Grafičko rješavanje sistema linearnih nejednačina. Linearne nejednakosti

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta se desilo "kvadratna nejednakost"? Nema sumnje!) Ako uzmete bilo koji kvadratnu jednadžbu i zamijenite znak u njoj "=" (jednako) bilo kojem znaku nejednakosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dobijamo kvadratnu nejednakost. Na primjer:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Pa razumes...)

Nije uzalud ovdje povezao jednačine i nejednačine. Poenta je da je prvi korak u rješavanju bilo koji kvadratna nejednakost - riješiti jednačinu iz koje je ova nejednakost napravljena. Iz tog razloga, nemogućnost rješavanja kvadratnih jednačina automatski dovodi do potpunog neuspjeha u nejednačinama. Je li nagovještaj jasan?) Ako ništa drugo, pogledajte kako riješiti bilo koju kvadratnu jednačinu. Tamo je sve detaljno opisano. I u ovoj lekciji ćemo se pozabaviti nejednakostima.

Nejednačina spremna za rješenje ima oblik: na lijevoj strani je kvadratni trinom sjekira 2 +bx+c, desno - nula. Znak nejednakosti može biti apsolutno bilo šta. Prva dva primjera su ovdje već su spremni da donesu odluku. Treći primjer tek treba pripremiti.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Nejednakosti se nazivaju linearnečija su lijeva i desna strana linearne funkcije u odnosu na nepoznatu veličinu. To uključuje, na primjer, nejednakosti:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Stroge nejednakosti: ax +b>0 ili ax+b<0

2) Nestroge nejednakosti: ax +b≤0 ili ax+b≫ 0

Hajde da analiziramo ovaj zadatak. Jedna od stranica paralelograma je 7 cm. Kolika mora biti dužina druge strane da bi obim paralelograma bio veći od 44 cm?

Neka je tražena strana X cm U ovom slučaju, obim paralelograma će biti predstavljen sa (14 + 2x) cm.Nejednakost 14 + 2x > 44 je matematički model problema perimetra paralelograma. Ako zamijenimo varijablu u ovoj nejednakosti X na, na primjer, broj 16, onda dobijamo ispravnu numeričku nejednačinu 14 + 32 > 44. U ovom slučaju kažu da je broj 16 rješenje nejednačine 14 + 2x > 44.

Rješavanje nejednakosti imenuje vrijednost varijable koja je pretvara u pravu numeričku nejednakost.

Dakle, svaki od brojeva je 15,1; 20;73 djeluje kao rješenje nejednačine 14 + 2x > 44, ali broj 10, na primjer, nije njeno rješenje.

Riješite nejednakost znači utvrditi sva njegova rješenja ili dokazati da rješenja nema.

Formulacija rješenja nejednačine slična je formulaciji korijena jednadžbe. Pa ipak, nije uobičajeno označavati “korijen nejednakosti”.

Svojstva numeričkih jednakosti pomogla su nam da riješimo jednačine. Slično tome, svojstva numeričkih nejednačina će pomoći u rješavanju nejednakosti.

Prilikom rješavanja jednačine zamjenjujemo je drugom, jednostavnijom jednačinom, ali ekvivalentnom datoj. Odgovor na nejednakosti nalazi se na sličan način. Kada mijenjaju jednačinu u ekvivalentnu jednačinu, koriste teoremu o prenošenju članova s ​​jedne strane jednačine na suprotnu i o množenju obje strane jednačine istim brojem koji nije nula. Prilikom rješavanja nejednačine postoji značajna razlika između nje i jednačine, koja leži u činjenici da se svako rješenje jednačine može provjeriti jednostavnom zamjenom u izvornu jednadžbu. U nejednačinama ova metoda izostaje, jer nije moguće zamijeniti bezbroj rješenja u izvornu nejednakost. Stoga postoji važan koncept, ove strelice<=>je znak ekvivalentnih, ili ekvivalentnih, transformacija. Transformacija se zove ekvivalent, ili ekvivalentan, ako ne mijenjaju skup rješenja.

Slična pravila za rješavanje nejednačina.

Ako bilo koji pojam pomjerimo iz jednog dijela nejednakosti u drugi, zamjenjujući njegov predznak suprotnim, dobićemo nejednakost ekvivalentnu ovoj.

Ako se obje strane nejednakosti pomnože (podijele) sa istim pozitivnim brojem, dobijamo nejednakost ekvivalentnu ovoj.

Ako se obje strane nejednakosti pomnože (podijele) istim negativnim brojem, zamjenjujući znak nejednakosti suprotnim, dobićemo nejednakost ekvivalentnu datoj.

Koristeći ove pravila Izračunajmo sljedeće nejednakosti.

1) Hajde da analiziramo nejednakost 2x - 5 > 9.

Ovo linearne nejednakosti, naći ćemo njegovo rješenje i razgovarati o osnovnim konceptima.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 je pomaknuto na lijevu stranu sa suprotnim predznakom), onda smo sve podijelili sa 2 i imamo x > 7. Nacrtajmo skup rješenja na osi x

Dobili smo pozitivno usmjereni snop. Skup rješenja bilježimo ili u obliku nejednakosti x > 7, ili u obliku intervala x(7; ∞). Koje je posebno rješenje ove nejednakosti? Na primjer, x = 10 je posebno rješenje ove nejednakosti, x = 12- ovo je također posebno rješenje ove nejednakosti.

Postoji mnogo parcijalnih rješenja, ali naš zadatak je pronaći sva rješenja. I obično postoji bezbroj rješenja.

Hajde da to sredimo primjer 2:

2) Riješiti nejednakost 4a - 11 > a + 13.

Hajde da to riješimo: A pomerite ga na jednu stranu 11 pomerimo ga na drugu stranu, dobijamo 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 nejednakost ima oblik a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Također ćemo prikazati set a< 8 , ali već na osi A.

Odgovor zapisujemo ili u obliku nejednakosti a< 8, либо A(-∞;8), 8 se ne uključuje.

Prvo, malo stihova kako biste stekli osjećaj za problem koji rješava metoda intervala. Recimo da trebamo riješiti sljedeću nejednakost:

(x − 5)(x + 3) > 0

Koje su opcije? Prvo što većini učenika padne na pamet su pravila “plus na plus daje plus” i “minus na minus daje plus”. Stoga je dovoljno razmotriti slučaj kada su oba zagrada pozitivna: x − 5 > 0 i x + 3 > 0. Tada ćemo razmotriti i slučaj kada su oba zagrada negativna: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Napredniji učenici će (možda) zapamtiti da je na lijevoj strani kvadratna funkcija čiji je graf parabola. Štaviše, ova parabola seče osu OX u tačkama x = 5 i x = −3. Za dalji rad potrebno je otvoriti zagrade. Imamo:

x 2 − 2x − 15 > 0

Sada je jasno da su grane parabole usmjerene prema gore, jer koeficijent a = 1 > 0. Pokušajmo nacrtati dijagram ove parabole:

Funkcija je veća od nule gdje prolazi iznad ose OX. U našem slučaju, to su intervali (−∞ −3) i (5; +∞) - ovo je odgovor.

Napomena: na slici je tačno prikazano dijagram funkcija, ne njen raspored. Jer za pravi graf treba brojati koordinate, računati pomake i ostalo sranje od kojeg za sada nemamo nikakvu korist.

Zašto su ove metode neefikasne?

Dakle, razmatrali smo dva rješenja iste nejednakosti. Ispostavilo se da su i jedni i drugi prilično glomazni. Prva odluka se nameće - razmislite samo o tome! — skup sistema nejednakosti. Drugo rješenje također nije posebno lako: morate zapamtiti graf parabole i gomilu drugih malih činjenica.

Bila je to vrlo jednostavna nejednakost. Ima samo 2 množitelja. Sada zamislite da neće biti 2, već najmanje 4 množitelja. Na primjer:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Kako riješiti takvu nejednakost? Proći kroz sve moguće kombinacije za i protiv? Da, brže ćemo zaspati nego što pronađemo rješenje. Crtanje grafa također nije opcija, jer nije jasno kako se takva funkcija ponaša na koordinatnoj ravni.

Za takve nejednakosti potreban je poseban algoritam rješenja, koji ćemo danas razmotriti.

Šta je intervalna metoda

Intervalna metoda je poseban algoritam dizajniran za rješavanje kompleksnih nejednakosti oblika f (x) > 0 i f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Riješite jednačinu f (x) = 0. Dakle, umjesto nejednačine, dobijamo jednačinu koju je mnogo jednostavnije riješiti;
2. Označite sve dobijene korijene na koordinatnoj liniji. Tako će prava linija biti podijeljena na nekoliko intervala;
3. Pronađite predznak (plus ili minus) funkcije f (x) na krajnjem desnom intervalu. Da biste to učinili, dovoljno je u f (x) zamijeniti bilo koji broj koji će biti desno od svih označenih korijena;
4. Označite znakove u preostalim intervalima. Da biste to učinili, samo zapamtite da se prilikom prolaska kroz svaki korijen znak mijenja.

To je sve! Nakon ovoga ostaje samo da zapišemo intervale koji nas zanimaju. Označavaju se znakom “+” ako je nejednakost oblika f (x) > 0, ili znakom “−” ako je nejednakost oblika f (x)< 0.

Na prvi pogled može izgledati da je intervalna metoda neka sitna stvar. Ali u praksi će sve biti vrlo jednostavno. Samo malo vježbajte i sve će vam biti jasno. Pogledajte primjere i uvjerite se sami:

Zadatak. Riješite nejednačinu:

(x − 2)(x + 7)< 0

Radimo metodom intervala. Korak 1: zamijenite nejednačinu jednadžbom i riješite je:

(x − 2)(x + 7) = 0

Proizvod je nula ako i samo ako je barem jedan od faktora nula:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Imamo dva korena. Pređimo na korak 2: označite ove korijene na koordinatnoj liniji. Imamo:

Sada korak 3: pronađite predznak funkcije na krajnjem desnom intervalu (desno od označene tačke x = 2). Da biste to učinili, trebate uzeti bilo koji broj koji je veći od broja x = 2. Na primjer, uzmimo x = 3 (ali niko ne zabranjuje uzimanje x = 4, x = 10, pa čak i x = 10.000). Dobijamo:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Nalazimo da je f (3) = 10 > 0, pa stavljamo znak plus u krajnji desni interval.

Pređimo na posljednju tačku - trebamo primijetiti znakove na preostalim intervalima. Sjećamo se da se prilikom prolaska kroz svaki korijen znak mora promijeniti. Na primjer, desno od korijena x = 2 nalazi se plus (u to smo se uvjerili u prethodnom koraku), tako da mora biti minus lijevo.

Ovaj minus se proteže na cijeli interval (−7; 2), tako da postoji minus desno od korijena x = −7. Dakle, lijevo od korijena x = −7 nalazi se plus. Ostaje označiti ove znakove na koordinatnoj osi. Imamo:

Vratimo se prvobitnoj nejednakosti, koja je imala oblik:

(x − 2)(x + 7)< 0

Dakle, funkcija mora biti manja od nule. To znači da nas zanima znak minus, koji se pojavljuje samo na jednom intervalu: (−7; 2). Ovo će biti odgovor.

Zadatak. Riješite nejednačinu:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Korak 1: postavite lijevu stranu na nulu:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Zapamtite: proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Zato imamo pravo da svaku pojedinačnu zagradu izjednačimo sa nulom.

Korak 2: označite sve korijene na koordinatnoj liniji:

Korak 3: saznajte znak krajnje desne praznine. Uzimamo bilo koji broj koji je veći od x = 1. Na primjer, možemo uzeti x = 10. Imamo:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.

Korak 4: postavljanje preostalih znakova. Sjećamo se da se prilikom prolaska kroz svaki korijen znak mijenja. Kao rezultat, naša slika će izgledati ovako:

To je sve. Ostaje samo da zapišete odgovor. Pogledajte još jednom originalnu nejednakost:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Ovo je nejednakost oblika f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Ovo je odgovor.

Napomena o znakovima funkcije

Praksa pokazuje da se najveće poteškoće u intervalnoj metodi javljaju u posljednja dva koraka, tj. prilikom postavljanja znakova. Mnogi učenici počinju da se zbunjuju: koje brojeve uzeti i gdje staviti znakove.

Da biste konačno razumjeli metodu intervala, razmotrite dva zapažanja na kojima se zasniva:

1. Kontinuirana funkcija mijenja predznak samo u tim točkama gdje je jednak nuli. Takve tačke dijele koordinatnu osu na dijelove, unutar kojih se predznak funkcije nikada ne mijenja. Zato rješavamo jednačinu f (x) = 0 i na pravoj liniji označavamo pronađene korijene. Pronađeni brojevi su "granične" tačke koje razdvajaju prednosti i nedostatke.
2. Da biste saznali predznak funkcije na bilo kojem intervalu, dovoljno je zamijeniti bilo koji broj iz tog intervala u funkciju. Na primjer, za interval (−5; 6) imamo pravo uzeti x = −4, x = 0, x = 4 pa čak i x = 1,29374 ako želimo. Zašto je to važno? Da, jer sumnje počinju da grizu mnoge studente. Na primjer, šta ako za x = −4 dobijemo plus, a za x = 0 dobijemo minus? Ali ništa slično se nikada neće dogoditi. Sve tačke na istom intervalu daju isti predznak. Zapamtite ovo.

To je sve što trebate znati o metodi intervala. Naravno, analizirali smo ga u najjednostavnijem obliku. Postoje složenije nejednakosti - nestroge, frakcijske i s ponovljenim korijenima. Za njih možete koristiti i metodu intervala, ali ovo je tema za zasebnu veliku lekciju.

Sada bih želio pogledati naprednu tehniku ​​koja dramatično pojednostavljuje metodu intervala. Tačnije, pojednostavljenje utiče samo na treći korak - izračunavanje predznaka na krajnjem desnom delu linije. Iz nekog razloga ova tehnika se ne uči u školama (bar mi to niko nije objasnio). Ali uzalud - jer je ovaj algoritam zapravo vrlo jednostavan.

Dakle, predznak funkcije je na desnom dijelu brojevne prave. Ovaj komad ima oblik (a ; +∞), gdje je a najveći korijen jednadžbe f (x) = 0. Da vas ne bi oduševili, razmotrimo konkretan primjer:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Imamo 3 korijena. Napišimo ih rastućim redoslijedom: x = −2, x = 1 i x = 7. Očigledno, najveći korijen je x = 7.

Za one kojima je lakše grafički zaključiti, označit ću ove korijene na koordinatnoj liniji. Da vidimo šta se dešava:

Potrebno je pronaći predznak funkcije f (x) na krajnjem desnom intervalu, tj. do (7; +∞). Ali kao što smo već primijetili, da biste odredili znak, možete uzeti bilo koji broj iz ovog intervala. Na primjer, možete uzeti x = 8, x = 150, itd. A sada - ista tehnika koja se ne uči u školama: uzmimo beskonačnost kao broj. Preciznije, plus beskonačnost, tj. +∞.

„Jeste li kamenovani? Kako možete zamijeniti beskonačnost u funkciju?" - mogli biste pitati. Ali razmislite o tome: ne treba nam vrijednost same funkcije, potreban nam je samo znak. Stoga, na primjer, vrijednosti f (x) = −1 i f (x) = −938 740 576 215 znače istu stvar: funkcija na ovom intervalu je negativna. Dakle, sve što se od vas traži je da pronađete znak koji se pojavljuje u beskonačnosti, a ne vrijednost funkcije.

Zapravo, zamjena beskonačnosti je vrlo jednostavna. Vratimo se našoj funkciji:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Zamislite da je x veoma veliki broj. Milijardu ili čak trilion. Sada da vidimo šta se dešava u svakoj zagradi.

Prva zagrada: (x − 1). Šta se dešava ako od milijardu oduzmete jedan? Rezultat će biti broj koji se neće mnogo razlikovati od milijarde, a ovaj broj će biti pozitivan. Slično sa drugom zagradom: (2 + x). Ako dodate milijardu na dvije, dobijete milijardu i kopejke - ovo je pozitivan broj. Konačno, treća zagrada: (7 − x). Ovdje će biti minus milijarda, od koje je “oglodan” patetični komadić u obliku sedmice. One. rezultirajući broj neće se mnogo razlikovati od minus milijardi - bit će negativan.

Ostaje samo pronaći znak cijelog djela. Pošto smo u prvim zagradama imali plus, a u posljednjoj minus, dobijamo sljedeću konstrukciju:

(+) · (+) · (−) = (−)

Konačni znak je minus! I nije važno kolika je vrijednost same funkcije. Glavna stvar je da je ova vrijednost negativna, tj. krajnji desni interval ima predznak minus. Ostaje samo da dovršite četvrti korak metode intervala: rasporedite sve znakove. Imamo:

Prvobitna nejednakost je bila:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Stoga nas zanimaju intervali označeni znakom minus. Pišemo odgovor:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

To je cijeli trik koji sam ti htio reći. U zaključku, evo još jedne nejednakosti koja se može riješiti intervalnom metodom korištenjem beskonačnosti. Da vizualno skratim rješenje, neću pisati brojeve koraka i detaljne komentare. Napisat ću samo ono što zaista trebate napisati kada rješavate stvarne probleme:

Zadatak. Riješite nejednačinu:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Nejednakost zamjenjujemo jednadžbom i rješavamo je:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Označavamo sva tri korijena na koordinatnoj liniji (odjednom znakovima):

Na desnoj strani koordinatne ose nalazi se plus, jer funkcija izgleda ovako:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

A ako zamijenimo beskonačnost (na primjer, milijardu), dobićemo tri pozitivne zagrade. Pošto originalni izraz mora biti veći od nule, zanimaju nas samo pozitivni. Ostaje samo da napišete odgovor:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Jedna od tema koja od učenika zahtijeva maksimalnu pažnju i istrajnost je rješavanje nejednakosti. Tako slične jednadžbi, a u isto vrijeme vrlo različite od njih. Jer njihovo rješavanje zahtijeva poseban pristup.

Svojstva koja će biti potrebna za pronalaženje odgovora

Svi oni se koriste za zamjenu postojećeg unosa s ekvivalentnim. Većina njih je slična onome što je bilo u jednadžbi. Ali postoje i razlike.

• Funkcija koja je definirana u ODZ-u, ili bilo koji broj, može se dodati na obje strane izvorne nejednakosti.
• Isto tako, množenje je moguće, ali samo pozitivnom funkcijom ili brojem.
• Ako se ova radnja izvodi s negativnom funkcijom ili brojem, tada se znak nejednakosti mora zamijeniti suprotnim.
• Funkcije koje nisu negativne mogu se podići na pozitivnu potenciju.

Ponekad je rješavanje nejednakosti popraćeno radnjama koje daju strane odgovore. Treba ih eliminisati upoređivanjem DL domena i skupa rješenja.

Korištenje metode intervala

Njegova suština je da se nejednakost svede na jednadžbu u kojoj se na desnoj strani nalazi nula.

1. Odredite područje u kojem se nalaze dozvoljene vrijednosti varijabli, odnosno ODZ.
2. Transformirajte nejednakost pomoću matematičkih operacija tako da desna strana ima nulu.
3. Zamijenite znak nejednakosti sa “=” i riješite odgovarajuću jednačinu.
4. Na numeričkoj osi označite sve odgovore koji su dobijeni tokom rješavanja, kao i OD intervale. U slučaju stroge nejednakosti, tačke se moraju nacrtati kao probušene. Ako postoji znak jednakosti, onda ih treba prefarbati.
5. Odredite predznak izvorne funkcije na svakom intervalu dobivenom iz tačaka ODZ-a i odgovora koji ga dijele. Ako se predznak funkcije ne mijenja pri prolasku kroz tačku, onda je uključen u odgovor. U suprotnom je isključeno.
6. Granične tačke za ODZ treba dalje provjeriti i tek onda uključiti ili ne uključiti u odgovor.
7. Rezultirajući odgovor mora biti napisan u obliku kombinovanih skupova.

Malo o dvostrukim nejednakostima

Koriste dva znaka nejednakosti odjednom. To jest, neka funkcija je ograničena uslovima dva puta odjednom. Takve se nejednakosti rješavaju kao sistem dvojke, kada se original podijeli na dijelove. A u metodi intervala navedeni su odgovori iz rješavanja obje jednačine.

Da biste ih riješili, također je dozvoljeno koristiti gore navedena svojstva. Uz njihovu pomoć, zgodno je smanjiti nejednakost na nulu.

Šta je sa nejednačinama koje imaju modul?

U ovom slučaju, rješenje nejednačina koristi sljedeća svojstva, a ona vrijede za pozitivnu vrijednost “a”.

Ako "x" poprimi algebarski izraz, tada su važeće sljedeće zamjene:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a do x< -a или х >a.

Ako nejednakosti nisu stroge, onda su i formule tačne, samo što se u njima, pored znaka većeg ili manjeg, pojavljuje i “=”.

Kako se rješava sistem nejednakosti?

Ovo znanje će biti potrebno u slučajevima kada je takav zadatak zadan ili postoji zapis o dvostrukoj nejednakosti ili se modul pojavljuje u zapisu. U takvoj situaciji rješenje će biti vrijednosti varijabli koje bi zadovoljile sve nejednakosti u zapisu. Ako takvih brojeva nema, onda sistem nema rješenja.

Plan po kome se sprovodi rešavanje sistema nejednačina:

• riješiti svaki od njih posebno;
• prikazati sve intervale na brojevnoj osi i odrediti njihove sjecišta;
• zapišite odgovor sistema, koji će biti kombinacija onoga što se dogodilo u drugom paragrafu.

Šta raditi sa razlomcima?

Budući da njihovo rješavanje može zahtijevati promjenu znaka nejednakosti, morate vrlo pažljivo i pažljivo pratiti sve točke plana. U suprotnom, možete dobiti suprotan odgovor.

Rješavanje frakcijskih nejednačina također koristi metodu intervala. A akcioni plan će biti ovakav:

• Koristeći opisana svojstva, dajte razlomku takav oblik da ostane samo nula desno od znaka.
• Zamijenite nejednakost sa “=” i odredite tačke u kojima će funkcija biti jednaka nuli.
• Označite ih na koordinatnoj osi. U ovom slučaju, brojevi dobijeni kao rezultat izračunavanja u nazivniku uvijek će biti iskucani. Svi ostali su zasnovani na uslovu nejednakosti.
• Odrediti intervale konstantnosti predznaka.
• Kao odgovor, zapišite uniju onih intervala čiji predznak odgovara onom u izvornoj nejednakosti.

Situacije kada se iracionalnost pojavljuje u nejednakosti

Drugim riječima, postoji matematički korijen u notaciji. Budući da je u školskom kursu algebre većina zadataka za kvadratni korijen, ovo će biti razmatrano.

Rješenje iracionalnih nejednakosti svodi se na dobijanje sistema od dva ili tri koji će biti ekvivalentan izvornom.

Originalna nejednakost	stanje	ekvivalentni sistem
√ n(x)< m(х)	m(x) manje ili jednako 0	nema rješenja
	m(x) veće od 0	n(x) je veće ili jednako 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) veće ili jednako 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) je veće ili jednako 0 m(x) manje od 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) manje od 0	nema rješenja
	m(x) veće ili jednako 0	n(x) je veće ili jednako 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) veće ili jednako 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) je veće ili jednako 0 m(x) manje od 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) je veće ili jednako 0 n(x) manje od m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) veće od 0 m(x) manje od 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) veće od 0 m(x) veće od 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) veće od 0
		n(x) je jednako 0 m(x) - bilo koji
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) veće od 0
		n(x) je jednako 0 m(x) - bilo koji

Primjeri rješavanja različitih vrsta nejednakosti

Da bi se teoriji o rješavanju nejednakosti dodala jasnoća, u nastavku su dati primjeri.

Prvi primjer. 2x - 4 > 1 + x

Rješenje: Da biste odredili ADI, sve što trebate učiniti je pažljivo pogledati nejednakost. Formira se od linearnih funkcija, stoga je definiran za sve vrijednosti varijable.

Sada trebate oduzeti (1 + x) s obje strane nejednakosti. Ispada: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Nakon što se otvore zagrade i daju slični pojmovi, nejednakost će poprimiti sljedeći oblik: x - 5 > 0.

Izjednačavajući ga sa nulom, lako je pronaći njegovo rješenje: x = 5.

Sada ova tačka sa brojem 5 mora biti označena na koordinatnoj zraci. Zatim provjerite znakove originalne funkcije. Na prvom intervalu od minus beskonačnosti do 5, možete uzeti broj 0 i zamijeniti ga nejednakošću dobivenom nakon transformacija. Nakon proračuna ispada -7 >0. ispod luka intervala treba da potpišete znak minus.

Na sljedećem intervalu od 5 do beskonačnosti, možete odabrati broj 6. Tada se ispostavi da je 1 > 0. Ispod luka je znak “+”. Ovaj drugi interval će biti odgovor na nejednakost.

Odgovor: x leži u intervalu (5; ∞).

Drugi primjer. Potrebno je riješiti sistem od dvije jednačine: 3x + 3 ≤ 2x + 1 i 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Rješenje. VA ovih nejednakosti također leži u području bilo kojeg broja, pošto su linearne funkcije date.

Druga nejednačina će imati oblik sljedeće jednačine: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Nakon transformacije: -x - 4 =0. Ovo proizvodi vrijednost za varijablu jednaku -4.

Ova dva broja moraju biti označena na osi, prikazujući intervale. Pošto nejednakost nije stroga, sve tačke moraju biti zasjenjene. Prvi interval je od minus beskonačnosti do -4. Neka bude izabran broj -5. Prva nejednakost će dati vrijednost -3, a druga 1. To znači da ovaj interval nije uključen u odgovor.

Drugi interval je od -4 do -2. Možete odabrati broj -3 i zamijeniti ga u obje nejednačine. U prvom i drugom, vrijednost je -1. To znači da ispod luka "-".

U posljednjem intervalu od -2 do beskonačnosti, najbolji broj je nula. Morate ga zamijeniti i pronaći vrijednosti nejednakosti. Prvi od njih daje pozitivan broj, a drugi nulu. Ova praznina se također mora isključiti iz odgovora.

Od tri intervala, samo jedan je rješenje nejednakosti.

Odgovor: x pripada [-4; -2].

Treći primjer. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Rješenje. Prvi korak je određivanje tačaka u kojima funkcije nestaju. Za lijevu ovaj broj će biti 2, za desnu - 1. Treba ih označiti na gredi i odrediti intervale konstantnosti predznaka.

Na prvom intervalu, od minus beskonačnosti do 1, funkcija na lijevoj strani nejednakosti poprima pozitivne vrijednosti, a funkcija na desnoj strani poprima negativne vrijednosti. Ispod luka trebate napisati dva znaka “+” i “-” jedan pored drugog.

Sljedeći interval je od 1 do 2. Na njemu obje funkcije poprimaju pozitivne vrijednosti. To znači da postoje dva plusa ispod luka.

Treći interval od 2 do beskonačnosti će dati sljedeći rezultat: lijeva funkcija je negativna, desna funkcija je pozitivna.

Uzimajući u obzir rezultirajuće znakove, potrebno je izračunati vrijednosti nejednakosti za sve intervale.

Prvi proizvodi sljedeću nejednakost: 2 - x > - 2 (x - 1). Minus ispred dva u drugoj nejednakosti je zbog činjenice da je ova funkcija negativna.

Nakon transformacije, nejednakost izgleda ovako: x > 0. Odmah daje vrijednosti varijable. Odnosno, iz ovog intervala će biti odgovoreno samo na interval od 0 do 1.

Na drugom: 2 - x > 2 (x - 1). Transformacije će dati sljedeću nejednakost: -3x + 4 je veće od nule. Njegova nula će biti x = 4/3. Uzimajući u obzir znak nejednakosti, ispada da x mora biti manji od ovog broja. To znači da se ovaj interval smanjuje na interval od 1 do 4/3.

Ovo posljednje daje sljedeću nejednakost: - (2 - x) > 2 (x - 1). Njegova transformacija dovodi do sljedećeg: -x > 0. To jest, jednačina je tačna kada je x manje od nule. To znači da na traženom intervalu nejednakost ne daje rješenja.

U prva dva intervala ispostavilo se da je granični broj 1. Potrebno ga je posebno provjeriti. Odnosno, zamijenite ga izvornom nejednakošću. Ispada: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Brojanje pokazuje da je 1 veće od 0. Ovo je tačna tvrdnja, tako da je jedan uključen u odgovor.

Odgovor: x leži u intervalu (0; 4/3).

Nejednakost je izraz sa, ≤ ili ≥. Na primjer, 3x - 5 Rješavanje nejednakosti znači pronalaženje svih vrijednosti varijabli za koje je nejednakost istinita. Svaki od ovih brojeva je rješenje nejednakosti, a skup svih takvih rješenja je njegov mnoga rješenja. Zovu se nejednačine koje imaju isti skup rješenja ekvivalentne nejednakosti.

Linearne nejednakosti

Principi za rješavanje nejednačina su slični principima za rješavanje jednačina.

Principi rješavanja nejednačina
Za bilo koje realne brojeve a, b i c:
Princip sabiranja nejednakosti: Ako a Princip množenja za nejednakosti: Ako je 0 tačno onda je ac Ako je i bc takođe tačno.
Slične izjave važe i za a ≤ b.

Kada se obje strane nejednakosti pomnože negativnim brojem, predznak nejednakosti mora biti obrnut.
Pozivaju se nejednakosti prvog nivoa, kao u primjeru 1 (dolje). linearne nejednakosti.

Primjer 1 Riješite svaku od sljedećih nejednačina. Zatim nacrtajte set rješenja.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Rješenje
Bilo koji broj manji od 11/5 je rješenje.
Skup rješenja je (x|x
Da bismo provjerili, možemo nacrtati graf od y 1 = 3x - 5 i y 2 = 6 - 2x. Tada je jasno da za x
Skup rješenja je (x|x ≤ 1), ili (-∞, 1). Grafikon skupa rješenja je prikazan ispod.

Dvostruke nejednakosti

Kada su dvije nejednakosti povezane riječju I, ili, tada se formira dvostruka nejednakost. Dvostruka nejednakost kao
-3 I 2x + 5 ≤ 7
pozvao povezan, jer koristi I. Ulaz -3 Dvostruke nejednačine se mogu riješiti primjenom principa sabiranja i množenja nejednačina.

Primjer 2 Riješi -3 Rješenje Imamo

Skup rješenja (x|x ≤ -1 ili x > 3). Rješenje možemo zapisati i koristeći intervalnu notaciju i simbol za udruženja ili uključujući oba skupa: (-∞ -1] (3, ∞). Grafikon skupa rješenja je prikazan ispod.

Da provjerimo, nacrtajmo y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 i y 3 = 1. Imajte na umu da za (x|x ≤ -1 ili x > 3), y 1 ≤ y 2 ili y 1 > y 3 .

Nejednakosti sa apsolutnom vrijednošću (modulus)

Nejednakosti ponekad sadrže module. Za njihovo rješavanje koriste se sljedeća svojstva.
Za a > 0 i algebarski izraz x:
|x| |x| > a je ekvivalentno x ili x > a.
Slične izjave za |x| ≤ a i |x| ≥ a.

Na primjer,
|x| |y| ≥ 1 je ekvivalentno y ≤ -1 ili y ≥ 1;
i |2x + 3| ≤ 4 je ekvivalentno -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Primjer 4 Riješite svaku od sljedećih nejednačina. Grafikujte skup rješenja.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Rješenje
a) |3x + 2|

Skup rješenja je (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Skup rješenja je (x|x ≤ 2 ili x ≥ 3), ili (-∞, 2] )