Indijski način množenja

Najvredniji doprinos riznici matematičkog znanja dat je u Indiji. Hindusi su predložili način na koji pišemo brojeve koristeći deset znakova: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Osnova ove metode je ideja da ista cifra označava jedinice, desetice, stotine ili hiljade, ovisno o tome gdje se ova cifra nalazi. Zauzeto mjesto, u nedostatku bilo koje cifre, određuje se nulama dodijeljenim brojevima.

Indijanci su dobro mislili. Smislili su vrlo jednostavan način množenja. Izvodili su množenje, počevši od najvišeg reda, i zapisivali nepotpune proizvode odmah iznad množenika, malo po malo. Istovremeno, viša cifra kompletnog proizvoda bila je odmah vidljiva i, osim toga, isključeno je izostavljanje bilo koje cifre. Znak množenja još nije bio poznat, pa su ostavili malu udaljenost između faktora. Na primjer, pomnožimo ih na način 537 sa 6:

Množenje metodom "LITTLE CASTLE".

Množenje brojeva se sada uči u prvom razredu škole. Ali u srednjem vijeku, vrlo malo njih je ovladalo umijećem množenja. Rijetki aristokrata mogao bi se pohvaliti da poznaje tablicu množenja, čak i ako je diplomirao na europskom univerzitetu.

Tokom milenijuma razvoja matematike, izmišljeni su mnogi načini za množenje brojeva. Italijanski matematičar Luca Pacioli, u svojoj raspravi Zbir znanja u aritmetici, odnosima i proporcionalnosti (1494), navodi osam različitih metoda množenja. Prvi od njih se zove "Mali dvorac", a drugi je ništa manje romantičan pod nazivom "Ljubomora ili množenje rešetke".

Prednost metode množenja “Mali dvorac” je u tome što se cifre najviših cifara određuju od samog početka, a to može biti važno ako trebate brzo procijeniti vrijednost.

Cifre gornjeg broja, počevši od najznačajnije znamenke, naizmjenično se množe s donjim brojem i upisuju u kolonu uz dodavanje potrebnog broja nula. Zatim se rezultati zbrajaju.

U staroj Indiji korištene su dvije metode množenja: rešetke i galije.
Na prvi pogled izgledaju vrlo komplicirano, ali ako pratite vježbe korak po korak, vidjet ćete da je prilično jednostavno.
Množimo, na primjer, brojeve 6827 i 345:
1. Nacrtamo kvadratnu mrežu i upišemo jedan od brojeva iznad stupaca, a drugi po visini. U predloženom primjeru može se koristiti jedna od ovih mreža.

2. Nakon odabira mreže, množimo broj svakog reda uzastopno sa brojevima svake kolone. U ovom slučaju, uzastopno množimo 3 sa 6, sa 8, sa 2 i sa 7. Pogledajte ovaj dijagram kako je proizvod napisan u odgovarajućoj ćeliji.

3. Pogledajte kako izgleda mreža sa svim popunjenim ćelijama.

4. Na kraju, saberite brojeve, prateći dijagonalne pruge. Ako zbir jedne dijagonale sadrži desetice, onda ih dodajemo sljedećoj dijagonali.

Pogledajte kako rezultati zbrajanja brojeva duž dijagonala (označeni su žutom bojom) formiraju broj 2355315, koji je proizvod brojeva 6827 i 345.

Svrha rada: Istražiti i pokazati neobične načine množenja Zadaci: Pronaći neobične načine množenja. Naučite ih primijeniti. Odaberite za sebe one najzanimljivije ili lakše od onih koje nudi škola i koristite ih prilikom brojanja. Naučite drugove iz razreda da koriste novi način množenja

Metode: metoda pretraživanja pomoću naučne i obrazovne literature, kao i traženje potrebnih informacija na internetu; praktična metoda za izvođenje proračuna korištenjem nestandardnih algoritama brojanja; analiza podataka dobijenih tokom studija Aktuelnost ove teme leži u činjenici da upotreba nestandardnih metoda u formiranju računarskih veština pojačava interesovanje učenika za matematiku i doprinosi razvoju matematičkih sposobnosti.

Na času matematike naučili smo neobičan način množenja stupcem. Svidjelo nam se i odlučili smo naučiti druge načine množenja prirodnih brojeva. Pitali smo naše kolege iz razreda da li znaju druge načine brojanja? Svi su govorili samo o onim metodama koje se uče u školi. Ispostavilo se da svi naši prijatelji ne znaju ništa o drugim metodama. U istoriji matematike poznato je oko 30 metoda množenja, koje se razlikuju po shemi snimanja ili samom toku računanja. Metoda množenja "u kolonu" koju učimo u školi je jedan od načina. Ali da li je to najefikasniji način? da vidimo! Uvod

Ovo je jedna od najčešćih metoda koju su ruski trgovci uspješno koristili vekovima. Princip ove metode: množenje na prstima jednocifrenih brojeva od 6 do 9. Prsti su ovdje služili kao pomoćni računarski uređaj. Da bi to učinili, s jedne strane su pružili onoliko prstiju koliko je prvi faktor veći od broja 5, a na drugoj su isto učinili za drugi faktor. Ostali prsti su savijeni. Zatim je uzet broj (ukupno) ispruženih prstiju i pomnožen sa 10, zatim su brojevi pomnoženi koliko je prstiju savijeno na rukama i rezultati se zbrajaju. Na primjer, pomnožimo 7 sa 8. U razmatranom primjeru, 2 i 3 prsta će biti savijena. Ako zbrojimo broj savijenih prstiju (2 + 3 = 5) i pomnožimo broj nesavijenih prstiju (23 = 6), dobićemo brojeve desetica i jedinica željenog proizvoda 56. Tako da možete izračunati proizvod bilo kojeg jednocifrenog broja većeg od 5.

Množenje za broj 9 je vrlo lako reproducirati "na prste". Raširite prste na obje ruke i okrenite dlanove od sebe. Mentalno dodijelite prstima brojeve od 1 do 10 redom, počevši od malog prsta lijeve ruke i završavajući malim prstom desne ruke. Recimo da želimo da pomnožimo 9 sa 6. Savijamo prst sa brojem jednakim broju kojim ćemo pomnožiti devet. U našem primjeru trebate saviti prst sa brojem 6. Broj prstiju lijevo od savijenog prsta nam pokazuje broj desetica u odgovoru, broj prstiju desno - broj jedinica. Na lijevoj strani imamo 5 nesavijenih prstiju, na desnoj - 4 prsta. Dakle, 9 6=54.

Metoda množenja "Mali zamak" Prednost metode množenja "Mali zamak" je u tome što se cifre visokog reda određuju od samog početka, što je važno ako trebate brzo procijeniti vrijednost. Cifre gornjeg broja, počevši od najznačajnije znamenke, naizmjenično se množe s donjim brojem i upisuju u kolonu uz dodavanje potrebnog broja nula. Zatim se rezultati zbrajaju.

“Ljubomora” ili “množenje rešetke” Prvo se nacrta pravougaonik, podijeli na kvadrate, a dimenzije stranica pravokutnika odgovaraju broju decimalnih mjesta za množitelj i množilac. Zatim se kvadratne ćelije dijele dijagonalno i “... dobije se slika koja izgleda kao rešetkaste rolete-zastori, - piše Pacioli. - Takvi kapci su bili okačeni na prozore venecijanskih kuća ..."

Množenje mreže = +1 +2

Seljačka metoda Ovo je metoda velikoruskih seljaka čija je suština u tome da se množenje bilo kojeg broja svodi na niz uzastopnih dijeljenja jednog broja na pola, dok se drugi broj udvostručuje ……….32 74…… ………….8 296……….4 592……… ………1 3732=1184

Seljački način (neparni brojevi) 47 x =1645

Korak 1. prvi broj 15: Nacrtajte prvi broj - u jednoj liniji. Crtamo drugu figuru - pet linija. Korak 2. drugi broj 23: Nacrtajte prvi broj - dvije linije. Crtamo drugu figuru - tri linije. Korak 3. Izbrojite broj bodova u grupama. Korak 4. Rezultat je 345. Pomnožimo dva dvocifrena broja: 15 * 23

Indijska metoda množenja (krst) 24 i X 3 2 1)4x2=8 - zadnja znamenka rezultata; 2)2x2=4; 4x3=12; 4+12=16 ; 6 - pretposljednja znamenka rezultata, zapamtite jedinicu; 3) 2x3=6 pa čak i broj koji imamo na umu, imamo 7 - ovo je prva cifra rezultata. Dobijamo sve cifre proizvoda: 7,6,8. Odgovor: 768.

Indijska metoda množenja = = = = 3822 Osnova ove metode je ideja da ista cifra označava jedinice, desetice, stotine ili hiljade, ovisno o tome gdje se ova cifra nalazi. Zauzeto mjesto, u nedostatku bilo koje cifre, određuje se nulama dodijeljenim brojevima. počinjemo množenje od najvišeg reda, a nepotpune proizvode zapisujemo malo po malo iznad množenika. U ovom slučaju, najznačajnija cifra kompletnog proizvoda je odmah vidljiva i, osim toga, izostavljanje bilo koje cifre je isključeno. Znak množenja još nije bio poznat, pa je ostavljena mala udaljenost između faktora

Osnovni broj Množi 18*19 20 (osnovni broj) * 2 1 (18-1)*20 = Odgovor: 342 Kratka napomena: 18*19 = 20*17+2 = 342

Nova metoda množenja X = , 5+2, 5+3, 0+2, 0+3, 5

Zaključak: Naučivši računati na sve predstavljene načine, došli smo do zaključka da su najjednostavniji metodi oni koje učimo u školi, ili smo se možda na njih samo navikli Od svih smatranih neobičnih metoda brojanja, metoda grafičkog množenja izgledalo zanimljivije. Pokazali smo to našim kolegama iz razreda i i njima se jako svidjelo. Metoda „udvostručavanja i udvostručavanja“ koju su koristili ruski seljaci činila se najjednostavnijom.

Zaključak Opisujući drevne metode računanja i savremene metode brzog brojanja, pokušali smo pokazati da se, kako u prošlosti tako i u budućnosti, ne može bez matematike, nauke koju je stvorio ljudski um. Proučavanje drevnih metoda množenja pokazalo je da je ova računska operacija bila teška i složena zbog raznovrsnosti metoda i njihove glomazne implementacije. Savremeni metod množenja je jednostavan i dostupan svima. Ali, mislimo da naša metoda množenja u stupcu nije savršena i da možete smisliti još brže i pouzdanije metode. Moguće je da prvi put mnogi neće moći brzo, u hodu, izvesti ove ili druge kalkulacije.Nije bitno. Potrebna je stalna računarska obuka. Pomoći će vam da razvijete korisne vještine mentalnog brojanja!

Korišteni materijali: html Enciklopedija za djecu. "Matematika". – M.: Avanta +, – 688 str. Enciklopedija „Poznajem svijet. Matematika". - M.: Astrel Ermak, Perelman Ya.I. Brzi račun. Trideset jednostavnih metoda mentalnog brojanja. L., s.

Nazad napred

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati puni obim prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

“Računanje i kalkulacije su osnova reda u glavi.”
Pestalozzi

Cilj:

• Upoznajte se sa starim metodama množenja.
• Proširite svoje znanje o raznim tehnikama množenja.
• Naučite izvoditi operacije s prirodnim brojevima koristeći stare metode množenja.

1. Stari način množenja sa 9 na prstima
2. Množenje Ferolovom metodom.
3. Japanski način množenja.
4. Italijanski način množenja („Mreža“)
5. Ruski način množenja.
6. Indijski način množenja.

Napredak lekcije

Važnost korištenja tehnika brzog brojanja.

U modernom životu svaka osoba često mora izvršiti ogromnu količinu proračuna i proračuna. Stoga je svrha mog rada da pokažem lake, brze i tačne metode brojanja koje će vam ne samo pomoći prilikom bilo kakvog računanja, već će izazvati poprilično iznenađenje među prijateljima i drugovima, jer slobodno izvođenje operacija brojanja može u velikoj mjeri ukazati na izvanrednost tvoj intelekt. Osnovni element računarske kulture su svjesne i snažne računarske vještine. Problem formiranja računarske kulture aktuelan je za ceo školski predmet matematike, počevši od osnovne škole, i zahteva ne samo ovladavanje računskim veštinama, već i njihovu upotrebu u različitim situacijama. Posjedovanje računskih vještina i sposobnosti od velike je važnosti za asimilaciju gradiva koji se proučava, omogućava razvijanje vrijednih radnih kvaliteta: odgovoran odnos prema poslu, sposobnost otkrivanja i ispravljanja grešaka u radu, precizno izvođenje zadatka i kreativan odnos prema poslu. Međutim, u posljednje vrijeme nivo računskih vještina, transformacija izraza ima izražen trend pada, učenici prave dosta grešaka pri računanju, sve češće koriste kalkulator, ne razmišljaju racionalno, što negativno utiče na kvalitet obrazovanja i nivo matematičkog znanja. studenata uopšte. Jedna od komponenti računarske kulture je verbalno brojanješto je od velike važnosti. Sposobnost brzog i ispravnog izvođenja jednostavnih proračuna "u umu" neophodna je svakoj osobi.

Drevni načini množenja brojeva.

1. Stari način množenja sa 9 na prstima

To je jednostavno. Da pomnožite bilo koji broj između 1 i 9 sa 9, pogledajte kazaljke. Savijte prst koji odgovara broju koji se množi (na primjer 9 x 3 - savijte treći prst), brojite prste do krivog prsta (u slučaju 9 x 3 to je 2), a zatim brojite iza krivog prsta (u našem slučaju 7). Odgovor je 27.

2. Množenje Ferolovom metodom.

Da pomnožite jedinice proizvoda množenja, pomnožite jedinice faktora, da biste dobili desetice, pomnožite desetice jednog sa jedinicama drugog i obrnuto i dodajte rezultate, da biste dobili stotine, pomnožite desetice. Koristeći Ferrolovu metodu, lako je verbalno pomnožiti dvocifrene brojeve od 10 do 20.

Na primjer: 12x14=168

a) 2x4=8, napiši 8

b) 1x4+2x1=6, napiši 6

c) 1x1=1, upiši 1.

3. Japanska metoda množenja

Ova tehnika liči na množenje stupcem, ali traje dosta vremena.

Korišćenje recepcije. Recimo da trebamo 13 pomnožiti sa 24. Nacrtajmo sljedeću sliku:

Ovaj crtež se sastoji od 10 linija (broj može biti bilo koji)

• Ove linije predstavljaju broj 24 (2 reda, uvlaka, 4 reda)
• I ove linije predstavljaju broj 13 (1 red, uvlaka, 3 reda)

(raskrsnice na slici su označene tačkama)

Broj prijelaza:

• Gornja lijeva ivica: 2
• Donja lijeva ivica: 6
• Gore desno: 4
• Dole desno: 12

1) Ukrštanja u gornjem lijevom rubu (2) - prvi broj odgovora

2) Zbir presjeka donjeg lijevog i gornjeg desnog ruba (6 + 4) - drugi broj odgovora

3) Raskrsnice u donjem desnom rubu (12) - treći broj odgovora.

Ispada: 2; 10; 12.

Jer zadnja dva broja su dvocifrena i ne možemo ih zapisati, tada zapisujemo samo jedinice, a prethodnom dodajemo desetice.

4. Italijanski način množenja (“Mreža”)

U Italiji, kao i u mnogim zemljama Istoka, ova metoda je postala veoma poznata.

Upotreba prijema:

Na primjer, pomnožimo 6827 sa 345.

1. Nacrtamo kvadratnu mrežu i upišemo jedan od brojeva iznad stupaca, a drugi po visini.

2. Pomnožite broj svakog reda uzastopno sa brojevima svake kolone.

• 6*3 = 18. Zapiši 1 i 8
• 8*3 = 24. Zapiši 2 i 4

Ako se množenjem dobije jednocifreni broj, pišemo 0 na vrhu, a ovaj broj na dnu.

(Kao u našem primjeru, kada množimo 2 sa 3, dobili smo 6. Na vrhu smo napisali 0, a na dnu 6)

3. Popunite cijelu mrežu i saberite brojeve koji slijede dijagonalne pruge. Počinjemo savijati s desna na lijevo. Ako zbir jedne dijagonale sadrži desetice, onda ih dodajemo jedinicama sljedeće dijagonale.

Odgovor: 2355315.

5. Ruski način množenja.

Ovu tehniku ​​množenja koristili su ruski seljaci prije otprilike 2-4 stoljeća, a razvijena je u antičko doba. Suština ove metode je: „Koliko podijelimo prvi faktor, množimo drugi sa toliko.“ Evo primjera: Trebamo 32 pomnožiti sa 13. Ovako bi naši preci riješili ovaj primjer 3 -prije 4 vijeka:

• 32 * 13 (32 podijeljeno sa 2, a 13 pomnoženo sa 2)
• 16 * 26 (16 podijeljeno sa 2, a 26 pomnoženo sa 2)
• 8 * 52 (itd.)
• 4 * 104
• 2 * 208
• 1 * 416 =416

Bisekcija se nastavlja sve dok količnik ne bude 1, dok se paralelno udvostručuje još jedan broj. Posljednji udvostručeni broj daje željeni rezultat. Nije teško razumjeti na čemu se zasniva ova metoda: proizvod se ne mijenja ako se jedan faktor prepolovi, a drugi udvostruči. Jasno je, dakle, da se kao rezultat višekratnog ponavljanja ove operacije dobije željeni proizvod

Međutim, šta učiniti ako neparan broj morate podijeliti na pola? Popularni način se lako izvlači iz ove poteškoće. Potrebno je, - kaže pravilo, - u slučaju neparnog broja odbaciti jedinicu, a ostatak podijeliti na pola; ali s druge strane, posljednjem broju desnog stupca bit će potrebno dodati sve one brojeve ove kolone koji stoje naspram neparnih brojeva lijevog stupca: zbir će biti željeni proizvod. U praksi se to radi na način da se precrtaju svi redovi s parnim lijevim brojevima; ostaju samo oni koji sadrže neparan broj lijevo. Evo primjera (zvjezdice označavaju da ovu liniju treba precrtati):

• 19*17
• 4 *68*
• 2 *136*
• 1 *272

Zbrajanjem neprecrtanih brojeva dobijamo potpuno tačan rezultat:

• 17 + 34 + 272 = 323.

Odgovor: 323.

6. Indijski način množenja.

Ova metoda množenja korištena je u staroj Indiji.

Da pomnožimo, na primjer, 793 sa 92, upisujemo jedan broj kao množitelj, a ispod njega drugi kao faktor. Da biste olakšali navigaciju, možete koristiti mrežu (A) kao referencu.

Sada množimo lijevu znamenku množitelja sa svakom cifrom množenika, odnosno 9x7, 9x9 i 9x3. Dobivene proizvode upisujemo u mrežu (B), imajući na umu sljedeća pravila:

• Pravilo 1. Jedinice prvog proizvoda treba pisati u istoj koloni kao i množitelj, odnosno u ovom slučaju pod 9.
• Pravilo 2. Naredni rad mora biti napisan na način da se jedinice stavljaju u kolonu odmah desno od prethodnog rada.

Ponovite cijeli proces s drugim brojevima množitelja, slijedeći ista pravila (C).

Zatim dodamo brojeve u kolone i dobijemo odgovor: 72956.

Kao što vidite, dobijamo veliku listu radova. Indijanci, koji su imali veliku praksu, upisali su svaku cifru ne u odgovarajuću kolonu, već na vrh, što je više moguće. Zatim su sabrali brojeve u kolonama i dobili rezultat.

Zaključak

Ušli smo u novi milenijum! Grandiozna otkrića i dostignuća čovječanstva. Znamo mnogo, možemo mnogo. Čini se nečim natprirodnim da se uz pomoć brojeva i formula može izračunati let svemirskog broda, “ekonomsko stanje” u zemlji, vrijeme za “sutra”, opisati zvuk nota u melodiji. Poznata nam je izreka starogrčkog matematičara, filozofa, koji je živeo u 4. veku pre nove ere - Pitagore - "Sve je broj!".

Prema filozofskom gledištu ovog naučnika i njegovih sljedbenika, brojevi upravljaju ne samo mjerom i težinom, već i svim pojavama koje se dešavaju u prirodi i suština su harmonije koja vlada u svijetu, duši kosmosa.

Opisujući drevne metode proračuna i moderne metode brzog brojanja, pokušao sam pokazati da se i u prošlosti i u budućnosti ne može bez matematike, nauke koju je stvorio ljudski um.

“Ko se od djetinjstva bavi matematikom razvija pažnju, trenira mozak, svoju volju, neguje istrajnost i istrajnost u postizanju cilja.”(A.Markushevich)

Književnost.

1. Enciklopedija za djecu. "T.23". Univerzalni enciklopedijski rječnik \ ur. kolegijum: M. Aksjonova, E. Zhuravleva, D. Lury i drugi - M.: Svijet enciklopedija Avanta +, Astrel, 2008. - 688 str.
2. Ozhegov S.I. Rječnik ruskog jezika: pribl. 57000 riječi / Ed. član - ispr. ANSIR N.Yu. Shvedova. - 20. izd. - M.: Obrazovanje, 2000. - 1012 str.
3. Želim da znam sve! Velika ilustrovana enciklopedija inteligencije / Per. sa engleskog. A. Zykova, K. Malkov, O. Ozerova. – M.: Izdavačka kuća EKMO, 2006. – 440 str.
4. Sheinina O.S., Solovjeva G.M. Matematika. Razredi školskog kruga 5-6 ćelija / O.S. Sheinina, G.M. Solovjeva - M.: Izdavačka kuća NTsENAS, 2007. - 208 str.
5. Kordemsky B. A., Akhadov A. A. Zadivljujući svijet brojeva: Knjiga učenika, - M. Obrazovanje, 1986.
6. Minskykh E. M. "Od igre do znanja", M., "Prosvjetljenje", 1982.
7. Svečnikov A. A. Brojevi, brojke, zadaci M., Prosvjeta, 1977.
8. http://matsievsky.ru newmail. ru/sys-schi/file15.htm
9. http://sch69.narod. en/mod/1/6506/history. html

Istraživački rad iz matematike u osnovnoj školi

Kratak sažetak istraživačkog rada
Svaki učenik zna da pomnoži višecifrene brojeve sa „kolonicom“. U ovom radu autor skreće pažnju na postojanje alternativnih metoda množenja dostupnih mlađim učenicima, a koje "zamorno" računanje mogu pretvoriti u zabavnu igru.
U radu se razmatra šest netradicionalnih načina množenja višecifrenih brojeva koji se koriste u različitim istorijskim epohama: ruski seljak, rešetkasti, mali zamak, kineski, japanski, prema tabeli V. Okonešnjikova.
Projekat je osmišljen da razvije kognitivni interes za predmet koji se izučava, da produbi znanja iz oblasti matematike.
Sadržaj
Uvod 3
Poglavlje 1. Alternativni načini množenja 4
1.1. Malo istorije 4
1.2. Ruski seljački način množenja 4
1.3. Množenje metodom "Mali dvorac" 5
1.4. Množenje brojeva metodom "ljubomore" ili "množenja rešetke" 5
1.5. Kineska metoda množenja 5
1.6. Japanska metoda množenja 6
1.7. Tabela Okonešnjikov 6
1.8 Množenje kolonom. 7
Poglavlje 2. Praktični dio 7
2.1. Seljački način 7
2.2. Mali dvorac 7
2.3. Množenje brojeva metodom "ljubomore" ili "množenja rešetke" 7
2.4. Kineski način 8
2.5. Japanski način 8
2.6. Sto Okonešnjikov 8
2.7. Upitnik 8
Zaključak 9
Aneks 10

"Predmet matematike je toliko ozbiljan da je korisno iskoristiti prilike da ga učinite malo zabavnim."
B. Pascal
Uvod
Čovjeku je nemoguće bez kalkulacija u svakodnevnom životu. Stoga nas na časovima matematike prije svega uče da izvodimo operacije nad brojevima, odnosno brojimo. Množimo, dijelimo, sabiramo i oduzimamo na uobičajene načine za sve koji se uče u školi. Postavilo se pitanje: postoje li drugi alternativni načini računanja? Želio sam ih detaljnije proučiti. Kako bi se odgovorilo na ova pitanja, provedeno je ovo istraživanje.
Svrha studije: identificirati netradicionalne metode množenja kako bi se proučila mogućnost njihove primjene.
U skladu sa ciljem formulisali smo sledeće zadatke:
- Pronađite što više neobičnih načina množenja.
- Naučite ih primijeniti.
- Odaberite za sebe one najzanimljivije ili lakše od onih koje nudi škola i koristite ih prilikom brojanja.
- Provjerite u praksi množenje višecifrenih brojeva.
- Sprovesti anketu učenika 4. razreda
Predmet studija: razne nestandardne algoritme višecifrenog množenja
Predmet istraživanja: matematička akcija "množenje"
Hipoteza: Ako postoje standardni načini za množenje višecifrenih brojeva, možda postoje alternativni načini.
Relevantnost: širenje znanja o alternativnim metodama množenja.
Praktični značaj. U toku rada riješeni su brojni primjeri i napravljen album koji uključuje primjere sa različitim algoritmima za množenje viševrijednih brojeva na nekoliko alternativnih načina. Ovo može zainteresovati kolege iz razreda da prošire svoje matematičke horizonte i poslužiti kao početak novih eksperimenata.

Poglavlje 1

1.1. Malo istorije
Metode izračunavanja koje sada koristimo nisu uvijek bile tako jednostavne i zgodne. U starim danima koristile su se glomaznije i sporije metode. A kada bi savremeni školarac mogao da se vrati pet stotina godina unazad, zadivio bi svakoga brzinom i tačnošću svojih proračuna. Glas o njemu bi se proširio po okolnim školama i manastirima, pomračivši slavu najveštijih tezgi tog doba, a ljudi bi dolazili sa svih strana da uče kod novog velikog majstora.
Operacije množenja i dijeljenja bile su posebno teške u stara vremena.
U knjizi V. Bellyustina „Kako su ljudi postepeno došli do prave aritmetike“ ocrtano je 27 metoda množenja, a autor napominje: „sasvim je moguće da postoji više metoda skrivenih u udubljenjima knjižara, raštrkanih u brojnim , uglavnom rukom pisane zbirke.” I sve ove metode množenja su se međusobno natjecale i asimilirane s velikim poteškoćama.
Razmotrite najzanimljivije i najjednostavnije načine množenja.
1.2. Ruski seljački način množenja
U Rusiji je prije 2-3 stoljeća među seljacima nekih provincija bila raširena metoda koja nije zahtijevala poznavanje cijele tablice množenja. Trebalo je samo znati množiti i dijeliti sa 2. Ova metoda se zvala seljačka metoda.
Za množenje dva broja, oni su napisani jedan pored drugog, a zatim je lijevi broj podijeljen sa 2, a desni je pomnožen sa 2. Rezultate zapišite u kolonu dok na lijevoj strani ne ostane 1. Ostatak se odbacuje. Precrtavamo one redove u kojima su slijeva parni brojevi. Preostali brojevi u desnoj koloni se dodaju.
1.3. Množenje metodom "Mali dvorac".
Italijanski matematičar Luca Pacioli u svojoj raspravi "Zbir znanja u aritmetici, odnosima i proporcionalnosti" (1494) daje osam različitih metoda množenja. Prvi od njih se zove "Mali dvorac".
Prednost metode množenja “Mali dvorac” je u tome što se cifre najviših cifara određuju od samog početka, a to može biti važno ako trebate brzo procijeniti vrijednost.
Cifre gornjeg broja, počevši od najznačajnije znamenke, naizmjenično se množe s donjim brojem i upisuju u kolonu uz dodavanje potrebnog broja nula. Zatim se rezultati zbrajaju.
1.4. Množenje brojeva metodom "ljubomore" ili "množenja mreže".
Druga metoda Luce Paciolija naziva se "ljubomora" ili "množenje mreže".
Prvo se nacrta pravougaonik, podijeljen na kvadrate. Zatim se kvadratne ćelije dijele dijagonalno i "... ispada slika koja izgleda kao rešetkaste kapke, roletne", piše Pacioli. “Takvi kapci su bili okačeni na prozore venecijanskih kuća, sprečavajući prolaznike da vide dame i časne sestre kako sjede na prozorima.”
Množenjem svake cifre prvog faktora sa svakom cifrom drugog, proizvodi se upisuju u odgovarajuće ćelije, stavljajući desetice iznad dijagonale, a jedinice ispod nje. Cifre proizvoda se dobijaju dodavanjem cifara u kosim prugama. Rezultati dodavanja se bilježe ispod tabele, kao i desno od nje.
1.5. Kineska metoda množenja
Sada zamislimo metodu množenja, o kojoj se žestoko raspravlja na internetu, a koja se zove kineski. Prilikom množenja brojeva uzimaju se u obzir tačke preseka pravih koje odgovaraju broju cifara svake cifre oba faktora.
1.6. Japanska metoda množenja
Japanska metoda množenja je grafička metoda koja koristi krugove i linije. Ništa manje smiješan i zanimljiv od kineskih. Čak i nešto poput njega.
1.7. Okonešnjikov sto
Doktor filozofije Vasilij Okonešnjikov, koji je i pronalazač novog sistema mentalnog brojanja, veruje da će školarci moći da nauče da sabiraju i množe milione, milijarde, pa čak i sekstilione sa kvadrilionima. Prema samom naučniku, deveto decimalni sistem je najpovoljniji u tom pogledu - svi podaci se jednostavno stavljaju u devet ćelija raspoređenih kao dugmad na kalkulatoru.
Prema naučniku, prije nego što postane kompjuterski "kompjuter", potrebno je zapamtiti tabelu koju je napravio.
Tabela je podijeljena na 9 dijelova. Raspoređeni su po principu mini kalkulatora: lijevo u donjem uglu "1", desno u gornjem uglu "9". Svaki dio je tablica množenja brojeva od 1 do 9 (prema istom sistemu "push-dugme"). Da bismo pomnožili bilo koji broj, na primjer, sa 8, nalazimo veliki kvadrat koji odgovara broju 8 i iz tog kvadrata ispisujemo brojeve koji odgovaraju znamenkama višeznačnog množitelja. Dobivene brojeve posebno zbrajamo: prva znamenka ostaje nepromijenjena, a svi ostali se zbrajaju u parovima. Rezultirajući broj će biti rezultat množenja.
Ako zbrajanjem dvije znamenke dobijete broj veći od devet, tada se njegova prva znamenka dodaje prethodnoj cifri rezultata, a druga se upisuje na njeno „vlastito“ mjesto.
Nova metodologija je testirana u nekoliko ruskih škola i univerziteta. Ministarstvo obrazovanja Ruske Federacije dozvolilo je objavljivanje nove tablice množenja u bilježnicama na kvadrat uz uobičajenu Pitagorinu tablicu - do sada samo za upoznavanje.
1.8. Množenje stupaca.
Malo ljudi zna da se autorom naše uobičajene metode množenja višecifrenog broja sa višecifrenim brojem kolonom treba smatrati Adam Rize (Dodatak 7). Ovaj algoritam se smatra najprikladnijim.
Poglavlje 2. Praktični dio
Ovladavajući navedenim metodama množenja, riješeno je mnoštvo primjera, dizajniran je album sa uzorcima različitih algoritama proračuna. (Aplikacija). Razmotrimo algoritam proračuna s primjerima.
2.1. seljački način
Pomnožite 47 sa 35 (Dodatak 1),
-napišite brojeve u jednu liniju, povucite vertikalnu liniju između njih;
-lijevi broj ćemo podijeliti sa 2, a desni broj pomnožiti sa 2 (ako se ostatak pojavi pri dijeljenju, onda ostatak odbacujemo);
- podjela se završava kada se jedinica pojavi s lijeve strane;
- precrtati one redove u kojima su na lijevoj strani parni brojevi;
Dodajemo preostale brojeve na desnoj strani - ovo je rezultat.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Zaključak. Metoda je zgodna jer je dovoljno znati tabelu samo po 2. Međutim, kada se radi sa velikim brojevima, vrlo je glomazna. Pogodan za rad sa dvocifrenim brojevima.
2.2. mali dvorac
(Dodatak 2). Zaključak. Metoda je vrlo slična našoj modernoj "koloni". Štaviše, odmah se određuju brojevi najviših činova. Ovo je važno ako trebate brzo procijeniti vrijednost.
2.3. Množenje brojeva metodom "ljubomore" ili "množenja mreže".
Pomnožimo, na primjer, brojeve 6827 i 345 (Dodatak 3):
1. Nacrtamo kvadratnu mrežu i napišemo jedan od množitelja iznad stupaca, a drugi - po visini.
2. Pomnožite broj svakog reda uzastopno sa brojevima svake kolone. Uzastopno množimo 3 sa 6, sa 8, sa 2 i sa 7, itd.
4. Saberite brojeve koji prate dijagonalne pruge. Ako zbir jedne dijagonale sadrži desetice, onda ih dodajemo sljedećoj dijagonali.
Iz rezultata zbrajanja brojeva duž dijagonala sastavlja se broj 2355315, koji je proizvod brojeva 6827 i 345, odnosno 6827 ∙ 345 = 2355315.
Zaključak. Metoda "množenja rešetke" nije ništa lošija od konvencionalne. Još je jednostavnije, jer se brojevi unose u ćelije tablice direktno iz tablice množenja bez istovremenog sabiranja, što je prisutno u standardnoj metodi.
2.4. Kineski način
Pretpostavimo da trebate pomnožiti 12 sa 321 (Dodatak 4). Na listu papira naizmjenično nacrtajte linije čiji je broj određen iz ovog primjera.
Crtamo prvi broj - 12. Da bismo to učinili, od vrha do dna, s lijeva na desno, crtamo:
jedan zeleni štap (1)
i dvije narandže (2).
Crtamo drugi broj - 321, odozdo prema gore, s lijeva na desno:
tri plava štapa (3);
dva crvena (2);
jedan jorgovan (1).
Sada jednostavnom olovkom odvajamo točke presjeka i nastavljamo ih brojati. Krećemo se s desna na lijevo (u smjeru kazaljke na satu): 2, 5, 8, 3.
Pročitajte rezultat s lijeva na desno - 3852
Zaključak. Zanimljiv način, ali nacrtati 9 pravih linija kada se pomnože sa 9 je nekako dugo i nezanimljivo, a onda brojati više raskrsnica. Bez vještine, teško je razumjeti podjelu broja na cifre. Općenito, ne možete bez tablice množenja!
2.5. Japanski način
Pomnožite 12 sa 34 (Dodatak 5). Pošto je drugi faktor dvocifreni broj, a prva znamenka prvog faktora 1, gradimo dva pojedinačna kruga u gornjem redu i dva binarna kruga u donjem redu, pošto je druga znamenka prvog faktora 2 .
Kako je prva znamenka drugog faktora 3, a druga 4, krugove prvog stupca dijelimo na tri dijela, drugog stupca na četiri dijela.
Broj dijelova na koje su krugovi podijeljeni je odgovor, odnosno 12 x 34 = 408.
Zaključak. Metoda je vrlo slična kineskoj grafici. Samo se ravne linije zamjenjuju krugovima. Lakše je odrediti znamenke broja, ali crtanje krugova je manje zgodno.
2.6. Okonešnjikov sto
Potrebno je pomnožiti 15647 x 5. Odmah se prisjećamo velikog "dugma" 5 (nalazi se u sredini) i na njemu mentalno pronađemo mala dugmad 1, 5, 6, 4, 7 (takođe se nalaze, kao na kalkulator). Odgovaraju brojevima 05, 25, 30, 20, 35. Dobivene brojeve dodajemo: prva znamenka je 0 (ostaje nepromijenjena), 5 se mentalno dodaje na 2, dobivamo 7 - ovo je druga znamenka rezultata , 5 se dodaje na 3, dobijamo treću cifru - 8 , 0+2=2, 0+3=3 i posljednja znamenka proizvoda ostaje - 5. Rezultat je 78,235.
Zaključak. Metoda je vrlo zgodna, ali morate učiti napamet ili uvijek imati sto pri ruci.
2.7. Studentska anketa
Sprovedeno je istraživanje među učenicima četvrtog razreda. Učestvovalo je 26 osoba (Prilog 8). Na osnovu ankete, pokazalo se da svi ispitanici znaju kako se množe na tradicionalan način. Ali većina momaka ne zna za netradicionalne metode množenja. A ima i onih koji žele da ih upoznaju.
Nakon inicijalne ankete, održana je vannastavna aktivnost „Množenje sa strašću“ na kojoj su se djeca upoznala sa alternativnim algoritmima množenja. Nakon toga je provedeno istraživanje kako bi se identifikovale metode koje se najviše sviđaju. Neosporni vođa bio je najmoderniji metod Vasilija Okonešnjikova. (Aneks 9)
Zaključak
Pošto sam naučio računati na sve predstavljene načine, vjerujem da je najpogodnija metoda množenja metoda "Mali zamak" - jer je toliko slična našoj trenutnoj!
Od svih neobičnih metoda brojanja koje sam pronašao, „japanska“ metoda mi se činila zanimljivijom. Najjednostavniji metod mi se činio metodom „udvostručavanja i cijepanja“ koju koriste ruski seljaci. Koristim ga pri množenju ne prevelikih brojeva. Vrlo je zgodno koristiti ga prilikom množenja dvocifrenih brojeva.
Time sam ostvario cilj svog istraživanja - učio sam i naučio kako primijeniti netradicionalne načine množenja višecifrenih brojeva. Moja hipoteza se potvrdila – savladao sam šest alternativnih metoda i otkrio da to nisu svi mogući algoritmi.
Nekonvencionalne metode množenja koje sam proučavao su vrlo zanimljive i imaju pravo na postojanje. A u nekim slučajevima čak su i lakši za korištenje. Mislim da o postojanju ovih metoda možete pričati u školi, kod kuće i iznenaditi svoje prijatelje i poznanike.
Do sada smo samo proučavali i analizirali već poznate metode množenja. Ali ko zna, možda ćemo u budućnosti i sami moći otkriti nove načine razmnožavanja. Također, ne želim stati na tome i nastaviti proučavati netradicionalne metode množenja.
Spisak izvora informacija
1. Spisak referenci
1.1. Harutyunyan E., Levitas G. Zabavna matematika. - M.: AST - PRESS, 1999. - 368 str.
1.2. Belyustina V. Kako su ljudi postepeno došli do prave aritmetike. - LKI, 2012.-208 str.
1.3. Depman I. Priče o matematici. - Leningrad.: Prosveta, 1954. - 140 str.
1.4. Likum A. Sve o svemu. T. 2. - M.: Filološko društvo "Riječ", 1993. - 512 str.
1.5. Olekhnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. Antički zabavni problemi. – M.: Nauka. Glavno izdanje fizičke i matematičke literature, 1985. - 160 str.
1.6. Perelman Ya.I. Zabavna aritmetika. - M.: Rusanova, 1994 - 205s.
1.7. Perelman Ya.I. Brzi račun. Trideset jednostavnih metoda mentalnog brojanja. L.: Lenizdat, 1941 - 12 str.
1.8. Savin A.P. Matematičke sličice. Zabavna matematika za djecu. - M.: Dječija književnost, 1998. - 175 str.
1.9. Enciklopedija za djecu. Matematika. - M.: Avanta +, 2003. - 688 str.
1.10. Poznajem svijet: Dječija enciklopedija: Matematika / komp. Savin A.P., Stanzo V.V., Kotova A.Yu. - M.: AST Publishing House LLC, 2000. - 480 str.
2. Drugi izvori informacija
Internet resursi:
2.1. Korneev A.A. Fenomen ruskog umnožavanja. Priča. [Elektronski izvor]