integrala itd. i tako dalje. Ukratko, postoje svi razlozi za suočavanje s njima. Shvatite odakle dolaze, zašto su potrebni, kako ih zapamtiti i kako ih koristiti.

Da li razumemo?)

Odakle dolaze formule za skraćeno množenje?

Jednačine 6 i 7 nisu napisane na poznat način. Malo je suprotno. Ovo je namjerno.) Svaka jednakost funkcionira i s lijeva na desno i s desna na lijevo. Ovaj unos pokazuje jasnije odakle dolaze FSU.

One se uzimaju iz množenja.) Na primjer:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

To je to, bez naučnih trikova. Jednostavno množimo zagrade i dajemo slične. Ovako ispada sve skraćene formule za množenje. Skraćeno množenje je zato što u samim formulama nema množenja zagrada i redukcije sličnih. Skraćeno.) Rezultat se odmah daje.

FSU treba znati napamet. Bez prva tri, ne možete sanjati o C bez ostatka, ne možete sanjati o B ili A.)

Zašto su nam potrebne skraćene formule za množenje?

Postoje dva razloga da naučite, čak i zapamtite, ove formule. Prvi je da gotov odgovor automatski smanjuje broj grešaka. Ali to nije glavni razlog. Ali drugi...

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Eksponencijacija je operacija koja je usko povezana sa množenjem. Predstavimo to formulom: a1 * a2 * … * an = an.

Na primjer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Općenito, eksponencijacija se često koristi u različitim formulama u matematici i fizici. Ova funkcija ima naučniju svrhu od četiri glavne: zbrajanje, oduzimanje, množenje, deljenje.

Podizanje broja na stepen

Podizanje broja na stepen nije komplikovana operacija. Povezan je sa množenjem na sličan način kao i odnos između množenja i sabiranja. Oznaka an je kratka oznaka n-tog broja brojeva “a” pomnoženih jedan s drugim.

Razmotrimo eksponencijaciju koristeći najjednostavnije primjere, prelazeći na složene.

Na primjer, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Četiri na kvadrat (na drugi stepen) jednako je šesnaest. Ako ne razumijete množenje 4 * 4, pročitajte naš članak o množenju.

Pogledajmo još jedan primjer: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pet kubova (na treći stepen) jednako je sto dvadeset i pet.

Drugi primjer: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devet kubika jednako je sedam stotina dvadeset devet.

Formule za eksponencijaciju

Da biste pravilno podigli na stepen, morate zapamtiti i znati formule date u nastavku. U tome nema ničeg ekstra prirodnog, najvažnije je razumjeti suštinu i tada će oni ne samo biti zapamćeni, već će se i činiti lakim.

Podizanje monoma na stepen

Šta je monom? Ovo je proizvod brojeva i varijabli u bilo kojoj količini. Na primjer, dva je monom. A ovaj članak je upravo o podizanju takvih monoma na stepene.

Koristeći formule za stepenovanje, neće biti teško izračunati eksponencijalnost monoma.

Na primjer, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ako monom podignete na stepen, onda se svaka komponenta monoma podiže na stepen.

Podizanjem varijable koja već ima moć na stepen, moći se množe. Na primjer, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Podizanje na negativnu potenciju

Negativna snaga je recipročna vrijednost broja. Koji je recipročan broj? Recipročna vrijednost bilo kojeg broja X je 1/X. To je X-1=1/X. Ovo je suština negativnog stepena.

Razmotrimo primjer (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Žašto je to? Pošto u stepenu postoji minus, ovaj izraz jednostavno prenosimo na nazivnik, a zatim ga podižemo na treći stepen. Jednostavno, zar ne?

Povećanje na razlomak

Počnimo sa razmatranjem problema s konkretnim primjerom. 43/2. Šta znači stepen 3/2? 3 – brojilac, znači podizanje broja (u ovom slučaju 4) na kocku. Broj 2 je imenilac, to je ekstrakcija drugog korijena broja (u ovom slučaju, 4).

Tada dobijamo kvadratni korijen od 43 = 2^3 = 8. Odgovor: 8.

Dakle, nazivnik razlomka može biti 3 ili 4 i do beskonačnosti bilo koji broj, a ovaj broj određuje stepen kvadratnog korijena uzetog iz datog broja. Naravno, imenilac ne može biti nula.

Podizanje korijena na potenciju

Ako se korijen podigne na stepen jednak stepenu samog korijena, onda će odgovor biti radikalan izraz. Na primjer, (√x)2 = x. I tako u svakom slučaju, stepen korena i stepen podizanja korena su jednaki.

Ako je (√x)^4. Tada (√x)^4=x^2. Da bismo provjerili rješenje, pretvaramo izraz u izraz s razlomkom. Pošto je koren kvadrat, imenilac je 2. A ako se koren podigne na četvrti stepen, brojnik je 4. Dobijamo 4/2=2. Odgovor: x = 2.

U svakom slučaju, najbolja opcija je jednostavno pretvoriti izraz u izraz s razlomkom. Ako se razlomak ne poništava, onda je ovo odgovor, pod uslovom da korijen datog broja nije izoliran.

Dizanje kompleksnog broja na stepen

Šta je kompleksan broj? Kompleksni broj je izraz koji ima formulu a + b * i; a, b su realni brojevi. i je broj koji, kada se kvadrira, daje broj -1.

Pogledajmo primjer. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Prijavite se na kurs "Ubrzajte mentalnu aritmetiku, A NE mentalnu aritmetiku" da naučite kako brzo i ispravno sabirati, oduzimati, množiti, dijeliti, kvadratirati brojeve, pa čak i izvlačiti korijene. Za 30 dana naučit ćete kako koristiti jednostavne trikove za pojednostavljenje aritmetičkih operacija. Svaka lekcija sadrži nove tehnike, jasne primjere i korisne zadatke.

Eksponencijacija online

Koristeći naš kalkulator, možete izračunati povećanje broja na stepen:

Eksponencijal 7. razred

Školarci počinju da se uzdižu do moći tek u sedmom razredu.

Eksponencijacija je operacija koja je usko povezana sa množenjem. Hajde da to predstavimo formulom: a1 * a2 * … * an=an.

Na primjer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Primjeri rješenja:

Eksponencijalna prezentacija

Prezentacija o podizanju na stepene, namenjena učenicima sedmog razreda. Prezentacija može razjasniti neke nejasne tačke, ali ove stvari vjerovatno neće biti razjašnjene zahvaljujući našem članku.

Zaključak

Pogledali smo samo vrh ledenog brijega, da bismo bolje razumjeli matematiku - prijavite se za naš kurs: Ubrzavanje mentalne aritmetike - NE mentalne aritmetike.

Na kursu ćete ne samo naučiti desetine tehnika za pojednostavljeno i brzo množenje, sabiranje, množenje, dijeljenje i računanje postotaka, već ćete ih uvježbati u posebnim zadacima i edukativnim igrama! Mentalna aritmetika također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno treniraju prilikom rješavanja zanimljivih zadataka.

Formule skraćenih izraza se vrlo često koriste u praksi, pa je poželjno da ih naučite sve napamet. Do ovog trenutka služit će nam vjerno, a preporučujemo da ga odštampate i držite pred očima u svakom trenutku:

Prve četiri formule iz sastavljene tabele skraćenih formula za množenje omogućavaju vam da kvadrirate i kockirate zbir ili razliku dva izraza. Peti je namijenjen kratkom množenju razlike i zbira dva izraza. A šesta i sedma formula se koriste za množenje sume dva izraza a i b njihovim nepotpunim kvadratom razlike (tako se zove izraz oblika a 2 −a b+b 2) i razlikom dva izraze a i b nepotpunim kvadratom njihovog zbira (a 2 + a·b+b 2 ) redom.

Posebno je vrijedno napomenuti da je svaka jednakost u tabeli identitet. Ovo objašnjava zašto se formule za skraćeno množenje nazivaju i skraćeni identiteti množenja.

Prilikom rješavanja primjera, posebno u kojima je polinom faktoriziran, FSU se često koristi u obliku sa zamijenjenim lijevom i desnom stranom:

Posljednja tri identiteta u tabeli imaju svoja imena. Poziva se formula a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b). formule razlike kvadrata, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - formula za zbir kocki, A a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - formula razlike kocke. Napominjemo da nismo imenovali odgovarajuće formule sa preuređenim dijelovima iz prethodne tabele.

Dodatne formule

Ne bi škodilo dodati još nekoliko identiteta u tablicu skraćenih formula za množenje.

Područja primjene skraćenih formula za množenje (FSU) i primjeri

Glavna svrha skraćenih formula za množenje (fsu) objašnjava se njihovim imenom, odnosno sastoji se u kratkom množenju izraza. Međutim, opseg primjene FSU je mnogo širi i nije ograničen na kratko množenje. Hajde da navedemo glavne pravce.

Nesumnjivo je da je središnja primjena skraćene formule množenja pronađena u izvođenju identičnih transformacija izraza. Najčešće se ove formule koriste u procesu pojednostavljivanje izraza.

Primjer.

Pojednostavite izraz 9·y−(1+3·y) 2 .

Rješenje.

U ovom izrazu, kvadriranje se može izvesti skraćeno, imamo 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Ostaje samo otvoriti zagrade i donijeti slične pojmove: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

Tri faktora, od kojih je svaki jednak x. (\displaystyle x.) Ova aritmetička operacija se naziva "kocka" i njen rezultat je označen x 3 (\displaystyle x^(3)):

x 3 = x ⋅ x ⋅ x (\displaystyle x^(3)=x\cdot x\cdot x)

Za kockasti, inverzna operacija je uzimanje kubnog korijena. Geometrijsko ime trećeg stepena" kocka"je zbog činjenice da su drevni matematičari smatrali vrijednosti kocke kao kubnih brojeva, posebna vrsta kovrčavih brojeva (vidi dolje), od kocke broja x (\displaystyle x) jednak volumenu kocke čija je dužina ivica jednaka x (\displaystyle x).

Niz kocki

, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Zbir prvih kocki n (\displaystyle n) pozitivni prirodni brojevi se izračunavaju po formuli:

∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(i=1)^(n)i^(3 )=1^(3)+2^(3)+3^(3)+\ldots +n^(3)=\left((\frac (n(n+1))(2))\desno) ^(2))

Derivacija formule

Formula za zbir kocki može se izvesti pomoću tablice množenja i formule za zbir aritmetičke progresije. Uzimajući u obzir dvije tablice množenja 5×5 kao ilustraciju metode, sprovešćemo rezonovanje za tablice veličine n×n.

Tablica množenja i brojevne kocke

×	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

Tablice množenja i aritmetička progresija

×	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

Zbir brojeva u k-toj (k=1,2,...) odabranoj oblasti prve tabele:

k 2 + 2 k ∑ l = 1 k − 1 l = k 2 + 2 k k (k − 1) 2 = k 3 (\displaystyle k^(2)+2k\sum _(l=1)^(k- 1)l=k^(2)+2k(\frac (k(k-1))(2))=k^(3))

I zbir brojeva u k-toj (k=1,2,...) odabranoj oblasti druge tabele, koja predstavlja aritmetičku progresiju:

k ∑ l = 1 n l = k n (n + 1) 2 (\displaystyle k\sum _(l=1)^(n)l=k(\frac (n(n+1))(2)))

Zbrajanjem svih odabranih područja prve tablice, dobijamo isti broj kao i sumiranjem svih odabranih područja druge tablice:

∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n k n (n + 1) 2 = n (n + 1) 2 ∑ k = 1 n k = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(k =1)^(n)k^(3)=\suma _(k=1)^(n)k(\frac (n(n+1))(2))=(\frac (n(n+ 1) ))(2))\sum _(k=1)^(n)k=\left((\frac (n(n+1))(2))\desno)^(2))

Neke nekretnine

U decimalnom zapisu, kocka se može završiti bilo kojom cifrom (za razliku od kvadrata)
U decimalnom zapisu, posljednje dvije cifre kocke mogu biti 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 , 29, 31 , 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 6 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Zavisnost pretposljednje cifre kocke od posljednji se može predstaviti u sljedećoj tabeli:

Kocke kao figurirani brojevi

"kubni broj" Q n = n 3 (\displaystyle Q_(n)=n^(3)) istorijski posmatran kao vrsta prostorno figuriranih brojeva. Može se predstaviti kao razlika kvadrata uzastopnih trouglastih brojeva T n (\displaystyle T_(n)):

Q n = (T n) 2 − (T n − 1) 2 , n ⩾ 2 (\displaystyle Q_(n)=(T_(n))^(2)-(T_(n-1))^(2 ),n\geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = (T n) 2 (\displaystyle Q_(1)+Q_(2)+Q_(3)+\dots +Q_(n)=(T_(n) )^(2))

Razlika između dva susjedna kubna broja je centrirani heksagonalni broj.

Izražavanje kubnog broja u terminima tetraedara Π n (3) (\displaystyle \Pi _(n)^((3))).