Poruka o tome koji brojevi postoje. Koje vrste brojeva, pojmova i operacija postoje?

Integers

Brojevi koji se koriste u brojanju nazivaju se prirodni brojevi. Na primjer, $1,2,3$, itd. Prirodni brojevi čine skup prirodnih brojeva, koji je označen sa $N$. Ova oznaka dolazi od latinske riječi naturalis- prirodno.

Suprotni brojevi

Definicija 1

Ako se dva broja razlikuju samo po predznacima, nazivaju se u matematici suprotni brojevi.

Na primjer, brojevi $5$ i $-5$ su suprotni brojevi, jer Razlikuju se samo po znakovima.

Napomena 1

Za bilo koji broj postoji suprotan broj, i to samo jedan.

Napomena 2

Broj nula je suprotan samom sebi.

Cijeli brojevi

Definicija 2

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, njihove suprotnosti i nula.

Skup cijelih brojeva uključuje skup prirodnih brojeva i njihovih suprotnosti.

Označite cijele brojeve $Z.$

Razlomci brojeva

Brojevi oblika $\frac(m)(n)$ nazivaju se razlomci ili razlomci. Razlomci se mogu pisati i u decimalnom obliku, tj. u obliku decimalnih razlomaka.

Na primjer: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ itd.

Baš kao i cijeli brojevi, razlomci mogu biti pozitivni ili negativni.

Racionalni brojevi

Definicija 3

Racionalni brojevi je skup brojeva koji sadrži mnogo cijelih i razlomaka brojeva.

Bilo koji racionalni broj, i cijeli i razlomak, može se predstaviti kao razlomak $\frac(a)(b)$, gdje je $a$ cijeli broj, a $b$ prirodan broj.

Dakle, isti racionalni broj se može napisati na različite načine.

Na primjer,

Ovo pokazuje da se svaki racionalni broj može predstaviti kao konačni decimalni razlomak ili beskonačan decimalni periodični razlomak.

Skup racionalnih brojeva je označen sa $Q$.

Kao rezultat izvođenja bilo koje aritmetičke operacije nad racionalnim brojevima, rezultat će biti racionalan broj. To je lako dokazivo, jer pri sabiranju, oduzimanju, množenju i dijeljenju običnih razlomaka dobijete običan razlomak

Iracionalni brojevi

Dok studirate matematiku, često morate imati posla sa brojevima koji nisu racionalni.

Na primjer, da bismo potvrdili postojanje skupa brojeva koji nisu racionalni, riješimo jednačinu $x^2=6$ Korijeni ove jednačine će biti brojevi $\surd 6$ i -$\surd 6$. . Ove brojke neće biti racionalne.

Također, prilikom pronalaženja dijagonale kvadrata sa stranicom $3$, primjenjujemo Pitagorinu teoremu i nalazimo da će dijagonala biti jednaka $\surd 18$. Ovaj broj takođe nije racionalan.

Takvi brojevi se nazivaju iracionalno.

Dakle, iracionalni broj je beskonačan neperiodični decimalni razlomak.

Jedan od iracionalnih brojeva koji se često susreću je broj $\pi $

Prilikom izvođenja aritmetičkih operacija s iracionalnim brojevima, rezultirajući rezultat može biti racionalan ili iracionalan broj.

Dokažimo to na primjeru pronalaženja proizvoda iracionalnih brojeva. Hajde da pronađemo:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Odlukom

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Ovaj primjer pokazuje da rezultat može biti racionalan ili iracionalan broj.

Ako su racionalni i iracionalni brojevi istovremeno uključeni u aritmetičke operacije, tada će rezultat biti iracionalan broj (osim, naravno, množenja sa $0$).

Realni brojevi

Skup realnih brojeva je skup koji sadrži skup racionalnih i iracionalnih brojeva.

Skup realnih brojeva je označen sa $R$. Simbolično, skup realnih brojeva može se označiti sa $(-?;+?).$

Ranije smo rekli da je iracionalni broj beskonačan decimalni neperiodični razlomak, a svaki racionalni broj može biti predstavljen kao konačni decimalni razlomak ili beskonačan decimalni periodični razlomak, tako da će svaki konačni i beskonačni decimalni razlomak biti realan broj.

Prilikom izvođenja algebarskih operacija poštovat će se sljedeća pravila:

Prilikom množenja i dijeljenja pozitivnih brojeva, rezultirajući broj će biti pozitivan
Prilikom množenja i dijeljenja negativnih brojeva, rezultirajući broj će biti pozitivan
Prilikom množenja i dijeljenja negativnih i pozitivnih brojeva, rezultirajući broj će biti negativan

Realni brojevi se takođe mogu međusobno porediti.

Koncept realnog broja: pravi broj- (stvarni broj), bilo koji nenegativan ili negativan broj ili nula. Realni brojevi se koriste za izražavanje mjerenja svake fizičke veličine.

Real, ili pravi broj proizašla iz potrebe za mjerenjem geometrijskih i fizičkih veličina svijeta. Osim toga, za izvođenje operacija vađenja korijena, izračunavanje logaritama, rješavanje algebarskih jednadžbi itd.

Prirodni brojevi su nastali razvojem brojanja, a racionalni brojevi sa potrebom upravljanja dijelovima cjeline, zatim se realni brojevi (realni) koriste za mjerenje kontinuiranih veličina. Dakle, proširenje zalihe brojeva koji se razmatraju dovelo je do skupa realnih brojeva koji se, pored racionalnih brojeva, sastoji od drugih elemenata tzv. iracionalni brojevi.

Skup realnih brojeva(označeno R) su skupovi racionalnih i iracionalnih brojeva sakupljeni zajedno.

Realni brojevi podijeljeni saracionalno I iracionalno.

Skup realnih brojeva se označava i često naziva pravi ili brojevnu liniju. Realni brojevi se sastoje od jednostavnih objekata: cijeli I racionalni brojevi.

Broj koji se može napisati kao omjer, gdjem je cijeli broj, i n- prirodni broj, jeracionalni broj.

Svaki racionalni broj se lako može predstaviti kao konačni razlomak ili beskonačan periodični decimalni razlomak.

Primjer,

Beskonačna decimala, je decimalni razlomak koji ima beskonačan broj cifara nakon decimalnog zareza.

Brojevi koji se ne mogu predstaviti u obrascu su iracionalni brojevi.

primjer:

Bilo koji iracionalni broj se lako može predstaviti kao beskonačan neperiodični decimalni razlomak.

Primjer,

Racionalni i iracionalni brojevi stvaraju skup realnih brojeva. Svi realni brojevi odgovaraju jednoj tački na koordinatnoj liniji, koja se zove brojevnu liniju.

Za numeričke skupove koristi se sljedeća notacija:

N- skup prirodnih brojeva;
Z- skup cijelih brojeva;
Q- skup racionalnih brojeva;
R- skup realnih brojeva.

Teorija beskonačnih decimalnih razlomaka.

Realan broj je definisan kao beskonačno decimalno, tj.:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

gdje je ± jedan od simbola + ili -, znak broja,

0 je pozitivan cijeli broj,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… je niz decimalnih mjesta, tj. elementi numeričkog skupa {0,1,…9}.

Beskonačni decimalni razlomak može se objasniti kao broj koji leži između racionalnih tačaka na brojevnoj pravoj kao:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n I ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) za sve n=0,1,2,…

Poređenje realnih brojeva kao beskonačnih decimalnih razlomaka odvija se po mjestima. Na primjer, pretpostavimo da su nam data 2 pozitivna broja:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Ako a 0 0, To α<β ; Ako a 0 >b 0 To α>β . Kada a 0 =b 0 Pređimo na poređenje sljedeće kategorije. itd. Kada α≠β , što znači da će se nakon konačnog broja koraka naići na prvu cifru n, takav da a n ≠b n. Ako a n n, To α<β ; Ako a n >b n To α>β .

Ali zamorno je obraćati pažnju na činjenicu da je broj a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Stoga, ako je zapis jednog od brojeva koji se upoređuje, počevši od određene cifre, periodični decimalni razlomak sa 9 u periodu, tada se mora zamijeniti ekvivalentnim zapisom s nulom u periodu.

Aritmetičke operacije s beskonačnim decimalnim razlomcima su kontinuirani nastavak odgovarajućih operacija s racionalnim brojevima. Na primjer, zbir realnih brojeva α I β je pravi broj α+β , koji zadovoljava sledeće uslove:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a′′)∧ (b′⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Slično je definirana operacija množenja beskonačnih decimalnih razlomaka.

Cifre u višecifrenim brojevima podijeljene su s desna na lijevo u grupe od po tri cifre. Ove grupe se zovu casovi. U svakom razredu brojevi s desna na lijevo označavaju jedinice, desetice i stotine te klase:

Poziva se prva klasa s desne strane klasa jedinica, sekunda - hiljada, treći - miliona, četvrti - milijarde, peti - triliona, šesti - kvadrilion, sedmi - kvintiliona, osmi - sextillions.

Da bi se olakšalo čitanje zapisa višecifrenog broja, ostavljen je mali razmak između klasa. Na primjer, da bismo pročitali broj 148951784296, ističemo klase u njemu:

i pročitajte broj jedinica svake klase s lijeva na desno:

148 milijardi 951 milion 784 hiljade 296.

Kada se čita klasa jedinica, riječ jedinice se obično ne dodaje na kraju.

Svaka cifra u zapisu višecifrenog broja zauzima određeno mjesto - poziciju. Poziva se mjesto (pozicija) u zapisu broja na kojem stoji cifra pražnjenje.

Brojanje cifara ide s desna na lijevo. Odnosno, prva cifra sa desne strane u broju naziva se prva cifra, druga cifra sa desne strane je druga cifra, itd. Na primjer, u prvoj klasi broja 148,951,784,296, cifra 6 je prva cifra, 9 je druga cifra, 2 - treća cifra:

Nazivaju se i jedinice, desetice, stotine, hiljade itd cifrene jedinice:
jedinice se nazivaju jedinice 1. kategorije (ili jednostavne jedinice)
desetice se nazivaju jedinice druge cifre
stotine se nazivaju 3-cifrene jedinice, itd.

Pozivaju se sve jedinice osim jednostavnih jedinica sastavne jedinice. Dakle, deset, sto, hiljada, itd. su složene jedinice. Svakih 10 jedinica bilo kog ranga čini jednu jedinicu sljedećeg (višeg) ranga. Na primjer, sto sadrži 10 desetica, desetica sadrži 10 prostih jedinica.

Bilo koja složena jedinica u usporedbi s drugom jedinicom manjom nego što se zove jedinica najviše kategorije, i u poređenju sa jedinicom većom nego što se zove jedinica najniže kategorije. Na primjer, sto je jedinica višeg reda u odnosu na deset, a jedinica nižeg reda u odnosu na hiljadu.

Da biste saznali koliko jedinica bilo koje cifre ima u broju, morate odbaciti sve cifre koje predstavljaju jedinice nižih cifara i pročitati broj izražen preostalim znamenkama.

Na primjer, trebate saznati koliko stotina ima u broju 6284, odnosno koliko stotina ima u hiljadama i stotinama datog broja zajedno.

U broju 6284, broj 2 je na trećem mjestu u klasi jedinica, što znači da su u broju dvije proste stotine. Sljedeći broj lijevo je 6, što znači hiljade. Pošto svaka hiljada sadrži 10 stotina, 6 hiljada ih sadrži ukupno 62 stotine.

Broj 0 u bilo kojoj cifri znači odsustvo jedinica u ovoj cifri. Na primjer, broj 0 na mjestu desetica znači odsustvo desetica, na mjestu stotine - odsustvo stotina itd. Na mjestu gdje postoji 0 ništa se ne kaže kada se čita broj:

172 526 - sto sedamdeset dvije hiljade petsto dvadeset i šest.
102 026 - sto dve hiljade dvadeset šest.

Intuitivna ideja broja je izgleda stara koliko i samo čovječanstvo, iako je u principu nemoguće pouzdano pratiti sve rane faze njegovog razvoja. Prije nego što je čovjek naučio brojati ili smislio riječi za označavanje brojeva, on je nesumnjivo imao vizualnu, intuitivnu ideju o broju koja mu je omogućila da napravi razliku između jedne osobe i dvoje ljudi, ili između dvoje i mnogo ljudi. Da su primitivni ljudi u početku poznavali samo „jedan“, „dva“ i „mnogo“ potvrđuje činjenica da u nekim jezicima, poput grčkog, postoje tri gramatička oblika: jednina, dvojina i množina. Kasnije je čovjek naučio razlikovati dva i tri stabla i tri i četiri osobe. Brojanje je prvobitno bilo povezano s vrlo specifičnim skupom objekata, a prva imena za brojeve bili su pridjevi. Na primjer, riječ “tri” korištena je samo u kombinacijama “tri drveta” ili “tri osobe”; ideja da ovi skupovi imaju nešto zajedničko - koncept trojstva - zahteva visok stepen apstrakcije. Da je brojanje nastalo prije pojave ovog nivoa apstrakcije svjedoči činjenica da riječi „jedan” i „prvi”, kao i „dva” i „drugi”, u mnogim jezicima nemaju ništa zajedničko jedna s drugom. , dok leže izvan primitivnog brojanja „jedan“, „dva“, „mnogo“, riječi „tri“ i „treći“, „četiri“ i „četvrti“ jasno ukazuju na odnos između kardinalnih i rednih brojeva.

Nazivi brojeva, koji izražavaju vrlo apstraktne ideje, pojavili su se, nesumnjivo, kasnije od prvih sirovih simbola za označavanje broja objekata u određenoj zbirci. U davna vremena, primitivni numerički zapisi pravljeni su u obliku zareza na štapu, čvorova na užetu, položenih u niz oblutaka, a podrazumijevalo se da postoji jedna-na-jedan korespondencija između elemenata skup koji se broji i simboli numeričkog zapisa. Ali imena brojeva nisu direktno korištena za čitanje takvih numeričkih zapisa. Danas na prvi pogled prepoznajemo agregate od dva, tri i četiri elementa; Setove koji se sastoje od pet, šest ili sedam elemenata nešto je teže prepoznati na prvi pogled. A izvan ove granice gotovo je nemoguće okom utvrditi njihov broj, a potrebna je analiza ili u obliku brojanja ili u određenom strukturiranju elemenata. Čini se da je brojanje pločica bila prva tehnika koja se koristila u takvim slučajevima: zarezi na pločicama bili su raspoređeni u određene grupe, kao što se prilikom brojanja glasačkih listića često grupišu u pakete od pet ili deset. Brojanje na prste bilo je vrlo rašireno, a sasvim je moguće da nazivi nekih brojeva potječu upravo od ovog načina brojanja.

Važna karakteristika brojanja je veza imena brojeva sa određenom šemom brojanja. Na primjer, riječ “dvadeset tri” nije samo termin koji označava dobro definiranu (u smislu broja elemenata) grupu objekata; to je složeni izraz koji znači "dva puta deset i tri". Ovdje je jasno vidljiva uloga broja deset kao kolektivne jedinice ili temelja; i zaista, mnogi ljudi broje desetke, jer, kao što je Aristotel primetio, imamo deset prstiju na rukama i nogama. Iz istog razloga korištene su baze pet ili dvadeset. U vrlo ranim fazama razvoja ljudske istorije, brojevi 2, 3 ili 4 uzimani su kao osnova brojevnog sistema; ponekad su baze 12 i 60 korištene za neka mjerenja ili proračune.

Čovek je počeo da broji mnogo pre nego što je naučio da piše, tako da nisu sačuvani pisani dokumenti koji svedoče o rečima kojima su se u antičko doba označavali brojevi. Nomadska plemena karakteriziraju usmeni nazivi brojeva, što se tiče pisanih, potreba za njima nastala je tek s prelaskom na sjedilački način života i formiranjem poljoprivrednih zajednica. Pojavila se i potreba za sistemom bilježenja brojeva i tada su postavljeni temelji za razvoj matematike.

Osnovne vrste brojeva

Za razliku od oktava, sedenions S nemaju svojstvo alternativnosti, ali zadržavaju svojstvo asocijativnosti moći.

Da bi se u memoriji računara predstavio pozitivan cijeli broj x, on se pretvara u binarni brojevni sistem. Rezultirajući binarni broj x 2 je mašinski zapis odgovarajućeg decimalnog broja x 10. Za pisanje negativnih brojeva koriste se tzv. dodatni kod broja, koji se dobija dodavanjem jedinice invertiranom prikazu modula datog negativnog broja u binarnom brojevnom sistemu.

Reprezentacija realnih brojeva u memoriji računara (u računarstvu se za njihovo označavanje koristi termin broj s pokretnim zarezom) ima neka ograničenja povezana sa korišćenim brojevnim sistemom, kao i ograničenom količinom memorije dodeljene brojevima. Dakle, samo neki od realnih brojeva mogu biti tačno predstavljeni u memoriji računara bez gubitka. U najobičnijoj shemi, broj s pomičnim zarezom zapisuje se kao blok bitova, od kojih neki predstavljaju mantisu broja, neki - stepen, a jedan bit se dodjeljuje da predstavlja znak broja (ako je potrebno, bit znaka može biti odsutan).

Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa datom apscisom. Koordinate. Svojstvo koordinata tačke. Centar brojčanog kruga. Od kruga do trigonometra. Pronađite tačke na brojevnom krugu. Tačke sa apscisom. Trigonometar. Označite tačku na kružnici s brojevima. Brojčani krug na koordinatnoj ravni. Brojčani krug. Tačke sa ordinatom. Dajte koordinate tačke. Imenujte liniju i koordinate tačke.

“Derivati” algebra 10. razred” - Primjena izvoda na proučavanje funkcija. Izvod je nula. Pronađite bodove. Hajde da sumiramo informacije. Priroda monotonosti funkcije. Primjena derivacije u proučavanju funkcija. Teorijsko zagrevanje. Dopunite izjave. Odaberite tačnu tvrdnju. Teorema. Uporedite. Izvod je pozitivan. Uporedite formulacije teorema. Funkcija se povećava. Dovoljni uslovi za ekstrem.

“Trigonometrijske jednačine” ocjena 10” - Vrijednosti iz intervala. X= tan x. Obezbedite korene. Da li je jednakost istinita? Serija korijena. Jednačina cot t = a. Definicija. Cos 4x. Pronađite korijene jednadžbe. Jednačina tg t = a. Sin x. Da li izraz ima smisla? Sin x =1. Nikad ne radi ono što ne znaš. Nastavite rečenicu. Uzmimo uzorak korijena. Riješite jednačinu. Ctg x = 1. Trigonometrijske jednadžbe. Jednačina.

“Algebra “Derivati”” - Tangentna jednačina. Poreklo pojmova. Riješite problem. Derivat. Materijalna tačka. Formule diferencijacije. Mehaničko značenje izvedenice. Kriterijumi evaluacije. Derivativna funkcija. Tangenta na graf funkcije. Definicija derivata. Jednadžba tangente na graf funkcije. Algoritam za pronalaženje derivacije. Primjer pronalaženja derivacije. Struktura tematske studije. Tačka se kreće pravolinijski.

“Najkraći put” - Put u digrafu. Primjer dva različita grafikona. Usmjereni grafovi. Primjeri usmjerenih grafova. Dostupnost. Najkraći put od vrha A do temena D. Opis algoritma. Prednosti hijerarhijske liste. Ponderisani grafovi. Putanja u grafu. Program ProGraph. Susedni vrhovi i ivice. Vrhunski stepen. Matrica susjedstva. Dužina putanje u ponderiranom grafu. Primjer matrice susjedstva. Pronalaženje najkraćeg puta.

"Istorija trigonometrije" - Jacob Bernoulli. Tehnike rada sa trigonometrijskim funkcijama. Doktrina mjerenja poliedra. Leonard Euler. Razvoj trigonometrije od 16. veka do danas. Učenik se tri puta mora susresti sa trigonometrijom. Do sada se formirala i razvijala trigonometrija. Izgradnja opšteg sistema trigonometrijskog i srodnog znanja. Vrijeme prolazi, a trigonometrija se vraća školarcima.