Ostrograd Gaussova teorema za vektor električne indukcije. Ostrogradsky–Gaussova teorema

Cilj lekcije: Teoremu Ostrogradskog–Gausa ustanovili su ruski matematičar i mehaničar Mihail Vasiljevič Ostrogradski u obliku opšte matematičke teoreme i nemački matematičar Karl Fridrih Gaus. Ova teorema se može koristiti pri proučavanju fizike na specijalizovanom nivou, jer omogućava racionalnije proračune električnih polja.

Vektor električne indukcije

Da bi se izveo Ostrogradsky-Gaussov teorem, potrebno je uvesti tako važne pomoćne koncepte kao što su vektor električne indukcije i fluks ovog vektora F.

Poznato je da se elektrostatičko polje često prikazuje pomoću linija sile. Pretpostavimo da određujemo napetost u tački koja leži na granici između dva medija: vazduha (=1) i vode (=81). U ovom trenutku, kada se kreće iz zraka u vodu, jačina električnog polja prema formuli će se smanjiti za 81 put. Ako zanemarimo vodljivost vode, tada će se broj linija sile smanjiti za isti faktor. Prilikom rješavanja različitih problema proračuna polja, zbog diskontinuiteta vektora napona na granici između medija i na dielektricima, stvaraju se određene neugodnosti. Da bi se izbjegle, uvodi se novi vektor, koji se zove vektor električne indukcije:

Vektor električne indukcije jednak je proizvodu vektora i električne konstante i dielektrične konstante medija u datoj tački.

Očigledno je da se pri prolasku kroz granicu dva dielektrika broj električnih indukcijskih vodova ne mijenja za polje tačkastog naboja (1).

U SI sistemu vektor električne indukcije se mjeri u kulonima po kvadratnom metru (C/m2). Izraz (1) pokazuje da numerička vrijednost vektora ne ovisi o svojstvima medija. Vektorsko polje je grafički prikazano slično polju intenziteta (na primer, za tačkasto naelektrisanje, videti sliku 1). Za vektorsko polje primjenjuje se princip superpozicije:

Električni indukcioni tok

Vektor električne indukcije karakterizira električno polje u svakoj tački u prostoru. Možete uvesti drugu veličinu koja ovisi o vrijednostima vektora ne u jednoj tački, već u svim tačkama površine ograničene ravnom zatvorenom konturom.

Da biste to učinili, razmotrite ravan zatvoreni vodič (kolo) površine S, smješten u jednolično električno polje. Normalna na ravan provodnika čini ugao sa smerom vektora električne indukcije (slika 2).

Protok električne indukcije kroz površinu S je veličina jednaka proizvodu modula vektora indukcije na površinu S i kosinus ugla između vektora i normale:

Derivacija Ostrogradskog–Gaussove teoreme

Ova teorema nam omogućava da pronađemo tok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu unutar koje se nalaze električni naboji.

Neka se prvo jedno tačkasto naelektrisanje q postavi u centar sfere proizvoljnog poluprečnika r 1 (slika 3). Onda ; . Izračunajmo ukupni fluks indukcije koji prolazi kroz cijelu površinu ove sfere: ; (). Ako uzmemo sferu polumjera , onda je i F = q. Ako nacrtamo sferu koja ne pokriva naboj q, tada je ukupni fluks F = 0 (pošto će svaka linija ući u površinu i napustiti je drugi put).

Dakle, F = q ako se naelektrisanje nalazi unutar zatvorene površine i F = 0 ako se naelektrisanje nalazi izvan zatvorene površine. Protok F ne zavisi od oblika površine. Takođe je nezavisan od rasporeda naelektrisanja unutar površine. To znači da dobijeni rezultat vrijedi ne samo za jedno naelektrisanje, već i za bilo koji broj proizvoljno lociranih naboja, ako samo pod q podrazumijevamo algebarski zbir svih naboja koji se nalaze unutar površine.

Gaussov teorem: tok električne indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbiru svih naboja koji se nalaze unutar površine: .

Iz formule je jasno da je dimenzija električnog toka ista kao i dimenzija električnog naboja. Stoga je jedinica fluksa električne indukcije kulon (C).

Napomena: ako je polje neujednačeno i površina kroz koju se određuje strujanje nije ravan, tada se ova površina može podijeliti na beskonačno male elemente ds i svaki element se može smatrati ravnim, a polje u blizini je jednolično. Dakle, za bilo koje električno polje, tok vektora električne indukcije kroz površinski element je: dF=. Kao rezultat integracije, ukupni tok kroz zatvorenu površinu S u bilo kojem nehomogenom električnom polju jednak je: , gdje je q algebarski zbir svih naelektrisanja okruženih zatvorenom površinom S. Izrazimo posljednju jednačinu u terminima jakosti električnog polja (za vakuum): .

Ovo je jedna od Maxwellovih fundamentalnih jednačina za elektromagnetno polje, napisana u integralnom obliku. Pokazuje da su izvor vremenski konstantnog električnog polja stacionarni električni naboji.

Primjena Gaussove teoreme

Polje kontinuirano raspoređenih naknada

Odredimo sada jačinu polja za određeni broj slučajeva koristeći Ostrogradsky-Gaussovu teoremu.

1. Električno polje jednoliko nabijene sferne površine.

Sfera poluprečnika R. Neka je naelektrisanje +q jednoliko raspoređeno po sfernoj površini poluprečnika R. Raspodela naelektrisanja po površini karakteriše površinska gustina naelektrisanja (slika 4). Gustoća površinskog naboja je omjer naboja i površine na kojoj je raspoređen. . U SI.

Odredimo jačinu polja:

a) izvan sferne površine,
b) unutar sferne površine.

a) Uzmite tačku A, koja se nalazi na udaljenosti r>R od centra nabijene sferne površine. Provucimo kroz njega sfernu površinu S polumjera r, koja ima zajednički centar sa nabijenom sfernom površinom. Iz razmatranja simetrije, očigledno je da su linije sile radijalne linije okomite na površinu S i jednoliko prodiru kroz ovu površinu, tj. napetost u svim tačkama ove površine je konstantne veličine. Primijenimo Ostrogradsky-Gaussov teorem na ovu sfernu površinu S polumjera r. Stoga je ukupni tok kroz sferu N = E? S; N=E. Na drugoj strani . Izjednačavamo: . Dakle: za r>R.

Dakle: napetost koju stvara jednolično nabijena sferna površina izvan nje je ista kao da je cijelo naelektrisanje u njenom centru (slika 5).

b) Nađimo jačinu polja u tačkama koje leže unutar nabijene sferne površine. Uzmimo tačku B na udaljenosti od centra sfere . Tada je E = 0 na r

2. Jačina polja jednolično nabijene beskonačne ravni

Razmotrimo električno polje koje stvara beskonačna ravan, nabijena konstantom gustine u svim tačkama ravni. Iz razloga simetrije, možemo pretpostaviti da su zatezne linije okomite na ravan i usmjerene od nje u oba smjera (slika 6).

Odaberimo tačku A koja leži desno od ravni i izračunajmo u ovoj tački koristeći Ostrogradsky-Gaussovu teoremu. Kao zatvorenu površinu biramo cilindričnu površinu tako da je bočna površina cilindra paralelna sa linijama sile, a njegova osnova paralelna sa ravninom i baza prolazi kroz tačku A (slika 7). Izračunajmo protok napetosti kroz razmatranu cilindričnu površinu. Tok kroz bočnu površinu je 0, jer linije napetosti su paralelne sa bočnom površinom. Tada se ukupni protok sastoji od protoka i prolaska kroz baze cilindra i . Oba ova toka su pozitivna =+; =; =; ==; N=2.

– dio ravnine koji leži unutar odabrane cilindrične površine. Naelektrisanje unutar ove površine je q.

Onda ; – može se uzeti kao tačkasti naboj) sa tačkom A. Za pronalaženje ukupnog polja potrebno je geometrijski sabrati sva polja koja stvara svaki element: ; .

Zakon interakcije električnih naboja – Coulombov zakon – može se formulisati drugačije, u obliku takozvane Gaussove teoreme. Gaussova teorema je dobijena kao posljedica Coulombovog zakona i principa superpozicije. Dokaz se zasniva na obrnutoj proporcionalnosti sile interakcije između dva tačkasta naboja i kvadrata udaljenosti između njih. Stoga je Gaussova teorema primjenjiva na svako fizičko polje gdje se zakon inverznog kvadrata i princip superpozicije primjenjuju, na primjer, na gravitacijsko polje.

Rice. 9. Linije jačine električnog polja tačkastog naelektrisanja koje seku zatvorenu površinu X

Da bismo formulisali Gaussov teorem, vratimo se na sliku linija električnog polja stacionarnog tačkastog naboja. Linije polja usamljenog tačkastog naboja su simetrično locirane radijalne prave linije (slika 7). Možete nacrtati bilo koji broj takvih linija. Označimo njihov ukupan broj sa Tada je gustina linija polja na udaljenosti od naboja, tj. broj linija koje prelaze jediničnu površinu sfere poluprečnika jednak gustini linija polja. tačkasto naelektrisanje (4), vidimo da je gustina linija proporcionalna jačini polja. Ove veličine možemo učiniti numerički jednakim pravilnim odabirom ukupnog broja linija polja N:

Dakle, površina sfere bilo kojeg polumjera koja obuhvata tačkasti naboj siječe isti broj linija sile. To znači da su linije sile neprekidne: u intervalu između bilo koje dvije koncentrične sfere različitih radijusa, nijedna linija nije prekinuta niti se dodaju nove. Pošto su linije polja neprekidne, isti broj linija polja siječe bilo koju zatvorenu površinu (slika 9) koja pokriva naboj

Linije sile imaju pravac. U slučaju pozitivnog naboja, oni izlaze iz zatvorene površine koja okružuje naboj, kao što je prikazano na sl. 9. U slučaju negativnog naboja, oni idu unutar površine. Ako se broj odlaznih linija smatra pozitivnim, a broj dolaznih linija negativnim, tada u formuli (8) možemo izostaviti predznak modula naboja i zapisati ga u obliku

Tok napetosti. Hajde da sada uvedemo koncept strujanja vektora jačine polja kroz površinu. Proizvoljno polje se može mentalno podijeliti na male regije u kojima se intenzitet mijenja u veličini i smjeru toliko malo da se unutar ovog područja polje može smatrati homogenim. U svakoj takvoj oblasti, linije sile su paralelne prave i imaju konstantnu gustinu.

Rice. 10. Odrediti fluks vektora jačine polja kroz lokaciju

Razmotrimo koliko linija sile prodire kroz malo područje, pravac normale na koji formira ugao a sa smjerom linija napetosti (slika 10). Neka biti projekcija na ravan okomitu na linije sile. Pošto je broj linija koje se ukrštaju isti, a gustina linija, prema prihvaćenom uslovu, jednaka je modulu jačine polja E, onda je

Vrijednost a je projekcija vektora E na smjer normale na mjesto

Dakle, broj električnih vodova koji prelaze područje je jednak

Proizvod se naziva fluks jačine polja kroz površinu. Formula (10) pokazuje da je tok vektora E kroz površinu jednak broju linija polja koje prelaze ovu površinu. Imajte na umu da je vektorski tok intenziteta, kao i broj linija polja koje prolaze kroz površinu, skalar.

Rice. 11. Protok vektora napetosti E kroz mjesto

Ovisnost strujanja o orijentaciji mjesta u odnosu na linije sile ilustrovana je na Sl.

Tok jačine polja kroz proizvoljnu površinu je zbir tokova kroz elementarne površine na koje se ova površina može podijeliti. Na osnovu relacija (9) i (10), može se reći da je protok jačine polja tačkastog naelektrisanja kroz bilo koju zatvorenu površinu 2 koja obavija naelektrisanje (vidi sliku 9), kao broj linija polja koje izlaze iz ova površina je jednaka U ovom slučaju, vektor normale na elementarne površine zatvorene površine treba biti usmjeren prema van. Ako je naboj unutar površine negativan, tada linije polja ulaze unutar ove površine i fluks vektora jačine polja povezan s nabojem je također negativan.

Ako unutar zatvorene površine postoji više naboja, tada će se u skladu s principom superpozicije tokovi njihovih jačina polja zbrajati. Ukupni tok će biti jednak gdje pod treba shvatiti algebarski zbir svih naboja koji se nalaze unutar površine.

Ako unutar zatvorene površine nema električnih naboja ili je njihov algebarski zbir jednak nuli, tada je ukupni tok jačine polja kroz ovu površinu jednak nuli: koliko god linija sile uđe u zapreminu ograničenu površinom, isti broj izlazi van.

Sada konačno možemo formulirati Gaussov teorem: protok vektora jakosti električnog polja E u vakuumu kroz bilo koju zatvorenu površinu proporcionalan je ukupnom naboju koji se nalazi unutar ove površine. Matematički, Gaussova teorema je izražena istom formulom (9), pri čemu se pod pojmom podrazumijeva algebarski zbir naboja. U apsolutnoj elektrostatici

u SGSE sistemu jedinica, koeficijent i Gaussova teorema su zapisani u obliku

U SI i tok napetosti kroz zatvorenu površinu izražava se formulom

Gaussova teorema se široko koristi u elektrostatici. U nekim slučajevima, može se koristiti za jednostavno izračunavanje polja stvorenih simetrično lociranim nabojima.

Polja simetričnih izvora. Primijenimo Gaussovu teoremu da izračunamo intenzitet električnog polja jednoliko nabijenog na površini lopte polumjera . Radi određenosti, pretpostavićemo da je njegov naboj pozitivan. Raspodjela naelektrisanja koje stvara polje ima sfernu simetriju. Stoga i polje ima istu simetriju. Linije sile takvog polja usmjerene su duž poluprečnika, a modul intenziteta je isti u svim tačkama jednako udaljenim od centra lopte.

Da bismo pronašli jačinu polja na udaljenosti od centra lopte, nacrtajmo sfernu površinu poluprečnika koncentrično sa loptom, budući da je u svim tačkama ove sfere jačina polja usmerena okomito na njenu površinu i iznosi isti u apsolutnoj vrijednosti, intenzitet protoka je jednostavno jednak proizvodu jačine polja i površine sfere:

Ali ova količina se također može izraziti pomoću Gaussove teoreme. Ako nas zanima polje izvan lopte, tj. onda, na primjer, u SI i, u poređenju sa (13), nalazimo

U sistemu jedinica SGSE, očigledno,

Dakle, izvan lopte je jačina polja ista kao i tačkastog naboja postavljenog u centar lopte. Ako nas zanima polje unutar lopte, odnosno, pošto se cijeli naboj raspoređen po površini lopte nalazi izvan sfere koju smo mentalno nacrtali. Dakle, unutar lopte nema polja:

Slično, koristeći Gaussov teorem, može se izračunati elektrostatičko polje stvoreno beskonačnim nabijenim

ravan sa konstantnom gustinom u svim tačkama ravni. Iz razloga simetrije, možemo pretpostaviti da su linije sile okomite na ravan, usmjerene od nje u oba smjera i svuda imaju istu gustoću. Zaista, ako je gustoća linija polja u različitim tačkama različita, onda bi pomicanje nabijene ravnine duž sebe dovelo do promjene polja u tim tačkama, što je u suprotnosti sa simetrijom sistema - takav pomak ne bi trebao promijeniti polje. Drugim riječima, polje beskonačne ravnomjerno nabijene ravni je uniformno.

Kao zatvorenu površinu za primjenu Gaussove teoreme biramo površinu cilindra konstruiranu na sljedeći način: generatriksa cilindra je paralelna sa linijama sile, a baze imaju površine paralelne s nabijenom ravninom i leže na suprotnim stranama od nje. (Sl. 12). Tok jačine polja kroz bočnu površinu je nula, tako da je ukupni tok kroz zatvorenu površinu jednak zbiru tokova kroz osnove cilindra:

Rice. 12. Ka proračunu jačine polja jednoliko nabijene ravni

Prema Gaussovoj teoremi, isti fluks je određen nabojem onog dijela ravni koji leži unutar cilindra, a u SI je jednak Upoređujući ove izraze za fluks, nalazimo

U SGSE sistemu, jačina polja jednolično naelektrisane beskonačne ravni je data formulom

Za jednolično nabijenu ploču konačnih dimenzija, dobijeni izrazi vrijede približno u području koje se nalazi dovoljno daleko od rubova ploče i ne previše od njene površine. U blizini ivica ploče, polje više neće biti jednolično i njegove linije polja će biti savijene. Na veoma velikim udaljenostima u poređenju sa veličinom ploče, polje opada sa rastojanjem na isti način kao i polje tačkastog naboja.

Drugi primjeri polja koje stvaraju simetrično raspoređeni izvori uključuju polje jednoliko nabijenog duž dužine beskonačne pravolinijske niti, polje jednoliko nabijenog beskonačnog kružnog cilindra, polje lopte,

ravnomerno naelektrisan po celoj zapremini, itd. Gaussova teorema omogućava lako izračunavanje jačine polja u svim ovim slučajevima.

Gaussova teorema daje odnos između polja i njegovih izvora, u nekom smislu suprotan onome koji je dat Coulombovim zakonom, koji omogućava da se odredi električno polje iz datih naboja. Koristeći Gaussov teorem, možete odrediti ukupni naboj u bilo kojoj regiji prostora u kojoj je poznata raspodjela električnog polja.

Koja je razlika između koncepta djelovanja dugog i kratkog dometa kada se opisuje interakcija električnih naboja? U kojoj se mjeri ovi koncepti mogu primijeniti na gravitacijske interakcije?

Šta je jačina električnog polja? Šta znače kada se to naziva sila karakteristična za električno polje?

Kako se može suditi o smjeru i veličini jačine polja u određenoj tački na osnovu obrasca linija polja?

Mogu li se linije električnog polja ukrštati? Navedite razloge za svoj odgovor.

Nacrtajte kvalitativnu sliku linija elektrostatičkog polja dva naelektrisanja tako da .

Protok jakosti električnog polja kroz zatvorenu površinu izražava se različitim formulama (11) i (12) u GSE i SI jedinicama. Kako se to može pomiriti s geometrijskim značenjem strujanja, koje je određeno brojem linija sile koje prelaze površinu?

Kako koristiti Gaussov teorem za pronalaženje jačine električnog polja kada su naboji koji ga stvaraju simetrično raspoređeni?

Kako primijeniti formule (14) i (15) za izračunavanje jačine polja lopte s negativnim nabojem?

Gaussova teorema i geometrija fizičkog prostora. Pogledajmo dokaz Gaussove teoreme sa malo drugačije tačke gledišta. Vratimo se na formulu (7), iz koje je zaključeno da isti broj linija sile prolazi kroz bilo koju sfernu površinu koja okružuje naboj. Ovaj zaključak proizlazi iz činjenice da dolazi do smanjenja nazivnika obje strane jednakosti.

Na desnoj strani nastao je zbog činjenice da je sila interakcije između naboja, opisana Coulombovim zakonom, obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između naboja. Na lijevoj strani izgled je povezan s geometrijom: površina sfere je proporcionalna kvadratu njenog polumjera.

Proporcionalnost površine kvadrata linearnih dimenzija je obeležje euklidske geometrije u trodimenzionalnom prostoru. Zaista, proporcionalnost površina upravo na kvadratima linearnih dimenzija, a ne na bilo koji drugi cjelobrojni stepen, karakteristična je za prostor

tri dimenzije. Činjenica da je ovaj eksponent tačno jednak dva, a da se ne razlikuje od dva, čak ni za zanemarljivo malu količinu, ukazuje da ovaj trodimenzionalni prostor nije zakrivljen, odnosno da je njegova geometrija upravo euklidska.

Dakle, Gaussova teorema je manifestacija svojstava fizičkog prostora u osnovnom zakonu interakcije električnih naboja.

Ideju o bliskoj vezi između osnovnih zakona fizike i svojstava prostora izrazili su mnogi izvanredni umovi mnogo prije nego što su sami ovi zakoni uspostavljeni. Tako je I. Kant, tri decenije prije otkrića Coulombovog zakona, pisao o svojstvima prostora: „Trodimenzionalnost nastaje, očigledno, zato što tvari u postojećem svijetu djeluju jedna na drugu na način da je sila djelovanja obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti.”

Coulombov zakon i Gaussova teorema zapravo predstavljaju isti zakon prirode izražen u različitim oblicima. Coulombov zakon odražava koncept djelovanja dugog dometa, dok Gaussov teorem proizlazi iz ideje polja sile koje ispunjava prostor, odnosno iz koncepta djelovanja kratkog dometa. U elektrostatici, izvor polja sile je naelektrisanje, a karakteristika polja povezanog sa izvorom - tok intenziteta - ne može se promeniti u praznom prostoru gde nema drugih naelektrisanja. Budući da se tok vizualno može zamisliti kao skup linija polja, nepromjenjivost toka se manifestuje u kontinuitetu ovih linija.

Gaussova teorema, zasnovana na inverznoj proporcionalnosti interakcije s kvadratom udaljenosti i na principu superpozicije (aditivnosti interakcije), primjenjiva je na svako fizičko polje u kojem djeluje zakon inverznog kvadrata. To posebno važi i za gravitaciono polje. Jasno je da ovo nije samo slučajnost, već odraz činjenice da se i električne i gravitacijske interakcije odvijaju u trodimenzionalnom euklidskom fizičkom prostoru.

Na kojoj se osobini zakona interakcije električnih naboja zasniva Gaussova teorema?

Dokažite, na osnovu Gaussove teoreme, da je jačina električnog polja tačkastog naboja obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti. Koja svojstva simetrije prostora se koriste u ovom dokazu?

Kako se geometrija fizičkog prostora odražava u Coulombovom zakonu i Gaussovoj teoremi? Koja karakteristika ovih zakona ukazuje na euklidsku prirodu geometrije i trodimenzionalnost fizičkog prostora?

Glavni primijenjeni zadatak elektrostatike je proračun električnih polja stvorenih u različitim uređajima i uređajima. Općenito, ovaj problem se rješava korištenjem Coulombovog zakona i principa superpozicije. Međutim, ovaj zadatak postaje veoma komplikovan kada se uzme u obzir veliki broj tačkastih ili prostorno raspoređenih naelektrisanja. Još veće poteškoće nastaju kada se u prostoru nalaze dielektrici ili provodnici, kada pod uticajem spoljašnjeg polja E 0 dolazi do preraspodele mikroskopskih naelektrisanja, stvarajući sopstveno dodatno polje E. Stoga se za praktično rešavanje ovih problema koriste pomoćne metode i tehnike. korišteni koji koriste složeni matematički aparat. Razmotrit ćemo najjednostavniji metod zasnovan na primjeni Ostrogradsky–Gauss teoreme. Da bismo formulirali ovu teoremu, uvodimo nekoliko novih koncepata:

A) gustina naelektrisanja

Ako je nabijeno tijelo veliko, onda morate znati raspodjelu naboja unutar tijela.

Zapreminska gustina naboja– mjereno punjenjem po jedinici zapremine:

Gustoća površinskog naboja– mjereno nabojem po jedinici površine tijela (kada je naboj raspoređen po površini):

Linearna gustina naelektrisanja(distribucija naboja duž provodnika):

b) vektor elektrostatičke indukcije

Vektor elektrostatičke indukcije (vektor električnog pomaka) je vektorska veličina koja karakterizira električno polje.

Vector jednak proizvodu vektora na apsolutnu dielektričnu konstantu medija u datoj tački:

Provjerimo dimenziju D u SI jedinicama:

, jer
,

tada se dimenzije D i E ne poklapaju, a njihove numeričke vrijednosti su također različite.

Iz definicije slijedi da je za vektorsko polje važi isti princip superpozicije kao i za polje :

Polje je grafički predstavljen indukcijskim linijama, baš kao i polje . Indukcijske linije se povlače tako da se tangenta u svakoj tački poklapa sa smjerom , a broj linija je jednak brojčanoj vrijednosti D na datoj lokaciji.

Da razumemo značenje uvoda Pogledajmo primjer.

	ε> 1	Na granici šupljine s dielektrikom koncentrirani su povezani negativni naboji i Polje se smanjuje za faktor , a gustina naglo opada.
Za isti slučaj: D = Eεε 0	, zatim: linije nastaviti kontinuirano. Linije počnite uz besplatne naknade (na na bilo kojoj - vezanoj ili slobodnoj), a na granici dielektrika njihova gustoća ostaje nepromijenjena. Dakle– kontinuitet indukcijskih vodova uvelike olakšava proračun , i poznavanje veze With možete pronaći vektor .

V) fluks vektora elektrostatičke indukcije

Posmatrajmo površinu S u električnom polju i odaberite smjer normale

1. Ako je polje uniformno, tada je broj linija polja kroz površinu S:

2. Ako je polje neujednačeno, tada se površina dijeli na beskonačno male elemente dS, koji se smatraju ravnim i polje oko njih je jednolično. Prema tome, tok kroz element površine je: dN = D n dS,

a ukupni protok kroz bilo koju površinu je:

(6)

Indukcijski tok N je skalarna veličina; zavisno od  može biti > 0 ili< 0, или = 0.

Vektorski fluks jakosti električnog polja. Neka mala platforma DS(Sl. 1.2) sijeku linije električnog polja čiji je smjer sa normalom n ugao na ovu lokaciju a. Pod pretpostavkom da je vektor napetosti E se ne mijenja unutar stranice DS, hajde da definišemo tok vektora napetosti kroz platformu DS Kako

DFE =E DS cos a.(1.3)

Budući da je gustina dalekovoda jednaka brojčanoj vrijednosti napetosti E, zatim broj dalekovoda koji prelaze područjeDS, bit će numerički jednak vrijednosti protokaDFEkroz površinuDS. Predstavimo desnu stranu izraza (1.3) kao skalarni proizvod vektora E IDS= nDS, Gdje n– jedinični vektor normalan na površinuDS. Za osnovno područje d S izraz (1.3) poprima oblik

dFE = E d S

Preko cijele stranice S fluks vektora napetosti se računa kao integral po površini

Protok vektora električne indukcije. Tok vektora električne indukcije određuje se slično kao i tok vektora jakosti električnog polja

dFD = D d S

Postoji određena nejasnoća u definicijama tokova zbog činjenice da za svaku površinu dva normale suprotnog smera. Za zatvorenu površinu, vanjska normala se smatra pozitivnom.

Gaussova teorema. Hajde da razmotrimo tačka pozitivna električni naboj q, koji se nalazi unutar proizvoljno zatvorene površine S(Sl. 1.3). Tok vektora indukcije kroz element površine d S jednaki
(1.4)

Komponenta d S D = d S cos apovršinski element d S u pravcu vektora indukcijeDsmatra se elementom sferne površine poluprečnika r, u čijem se središtu nalazi nabojq.

S obzirom da d S D/ r 2 je jednako elementarno tjelesno kut dw, ispod koje od tačke na kojoj se nalazi nabojqvidljiv element površine d S, transformišemo izraz (1.4) u oblik d FD = q d w / 4 str, odakle, nakon integracije po čitavom prostoru koji okružuje naboj, tj. unutar solidnog ugla od 0 do 4str, dobijamo

FD = q.

Protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je naboju koji se nalazi unutar ove površine.

Ako je proizvoljna zatvorena površina S ne pokriva bodovnu naknadu q(Sl. 1.4), zatim, nakon što smo konstruisali konusnu površinu sa vrhom u tački gde se nalazi naboj, podelimo površinu S na dva dela: S 1 i S 2. Vektor protoka D kroz površinu S nalazimo kao algebarski zbir tokova kroz površine S 1 i S 2:

.

Obje površine od tačke na kojoj se nalazi naboj q vidljivo iz jednog čvrstog ugla w. Stoga su tokovi jednaki

Budući da pri proračunu protoka kroz zatvorenu površinu koristimo spoljašnja normalna na površinu, lako je vidjeti da je protok F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Ukupan protok F D= 0. To znači da tok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika ne zavisi od naboja koji se nalaze izvan ove površine.

Ako je električno polje stvoreno sistemom tačkastih naelektrisanja q 1 , q 2 ,¼ , qn, koji je prekriven zatvorenom površinom S, tada se, u skladu sa principom superpozicije, fluks vektora indukcije kroz ovu površinu određuje kao zbir fluksa koje stvara svako od naelektrisanja. Protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je algebarskom zbiru naboja koje pokriva ova površina:

Treba napomenuti da su optužbe qi ne moraju biti točkasti, neophodan uslov je da nabijena površina mora biti potpuno pokrivena površinom. Ako je u prostoru omeđenom zatvorenom površinom S, električni naboj se distribuira kontinuirano, onda treba pretpostaviti da je svaki elementarni volumen d V ima naplatu. U ovom slučaju, na desnoj strani izraza (1.5), algebarsko zbrajanje naboja zamjenjuje se integracijom po zapremini zatvorenoj unutar zatvorene površine S:

(1.6)

Izraz (1.6) je najopštija formulacija Gaussova teorema: protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je ukupnom naboju u zapremini koju pokriva ova površina i ne zavisi od naelektrisanja koje se nalazi izvan površine koja se razmatra. Gaussova teorema se također može napisati za tok vektora jakosti električnog polja:

.

Važna osobina električnog polja proizlazi iz Gaussove teoreme: linije sile počinju ili završavaju samo na električnim nabojima ili idu u beskonačnost. Naglasimo još jednom da, uprkos činjenici da je jakost električnog polja E i električna indukcija D zavise od položaja u prostoru svih naelektrisanja, tokovi ovih vektora kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S samo su određene ona naelektrisanja koja se nalaze unutar površine S.

Diferencijalni oblik Gaussove teoreme. Zapiši to integralni oblik Gaussova teorema karakterizira odnos između izvora električnog polja (naboja) i karakteristika električnog polja (napetosti ili indukcije) u zapremini V proizvoljna, ali dovoljna za formiranje integralnih odnosa, veličina. Podjelom zapremine V za male količine V i, dobijamo izraz

važi i u celini i za svaki termin. Transformirajmo rezultirajući izraz na sljedeći način:

(1.7)

i razmotrite granicu do koje izraz na desnoj strani jednakosti, zatvoren u vitičaste zagrade, teži neograničenoj podjeli volumena V. U matematici se ova granica naziva divergenciju vektor (u ovom slučaju vektor električne indukcije D):

Vektorska divergencija D u kartezijanskim koordinatama:

Dakle, izraz (1.7) se transformiše u oblik:

.

Uzimajući u obzir da neograničenim deljenjem zbir sa leve strane poslednjeg izraza prelazi u integral zapremine, dobijamo

Rezultirajući odnos mora biti zadovoljen za bilo koji proizvoljno odabrani volumen V. To je moguće samo ako su vrijednosti integrala u svakoj tački u prostoru iste. Dakle, divergencija vektora D je povezan sa gustinom naelektrisanja u istoj tački jednakošću

ili za vektor jačine elektrostatičkog polja

Ove jednakosti izražavaju Gaussovu teoremu u diferencijalni oblik.

Imajte na umu da se u procesu prelaska na diferencijalni oblik Gaussove teoreme dobija relacija koja ima opšti karakter:

.

Izraz se zove Gauss-Ostrogradsky formula i povezuje volumenski integral divergencije vektora sa protokom ovog vektora kroz zatvorenu površinu koja ograničava volumen.

Pitanja

1) Koje je fizičko značenje Gaussove teoreme za elektrostatičko polje u vakuumu

2) U centru kocke postoji tačkasto punjenjeq. Koliki je fluks vektora? E:

a) kroz punu površinu kocke; b) kroz jednu od strana kocke.

Hoće li se odgovori promijeniti ako:

a) naboj nije u centru kocke, već unutar nje ; b) naelektrisanje je izvan kocke.

3) Šta su linearne, površinske, zapreminske gustine naelektrisanja.

4) Navedite odnos između volumena i površinske gustoće naboja.

5) Može li polje izvan suprotno i jednolično nabijenih paralelnih beskonačnih ravni biti različito od nule?

6) Električni dipol je postavljen unutar zatvorene površine. Koliki je protok kroz ovu površinu

Najteže je proučavati električne pojave u neujednačenom električnom okruženju. U takvom mediju, ε ima različite vrijednosti, koje se naglo mijenjaju na granici dielektrika. Pretpostavimo da određujemo jačinu polja na granici između dva medija: ε 1 =1 (vakuum ili vazduh) i ε 2 =3 (tečnost - ulje). Na granici, tokom prijelaza iz vakuuma u dielektrik, jačina polja se smanjuje tri puta, a fluks vektora jačine opada za istu količinu (slika 12.25, a). Nagla promjena vektora jakosti elektrostatičkog polja na granici između dva medija stvara određene poteškoće pri proračunu polja. Što se tiče Gaussove teoreme, ona pod ovim uslovima uglavnom gubi smisao.

Budući da su polarizabilnost i napon različitih dielektrika različiti, broj linija polja u svakom dielektriku također će biti različit. Ova poteškoća se može otkloniti uvođenjem nove fizičke karakteristike polja, električne indukcije D (ili vektora električni pomak ).

Prema formuli

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =konst

Množenjem svih dijelova ovih jednakosti električnom konstantom ε 0 dobijamo

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =const

Uvedemo oznaku ε 0 εE=D tada će pretposljednja relacija poprimiti oblik

D 1 = D 2 = D 0 = konst

Vektor D, jednak proizvodu jakosti električnog polja u dielektriku i njegove apsolutne dielektrične konstante, naziva sevektor električnog pomaka

(12.45)

Jedinica električnog pomaka – privjesak po kvadratnom metru(C/m2).

Električni pomak je vektorska veličina i također se može izraziti kao

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Za razliku od napona E, električni pomak D je konstantan u svim dielektricima (slika 12.25, b). Stoga je prikladno okarakterizirati električno polje u nehomogenom dielektričnom mediju ne intenzitetom E, već vektorom pomaka D. Vektor D opisuje elektrostatičko polje koje stvaraju slobodni naboji (tj. u vakuumu), ali s njihovom distribucijom u prostoru kao u prisustvu dielektrika, budući da vezani naboji koji nastaju u dielektricima mogu uzrokovati preraspodjelu slobodnih naboja koji stvaraju polje.

Vektorsko polje je grafički predstavljen električnim linijama pomaka na isti način kao i polje prikazano linijama sile.

Linija električnog pomaka - to su linije čije se tangente u svakoj tački poklapaju u pravcu sa vektorom električnog pomaka.

Linije vektora E mogu početi i završavati na bilo kojem naboju - slobodnom i vezanom, dok linije vektoraD- samo uz besplatne naknade. Vektorske linijeDZa razliku od zateznih vodova, one su kontinuirane.

Budući da vektor električnog pomaka ne doživljava diskontinuitet na granici između dva medija, sve indukcijske linije koje proizlaze iz naboja okruženih nekom zatvorenom površinom će probiti kroz njega. Stoga, za vektor električnog pomaka, Gaussova teorema u potpunosti zadržava svoje značenje za nehomogenu dielektričnu sredinu.

Gaussov teorem za elektrostatičko polje u dielektriku : protok vektora električnog pomaka kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbiru naelektrisanja sadržanih unutar ove površine.

(12.47)