Rješavanje jednadžbi prirodnim logaritmima. Tehnika rješavanja logaritamskih jednačina

primjeri:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Kako riješiti logaritamske jednadžbe:

Kada rješavate logaritamsku jednačinu, trebali biste nastojati da je transformirate u oblik \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), a zatim napravite prijelaz na \(f(x) )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

primjer:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Rješenje:
\(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\)
\(x-2=8\)
\(x=10\)
pregled:\(10>2\) - pogodno za DL
odgovor:\(x=10\)

ODZ:
\(x-2>0\)
\(x>2\)

Veoma važno! Ovaj prelaz se može izvršiti samo ako:

Napisali ste za originalnu jednačinu, a na kraju ćete provjeriti da li su pronađene uključene u ODZ. Ako se to ne učini, mogu se pojaviti dodatni korijeni, što znači pogrešnu odluku.

Broj (ili izraz) s lijeve i desne strane je isti;

Logaritmi s lijeve i desne strane su "čisti", odnosno ne bi trebalo biti množenja, dijeljenja itd. – samo pojedinačni logaritmi sa obe strane znaka jednakosti.

na primjer:

Imajte na umu da se jednadžbe 3 i 4 mogu lako riješiti primjenom potrebnih svojstava logaritama.

Primjer . Riješite jednačinu \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Rješenje :

		Napišimo ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Lijevo ispred logaritma je koeficijent, desno je zbir logaritama. Ovo nam smeta. Pomerimo dva u eksponent \(x\) prema svojstvu: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Predstavimo zbir logaritama kao jedan logaritam prema svojstvu: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Sveli smo jednačinu na oblik \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) i zapisali ODZ, što znači da možemo preći na oblik \(f(x) =g(x)\ ).
		Upalilo je. Riješimo to i dobijemo korijene.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Provjeravamo da li su korijeni prikladni za ODZ. Da bismo to učinili, u \(x>0\) umjesto \(x\) zamjenjujemo \(5\) i \(-5\). Ova operacija se može izvesti oralno.
\(5>0\), \(-5>0\)		Prva nejednakost je tačna, druga nije. To znači da je \(5\) korijen jednadžbe, ali \(-5\) nije. Zapisujemo odgovor.

Odgovori : \(5\)

Primjer : Riješite jednačinu \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Rješenje :

		Napišimo ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Tipična jednačina riješena korištenjem . Zamijenite \(\log_2⁡x\) sa \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Dobili smo uobičajeni. Tražimo njegove korijene.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Izrada obrnute zamjene
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Transformišemo desne strane, predstavljajući ih kao logaritme: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) i \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Sada su naše jednačine \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), i možemo preći na \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Provjeravamo podudarnost korijena ODZ-a. Da biste to učinili, zamijenite \(4\) i \(2\) u nejednačinu \(x>0\) umjesto \(x\).
\(4>0\) \(2>0\)		Obje nejednakosti su tačne. To znači da su i \(4\) i \(2\) korijeni jednadžbe.

Odgovori : \(4\); \(2\).

Mnogi studenti se zaglave u jednačinama ovog tipa. Istovremeno, sami zadaci nikako nisu složeni - dovoljno je jednostavno izvršiti kompetentnu zamjenu varijable, za koju biste trebali naučiti identificirati stabilne izraze.

Pored ove lekcije, naći ćete prilično obiman samostalni rad, koji se sastoji od dvije opcije sa po 6 zadataka.

Metoda grupisanja

Danas ćemo analizirati dvije logaritamske jednačine, od kojih se jedna ne može riješiti odmah i zahtijeva posebne transformacije, a druga... međutim, neću vam reći sve odjednom. Pogledajte video, preuzmite samostalni rad - i naučite rješavati složene probleme.

Dakle, grupisanje i stavljanje zajedničkih faktora iz zagrada. Dodatno, reći ću vam koje zamke nosi domen definicije logaritama i kako male primjedbe na domenu definicija mogu značajno promijeniti i korijene i cjelokupno rješenje.

Krenimo od grupisanja. Moramo riješiti sljedeću logaritamsku jednačinu:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

Prije svega, primijetite da se x 2 − 3x može faktorizirati:

log 2 x (x − 3)

Zatim zapamtite divnu formulu:

log a fg = log a f + log a g

Samo kratka napomena: ova formula odlično funkcionira kada su a, f i g obični brojevi. Ali kada su zamijenjeni funkcijama, ovi izrazi prestaju biti jednaki. Zamislite ovu hipotetičku situaciju:

f< 0; g < 0

U ovom slučaju, proizvod fg će biti pozitivan, dakle log a (fg) će postojati, ali log a f i log a g neće postojati odvojeno i nećemo moći izvršiti takvu transformaciju.

Ignoriranje ove činjenice će dovesti do sužavanja obima definicije i, kao posljedicu, do gubitka korijena. Stoga, prije izvođenja takve transformacije, morate unaprijed biti sigurni da su funkcije f i g pozitivne.

U našem slučaju sve je jednostavno. Pošto originalna jednačina sadrži funkciju log 2 x, onda je x > 0 (na kraju krajeva, varijabla x je u argumentu). Postoji i log 2 (x − 3), pa je x − 3 > 0.

Stoga će u log funkciji 2 x (x − 3) svaki faktor biti veći od nule. Stoga možete sigurno razložiti proizvod na količinu:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

Na prvi pogled može izgledati da stvari nisu postale lakše. Naprotiv: broj termina se samo povećavao! Da bismo razumjeli kako nastaviti, uvedemo nove varijable:

log 2 x = a

log 2 (x − 3) = b

a · b + 1 − a − b = 0

Sada grupišimo treći pojam sa prvim:

(a · b − a ) + (1 − b ) = 0

a (1 · b − 1) + (1 − b ) = 0

Imajte na umu da i prva i druga zagrada sadrže b − 1 (u drugom slučaju, moraćete da izvadite „minus“ iz zagrade). Faktorizirajmo našu konstrukciju:

a (1 · b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(a 1 − 1) = 0

A sada se prisjetimo našeg divnog pravila: proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Prisjetimo se šta su b i a. Dobijamo dvije jednostavne logaritamske jednadžbe u kojima sve što ostaje je da se riješimo log znakova i izjednačimo argumente:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Dobili smo dva korijena, ali ovo nije rješenje originalne logaritamske jednadžbe, već samo kandidati za odgovor. Sada provjerimo domen definicije. Za prvi argument:

x > 0

Oba korijena zadovoljavaju prvi zahtjev. Pređimo na drugi argument:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Ali ovdje nas x = 2 ne zadovoljava, ali nam x = 5 sasvim odgovara. Dakle, jedini odgovor je x = 5.

Pređimo na drugu logaritamsku jednačinu. Na prvi pogled je mnogo jednostavnije. Međutim, u procesu rješavanja razmotrit ćemo suptilne tačke vezane za obim definicije, čije nepoznavanje značajno otežava život učenika početnika.

log 0,7 (x 2 − 6x + 2) = log 0,7 (7 − 2x)

Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe. Nema potrebe da se bilo šta transformiše - čak su i baze iste. Stoga, jednostavno izjednačavamo argumente:

x 2 − 6x + 2 = 7 − 2x

x 2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0

x 2 − 4x − 5 = 0

Pred nama je kvadratna jednadžba u nastavku, koja se lako može riješiti korištenjem Vietinih formula:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Ali ovi korijeni nisu konačni odgovori. Potrebno je pronaći domen definicije, jer originalna jednačina sadrži dva logaritma, tj. uzimanje u obzir domena definicije je striktno neophodno.

Dakle, hajde da napišemo domen definicije. S jedne strane, argument prvog logaritma mora biti veći od nule:

x 2 − 6x + 2 > 0

S druge strane, drugi argument također mora biti veći od nule:

7 − 2x > 0

Ovi zahtjevi moraju biti ispunjeni istovremeno. I tu počinje zabava. Naravno, svaku od ovih nejednačina možemo riješiti, zatim ih presjeći i pronaći domenu cijele jednačine. Ali zašto sebi otežavati život?

Primetimo jednu suptilnost. Eliminacijom log znakova izjednačavamo argumente. Iz toga slijedi da su zahtjevi x 2 − 6x + 2 > 0 i 7 − 2x > 0 ekvivalentni. Kao posljedica toga, bilo koja od dvije nejednakosti može biti eliminisana. Precrtajmo najteži dio i prepustimo se uobičajenoj linearnoj nejednakosti:

−2x > −7

x< 3,5

Pošto smo obje strane podijelili negativnim brojem, promijenio se predznak nejednakosti.

Dakle, našli smo ODZ bez ikakvih kvadratnih nejednakosti, diskriminanata i sjecišta. Sada sve što ostaje je jednostavno odabrati korijene koji leže na ovom intervalu. Očigledno će nam odgovarati samo x = −1, jer je x = 5 > 3.5.

Možemo napisati odgovor: x = 1 je jedino rješenje originalne logaritamske jednadžbe.

Zaključci iz ove logaritamske jednadžbe su sljedeći:

Nemojte se plašiti da činite logaritme, a zatim faktore činite zbirom logaritama. Međutim, zapamtite da dijeljenjem proizvoda na zbir dva logaritma, time sužavate opseg definicije. Stoga, prije izvođenja takve konverzije, svakako provjerite koji su zahtjevi za opseg. Najčešće ne nastaju nikakvi problemi, ali ne škodi biti na sigurnoj strani.
Kada se riješite kanonskog oblika, pokušajte optimizirati proračune. Konkretno, ako se od nas traži da imamo f > 0 i g > 0, ali u samoj jednadžbi f = g, onda možemo sigurno precrtati jednu od nejednačina, ostavljajući sebi samo najjednostavniju. Ni na koji način neće uticati na domen definicija i odgovora, ali će količina proračuna biti značajno smanjena.

To je u suštini sve što sam hteo da ti kažem o grupi. :)

Tipične greške prilikom rješavanja

Danas ćemo pogledati dvije tipične logaritamske jednadžbe na koje se mnogi učenici spotiču. Koristeći ove jednačine kao primjer, vidjet ćemo koje greške se najčešće prave u procesu rješavanja i transformacije izvornih izraza.

Razlomačke racionalne jednadžbe sa logaritmima

Odmah treba napomenuti da je ovo prilično podmukla vrsta jednadžbi, u kojoj nipošto ne postoji uvijek razlomak s logaritmom negdje u nazivniku. Međutim, u procesu transformacije takva frakcija će se sigurno pojaviti.

Istovremeno, budite oprezni: tokom procesa transformacije, izvorni domen definicije logaritama može se značajno promijeniti!

Prelazimo na još strože logaritamske jednadžbe koje sadrže razlomke i osnovne varijable. Da biste uradili više u jednoj kratkoj lekciji, neću vam govoriti o elementarnoj teoriji. Pređimo direktno na zadatke:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Gledajući ovu jednačinu, neko će se zapitati: „Kakve to veze ima sa razlomkom racionalne jednačine? Gdje je razlomak u ovoj jednadžbi? Uzmimo vremena i pažljivo pogledajmo svaki termin.

Prvi član: 4 log 25 (x − 1). Osnova logaritma je broj, ali argument je funkcija varijable x. Ne možemo još ništa učiniti po ovom pitanju. Idemo dalje.

Sljedeći pojam je: log 3 27. Podsjetimo da je 27 = 3 3. Dakle, cijeli logaritam možemo prepisati na sljedeći način:

log 3 27 = 3 3 = 3

Dakle, drugi mandat je samo trojka. Treći član: 2 log x − 1 5. Ni ovdje nije sve jednostavno: baza je funkcija, argument je običan broj. Predlažem da obrnete cijeli logaritam koristeći sljedeću formulu:

log a b = 1/log b a

Takva transformacija se može izvesti samo ako je b ≠ 1. U suprotnom, logaritam za koji se ispostavi da je u nazivniku drugog razlomka jednostavno neće postojati. U našem slučaju b = 5, tako da je sve u redu:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Prepišimo originalnu jednačinu uzimajući u obzir rezultirajuće transformacije:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

U nazivniku razlomka imamo log 5 (x − 1), au prvom članu imamo log 25 (x − 1). Ali 25 = 5 2, pa kvadrat uzimamo od osnove logaritma prema pravilu:

Drugim riječima, snaga u osnovi logaritma postaje razlomak na prednjoj strani. I izraz će biti prepisan ovako:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

Na kraju smo dobili dugačku jednadžbu sa gomilom identičnih logaritama. Hajde da predstavimo novu varijablu:

log 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

Ali ovo je frakciono-racionalna jednadžba, koja se može riješiti korištenjem algebre od 8. do 9. razreda. Prvo, podelimo sve sa dva:

t − 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

U zagradama je tačan kvadrat. Hajde da ga skupimo:

(t − 1) 2 /t = 0

Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac nula, a imenilac različit od nule. Nikada ne zaboravite ovu činjenicu:

(t − 1) 2 = 0

t = 1

t ≠ 0

Prisjetimo se šta je t:

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Riješimo se znakova dnevnika, izjednačavamo njihove argumente i dobijamo:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Sve. Problem je riješen. No, vratimo se na prvobitnu jednačinu i zapamtimo da su postojala dva logaritma s promjenljivom x. Stoga je potrebno zapisati domen definicije. Pošto je x − 1 u argumentu logaritma, ovaj izraz mora biti veći od nule:

x − 1 > 0

S druge strane, isti x − 1 je također prisutan u bazi, tako da se mora razlikovati od jedinice:

x − 1 ≠ 1

Odavde zaključujemo:

x > 1; x ≠ 2

Ovi zahtjevi moraju biti ispunjeni istovremeno. Vrijednost x = 6 zadovoljava oba zahtjeva, pa je x = 6 konačno rješenje logaritamske jednačine.

Pređimo na drugi zadatak:

Hajdemo ponovo da pogledamo svaki termin:

log 4 (x + 1) - baza je četiri. To je normalan broj i ne morate ga dirati. Ali prošli put smo naišli na tačan kvadrat u osnovi, koji je trebalo izvaditi ispod znaka logaritma. Uradimo isto sada:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Trik je u tome što već imamo logaritam s promjenljivom x, iako u bazi - to je inverzno od logaritma koji smo upravo pronašli:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Sljedeći član je log 2 8. Ovo je konstanta, jer i argument i baza sadrže obične brojeve. Nađimo vrijednost:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

Isto možemo učiniti i sa zadnjim logaritmom:

Sada prepišimo originalnu jednačinu:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Hajde da sve dovedemo do zajedničkog imenioca:

Opet imamo frakcionu racionalnu jednačinu. Hajde da predstavimo novu varijablu:

t = log 2 (x + 1)

Prepišimo jednačinu uzimajući u obzir novu varijablu:

Budite oprezni: u ovom koraku sam zamijenio pojmove. Brojač razlomka sadrži kvadrat razlike:

Kao i ranije, razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac nula, a imenilac različit od nule:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Dobili smo jedan korijen koji zadovoljava sve zahtjeve, pa se vraćamo na varijablu x:

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x = 15

To je to, riješili smo jednačinu. Ali pošto je u originalnoj jednadžbi bilo nekoliko logaritama, potrebno je zapisati domen definicije.

Dakle, izraz x + 1 je u argumentu logaritma. Dakle, x + 1 > 0. S druge strane, x + 1 je takođe prisutan u bazi, tj. x + 1 ≠ 1. Ukupno:

0 ≠ x > −1

Da li pronađeni korijen zadovoljava ove zahtjeve? Nesumnjivo. Dakle, x = 15 je rješenje originalne logaritamske jednadžbe.

Na kraju, želio bih reći sljedeće: ako pogledate jednačinu i shvatite da morate riješiti nešto složeno i nestandardno, pokušajte identificirati stabilne strukture koje će kasnije biti označene drugom varijablom. Ako neki pojmovi uopće ne sadrže varijablu x, često se mogu jednostavno izračunati.

To je sve o čemu sam danas želio razgovarati. Nadam se da će vam ova lekcija pomoći u rješavanju složenih logaritamskih jednačina. Pogledajte druge video tutorijale, preuzmite i riješite svoje probleme i vidimo se u sljedećem videu!

glavna svojstva.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identične osnove

Log6 4 + log6 9.

Sada da malo zakomplikujemo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritma

Šta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se posmatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Prelazak na novu osnovu

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Logaritamski izrazi

Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo

Primjer 2. Pronađite x ako

Primjer 3. Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu sabirati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.

Svakako morate znati ova pravila - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istim osnovama: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je jednaka logaritmu količnika. Imajte na umu: ključna stvar je ovdje identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne funkcionišu!

Ove formule će vam pomoći da izračunate logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju “Šta je logaritam”). Pogledajte primjere i pogledajte:

Pošto logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od „loših“ logaritama, koji se ne računaju zasebno. Ali nakon transformacija dobijaju se sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, izrazi poput testa se nude sa punom ozbiljnošću (ponekad bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto , tj. Brojeve prije znaka logaritma možete unijeti u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu koristeći prvu formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam, čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem.

Logaritamske formule. Rješenja primjera logaritama.

Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac sadrže isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su razlozi drugačiji? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje problemi koji se nikako ne mogu riješiti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Tako se to zove: .

U stvari, šta se dešava ako se broj b podigne na takav stepen da broj b na ovaj stepen daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi zaglave u njemu.

Kao i formule za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko ne zna, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima – radije, oni su posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i „naprednim“ učenicima.

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako argument sadrži jedan, logaritam je jednak nuli! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno ih vježbajte u praksi! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Vidi također:

Logaritam od b prema bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći stepen x () pri kojem je jednakost zadovoljena

Osnovna svojstva logaritma

Neophodno je poznavati navedena svojstva, jer se na njihovoj osnovi rješavaju gotovo svi problemi i primjeri vezani za logaritme. Ostatak egzotičnih svojstava može se izvesti kroz matematičke manipulacije s ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Prilikom izračunavanja formule za zbir i razliku logaritama (3.4) nailazite prilično često. Ostali su donekle složeni, ali u nizu zadataka su neophodni za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritama

Neki od najčešćih logaritama su oni kod kojih je baza jednaka deset, eksponencijalna ili dva.
Logaritam na osnovu deset obično se naziva decimalni logaritam i jednostavno se označava sa lg(x).

Iz snimka se jasno vidi da na snimku nisu napisane osnove. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je baza eksponent (označen sa ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja. Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam za bazu dva je označen sa

Derivat logaritma funkcije jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom

Integralni ili antiderivativni logaritam je određen odnosom

Dati materijal vam je dovoljan za rješavanje široke klase zadataka vezanih za logaritme i logaritme. Da biste lakše razumjeli gradivo, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školskog nastavnog plana i programa i sa fakulteta.

Primjeri za logaritme

Logaritamski izrazi

Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

Naizgled složen izraz se pojednostavljuje u obliku pomoću brojnih pravila

Pronalaženje vrijednosti logaritma

Primjer 2. Pronađite x ako

Rješenje. Za izračun se primjenjuje na posljednji pojam 5 i 13 svojstava

Stavljamo to u evidenciju i žalimo

Pošto su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Početni nivo.

Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: Uzmimo logaritam varijable da zapišemo logaritam kroz zbir njegovih članova

Ovo je tek početak našeg upoznavanja sa logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte proračune, obogatite svoje praktične vještine - uskoro će vam trebati znanje koje steknete za rješavanje logaritamskih jednačina. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje ovakvih jednačina, proširit ćemo vaše znanje na još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednačine...

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu sabirati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.

Svakako morate znati ova pravila - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istim osnovama: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Pošto logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu koristeći prvu formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam, čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su razlozi drugačiji? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje problemi koji se nikako ne mogu riješiti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Tako se to zove: .

Kao i formule za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko ne zna, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako argument sadrži jedan, logaritam je jednak nuli! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno ih vježbajte u praksi! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

1. Rješenje je standardno - koristimo pravilo množenja sa 1:

Sada uklanjamo logaritme:

Pomnožimo unakrsno:

Ispitivanje

Odgovara!

Ispitivanje

I ovdje se uklapa! Možda sam pogriješio, a korijeni su uvijek prikladni? Pogledajmo sljedeći primjer!

Primjer br. 2

Predstavimo trojku koristeći našu omiljenu metodu u formi

S lijeve i desne strane koristit ćemo formulu za zbir logaritama.

Primjer br. 3

Rješenje je slično prethodno razmotrenom primjeru: pretvorimo jedinicu s desne strane u (da vas podsjetim da - decimalni logaritam, ili logaritam na bazu), i izvršimo operacije između logaritama s lijeve i desne strane:

Sada uklonimo logaritme s lijeve i desne strane:

\left((x) -2 \right)\left((x) -3 \right)=2

pregled:

Opet, oba logaritma na lijevoj strani su nedefinirana, jer su uzeti iz negativnih brojeva. Onda to nije korijen.

od tada

odgovor:

Nadam se da će vas upravo navedeni primjeri zauvijek odviknuti od preskakanja provjera prilikom rješavanja logaritamskih jednačina. To je neophodno!

Logaritamska jednadžba s promjenljivom bazom

Sada bih s vama želio pogledati drugu (malo složeniju) vrstu logaritamskih jednačina. Ovo će biti jednadžbe sa varijabilnom bazom.

Prije ovoga smo razmatrali samo slučajeve gdje su baze bile konstantne: itd. Ali ništa ih ne sprječava da budu neke funkcije npr. itd.

Ali nemojte se plašiti! Ako pri rješavanju logaritamskih nejednačina promjenjiva baza uzrokuje dosta neugodnosti, tada Ovo praktično nema efekta na složenost rješavanja jednadžbe! Procijenite sami:

Primjer br. 1

Nastavljamo kao i prije: primijenimo metodu "množenje sa jedan" na broj:

Tada se originalna jednadžba pretvara u oblik:

Ja ću se prijaviti formula kvadratne razlike:

pregled:

Kakav zaključak donosimo? Pogrešno! Broj nije korijen jednadžbe jer osnova logaritma ne može biti negativan broj ili jednaka jedan!

odgovor: .

Kao što vidite, u slučaju jednačina nema fundamentalne razlike da li su naše baze promjenljive ili ne. S tim u vezi, možemo reći da odlučujemo logaritamska jednačina obično mnogo lakše od rješavanja logaritamske nejednakosti!

Pokušajmo sada riješiti još jedan “čudan” primjer.

Primjer br. 2

Ponašaćemo se kao i uvek - pretvorićemo desnu stranu u logaritam, poput ovog lukavog:

Tada će originalna logaritamska jednačina biti ekvivalentna ovoj jednadžbi (iako opet logaritamska)

Ponovo ću riješiti ovu jednačinu koristeći razliku kvadrata:

Prvo riješimo prvi, a drugi će se riješiti otprilike na isti način:

Koristit će se ponovo "množenje sa 1":

Slično za drugu jednačinu:

Sada dolazi zabavni dio: verifikacija. Počnimo s prvim korijenom

Osnova "velikog" logaritma je jednaka

Stoga to nije korijen.

Provjerimo drugi broj:

taj broj je korijen originalne jednadžbe.

odgovor:

Namjerno sam dao prilično složen primjer da vam pokažem da se ne treba bojati velikih i strašnih logaritama.

Dovoljno je znati nekoliko formula (koje sam vam već dao gore) i možete naći izlaz iz svake (skoro) situacije!

Pa, dao sam vam osnovne metode za rješavanje logaritamskih jednadžbi („bez nepotrebnih“ metoda), koje će vam omogućiti da se nosite s većinom primjera (prvenstveno na Jedinstvenom državnom ispitu).

Sada je vaše vrijeme da pokažete šta ste naučili. Pokušajte sami riješiti sljedeće logaritamske jednačine, a zatim ćemo uporediti rezultate s vama.

Sedam primjera za samostalan rad

Tehnike o kojima se govori u ovom radu, naravno, ne iscrpljuju sve moguće načine rješavanja logaritamskih jednačina.

U nekim slučajevima, moramo biti zaista kreativni kako bismo otkrili način da pronađemo korijene lukave jednadžbe.

Međutim, bez obzira koliko je početna jednadžba složena, kao rezultat će biti svedena na jednadžbu tipa koju smo ti i ja upravo naučili riješiti!

Odgovori na primjere za samostalan rad

1. Prilično jednostavan zadatak: upotrijebimo svojstvo:

u oduzeti:

Tada dobijamo:

hajde da proverimo:

(Već sam vam objasnio ovaj prijelaz gore)

odgovor: 9

2. Također ništa natprirodno: ne želim dijeliti, pa ću pomak sa "minusom" pomjeriti udesno: sada imam decimalne logaritme lijevo i desno, i riješim ih se:

provjeravam:

izraz pod predznakom logaritma ne može biti negativan, tako da broj nije korijen jednadžbe.

Ispitivanje

odgovor:

Ovdje moramo malo poraditi: jasno je da ću opet koristiti (zar nije jako korisna?) formulu:

Šta trebam učiniti prije primjene formule za sabiranje logaritma? Da, moram se riješiti množitelja. Postoje dva načina: prvi je da ga unesete direktno u logaritam koristeći formulu:

U principu, ova metoda ima pravo na postojanje, ali šta je tu loše? Loše je baviti se izrazom forme („necelobrojni stepen“ je uvek neprijatan. Pa šta drugo možemo da uradimo? Kako da se rešimo takvog „necelobrojnog stepena“? Pomnožimo našom jednačinom:

Pa, sada stavimo oba faktora u logaritme:

onda ću zamijeniti nulu sa

I konačno dobijam:

Sjećate li se kako se zove ova “nevoljena” školska formula? Ovo kocka razlika! Možda je ovo jasnije?

Da vas podsjetim da se razlika kocki rastavlja na faktore ovako:

a evo još jednog za svaki slučaj:

U odnosu na našu situaciju, ovo će dati:

Prva jednadžba ima korijen, ali druga nema korijena (uvjerite se sami!).

Ostavljam vama da sami provjerite i uvjerite se da je broj zapravo korijen naše jednadžbe.

Kao iu prethodnom primjeru, prepisujemo

Opet, ne želim nikakva oduzimanja (i naknadna dijeljenja) i stoga ću pomaknuti rezultirajući izraz udesno:

Sada uklanjam logaritme s lijeve i desne strane:

Dobili smo iracionalnu jednačinu, za koju se nadam da već znate kako da je rešite. Samo da vas podsjetim da kvadriramo obje strane:

Vaš zadatak je sada da se uverite da nije root, ali jeste.

odgovor:

Sve je transparentno: primjenjujemo formulu za zbir logaritama na lijevoj strani:

tada uklanjamo logaritme na obje strane:

pregled:

odgovor: ;

Sve ne može biti jednostavnije: jednačina je već svedena na najjednostavniji oblik. Sve što treba da uradimo je da izjednačimo

hajde da proverimo:

Ali kada je osnova logaritama jednaka:

I to nije korijen.

odgovor:

Ovaj primjer sam ostavio za desert. Iako ni u tome nema ništa komplikovano.

Zamislimo nulu kao

Onda ćemo ti i ja dobiti ovo logaritamska jednačina:

I uklanjamo prvu "kožu" - vanjske logaritme.

Predstavimo jedinicu kao

Tada će naša jednadžba poprimiti oblik:

Sada uklanjamo "drugu kožu" i dolazimo do srži:

hajde da proverimo:

odgovor: .

3 METODE ZA RJEŠAVANJE LOGARITAMSKIH JEDNAČINA. NAPREDNI NIVO

Sada, nakon što ste pročitali prvi članak o logaritamskim jednadžbama, savladali ste potrebno minimalno znanje potrebno za rješavanje najjednostavnijih primjera.

Sada mogu da pređem na još malo raščlanjivanja tri metode rješavanje logaritamskih jednadžbi:

metoda uvođenja nove varijable (ili zamjene)
logaritamska metoda
način prelaska na novu osnovu.

Prva metoda- jedan od najčešće korišćenih u praksi. Rješava većinu „teških“ problema vezanih za rješavanje logaritamskih (i ne samo) jednačina.

Druga metoda služi za rješavanje mješovitih eksponencijalno-logaritamskih jednačina, svodeći problem na kraju na odabir dobre zamjenske varijable (odnosno na prvi metod).

Treći metod pogodan za rješavanje nekih jednadžbi u kojima se javljaju logaritmi s različitim bazama.

Počeću sa osvrtom na prvu metodu.

Metoda za uvođenje nove varijable (4 primjera)

Kao što ste već shvatili iz naziva, suština ove metode je uvođenje takve promjene varijable da će se vaša logaritamska jednadžba čudesno transformirati u onu koju možete lako riješiti.

Sve što vam preostaje nakon rješavanja ove vrlo “pojednostavljene jednačine” je da uradite "obrnuta zamjena": odnosno vratiti se iz zamijenjenog u zamijenjeno.

Ilustrirajmo ono što smo upravo rekli vrlo jednostavnim primjerom:

U ovom primjeru, zamjena se nameće sama od sebe! Uostalom, jasno je da ako zamijenimo sa, onda će se naša logaritamska jednadžba pretvoriti u racionalnu:

Možete ga lako riješiti tako da ga svedete na kvadrat:

(tako da se imenilac slučajno ne vrati na nulu!)

Pojednostavljujući rezultujući izraz, konačno dobijamo:

Sada radimo obrnutu zamjenu: , onda iz toga slijedi, a iz dobivamo

Sada, kao i prije, vrijeme je da provjerite:

Neka bude na početku, jer onda je istina!

Dakle, sve je tačno!

Dakle, brojevi su korijeni naše originalne jednadžbe.

odgovor: .

Evo još jednog primjera sa očiglednom zamjenom:

Zapravo, hajde da ga odmah zamijenimo

tada će se naša originalna logaritamska jednadžba pretvoriti u kvadratnu:

Obrnuta zamjena:

Provjerite sami, uvjerite se da su u ovom slučaju oba broja koja smo pronašli korijeni.

Mislim da ste shvatili glavnu ideju. Nije novo i ne odnosi se samo na logaritamske jednadžbe.

Druga stvar je što je ponekad prilično teško odmah "vidjeti" zamjenu. Za to je potrebno određeno iskustvo, koje će vam doći nakon nekog vašeg truda.

U međuvremenu vježbajte rješavanje sljedećih primjera:

Spreman? Hajde da proverimo šta ste dobili:

Prvo riješimo drugi primjer.

On vam samo demonstrira da nije uvijek moguće napraviti zamjenu, kako se kaže, "na glavu".

Prvo moramo malo transformirati našu jednačinu: primijeniti formulu za razliku logaritama u brojiocu prvog razlomka i uzeti stepen u brojniku drugog.

Ovim ćete dobiti:

Sada je zamjena postala očigledna, zar ne? Napravimo to: .

Hajde sada da dovedemo razlomke do zajedničkog imenioca i da ih pojednostavimo.

Tada dobijamo:

Nakon što ste riješili posljednju jednačinu, naći ćete njene korijene: gdje.

Provjerite sami i uvjerite se da su to zaista korijeni naše originalne jednadžbe.

Pokušajmo sada riješiti treću jednačinu.

Pa, prije svega, jasno je da nam neće škoditi da obje strane jednačine pomnožimo sa. Nema štete, ali su koristi očigledne.

Sada napravimo zamjenu. Pogodili ste šta ćemo zameniti, zar ne? Tako je, recimo. Tada će naša jednadžba poprimiti sljedeći oblik:

(odgovaraju nam oba korijena!)

Sada obrnuta zamjena: , from, from. Naša originalna jednačina ima čak četiri korijena! Uvjerite se u to, zamijenimo dobivene vrijednosti u jednadžbu. Zapisujemo odgovor:

odgovor: .

Mislim da vam je sada ideja zamjene varijable potpuno jasna? Dobro, onda nemojmo stati na tome i prijeđimo na drugu metodu za rješavanje logaritamskih jednadžbi: način prelaska na novu osnovu.

Način prelaska na novu bazu

Razmotrimo sljedeću jednačinu:

šta vidimo? Dva logaritma su navodno "suprotna" jedan drugom. Šta da radim? Sve je jednostavno: samo trebamo pribjeći jednoj od dvije formule:

U principu, ništa me ne sprječava da koristim bilo koju od ove dvije formule, ali zbog strukture jednadžbe, bit će mi zgodnije koristiti prvu: riješit ću se promjenljive baze logaritma u drugom članu zamenom sa. Sada je lako vidjeti da je zadatak sveden na prethodni: odabir zamjene. Zamjenom, dobijam sljedeću jednačinu:

Odavde. Sve što trebate učiniti je zamijeniti pronađene brojeve u originalnu jednadžbu i uvjeriti se da su oni zaista korijeni.

Evo još jednog primjera gdje ima smisla preći na novu osnovu:

Međutim, kao što možete lako provjeriti, ako vi i ja odmah pređemo na novu podlogu, to neće dati željeni efekat. Šta trebamo učiniti u ovom slučaju? Hajde da pojednostavimo sve što je više moguće, a onda šta bude.
Dakle, ono što želim da uradim je da zamislim kako, kako izvaditi ove potencije ispred logaritma, a takođe izvaditi kvadrat od X u prvom logaritmu. Videćemo kasnije.

Zapamtite, može biti mnogo teže sprijateljiti se sa osnovom nego sa izrazom pod znakom logaritma!

Slijedeći ovo pravilo, zamijenit ću sa i sa. Onda ću dobiti:

Pa, sljedeći koraci su vam već poznati. Zamijenite i potražite korijene!

Kao rezultat, naći ćete dva korijena originalne jednadžbe:

Vrijeme je da vam pokažem šta ste naučili!

Prvo pokušajte sami riješiti sljedeće (ne najlakše) primjere:

1. Ovdje je sve sasvim standardno: pokušat ću svesti svoju originalnu jednačinu na takvu da zamjena bude zgodna. Šta mi treba za ovo? Prvo transformirajte prvi izraz s lijeve strane (uklonite četvrti stepen dva prije logaritma) i uklonite stepen dva iz baze drugog logaritma. Tada ću dobiti:

Ostaje samo da "preokrenemo" prvi logaritam!

\frac(12)(\log_(2)(x))=3((\log )_(2))x

(radi praktičnosti, pomjerio sam drugi logaritam s lijeve na desnu stranu jednačine)

Problem je skoro riješen: možete napraviti zamjenu. Nakon svođenja na zajednički imenilac, dobijam sledeću jednačinu:

Nakon što ste izvršili obrnutu zamjenu, neće vam biti teško izračunati da:

Uvjerite se da su rezultirajuće vrijednosti korijeni naše jednadžbe.

2. Ovdje ću također pokušati da „uklopim“ svoju jednačinu na prihvatljivu zamjenu. Koji? Možda će mi odgovarati.

Zato ne gubimo vrijeme i počnimo se transformirati!

((\log )_(x))5((x)^(2))\cdot \log \frac(2)(5)x=1

Pa, sada ga možete sigurno zamijeniti! Tada, s obzirom na novu varijablu, dobijamo sljedeću jednačinu:

Gdje. Opet, uvjerite se da su oba ova broja zapravo korijeni ostavljena vam je kao vježba.

3. Ovdje nije ni odmah jasno šta ćemo zamijeniti. Postoji jedno zlatno pravilo - Ako ne znate šta da radite, uradite ono što možete! To je ono što ću koristiti!

Sada ću "okrenuti" sve logaritme i primijeniti formulu logaritma razlike na prvi, a logaritam zbira na zadnja dva:

Ovdje sam također koristio činjenicu da (at) i svojstvo uzimanja stepena iz logaritma. Pa, sada možemo primijeniti odgovarajuću zamjenu: . Siguran sam da već znate kako riješiti racionalne jednadžbe, čak i ovaj monstruozni tip. Stoga ću sebi dozvoliti da odmah zapišem rezultat:

Ostaje riješiti dvije jednačine: . Već ste se upoznali sa metodama za rješavanje takvih „gotovo najjednostavnijih“ jednadžbi u prethodnom dijelu. Tako da ću odmah napisati konačna rješenja:

Pobrinite se da samo dva od ovih brojeva budu korijeni moje jednadžbe! Naime, jeste i, dok nije root!

Ovaj primjer je složeniji, međutim, pokušat ću ga riješiti bez pribjegavanja promjenljivoj zamjeni uopće! Uradimo to ponovo, učinimo ono što možemo: prvo možemo proširiti logaritam s lijeve strane prema formuli za logaritam omjera, a isto tako staviti dva ispred logaritma u zagradi. Na kraju ću dobiti:

Pa, sada ista formula koju smo već koristili! Dakle, skratimo desnu stranu! Sada je tu samo dvojka! Pomaknimo jedan na njega s lijeve strane i konačno ćemo dobiti:

Već znate kako riješiti takve jednačine. Korijen se nalazi bez poteškoća i jednak je. Podsjećam vas da provjerite!

Eto, sada ste, nadam se, naučili rješavati prilično složene probleme koje ne možete savladati “na glavu”! Ali logaritamske jednadžbe mogu biti još podmuklije! Evo nekoliko primjera:

Ovdje, nažalost, prethodno rješenje neće dati opipljive rezultate. Zašto misliš? Da, ovdje više nema "reciprociteta" logaritama. Ovaj najopćenitiji slučaj, naravno, također se može riješiti, ali već koristimo sljedeću formulu:

Ovu formulu nije važno da li imate „suprotno“ ili ne. Pitate se zašto odabrati bazu? Moj odgovor je da nije bitno. Odgovor na kraju neće zavisiti od ovoga. Tradicionalno se koristi prirodni ili decimalni logaritam. Iako ovo nije važno. Na primjer, koristit ću decimalni:

Ostaviti odgovor u ovom obrascu je potpuna sramota! Dozvolite mi da prvo to zapišem po definiciji

Sada je vrijeme za korištenje: unutar zagrada - glavni logaritamski identitet, a izvana (do stepena) - pretvorite omjer u jedan logaritam: tada konačno dobijamo ovo "čudno" odgovor: .

Dalja pojednostavljenja, nažalost, više nam nisu dostupna.

Provjerimo zajedno:

Tačno! Usput, podsjetite se još jednom iz čega slijedi pretposljednja jednakost u lancu!

U principu, rješenje ovog primjera može se svesti i na prelazak na logaritam zasnovan na novoj bazi, ali već bi se trebali bojati što će se na kraju dogoditi. Pokušajmo učiniti nešto razumnije: transformirati lijevu stranu što je bolje moguće.

Usput, kako mislite da sam dobio posljednju dekompoziciju? Tako je, primijenio sam teoremu o faktoriranju kvadratnog trinoma, naime:

Ako su korijeni jednadžbe, onda:

Pa, sada ću prepisati svoju originalnu jednačinu u ovom obliku:

Ali mi smo sasvim sposobni da riješimo takav problem!

Dakle, hajde da uvedemo zamjenu.

Tada će moja početna jednačina poprimiti ovaj jednostavan oblik:

Njegovi korijeni su jednaki: , tada

Odakle dolazi ova jednačina? nema korena.

Sve što treba da uradite je da proverite!

Pokušajte sami riješiti sljedeću jednačinu. Uzmite si vremena i budite oprezni, tada će sreća biti na vašoj strani!

Spreman? Hajde da vidimo šta imamo.

Zapravo, primjer se rješava u dva koraka:

1. Transformacija

2. sada na desnoj strani imam izraz koji je jednak

Tako je originalna jednadžba svedena na najjednostavniju:

Test pokazuje da je ovaj broj zaista korijen jednadžbe.

Logaritamska metoda

I na kraju, vrlo kratko ću raspravljati o metodama za rješavanje nekih mješovitih jednačina. Naravno, ne preuzimam na sebe da pokrijem sve mješovite jednačine, već ću pokazati metode za rješavanje najjednostavnijih.

na primjer,

Takva jednačina se može riješiti metodom logaritma. Sve što treba da uradite je da uzmete logaritam obe strane.

Jasno je da pošto već imamo logaritam na osnovu, logaritam ću uzeti na istu bazu:

Sada ću izvući snagu iz izraza s lijeve strane:

i faktoriziraj izraz koristeći formulu razlike kvadrata:

Provjeravanje je, kao i uvijek, na vašoj savjesti.

Pokušajte sami riješiti posljednji primjer u ovom članku!

Provjerimo: uzmimo logaritam na osnovu obje strane jednadžbe:

Izvadim stepen sa leve strane i podelim ga koristeći formulu zbira sa desne strane:

Pretpostavljamo da je jedan od korijena: to je korijen.

U članku o rješavanju eksponencijalnih jednačina govorio sam o tome kako podijeliti jedan polinom za "ugao" drugim.

Ovdje trebamo podijeliti po.

Kao rezultat dobijamo:

Ako je moguće, izvršite provjeru sami (iako u ovom slučaju, posebno s posljednja dva korijena, to neće biti lako).

LOGARITAMIČKE JEDNAČINE. SUPER NIVO

Pored već prezentiranog materijala, predlažem da vi i ja razmotrimo još jedan način rješavanja mješovitih jednačina koje sadrže logaritme, ali ovdje ću razmotriti jednadžbe koje ne može se riješiti prethodno razmatranom metodom uzimanja logaritma obje strane. Ova metoda se naziva mini-max.

Mini-max metoda

Ova metoda je primjenjiva ne samo za rješavanje mješovitih jednadžbi, već se ispostavi da je korisna i pri rješavanju nekih nejednačina.

Dakle, prvo uvodimo sljedeće osnovne definicije koje su neophodne za primjenu mini-max metode.

Jednostavne slike ilustruju ove definicije:

Funkcija lijevo je monotono rastuća, a desna monotono opadajuća. Sada se okrenimo logaritamskoj funkciji, poznato je da je tačno sljedeće:

Na slici su prikazani primjeri monotono rastuće i monotono opadajuće logaritamske funkcije.

Hajde da to opišemo direktno mini-max metoda. Mislim da razumete od kojih reči dolazi ovo ime?

Tako je, od riječi minimum i maksimum. Ukratko, metoda se može predstaviti kao:

Naš najvažniji cilj je pronaći ovu konstantu kako bismo dalje sveli jednadžbu na dvije jednostavnije.

U tu svrhu mogu biti korisna svojstva monotonosti gore formulirane logaritamske funkcije.

Pogledajmo sada konkretne primjere:

1. Pogledajmo prvo lijevu stranu.

Postoji logaritam sa osnovom manjom. Prema gore formuliranoj teoremi, koja je funkcija? Smanjuje se. Istovremeno, što znači . S druge strane, po definiciji korijena: . Dakle, konstanta je pronađena i jednaka. Tada je originalna jednačina ekvivalentna sistemu:

Prva jednadžba ima korijen, a druga: . Dakle, zajednički korijen je jednak, a ovaj korijen će biti korijen originalne jednadžbe. Za svaki slučaj, provjerite kako biste bili sigurni.

odgovor:

Hajde odmah da razmislimo šta ovde piše?

Mislim na opštu strukturu. Ovdje piše da je zbir dva kvadrata nula.

Kada je to moguće?

Samo kada su oba ova broja pojedinačno jednaka nuli. Zatim pređimo na sljedeći sistem:

Prva i druga jednadžba nemaju zajedničke korijene, tada originalna jednadžba nema korijen.

odgovor: nema rješenja.

Pogledajmo prvo desnu stranu - jednostavnije je. Po definiciji sinusa:

Odakle, pa stoga

Sada se vratimo na lijevu stranu: razmotrite izraz pod znakom logaritma:

Pokušaj pronalaženja korijena jednadžbe neće dovesti do pozitivnog rezultata. Ali ipak, moram nekako procijeniti ovaj izraz. Vi, naravno, poznajete metodu kao što je odabir kompletnog kvadrata. Koristiću ga ovdje.

Budući da je rastuća funkcija, to slijedi. dakle,

Tada je naša originalna jednačina ekvivalentna sljedećem sistemu:

Ne znam da li ste upoznati sa rješavanjem trigonometrijskih jednačina ili ne, pa ću uraditi ovo: riješit ću prvu jednačinu (ima najviše dva korijena), a zatim ću rezultat zamijeniti u drugi:

(možete provjeriti i uvjeriti se da je ovaj broj korijen prve jednadžbe sistema)

Sada ću to zamijeniti u drugu jednačinu:

odgovor:

Pa, sada vam je postala jasna tehnika upotrebe mini-max metode? Zatim pokušajte sami riješiti sljedeći primjer.

Spreman? hajde da proverimo:

Lijeva strana je zbir dviju nenegativnih veličina (jedinice i modula) pa prema tome lijeva strana nije manja od jedan, a jednaka je jedinici samo kada

Istovremeno, desna strana je modul (što znači veće od nule) umnoška dva kosinusa (što ne znači više od jedan), tada:

Tada je originalna jednadžba ekvivalentna sistemu:

Ponovo predlažem da se riješi prva jednačina i rezultat zamijeni drugom:

Ova jednadžba nema korijen.

Tada originalna jednadžba također nema korijen.

Odgovor: nema rješenja.

UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA. 6 METODE ZA RJEŠAVANJE LOGARITAMSKIH JEDNAČINA

Logaritamska jednadžba- jednačina u kojoj su nepoznate varijable unutar logaritma.

Najjednostavnija logaritamska jednadžba je jednadžba oblika.

Proces rješavanja bilo koje logaritamske jednadžbe svodi se na svođenje logaritamske jednadžbe na oblik i prelazak sa jednadžbe s logaritmima na jednadžbu bez njih: .

ODZ za logaritamsku jednačinu:

Osnovne metode za rješavanje logaritamskih jednadžbi:

1 metoda. Koristeći definiciju logaritma:

Metoda 2. Koristeći svojstva logaritma:

Metoda 3. Uvođenje nove varijable (zamjena):

zamjena nam omogućava da svedemo logaritamsku jednadžbu na jednostavniju algebarsku jednačinu za t.

Metoda 4 Prelazak na novu bazu:

5 metoda. logaritam:

uzmite logaritam desne i lijeve strane jednadžbe.

6 metoda. Mini-max:

Sada želimo da čujemo od vas...

Pokušali smo što jednostavnije i detaljnije pisati o logaritamskim jednačinama.

Sada je tvoj red!

Napišite kako ocjenjujete naš članak? Da li ti se svidela?

Možda već znate kako riješiti logaritamske jednačine?

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite o tome u komentarima.

I sretno na ispitima!

U ovoj lekciji ćemo razmotriti osnovne teorijske činjenice o logaritmima i razmotriti rješavanje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi.

Prisjetimo se središnje definicije - definicije logaritma. To uključuje rješavanje eksponencijalne jednačine. Ova jednadžba ima jedan korijen, naziva se logaritam od b prema bazi a:

definicija:

Logaritam od b prema bazi a je eksponent na koji se baza a mora podići da bi se dobilo b.

Da vas podsjetimo osnovni logaritamski identitet.

Izraz (izraz 1) je korijen jednadžbe (izraz 2). Zamijenite vrijednost x iz izraza 1 umjesto x u izraz 2 i dobijete glavni logaritamski identitet:

Dakle, vidimo da je svaka vrijednost povezana s vrijednošću. Označavamo b sa x(), c sa y i tako dobijamo logaritamsku funkciju:

na primjer:

Prisjetimo se osnovnih svojstava logaritamske funkcije.

Obratimo pažnju još jednom, jer pod logaritmom može postojati striktno pozitivan izraz, kao osnova logaritma.

Rice. 1. Grafikon logaritamske funkcije s različitim bazama

Grafikon funkcije at je prikazan crnom bojom. Rice. 1. Ako se argument povećava od nule do beskonačnosti, funkcija se povećava od minus do plus beskonačno.

Grafikon funkcije at je prikazan crvenom bojom. Rice. 1.

Svojstva ove funkcije:

Obim: ;

Raspon vrijednosti: ;

Funkcija je monotona u cijelom svom domenu definicije. Kada se monotono (strogo) povećava, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. Kada se monotono (strogo) smanjuje, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Svojstva logaritamske funkcije su ključ za rješavanje raznih logaritamskih jednadžbi.

Razmotrimo najjednostavniju logaritamsku jednačinu, sve ostale logaritamske jednačine se po pravilu svode na ovaj oblik.

Kako su osnove logaritma i sami logaritmi jednaki, jednake su i funkcije pod logaritmom, ali ne smijemo propustiti domen definicije. Pod logaritmom se može pojaviti samo pozitivan broj, imamo:

Otkrili smo da su funkcije f i g jednake, pa je dovoljno odabrati bilo koju nejednakost da bi se uskladila s ODZ.

Dakle, imamo mješoviti sistem u kojem postoji jednačina i nejednakost:

U pravilu nije potrebno riješiti nejednakost, dovoljno je riješiti jednačinu i zamijeniti pronađene korijene u nejednakosti, čime se vrši provjera.

Formulirajmo metodu za rješavanje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi:

Izjednačiti osnove logaritama;

Izjednačiti sublogaritamske funkcije;

Izvršite provjeru.

Pogledajmo konkretne primjere.

Primjer 1 - riješiti jednačinu:

Osnove logaritama su u početku jednake, imamo pravo da izjednačimo sublogaritamske izraze, ne zaboravite na ODZ, biramo prvi logaritam za sastavljanje nejednakosti:

Primjer 2 - riješiti jednačinu:

Ova se jednadžba razlikuje od prethodne po tome što su baze logaritama manje od jedan, ali to ni na koji način ne utječe na rješenje:

Nađimo korijen i zamijenimo ga u nejednakosti:

Dobili smo netačnu nejednakost, što znači da pronađeni korijen ne zadovoljava ODZ.

Primjer 3 - riješiti jednačinu:

Osnove logaritama su u početku jednake, imamo pravo izjednačiti podlogaritamske izraze, ne zaboravite na ODZ, biramo drugi logaritam da sastavimo nejednakost:

Nađimo korijen i zamijenimo ga u nejednakosti:

Očigledno, samo prvi korijen zadovoljava ODZ.