Množenje broja običnim razlomkom. Pravila za množenje razlomaka brojem

§ 87. Sabiranje razlomaka.

Sabiranje razlomaka ima mnogo sličnosti sa sabiranjem cijelih brojeva. Zbrajanje razlomaka je radnja koja se sastoji u tome da se nekoliko datih brojeva (članova) spoji u jedan broj (zbir), koji sadrži sve jedinice i razlomke jedinica članova.

Razmotrićemo tri slučaja redom:

1. Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima.
2. Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima.
3. Sabiranje mješovitih brojeva.

1. Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima.

Razmotrimo primjer: 1 / 5 + 2 / 5 .

Uzmite odsječak AB (slika 17), uzmite ga kao jedinicu i podijelite na 5 jednakih dijelova, tada će dio AC ovog segmenta biti jednak 1/5 odsječka AB, a dio istog segmenta CD biće jednako 2/5 AB.

Iz crteža se vidi da ako uzmemo segment AD, onda će on biti jednak 3/5 AB; ali segment AD je upravo zbir segmenata AC i CD. Dakle, možemo napisati:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Uzimajući u obzir ove članove i rezultujući iznos, vidimo da je brojnik zbira dobijen sabiranjem brojilaca članova, a imenilac je ostao nepromenjen.

Iz ovoga dobijamo sledeće pravilo: Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, morate sabrati njihove brojnike i ostaviti isti nazivnik.

Razmotrimo primjer:

2. Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima.

Dodajmo razlomke: 3/4 + 3/8 Prvo ih treba svesti na najmanji zajednički nazivnik:

Međuveza 6/8 + 3/8 nije mogla biti napisana; napisali smo to ovdje radi veće jasnoće.

Dakle, da biste sabrali razlomke sa različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti do najnižeg zajedničkog imenioca, sabrati njihove brojioce i potpisati zajednički imenilac.

Razmotrimo primjer (napisat ćemo dodatne faktore preko odgovarajućih razlomaka):

3. Sabiranje mješovitih brojeva.

Dodajmo brojeve: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Hajde da prvo dovedemo razlomke naših brojeva u zajednički nazivnik i ponovo ih prepišemo:

Sada dodajte cijeli broj i razlomak u nizu:

§ 88. Oduzimanje razlomaka.

Oduzimanje razlomaka definira se na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. Ovo je radnja kojom se, s obzirom na zbir dva člana i jednog od njih, nalazi drugi pojam. Razmotrimo redom tri slučaja:

1. Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima.
2. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.

1. Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima.

Razmotrimo primjer:

13 / 15 - 4 / 15

Uzmimo segment AB (slika 18), uzmemo ga kao jedinicu i podijelimo na 15 jednakih dijelova; tada će AC dio ovog segmenta biti 1/15 od AB, a AD dio istog segmenta će odgovarati 13/15 AB. Odvojimo još jedan segment ED, jednak 4/15 AB.

Moramo oduzeti 4/15 od 13/15. Na crtežu to znači da se segment ED mora oduzeti od segmenta AD. Kao rezultat toga, segment AE će ostati, što je 9/15 segmenta AB. Tako da možemo napisati:

Primjer koji smo napravili pokazuje da je brojnik razlike dobijen oduzimanjem brojilaca, a nazivnik je ostao isti.

Dakle, da biste oduzeli razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojilac oduzetog od brojnika minusa i ostavite isti imenilac.

2. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.

Primjer. 3/4 - 5/8

Prvo, smanjimo ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik:

Međuveza 6 / 8 - 5 / 8 je ovdje napisana radi jasnoće, ali se može preskočiti u budućnosti.

Dakle, da biste od razlomka oduzeli razlomak, prvo ih morate dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika, zatim od brojnika minusa oduzeti brojnik oduzetog i potpisati zajednički imenilac ispod njihove razlike.

Razmotrimo primjer:

3. Oduzimanje mješovitih brojeva.

Primjer. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Dovedemo razlomke minusa i oduzetog na najmanji zajednički nazivnik:

Od cjeline smo oduzeli cjelinu, a od razlomka razlomak. Ali postoje slučajevi kada je razlomački dio oduzetog dijela veći od razlomnog dijela minuenda. U takvim slučajevima potrebno je uzeti jednu jedinicu iz celobrojnog dela redukovanog, podeliti je na one delove u kojima je izražen razlomak i dodati razlomkom delu redukovanog. A onda će se oduzimanje izvršiti na isti način kao u prethodnom primjeru:

§ 89. Množenje razlomaka.

Kada proučavamo množenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Množenje razlomka cijelim brojem.
2. Pronalaženje razlomka datog broja.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
4. Množenje razlomka sa razlomkom.
5. Množenje mješovitih brojeva.
6. Koncept interesa.
7. Pronalaženje postotaka datog broja. Razmotrimo ih redom.

1. Množenje razlomka cijelim brojem.

Množenje razlomka cijelim brojem ima isto značenje kao i množenje cijelog broja cijelim brojem. Množenje razlomka (množitelja) cijelim brojem (množitelj) znači sastavljanje zbira identičnih članova, u kojem je svaki član jednak množeniku, a broj članova jednak množitelju.

Dakle, ako trebate pomnožiti 1/9 sa 7, to se može učiniti ovako:

Lako smo dobili rezultat, jer se radnja svela na sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima. shodno tome,

Razmatranje ove akcije pokazuje da je množenje razlomka cijelim brojem jednako povećanju ovog razlomka onoliko puta koliko ima jedinica u cijelom broju. A budući da se povećanje razlomka postiže ili povećanjem njegovog brojila

ili smanjenjem imenioca , tada možemo ili pomnožiti brojilac cijelim brojem, ili podijeliti imenilac s njim, ako je takvo dijeljenje moguće.

Odavde dobijamo pravilo:

Da biste razlomak pomnožili cijelim brojem, potrebno je pomnožiti brojilac sa ovim cijelim brojem i ostaviti nazivnik isti, ili, ako je moguće, podijeliti imenilac ovim brojem, ostavljajući brojnik nepromijenjen.

Prilikom množenja moguće su skraćenice, na primjer:

2. Pronalaženje razlomka datog broja. Postoji mnogo zadataka u kojima morate pronaći, ili izračunati, dio datog broja. Razlika između ovih zadataka i drugih je u tome što oni daju broj nekih objekata ili mjernih jedinica i potrebno je pronaći dio tog broja, koji je ovdje također označen određenim razlomkom. Da bismo olakšali razumijevanje, prvo ćemo dati primjere takvih problema, a zatim predstaviti način njihovog rješavanja.

Zadatak 1. Imao sam 60 rubalja; 1/3 ovog novca potrošio sam na kupovinu knjiga. Koliko su knjige koštale?

Zadatak 2. Voz mora preći razdaljinu između gradova A i B, jednaku 300 km. Već je prešao 2/3 te udaljenosti. Koliko je ovo kilometara?

Zadatak 3. U selu ima 400 kuća, 3/4 su zidane, ostale su drvene. Koliko ima kuća od cigle?

Evo nekih od mnogih problema s kojima se moramo nositi da bismo pronašli dio datog broja. Obično se nazivaju problemima za pronalaženje razlomka datog broja.

Rješenje problema 1. Od 60 rubalja. Potrošio sam 1/3 na knjige; Dakle, da biste pronašli cijenu knjiga, trebate podijeliti broj 60 sa 3:

Rešenje 2. problema. Značenje problema je da morate pronaći 2/3 od 300 km. Izračunaj prvu 1/3 od 300; ovo se postiže dijeljenjem 300 km sa 3:

300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).

Da biste pronašli dvije trećine od 300, morate udvostručiti rezultirajući količnik, odnosno pomnožiti sa 2:

100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).

Rješenje problema 3. Ovdje trebate odrediti broj kuća od cigle, kojih je 3/4 od 400. Hajde da prvo pronađemo 1/4 od 400,

400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).

Da biste izračunali tri četvrtine od 400, rezultirajući količnik se mora utrostručiti, odnosno pomnožiti sa 3:

100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).

Na osnovu rješenja ovih problema možemo izvesti sljedeće pravilo:

Da biste pronašli vrijednost razlomka datog broja, trebate ovaj broj podijeliti sa nazivnikom razlomka i pomnožiti rezultujući količnik sa njegovim brojiteljem.

3. Množenje cijelog broja razlomkom.

Ranije (§ 26) je utvrđeno da množenje cijelih brojeva treba shvatiti kao sabiranje identičnih članova (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20). U ovom stavu (stav 1) utvrđeno je da množenje razlomka cijelim brojem znači pronalaženje sume identičnih članova jednakog ovom razlomku.

U oba slučaja množenje se sastojalo u pronalaženju zbira identičnih članova.

Sada prelazimo na množenje cijelog broja sa razlomkom. Ovdje ćemo se susresti s takvim, na primjer, množenjem: 9 2 / 3. Sasvim je očigledno da prethodna definicija množenja ne važi za ovaj slučaj. To je vidljivo iz činjenice da takvo množenje ne možemo zamijeniti sabiranjem jednakih brojeva.

Zbog toga ćemo morati dati novu definiciju množenja, odnosno, drugim riječima, odgovoriti na pitanje šta treba shvatiti pod množenjem razlomkom, kako treba shvatiti ovu radnju.

Značenje množenja cijelog broja razlomkom jasno je iz sljedeće definicije: pomnožiti cijeli broj (množitelj) s razlomkom (množitelj) znači pronaći ovaj razlomak množitelja.

Naime, množenje 9 sa 2/3 znači pronalaženje 2/3 od devet jedinica. U prethodnom pasusu takvi problemi su riješeni; tako da je lako shvatiti da smo završili sa 6.

Ali sada se postavlja zanimljivo i važno pitanje: zašto se takve naizgled različite radnje kao što je pronalaženje zbira jednakih brojeva i pronalaženje razlomka broja nazivaju istom riječju "množenje" u aritmetici?

To se događa zato što prethodna radnja (ponavljanje broja sa članovima nekoliko puta) i nova radnja (pronalaženje razlomka broja) daju odgovor na homogena pitanja. To znači da ovdje polazimo od razmatranja da se homogena pitanja ili zadaci rješavaju jednom te istom radnjom.

Da biste to razumjeli, razmotrite sljedeći problem: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 4 m takvog platna?

Ovaj problem se rješava množenjem broja rubalja (50) sa brojem metara (4), odnosno 50 x 4 = 200 (rubalji).

Uzmimo isti problem, ali u njemu će količina tkanine biti izražena kao razlomak: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 3/4 m takve tkanine?

Ovaj problem također treba riješiti množenjem broja rubalja (50) sa brojem metara (3/4).

Brojeve u njemu također možete promijeniti nekoliko puta bez promjene značenja problema, na primjer, uzmite 9/10 m ili 2 3/10 m, itd.

Kako ovi zadaci imaju isti sadržaj i razlikuju se samo po brojevima, radnje koje se koriste u njihovom rješavanju nazivamo istom riječju - množenje.

Kako se cijeli broj množi razlomkom?

Uzmimo brojeve na koje smo naišli u zadnjem zadatku:

Prema definiciji, moramo pronaći 3/4 od 50. Prvo nađemo 1/4 od 50, a zatim 3/4.

1/4 od 50 je 50/4;

3/4 od 50 je .

Shodno tome.

Razmotrimo još jedan primjer: 12 5 / 8 = ?

1/8 od 12 je 12/8,

5/8 od broja 12 je .

shodno tome,

Odavde dobijamo pravilo:

Da biste pomnožili cijeli broj razlomkom, trebate pomnožiti cijeli broj sa brojnikom razlomka i ovaj proizvod učiniti brojnikom, a nazivnik datog razlomka potpisati kao nazivnik.

Ovo pravilo pišemo pomoću slova:

Da bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati količnikom. Stoga je korisno uporediti pronađeno pravilo sa pravilom za množenje broja sa količnikom, koje je navedeno u § 38.

Morate imati na umu da prije množenja trebate učiniti (ako je moguće) posekotine, na primjer:

4. Množenje razlomka sa razlomkom. Množenje razlomka razlomkom ima isto značenje kao i množenje cijelog broja razlomkom, odnosno kada množite razlomak razlomkom, trebate pronaći razlomak u množitelju od prvog razlomka (množitelja).

Naime, množenje 3/4 sa 1/2 (pola) znači pronaći polovinu od 3/4.

Kako množite razlomak sa razlomkom?

Uzmimo primjer: 3/4 puta 5/7. To znači da morate pronaći 5/7 od 3/4. Pronađite prvo 1/7 od 3/4, a zatim 5/7

1/7 od 3/4 bi se izrazilo ovako:

5 / 7 brojevi 3 / 4 će biti izraženi na sljedeći način:

Na ovaj način,

Drugi primjer: 5/8 puta 4/9.

1/9 od 5/8 je ,

4/9 brojevi 5/8 su .

Na ovaj način,

Iz ovih primjera može se zaključiti sljedeće pravilo:

Da biste razlomak pomnožili razlomkom, potrebno je da pomnožite brojilac sa brojicom, a nazivnik sa nazivnikom i da prvi proizvod bude brojilac, a drugi proizvod nazivnik proizvoda.

Ovo pravilo se općenito može napisati na sljedeći način:

Prilikom množenja potrebno je izvršiti (ako je moguće) redukcije. Razmotrimo primjere:

5. Množenje mješovitih brojeva. Budući da se mješoviti brojevi lako mogu zamijeniti nepravilnim razlomcima, ova se okolnost obično koristi kada se množe mješoviti brojevi. To znači da u onim slučajevima kada su množitelj, ili množitelj, ili oba faktora izraženi kao mješoviti brojevi, tada se zamjenjuju nepravilnim razlomcima. Pomnožite, na primjer, mješovite brojeve: 2 1/2 i 3 1/5. Svaki od njih pretvaramo u nepravilan razlomak, a zatim ćemo dobivene razlomke pomnožiti prema pravilu množenja razlomka s razlomkom:

Pravilo. Da biste pomnožili mješovite brojeve, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim pomnožiti prema pravilu množenja razlomka s razlomkom.

Bilješka. Ako je jedan od faktora cijeli broj, tada se množenje može izvršiti na osnovu zakona distribucije na sljedeći način:

6. Koncept interesa. Prilikom rješavanja zadataka i prilikom izvođenja raznih praktičnih proračuna koristimo sve vrste razlomaka. Ali treba imati na umu da mnoge količine ne priznaju bilo kakve, već prirodne podjele za njih. Na primjer, možete uzeti stoti dio (1/100) rublje, to će biti peni, dvije stotine su 2 kopejke, tri stote su 3 kopejke. Možete uzeti 1/10 rublje, to će biti "10 kopejki, ili novčić. Možete uzeti četvrtinu rublje, tj. 25 kopejki, pola rublje, odnosno 50 kopejki (pedeset kopejki). Ali oni praktično doniraju Nemojte uzeti, na primjer, 2/7 rubalja jer rublja nije podijeljena na sedmine.

Jedinica mjere za težinu, odnosno kilogram, omogućava, prije svega, decimalne podjele, na primjer, 1/10 kg ili 100 g. I takve razlomke kilograma kao što su 1/6, 1/11, 1/ 13 su neuobičajeni.

Općenito, naše (metričke) mjere su decimalne i dozvoljavaju decimalne podjele.

Međutim, treba napomenuti da je izuzetno korisno i zgodno u velikom broju slučajeva koristiti isti (jednoliki) metod podjele veličina. Dugogodišnje iskustvo je pokazalo da je tako opravdana podjela podjela na "stotke". Razmotrimo nekoliko primjera vezanih za najrazličitija područja ljudske prakse.

1. Cijena knjiga je smanjena za 12/100 od prethodne cijene.

Primjer. Prethodna cijena knjige je 10 rubalja. Ona je pala za 1 rublju. 20 kop.

2. Štedionice isplaćuju u toku godine štedišama 2/100 iznosa koji se stavlja na štednju.

Primjer. 500 rubalja se stavlja u blagajnu, prihod od ovog iznosa za godinu je 10 rubalja.

3. Broj maturanata jedne škole iznosio je 5/100 od ukupnog broja učenika.

PRIMJER U školi je studiralo samo 1.200 učenika, od kojih je 60 završilo školu.

Stoti dio broja naziva se postotak..

Reč "cent" je pozajmljena iz latinskog jezika i njen koren "cent" znači sto. Zajedno s prijedlogom (procentum), ova riječ znači "za stotinu". Značenje ovog izraza proizilazi iz činjenice da je u početku u starom Rimu kamata bio novac koji je dužnik plaćao zajmodavcu „za svakih sto“. Riječ "cent" čuje se u takvim poznatim riječima: centner (sto kilograma), centimetar (kažu centimetar).

Na primjer, umjesto da kažemo da je fabrika proizvela 1/100 svih proizvoda koje je proizvela tokom proteklog mjeseca, reći ćemo ovo: fabrika je proizvela jedan posto otpada tokom proteklog mjeseca. Umjesto da kažemo: fabrika je proizvela 4/100 proizvoda više od utvrđenog plana, reći ćemo: fabrika je premašila plan za 4 posto.

Gore navedeni primjeri mogu se drugačije izraziti:

1. Cijena knjiga je niža za 12 posto od prethodne cijene.

2. Štedionice isplaćuju štedišama 2 posto godišnje od iznosa uloženog u štednju.

3. Broj maturanata jedne škole iznosio je 5 posto od broja svih učenika u školi.

Da biste skratili slovo, uobičajeno je da se umjesto riječi "postotak" piše znak %.

Međutim, mora se imati na umu da se znak % obično ne piše u proračunima, već se može napisati u iskazu problema i u konačnom rezultatu. Kada izvodite proračune, trebate napisati razlomak sa nazivnikom 100 umjesto cijelog broja sa ovom ikonom.

Morate biti u mogućnosti zamijeniti cijeli broj navedenom ikonom razlomkom s nazivnikom 100:

Suprotno tome, morate se naviknuti da pišete cijeli broj sa naznačenom ikonom umjesto razlomka sa nazivnikom 100:

7. Pronalaženje postotaka datog broja.

Zadatak 1.Škola je dobila 200 kubnih metara. m ogrevnog drveta, od čega 30% otpada na breza. Koliko je bilo brezovog drveta?

Smisao ovog problema je da je brezovo ogrevno drvo bilo samo dio ogrevnog drva koje je dostavljeno školi, a ovaj dio se izražava kao razlomak 30/100. Dakle, suočeni smo sa zadatkom da pronađemo dio broja. Da bismo ga riješili, moramo 200 pomnožiti sa 30 / 100 (zadaci za pronalaženje razlomka broja rješavaju se množenjem broja sa razlomkom.).

Dakle, 30% od 200 jednako je 60.

Razlomak 30/100 koji se susreće u ovom zadatku može se smanjiti za 10. Ovo smanjenje bi bilo moguće izvesti od samog početka; rješenje problema se ne bi promijenilo.

Zadatak 2. U kampu je bilo 300 djece različitih uzrasta. Djeca od 11 godina bila su 21%, djeca od 12 godina bila su 61% i konačno 13-godišnjaci su bili 18%. Koliko je djece svakog uzrasta bilo u kampu?

U ovom zadatku potrebno je izvršiti tri proračuna, odnosno sukcesivno pronaći broj djece od 11 godina, zatim od 12 godina i na kraju od 13 godina.

Dakle, ovdje će biti potrebno pronaći razlomak broja tri puta. uradimo to:

1) Koliko je djece imalo 11 godina?

2) Koliko je djece imalo 12 godina?

3) Koliko je djece imalo 13 godina?

Nakon rješavanja zadatka, korisno je dodati pronađene brojeve; njihov zbir bi trebao biti 300:

63 + 183 + 54 = 300

Također treba obratiti pažnju na činjenicu da je zbir postotaka datih u stanju problema 100:

21% + 61% + 18% = 100%

To sugerira da je ukupan broj djece u kampu uzet kao 100%.

3 a da cha 3. Radnik je primao 1.200 rubalja mjesečno. Od toga je 65% potrošio na hranu, 6% na stan i grijanje, 4% na plin, struju i radio, 10% na kulturne potrebe i 15% uštedio. Koliko je novca potrošeno na potrebe navedene u zadatku?

Da biste riješili ovaj problem, trebate pronaći razlomak broja 1200 5 puta. Uradimo to.

1) Koliko novca se troši na hranu? Zadatak kaže da je ovaj trošak 65% svih zarada, odnosno 65/100 od broja 1200. Uradimo računicu:

2) Koliko je plaćeno za stan sa grijanjem? Raspravljajući kao i prethodni, dolazimo do sljedeće računice:

3) Koliko novca ste platili za plin, struju i radio?

4) Koliko novca se troši na kulturne potrebe?

5) Koliko je novca radnik uštedio?

Za verifikaciju, korisno je dodati brojeve koji se nalaze u ovih 5 pitanja. Iznos bi trebao biti 1.200 rubalja. Sva zarada se uzima kao 100%, što je lako provjeriti zbrajanjem postotaka navedenih u opisu problema.

Riješili smo tri problema. I pored toga što su se ti zadaci odnosili na različite stvari (dostava drva za školu, broj djece različitog uzrasta, troškovi radnika), rješavani su na isti način. To se dogodilo jer je u svim zadacima bilo potrebno pronaći nekoliko posto datih brojeva.

§ 90. Podjela razlomaka.

Kada proučavamo dijeljenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Podijelite cijeli broj cijelim brojem.
2. Podjela razlomka cijelim brojem
3. Podjela cijelog broja razlomkom.
4. Podjela razlomka razlomkom.
5. Podjela mješovitih brojeva.
6. Pronalaženje broja s obzirom na njegov razlomak.
7. Pronalaženje broja po procentu.

Razmotrimo ih redom.

1. Podijelite cijeli broj cijelim brojem.

Kao što je naznačeno u dijelu cijelih brojeva, dijeljenje je radnja koja se sastoji u tome da se, s obzirom na proizvod dva faktora (dividenda) i jednog od ovih faktora (djelitelj), pronađe drugi faktor.

Deljenje celog broja celim brojem razmatrali smo u odeljenju celih brojeva. Tamo smo sreli dva slučaja dijeljenja: dijeljenje bez ostatka, ili "u potpunosti" (150:10 = 15), i dijeljenje sa ostatkom (100:9 = 11 i 1 u ostatku). Stoga možemo reći da u području cijelih brojeva, tačno dijeljenje nije uvijek moguće, jer dividenda nije uvijek proizvod djelitelja i cijelog broja. Nakon uvođenja množenja razlomkom, možemo smatrati svaki slučaj dijeljenja cijelih brojeva mogućim (isključuje se samo dijeljenje nulom).

Na primjer, dijeljenje 7 sa 12 znači pronalaženje broja čiji bi proizvod puta 12 bio 7. Ovaj broj je razlomak 7/12 jer je 7/12 12 = 7. Drugi primjer: 14: 25 = 14/25 jer je 14/25 25 = 14.

Dakle, da biste podijelili cijeli broj cijelim brojem, trebate napraviti razlomak čiji je brojnik jednak dividendi, a nazivnik je djelitelj.

2. Podjela razlomka cijelim brojem.

Podijelite razlomak 6/7 sa 3. Prema gore datoj definiciji dijeljenja, ovdje imamo proizvod (6/7) i jedan od faktora (3); potrebno je pronaći takav drugi faktor koji bi, kada se pomnoži sa 3, dao dati proizvod 6/7. Očigledno, trebao bi biti tri puta manji od ovog proizvoda. To znači da je zadatak koji je pred nas bio da smanjimo razlomak 6/7 za 3 puta.

Već znamo da se smanjenje razlomka može izvršiti ili smanjenjem brojioca ili povećanjem imenioca. Stoga možete napisati:

U ovom slučaju, brojilac 6 je djeljiv sa 3, pa brojnik treba smanjiti za 3 puta.

Uzmimo još jedan primjer: 5 / 8 podijeljeno sa 2. Ovdje brojnik 5 nije djeljiv sa 2, što znači da će se imenilac morati pomnožiti sa ovim brojem:

Na osnovu ovoga možemo navesti pravilo: Da biste razlomak podijelili cijelim brojem, trebate podijeliti brojilac razlomka tim cijelim brojem(ako je moguće), ostavljajući isti imenilac, ili pomnožite imenilac razlomka sa ovim brojem, ostavljajući isti brojnik.

3. Podjela cijelog broja razlomkom.

Neka je potrebno podijeliti 5 sa 1/2, tj. pronaći broj koji će, nakon množenja sa 1/2, dati proizvod 5. Očigledno, ovaj broj mora biti veći od 5, jer je 1/2 pravi razlomak, a kada se broj množi pravim razlomkom, proizvod mora biti manji od množenika. Da bi bilo jasnije, napišimo naše radnje na sljedeći način: 5: 1 / 2 = X , dakle x 1 / 2 = 5.

Moramo pronaći takav broj X , što bi, kada se pomnoži sa 1/2, dalo 5. Pošto množenje određenog broja sa 1/2 znači pronalaženje 1/2 ovog broja, onda, dakle, 1/2 nepoznatog broja X je 5, a cijeli broj X duplo više, tj. 5 2 = 10.

Dakle 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

provjerimo:

Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 6 sa 2/3. Pokušajmo prvo pomoću crteža pronaći željeni rezultat (slika 19).

Fig.19

Nacrtajte odsječak AB, jednak 6 nekih jedinica, i podijelite svaku jedinicu na 3 jednaka dijela. U svakoj jedinici tri trećine (3/3) u cijelom segmentu AB je 6 puta veća, tj. e. 18/3. Povezujemo uz pomoć malih zagrada 18 dobijenih segmenata od 2; Biće samo 9 segmenata. To znači da je razlomak 2/3 sadržan u b jedinicama 9 puta, ili, drugim riječima, razlomak 2/3 je 9 puta manji od 6 cijelih jedinica. shodno tome,

Kako dobiti ovaj rezultat bez crteža koristeći samo proračune? Argumentirati ćemo na sljedeći način: potrebno je podijeliti 6 sa 2/3, tj. potrebno je odgovoriti na pitanje koliko puta je 2/3 sadržano u 6. Hajde da prvo saznamo: koliko puta je 1/3 sadržano u 6? U cijeloj jedinici - 3 trećine, au 6 jedinica - 6 puta više, odnosno 18 trećina; da bismo pronašli ovaj broj, moramo 6 pomnožiti sa 3. Dakle, 1/3 je sadržano u b jedinicama 18 puta, a 2/3 je sadržano u b jedinicama ne 18 puta, već upola manje, tj. 18: 2 = 9 Dakle, prilikom dijeljenja 6 sa 2/3 uradili smo sljedeće:

Odavde dobijamo pravilo za dijeljenje cijelog broja razlomkom. Da biste podijelili cijeli broj razlomkom, trebate ovaj cijeli broj pomnožiti sa nazivnikom datog razlomka i, čineći ovaj proizvod brojicom, podijeliti ga brojnikom datog razlomka.

Pravilo pišemo pomoću slova:

Da bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati količnikom. Stoga je korisno uporediti pronađeno pravilo sa pravilom za dijeljenje broja količnikom, koje je navedeno u § 38. Imajte na umu da je ista formula dobijena tamo.

Prilikom podjele moguće su skraćenice, na primjer:

4. Podjela razlomka razlomkom.

Neka je potrebno podijeliti 3/4 sa 3/8. Šta će označavati broj koji će se dobiti kao rezultat dijeljenja? Odgovorit će na pitanje koliko puta je razlomak 3/8 sadržan u razlomku 3/4. Da bismo razumeli ovo pitanje, napravimo crtež (slika 20).

Uzmite segment AB, uzmite ga kao jedinicu, podijelite ga na 4 jednaka dijela i označite 3 takva dijela. Segment AC će biti jednak 3/4 segmenta AB. Podijelimo sada svaki od četiri početna segmenta na pola, tada će se segment AB podijeliti na 8 jednakih dijelova i svaki takav dio će biti jednak 1/8 segmenta AB. Povezujemo 3 takva segmenta sa lukovima, tada će svaki od segmenata AD i DC biti jednak 3/8 segmenta AB. Crtež pokazuje da se segment jednak 3/8 nalazi u segmentu jednakom 3/4 tačno 2 puta; Dakle, rezultat dijeljenja se može napisati ovako:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 15/16 sa 3/32:

Možemo zaključiti ovako: trebamo pronaći broj koji će, nakon množenja sa 3/32, dati proizvod jednak 15/16. Zapišimo proračune ovako:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nepoznati broj X čine 15/16

1/32 nepoznati broj X je ,

32 / 32 brojeva X šminka .

shodno tome,

Dakle, da biste podijelili razlomak razlomkom, trebate pomnožiti brojilac prvog razlomka sa nazivnikom drugog, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti brojnikom drugog i prvi proizvod učiniti brojicom i drugo imenilac.

Napišimo pravilo koristeći slova:

Prilikom podjele moguće su skraćenice, na primjer:

5. Podjela mješovitih brojeva.

Prilikom dijeljenja mješovitih brojeva, prvo ih je potrebno pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim razlomke koje se dobivaju podijeliti prema pravilima za dijeljenje razlomaka. Razmotrimo primjer:

Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke:

A sada da se podelimo:

Dakle, da biste podijelili mješovite brojeve, morate ih pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim podijeliti prema pravilu za dijeljenje razlomaka.

6. Pronalaženje broja s obzirom na njegov razlomak.

Među raznim zadacima o razlomcima ponekad se nalaze i oni u kojima je data vrijednost nekog razlomka nepoznatog broja i potrebno je pronaći taj broj. Ovaj tip problema će biti inverzan problemu pronalaženja razlomka datog broja; tamo je dat broj i trebalo je pronaći neki dio tog broja, ovdje je dat dio broja i potrebno je pronaći sam ovaj broj. Ova ideja će postati još jasnija ako se okrenemo rješenju ove vrste problema.

Zadatak 1. Prvog dana staklari su zastaklili 50 prozora, što je 1/3 svih prozora izgrađene kuće. Koliko prozora ima u ovoj kući?

Rješenje. Problem kaže da 50 zastakljenih prozora čini 1/3 svih prozora kuće, što znači da je ukupno 3 puta više prozora, tj.

Kuća je imala 150 prozora.

Zadatak 2. U radnji je prodato 1.500 kg brašna, što je 3/8 ukupne zalihe brašna u radnji. Koja je bila početna zaliha brašna u prodavnici?

Rješenje. Iz stanja zadatka se vidi da prodatih 1.500 kg brašna čini 3/8 ukupne zalihe; to znači da će 1/8 ove zalihe biti 3 puta manje, tj. da biste je izračunali, trebate smanjiti 1500 za 3 puta:

1.500: 3 = 500 (to je 1/8 dionice).

Očigledno je da će cjelokupna zaliha biti 8 puta veća. shodno tome,

500 8 = 4.000 (kg).

Početna zaliha brašna u prodavnici bila je 4.000 kg.

Iz razmatranja ovog problema može se izvesti sljedeće pravilo.

Da biste pronašli broj prema datoj vrijednosti njegovog razlomka, dovoljno je ovu vrijednost podijeliti brojicom razlomka i rezultat pomnožiti sa nazivnikom razlomka.

Rješili smo dva zadatka o pronalaženju broja prema njegovom razlomku. Ovakvi problemi, kako se to posebno dobro vidi iz posljednjeg, rješavaju se s dvije radnje: dijeljenjem (kada se nađe jedan dio) i množenjem (kada se pronađe cijeli broj).

Međutim, nakon što smo proučili dijeljenje razlomaka, gore navedeni problemi se mogu riješiti jednom radnjom, odnosno: dijeljenjem razlomkom.

Na primjer, posljednji zadatak se može riješiti u jednoj radnji ovako:

U budućnosti ćemo rješavati problem pronalaženja broja po razlomku u jednoj radnji - dijeljenju.

7. Pronalaženje broja po procentu.

U ovim zadacima morat ćete pronaći broj, poznavajući nekoliko posto ovog broja.

Zadatak 1. Početkom ove godine dobio sam 60 rubalja od štedionice. prihod od iznosa koji sam stavio na štednju prije godinu dana. Koliko sam novca stavio u štedionicu? (Blagajne daju štedišama 2% prihoda godišnje.)

Smisao problema je u tome što sam ja stavio određenu sumu novca u štedionicu i tu je ležao godinu dana. Nakon godinu dana od nje sam dobio 60 rubalja. prihod, što je 2/100 novca koji sam uložio. Koliko sam novca položio?

Dakle, znajući dio ovog novca, izražen na dva načina (u rubljama i u razlomcima), moramo pronaći cijeli, još nepoznat, iznos. Ovo je običan problem pronalaženja broja s obzirom na njegov razlomak. Dijeljenjem se rješavaju sljedeći zadaci:

Dakle, 3.000 rubalja je uloženo u štedionicu.

Zadatak 2. Ribolovci su za dvije sedmice ispunili mjesečni plan za 64%, pripremivši 512 tona ribe. Kakav je bio njihov plan?

Iz stanja problema se zna da su ribari završili dio plana. Ovaj dio iznosi 512 tona, što je 64% od plana. Koliko tona ribe treba uloviti po planu, ne znamo. Rješenje problema će se sastojati u pronalaženju ovog broja.

Takvi zadaci se rješavaju dijeljenjem:

Dakle, prema planu treba pripremiti 800 tona ribe.

Zadatak 3. Voz je išao iz Rige za Moskvu. Kada je prošao 276. kilometar, jedan od putnika je pitao konduktera u prolazu koliko su puta već prešli. Na to je kondukter odgovorio: "Već smo prešli 30% cijelog putovanja." Koja je udaljenost od Rige do Moskve?

Iz uslova zadatka se vidi da 30% puta od Rige do Moskve iznosi 276 km. Moramo pronaći cijelu udaljenost između ovih gradova, tj. za ovaj dio pronaći cjelinu:

§ 91. Recipročni brojevi. Zamjena dijeljenja množenjem.

Uzmimo razlomak 2/3 i preuredimo brojilac na mjesto nazivnika, dobićemo 3/2. Dobili smo razlomak, recipročan od ovog.

Da biste dobili razlomak recipročan datom, potrebno je da na mjesto nazivnika stavite njegov brojilac, a na mjesto brojioca imenilac. Na ovaj način možemo dobiti razlomak koji je recipročan bilo kojem razlomku. Na primjer:

3/4, revers 4/3; 5 / 6 , obrnuto 6 / 5

Dva razlomka koji imaju svojstvo da je brojnik prvog imenilac drugog, a nazivnik prvog brojnik drugog nazivaju se međusobno inverzno.

Sada razmislimo o tome koji će razlomak biti recipročan od 1/2. Očigledno, to će biti 2/1, ili samo 2. Tražeći recipročnu vrijednost ovoga, dobili smo cijeli broj. I ovaj slučaj nije izolovan; naprotiv, za sve razlomke sa brojiocem 1 (jedan), recipročni će biti cijeli brojevi, na primjer:

1 / 3, inverzno 3; 1/5, revers 5

Budući da smo se pri pronalaženju recipročnih susreli i sa cijelim brojevima, ubuduće nećemo govoriti o recipročnim, već o recipročnim.

Hajde da shvatimo kako napisati recipročnu vrijednost cijelog broja. Za razlomke se to jednostavno rješava: trebate staviti imenilac na mjesto brojioca. Na isti način možete dobiti recipročnu vrijednost cijelog broja, budući da svaki cijeli broj može imati nazivnik 1. Dakle, recipročna vrijednost od 7 će biti 1 / 7, jer je 7 = 7 / 1; za broj 10 obrnuto je 1/10 jer je 10 = 10/1

Ova ideja se može izraziti i na drugi način: recipročna vrednost datog broja se dobija dijeljenjem jedan sa datim brojem. Ova izjava vrijedi ne samo za cijele brojeve, već i za razlomke. Zaista, ako želite da napišete broj koji je recipročan razlomku 5/9, onda možemo uzeti 1 i podijeliti ga sa 5/9, tj.

Istaknimo sada jednu imovine obostrano recipročni brojevi, koji će nam biti korisni: proizvod uzajamno recipročnih brojeva jednak je jedan. Zaista:

Koristeći ovo svojstvo, možemo pronaći recipročne vrijednosti na sljedeći način. Nađimo recipročnu vrijednost od 8.

Označimo to slovom X , zatim 8 X = 1, dakle X = 1 / 8 . Nađimo drugi broj, obrnut od 7/12, označimo ga slovom X , zatim 7 / 12 X = 1, dakle X = 1:7 / 12 ili X = 12 / 7 .

Ovdje smo uveli koncept recipročnih brojeva kako bismo malo dopunili informacije o podjeli razlomaka.

Kada broj 6 podijelimo sa 3/5, onda radimo sljedeće:

Obratite posebnu pažnju na izraz i uporedite ga sa datim: .

Ako izraz uzmemo odvojeno, bez veze s prethodnim, onda je nemoguće riješiti pitanje odakle je došao: od dijeljenja 6 sa 3/5 ili od množenja 6 sa 5/3. U oba slučaja rezultat je isti. Tako da možemo reći da se dijeljenje jednog broja drugim može zamijeniti množenjem dividende recipročnom vrijednosti djelitelja.

Primjeri koje dajemo u nastavku u potpunosti potvrđuju ovaj zaključak.

) i nazivnik po imeniocu (dobijamo nazivnik proizvoda).

Formula za množenje razlomaka:

Na primjer:

Prije nego što nastavite s množenjem brojnika i nazivnika, potrebno je provjeriti mogućnost smanjenja razlomaka. Ako uspijete smanjiti razlomak, tada će vam biti lakše nastaviti s izračunima.

Podjela običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje razlomaka koje uključuje prirodan broj.

Nije tako strašno kao što se čini. Kao iu slučaju sabiranja, pretvaramo cijeli broj u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

pretvoriti miješane razlomke u nepravilne;
množi brojioce i nazivnike razlomaka;
smanjujemo razlomak;
ako dobijemo nepravilan razlomak, onda pretvaramo nepravilan razlomak u mješoviti.

Bilješka! Da biste mješoviti razlomak pomnožili drugim mješovitim razlomkom, prvo ih morate dovesti u oblik nepravilnih razlomaka, a zatim pomnožiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem.

Pogodnije je koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Bilješka! Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je podijeliti nazivnik razlomka ovim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

Iz gornjeg primjera jasno je da je ovu opciju pogodnije koristiti kada se nazivnik razlomka bez ostatka podijeli prirodnim brojem.

Razlomci na više nivoa.

U srednjoj školi često se nalaze trospratni (ili više) razlomci. primjer:

Da bi se takav razlomak doveo u uobičajeni oblik, koristi se podjela na 2 boda:

Bilješka! Prilikom dijeljenja razlomaka, redoslijed dijeljenja je vrlo važan. Budite oprezni, ovdje se lako možete zbuniti.

Bilješka, na primjer:

Prilikom dijeljenja jedan s bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnuti:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar u radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja. Uradite sve proračune pažljivo i precizno, koncentrisano i jasno. Bolje je zapisati nekoliko dodatnih redova u nacrtu nego se zbuniti u proračunima u glavi.

2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka - idite na tip običnih razlomaka.

3. Smanjujemo sve razlomke dok ih više nije moguće reducirati.

4. Razlomke na više nivoa unosimo u obične, koristeći dijeljenje na 2 tačke.

5. Jedinicu dijelimo na razlomak u svom umu, jednostavnim okretanjem razlomka.

Prošli put smo naučili kako sabirati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju "Sabiranje i oduzimanje razlomaka"). Najteži trenutak u tim akcijama bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije čak lakše od sabiranja i oduzimanja. Za početak, razmotrite najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez istaknutog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojilac novog razlomka, a drugi imenilac.

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutom" drugom.

Oznaka:

Iz definicije proizilazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste okrenuli razlomak, samo zamijenite brojilac i imenilac. Stoga ćemo cijelu lekciju uglavnom razmatrati množenje.

Kao rezultat množenja, smanjeni razlomak može nastati (i često se javlja) - naravno, mora se smanjiti. Ako se nakon svih redukcija razlomak pokaže netočnim, u njemu treba razlikovati cijeli dio. Ali ono što se tačno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički nazivnik: nema unakrsnih metoda, maksimalnih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka s cijelim dijelom i negativnih razlomaka

Ako u razlomcima postoji cijeli broj, oni se moraju pretvoriti u nepravilne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izvući iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

Plus puta minus daje minus;
Dva negativa čine potvrdno.

Do sada su se ova pravila susrela samo pri sabiranju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno da se riješi cijeli dio. Za proizvod se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko minusa odjednom:

Precrtavamo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije našao par;
Ako nema nikakvih minusa, operacija je završena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan, jer nije pronašao par, izvlačimo ga iz granica množenja. Dobijate negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prevodimo sve razlomke u nepravilne, a onda minuse izvlačimo izvan granica množenja. Ono što ostane množi se po uobičajenim pravilima. Dobijamo:

Da vas još jednom podsjetim da se minus koji dolazi ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi konkretno na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli broj (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).

Obratite pažnju i na negativne brojeve: kada se množe, oni su stavljeni u zagrade. To je učinjeno kako bi se minusi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio precizniji.

Smanjenje frakcija u hodu

Množenje je veoma naporna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja. Zaista, u suštini, brojnici i imenioci razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu smanjiti koristeći osnovno svojstvo razlomka. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Po definiciji imamo:

U svim primjerima, brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo označeni su crvenom bojom.

Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Jedinice su ostale na svojim mjestima, što se generalno može izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali se ukupan iznos proračuna ipak smanjio.

Međutim, ni u kom slučaju nemojte koristiti ovu tehniku prilikom sabiranja i oduzimanja razlomaka! Da, ponekad postoje slični brojevi koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:

Ne možete to učiniti!

Greška nastaje zbog činjenice da se prilikom sabiranja razlomka u brojniku razlomka pojavljuje zbroj, a ne proizvod brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, jer se ovo svojstvo posebno bavi množenjem brojeva.

Jednostavno ne postoji drugi razlog za smanjenje razlomaka, pa ispravno rješenje prethodnog problema izgleda ovako:

Prava odluka:

Kao što vidite, ispostavilo se da tačan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.

Množenje običnih razlomaka

Razmotrimo primjer.

Neka je na tanjiru $\frac(1)(3)$ dio jabuke. Moramo pronaći njegov dio $\frac(1)(2)$. Traženi dio je rezultat množenja razlomaka $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(2)$. Rezultat množenja dva obična razlomka je običan razlomak.

Množenje dva obična razlomka

Pravilo za množenje običnih razlomaka:

Rezultat množenja razlomka razlomkom je razlomak čiji je brojilac jednak umnošku brojnika pomnoženih razlomaka, a nazivnik je jednak proizvodu nazivnika:

Primjer 1

Pomnožite obične razlomke $\frac(3)(7)$ i $\frac(5)(11)$.

Rješenje.

Koristimo pravilo množenja običnih razlomaka:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

odgovor:$\frac(15)(77)$

Ako se kao rezultat množenja razlomaka dobije poništivi ili nepravilni razlomak, onda ga je potrebno pojednostaviti.

Primjer 2

Pomnožite razlomke $\frac(3)(8)$ i $\frac(1)(9)$.

Rješenje.

Koristimo pravilo za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Kao rezultat, dobili smo reducibilni razlomak (na osnovu dijeljenja sa $3$. Podijelimo brojilac i imenilac razlomka sa $3$, dobićemo:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Kratko rješenje:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

odgovor:$\frac(1)(24).$

Kada množite razlomke, možete smanjiti brojioce i nazivnike da biste pronašli njihov proizvod. U ovom slučaju, brojnik i nazivnik razlomka se razlažu na jednostavne faktore, nakon čega se ponavljajući faktori smanjuju i rezultat se nalazi.

Primjer 3

Izračunajte proizvod razlomaka $\frac(6)(75)$ i $\frac(15)(24)$.

Rješenje.

Koristimo formulu za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Očigledno, brojilac i nazivnik sadrže brojeve koji se u parovima mogu smanjiti za brojeve $2$, $3$ i $5$. Rastavljamo brojilac i imenilac na jednostavne faktore i pravimo redukciju:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

odgovor:$\frac(1)(20).$

Prilikom množenja razlomaka može se primijeniti komutativni zakon:

Množenje razlomka prirodnim brojem

Pravilo za množenje običnog razlomka prirodnim brojem:

Rezultat množenja razlomka prirodnim brojem je razlomak u kojem je brojilac jednak umnošku brojnika pomnoženog razlomka prirodnim brojem, a nazivnik jednak nazivniku pomnoženog razlomka:

gdje je $\frac(a)(b)$ običan razlomak, $n$ je prirodan broj.

Primjer 4

Pomnožite razlomak $\frac(3)(17)$ sa $4$.

Rješenje.

Koristimo pravilo množenja običnog razlomka prirodnim brojem:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

odgovor:$\frac(12)(17).$

Ne zaboravite provjeriti rezultat množenja za kontraktibilnost razlomka ili za nepravilan razlomak.

Primjer 5

Pomnožite razlomak $\frac(7)(15)$ sa $3$.

Rješenje.

Koristimo formulu za množenje razlomka prirodnim brojem:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Po kriteriju dijeljenja brojem $3$) može se utvrditi da se rezultujući razlomak može smanjiti:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Rezultat je nepravilan razlomak. Hajde da uzmemo ceo deo:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Kratko rješenje:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Također je bilo moguće smanjiti razlomke zamjenom brojeva u brojniku i nazivniku njihovim proširenjima u proste faktore. U ovom slučaju rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

odgovor:$1\frac(2)(5).$

Kada množite razlomak prirodnim brojem, možete koristiti komutativni zakon:

Podjela običnih razlomaka

Operacija dijeljenja je inverzna od množenja i njen rezultat je razlomak kojim trebate pomnožiti poznati razlomak da biste dobili poznati proizvod dva razlomka.

Dijeljenje dva obična razlomka

Pravilo za dijeljenje običnih razlomaka: Očigledno, brojnik i nazivnik rezultujućeg razlomka mogu se razložiti na jednostavne faktore i smanjiti:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Kao rezultat, dobili smo nepravilan razlomak iz kojeg biramo cijeli broj:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

odgovor:$1\frac(5)(9).$

U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:

Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme dok Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju u današnje vrijeme, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Vikipedija," Zenonove Aporije "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.

Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati sto koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je savladan vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela stoji na različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali ne možete utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, pomoći će vam trigonometrija). Ono što želim posebno da istaknem je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba brkati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Vrlo dobro su razlike između skupa i multiseta opisane na Wikipediji. Gledamo.

Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, na kojem um nema riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta tokom ispitivanja mosta. Ako se most sruši, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Bez obzira na to koliko se matematičari kriju iza fraze "pamet, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plate. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i izložimo ga na našem stolu u različite gomile, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plata". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, proradiće poslanička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa, računamo platu u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar mahnito prisjetiti fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma za svaki novčić je jedinstven...

I sada imam najzanimljivije pitanje: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu.

Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i višestruki skup u isto vrijeme. Koliko tačno? I ovdje matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Ja ću vam pokazati, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i koristimo ga, ali oni su šamani za to, da uče svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbir cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.

Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Šta treba uraditi da bi se pronašao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo redom sve korake.

1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Konvertovali smo broj u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu primljenu sliku izrezali smo na nekoliko slika koje sadrže odvojene brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. To je matematika.

Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

Sa stanovišta matematike, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem 12345, ne želim da se zavaravam, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to uradili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.

Nula u svim brojevnim sistemima izgleda isto i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Šta za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dozvoliti, ali za naučnike ne. Realnost nije samo u brojevima.

Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.

Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj jedinici mjere i o tome ko izvodi ovu radnju.

Potpis na vratima Otvara vrata i kaže:

Jao! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?

Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole je muški.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom brojevnom sistemu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.