Prosječna aritmetika. Ponderisani prosjek - šta je to i kako ga izračunati? Pronađite ukupan indeks veleprodajne ponude prehrambenih proizvoda u stvarnim cijenama

Najvažnije svojstvo prosjeka je da odražava ono zajedničko što je svojstveno svim jedinicama populacije koja se proučava. Vrijednosti atributa pojedinih jedinica populacije variraju pod utjecajem mnogih faktora, među kojima mogu biti i osnovni i slučajni. Suština prosjeka leži u činjenici da on kompenzira odstupanja vrijednosti atributa, koja su posljedica djelovanja slučajnih faktora, i akumulira (uzima u obzir) promjene uzrokovane djelovanjem glavnog faktori. Ovo omogućava da prosjek odražava tipičan nivo atributa i apstrahuje od individualnih karakteristika svojstvenih pojedinačnim jedinicama.

Da bi prosjek bio istinski tipičan, mora se izračunati uzimajući u obzir određene principe.

Osnovni principi za korištenje prosjeka.

1. Prosjek treba odrediti za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica.

2. Prosjek treba izračunati za populaciju koja se sastoji od dovoljno velikog broja jedinica.

3. Prosjek treba izračunati za populaciju u stacionarnim uslovima (kada se uticajni faktori ne mijenjaju ili ne mijenjaju značajno).

4. Prosjek treba izračunati uzimajući u obzir ekonomski sadržaj indikatora koji se proučava.

Izračun većine specifičnih statističkih pokazatelja zasniva se na korištenju:

prosječan agregat;

prosječna snaga (harmonična, geometrijska, aritmetička, kvadratna, kubna);

prosječan hronološki (vidi odjeljak).

Svi prosjeci, sa izuzetkom zbirnog prosjeka, mogu se izračunati u dvije verzije - kao ponderisani ili neponderisani.

Prosječan agregat. Formula koja se koristi je:

gdje w i= x i* fi;

x i- i-ta varijanta prosječnog svojstva;

fi, - težina i- ta opcija.

Prosječan stepen. Općenito, formula za izračun:

gde stepen k- tip prosječne snage.

Vrijednosti prosjeka izračunatih na osnovu srednjih eksponenata za iste početne podatke nisu iste. Sa povećanjem eksponenta k, povećava se i odgovarajuća prosječna vrijednost:

Prosječno hronološki. Za trenutnu dinamičku seriju s jednakim intervalima između datuma, izračunava se po formuli:

,

gdje x 1 i Xn vrijednost indikatora za datum početka i završetka.

Formule za izračunavanje prosjeka snage

Primjer. Prema tabeli. 2.1 potrebno je izračunati prosečnu platu uopšte za tri preduzeća.

Tabela 2.1

Plata AO preduzeća

Kompanija	Broj industrijskih proizvodnjaosoblje (PPP), pers.	mjesečni fond nadnice, rub.	Srednje plata, rub.
		564840	2092
		332750	2750
		517540	2260
Ukupno		1415130

Konkretna formula izračuna zavisi od toga koji su podaci u tabeli. 7 su originalni. Shodno tome, moguće su sledeće opcije: podaci kolone 1 (broj PPP) i 2 (mesečni platni spisak); ili - 1 (broj PPP) i 3 (prosječan RFP); ili 2 (mjesečna plata) i 3 (prosječna plata).

Ako postoje samo podaci za kolone 1 i 2. Rezultati ovih grafikona sadrže potrebne vrijednosti za izračunavanje željenog prosjeka. Koristi se formula prosječnog agregata:

Ako postoje samo podaci za kolone 1 i 3, tada je imenilac originalnog omjera poznat, ali njegov brojnik nije poznat. Međutim, platni spisak se može dobiti množenjem prosječne plate sa brojem SPP. Stoga se ukupni prosjek može izračunati korištenjem formule ponderisana aritmetička sredina:

Mora se uzeti u obzir da je težina ( fi) u nekim slučajevima može biti proizvod dvije ili čak tri vrijednosti.

Osim toga, prosjek se koristi i u statističkoj praksi. aritmetika neponderisana:

gdje je n obim populacije.

Ovaj prosjek se koristi kada se težine ( fi) su odsutni (svaka varijanta osobine se javlja samo jednom) ili su međusobno jednaki.

Ako postoje samo podaci za kolone 2 i 3., tj. brojnik originalnog omjera je poznat, ali njegov nazivnik nije poznat. Broj PPP svakog preduzeća može se dobiti dijeljenjem platnog spiska sa prosječnom platom. Zatim se obračun prosječne plate za tri preduzeća u cjelini vrši prema formuli prosečno ponderisano harmonikom:

Ako su težine jednake ( fi) izračunavanje prosječnog pokazatelja može se izvršiti prema prosječni harmonik neponderisan:

U našem primjeru koristili smo različite oblike sredstava, ali smo dobili isti odgovor. To je zbog činjenice da je za specifične podatke svaki put primijenjen isti početni omjer prosjeka.

Prosjeci se mogu izračunati korištenjem diskretnih i intervalnih serija varijacija. U ovom slučaju, proračun se vrši prema aritmetičkom ponderiranom prosjeku. Za diskretnu seriju, ova formula se koristi na isti način kao u gornjem primjeru. U nizu intervala, sredine intervala se određuju za proračun.

Primjer. Prema tabeli. 2.2 odrediti vrijednost prosječnog mjesečnog novčanog dohotka po glavi stanovnika u uslovnom regionu.

Tabela 2.2

Početni podaci (serija varijacija)

Mjesečni prosječni novčani prihod po glavi stanovnika, h, rub.	Stanovništvo, % od ukupnog/
Do 400	30,2
400 — 600	24,4
600 — 800	16,7
800 — 1000	10,5
1000-1200	6,5
1200 — 1600	6,7
1600 — 2000	2,7
2000 i više	2,3
Ukupno	100

Da biste pronašli prosječnu vrijednost u Excel-u (bilo da je brojčana, tekstualna, procentualna ili druga vrijednost), postoji mnogo funkcija. I svaki od njih ima svoje karakteristike i prednosti. Uostalom, u ovom zadatku se mogu postaviti određeni uvjeti.

Na primjer, prosječne vrijednosti niza brojeva u Excelu izračunavaju se pomoću statističkih funkcija. Također možete ručno unijeti vlastitu formulu. Razmotrimo razne opcije.

Kako pronaći aritmetičku sredinu brojeva?

Da biste pronašli aritmetičku sredinu, sabirate sve brojeve u skupu i zbir podijelite brojem. Na primjer, ocjene učenika iz informatike: 3, 4, 3, 5, 5. Šta vrijedi za četvrtinu: 4. Pronašli smo aritmetičku sredinu koristeći formulu: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Kako to učiniti brzo koristeći Excel funkcije? Uzmimo za primjer niz nasumičnih brojeva u nizu:

Ili: učinite ćeliju aktivnom i jednostavno ručno unesite formulu: =PROSJEK(A1:A8).

Sada da vidimo šta još funkcija AVERAGE može učiniti.

Pronađite aritmetičku sredinu prva dva i posljednja tri broja. Formula: =PROSJEK(A1:B1;F1:H1). rezultat:



Prosjek po stanju

Uslov za pronalaženje aritmetičke sredine može biti numerički ili tekstualni kriterijum. Koristićemo funkciju: =AVERAGEIF().

Pronađite aritmetičku sredinu brojeva koji su veći ili jednaki 10.

Funkcija: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Rezultat korištenja funkcije AVERAGEIF pod uvjetom ">=10":

Treći argument - "Raspon usrednjavanja" - je izostavljen. Prvo, nije potrebno. Drugo, opseg koji je analizirao program sadrži SAMO numeričke vrijednosti. U ćelijama navedenim u prvom argumentu, pretraga će se izvršiti prema uvjetu navedenom u drugom argumentu.

Pažnja! Kriterijum pretrage se može odrediti u ćeliji. I u formuli da se referencira na to.

Nađimo prosječnu vrijednost brojeva po tekstualnom kriteriju. Na primjer, prosječna prodaja proizvoda "stolovi".

Funkcija će izgledati ovako: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Raspon - kolona s nazivima proizvoda. Kriterijum za pretragu je veza do ćelije sa rečju "tabele" (možete umetnuti reč "tabele" umesto veze A7). Raspon prosjeka - one ćelije iz kojih će se uzeti podaci za izračunavanje prosječne vrijednosti.

Kao rezultat izračunavanja funkcije dobijamo sljedeću vrijednost:

Pažnja! Za tekstualni kriterij (uvjet) mora se specificirati raspon prosjeka.

Kako izračunati ponderisanu prosječnu cijenu u Excelu?

Kako znamo ponderisanu prosječnu cijenu?

Formula: =SUMPROIZVOD(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).

Koristeći formulu SUMPRODUCT, saznajemo ukupan prihod nakon prodaje cjelokupne količine robe. A funkcija SUM - sumira količinu robe. Dijeljenjem ukupnog prihoda od prodaje robe sa ukupnim brojem jedinica robe, dobija se prosječna ponderirana cijena. Ovaj indikator uzima u obzir "težinu" svake cijene. Njegov udio u ukupnoj masi vrijednosti.

Standardna devijacija: formula u Excelu

Razlikovati standardnu ​​devijaciju za opću populaciju i za uzorak. U prvom slučaju, ovo je korijen opšte varijanse. U drugom, iz varijanse uzorka.

Za izračunavanje ovog statističkog pokazatelja sastavlja se formula disperzije. Iz nje se uzima korijen. Ali u Excelu postoji gotova funkcija za pronalaženje standardne devijacije.

Standardna devijacija je povezana sa skalom izvornih podataka. Ovo nije dovoljno za figurativni prikaz varijacije analiziranog raspona. Da bi se dobio relativni nivo raspršenosti u podacima, izračunava se koeficijent varijacije:

standardna devijacija / aritmetička sredina

Formula u Excelu izgleda ovako:

STDEV (raspon vrijednosti) / AVERAGE (opseg vrijednosti).

Koeficijent varijacije se izračunava kao procenat. Stoga postavljamo format postotka u ćeliji.

Kako izračunati prosjek brojeva u Excelu

Pomoću funkcije možete pronaći aritmetičku sredinu brojeva u Excelu.

Sintaksa AVERAGE

=PROSEK(broj1,[broj2],…) - ruska verzija

Argumenti AVERAGE

• broj 1- prvi broj ili raspon brojeva, za izračunavanje aritmetičke sredine;
• broj2(Neobavezno) – drugi broj ili raspon brojeva za izračunavanje aritmetičke sredine. Maksimalan broj argumenata funkcije je 255.

Da biste izračunali, uradite sljedeće korake:

• Odaberite bilo koju ćeliju;
• Napišite formulu u njemu =PROSJEČNO(
• Odaberite opseg ćelija za koji želite da napravite proračun;
• Pritisnite taster "Enter" na tastaturi

Funkcija će izračunati prosječnu vrijednost u navedenom rasponu među ćelijama koje sadrže brojeve.

Kako pronaći prosječnu vrijednost danog teksta

Ako postoje prazni redovi ili tekst u rasponu podataka, onda ih funkcija tretira kao "nula". Ako među podacima postoje logički izrazi FALSE ili TRUE, tada funkcija FALSE percipira kao “nula”, a TRUE kao “1”.

Kako pronaći aritmetičku sredinu po uslovu

Funkcija se koristi za izračunavanje prosjeka prema uvjetu ili kriteriju. Na primjer, recimo da imamo podatke o prodaji proizvoda:

Naš zadatak je izračunati prosječnu prodaju olovaka. Da bismo to učinili, poduzet ćemo sljedeće korake:

• U ćeliji A13 napišite naziv proizvoda „Olovke“;
• U ćeliji B13 unesimo formulu:

=PROSJEČNOIF(A2:A10,A13,B2:B10)

Raspon ćelija” A2:A10” ukazuje na listu proizvoda u kojima ćemo tražiti riječ “olovke”. Argument A13 ovo je link na ćeliju s tekstom koji ćemo tražiti među cijelom listom proizvoda. Raspon ćelija” B2:B10” je raspon s podacima o prodaji proizvoda, među kojima će funkcija pronaći “Olovke” i izračunati prosječnu vrijednost.

Tema aritmetičke i geometrijske sredine je uključena u program matematike za 6-7 razred. Pošto je paragraf prilično jednostavan za razumevanje, brzo se prođe, a do kraja školske godine učenici ga zaborave. Ali za polaganje ispita, kao i za međunarodne SAT ispite, potrebno je znanje iz osnovne statistike. A za svakodnevni život razvijeno analitičko mišljenje nikada ne škodi.

Kako izračunati aritmetičku i geometrijsku sredinu brojeva

Pretpostavimo da postoji niz brojeva: 11, 4 i 3. Aritmetička sredina je zbir svih brojeva podijeljen brojem datih brojeva. To jest, u slučaju brojeva 11, 4, 3, odgovor će biti 6. Kako se dobija 6?

Rješenje: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Imenilac mora sadržavati broj jednak broju brojeva čiji prosjek treba pronaći. Zbir je djeljiv sa 3, jer postoje tri člana.

Sada se moramo pozabaviti geometrijskom sredinom. Recimo da postoji niz brojeva: 4, 2 i 8.

Geometrijska sredina je proizvod svih zadatih brojeva koji se nalazi ispod korena sa stepenom jednakim broju datih brojeva, odnosno u slučaju brojeva 4, 2 i 8 odgovor je 4. Evo kako se to desilo :

Rješenje: ∛(4 × 2 × 8) = 4

U obje opcije dobijeni su cijeli odgovori, jer su za primjer uzeti posebni brojevi. To nije uvijek slučaj. U većini slučajeva, odgovor se mora zaokružiti ili ostaviti u korijenu. Na primjer, za brojeve 11, 7 i 20, aritmetička sredina je ≈ 12,67, a geometrijska sredina je ∛1540. A za brojeve 6 i 5, odgovori će biti 5,5 i √30.

Može li se dogoditi da aritmetička sredina postane jednaka geometrijskoj sredini?

Naravno da može. Ali samo u dva slučaja. Ako postoji niz brojeva koji se sastoji samo od jedinica ili nula. Također je vrijedno napomenuti da odgovor ne ovisi o njihovom broju.

Dokaz sa jedinicama: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetička sredina).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrijska sredina).

Dokaz sa nulama: (0 + 0) / 2=0 (aritmetička sredina).

√(0 × 0) = 0 (geometrijska sredina).

Druge opcije nema i ne može biti.

Najčešći tip prosjeka je aritmetički prosjek.

jednostavna aritmetička sredina

Prosta aritmetička sredina je prosječan pojam, pri određivanju kojeg se ukupan obim datog atributa u podacima jednako raspoređuje na sve jedinice uključene u ovu populaciju. Dakle, prosječna godišnja proizvodnja po radniku je takva vrijednost obima proizvodnje koja bi pala na svakog zaposlenog da je cjelokupni obim proizvodnje jednako raspoređen na sve zaposlene u organizaciji. Prosta aritmetička srednja vrijednost izračunava se po formuli:

jednostavna aritmetička sredina— Jednako omjeru zbira pojedinačnih vrijednosti neke karakteristike i broja karakteristika u zbiru

Primjer 1 . Tim od 6 radnika prima 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 hiljada rubalja mjesečno.

Pronađite prosječnu platu
Rješenje: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 hiljade rubalja.

Aritmetički ponderisani prosjek

Ako je volumen skupa podataka velik i predstavlja seriju distribucije, tada se izračunava ponderirana aritmetička sredina. Ovako se utvrđuje ponderisana prosečna cena po jedinici proizvodnje: ukupni trošak proizvodnje (zbir proizvoda njegove količine i cene jedinice proizvodnje) se deli sa ukupnom količinom proizvodnje.

Ovo predstavljamo u obliku sljedeće formule:

Ponderisana aritmetička sredina- jednak je omjeru (zbir proizvoda vrijednosti atributa na učestalost ponavljanja ovog atributa) prema (zbir frekvencija svih atributa). Koristi se kada se varijante proučavane populacije javljaju nejednake broj puta.

Primjer 2 . Pronađite prosječne mjesečne plate radnika u radnji

Prosječna plata se može dobiti dijeljenjem ukupne plate sa ukupnim brojem radnika:

Odgovor: 3,35 hiljada rubalja.

Aritmetička sredina za intervalni niz

Prilikom izračunavanja aritmetičke sredine za niz intervalnih varijacija, prosjek za svaki interval se prvo određuje kao poluzbir gornje i donje granice, a zatim prosjek cijelog niza. U slučaju otvorenih intervala, vrijednost donjeg ili gornjeg intervala je određena vrijednošću intervala koji se nalaze uz njih.

Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni.

Primjer 3. Odrediti prosječnu starost učenika na večernjem odjeljenju.

Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni. Stepen njihove aproksimacije zavisi od toga koliko je stvarna distribucija jedinica stanovništva unutar intervala ujednačena.

Prilikom izračunavanja prosjeka, ne samo apsolutne, već i relativne vrijednosti (učestalost) mogu se koristiti kao težine:

Aritmetička sredina ima niz svojstava koja potpunije otkrivaju njenu suštinu i pojednostavljuju izračun:

1. Proizvod prosjeka i zbira frekvencija uvijek je jednak zbiru proizvoda varijante i frekvencija, tj.

2. Aritmetička sredina zbira promjenljivih vrijednosti jednaka je zbiru aritmetičkih sredina ovih vrijednosti:

3. Algebarski zbir odstupanja pojedinačnih vrijednosti atributa od prosjeka je nula:

4. Zbir kvadrata odstupanja opcija od srednje vrijednosti manji je od zbira kvadrata odstupanja od bilo koje druge proizvoljne vrijednosti, tj.