Zapravo, da biste pronašli površinu figure, nije vam potrebno toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak "izračunati površinu pomoću određenog integrala" uvijek uključuje izradu crteža, tako da će vaše znanje i vještine crtanja biti mnogo relevantnije pitanje. U tom smislu, korisno je osvježiti pamćenje grafova glavnih elementarnih funkcija i, u najmanju ruku, moći izgraditi pravu liniju i hiperbolu.

Krivolinijski trapez je ravna figura omeđena osom, pravim linijama i grafikom neprekidne funkcije na segmentu koji ne mijenja predznak na ovom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje apscisa:

Onda površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje.

U smislu geometrije, definitivni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini neke figure. Na primjer, razmotrite definitivni integral . Integrand definira krivulju na ravni koja se nalazi iznad ose (oni koji žele mogu dovršiti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivolinijskog trapeza.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava zadatka. Prvi i najvažniji momenat odluke je izrada crteža. Štaviše, crtež mora biti izgrađen PRAVO.

Prilikom izrade nacrta preporučujem sljedeći redoslijed: prvo bolje je konstruisati sve linije (ako ih ima) i samo poslije- parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Grafove funkcija je isplativije izgraditi tačkasto.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Napravimo crtež (imajte na umu da jednačina definira os):

Na segmentu se nalazi graf funkcije preko ose, zbog toga:

odgovor:

Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, "na oko" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, oko 9 će biti otkucano, čini se da je istina. Sasvim je jasno da ako bismo imali, recimo, odgovor: 20 kvadratnih jedinica, onda je, očito, negdje napravljena greška - 20 ćelija se očito ne uklapa u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor bio negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.

Primjer 3

Izračunajte površinu figure ograničenu linijama i koordinatnim osa.

Rješenje: Napravimo crtež:

Ako je krivolinijski trapez lociran ispod osovine(ili barem ne viši datu os), tada se njegova površina može naći po formuli:

U ovom slučaju:

Pažnja! Nemojte brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da riješite samo određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zbog toga se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.

U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, te stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazimo na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Pronađite površinu ravne figure ograničene linijama , .

Rješenje: Prvo morate završiti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruišemo crtež u problemima oblasti, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole i prave. Ovo se može uraditi na dva načina. Prvi način je analitički. Rješavamo jednačinu:

Dakle, donja granica integracije, gornja granica integracije.

Najbolje je ne koristiti ovu metodu ako je moguće..

Mnogo je isplativije i brže graditi linije tačku po tačku, dok se granice integracije otkrivaju kao „sama po sebi“. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili konstrukcija s navojem nije otkrila granice integracije (mogu biti razlomke ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vraćamo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati pravu liniju pa tek onda parabolu. Napravimo crtež:

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na intervalu veći ili jednak neka kontinuirana funkcija, tada se površina figure ograničena grafovima ovih funkcija i pravih linija, može naći po formuli:

Ovdje više nije potrebno razmišljati gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, i, grubo rečeno, bitno je koji je grafikon IZNAD(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na odsječku parabola nalazi iznad prave, te je stoga potrebno oduzeti od

Završetak rješenja može izgledati ovako:

Željena figura je ograničena parabolom odozgo i ravnom linijom odozdo.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Primjer 4

Izračunajte površinu figure ograničene linijama , , , .

Rješenje: Hajde da prvo napravimo crtež:

Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom.(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se javlja "kvar", da morate pronaći područje figure koje je zasjenjeno zelenom bojom!

Ovaj primjer je koristan i po tome što se u njemu površina figure izračunava pomoću dva određena integrala.

Zaista:

1) Na segmentu iznad ose nalazi se pravolinijski grafik;

2) Na segmentu iznad ose je graf hiperbole.

Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

Zadatak 1(o izračunavanju površine krivolinijskog trapeza).

U kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sistemu xOy, data je figura (vidi sliku), ograničena osom x, pravim linijama x \u003d a, x \u003d b (krivolinijski trapez. Potrebno je izračunati površinu \ u200b\u200bkrivolinijski trapez.
Rješenje. Geometrija nam daje recepte za izračunavanje površina poligona i nekih dijelova kruga (sektora, segmenta). Koristeći geometrijska razmatranja, moći ćemo pronaći samo približnu vrijednost tražene površine, argumentirajući na sljedeći način.

Podijelimo segment [a; b] (osnova krivolinijskog trapeza) na n jednakih dijelova; ova particija je izvodljiva uz pomoć tačaka x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Nacrtajmo linije kroz ove tačke paralelne sa y-osi. Tada će dati krivolinijski trapez biti podijeljen na n dijelova, na n uskih stupaca. Površina cijelog trapeza jednaka je zbiru površina stupova.

Razmotrimo posebno k-tu kolonu, tj. krivolinijski trapez, čija je osnova segment. Zamenimo ga pravougaonikom sa istom osnovom i visinom jednakom f(x k) (vidi sliku). Površina pravougaonika je \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), gdje je \(\Delta x_k \) dužina segmenta; prirodno je uzeti u obzir sastavljeni proizvod kao približnu vrijednost površine k-te kolone.

Ako sada učinimo isto sa svim ostalim stupcima, dolazimo do sljedećeg rezultata: površina S datog krivolinijskog trapeza je približno jednaka površini S n stepenastog lika sastavljenog od n pravokutnika (vidi sliku):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Ovdje, radi ujednačenosti notacije, smatramo da je a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - dužina segmenta, \(\Delta x_1 \) - dužina segmenta, itd; dok, kao što smo se prethodno dogovorili, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Dakle, \(S \približno S_n \), a ova približna jednakost je točnija, što je n veće.
Po definiciji, vjeruje se da je željena površina krivolinijskog trapeza jednaka granici niza (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Zadatak 2(o pomicanju tačke)
Materijalna tačka se kreće pravolinijski. Ovisnost brzine o vremenu izražava se formulom v = v(t). Pronađite pomak tačke u vremenskom intervalu [a; b].
Rješenje. Kada bi kretanje bilo ravnomjerno, onda bi problem bio riješen vrlo jednostavno: s = vt, tj. s = v(b-a). Za neravnomjerno kretanje potrebno je koristiti iste ideje na kojima je zasnovano rješenje prethodnog problema.
1) Podijelite vremenski interval [a; b] na n jednakih dijelova.
2) Razmotrite vremenski interval i pretpostavite da je tokom ovog vremenskog intervala brzina bila konstantna, kao na primjer u vrijeme t k . Dakle, pretpostavljamo da je v = v(t k).
3) Pronađite približnu vrijednost pomaka tačke u vremenskom intervalu, ova približna vrijednost će biti označena sa s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Pronađite približnu vrijednost pomaka s:
\(s \približno S_n \) gdje
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Traženi pomak je jednak granici niza (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Hajde da sumiramo. Rješenja raznih problema svedena su na isti matematički model. Mnogi problemi iz različitih oblasti nauke i tehnologije vode ka istom modelu u procesu rešavanja. Dakle, ovaj matematički model treba posebno proučiti.

Koncept određenog integrala

Dajemo matematički opis modela koji je konstruisan u tri razmatrana problema za funkciju y = f(x), koja je kontinuirana (ali ne nužno nenegativna, kao što se pretpostavljalo u razmatranim problemima) na segmentu [ a; b]:
1) podijeliti segment [a; b] na n jednakih dijelova;
2) zbroj $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) izračunati $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

U toku matematičke analize, dokazano je da ova granica postoji u slučaju kontinuirane (ili komadno kontinuirane) funkcije. On je zvao određeni integral funkcije y = f(x) nad segmentom [a; b] i označavaju se ovako:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Brojevi a i b nazivaju se granicama integracije (donja i gornja, respektivno).

Vratimo se zadacima o kojima smo gore govorili. Definicija površine data u zadatku 1 sada se može prepisati na sljedeći način:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ovdje je S površina krivolinijskog trapeza prikazanog na gornjoj slici. Ovo je šta geometrijsko značenje određenog integrala.

Definicija pomaka s tačke koja se kreće pravolinijom brzinom v = v(t) u vremenskom intervalu od t = a do t = b, data u zadatku 2, može se prepisati na sljedeći način:

Newton - Leibnizova formula

Za početak, odgovorimo na pitanje: kakav je odnos između određenog integrala i antiderivata?

Odgovor se može naći u zadatku 2. S jedne strane, pomak s tačke koja se kreće duž prave brzinom v = v(t) u vremenskom intervalu od t = a do t = b i izračunava se po formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

S druge strane, koordinata pokretne tačke je antiderivat za brzinu – označimo je s(t); stoga je pomak s izražen formulom s = s(b) - s(a). Kao rezultat, dobijamo:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
gdje je s(t) antiderivat za v(t).

Sljedeća teorema je dokazana tokom matematičke analize.
Teorema. Ako je funkcija y = f(x) kontinuirana na segmentu [a; b], zatim formula
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
gdje je F(x) antiderivat za f(x).

Ova formula se obično naziva Newton-Leibnizova formula u čast engleskog fizičara Isaaca Newtona (1643-1727) i njemačkog filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716), koji su ga primili nezavisno jedan od drugog i gotovo istovremeno.

U praksi, umjesto pisanja F(b) - F(a), oni koriste notaciju \(\left. F(x)\right|_a^b \) (ponekad se naziva dvostruka zamjena) i, shodno tome, prepišite Newton-Leibniz formulu u ovom obliku:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \lijevo. F(x)\desno|_a^b \)

Računajući definitivni integral, prvo pronađite antiderivat, a zatim izvršite dvostruku supstituciju.

Na osnovu Newton-Leibnizove formule mogu se dobiti dva svojstva određenog integrala.

Nekretnina 1. Integral zbira funkcija jednak je zbiru integrala:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Izračunavanje površina ravnih figura pomoću određenog integrala

Koristeći integral, možete izračunati površinu ne samo krivolinijskih trapeza, već i ravnih figura složenijeg tipa, poput one prikazane na slici. Slika P je ograničena pravim linijama x = a, x = b i grafovima kontinuiranih funkcija y = f(x), y = g(x), a na segmentu [a; b] vrijedi nejednakost \(g(x) \leq f(x) \). Da bismo izračunali površinu S takve figure, postupit ćemo na sljedeći način:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Dakle, površina S figure ograničena pravim linijama x = a, x = b i grafovima funkcija y = f(x), y = g(x), kontinuiranim na segmentu i takvim da za bilo koje x iz segment [a; b] nejednakost \(g(x) \leq f(x) \) je zadovoljena, izračunava se po formuli
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabela neodređenih integrala (antideriva) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Zadatak broj 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama

Primena integrala za rešavanje primenjenih problema

Obračun površine

Definitivni integral neprekidne nenegativne funkcije f(x) je numerički jednak površina krivolinijskog trapeza ograničenog krivuljom y = f (x), osom O x i pravim linijama x = a i x = b. Prema tome, formula površine se piše na sljedeći način:

Razmotrimo neke primjere izračunavanja površina ravnih figura.

Zadatak broj 1. Izračunajte površinu ograničenu linijama y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Rješenje. Napravimo figuru čiju površinu ćemo morati izračunati.

y = x 2 + 1 je parabola čije su grane usmjerene prema gore, a parabola je pomaknuta prema gore za jednu jedinicu u odnosu na os O y (slika 1).

Slika 1. Grafikon funkcije y = x 2 + 1

Zadatak broj 2. Izračunajte površinu ograničenu linijama y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 u rasponu od 0 do 1.

Rješenje. Grafikon ove funkcije je parabola grane koja je usmjerena prema gore, a parabola je pomjerena za jednu jedinicu prema dolje u odnosu na osu O y (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije y \u003d x 2 - 1

Zadatak broj 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama

y = 8 + 2x - x 2 i y = 2x - 4.

Rješenje. Prva od ove dvije linije je parabola s granama usmjerenim na dolje, jer je koeficijent pri x 2 negativan, a druga prava je prava linija koja prelazi obje koordinatne ose.

Da bismo konstruisali parabolu, pronađimo koordinate njenog vrha: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – apscisa vrha; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njegova ordinata, N(1;9) je njen vrh.

Sada nalazimo tačke preseka parabole i prave rešavanjem sistema jednačina:

Izjednačavanje desnih strana jednačine čije su lijeve strane jednake.

Dobijamo 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 ili x 2 - 12 \u003d 0, odakle .

Dakle, tačke su tačke preseka parabole i prave (slika 1).

Slika 3 Grafikoni funkcija y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4

Napravimo pravu liniju y = 2x - 4. Ona prolazi kroz tačke (0;-4), (2; 0) na koordinatnim osa.

Da biste izgradili parabolu, možete imati i njene presečne tačke sa osom 0x, odnosno korene jednačine 8 + 2x - x 2 = 0 ili x 2 - 2x - 8 = 0. Prema Vietinoj teoremi, to je lako naći njegove korijene: x 1 = 2, x 2 = četiri.

Na slici 3 prikazana je figura (parabolički segment M 1 N M 2) ograničena ovim linijama.

Drugi dio problema je pronaći površinu ove figure. Njegova površina se može pronaći pomoću određenog integrala pomoću formule .

S obzirom na ovaj uslov, dobijamo integral:

2 Izračunavanje zapremine tela obrtanja

Volumen tijela dobiven rotacijom krivulje y = f (x) oko ose O x izračunava se po formuli:

Kada se rotira oko ose O y, formula izgleda ovako:

Zadatak broj 4. Odredite volumen tijela dobivenog rotacijom krivolinijskog trapeza omeđenog pravim linijama x = 0 x = 3 i krivuljom y = oko ose O x.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 4).

Slika 4. Grafikon funkcije y =

Željena zapremina je jednaka

Zadatak broj 5. Izračunajte zapreminu tela dobijenu rotacijom krivolinijskog trapeza ograničenog krivom y = x 2 i pravim linijama y = 0 i y = 4 oko ose O y .

Rješenje. Imamo:

Pregledajte pitanja

a)

Rješenje.

Prvi i najvažniji momenat odluke je izrada crteža.

Napravimo crtež:

Jednačina y=0 postavlja x-osu;

- x=-2 i x=1 - ravno, paralelno sa osom OU;

- y = x 2 +2 - parabola čije su grane usmjerene prema gore, sa vrhom u tački (0;2).

Komentar. Za konstruisanje parabole dovoljno je pronaći tačke njenog preseka sa koordinatnim osama, tj. stavljanje x=0 pronađite presek sa osom OU i rješavajući odgovarajuću kvadratnu jednačinu, pronaći presjek sa osom Oh .

Vrh parabole se može pronaći pomoću formula:

Možete crtati linije i tačku po tačku.

Na intervalu [-2;1] graf funkcije y=x 2 +2 nalazi preko ose Ox , zbog toga:

odgovor: S \u003d 9 kvadratnih jedinica

Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, "na oko" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, oko 9 će biti otkucano, čini se da je istina. Sasvim je jasno da ako bismo imali, recimo, odgovor: 20 kvadratnih jedinica, onda je, očito, negdje napravljena greška - 20 ćelija se očito ne uklapa u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor bio negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.

Šta učiniti ako se nalazi krivolinijski trapez ispod osovine Oh?

b) Izračunajte površinu figure ograničene linijama y=-e x , x=1 i koordinatne ose.

Rješenje.

Hajde da napravimo crtež.

Ako je krivolinijski trapez potpuno ispod osovine Oh , tada se njegova površina može naći po formuli:

odgovor: S=(e-1) sq. jedinica" 1,72 sq. jedinica

Pažnja! Nemojte brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da riješite samo određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zbog toga se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni.

sa) Pronađite površinu ravne figure ograničene linijama y = 2x-x 2, y = -x.

Rješenje.

Prvo morate napraviti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruišemo crtež u problemima oblasti, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađite presečne tačke parabole i direktno Ovo se može uraditi na dva načina. Prvi način je analitički.

Rješavamo jednačinu:

Dakle, donja granica integracije a=0 , gornja granica integracije b=3 .

Zadate prave gradimo: 1. Parabola - vrh u tački (1;1); sjecište osovine Oh - tačke (0;0) i (0;2). 2. Prava - simetrala 2. i 4. koordinatnog ugla. A sada Pažnja! Ako na segmentu [ a;b] neka kontinuirana funkcija f(x) veća ili jednaka nekoj kontinuiranoj funkciji g(x), tada se površina odgovarajuće figure može pronaći po formuli: . I nije bitno gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, već je bitno koji je grafikon VIŠI (u odnosu na drugi grafikon), a koji ISPOD. U primjeru koji se razmatra, očito je da se na odsječku parabola nalazi iznad prave, te je stoga potrebno oduzeti od

Moguće je konstruisati linije tačku po tačku, dok se granice integracije otkrivaju kao „sama po sebi“. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili konstrukcija s navojem nije otkrila granice integracije (mogu biti razlomke ili iracionalne).

Željena figura je ograničena parabolom odozgo i ravnom linijom odozdo.

Na segmentu , prema odgovarajućoj formuli:

odgovor: S \u003d 4,5 kvadratnih jedinica

U ovom članku ćete naučiti kako pronaći površinu figure ograničenu linijama koristeći integralne proračune. Prvi put se susrećemo sa formulisanjem ovakvog problema u srednjoj školi, kada je izučavanje pojedinih integrala tek završeno i vreme je da se pristupi geometrijskoj interpretaciji znanja stečenog u praksi.

Dakle, ono što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja površine figure pomoću integrala:

• Sposobnost pravilnog crtanja crteža;
• Sposobnost rješavanja određenog integrala koristeći dobro poznatu Newton-Leibniz formulu;
• Sposobnost da se "vidi" isplativije rješenje - tj. razumjeti kako će u ovom ili onom slučaju biti zgodnije izvršiti integraciju? Duž x-ose (OX) ili y-ose (OY)?
• Pa, gdje bez tačnih proračuna?) Ovo uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke proračune.

Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:

1. Izrađujemo crtež. Preporučljivo je to učiniti na komadu papira u kavezu, u velikom obimu. Potpisujemo olovkom iznad svakog grafikona naziv ove funkcije. Potpisivanje grafikona je urađeno isključivo radi pogodnosti daljih proračuna. Nakon što dobijete graf željene brojke, u većini slučajeva će odmah biti jasno koje će se granice integracije koristiti. Tako problem rješavamo grafički. Međutim, dešava se da su vrijednosti granica razlomke ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne proračune, idite na drugi korak.

2. Ako granice integracije nisu eksplicitno postavljene, tada nalazimo tačke presjeka grafova među sobom i vidimo da li se naše grafičko rješenje poklapa s analitičkim.

3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako se nalaze grafovi funkcija, postoje različiti pristupi pronalaženju površine figure. Razmotrite različite primjere pronalaženja površine figure pomoću integrala.

3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje krivolinijskog trapeza. Šta je krivolinijski trapez? Ovo je ravna figura omeđena x-osom (y=0), ravno x = a, x = b i bilo koja kriva kontinuirana na intervalu od a prije b. Istovremeno, ova brojka nije negativna i ne nalazi se niže od x-ose. U ovom slučaju, površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka definitivnom integralu izračunatom pomoću Newton-Leibnizove formule:

Primjer 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Koje linije definiraju figuru? Imamo parabolu y = x2 - 3x + 3, koji se nalazi iznad ose OH, nije negativan, jer sve tačke ove parabole su pozitivne. Dalje, date prave linije x = 1 i x = 3 koji idu paralelno sa osom OU, su granične linije figure s lijeve i desne strane. Pa y = 0, ona je x-osa, koja ograničava figuru odozdo. Dobivena figura je zasjenjena, kao što se vidi na slici lijevo. U tom slučaju možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer krivolinijskog trapeza, koji zatim rješavamo pomoću Newton-Leibnizove formule.

3.2. U prethodnom paragrafu 3.1 analiziran je slučaj kada se krivolinijski trapez nalazi iznad x-ose. Sada razmotrite slučaj kada su uslovi problema isti, osim što funkcija leži ispod x-ose. Standardnoj Newton-Leibnizovoj formuli dodaje se minus. Kako riješiti takav problem, razmotrit ćemo dalje.

Primjer 2 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

U ovom primjeru imamo parabolu y=x2+6x+2, koji nastaje ispod ose OH, ravno x=-4, x=-1, y=0. Evo y = 0 ograničava željenu figuru odozgo. Direktno x = -4 i x = -1 ovo su granice unutar kojih će se izračunati definitivni integral. Princip rješavanja problema pronalaženja površine figure gotovo se u potpunosti poklapa s primjerom broj 1. Jedina razlika je što data funkcija nije pozitivna, a sve je također kontinuirano na intervalu [-4; -1] . Šta ne znači pozitivno? Kao što se vidi sa slike, figura koja se nalazi unutar datog x ima isključivo "negativne" koordinate, što je ono što trebamo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja problema. Tražimo površinu figure koristeći Newton-Leibniz formulu, samo sa znakom minus na početku.

Članak nije dovršen.