Udaljenost od početka do ravni (najkraća). Udaljenost od tačke do ravni - definicija i primjeri pronalaženja Udaljenost od početka koordinata do ravnine formule

Ovaj članak govori o određivanju udaljenosti od tačke do ravni. Analizirajmo ga koristeći koordinatnu metodu, koja će nam omogućiti da pronađemo udaljenost od date tačke u trodimenzionalnom prostoru. Da bismo to potvrdili, pogledajmo primjere nekoliko zadataka.

Udaljenost od tačke do ravni nalazi se pomoću poznate udaljenosti od tačke do tačke, pri čemu je jedna od njih data, a druga je projekcija na datu ravan.

Kada je tačka M 1 sa ravni χ specificirana u prostoru, tada se kroz tačku može povući prava prava okomita na ravan. H 1 je njihova zajednička tačka preseka. Iz ovoga dobijamo da je segment M 1 H 1 okomica povučena iz tačke M 1 na ravan χ, gde je tačka H 1 osnova okomice.

Definicija 1

Udaljenost od date tačke do osnove okomice povučene iz date tačke u datu ravan naziva se.

Definicija se može napisati u različitim formulacijama.

Definicija 2

Udaljenost od tačke do ravni je dužina okomice povučene iz date tačke u datu ravan.

Udaljenost od tačke M 1 do χ ravni određuje se na sljedeći način: udaljenost od tačke M 1 do χ ravni će biti najmanja od date tačke do bilo koje tačke na ravni. Ako se tačka H 2 nalazi u χ ravni i nije jednaka tački H 2, onda se dobija pravougaoni trokut oblika M 2 H 1 H 2 , koji je pravougaoni, gde se nalazi krak M 2 H 1, M 2 H 2 – hipotenuza. To znači da slijedi da je M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 smatra se nagnutom, koja je povučena iz tačke M 1 u ravan χ. Imamo da je okomica povučena iz date tačke na ravan manja od nagnute povučene iz tačke u datu ravan. Pogledajmo ovaj slučaj na slici ispod.

Udaljenost od tačke do ravni - teorija, primjeri, rješenja

Postoji niz geometrijskih problema čija rješenja moraju sadržavati udaljenost od tačke do ravni. Mogu postojati različiti načini da se ovo identificira. Za rješavanje koristite Pitagorinu teoremu ili sličnost trokuta. Kada je, prema uslovu, potrebno izračunati rastojanje od tačke do ravni, datog u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora, to se rešava koordinatnom metodom. Ovaj paragraf govori o ovoj metodi.

Prema uslovima zadatka, imamo da je data tačka u trodimenzionalnom prostoru sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) sa ravninom χ potrebno je odrediti rastojanje od M 1 do ravan χ. Za rješavanje ovog problema koristi se nekoliko metoda rješenja.

Prvi način

Ova metoda se zasniva na pronalaženju udaljenosti od tačke do ravni pomoću koordinata tačke H 1, koje su osnova okomice iz tačke M 1 na ravan χ. Zatim morate izračunati udaljenost između M 1 i H 1.

Da biste riješili problem na drugi način, koristite normalnu jednačinu date ravni.

Drugi način

Po uslovu imamo da je H 1 osnova okomice, koja je spuštena iz tačke M 1 u ravan χ. Zatim odredimo koordinate (x 2, y 2, z 2) tačke H 1. Tražena udaljenost od M 1 do χ ravni nalazi se po formuli M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, gdje je M 1 (x 1, y 1, z 1) i H 1 (x 2, y 2, z 2). Da biste to riješili, morate znati koordinate tačke H 1.

Imamo da je H 1 tačka preseka χ ravni sa pravom a, koja prolazi kroz tačku M 1 koja se nalazi okomito na ravan χ. Iz toga slijedi da je potrebno sastaviti jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz datu tačku okomitu na datu ravan. Tada ćemo moći odrediti koordinate tačke H 1. Potrebno je izračunati koordinate tačke preseka prave i ravni.

Algoritam za pronalaženje udaljenosti od tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do χ ravni:

Definicija 3

nacrtati jednačinu prave a koja prolazi kroz tačku M 1 i istovremeno
okomito na ravan χ;
pronađite i izračunajte koordinate (x 2 , y 2 , z 2) tačke H 1, koje su tačke
presek prave a sa ravninom χ ;
izračunajte udaljenost od M 1 do χ koristeći formulu M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Treći način

U datom pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z postoji ravan χ, tada dobijamo normalnu jednačinu ravni oblika cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. Odavde dobijamo da je rastojanje M 1 H 1 sa tačkom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) povučeno u ravan χ, izračunato po formuli M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Ova formula je važeća, jer je ustanovljena zahvaljujući teoremi.

Teorema

Ako je tačka M 1 (x 1, y 1, z 1) data u trodimenzionalnom prostoru, koja ima normalnu jednačinu ravni χ oblika cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, tada se izračunavanjem udaljenosti od tačke do ravni M 1 H 1 dobija iz formule M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, pošto je x = x 1, y = y 1 , z = z 1.

Dokaz

Dokaz teoreme se svodi na pronalaženje udaljenosti od tačke do prave. Odavde dobijamo da je rastojanje od M 1 do χ ravni modul razlike između numeričke projekcije radijus vektora M 1 sa rastojanjem od početka do χ ravni. Tada dobijamo izraz M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Vektor normale ravni χ ima oblik n → = cos α, cos β, cos γ, a njegova dužina je jednaka jedan, n p n → O M → je numerička projekcija vektora O M → = (x 1, y 1 , z 1) u pravcu određenom vektorom n → .

Primijenimo formulu za izračunavanje skalarnih vektora. Tada dobijamo izraz za pronalaženje vektora oblika n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , budući da je n → = cos α , cos β , cos γ · z i O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Koordinatni oblik pisanja imat će oblik n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , zatim M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorema je dokazana.

Odavde dobijamo da se udaljenost od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravni χ izračunava zamjenom cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 u lijeva strana normalne jednadžbe ravni umjesto x, y, z koordinate x 1, y 1 i z 1, koji se odnosi na tačku M 1, uzimajući apsolutnu vrijednost dobijene vrijednosti.

Pogledajmo primjere pronalaženja udaljenosti od tačke sa koordinatama do date ravni.

Primjer 1

Izračunajte udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (5, - 3, 10) do ravni 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Rješenje

Rešimo problem na dva načina.

Prva metoda počinje s izračunavanjem vektora smjera prave a. Po uslovu imamo da je data jednačina 2 x - y + 5 z - 3 = 0 opšta jednačina ravni, a n → = (2, - 1, 5) je vektor normale date ravni. Koristi se kao vektor pravca prave a, koja je okomita na datu ravan. Potrebno je zapisati kanonsku jednačinu prave u prostoru koja prolazi kroz M 1 (5, - 3, 10) sa vektorom pravca sa koordinatama 2, - 1, 5.

Jednačina će postati x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Tačke raskrsnice moraju biti određene. Da biste to učinili, lagano kombinirajte jednadžbe u sistem da biste prešli sa kanonske na jednačine dvije linije koje se seku. Uzmimo ovu tačku kao H 1. Shvatili smo to

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Nakon toga morate omogućiti sistem

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Okrenimo se pravilu rješenja rješenja Gausovog sistema:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Dobijamo da je H 1 (1, - 1, 0).

Izračunavamo udaljenost od date tačke do ravni. Uzimamo tačke M 1 (5, - 3, 10) i H 1 (1, - 1, 0) i dobijamo

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Drugo rješenje je da se zadata jednačina 2 x - y + 5 z - 3 = 0 dovede u normalni oblik. Određujemo faktor normalizacije i dobijamo 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Odavde izvodimo jednačinu ravni 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Lijeva strana jednačine se izračunava zamjenom x = 5, y = - 3, z = 10, a potrebno je uzeti udaljenost od M 1 (5, - 3, 10) do 2 x - y + 5 z - 3 = 0 po modulu. Dobijamo izraz:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Odgovor: 2 30.

Kada je χ ravan specificirana nekom od metoda u odjeljku o metodama za određivanje ravnine, tada prvo trebate dobiti jednačinu χ ravnine i izračunati potrebnu udaljenost koristeći bilo koju metodu.

Primjer 2

U trodimenzionalnom prostoru određene su tačke sa koordinatama M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Izračunajte udaljenost od M 1 do ravni A B C.

Rješenje

Prvo treba da zapišete jednadžbu ravnine koja prolazi kroz date tri tačke sa koordinatama M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Iz toga slijedi da problem ima rješenje slično prethodnom. To znači da udaljenost od tačke M 1 do ravni A B C ima vrijednost 2 30.

Odgovor: 2 30.

Pronalaženje udaljenosti od date tačke na ravni ili do ravni sa kojom su paralelne je pogodnije primenom formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Iz ovoga dobijamo da se normalne jednačine ravni dobijaju u nekoliko koraka.

Primjer 3

Odrediti udaljenost od date tačke sa koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do koordinatne ravni O x y z i ravni date jednadžbom 2 y - 5 = 0.

Rješenje

Koordinatna ravan O y z odgovara jednačini oblika x = 0. Za ravan O y z to je normalno. Stoga je potrebno zamijeniti vrijednosti x = - 3 u lijevu stranu izraza i uzeti apsolutnu vrijednost udaljenosti od tačke sa koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravni. Dobijamo vrijednost jednaku - 3 = 3.

Nakon transformacije, normalna jednadžba ravni 2 y - 5 = 0 će poprimiti oblik y - 5 2 = 0. Tada možete pronaći potrebnu udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravni 2 y - 5 = 0. Zamjenom i računanjem dobijamo 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

odgovor: Tražena udaljenost od M 1 (- 3, 2, - 7) do O y z ima vrijednost 3, a do 2 y - 5 = 0 ima vrijednost 5 2 - 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovom članku ćemo definirati udaljenost od tačke do ravni i analizirati koordinatni metod koji vam omogućava da pronađete udaljenost od date tačke do date ravni u trodimenzionalnom prostoru. Nakon izlaganja teorije, detaljno ćemo analizirati rješenja nekoliko tipičnih primjera i problema.

Navigacija po stranici.

Udaljenost od tačke do ravni - definicija.

Udaljenost od tačke do ravni je određena kroz , od kojih je jedna data tačka, a druga je projekcija date tačke na datu ravan.

Neka su tačka M 1 i ravan date u trodimenzionalnom prostoru. Povučemo pravu liniju a kroz tačku M1, okomitu na ravan. Označimo tačku preseka prave a i ravni sa H 1 . Segment M 1 H 1 se zove okomito, spušten iz tačke M 1 u ravan, a tačka H 1 – osnovicu okomice.

Definicija.

je rastojanje od date tačke do osnove okomice povučene iz date tačke u datu ravan.

Najčešća definicija udaljenosti od tačke do ravni je sljedeća.

Definicija.

Udaljenost od tačke do ravni je dužina okomice povučene iz date tačke u datu ravan.

Treba napomenuti da je udaljenost od tačke M 1 do ravni, određena na ovaj način, najmanja od udaljenosti od date tačke M 1 do bilo koje tačke na ravni. Zaista, neka tačka H 2 leži u ravni i da je različita od tačke H 1 . Očigledno, trokut M 2 H 1 H 2 je pravougaonik, u njemu je M 1 H 1 kateta, a M 1 H 2 hipotenuza, dakle, . Inače, segment M 1 H 2 se zove skloni povučen iz tačke M 1 u ravan. Dakle, okomica povučena iz date tačke u datu ravan je uvijek manja od nagnute povučene iz iste tačke u datu ravan.

Udaljenost od tačke do ravni - teorija, primjeri, rješenja.

Neki geometrijski problemi u nekoj fazi rješenja zahtijevaju pronalaženje udaljenosti od tačke do ravni. Metoda za to se bira ovisno o izvornim podacima. Obično se rezultat postiže korištenjem Pitagorine teoreme ili znakova jednakosti i sličnosti trokuta. Ako trebate pronaći udaljenost od tačke do ravni, koja je data u trodimenzionalnom prostoru, tada u pomoć dolazi koordinatni metod. U ovom paragrafu članka ćemo ga analizirati.

Prvo, hajde da formulišemo uslov problema.

U pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru data je tačka , ravni i potrebno je pronaći udaljenost od tačke M 1 do ravnine.

Pogledajmo dva načina za rješavanje ovog problema. Prva metoda, koja vam omogućava da izračunate udaljenost od tačke do ravnine, zasniva se na pronalaženju koordinata tačke H 1 - osnovice okomice spuštene iz tačke M 1 na ravninu, a zatim izračunavanje udaljenosti između tačaka M 1 i H 1. Drugi način za pronalaženje udaljenosti od date tačke do date ravni uključuje korištenje normalne jednadžbe date ravni.

Prva metoda koja vam omogućava da izračunate udaljenost od tačke u avion.

Neka je H 1 osnova okomice povučene iz tačke M 1 u ravan. Ako odredimo koordinate tačke H 1, tada se potrebna udaljenost od tačke M 1 do ravnine može izračunati kao udaljenost između tačaka I prema formuli. Dakle, ostaje da pronađemo koordinate tačke H 1.

dakle, algoritam za pronalaženje udaljenosti od tačke u avion sljedeći:

Druga metoda pogodna za pronalaženje udaljenosti od tačke u avion.

Kako nam je u pravokutnom koordinatnom sistemu Oxyz data ravan, možemo dobiti normalnu jednačinu ravnine u obliku . Zatim udaljenost od tačke na ravan se izračunava po formuli. Valjanost ove formule za određivanje udaljenosti od tačke do ravni utvrđena je sljedećom teoremom.

Teorema.

Neka je pravougaoni koordinatni sistem Oxyz fiksiran u trodimenzionalnom prostoru i data je tačka i jednadžba normalne ravni oblika . Udaljenost od tačke M 1 do ravni jednaka je apsolutnoj vrijednosti izraza na lijevoj strani normalne jednačine ravnine, izračunatoj na , odnosno .

Dokaz.

Dokaz ove teoreme je apsolutno sličan dokazu slične teoreme datom u dijelu o pronalaženju udaljenosti od tačke do prave.

Lako je pokazati da je udaljenost od tačke M 1 do ravni jednaka modulu razlike između numeričke projekcije M 1 i udaljenosti od početka do ravni, tj. , Gdje - vektor normale ravni, jednak jedan, - u smjeru određen vektorom.

I po definiciji je jednako , iu koordinatnom obliku . Dakle, to je ono što je trebalo dokazati.

dakle, udaljenost od tačke na ravan može se izračunati zamjenom koordinata x 1, y 1 i z 1 tačke M 1 u lijevu stranu normalne jednačine ravnine umjesto x, y i z i uzimanjem apsolutne vrijednosti rezultirajuće vrijednosti .

Primjeri pronalaženja udaljenosti od tačke u avion.

Primjer.

Pronađite udaljenost od tačke u avion.

Rješenje.

Prvi način.

U iskazu problema data nam je opšta ravan jednadžba oblika , iz koje se može vidjeti da je normalni vektor ove ravni. Ovaj vektor se može uzeti kao vektor pravca prave linije koja je okomita na datu ravan. Tada možemo napisati kanonske jednačine prave u prostoru koja prolazi kroz tačku i ima vektor smjera s koordinatama, izgledaju kao .

Počnimo sa pronalaženjem koordinata tačke preseka linije i avioni. Označimo ga H 1 . Da bismo to učinili, prvo napravimo prijelaz sa kanonskih jednadžbi prave linije na jednačine dvije ravnine koje se sijeku:

Sada da riješimo sistem jednačina (ako je potrebno, pogledajte članak). Koristimo:

Dakle, .

Ostaje izračunati potrebnu udaljenost od date tačke do date ravni kao rastojanje između tačaka i :
.

Drugo rješenje.

Dobijamo normalnu jednačinu date ravni. Da bismo to učinili, moramo opću jednadžbu ravnine dovesti u normalni oblik. Odredivši normalizujući faktor , dobijamo normalnu jednačinu ravni . Ostaje izračunati vrijednost lijeve strane rezultirajuće jednačine na i uzmite modul dobivene vrijednosti - to će dati potrebnu udaljenost od tačke u avion:

Pa sam pročitao nešto na ovoj stranici (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vNormal);

gdje je vP1 tačka na ravni, a vNormal je normala na ravan. Zanima me kako vam ovo daje udaljenost od početka svijeta, budući da će rezultat uvijek biti 0. Takođe, da budem jasniji (pošto sam još uvijek malo nejasan po pitanju D dijela jednačine ravnine), je d u jednadžbi ravni udaljenost od prave kroz početak svijeta prije početka ravni?

math

3 Odgovora

Općenito, udaljenost između tačke p i ravnine može se izračunati pomoću formule

Gdje - rad sa tačkastim proizvodom

= ax*bx + ay*by + az*bz

i gdje je p0 tačka na ravni.

Ako n ima jediničnu dužinu, tada je tačkasti proizvod između vektora i njega (potpisana) dužina projekcije vektora na normalu

Formula koju navodite je samo poseban slučaj kada je tačka p ishodište. U ovom slučaju

Udaljenost = = -

Ova jednakost je formalno netačna jer se tačkasti proizvod odnosi na vektore, a ne na tačke... ali i dalje ostaje brojčano. Pisanjem eksplicitne formule dobijate ovo

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

to je isto kao

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

Rezultat nije uvijek nula. Rezultat će biti nula samo ako ravan prođe kroz ishodište. (Ovdje pretpostavimo da ravan ne prolazi kroz ishodište.)

U osnovi, data vam je prava od početka do neke tačke na ravni. (tj. imate vektor od početka do vP1). Problem s ovim vektorom je što je najvjerovatnije nagnut i ide ka nekoj udaljenoj lokaciji u ravni, a ne prema najbližoj tački na ravni. Dakle, ako ste samo uzeli dužinu vP1, na kraju ćete imati preveliku udaljenost.

Ono što treba da uradite je da dobijete projekciju vP1 na neki vektor za koji znate da je okomit na ravan. Ovo je, naravno, vNormal. Dakle, uzmite tačkasti proizvod vP1 i vNormal i podijelite ga dužinom vNormal i dobit ćete svoj odgovor. (Ako su dovoljno ljubazni da vam daju vNormal, što je već vrijednost jedan, onda nema potrebe za podjelom.)

Ovaj problem možete riješiti korištenjem Lagrangeovih množitelja:

Znate da bi najbliža tačka u avionu trebala izgledati ovako:

C = p + v

Gdje je c najbliža tačka, a v je vektor duž ravni (koja je prema tome ortogonalna na normalu na n). Pokušavate pronaći c s najmanjom normom (ili normom na kvadrat). Dakle, pokušavate da minimizirate tačku(c,c) s obzirom da je v ortogonalno na n (dakle, tačka(v,n) = 0).

Dakle, postavite Lagranžijan:

L = tačka(c,c) + lambda * (tačka(v,n)) L = tačka(p+v,p+v) + lambda * (tačka(v,n)) L = tačka(p,p) + 2*tačka(p,v) + tačka(v,v) * lambda * (tačka(v,n))

I uzmite izvod u odnosu na v (i postavite na 0) da dobijete:

2 * p + 2 * v + lambda * n = 0

Možete riješiti lambda u gornjoj jednadžbi tako što ćete staviti tačku, pomnožiti obje strane sa n da dobijete

2 * tačka(p,n) + 2 * tačka(v,n) + lambda * tačka(n,n) = 0 2 * tačka(p,n) + lambda = 0 lambda = - 2 * tačka(p,n )

Zapazite ponovo da je tačka(n,n) = 1 i tačka(v,n) = 0 (pošto je v u ravni i n je ortogonalno na nju). Zamjena lambda se zatim vraća da proizvede:

2 * p + 2 * v - 2 * tačka(p,n) * n = 0

i riješi za v da dobiješ:

V = tačka(p,n) * n - p

Zatim ponovo uključite ovo u c = p + v da dobijete:

C = tačka(p,n) * n

Dužina ovog vektora je |tačka(p,n)| , a znak vam govori da li je tačka u smjeru vektora normale od početka ili u suprotnom smjeru od početka.

najkraća udaljenost od ravni do ishodišta pomoću jednačine ravnine

Pretpostavimo da imam jednadžbu ravnine ax+by+cz=d, kako mogu pronaći najkraću udaljenost od ravnine do početka? Idem u suprotnom smjeru od ovog posta. U ovom postu oni...

Da li slika dubine iz Kinect-a predstavlja udaljenost do ishodišta ili udaljenost do ravnine XY?

Recimo da Kinect sjedi na (0,0,0) i gleda u smjeru +Z. Pretpostavimo da postoji objekt u tački (1, 1, 1) i jedan od piksela na slici dubine iz Kinect-a predstavlja taj objekt...

Udaljenost od početka do tačke u prostoru

Želim da poravnam rastojanje od početka do svih tačaka gde su tačke date okvirom podataka sa dve koordinate. Imam sve tačke kao: x y 1 0,0 0,0 2 -4,0 -2,8 3 -7,0 -6,5 4 -9,0 -11,1...

sferne koordinate - udaljenost do ravni

Referentne informacije Razmotrite sferni koordinatni sistem sličan onom prikazanom ovdje: Koordinatni sistem http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif Za određenu tačku mi...

Kako metodično odabrati udaljenost blizu ravni klipa za projekciju perspektive?

Imam 3D scenu i kameru definiranu pomoću gluPerspective. Imam fiksni FOV i znam minimalnu udaljenost bilo koje geometrije do kamere (to je pogled iz prvog lica, tako da je...

Kako dobiti udaljenost od tačke do ravni u 3d?

Imam trougao sa tačkama A, B, C i tačkom u prostoru (P). Kako mogu dobiti udaljenost od tačke do ravni? Moram da izračunam udaljenost od P do ravni, iako moj...

Rotiranjem CG tačke mijenja se udaljenost od nulte točke

Želim da rotiram CGPoint (crveni pravougaonik) oko drugog CGPointa (plavi pravougaonik) ali on menja udaljenost od početka (plavi pravougaonik)... kada dam 270 u uglu, stvara se...

Dobiti centar ravnine X, Y, Z, kartezijanske koordinate

Moram da dobijem centar ravni X, Y, Z, kartezijanske koordinate. Imam Normalu ravni i udaljenost od njene središnje tačke do ishodišta. Mogu postaviti tačku(e) bilo gdje i...

udaljenost od tačke do ravni u određenom pravcu

Dato: tačka (x1, y1, z1) vektor pravca (a1, b1, c1) ravan ax + by + cz + d = 0 Kako mogu pronaći rastojanje D od tačke do ravni duž ovog vektora? Hvala ti

Pretvaranje ravni u drugi koordinatni sistem

Imam koordinatni sistem kamere definisan matricom rotacije R i translacijom T u odnosu na svjetski koordinatni sistem. Ravan je definisana u koordinatama kamere normalom N i tačkom P na njoj....