Rješenje trigonometrijskih jednačina sa stupnjevima. Trigonometrijske jednadžbe

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe obično se rješavaju formulama. Da vas podsjetim da se sljedeće trigonometrijske jednadžbe nazivaju najjednostavnijim:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x je ugao koji treba pronaći,
a je bilo koji broj.

A evo i formula pomoću kojih možete odmah zapisati rješenja ovih najjednostavnijih jednadžbi.

za sinuse:

za kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

za tangentu:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

za kotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Zapravo, ovo je teorijski dio rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. I, cijeli!) Baš ništa. Međutim, broj grešaka na ovoj temi se samo prebacuje. Pogotovo, uz neznatno odstupanje primjera od šablona. Zašto?

Da, jer mnogi ljudi zapisuju ova pisma, a da uopšte ne razumeju njihovo značenje! Sa strepnjom zapisuje, kako god da se nešto desi...) Ovo se mora riješiti. Trigonometrija za ljude, ili ljudi za trigonometriju, ipak!?)

Hajde da to shvatimo?

Jedan ugao će biti jednak arccos a, sekunda: -arccos a.

I tako će uvijek funkcionirati. Za bilo koje a.

Ako mi ne vjerujete, postavite pokazivač miša preko slike ili dodirnite sliku na tabletu.) Promijenio sam broj a na neke negativne. U svakom slučaju, imamo jedan ugao arccos a, sekunda: -arccos a.

Stoga se odgovor uvijek može napisati kao dvije serije korijena:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Kombiniramo ove dvije serije u jednu:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

I sve stvari. Dobili smo opću formulu za rješavanje najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe s kosinusom.

Ako shvatite da ovo nije neka supernaučna mudrost, već samo skraćeni zapis od dvije serije odgovora, vi i zadaci "C" bit ćete na ramenu. Sa nejednakostima, sa izborom korijena iz zadanog intervala... Tamo se odgovor sa plus/minus ne kotrlja. A ako odgovor tretirate poslovno i razbijete ga na dva odvojena odgovora, sve je odlučeno.) Zapravo, za to razumijemo. Šta, kako i gde.

U najjednostavnijoj trigonometrijskoj jednadžbi

sinx = a

također dobiti dvije serije korijena. Uvijek je. I ove dvije serije se također mogu snimiti jedan red. Samo će ova linija biti pametnija:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Ali suština ostaje ista. Matematičari su jednostavno konstruisali formulu da naprave jedan umesto dva zapisa nizova korena. I to je to!

Hajde da proverimo matematičare? I to nije dovoljno...)

U prethodnoj lekciji detaljno je analizirano rješenje (bez ikakvih formula) trigonometrijske jednadžbe sa sinusom:

Ispostavilo se da su odgovor dvije serije korijena:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ako istu jednačinu riješimo pomoću formule, dobićemo odgovor:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Zapravo, ovo je napola gotov odgovor.) Učenik to mora znati arcsin 0,5 = π /6. Potpuni odgovor bi bio:

x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z

Ovdje se postavlja zanimljivo pitanje. Odgovorite putem x 1; x 2 (ovo je tačan odgovor!) i kroz usamljene X (a ovo je tačan odgovor!) - ista stvar, ili ne? Hajde da saznamo sada.)

Zamjena kao odgovor sa x 1 vrijednosti n =0; jedan; 2; itd., smatramo, dobijamo niz korijena:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 i tako dalje.

Sa istom zamjenom kao odgovor na x 2 , dobijamo:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 i tako dalje.

A sada zamjenjujemo vrijednosti n (0; 1; 2; 3; 4...) u opštu formulu za usamljene X . Odnosno, dižemo minus jedan na nultu potenciju, zatim na prvu, drugu i tako dalje. I, naravno, zamjenjujemo 0 u drugi član; jedan; 2 3; 4 itd. I mislimo. Dobijamo seriju:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 i tako dalje.

To je sve što možete vidjeti.) Opšta formula nam daje potpuno isti rezultatišto su dva odvojena odgovora. Sve odjednom, po redu. Matematičari nisu varali.)

Formule za rješavanje trigonometrijskih jednačina s tangentom i kotangensom također se mogu provjeriti. Ali nemojmo.) Tako su nepretenciozni.

Namjerno sam slikao svu ovu zamjenu i provjeru. Ovdje je važno razumjeti jednu jednostavnu stvar: postoje formule za rješavanje elementarnih trigonometrijskih jednačina, samo rezime odgovora. Za ovu kratkoću, morao sam ubaciti plus/minus u kosinusno rješenje i (-1) n u rješenje sinusa.

Ovi umetci se ni na koji način ne mešaju u zadatke u kojima samo treba da zapišete odgovor na elementarnu jednačinu. Ali ako trebate riješiti nejednakost, ili onda trebate učiniti nešto s odgovorom: odabrati korijene na intervalu, provjeriti ODZ, itd., ovi umetci mogu lako uznemiriti osobu.

I šta da radim? Da, ili obojite odgovor u dvije serije, ili riješite jednadžbu/nejednačinu u trigonometrijskom krugu. Tada ti umetci nestaju i život postaje lakši.)

Možete sumirati.

Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi postoje gotove formule odgovora. Četiri komada. Dobre su za trenutno pisanje rješenja jednačine. Na primjer, trebate riješiti jednadžbe:

sinx = 0,3

Lako: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Nema problema: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

Lako: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3.7

jedan ostao: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ako ti, blistajući znanjem, odmah napišeš odgovor:

x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

onda već blistaš, ovo ... ono ... iz lokve.) Tačan odgovor je: nema rješenja. Ne razumijem zašto? Pročitajte šta je arkosinus. Osim toga, ako se na desnoj strani izvorne jednadžbe nalaze tablične vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 itd. - odgovor kroz lukove će biti nedovršen. Lukovi se moraju pretvoriti u radijane.

A ako već naiđete na nejednakost, npr

onda je odgovor:

x πn, n ∈ Z

postoji rijetka glupost, da ...) Ovdje je potrebno odlučiti se za trigonometrijski krug. Šta ćemo raditi u odgovarajućoj temi.

Za one koji su herojski pročitali ove redove. Jednostavno ne mogu a da ne cijenim tvoje titanske napore. ti si bonus.)

Bonus:

Kada pišu formule u anksioznoj borbenoj situaciji, čak i okorjeli štreberi se često zbune gdje pn, I gdje 2πn. Evo jednog jednostavnog trika za vas. U sve formule pn. Osim jedine formule sa arc kosinusom. Stoji tamo 2πn. Dva pien. Ključna riječ - dva. U istoj jedinstvenoj formuli su dva potpišite na početku. Plus i minus. tu i tamo - dva.

Dakle, ako ste napisali dva znak ispred arc kosinusa, lakše je zapamtiti šta će se dogoditi na kraju dva pien. I obrnuto se dešava. Preskoči znak čoveka ± , dođi do kraja, napiši ispravno dva pien, da, i uhvati ga. Ispred nečega dva sign! Osoba će se vratiti na početak, ali će ispraviti grešku! Volim ovo.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Trigonometrijske jednadžbe nisu najlakša tema. Bolno, oni su raznoliki.) Na primjer, ovi:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

itd...

Ali ova (i sva druga) trigonometrijska čudovišta imaju dvije zajedničke i obavezne osobine. Prvo - nećete vjerovati - u jednadžbama postoje trigonometrijske funkcije.) Drugo: svi izrazi sa x su u okviru ovih istih funkcija. I samo tamo! Ako se negdje pojavi x vani, na primjer, sin2x + 3x = 3, ovo će biti jednačina mješovitog tipa. Takve jednačine zahtijevaju individualni pristup. Ovdje ih nećemo razmatrati.

Ni u ovoj lekciji nećemo rješavati zle jednačine.) Ovdje ćemo se pozabaviti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Zašto? Da, jer odluka bilo koji trigonometrijske jednadžbe se sastoje od dvije faze. U prvoj fazi, jednačina zla se raznim transformacijama svodi na jednostavnu. Na drugom - ova najjednostavnija jednačina je riješena. Nema drugog načina.

Dakle, ako imate problema u drugoj fazi, prva faza nema mnogo smisla.)

Kako izgledaju elementarne trigonometrijske jednadžbe?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Evo a označava bilo koji broj. Bilo koji.

Usput, unutar funkcije možda ne postoji čisti x, već neka vrsta izraza, kao što je:

cos(3x+π /3) = 1/2

itd. Ovo komplicira život, ali ne utiče na metodu rješavanja trigonometrijske jednadžbe.

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?

Trigonometrijske jednadžbe se mogu riješiti na dva načina. Prvi način: pomoću logike i trigonometrijskog kruga. Ovdje ćemo istražiti ovaj put. Drugi način - korištenje memorije i formula - razmatrat ćemo u sljedećoj lekciji.

Prvi način je jasan, pouzdan i teško ga je zaboraviti.) Dobar je za rješavanje trigonometrijskih jednačina, nejednačina i svih vrsta lukavih nestandardnih primjera. Logika je jača od memorije!

Jednačine rješavamo pomoću trigonometrijskog kruga.

Uključujemo elementarnu logiku i mogućnost korištenja trigonometrijskog kruga. Zar ne možeš!? Međutim... Biće vam teško u trigonometriji...) Ali nema veze. Pogledajte lekcije "Trigonometrijski krug ...... Šta je to?" i "Broj uglova na trigonometrijskom krugu." Tamo je sve jednostavno. Za razliku od udžbenika...)

Ah, znaš!? Pa čak i savladao "Praktični rad sa trigonometrijskim krugom"!? Prihvatite čestitke. Ova tema će vam biti bliska i razumljiva.) Ono što posebno raduje je da trigonometrijskom krugu nije važno koju jednačinu rešavate. Sinus, kosinus, tangent, kotangens - sve mu je isto. Princip rješenja je isti.

Dakle, uzimamo bilo koju elementarnu trigonometrijsku jednačinu. barem ovo:

cosx = 0,5

Moram da nađem X. Govoreći ljudskim jezikom, trebate naći ugao (x) čiji je kosinus 0,5.

Kako smo ranije koristili krug? Nacrtali smo ugao na njemu. U stepenima ili radijanima. I to odmah viđeno trigonometrijske funkcije ovog ugla. Sada uradimo suprotno. Nacrtajte kosinus jednak 0,5 na krug i odmah vidit ćemo ugao. Ostaje samo zapisati odgovor.) Da, da!

Nacrtamo krug i označimo kosinus jednak 0,5. Na kosinusnoj osi, naravno. Volim ovo:

Sada nacrtajmo ugao koji nam daje ovaj kosinus. Zadržite pokazivač miša preko slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i vidi ovaj isti kutak X.

Koji ugao ima kosinus 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Neki će skeptično gunđati, da... Kažu, je li se isplatilo ograđivati ​​krug, kad je ionako sve jasno... Možete, naravno, gunđati...) Ali činjenica je da je ovo greška odgovori. Ili bolje rečeno, neadekvatan. Poznavaoci kruga razumiju da još uvijek postoji čitava gomila uglova koji također daju kosinus jednak 0,5.

Ako okrenete pokretnu stranu OA za puni okret, tačka A će se vratiti u prvobitni položaj. Sa istim kosinusom jednakim 0,5. One. ugao će se promijeniti 360° ili 2π radijana, i kosinus nije. Novi ugao 60° + 360° = 420° takođe će biti rešenje naše jednačine, jer

Postoji beskonačan broj takvih punih rotacija... I svi ovi novi uglovi bit će rješenja naše trigonometrijske jednačine. I sve ih treba nekako zapisati. Sve. Inače, odluka se ne razmatra, da...)

Matematika to može učiniti jednostavno i elegantno. U jednom kratkom odgovoru zapišite beskonačan skup rješenja. Evo kako to izgleda za našu jednačinu:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ja ću dešifrovati. Još piši smisleno ljepše nego glupo crtati neka misteriozna slova, zar ne?)

π /3 je isti ugao kao i mi vidio na krugu i identifikovan prema tabeli kosinusa.

2π je jedan puni okret u radijanima.

n - ovo je broj kompletnih, tj. cijeli revolucije. To je jasno n može biti 0, ±1, ±2, ±3.... i tako dalje. Kao što pokazuje kratki unos:

n ∈ Z

n pripada ( ∈ ) na skup cijelih brojeva ( Z ). Usput, umjesto pisma n mogu se koristiti slova k, m, t itd.

Ova notacija znači da možete uzeti bilo koji cijeli broj n . Najmanje -3, najmanje 0, najmanje +55. Šta želiš. Ako uključite taj broj u svoj odgovor, dobit ćete određeni ugao, koji će sigurno biti rješenje za našu oštru jednadžbu.)

Ili, drugim riječima, x \u003d π / 3 je jedini korijen beskonačnog skupa. Da biste dobili sve ostale korijene, dovoljno je dodati bilo koji broj punih zavoja na π / 3 ( n ) u radijanima. One. 2πn radian.

Sve? br. Ja posebno rastežem zadovoljstvo. Da bolje zapamtimo.) Dobili smo samo dio odgovora na našu jednačinu. Napisat ću ovaj prvi dio rješenja na sljedeći način:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne jedan korijen, to je čitav niz korijena, napisanih u kratkom obliku.

Ali postoje i drugi uglovi koji takođe daju kosinus jednak 0,5!

Vratimo se našoj slici prema kojoj smo zapisali odgovor. Evo je:

Pređite mišem preko slike i vidi drugi kutak koji također daje kosinus od 0,5.Šta mislite šta je jednako? Trouglovi su isti... Da! On je jednak uglu X , iscrtano samo u negativnom smjeru. Ovo je ugao -X. Ali već smo izračunali x. π /3 ili 60°. Stoga sa sigurnošću možemo napisati:

x 2 \u003d - π / 3

I, naravno, dodajemo sve uglove koji se dobiju punim okretima:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je sada sve.) U trigonometrijskom krugu, mi vidio(ko razume, naravno)) sve uglovi koji daju kosinus jednak 0,5. I zapisali su ove uglove u kratkom matematičkom obliku. Odgovor su dvije beskonačne serije korijena:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je tačan odgovor.

nada, opšti princip za rešavanje trigonometrijskih jednačina uz pomoć kruga je razumljivo. Na kružnici označimo kosinus (sinus, tangent, kotangens) iz date jednačine, nacrtamo odgovarajuće uglove i zapišemo odgovor. Naravno, morate shvatiti kakvi smo mi uglovi vidio na krugu. Ponekad to nije tako očigledno. Pa, kao što sam rekao, ovdje je potrebna logika.)

Na primjer, analizirajmo još jednu trigonometrijsku jednačinu:

Imajte na umu da broj 0,5 nije jedini mogući broj u jednadžbi!) Samo mi je zgodnije da ga zapišem od korijena i razlomaka.

Radimo po opštem principu. Crtamo krug, označavamo (na osi sinusa, naravno!) 0,5. Crtamo odjednom sve uglove koji odgovaraju ovom sinusu. Dobijamo ovu sliku:

Prvo se pozabavimo uglom. X u prvoj četvrtini. Prisjećamo se tablice sinusa i određujemo vrijednost ovog ugla. Stvar je jednostavna:

x \u003d π / 6

Pamtimo pune okrete i mirne savjesti zapisujemo prvu seriju odgovora:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pola posla je obavljeno. Sada treba da definišemo drugi ugao... Ovo je teže nego u kosinusima, da... Ali logika će nas spasiti! Kako odrediti drugi ugao kroz x? Yes Easy! Trokuti na slici su isti, a crveni ugao X jednaka uglu X . Samo se broji od ugla π u negativnom smjeru. Zato je crvena.) A za odgovor nam je potreban ugao izmjeren ispravno od pozitivne poluose OX, tj. iz ugla od 0 stepeni.

Pređite kursorom preko slike i pogledajte sve. Uklonio sam prvi ugao da ne bih komplikovao sliku. Ugao koji nas zanima (nacrtan zelenom bojom) bit će jednak:

π - x

x mi to znamo π /6 . Dakle, drugi ugao će biti:

π - π /6 = 5π /6

Ponovo se prisjećamo dodavanja punih okretaja i zapisujemo drugu seriju odgovora:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je sve. Potpuni odgovor sastoji se od dvije serije korijena:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jednačine s tangentom i kotangensom mogu se lako riješiti korištenjem istog općeg principa za rješavanje trigonometrijskih jednačina. Osim ako, naravno, ne znate kako nacrtati tangentu i kotangens na trigonometrijskom krugu.

U gornjim primjerima koristio sam tabelarne vrijednosti sinusa i kosinusa: 0,5. One. jedno od onih značenja koje učenik zna mora. Sada proširimo naše mogućnosti na sve druge vrednosti. Odluči, pa odluči!)

Dakle, recimo da moramo riješiti sljedeću trigonometrijsku jednačinu:

Ne postoji takva vrijednost kosinusa u kratkim tablicama. Hladno ignorišemo ovu strašnu činjenicu. Nacrtamo krug, označimo 2/3 na osi kosinusa i nacrtamo odgovarajuće uglove. Dobili smo ovu sliku.

Razumijemo, za početak, sa uglom u prvoj četvrtini. Da znaju koliko je x jednako, odmah bi zapisali odgovor! Ne znamo... Neuspjeh!? Smiren! Matematika ne ostavlja svoje u nevolji! Ona je izmislila lučni kosinus za ovaj slučaj. Ne znam? Uzalud. Saznajte, mnogo je lakše nego što mislite. Prema ovom linku, ne postoji niti jedna lukava čarolija o "inverznim trigonometrijskim funkcijama" ... To je suvišno u ovoj temi.

Ako znate, samo recite sebi: "X je ugao čiji je kosinus 2/3." I odmah, čisto po definiciji arkosinusa, možemo napisati:

Sjećamo se dodatnih okretaja i mirno zapisujemo prvu seriju korijena naše trigonometrijske jednadžbe:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Druga serija korijena također se upisuje gotovo automatski, za drugi ugao. Sve je isto, samo će x (arccos 2/3) biti sa minusom:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

I sve stvari! Ovo je tačan odgovor. Čak i lakše nego sa tabelarnim vrijednostima. Ne morate ništa pamtiti.) Usput, najpažljiviji će primijetiti da je ova slika s rješenjem kroz arc kosinus se suštinski ne razlikuje od slike za jednačinu cosx = 0,5.

Upravo! Opšti princip o tome i generalni! Posebno sam nacrtao dvije skoro identične slike. Krug nam pokazuje ugao X svojim kosinusom. To je tabelarni kosinus, ili ne - krug ne zna. Kakav je ovo ugao, π / 3, ili kakav arc kosinus je na nama da odlučimo.

Sa sinusom ista pjesma. Na primjer:

Opet nacrtamo krug, označimo sinus jednak 1/3, nacrtamo uglove. Ispada ova slika:

I opet je slika skoro ista kao i za jednačinu sinx = 0,5. Ponovo krećemo iz kornera u prvoj četvrtini. Čemu je jednako x ako mu je sinus 1/3? Nema problema!

Dakle, prvi paket korijena je spreman:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Hajde da pogledamo drugi ugao. U primjeru sa vrijednošću tablice od 0,5, bio je jednak:

π - x

I ovdje će biti potpuno isto! Samo je x različit, arcsin 1/3. Pa šta!? Možete sigurno napisati drugi paket korijena:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je potpuno tačan odgovor. Iako ne izgleda baš poznato. Ali to je razumljivo, nadam se.)

Ovako se trigonometrijske jednadžbe rješavaju pomoću kružnice. Ovaj put je jasan i razumljiv. On je taj koji štedi u trigonometrijskim jednadžbama s odabirom korijena na datom intervalu, u trigonometrijskim nejednačinama - one se uglavnom rješavaju gotovo uvijek u krug. Ukratko, u svim zadacima koji su malo složeniji od standardnih.

Prebacivanje znanja u praksu?

Riješite trigonometrijske jednadžbe:

U početku je jednostavnije, direktno na ovoj lekciji.

Sada je teže.

Savjet: ovdje morate razmišljati o krugu. Lično.)

A sada spolja nepretenciozni ... Nazivaju se i posebnim slučajevima.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Nagoveštaj: ovdje treba u krugu odgonetnuti gdje su dvije serije odgovora, a gdje jedan... I kako napisati jedan umjesto dva niza odgovora. Da, tako da se ni jedan korijen iz beskonačnog broja ne izgubi!)

Pa sasvim jednostavno):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Nagoveštaj: ovde treba da znate šta je arksinus, arkosinus? Šta je arc tangenta, arc tangenta? Najjednostavnije definicije. Ali ne morate pamtiti nikakve tabelarne vrijednosti!)

Odgovori su, naravno, u neredu):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nije sve u redu? Dešava se. Pročitajte lekciju ponovo. Samo zamišljeno(postoji takva zastarjela riječ...) I pratite linkove. Glavne veze se odnose na krug. Bez toga u trigonometriji - kako preći cestu sa povezom preko očiju. Ponekad uspe.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe su jednačine

Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

Jednačina cos(x) = a

Objašnjenje i obrazloženje

1. Korijeni jednadžbe cosx = a. Kada | a | > 1 jednadžba nema korijen jer | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 ili u a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Neka | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Na intervalu, funkcija y = cos x opada sa 1 na -1. Ali opadajuća funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti ​​samo u jednoj tački svoje domene definicije, stoga jednadžba cos x \u003d a ima samo jedan korijen na ovom intervalu, što je, prema definiciji arc kosinusa,: x 1 = arccos a (i za ovaj korijen cos x \u003d a).

Kosinus je parna funkcija, tako da na intervalu [-n; 0] jednadžba cos x = i također ima samo jedan korijen - broj suprotan od x 1, tj.

x 2 = -arccos a.

Dakle, na intervalu [-n; n] (dužina 2n) jednačina cos x = a za | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funkcija y = cos x je periodična s periodom od 2n, tako da se svi ostali korijeni razlikuju od onih koji se nalaze za 2np (n € Z). Dobijamo sljedeću formulu za korijene jednadžbe cos x = a kada

x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

1. Posebni slučajevi rješavanja jednadžbe cosx = a.

Korisno je zapamtiti posebnu notaciju za korijene jednadžbe cos x = a kada

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, koji se lako može dobiti koristeći jedinični krug kao vodič.

Pošto je kosinus jednak apscisi odgovarajuće tačke na jediničnom krugu, dobijamo da je cos x = 0 ako i samo ako je odgovarajuća tačka na jediničnom krugu tačka A ili tačka B.

Slično, cos x = 1 ako i samo ako je odgovarajuća tačka jedinične kružnice tačka C, dakle,

x = 2πp, k € Z.

Također cos x \u003d -1 ako i samo ako je odgovarajuća tačka jedinične kružnice tačka D, dakle x = n + 2n,

Jednačina sin(x) = a

Objašnjenje i obrazloženje

1. Korijeni jednačine sinx = a. Kada | a | > 1 jednadžba nema korijen jer | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 ili u a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Dati su omjeri između glavnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to također objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog ugla, druge - funkcije višestrukog ugla, druge - omogućavaju snižavanje stepena, četvrte - da izrazite sve funkcije kroz tangentu pola ugla, itd.

U ovom članku navodimo po redu sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i upotrebe, grupiraćemo ih prema namjeni i unijeti u tabele.

Navigacija po stranici.

Osnovni trigonometrijski identiteti

Osnovni trigonometrijski identiteti postaviti odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog ugla. Oni proizilaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa, kao i koncepta jedinične kružnice. Oni vam omogućavaju da izrazite jednu trigonometrijsku funkciju kroz bilo koju drugu.

Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene, pogledajte članak.

Cast formule

Cast formule proizlaze iz svojstava sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svojstvo simetrije, kao i svojstvo pomaka za dati ugao. Ove trigonometrijske formule omogućavaju vam da pređete sa rada sa proizvoljnim uglovima na rad sa uglovima u rasponu od nule do 90 stepeni.

Obrazloženje ovih formula, mnemoničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučavati u članku.

Formule sabiranja

Trigonometrijske formule sabiranja pokazuju kako se trigonometrijske funkcije zbira ili razlike dvaju uglova izražavaju u terminima trigonometrijskih funkcija ovih uglova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.

Formule za duplo, trostruko itd. ugao

Formule za duplo, trostruko itd. ugao (oni se nazivaju i formule višestrukih uglova) pokazuju kako su trigonometrijske funkcije dvostruke, trostruke itd. uglovi () su izraženi u terminima trigonometrijskih funkcija jednog ugla. Njihovo izvođenje se zasniva na formulama sabiranja.

Detaljnije informacije prikupljene su u formulama članka za duplo, trostruko, itd. ugao .

Formule poluugla

Formule poluugla pokazuju kako se trigonometrijske funkcije poluugla izražavaju kosinusom cjelobrojnog ugla. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostrukog ugla.

Njihov zaključak i primjere primjene možete pronaći u članku.

Formule redukcije

Trigonometrijske formule za opadajuće stepeni dizajnirani su da olakšaju prijelaz sa prirodnih snaga trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse u prvom stepenu, ali više uglova. Drugim riječima, omogućavaju da se snage trigonometrijskih funkcija svedu na prvu.

Formule za zbir i razliku trigonometrijskih funkcija

glavna destinacija formule suma i razlike za trigonometrijske funkcije sastoji se u prijelazu na proizvod funkcija, što je vrlo korisno kada se pojednostavljuju trigonometrijski izrazi. Ove formule se također široko koriste u rješavanju trigonometrijskih jednačina, jer omogućavaju faktoring sume i razlike sinusa i kosinusa.

Formule za proizvod sinusa, kosinusa i sinus po kosinus

Prijelaz sa umnoška trigonometrijskih funkcija na zbir ili razliku vrši se kroz formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa po kosinus.

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

Pregled osnovnih formula trigonometrije završavamo formulama koje izražavaju trigonometrijske funkcije u terminima tangenta poluugla. Ova zamjena se zove univerzalna trigonometrijska supstitucija. Njegova pogodnost leži u činjenici da se sve trigonometrijske funkcije izražavaju u terminima tangente poluugla racionalno bez korijena.

Bibliografija.

• algebra: Proc. za 9 ćelija. avg. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjeta, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. avg. škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava pametnih studenata

Sva prava zadržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio stranice, uključujući interne materijale i vanjski dizajn, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodne pismene dozvole vlasnika autorskih prava.

Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema!!!

Jednakost koja sadrži nepoznatu pod znakom trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tg x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednačina, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.

Najjednostavnije jednačine su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` ugao koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Napišimo formule korijena za svaku od njih.

1. Jednačina `sin x=a`.

Za `|a|>1` nema rješenja.

Sa `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Jednačina `cos x=a`

Za `|a|>1` - kao iu slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.

Sa `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima.

3. Jednačina `tg x=a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Formula korijena: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Jednačina `ctg x=a`

Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Formula korijena: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tabeli

za sinuse:
za kosinus:
Za tangentu i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina

Rješenje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

• koristeći za pretvaranje u najjednostavniji;
• riješite rezultirajuću jednostavnu jednačinu koristeći gornje formule za korijene i tablice.

Razmotrimo glavne metode rješenja koristeći primjere.

algebarska metoda.

U ovoj metodi se vrši zamjena varijable i njena zamjena u jednakost.

Primjer. Riješite jednačinu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

napravite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,

nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednačinu: `sin x+cos x=1`.

Rješenje. Pomaknite ulijevo sve pojmove jednakosti: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija na homogenu jednačinu

Prvo, morate ovu trigonometrijsku jednadžbu dovesti u jedan od dva oblika:

`a sin x+b cos x=0` (homogena jednačina prvog stepena) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednačina drugog stepena).

Zatim podijelite oba dijela sa `cos x \ne 0` za prvi slučaj i sa `cos^2 x \ne 0` za drugi. Dobijamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje se moraju riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednačinu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stepena, dijeleći njezinu lijevu i desnu stranu sa `cos^2 x \ne 0`, dobijamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Hajde da uvedemo zamjenu `tg x=t`, kao rezultat `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su `t_1=-2` i `t_2=1`. onda:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Idite u Half Corner

Primjer. Riješite jednačinu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Rješenje. Primjenom formula dvostrukog ugla, rezultat je: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Primjenom algebarske metode koja je gore opisana dobijamo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \u Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \u Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Uvođenje pomoćnog ugla

U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti i x je varijabla, oba dijela dijelimo sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime, zbir njihovih kvadrata je jednak 1 i njihov modul nije veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, zatim:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednačinu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Rješenje. Podijelimo obje strane jednačine sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobijamo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označite `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Pošto `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni ugao. Zatim zapisujemo našu jednakost u obliku:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Primjenjujući formulu za zbir uglova za sinus, zapisujemo našu jednakost u sljedećem obliku:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcijsko-racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti sa razlomcima u čijim se brojiocima i nazivnicima nalaze trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješite jednačinu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednačine sa `(1+cos x)`. Kao rezultat, dobijamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

S obzirom da imenilac ne može biti nula, dobijamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izjednačite brojnik razlomka sa nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Tada je `sin x=0` ili `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.

Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i inženjerstva. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek ima zadataka za ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - sigurno će vam dobro doći!

Međutim, ne morate ih čak ni zapamtiti, najvažnije je razumjeti suštinu i moći zaključiti. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se sami gledajući video.