Tema 6 aritmetički polinomi. Zadaci za samostalno rješavanje

Dopisna škola 7 razred. Zadatak broj 2.

Metodički priručnik br.2.

Teme:

Polinomi. Zbir, razlika i proizvod polinoma;

Rješavanje jednadžbi i zadataka;

Faktorizacija polinoma;

Formule za skraćeno množenje;

Zadaci za samostalno rješavanje.

Polinomi. Zbir, razlika i proizvod polinoma.

Definicija. polinom naziva se zbir monoma.

Definicija. Zovu se monomi koji čine polinom članovi polinoma.

Množenje monoma polinomom .

Da bi se monom pomnožio polinomom, potrebno je ovaj monom pomnožiti sa svakim članom polinoma i dodati dobijene proizvode.

Množenje polinoma polinomom .

Da bi se polinom pomnožio polinomom, potrebno je pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i dodati rezultirajuće proizvode.

Primjeri rješavanja zadataka:

Pojednostavite izraz:

Rješenje.

Rješenje:

Pošto je, prema uslovu, koeficijent at onda bi trebalo da bude nula

Odgovori: -1.

Rješenje jednačina i zadataka.

Definicija . Jednakost koja sadrži varijablu se zove jedna promenljiva jednačina ili jednačina sa jednom nepoznatom.

Definicija . Korijen jednadžbe (rješenje jednadžbe) je vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje prava jednakost.

Rješavanje jednačine znači pronalaženje skupa korijena.

Definicija. Tipska jednadžba
, gdje X varijabla, a i b - neki brojevi se nazivaju linearna jednačina sa jednom promenljivom.

Definicija.

Mnogo korijeni linearne jednadžbe mogu:

Primjeri rješavanja problema:

Da li je dati broj 7 korijen jednadžbe:

Rješenje:

Dakle, x=7 je korijen jednadžbe.

Odgovori: Da.

Riješite jednačine:

Rješenje:

Odgovor: -12

Odgovor: -0,4

Od pristaništa je do grada krenuo čamac brzinom od 12 km/h, a nakon pola sata u ovom pravcu je krenuo i parobrod brzinom od 20 km/h. Kolika je udaljenost od pristaništa do grada ako je parobrod stigao u grad 1,5 sat ranije od broda?

Rješenje:

Neka je x udaljenost od luke do grada.

	Brzina (km/h)	Vrijeme (h)	put (km)
Čamac
parobrod

Prema stanju problema, čamac je proveo 2 sata više vremena od parobroda (pošto je parobrod napustio pristanište pola sata kasnije i stigao u grad 1,5 sat ranije od broda).

Napravimo i riješimo jednačinu:

60 km - udaljenost od pristaništa do grada.

Odgovor: 60 km.

Dužina pravokutnika se smanjuje za 4 cm i dobije se kvadrat čija je površina manja od površine pravokutnika za 12 cm². Pronađite površinu pravougaonika.

Rješenje:

Neka je x stranica pravougaonika.

	Dužina	Širina	Square
Pravougaonik			x(x-4)
Square			(x-4)(x-4)

Prema uslovu zadatka, površina kvadrata je manja od površine pravougaonika za 12 cm².

Napravimo i riješimo jednačinu:

7 cm je dužina pravougaonika.

(cm²) je površina pravougaonika.

Odgovor: 21 cm².

Turisti su tri dana prošli planiranom rutom. Prvog dana prešli su 35% planirane rute, drugog - 3 km više nego prvog, a trećeg - preostalih 21 km. Kolika je dužina rute?

Rješenje:

Neka je x dužina cijele rute.

	1 dan	2 dan	3 dan
Dužina puta		0,35x+3
Ukupna dužina puta je x km.

Dakle, sastavljamo i rješavamo jednačinu:

0,35x+0,35x+21=x

0,7x+21=x

0,3x=21

70 km dužine cijele rute.

Odgovor: 70 km.

Faktorizacija polinoma.

Definicija . Predstavljanje polinoma kao proizvoda dva ili više polinoma naziva se faktorizacija.

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada .

Primjer :

Metoda grupisanja .

Grupisanje se mora izvršiti tako da svaka grupa ima zajednički faktor, osim toga, nakon što se zajednički faktor izvuče iz zagrada u svakoj grupi, rezultirajući izrazi moraju imati i zajednički faktor.

Primjer :

Skraćene formule za množenje.

Umnožak razlike dva izraza i njihovog zbira jednak je razlici kvadrata ovih izraza.

Kvadrat zbira dva izraza jednak je kvadratu prvog izraza, plus dvostruki proizvod prvog i drugog izraza, plus kvadrat drugog izraza. rješenja. 1. Pronađite ostatak prilikom dijeljenja polinom x6 - 4x4 + x3 ... nema odluke, a odluke drugi su parovi (1; 2) i (2; 1). Odgovor: (1; 2) , (2; 1). Zadaci za nezavisni rješenja. Reši sistem...

Uzorni nastavni plan i program iz algebre i počeci analize za 10-11 razred (profilni nivo) Objašnjenje
Program
Svaki paragraf daje traženi broj zadataka za nezavisni rješenja po rastućoj složenosti. ... algoritam dekompozicije polinom u potencijama binoma; polinomi sa kompleksnim koeficijentima; polinomi sa pravim...
Izborni predmet „Rješavanje nestandardnih zadataka. 9 razred „Završio nastavnik matematike
izborni predmet
Jednačina je ekvivalentna jednačini R(h) = Q(X), gdje su R(h) i Q(x) neki polinomi sa jednom varijablom x. Pomeranje Q(x) na lijevu stranu... = . ODGOVOR: x1=2, x2=-3, xs=, x4=. ZADACI ZA NEZAVISNA SOLUTIONS. Riješite sljedeće jednačine: x4 - 8x...
Izborni program iz matematike za 8. razred
Program
Teorema algebre, Vieta teorema za kvadratni trinom i za polinom proizvoljan stepen, racionalna teorema... stvari. Ne samo da je lista zadataka za nezavisni rješenja, ali i zadatak da se napravi zamašni model...

Lekcija na temu: "Pojam i definicija polinoma. Standardni oblik polinoma"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 7. razred
Elektronski udžbenik o udžbeniku Yu.N. Makarychev
Elektronski udžbenik o udžbeniku Sh.A. Alimova

Ljudi, već ste proučavali monome u temi: Standardni oblik monoma. Definicije. Primjeri. Hajde da rezimiramo osnovne definicije.

Monomijalni- izraz koji se sastoji od proizvoda brojeva i varijabli. Varijable se mogu podići na prirodne moći. Monom ne sadrži nikakve druge operacije, osim množenja.

Standardni oblik monoma- takav oblik kada je koeficijent (numerički faktor) na prvom mjestu, a zatim stupnjevi raznih varijabli.

Slični monomi su ili identični monomi ili monomi koji se međusobno razlikuju po faktoru.

Koncept polinoma

Polinom, kao i monom, je generalizovani naziv za matematičke izraze određenog tipa. Već smo se ranije susreli sa takvim generalizacijama. Na primjer, "zbir", "proizvod", "eksponencijacija". Kada čujemo "razliku brojeva", pomisao na množenje ili dijeljenje ne pada nam ni na pamet. Takođe, polinom je izraz strogo definisanog oblika.

Polinomska definicija

Polinom je zbir monoma.

Zovu se monomi koji čine polinom članovi polinoma. Ako postoje dva člana, onda imamo posla sa binomom, ako postoje tri, onda sa trinomom. Ako se kaže više pojmova - polinom.

Primjeri polinoma.

1) 2ab + 4cd (binom);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinom);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xy 3;

3c 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2 .

Pogledajmo pobliže posljednji izraz. Po definiciji, polinom je zbir monoma, ali u posljednjem primjeru ne samo da dodajemo, već i oduzimamo monome.
Da pojasnimo, pogledajmo mali primjer.

Hajde da napišemo izraz a + b - c(složimo se sa tim a ≥ 0, b ≥ 0 i c ≥ 0) i odgovori na pitanje: da li je to zbir ili razlika? Teško je reći.
Zaista, ako prepišemo izraz kao a + b + (-c), dobijamo zbir dva pozitivna i jednog negativnog člana.
Ako pogledate naš primjer, onda imamo posla upravo sa zbirom monoma sa koeficijentima: 3, - 2, 7, -5. U matematici postoji pojam "algebarski zbir". Dakle, definicija polinoma znači "algebarski zbir".

Ali zapis oblika 3a: b + 7 sa polinomom nije zato što 3a: b nije monom.
Oznaka 3b + 2a * (c 2 + d) takođe nije polinom, pošto 2a * (c 2 + d) nije monom. Ako otvorite zagrade, onda će rezultirajući izraz biti polinom.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Stepen polinoma je najviši stepen njenih članova.
Polinom a 3 b 2 + a 4 ima peti stepen, jer je stepen monoma a 3 b 2 2 + 3 \u003d 5, a stepen monoma a 4 je 4.

Standardni oblik polinoma

Polinom koji nema slične članove i koji je zapisan u opadajućem redosledu u odnosu na stepene članova polinoma je polinom standardnog oblika.

Polinom je doveden u standardni oblik kako bi se otklonila prekomjerna glomaznost pisanja i pojednostavile dalje radnje s njim.

Zaista, zašto, na primjer, pisati dug izraz 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, kada se može napisati kraće od 9b 2 + 3a 2 + 8.

Da biste polinom doveli u standardni oblik, trebate:
1. sve svoje članove dovesti na standardni obrazac,
2. dodati slične (iste ili sa različitim numeričkim koeficijentom) pojmove. Ovaj postupak se često naziva donoseći slično.

Primjer.
Dovedite polinom aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 u standardni oblik.

Rješenje.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14 = 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

Odredimo stepene monoma koji čine izraz i poredajmo ih u opadajućem redosledu.
11a 2 b ima treći stepen, 3 x 5 y 2 ima sedmi stepen, 14 ima nulti stepen.
Dakle, na prvo mjesto stavićemo 3 x 5 y 2 (7. stepen), na drugo - 12a 2 b (3. stepen) i na treće - 14 (nulti stepen).
Kao rezultat, dobijamo polinom standardnog oblika 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

Primjeri za samostalno rješavanje

Dovedite polinome u standardni oblik.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).

U ovom dijelu algebre 7. razred možete učiti školske lekcije na temu „Polinomi. Aritmetičke operacije nad polinomima.

Edukativne video lekcije o algebri 7. razred „Polinomi. Aritmetičke operacije nad polinomima” predaje nastavnik škole „Logos LV” Tarasov Valentin Aleksejevič. Možete učiti i druge teme iz algebre

Stepen kao poseban slučaj polinoma

U ovoj lekciji će se razmotriti osnovni pojmovi i definicije, pripremljena je osnova za proučavanje složene i obimne teme, i to: prisjetit ćemo se teorijskog materijala koji se odnosi na stupnjeve - definicije, svojstva, teoreme i riješiti nekoliko primjera za konsolidaciju tehnika.

Redukcija polinoma na standardni oblik. Tipični zadaci

U ovoj lekciji ćemo se prisjetiti glavnih definicija ove teme i razmotriti neke tipične zadatke, naime, dovođenje polinoma u standardni oblik i izračunavanje numeričke vrijednosti za date vrijednosti varijabli. Riješit ćemo nekoliko primjera u kojima će se svođenje na standardni oblik primijeniti za rješavanje raznih vrsta problema.

Sabiranje i oduzimanje polinoma. Tipični zadaci

U ovoj lekciji će se proučavati operacije sabiranja i oduzimanja polinoma, formulisaće se pravila za sabiranje i oduzimanje. Razmatraju se primjeri i rješavaju tipični problemi i jednačine, fiksiraju vještine izvođenja ovih operacija.

Množenje polinoma monomom. Tipični zadaci

U ovoj lekciji će se proučavati operacija množenja polinoma monomom, što je osnova za proučavanje množenja polinoma. Prisjetimo se distributivnog zakona množenja i formulirajmo pravilo za množenje bilo kojeg polinoma monomom. Prisjećamo se i nekih svojstava stupnjeva. Osim toga, tipične greške će biti formulirane prilikom izvođenja različitih primjera.

Množenje binoma. Tipični zadaci

U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa operacijom množenja najjednostavnijih polinoma - binoma, formulisaćemo pravilo za njihovo množenje. Izvodimo neke formule za skraćeno množenje koristeći ovu operaciju. Osim toga, riješit ćemo veliki broj primjera i tipičnih problema, odnosno problem pojednostavljenja izraza, računski problem i jednačine.

Množenje trinoma. Tipični zadaci

U ovoj lekciji ćemo razmotriti operaciju množenja trinoma, izvesti pravilo za množenje trinoma, zapravo ćemo formulisati pravilo za množenje polinoma uopšte. Riješit ćemo nekoliko primjera vezanih za ovu temu kako bismo detaljnije prešli na množenje polinoma.

Množenje polinoma polinomom

U ovoj lekciji ćemo se prisjetiti svega što smo već naučili o množenju polinoma, sumirati neke rezultate i formulirati opće pravilo. Nakon toga ćemo izvesti niz primjera za konsolidaciju tehnike množenja polinoma.

Množenje polinoma u tekstualnim zadacima

U ovoj lekciji ćemo se prisjetiti metode matematičkog modeliranja i pomoću nje rješavati probleme. Naučićemo kako da sastavimo polinome i izraze sa njima iz uslova tekstualnog zadatka i rešimo te zadatke, što podrazumeva primenu stečenog znanja o polinomima u složenijim vrstama rada.

Množenje polinoma u zadacima sa elementima geometrije

U ovoj lekciji naučićemo kako da rešavamo tekstualne zadatke sa elementima geometrije, koristeći metodu matematičkog modeliranja. Da bismo to učinili, prvo se prisjetimo osnovnih geometrijskih činjenica i faza rješavanja problema.

Skraćene formule za množenje. Kvadrat zbira i kvadrat razlike

U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa formulama za kvadrat zbira i kvadrat razlike i izvesti ih. Dokažimo formulu za kvadrat sume geometrijski. Osim toga, pomoću ovih formula riješit ćemo mnogo različitih primjera.

Skraćene formule za množenje. Razlika kvadrata

U ovoj lekciji ćemo se prisjetiti prethodno naučenih formula za skraćeno množenje, odnosno kvadrata zbira i kvadrata razlike. Izvodimo formulu za razliku kvadrata i rješavamo mnogo različitih tipičnih problema za primjenu ove formule. Osim toga, rješavat ćemo probleme za složenu primjenu nekoliko formula.

Skraćene formule za množenje. Razlika kocke i zbroj kocki

U ovoj lekciji nastavićemo da proučavamo formule za skraćeno množenje, naime, razmotrićemo formule za razliku i zbir kocki. Osim toga, rješavat ćemo različite tipične zadatke za primjenu ovih formula.

Zajednička primjena skraćenih formula za množenje

Ovaj video tutorijal će biti koristan svima onima koji žele samostalno proći kroz temu "Zajednička primjena skraćenih formula za množenje". Uz pomoć ovog video predavanja moći ćete da sumirate, produbite i sistematizujete znanja stečena na prethodnim časovima. Učitelj će vas naučiti kako zajedno koristiti skraćene formule za množenje.

Formule skraćenog množenja u problemima povećane složenosti. Dio 1

U ovoj lekciji ćemo primijeniti naše znanje o polinomima i skraćenim formulama za množenje kako bismo riješili prilično složen geometrijski problem. To će nam omogućiti da konsolidujemo vještine rada s polinomima.

Formule skraćenog množenja u problemima povećane složenosti. Dio 2

U ovoj lekciji ćemo razmatrati komplicirane zadatke o primjeni skraćenih formula za množenje, izvodit ćemo mnogo različitih primjera kako bismo konsolidirali tehniku.

Geometrijski zadatak na paralelepipedu koristeći skraćenu formulu množenja

U ovom video tutorijalu svi će moći proučiti temu "Geometrijski problem na paralelepipedu koristeći skraćenu formulu za množenje." U ovoj aktivnosti učenici će vježbati korištenje skraćene formule za množenje kutije. Konkretno, nastavnik će dati geometrijski zadatak na paralelepipedu, koji se mora rastaviti i riješiti.

Podjela polinoma monomom

U ovoj lekciji ćemo se prisjetiti pravila za dijeljenje monoma monomom i formulirati glavne činjenice koje to potkrepljuju. Dodamo neke teorijske informacije već poznatim i izvedemo pravilo za dijeljenje polinoma monomom. Nakon toga ćemo izvesti niz primjera različite složenosti kako bismo savladali tehniku dijeljenja polinoma monomom.

Tema lekcije:

Polinomi u jednoj varijabli.

11. razred

Nastavnik matematike

Kazantseva M.V.

MBOU "Srednja škola br. 110"

Razmotrimo polinome:

2x 2 – 11x +12

– 14x 5 + 3x 2 – 6x+7

X 6 + 11

Ovi polinomi su zapisani u standardnom obliku.

Polinom standardnog oblika ne sadrži takve pojmove i piše se u opadajućem redoslijedu u odnosu na stepene njegovih članova.

P(x)=a P X P +a n–1 X n–1 +a n–2 X n–2 +

+… + a 2 X 2 + a 1 x + a 0

gdje a 0 , a 1 , a 2 …. a P – neki brojevi i a P  0, str 

a P X P – stariji član polinoma

a P – koeficijent at senior

član

P – polinomski stepen

a 0 – slobodni član polinoma

P(x)=a P X P +a n–1 X n–1 +a n–2 X n–2 +

+… + a 2 X 2 + a 1 x + a 0

Ako a

a P =1 ,

zatim polinom P (x) - smanjeno

primjer: x+3; X 5 +3x 2 -4

a P ≠1 ,

zatim polinom P (x) - nesmanjen

primjer: 2x 2 +x; -0,5x 7 +3x 3 -11

Teorema 1:

dva polinoma ( standardni pogled) identično su jednaki ako su im snage jednake i koeficijenti jednaki pri istim potencijama x.

Zadatak #1

Pronađite brojeve a i b ako su polinomi X 3 + 6x 2 + sjekira + b jednaka kocki binoma x + 2

Operacije nad polinomima:

1. Sabiranje i oduzimanje.

Prilikom sabiranja (oduzimanja) dva polinoma različitih stepena, dobija se polinom čiji je stepen jednak najvećem od dostupnih stepeni.

Zadatak #2

Nađi zbir polinoma

x+3 i -0,5x 5 +3x 2 -4

Operacije nad polinomima:

1. Sabiranje i oduzimanje.

Prilikom sabiranja (oduzimanja) dva polinoma istog stepena, dobija se polinom istog ili manjeg stepena.

Zadatak #3

Pronađite zbir i razliku polinomi

2x 3 +3x 2 -x i -2x 3 +3x-4

Operacije nad polinomima:

2. Umjetnička djela.

Ako polinom p(x) ima najviši stepen m, a polinom s(x) ima stepen n, tada je njihov proizvod p(x)∙ s(x) ima stepen m+n.

Zadatak #4

Nađi komad polinomi

x+3 i -0,5x 5 +3x 2 -4

Operacije nad polinomima:

3. Eksponencijacija.

Ako se polinom p(x) stepena m podigne na stepen n, onda se dobija polinom stepena mn.

Zadatak #5

Povećaj polinom

-0,5x 5 +3x 2 -4 na kvadrat

Operacije nad polinomima:

4. Podjela polinoma je polinom.

Ako je polinom p(x) djeljiv nenultim polinomom s(x), ako postoji takav polinom q(x) da vrijedi identitet:

p(x) = s(x) q(x)

p(x) – djeljivo (ili višestruko)

s(x) - djelitelj

q(x) -količnik

Metoda podjele po kutu

Podijeli polinom 8x 2 +10x–3 na polinom 2x+3

2x+3

– 3

8x 2 +10x–3

–

8x 2 +12x

– 1

– 2x

–

– 2x–3

Zadatak #6

Podijeli polinom 6x 3 +7x 2 – 6x +1 na polinom 3x -1

Zadatak #7

Podijeli polinom X 3 – 3x 2 + 5x - 15 na polinom x - 3

Zadatak #8

Podijeli polinom X 4 + 4 na polinom X 2 + 2x + 2

MBOU "Otvorena (smjena) škola br. 2" grada Smolenska

Samostalan rad

na temu: "Polinomi"

7. razred

Izvedeno

nastavnik matematike

Mishchenkova Tatyana Vladimirovna

Usmeni samostalni rad br. 1 (pripremni)

(provodi se u cilju pripreme učenika za učenje novih znanja na temu: „Polinom i njegov standardni oblik“)

Opcija 1.

a) 1.4a + 1-a 2 – 1,4 + b 2 ;

b) a 3 – 3a +b + 2 ab – x;

c) 2ab + x – 3 ba – x.

Obrazložite odgovor.

a) 2 a – 3 a +7 a;

b) 3x - 1 + 2x + 7;

c) 2x - 3y + 3x+2 y.

a) 8xx;G) – 2a 2 ba

b) 10nmm;d)5p 2 * 2p;

u 3aab; e) – 3 str * 1,5 str 3 .

Opcija 2

1. Imenujte slične pojmove u sljedećim izrazima:

a) 8,3x - 7 - x 2 + 4 + g 2 ;

b)b 4 - 6 a +5 b 2 +2 a – 3 b 4 :

u 3xy + y – 2 xy – y.

Obrazložite odgovor.

2. Donesite slične pojmove u izraze:

a) 10 d – 3 d – 19 d ;

b) 5x - 8 + 4x + 12;

c) 2x - 4y + 7x + 3y.

3. Dovedite monome u standardni oblik i navedite stepen monoma:

a) 10aaa;

b) 7mn ;

in) 3 cca;

d) - 5x 2 yx;

e) 8q 2 * 3 q;

f) - 7str * 0>5 q 4 .

Uslov usmenog samostalnog rada nudi se na ekranu ili na tabli, ali se tekst drži zatvoren do početka samostalnog rada.

Samostalni rad se izvodi na početku časa. Nakon završenog rada, koristi se samotestiranje pomoću računara ili table.

Samostalni rad br.2

(provodi se u cilju konsolidacije vještina i sposobnosti učenika za dovođenje polinoma u standardni oblik i određivanje stepena polinoma)

Opcija 1

1. Dovedite polinom u standardni oblik:

sjekira 2 y+yxy;

b) 3x 2 6g 2 – 5x 2 7y;

u 11a 5 – 8 a 5 +3 a 5 + a 5 ;

d) 1.9x 3 – 2,9 x 3 – x 3 .

a) 3t 2 – 5t 2 – 11t – 3t 2 + 5t +11;

b) x 2 + 5x – 4 – x 3 – 5x 2 + 4x - 13.

4 x 2 – 1 atx = 2.

4. Dodatni zadatak.

Umjesto * zapišite takav pojam da dobijete polinom petog stepena.

x 4 + 2 x 3 – x 2 + 1 + *

Opcija 2

a) bab + a 2 b;

b) 5x 2 8g 2 +7x 2 3y;

u 2m 6 + 5 m 6 – 8 m 6 – 11 m 6 ;

d) - 3.1y 2 +2,1 y 2 – y 2. .

2. Dajte slične pojmove i navedite stepen polinoma:

a) 8b 3 – 3b 3 + 17b – 3b 3 – 8b – 5;

b) 3h 2 +5hc - 7c 2 + 12h 2 – 6hc.

3. Pronađite vrijednost polinoma:

2 x 3 + 4 atx=1.

4. Dodatni zadatak.

Umjesto* zapišite takav pojam da dobijete polinom šestog stepena.

x 3 – x 2 + x + * .

Opcija 3

1. Dovedite polinome u standardni oblik:

a) 2aa 2 3b + a8b;

b) 8x3y (–5y) – 7x 2 4y;

u 20xy + 5 yx – 17 xy;

d) 8ab 2 –3 ab 2 – 7 ab 2. .

2. Dajte slične pojmove i navedite stepen polinoma:

a) 2x 2 + 7xy + 5x 2 – 11xy + 3g 2 ;

b)4b 2 +a 2 + 6ab – 11b 2 –7ab 2 .

3. Pronađite vrijednost polinoma:

– 4 y 5 – 3 aty= –1.

4. Dodatni zadatak.

Napišite polinom trećeg stepena koji sadrži jednu varijablu.

Usmeni samostalni rad br. 3 (pripremni)

(provodi se radi pripreme učenika za učenje novih znanja na temu: "Sabiranje i oduzimanje polinoma")

Opcija 1

a) zbir dva izraza 3a+ 1 ia – 4;

b) razlika dva izraza 5x– 2 i 2x + 4.

3. Proširite zagrade:

a) y – ( y+ z);

b) (x – y) + ( y+ z);

u) (a – b) – ( c – a).

4. Pronađite vrijednost izraza:

a) 13,4 + (8 – 13,4);

b) - 1,5 - (4 - 1,5);

u) (a – b) – ( c – a).

Opcija 2

1. Napišite kao izraz:

a) zbir dva izraza 5a– 3 ia + 2;

b) razlika dva izraza 8y– 1 i 7y + 1.

2. Formulirajte pravilo otvaranja zagrada kojem prethode znaci "+" ili "-".

3. Otkrijzagrade:

a) a - (b + c);

b) (a – b) + (b+a);

u) (x – y) – ( y – z).

4. Pronađite vrijednost izraza:

a) 12,8 + (11 – 12,8);

b) - 8,1 - (4 - 8,1);

c) 10,4 + 3x – ( x+10,4) ux=0,3.

Nakon završenog rada, koristi se samotestiranje pomoću računara ili table.

Samostalni rad br.4

(izvodi se u cilju konsolidacije vještina i sposobnosti sabiranja i oduzimanja polinoma)

Opcija 1

a) 5 x- 15g i 8y – 4 x;

b) 7x 2 – 5 x+3 i 7x 2 – 5 x.

2. Pojednostavite izraz:

a) (2 a + 5 b) + (8 a – 11 b) – (9 b – 5 a);

* b) (8c 2 + 3 c) + (– 7 c 2 – 11 c + 3) – (–3 c 2 – 4).

3. Dodatni zadatak.

Zapišite takav polinom da je njegov zbir sa polinomom 3x + 1 jednak

9x - 4.

Opcija 2

1. Sastavite zbir i razliku polinoma i dovedite ih u standardni oblik:

a) 21g-7xi8x-4y;

b) 3a 2 + 7a - 5i3a 2 + 1.

2. Pojednostavite izraz:

a) (3 b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b - 4) – (– b 2 +19);

* b) (3b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b – 4) – (– b 2 + 19).

3. Dodatni zadatak.

Zapišite takav polinom tako da njegov zbir sa polinomom 4x - 5 bude jednak

9x - 12.

Opcija 3

1. Sastavite zbir i razliku polinoma i dovedite ih u standardni oblik:

a) 0,5 x+ 6y i 3x – 6 y;

b) 2y 2 +8 y– 11 i 3y 2 – 6 y + 3.

2. Pojednostavite izraz:

a) (2 x + 3 y – 5 z) – (6 x –8 y) + (5 x – 8 y);

* b) (a 2 – 3 ab + 2 b 2 ) – (– 2 a 2 – 2 ab – b 2 ).

3. Dodatni zadatak.

Zapišite takav polinom da je njegov zbir sa polinomom 7x + 3 jednakx 2 + 7 x – 15.

Opcija 4

1. Sastavite zbir i razliku polinoma i dovedite ih u standardni oblik:

a) 0,3 x + 2 bi 4x – 2 b;

b) 5y 2 – 3 yi 8y 2 + 2 y – 11.

2. Pojednostavite izraz:

a) (3x - 5y - 8z) - (2x + 7y) + (5z - 11x);

* b) (2x 2 –xy + y 2 ) – (x 2 – 2xy – y 2 ).

3. Dodatni zadatak.

Zapišite takav polinom da je njegov zbir sa polinomom 2x 2 + x+ 3 i bilo je jednako 2 x + 3.

Samostalni rad se izvodi na kraju časa. Nastavnik provjerava rad, otkrivajući da li je potrebno dodatno učiti ovu temu.

Samostalni rad br.5

(izvodi se s ciljem razvijanja vještina i sposobnosti za uključivanje polinoma u zagrade)

Opcija 1

a , a drugi ga ne sadrži:

a) ax + ay + x + y;

b)sjekira 2 + x + a + 1.

Uzorak rješenja:

m + am + n - an = (m + n) + (am - an).

a) bm - bn - m - n;

b) bx + by + x –y.

Uzorak rješenja:

ab - bc - x - y = (ab - bc) - (x + y).

Opcija 2

1. Predstavite polinom kao zbir dva polinoma, od kojih jedan sadrži slovob , a drugi ga ne sadrži:

a) bx + po +2x + 2y;

b)bx 2 – x + a – b.

Primjer rješenja:

2 m + bm 3 + 3 – b = (2 m+3) + (bm 3 – b).

2. Predstavite polinom kao razliku dva polinoma, od kojih prvi sadrži slovoa , a drugi nije (provjerite rezultat mentalno proširivanjem zagrada):

a) ac - ab - c + b;

b) am + an + m – n;

Uzorak rješenja:

x + ay - y - ax \u003d (ay - ax) - (-x + y) \u003d (ay - ay) - (y - x).

Opcija 3

1. Predstavite polinom kao zbir dva polinoma, od kojih jedan sadrži slovob , a drugi ga ne sadrži:

a) b 3 – b 2 – b + 3y – 1;

b) – b 2 – a 2 – 2ab + 2.

Primjer rješenja:

– 2 b 2 – m 2 – 3 bm + 7 = (–2 b 2 – 3 bm) + (– m 2 + 7) = (–2 b 2 – 3 bm) + (7– m 2 ).

2. Predstavite polinom kao razliku dva polinoma, od kojih prvi sadrži slovob , a drugi nije (provjerite rezultat mentalno proširivanjem zagrada):

a) ab + ac - b - c;

b) 2b + a 2 – b 2 –1;

Primjer rješenja:

3 b + m – 1 – 2 b 2 = (3 b – 2 b 2 ) – (1– m).

Opcija 4

(za jake studente, dato bez uzorka rješenja)

1. Predstavite polinom kao zbir dva polinoma sa pozitivnim koeficijentima:

a) sjekira + po – c – d;

b) 3x –3g +z – a.

2. Izrazite izraze na neki način kao razliku binoma i trinoma:

sjekira 4 – 2x 3 – 3x 2 + 5x - 4;

b) 3a 5 – 4a 3 + 5a 2 -3a+2.

Samostalni rad se izvodi na kraju časa. Nakon završenog rada, koristi se samotestiranje po ključu i samoprocjena rada. Učenici koji sami urade zadatak predaju svesku nastavniku na ovjeru.

C samostalni rad №6

(izvodi se u cilju konsolidacije i primjene znanja i vještina množenja monoma polinomom)

Opcija 1

1. Uradite množenje:

a) 3 b 2 (b –3);

b) 5x (x 4 + x 2 – 1).

2. Pojednostavite izraze:

a) 4 (x+1) +(x+1);

b) 3a(a – 2) – 5a(a+3).

3. Odluči se jednačina:

20 +4(2 x–5) =14 x +12.

4. Dodatni zadatak.

(m+ n) * * = mk + nk.

Opcija 2

1. Uradite množenje:

a) - 4 x 2 (x 2 –5);

b) -5a (a 2 - 3 a – 4).

2. Pojednostavite izraze:

a) (a–2) – 2(a–2);

b) 3x (8 y +1) – 8 x(3 y–5).

3. Riješite jednačinu:

3(7 x–1) – 2 =15 x –1.

4. Dodatni zadatak.

Koji monom treba upisati umjesto znaka * da bi se jednakost ispunila:

(b+ c – m) * * = ab + ac – am.

Opcija 3

1. Uradite množenje:

a) – 7 x 3 (x 5 +3);

b) 2m 4 (m 5 - m 3 – 1).

2. Pojednostavite izraze:

a) (x–3) – 3(x–3);

b) 3c (c + d) + 3d(c–d).

3. Riješite jednačinu:

9 x – 6(x – 1) =5(x +2).

4. Dodatni zadatak.

Koji monom treba upisati umjesto znaka * da bi se jednakost ispunila:

* * (x 2 – xy) = x 2 y 2 – xy 3 .

Opcija 4

1. Uradite množenje:

a) – 5 x 4 (2 x – x 3 );

b)x 2 (x 5 – x 3 + 2 x);

2. Pojednostavite izraze:

a) 2 x(x+1) – 4 x(2– x);

b) 5b (3 a – b) – 3 a(5 b+ a).

3. Riješite jednačinu:

-8(11 – 2 x) +40 =3(5 x - 4).

4. Dodatni zadatak.

Koji monom treba upisati umjesto znaka * da bi se jednakost ispunila:

(x – 1) * * = x 2 y 2 – xy 2 .

C samostalni rad №7

(izvodi se u cilju formiranja vještina i sposobnosti rješavanja jednačina i zadataka)

Opcija 1

Riješite jednačinu:

+ = 6

Rješenje:

(+) * 20 = 6*20,

* 20 – ,

5 x – 4(x – 1) =120,

5 x – 4 x + 4=120,

x=120 – 4,

x=116.

Odgovor: 116.

Riješite jednačinu:

+ = 4

2. Riješite problem:

Na putu od sela do stanice auto je proveo 1 sat manje od bicikliste. Pronađite udaljenost od sela do stanice ako ga je automobil prošao prosječnom brzinom od 60 km/h. Biciklista je 20 km/h.

Opcija 2

1. Koristeći rješenje uzorka, dovršite zadatak.

Riješite jednačinu:

– = 1

Rješenje:

(+) * 8 = 1*8,

* 8 – ,

2 x - (x – 3) =8,

2 x – 4 x + 3=8,

x = 8 – 3,

x=5.

Odgovor: 5.

Riješite jednačinu:

+ = 2

2. Riješite problem:

Majstor pravi 8 komada više po satu od šegrta. Šegrt je radio 6 sati, a majstor 8 sati, a zajedno su napravili 232 dijela. Koliko je dijelova po satu učenik napravio?

Upute za rješenje:

a) popuniti tabelu;

8 stavki više

b) napraviti jednačinu;

c) riješiti jednačinu;

d) provjerite i zapišite odgovor.

Opcija 3

(Za jake studente, dato bez uzorka)

1. Riješite jednačinu:

– = 2

2. Riješite problem:

Krompir spakovan u džakove od 3 kg dovezen je u kantinu. Da je pakovano u vreće od 5 kg, bilo bi potrebno 8 vreća manje. Koliko je kilograma krompira doneseno u kantinu?

Samostalni rad se izvodi na kraju časa. Nakon obavljenog posla, koristi se samotestiranje po ključu.

Kao domaći zadatak učenicima se nudi kreativni samostalni rad:

Zamislite problem koji se može riješiti pomoću jednačine

30 x = 60(x– 4) i riješi ga.

Samostalni rad br.8

(izvodi se u cilju formiranja vještina i sposobnosti uzimanja zajedničkog množitelja iz zagrada)

Opcija 1

a)mx + moj; e)x 5 – x 4 ;

b) 5ab – 5 b; e) 4x 3 – 8 x 2 ;

in) – 4mn + n; *i) 2c 3 + 4c 2 +c;

G) 7ab-14a 2 ; * h)sjekira 2 +a 2 .

2. Dodatni zadatak.

2 – 2 18 je djeljiv sa 14.

Opcija 2

1. Izvadite zajednički faktor iz zagrada (provjerite svoje radnje množenjem):

a) 10x + 10y;d) a 4 +a 3 ;

b) 4x + 20g;e) 2x 6 – 4x 3 ;

in) 9ab + 3b; *i)y 5 + 3g 6 + 4g 2 ;

G) 5xy 2 + 15g; *h) 5bc 2 +b.c.

2. Dodatni zadatak.

Dokazati da je vrijednost izraza 8 5 – 2 11 je djeljiv sa 17.

Opcija 3

1. Izvadite zajednički faktor iz zagrada (provjerite svoje radnje množenjem):

a) 18ay + 8ax;d) m 6 +m 5 ;

b) 4ab - 16a;e) 5z 4 – 10z 2 ;

u 4mn + 5 n; * g) 3x 4 – 6 x 3 + 9 x 2 ;

d) 3x 2 y– 9 x; *h)xy 2 +4 xy.

2. Dodatni zadatak.

Dokazati da je vrijednost izraza 79 2 + 79 * 11 je djeljivo sa 30.

Opcija 4

1. Izvadite zajednički faktor iz zagrada (provjerite svoje radnje množenjem):

a) - 7xy + 7 y; e)y 7 - y 5 ;

b) 8mn + 4 n; e) 16z 5 – 8 z 3 ;

u 20a 2 + 4 sjekira; * g) 4x 2 – 6 x 3 + 8 x 4 ;

d) 5x 2 y 2 + 10 x; *h)xy +2 xy 2 .

2. Dodatni zadatak.

Dokazati da je vrijednost izraza 313 * 299 – 313 2 je djeljiv sa 7.

Csamostalan rad se izvodi na početku časa. Nakon obavljenog posla koristi se provjera po ključu.

Tema 6 aritmetički polinomi. Zadaci za samostalno rješavanje

Uzorni nastavni plan i program iz algebre i počeci analize za 10-11 razred (profilni nivo) Objašnjenje

Izborni predmet „Rješavanje nestandardnih zadataka. 9 razred „Završio nastavnik matematike

Izborni program iz matematike za 8. razred

Lekcija na temu: "Pojam i definicija polinoma. Standardni oblik polinoma"

Koncept polinoma

Polinomska definicija

Standardni oblik polinoma

Primjeri za samostalno rješavanje

Stepen kao poseban slučaj polinoma

Redukcija polinoma na standardni oblik. Tipični zadaci

Sabiranje i oduzimanje polinoma. Tipični zadaci

Množenje polinoma monomom. Tipični zadaci

Množenje binoma. Tipični zadaci

Množenje trinoma. Tipični zadaci

Množenje polinoma polinomom

Množenje polinoma u tekstualnim zadacima

Množenje polinoma u zadacima sa elementima geometrije

Skraćene formule za množenje. Kvadrat zbira i kvadrat razlike

Skraćene formule za množenje. Razlika kvadrata

Skraćene formule za množenje. Razlika kocke i zbroj kocki

Zajednička primjena skraćenih formula za množenje

Formule skraćenog množenja u problemima povećane složenosti. Dio 1

Formule skraćenog množenja u problemima povećane složenosti. Dio 2

Geometrijski zadatak na paralelepipedu koristeći skraćenu formulu množenja

Podjela polinoma monomom