Sfera opisana oko cilindra i konusa naziva se a. Opis algebre harmonije

Lopta se može opisati oko piramide ako i samo ako se oko njene osnove može opisati krug.

Da biste konstruirali centar O ove lopte, trebate:

1. Pronađite centar O kružnice opisane oko baze.

2. Kroz tačku O povući pravu liniju okomitu na ravan osnove.

3. Nacrtajte ravan kroz sredinu bilo koje bočne ivice piramide okomito na ovu ivicu.

4. Naći tačku O preseka konstruisane prave i ravni.

Poseban slučaj: bočne ivice piramide su jednake. onda:

lopta se može opisati;

centar O lopte leži u visini piramide;

Gdje je polumjer opisane sfere; - bočno rebro; H je visina piramide.

5.2. Lopta i prizma

Sfera se može opisati oko prizme ako i samo ako je prizma ravna i krug se može opisati oko njene osnove.

Centar lopte je sredina segmenta koji povezuje središta krugova opisanih u blizini baza.

gdje je polumjer opisane sfere; - radijus kružnice opisane u blizini osnove; H je visina prizme.

5.3. Lopta i cilindar

Lopta se uvijek može opisati oko cilindra. Centar lopte je centar simetrije aksijalnog presjeka cilindra.

5.4. Lopta i konus

Lopta se uvijek može opisati oko konusa. Centar lopte; služi kao središte kružnice opisane oko aksijalnog presjeka konusa.

Svijet oko nas, uprkos raznovrsnosti predmeta i pojava koje se s njima dešavaju, pun je harmonije zahvaljujući jasnom djelovanju zakona prirode. Iza prividne slobode kojom priroda crta obrise i stvara forme stvari kriju se jasna pravila i zakoni koji nehotice sugeriraju prisustvo neke više sile u procesu stvaranja. Na rubu pragmatične nauke, koja daje opis tekućih pojava iz perspektive matematičkih formula i teozofskih pogleda na svijet, postoji svijet koji nam daje čitav buket emocija i utisaka od stvari koje ga ispunjavaju i događaja koji se događaju. njima.

Lopta je najčešći oblik fizičkih tijela koji se nalazi u prirodi. Većina tijela makrokosmosa i mikrokosmosa ima oblik lopte ili joj se nastoji približiti. U suštini, lopta je primjer idealnog oblika. Općenito prihvaćena definicija za loptu je sljedeća: to je geometrijsko tijelo, skup (skup) svih tačaka u prostoru koje se nalaze od centra na udaljenosti koja ne prelazi datu. U geometriji se ovo rastojanje naziva radijusom, a u odnosu na ovu figuru naziva se radijusom lopte. Drugim riječima, zapremina lopte sadrži sve tačke koje se nalaze na udaljenosti od centra koja ne prelazi dužinu radijusa.

Lopta se takođe smatra rezultatom rotacije polukruga oko svog prečnika, koji ostaje nepomičan. U ovom slučaju, elementima i karakteristikama kao što su polumjer i zapremina lopte, dodaje se os lopte (fiksni promjer), a njeni krajevi se nazivaju polovi lopte. Površina lopte se obično naziva sfera. Ako imamo posla sa zatvorenom kuglom, onda ona uključuje ovu sferu, ako je otvorena, onda je isključuje.

Uzimajući u obzir dodatne definicije vezane za loptu, treba reći i o ravnima za sečenje. Ravan sečenja koja prolazi kroz centar lopte obično se naziva velikim krugom. Za ostale ravne dijelove lopte obično se koristi naziv "mali krugovi". Prilikom izračunavanja površina ovih presjeka koristi se formula πR².

Dok su izračunavali zapreminu sfere, matematičari su naišli na prilično fascinantne obrasce i karakteristike. Ispostavilo se da se ova vrijednost ili potpuno ponavlja ili je vrlo bliska po svom načinu određivanja zapremini piramide ili cilindra opisanog oko lopte. Ispada da je zapremina lopte jednaka ako njena baza ima istu površinu kao i površina lopte, a visina je jednaka poluprečniku lopte. Ako uzmemo u obzir cilindar koji je opisan oko lopte, možemo izračunati obrazac prema kojem je volumen lopte jedan i po puta manji od volumena ovog cilindra.

Metoda vađenja lopte po principu Cavalieri izgleda atraktivno i originalno. Sastoji se u pronalaženju volumena bilo koje figure tako što se površine dobivene njenim poprečnim presjekom sabiraju u beskonačan broj Da bismo ga izveli, uzmimo polukuglu polumjera R i cilindar visine R sa osnovom kružnice poluprečnika R. baze hemisfere i cilindra nalaze se u istoj ravni). U ovaj cilindar postavljamo konus sa vrhom u sredini donje osnove. Pošto smo dokazali da su zapremina hemisfere i delovi cilindra izvan konusa jednaki, lako možemo izračunati zapreminu lopte. Njegova formula ima sljedeći oblik: četiri trećine proizvod kocke polumjera i π (V= 4/3R^3×π). To je lako dokazati crtanjem zajedničke ravni sečenja kroz hemisferu i cilindar. Površine malog kruga i prstena ograničene s vanjske strane stranicama cilindra i konusa su jednake. A, koristeći Cavalierijev princip, nije teško doći do dokaza osnovne formule, uz pomoć koje određujemo volumen lopte.

Ali nije samo problem proučavanja prirodnih tijela povezan s pronalaženjem načina za određivanje njihovih različitih karakteristika i svojstava. Stereometrijska figura kao što je lopta se vrlo široko koristi u ljudskoj praksi. Mnogi tehnički uređaji u svojim dizajnom imaju dijelove ne samo sfernog oblika, već i sastavljene od sfernih elemenata. Upravo kopiranje idealnih prirodnih rješenja u procesu ljudskog djelovanja daje najkvalitetnije rezultate.

Kada se zadatku zada piramida upisana u loptu, sljedeće teorijske informacije će biti korisne u njegovom rješavanju.

Ako je piramida upisana u kuglu, tada svi njeni vrhovi leže na površini ove kugle (shodno tome, udaljenosti od centra lopte do vrhova su jednake poluprečniku lopte);

Svako lice piramide upisano u kuglu je poligon upisan u određeni krug. Osnove okomica ispuštenih iz središta lopte na ravan lica su centri ovih opisanih kružnica. Dakle, centar opisane kugle je tačka presjeka okomita na lica piramide povučena kroz središta opisanih kružnica.

Češće se središte lopte opisane u blizini piramide smatra presječnom točkom okomice povučene na bazu kroz središte kružnice opisane u blizini baze, a simetrala okomice na bočni rub (simetrala okomice leži u ravan koja prolazi kroz ovu bočnu ivicu i prvu okomicu (povučenu na osnovu) ako je nemoguće opisati kružnicu u blizini osnove piramide, onda se ova piramida ne može upisati u sferu može biti opisana u blizini trouglaste piramide, a četvorougaona piramida upisana u sferu sa paralelogramom u osnovi može imati pravougaonik ili kvadrat kao osnovu.

Centar lopte opisane u blizini piramide može ležati unutar piramide, na površini piramide (na bočnoj strani, na bazi) i izvan piramide. Ako iskaz problema ne kaže gdje tačno leži centar opisane kuglice, preporučljivo je razmotriti kako različite opcije za njenu lokaciju mogu utjecati na rješenje.

Lopta se može opisati oko bilo koje pravilne piramide. Njegovo središte je tačka presjeka prave linije koja sadrži visinu piramide i simetrale okomite na bočni rub.

Prilikom rješavanja zadataka koji uključuju piramidu upisanu u loptu, najčešće se uzimaju u obzir neki trouglovi.

Počnimo sa trouglom SO1C. Jednakokraka je, jer su joj dvije strane jednake poluprečniku lopte: SO1=O1S=R. Dakle, O1F je njegova visina, medijan i simetrala.

Pravougli trouglovi SOC i SFO1 su slični u oštrom uglu S. Dakle

SO=H je visina piramide, SC=b je dužina bočne ivice, SF=b/2, SO1=R, OC=r je poluprečnik kružnice opisane oko osnove piramide.

U pravokutnom trokutu OO1C g hipotenuza je O1C=R, kraci OC=r, OO1=H-R. Prema Pitagorinoj teoremi:

Ako nastavimo visinu SO, dobijamo prečnik SM. Trougao SCM je pravougaoni trougao (pošto je upisani ugao SCM zasnovan na prečniku). U njemu je OC visina povučena do hipotenuze, SO i OM su projekcije krakova SC i CM na hipotenuzu. Prema svojstvima pravouglog trougla,

Zdravo! U ovom članku ćemo se osvrnuti na probleme s loptama. Tačnije, postojaće kombinacija tela: lopte ili, drugim rečima, cilindra opisanog oko lopte (što je ista stvar) i kocke upisane u loptu.

Blog je već obradio grupu problema sa loptama, . U predstavljenim zadacima govorit ćemo o pronalaženju volumena i površine navedenih tijela.koje morate znati!

Formula za zapreminu lopte:

Formula za površinu lopte:

Formula zapremine cilindra:

Formula za površinu cilindra:

Više detalja o bočnoj površini cilindra:

To je pravougaonik "uvijen" u cilindar, čija je jedna strana jednaka obimu baze - ovo je 2PiR, druga strana je jednaka visini cilindra - ovo je N.

Šta je vrijedno pažnje u vezi sa predstavljenim zadacima?

1. Ako je lopta upisana u cilindar, tada imaju zajednički polumjer.

2. Visina cilindra opisanog oko lopte jednaka je dvama njegovim poluprečnikom (ili prečnikom).

3. Ako je kocka upisana u loptu, tada je dijagonala te kocke jednaka prečniku lopte.

245348. Cilindar je opisan oko lopte. Zapremina cilindra je 33. Nađite zapreminu sfere.

Formula za zapreminu lopte:

Moramo pronaći radijus lopte.

Sfera i cilindar imaju zajednički radijus. Osnova cilindra je krug poluprečnika R, visina cilindra jednaka je dva radijusa. To znači da se zapremina cilindra izračunava po formuli:

Zamenimo zapreminu datu u uslovu u formulu i izrazimo poluprečnik:

Ostavimo izraz u ovom obliku, nije potrebno izraziti polumjer (izvlačenje trećeg korijena), jer će nam trebati tačno R 3 .

Dakle, zapremina lopte će biti jednaka:

Odgovor: 22

245349. Cilindar je opisan oko lopte. Zapremina sfere je 24. Pronađite zapreminu cilindra.

Ovaj zadatak je obrnut od prethodnog.

Formula za zapreminu lopte:

Zapremina cilindra se izračunava po formuli:

Pošto je zapremina lopte poznata, možemo izraziti poluprečnik i zatim pronaći zapreminu cilindra:

ovako:

Odgovor: 36

316557. Lopta je upisana u cilindar. Površina sfere je 111. Nađite ukupnu površinu cilindra.

Formula površine sfere:

Formula površine cilindra:

Hajde da pojednostavimo:

Pošto nam je dana površina lopte, možemo izraziti polumjer:

Odgovor: 166.5

LOPTA KOJA KRUŽI O CILINDRU I KONUSU naziva se (a) ako vrh konusa leži na površini lopte, a osnova konusa je presjek lopte. Kuglu je uvijek moguće opisati u blizini pravog kružnog konusa. Središte kugle opisane oko konusa može se nalaziti unutar i izvan konusa, a također se poklapati sa centrom baze.

nazivamo) ako su osnove cilindra dijelovi sfere. (a Oko desnog kružnog cilindra može se opisati. Središte kugle koja je opisana oko cilindra leži u visini cilindra.

Središte opisane kružnice trokuta je tačka preseka okomitih simetrala sa stranicama trougla opisana kružnica pravokutnog trougla je središte hipotenuze. Za pravilan četvorougao: R= stranica; R – poluprečnik upisane kružnice

br. 645. Cilindar je upisan u kuglu. Nađite omjer ukupne površine cilindra i površine kugle ako je visina cilindra jednaka promjeru baze. R R Dato: sfera sa centrom O, upisani cilindar, h=2 R Nađi: R Analiza uslova: O R 1. Sfera = 2. Puna površina cilindra = 3. h=2 R Odgovor.