Sinus oštrog ugla trapeza. Uglovi jednakokrakog trapeza

Na jednostavno pitanje "Kako pronaći visinu trapeza?" postoji više odgovora, a sve zato što se mogu dati različiti inputi. Stoga će se formule razlikovati.

Ove formule se mogu zapamtiti, ali ih nije teško izvesti. Potrebno je samo primijeniti prethodno proučene teoreme.

Notacija koja se koristi u formulama

U svim matematičkim zapisima ispod, ova čitanja slova su tačna.

U originalnim podacima: sve strane

Da biste pronašli visinu trapeza u općem slučaju, trebate koristiti sljedeću formulu:

n \u003d √ (s 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2) / (2 (a - c))) 2). Broj 1.

Nije najkraći, ali je i prilično rijedak u zadacima. Obično možete koristiti druge podatke.

Formula koja vam govori kako pronaći visinu jednakokrakog trapeza u istoj situaciji je mnogo kraća:

n \u003d √ (s 2 - (a - c) 2 / 4). Broj 2.

Problem je dat: stranice i uglovi na donjoj bazi

Pretpostavlja se da je ugao α susedan strani sa oznakom "c", odnosno ugao β prema strani d. Tada će formula kako pronaći visinu trapeza, općenito govoreći, biti:

n \u003d c * sin α = d * sin β. Broj 3.

Ako je figura jednakokračna, onda možete koristiti ovu opciju:

n \u003d c * sin α = ((a - c) / 2) * tg α. Broj 4.

Poznat po: dijagonalama i uglovima između njih

Ovim podacima se dodaju obično poznate količine. Na primjer, baze ili srednja linija. Ako su dati razlozi, onda je za odgovor na pitanje kako pronaći visinu trapeza korisna sljedeća formula:

n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​+ c) ili n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​+ c). Broj 5.

Ovo je za opći izgled figure. Ako je dat jednakokraki, zapis će se transformirati na sljedeći način:

n \u003d (d 1 2 * sin γ) / (a ​​+ c) ili n = (d 1 2 * sin δ) / (a ​​+ c). Broj 6.

Kada se zadatak bavi srednjom linijom trapeza, formule za pronalaženje njegove visine postaju sljedeće:

n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m ili n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Broj 5a.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m ili n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Broj 6a.

Među poznatim veličinama: površina sa bazama ili središnjom linijom

Ovo su možda najkraće i najjednostavnije formule za pronalaženje visine trapeza. Za proizvoljan broj, to će biti ovako:

n \u003d 2S / (a ​​+ c). Broj 7.

To je isto, ali sa dobro poznatom srednjom linijom:

n = S / m. Broj 7a.

Čudno, ali za jednakokraki trapez formule će izgledati isto.

Zadaci

br. 1. Za određivanje uglova na donjoj osnovici trapeza.

Stanje. Dat je jednakokraki trapez čija je stranica 5 cm, njegove osnove su 6 i 12 cm. Potrebno je pronaći sinus oštrog ugla.

Rješenje. Radi praktičnosti, treba uvesti notaciju. Neka donji lijevi vrh bude A, a sve ostalo u smjeru kazaljke na satu: B, C, D. Tako će donja baza biti označena AD, a gornja BC.

Visine je potrebno povući iz vrhova B i C. Tačke koje označavaju krajeve visina biće označene kao H 1 i H 2, respektivno. Pošto su na slici BCH 1 H 2 svi uglovi pravi, to je pravougaonik. To znači da je segment H 1 H 2 6 cm.

Sada moramo razmotriti dva trougla. Oni su jednaki jer su pravougaoni sa istom hipotenuzom i okomitim kracima. Iz ovoga slijedi da su i njihove manje noge jednake. Stoga se mogu definirati kao količnik razlike. Potonji se dobiva oduzimanjem gornje od donje baze. To će biti podijeljeno sa 2. To jest, 12 - 6 mora biti podijeljeno sa 2. AN 1 = H 2 D = 3 (cm).

Sada, iz Pitagorine teoreme, morate pronaći visinu trapeza. Potrebno je pronaći sinus ugla. VN 1 \u003d √ (5 2 - 3 2) = 4 (cm).

Koristeći znanje o tome kako se sinus oštrog ugla nalazi u trokutu sa pravim uglom, možemo napisati sljedeći izraz: sin α = BH 1 / AB = 0,8.

Odgovori.Željeni sinus je 0,8.

br. 2. Naći visinu trapeza iz poznate tangente.

Stanje. Za jednakokraki trapez morate izračunati visinu. Poznato je da su njegove osnovice 15 i 28 cm. Tangens oštrog ugla je dat: 11/13.

Rješenje. Označavanje vrhova je isto kao u prethodnom zadatku. Opet, morate nacrtati dvije visine iz gornjih uglova. Po analogiji sa rješenjem prvog problema, potrebno je pronaći AH 1 = H 2 D, koji su definirani kao razlika između 28 i 15, podijeljena sa dva. Nakon proračuna, ispada: 6,5 cm.

Budući da je tangenta omjer dva kraka, možemo napisati sljedeću jednakost: tg α = AN 1 / VN 1. Štaviše, ovaj odnos je jednak 11/13 (po uslovu). Budući da je AH 1 poznat, visina se može izračunati: HH 1 = (11 * 6,5) / 13. Jednostavni proračuni daju rezultat od 5,5 cm.

Odgovori.Željena visina je 5,5 cm.

Broj 3. Za izračunavanje visine iz poznatih dijagonala.

Stanje. Za trapez je poznato da su njegove dijagonale 13 i 3 cm.Morate saznati njegovu visinu ako je zbir osnovica 14 cm.

Rješenje. Neka oznaka figure bude ista kao i prije. Pretpostavimo da je AC manja dijagonala. Iz vrha C morate nacrtati željenu visinu i označiti je CH.

Sada moramo napraviti dodatnu izgradnju. Iz ugla C morate povući pravu liniju paralelnu većoj dijagonali i pronaći točku njenog presjeka sa nastavkom stranice AD. Biće D 1 . Ispostavilo se novi trapez, unutar kojeg je nacrtan trokut ASD 1. To je ono što je potrebno za dalje rješavanje problema.

Željena visina će također biti ista u trokutu. Stoga možete koristiti formule proučavane u drugoj temi. Visina trokuta se definira kao proizvod broja 2 i površine, podijeljen sa stranicom na koju je povučen. I ispada da je strana jednaka zbroju osnova izvornog trapeza. To proizilazi iz pravila po kojem se vrši dogradnja.

U trouglu koji se razmatra, sve strane su poznate. Radi praktičnosti uvodimo oznake x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.

Sada možete izračunati površinu koristeći Heronov teorem. Poluperimetar će biti jednak p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Tada će formula za područje nakon zamjene vrijednosti izgledati ovako: S \u003d √ (15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2 ).

Odgovori. Visina je 6√10 / 7 cm.

br. 4. Da biste pronašli visinu na stranama.

Stanje. Dat je trapez čije su tri strane 10 cm, a četvrta 24 cm. Trebate saznati njegovu visinu.

Rješenje. Budući da je cifra jednakokračna, potrebna je formula broj 2. Samo trebate zamijeniti sve vrijednosti u nju i prebrojati. To će izgledati ovako:

n \u003d √ (10 2 - (10 - 24) 2 / 4) = √51 (cm).

Odgovori. h = √51 cm.

Bilješka. Ovo je dio lekcije s problemima geometrije (pravokutni trapezni presjek). Ako trebate riješiti problem iz geometrije kojeg ovdje nema - pišite o tome na forumu. U zadacima se umjesto simbola "kvadratni korijen" koristi funkcija sqrt (), u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naznačen u zagradama. Za jednostavne radikalne izraze, znak se može koristiti "√"

Svojstva pravougaonog trapeza

• At pravougaoni trapez a dva ugla moraju biti desna
• Oba prava ugla pravougaoni trapez nužno pripada susjednim vrhovima
• Oba prava ugla u pravokutnom trapezu nužno su susjedni istoj bočnoj strani
• Dijagonale pravokutnog trapeza formiraju pravougaoni trougao na jednoj strani
• Dužina strane trapez okomit na osnovice jednak je njegovoj visini
• Na pravougaonom trapezu baze su paralelne, jedna strana je okomita na osnovice, a druga strana je nagnuta prema osnovama
• Na pravougaonom trapezu dva ugla su prava, a druga dva oštra i tupa

Zadatak

AT pravougaoni trapez najduža stranica jednaka je zbiru osnova, visina je 12 cm.Nađi površinu pravokutnika čije su stranice jednake osnovama trapeza.

Rješenje.
Označimo trapez sa ABCD. Označimo dužine osnova trapeza kao a (veća baza AD) i b (manja baza BC). Neka bude pravi ugao

∠A.

Površina pravokutnika čije su stranice jednake osnovici trapeza bit će jednaka
S=ab

Iz vrha C gornje osnove trapeza ABCD spuštamo visinu CK na donju osnovu. Visina trapeza je poznata iz uslova zadatka. Zatim, po Pitagorinoj teoremi
CK 2 + KD

2=CD 2

Pošto je duga strana trapeza uslovno jednaka zbroju baza, onda je CD = a + b
Budući da je trapez pravougaonog oblika, visina povučena od gornje osnove trapeza dijeli donju osnovu na dva segmenta

AD = AK + KD. Vrijednost prvog segmenta jednaka je manjoj osnovici trapeza, jer visina formira pravougaonik ABCK, odnosno BC = AK = b, dakle, KD će biti jednaka razlici dužina osnova trapeza pravougaoni trapez KD = a - b.
to je
12 2 + (a - b) 2 = (a + b) 2
gdje
144 + a 2 - 2ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
144=4ab

Pošto je površina pravokutnika S = ab (vidi gore), onda
144=4S
S=144 / 4=36

Odgovor: 36 cm

2 .

Uputstvo

Ako su poznate dužine obje baze (b i c) i stranica jednakokrake, koje su identične po definiciji (a), tada se pravokutni trokut može koristiti za izračunavanje vrijednosti jednog od njegovih oštrih uglova (γ) . Da biste to učinili, spustite visinu iz bilo kojeg ugla pored kratke baze. Pravougaoni trougao će biti formiran visinom (), stranicom (hipotenuzom) i segmentom duge osnove između visine i bliže strane (druga noga). Dužina ovog segmenta se može naći oduzimanjem dužine manje baze od dužine veće baze i dijeljenjem rezultata na pola: (c-b) / 2.

Nakon što ste dobili vrijednosti dužina dviju susjednih stranica pravokutnog trokuta, prijeđite na izračunavanje ugla između njih. Omjer dužine hipotenuze (a) i dužine kraka ((c-b)/2) daje vrijednost kosinusa ovog ugla (cos(γ)), ​​a funkcija arkkosinusa će pomoći da se pretvori na ugao u stepenima: γ=arccos(2*a/(c-b )). Tako dobijete vrijednost jednog od akutnih, a pošto je jednakokraki, onda će i drugi oštar ugao imati istu vrijednost. Zbir svih uglova mora biti 360°, što znači da će zbir dva ugla biti jednak razlici između ovog i dvostrukog oštrog ugla. Budući da će oba tupa ugla također biti ista, onda da bismo pronašli vrijednost svakog od njih (α), ovu razliku moramo podijeliti na pola: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2 *a/(c-b)) . Sada imate izračunavanje svih uglova jednakokračnog trapeza s obzirom na dužine njegovih stranica.

Ako su dužine stranica figure nepoznate, ali je data njena visina (h), tada morate postupiti na isti način. U ovom slučaju, u pravokutnom trouglu koji se sastoji od bočne stranice i kratkog segmenta duge osnove, znat ćete dužine dva kraka. Njihov odnos određuje tangens ugla koji vam je potreban, a ova trigonometrijska funkcija ima i svoj antipod, koji pretvara vrijednost tangente u vrijednost ugla - arktangenta. Transformirajte formule oštrog i tupog ugla dobijene u prethodnom koraku u skladu s tim: γ=arctg(2*h/(c-b)) i α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

Da biste riješili ovaj problem korištenjem metoda vektorske algebre, morate znati sljedeće koncepte: geometrijski zbir vektora i skalarni proizvod vektora, a treba se sjetiti i svojstva zbira unutrašnjih uglova četverokuta.

Trebaće ti

• - papir;
• - olovka;
• - vladar.

Uputstvo

Vektor je usmjereni segment, odnosno vrijednost koja se smatra potpuno datom ako su dati njegova dužina i smjer (ugao) prema datoj osi. Položaj vektora više nije ograničen. Dva vektora koji imaju dužine i isti smjer smatraju se jednakima. Stoga, kada se koriste koordinate, vektori su predstavljeni radijus vektorima tačaka njegovog kraja (počevši od početka).

Po definiciji: rezultujući vektor geometrijskog zbira vektora je vektor koji potiče od početka prvog i ima kraj drugog, pod uslovom da je kraj prvog poravnat sa početkom drugog. Ovo se može nastaviti dalje, gradeći lanac slično lociranih vektora.
Nacrtajte dati ABCD sa vektorima a, b, c i d na sl. 1. Očigledno, sa ovim rasporedom, rezultujući vektor je d=a+ b+c.

Skalarni proizvod u ovom slučaju je pogodniji na osnovu vektora a i d. Tačkasti proizvod, označen sa (a, d)= |a||d|cosφ1. Ovdje je φ1 ugao između vektora a i d.
Skalarni proizvod vektora datih koordinatama definiran je na sljedeći način:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, tada
cos F1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

Uglovi jednakokrakog trapeza. Zdravo! Ovaj članak će se fokusirati na rješavanje problema s trapezom. Ova grupa zadataka je dio ispita, zadaci su jednostavni. Izračunat ćemo uglove trapeza, bazu i visinu. Rješenje niza problema svodi se na rješavanje, kako kažu: gdje smo bez Pitagorine teoreme?

Radit ćemo sa jednakokračnim trapezom. Ima jednake stranice i uglove u osnovima. Postoji članak na blogu o trapezu.

Napominjemo malu i važnu nijansu, koju nećemo detaljno opisivati ​​u procesu rješavanja samih zadataka. Gledajte, ako imamo dvije baze, onda je veća baza podijeljena na tri segmenta visinama koje su na nju spuštene - jedna je jednaka manjoj osnovici (ovo su suprotne strane pravokutnika), druge dvije su jednake jedna drugoj ( ovo su katete jednakih pravokutnih trougla):

Jednostavan primjer: date su dvije baze jednakokračnog trapeza 25 i 65. Veća baza je podijeljena na segmente kako slijedi:

*I dalje! U zadacima se ne unose slovne oznake. Ovo je učinjeno namjerno kako se rješenje ne bi preopteretilo algebarskim ukrasima. Slažem se da je ovo matematički nepismeno, ali cilj je prenijeti suštinu. I uvijek možete sami napraviti oznake vrhova i drugih elemenata i zapisati matematički ispravno rješenje.

Razmotrite zadatke:

27439. Osnove jednakokračnog trapeza su 51 i 65. Stranice su 25. Nađite sinus oštrog ugla trapeza.

Da biste pronašli ugao, morate iscrtati visine. Na skici označavamo podatke u stanju veličine. Donja baza je 65, podijeljena je po visinama na segmente 7, 51 i 7:

U pravokutnom trokutu znamo hipotenuzu i katet, možemo pronaći drugi krak (visinu trapeza) i onda izračunati sinus ugla.

Prema Pitagorinoj teoremi, navedeni krak je jednak:

Na ovaj način:

Odgovor: 0,96

27440. Osnove jednakokračnog trapeza su 43 i 73. Kosinus oštrog ugla trapeza je 5/7. Nađi stranu.

Izgradimo visine i označimo podatke u stanju veličine, donja baza je podijeljena na segmente 15, 43 i 15:

27441. Veća osnova jednakokračnog trapeza je 34. Bočna strana je 14. Sinus oštrog ugla je (2√10)/7. Pronađite manju bazu.

Hajde da gradimo visine. Da bismo pronašli manju osnovu, moramo pronaći koliko je jednak segment koji je krak u pravokutnom trokutu (označen plavom bojom):

Možemo izračunati visinu trapeza, a zatim pronaći nogu:

Po Pitagorinoj teoremi izračunavamo nogu:

Dakle, manja baza je:

27442. Osnove jednakokračnog trapeza su 7 i 51. Tangenta oštrog ugla je 5/11. Pronađite visinu trapeza.

Nacrtajmo visine i označimo podatke u stanju veličine. Donja baza je podijeljena na segmente:

sta da radim? Tangens poznatog ugla u osnovi izražavamo u pravokutnom trokutu:

27443. Manja osnova jednakokrakog trapeza je 23. Visina trapeza je 39. Tangenta oštrog ugla je 13/8. Pronađite veću bazu.

Gradimo visine i izračunavamo koliko je noga jednaka:

Dakle, veća baza će biti:

27444. Osnove jednakokračnog trapeza su 17 i 87. Visina trapeza je 14. Nađi tangentu oštrog ugla.

Gradimo visine i označavamo poznate vrijednosti na skici. Donja baza je podijeljena na segmente 35, 17, 35:

Po definiciji tangente:

77152. Osnove jednakokračnog trapeza su 6 i 12. Sinus oštrog ugla trapeza je 0,8. Nađi stranu.

Napravimo skicu, izgradimo visine i zabilježimo poznate vrijednosti, veća baza je podijeljena na segmente 3, 6 i 3:

Hipotenuzu, označenu kao x, izražavamo kroz kosinus:

Iz osnovnog trigonometrijskog identiteta nalazimo cosα

Na ovaj način:

27818. Koliki je najveći ugao jednakokrakog trapeza ako se zna da je razlika između suprotnih uglova 50 0 ? Odgovor dajte u stepenima.

Iz kursa geometrije znamo da ako imamo dvije paralelne prave i sekantu, da je zbir unutrašnjih jednostranih uglova 180 0 . U našem slučaju, ovo

Uslov kaže da je razlika suprotnih uglova 50 0 , tj

Iz tačaka D i C spuštamo dvije visine:

Kao što je gore spomenuto, oni dijele veću bazu na tri segmenta: jedan je jednak manjoj bazi, druga dva su jednaka jedan drugom.

U ovom slučaju, to su 3, 9 i 3 (ukupno 15). Osim toga, napominjemo da su pravokutni trouglovi odsječeni visinama, a oni su jednakokraki, budući da su uglovi u osnovi jednaki 45 0 . Iz toga slijedi da će visina trapeza biti jednaka 3.

To je sve! Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander.