Pojednostavljeni diskriminant. Kvadratne jednadžbe - primjeri sa rješenjima, karakteristikama i formulama

Diskriminant je dvosmislen pojam. Ovaj članak će se fokusirati na diskriminanta polinoma, koji vam omogućava da odredite da li dati polinom ima realna rješenja. Formula za kvadratni polinom nalazi se u školskom kursu algebre i analize. Kako pronaći diskriminant? Šta je potrebno za rješavanje jednačine?

Kvadratni polinom ili jednačina drugog stepena naziva se i * w ^ 2 + j * w + k jednako 0, gdje su "i" i "j" prvi i drugi koeficijent, redom, "k" je konstanta, ponekad se naziva "presret", a "w" je varijabla. Njegov korijen će biti sve vrijednosti varijable na kojoj se pretvara u identitet. Takva se jednakost može prepisati kao umnožak i, (w - w1) i (w - w2) jednak 0. U ovom slučaju je očito da ako koeficijent "i" ne nestane, onda funkcija na lijeva strana će postati nula samo ako x uzme vrijednost w1 ili w2. Ove vrijednosti su rezultat postavljanja polinoma na nulu.

Da bi se pronašla vrijednost varijable pri kojoj kvadratni polinom nestaje, koristi se pomoćna konstrukcija, izgrađena na njenim koeficijentima i nazvana diskriminanta. Ova konstrukcija se izračunava prema formuli D je jednako j * j - 4 * i * k. Zašto se koristi?

Ona kaže da li postoje validni rezultati.
Ona pomaže da ih izračunate.

Kako ova vrijednost pokazuje prisutnost pravih korijena:

Ako je pozitivan, onda možete pronaći dva korijena u području realnih brojeva.
Ako je diskriminanta nula, tada su oba rješenja ista. Možemo reći da postoji samo jedno rješenje, i to iz područja realnih brojeva.
Ako je diskriminant manji od nule, tada polinom nema realnih korijena.

Opcije proračuna za pričvršćivanje materijala

Za zbir (7 * w^2; 3 * w; 1) jednak 0 izračunavamo D po formuli 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 dobijamo -19. Diskriminantna vrijednost ispod nule ukazuje da nema rezultata na realnoj liniji.

Ako smatramo da je 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 ekvivalentno 0, tada se D izračunava kao (-3) na kvadrat minus proizvod brojeva (4; 2; 1) i jednako je 9 - 8, odnosno 1. Pozitivna vrijednost označava dva rezultata na realnoj pravoj.

Ako uzmemo zbir (w^2; 2 * w; 1) i izjednačimo sa 0, D se računa kao dva na kvadrat minus proizvod brojeva (4; 1; 1). Ovaj izraz će se pojednostaviti na 4 - 4 i okrenuti na nulu. Ispostavilo se da su rezultati isti. Ako pažljivo pogledate ovu formulu, bit će vam jasno da je ovo "pun kvadrat". To znači da se jednakost može prepisati u obliku (w + 1) ^ 2 = 0. Postalo je očigledno da je rezultat u ovom zadatku “-1”. U situaciji u kojoj je D jednako 0, lijeva strana jednakosti se uvijek može skupiti prema formuli „kvadrat zbira“.

Korištenje diskriminanta za izračunavanje korijena

Ova pomoćna konstrukcija ne samo da pokazuje broj stvarnih rješenja, već i pomaže u njihovom pronalaženju. Opća formula za izračunavanje jednačine drugog stepena je sljedeća:

w = (-j +/- d) / (2 * i), gdje je d diskriminanta na stepen 1/2.

Pretpostavimo da je diskriminanta ispod nule, tada je d imaginaran i rezultati su imaginarni.

D je nula, tada je d jednako D na stepen 1/2 također nula. Rješenje: -j / (2 * i). Uzimajući u obzir 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0 ponovo, nalazimo rezultate ekvivalentne -2 / (2 * 1) = -1.

Pretpostavimo da je D > 0, pa je d realan broj, a odgovor se ovdje dijeli na dva dijela: w1 = (-j + d) / (2 * i) i w2 = (-j - d) / (2 * i) . Oba rezultata će biti važeća. Pogledajmo 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Ovdje su diskriminanta i d jedinice. Dakle, w1 je (3 + 1) podijeljeno sa (2 * 2) ili 1, a w2 je (3 - 1) podijeljeno sa 2 * 2 ili 1/2.

Rezultat izjednačavanja kvadratnog izraza sa nulom izračunava se prema algoritmu:

Određivanje broja valjanih rješenja.
Izračun d = D^(1/2).
Pronalaženje rezultata prema formuli (-j +/- d) / (2 * i).
Zamjena dobivenog rezultata u početnoj jednakosti za provjeru.

Neki posebni slučajevi

U zavisnosti od koeficijenata, rješenje se može donekle pojednostaviti. Očigledno, ako je koeficijent ispred varijable na drugi stepen nula, onda se dobija linearna jednakost. Kada je koeficijent ispred varijable nula na prvi stepen, tada su moguće dvije opcije:

polinom se širi u razliku kvadrata sa negativnim slobodnim članom;
za pozitivnu konstantu ne mogu se naći prava rješenja.

Ako je slobodni član nula, tada će korijeni biti (0; -j)

Ali postoje i drugi posebni slučajevi koji pojednostavljuju pronalaženje rješenja.

Redukovana jednačina drugog stepena

Dato se zove takav kvadratni trinom, gdje je koeficijent ispred najvišeg člana jedan. Za ovu situaciju primjenjiva je Vieta teorema koja kaže da je zbir korijena jednak koeficijentu varijable na prvi stepen, pomnožen sa -1, a proizvod odgovara konstanti "k".

Prema tome, w1 + w2 je jednako -j i w1 * w2 je jednako k ako je prvi koeficijent jedan. Da bismo provjerili ispravnost takvog prikaza, možemo izraziti w2 = -j - w1 iz prve formule i zamijeniti je u drugu jednakost w1 * (-j - w1) = k. Rezultat je originalna jednakost w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Važno je napomenuti da se i * w ^ 2 + j * w + k = 0 može smanjiti dijeljenjem sa "i". Rezultat će biti: w^2 + j1 * w + k1 = 0 gdje je j1 jednako j/i, a k1 jednako k/i.

Pogledajmo već riješeno 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 sa rezultatima w1 = 1 i w2 = 1/2. Potrebno ga je podijeliti na pola, kao rezultat, w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Provjerimo da li su uslovi teoreme tačni za pronađene rezultate: 1 + 1/2 = 3/2 i 1 * 1/2 = 1 /2.

Čak i drugi faktor

Ako je faktor varijable na prvi stepen (j) djeljiv sa 2, tada će biti moguće pojednostaviti formulu i tražiti rješenje kroz četvrtinu diskriminanta D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. ispada w = (-j +/- d/2) / i, gdje je d/2 = D/4 na stepen 1/2.

Ako je i = 1, a koeficijent j je paran, tada je rješenje proizvod -1 i polovine koeficijenta u varijabli w, plus/minus korijen kvadrata ove polovine, minus konstanta "k". Formula: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Diskriminant višeg reda

Diskriminant drugog stepena razmatran gore je najčešće korišćen poseban slučaj. U opštem slučaju, diskriminant polinoma je pomnožene kvadrate razlika korijena ovog polinoma. Dakle, diskriminant jednak nuli ukazuje na prisustvo najmanje dva višestruka rješenja.

Uzmimo i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Recimo da je diskriminant veći od nule. To znači da postoje tri korijena u području realnih brojeva. Na nuli postoji više rješenja. Ako je D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Naš video će vam detaljno reći o izračunu diskriminanta.

Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.

Na jednostavniji način. Da biste to učinili, izvadite z iz zagrada. Dobijate: z(az + b) = 0. Faktori se mogu napisati: z=0 i az + b = 0, jer oba mogu rezultirati nulom. U zapisu az + b = 0, drugu pomičemo udesno s drugačijim predznakom. Odavde dobijamo z1 = 0 i z2 = -b/a. Ovo su korijeni originala.

Ako postoji nepotpuna jednadžba oblika az² + c \u003d 0, u ovom slučaju oni se nalaze jednostavnim prenošenjem slobodnog člana na desnu stranu jednačine. Takođe promenite njen znak. Dobijate zapis az² \u003d -s. Izraziti z² = -c/a. Uzmite korijen i zapišite dva rješenja - pozitivnu i negativnu vrijednost kvadratnog korijena.

Bilješka

Ako u jednačini postoje razlomci, pomnožite cijelu jednačinu odgovarajućim faktorom kako biste se riješili razlomaka.

Poznavanje rješavanja kvadratnih jednadžbi potrebno je i školarcima i studentima, ponekad može pomoći odrasloj osobi u svakodnevnom životu. Postoji nekoliko specifičnih metoda odlučivanja.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Kvadratna jednadžba oblika a*x^2+b*x+c=0. Koeficijent x je željena varijabla, a, b, c - numerički koeficijenti. Zapamtite da se znak "+" može promijeniti u znak "-".

Da biste riješili ovu jednačinu, morate koristiti Vietinu teoremu ili pronaći diskriminanta. Najčešći način je pronalaženje diskriminanta, jer za neke vrijednosti a, b, c nije moguće koristiti Vietinu teoremu.

Da biste pronašli diskriminanta (D), morate napisati formulu D=b^2 - 4*a*c. Vrijednost D može biti veća, manja ili jednaka nuli. Ako je D veći ili manji od nule, tada će postojati dva korijena, ako je D = 0, onda ostaje samo jedan korijen, preciznije, možemo reći da D u ovom slučaju ima dva ekvivalentna korijena. Zamijenite poznate koeficijente a, b, c u formulu i izračunajte vrijednost.

Nakon što ste pronašli diskriminanta, da biste pronašli x, koristite formule: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a gdje je sqrt funkcija za uzimanje kvadratnog korijena datog broja. Nakon izračunavanja ovih izraza, naći ćete dva korijena vaše jednadžbe, nakon čega se jednačina smatra riješenom.

Ako je D manji od nule, onda i dalje ima korijene. U školi se ovaj odjeljak praktično ne uči. Studenti bi trebali biti svjesni da se ispod korijena pojavljuje negativan broj. Riješimo ga se odvajanjem imaginarnog dijela, odnosno -1 ispod korijena uvijek je jednako imaginarnom elementu "i", koji se množi korijenom sa istim pozitivnim brojem. Na primjer, ako je D=sqrt(-20), nakon transformacije, dobije se D=sqrt(20)*i. Nakon ove transformacije, rješenje jednadžbe se svodi na isti nalaz korijena, kao što je gore opisano.

Vietin teorem se sastoji u odabiru vrijednosti x(1) i x(2). Koriste se dvije identične jednačine: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Štaviše, vrlo važna tačka je znak ispred koeficijenta b, zapamtite da je ovaj znak suprotan onom u jednačini. Na prvi pogled se čini da je izračunavanje x(1) i x(2) vrlo jednostavno, ali prilikom rješavanja naići ćete na činjenicu da će brojeve morati tačno odabrati.

Elementi za rješavanje kvadratnih jednačina

Prema pravilima matematike, neki se mogu rastaviti na faktore: (a + x (1)) * (b-x (2)) = 0, ako ste uspjeli transformirati ovu kvadratnu jednačinu na ovaj način koristeći matematičke formule, slobodno zapišite odgovor. x(1) i x(2) će biti jednaki susednim koeficijentima u zagradama, ali sa suprotnim predznakom.

Također, ne zaboravite na nepotpune kvadratne jednadžbe. Možda vam nedostaju neki od pojmova, ako je tako, onda su svi njegovi koeficijenti jednostavno jednaki nuli. Ako ispred x^2 ili x nema ništa, tada su koeficijenti a i b jednaki 1.

U modernom društvu, sposobnost rada na jednačinama koje sadrže kvadratnu varijablu može biti korisna u mnogim poljima aktivnosti i široko se koristi u praksi u naučnom i tehničkom razvoju. To se može dokazati dizajnom morskih i riječnih plovila, aviona i projektila. Uz pomoć takvih proračuna određuju se putanje kretanja različitih tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri sa rješenjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektovanju i izgradnji zgrada, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Mogu biti potrebni na kampiranju, na sportskim događajima, u trgovinama prilikom kupovine iu drugim vrlo čestim situacijama.

Podijelimo izraz na faktore komponenti

Stepen jednačine je određen maksimalnom vrijednošću stepena varijable koju dati izraz sadrži. Ako je jednako 2, onda se takva jednadžba naziva kvadratna jednačina.

Ako govorimo jezikom formula, onda se ovi izrazi, ma kako izgledali, uvijek mogu dovesti do oblika kada se lijeva strana izraza sastoji od tri pojma. Među njima: ax 2 (tj. promenljiva na kvadrat sa svojim koeficijentom), bx (nepoznata bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve je to na desnoj strani jednako 0. U slučaju kada takav polinom nema jedan od svojih sastavnih članova, sa izuzetkom ose 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednačina. Prvo treba razmotriti primjere sa rješenjem ovakvih problema, u kojima nije teško pronaći vrijednost varijabli.

Ako izraz izgleda kao da ima dva člana na desnoj strani izraza, tačnije ax 2 i bx, najlakše je pronaći x stavljanjem varijable u zagrade. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x(ax+b). Nadalje, postaje očigledno da je ili x=0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax+b=0. Ovo je diktirano jednim od svojstava množenja. Pravilo kaže da proizvod dva faktora rezultira 0 samo ako je jedan od njih nula.

Primjer

x=0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat, dobijamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Jednačine ove vrste mogu opisati kretanje tijela pod djelovanjem gravitacije, koja su se počela kretati iz određene tačke, uzete kao ishodište. Ovdje matematička notacija poprima sljedeći oblik: y = v 0 t + gt 2 /2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane sa 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme koje je proteklo od trenutka kada se tijelo diže do trenutka kada pada, kao i mnoge druge veličine. Ali o tome ćemo kasnije.

Faktoriranje izraza

Gore opisano pravilo omogućava rješavanje ovih problema u složenijim slučajevima. Razmotrimo primjere sa rješenjem kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

X2 - 33x + 200 = 0

Ovaj kvadratni trinom je potpun. Prvo, transformišemo izraz i dekomponujemo ga na faktore. Ima ih dva: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri sa rješenjem kvadratnih jednadžbi u razredu 9 omogućavaju ovoj metodi da pronađe varijablu u izrazima ne samo drugog, već čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kada se desna strana rastavlja na faktore s promjenljivom, postoje tri od njih, odnosno (x + 1), (x-3) i (x + 3).

Kao rezultat, postaje očigledno da ova jednadžba ima tri korijena: -3; -jedan; 3.

Izdvajanje kvadratnog korijena

Drugi slučaj nepotpune jednačine drugog reda je izraz napisan jezikom slova na način da se desna strana gradi od komponenti ax 2 i c. Ovdje, da bi se dobila vrijednost varijable, slobodni član se prenosi na desnu stranu, a nakon toga se iz obje strane jednakosti izdvaja kvadratni korijen. Treba napomenuti da u ovom slučaju obično postoje dva korijena jednačine. Jedini izuzetak su jednakosti koje uopće ne sadrže pojam c, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada se desna strana pokaže kao negativna. U potonjem slučaju uopće nema rješenja, jer se gore navedene radnje ne mogu izvesti s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednačina ovog tipa.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe će biti brojevi -4 i 4.

Obračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim proračunima pojavila se još u antičko doba, jer je razvoj matematike u tim dalekim vremenima u velikoj mjeri bio rezultat potrebe da se s najvećom preciznošću odrede površine i perimetri zemljišnih parcela.

Treba razmotriti i primjere sa rješenjem kvadratnih jednadžbi sastavljenih na osnovu problema ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravougaoni komad zemlje čija je dužina 16 metara veća od širine. Trebali biste pronaći dužinu, širinu i obim lokacije, ako je poznato da je njegova površina 612 m 2.

Prelazeći na posao, prvo ćemo napraviti potrebnu jednačinu. Označimo širinu presjeka sa x, tada će njegova dužina biti (x + 16). Iz napisanog proizilazi da je površina određena izrazom x (x + 16), koji je, prema uslovu našeg zadatka, 612. To znači da je x (x + 16) = 612.

Rješenje kompletnih kvadratnih jednadžbi, a ovaj izraz je upravo to, ne može se uraditi na isti način. Zašto? Iako njegova lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov proizvod uopće nije jednak 0, pa se ovdje koriste druge metode.

Diskriminantno

Prije svega, izvršit ćemo potrebne transformacije, a zatim će izgled ovog izraza izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 = 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje a=1, b=16, c= -612.

Ovo može biti primjer rješavanja kvadratnih jednačina preko diskriminanta. Ovdje se vrše potrebni proračuni prema šemi: D = b 2 - 4ac. Ova pomoćna vrijednost ne samo da omogućava pronalaženje željenih vrijednosti u jednadžbi drugog reda, već određuje i broj mogućih opcija. U slučaju D>0, postoje dva; za D=0 postoji jedan korijen. U slučaju D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminant je: 256 - 4(-612) = 2704. Ovo ukazuje da naš problem ima odgovor. Ako znate, do, rješavanje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću formule u nastavku. Omogućava vam izračunavanje korijena.

To znači da je u prikazanom slučaju: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcija u ovoj dilemi ne može biti rešenje, jer se veličina parcele ne može meriti negativnim vrednostima, što znači da je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo dužinu: 18+16=34, a obod 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo proučavanje kvadratnih jednadžbi. Primjeri i detaljna rješenja nekoliko njih bit će dati u nastavku.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Prebacimo sve na lijevu stranu jednakosti, izvršimo transformaciju, odnosno dobijemo oblik jednačine, koji se obično naziva standardnim, i izjednačimo ga sa nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Dodavanjem sličnih, određujemo diskriminanta: D = 49 - 48 = 1. Dakle, naša jednadžba će imati dva korijena. Računamo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prvi od njih biti jednak 4/3, a drugi 1.

2) Sada ćemo otkriti zagonetke druge vrste.

Hajde da saznamo da li ovde uopšte postoje koreni x 2 - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili iscrpan odgovor, dovodimo polinom u odgovarajući poznati oblik i izračunavamo diskriminanta. U ovom primjeru nije potrebno rješavati kvadratnu jednačinu, jer suština problema uopće nije u tome. U ovom slučaju, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, što znači da zaista nema korijena.

Vietin teorem

Kvadratne jednadžbe je prikladno rješavati preko gornjih formula i diskriminanta, kada se kvadratni korijen izvuče iz vrijednosti potonjeg. Ali to se ne dešava uvek. Međutim, u ovom slučaju postoji mnogo načina da se dobiju vrijednosti varijabli. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme. Ime je dobio po čovjeku koji je živio u Francuskoj u 16. vijeku i imao briljantnu karijeru zahvaljujući svom matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov portret se može vidjeti u članku.

Obrazac koji je slavni Francuz uočio bio je sljedeći. On je dokazao da je zbir korijena jednadžbe jednak -p=b/a, a njihov proizvod odgovara q=c/a.

Pogledajmo sada konkretne zadatke.

3x2 + 21x - 54 = 0

Radi jednostavnosti, transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Koristeći Vietinu teoremu, ovo će nam dati sljedeće: zbir korijena je -7, a njihov proizvod je -18. Odavde dobijamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere, uvjerit ćemo se da se ove vrijednosti varijabli zaista uklapaju u izraz.

Grafikon i jednadžba parabole

Koncepti kvadratne funkcije i kvadratne jednadžbe su usko povezani. Primjeri za to su već navedeni ranije. Pogledajmo sada neke matematičke zagonetke malo detaljnije. Bilo koja jednačina opisanog tipa može se vizualno prikazati. Takva zavisnost, nacrtana u obliku grafa, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno tačku iz koje izlaze njene grane. Ako je a>0, idu visoko do beskonačnosti, a kada je a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuelni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući i one kvadratne. Ova metoda se naziva grafička. A vrijednost varijable x je koordinata apscise u tačkama gdje se linija grafikona seče sa 0x. Koordinate vrha se mogu naći po formuli koja je upravo data x 0 = -b / 2a. I, zamjenom rezultirajuće vrijednosti u originalnu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole koji pripada y-osi.

Presjek grana parabole sa osom apscise

Postoji mnogo primjera sa rješenjem kvadratnih jednadžbi, ali postoje i opći obrasci. Hajde da ih razmotrimo. Jasno je da je presjek grafa sa 0x osom za a>0 moguć samo ako y 0 ima negativne vrijednosti. I za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole možete odrediti i korijene. I obrnuto je tačno. To jest, ako nije lako dobiti vizualni prikaz kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza sa 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu. A znajući tačke preseka sa 0x osom, lakše je crtati.

Iz istorije

Uz pomoć jednadžbi koje sadrže kvadratnu varijablu, u starim danima, nisu samo vršili matematičke proračune i određivali površinu geometrijskih oblika. Drevnima su takvi proračuni bili potrebni za grandiozna otkrića u oblasti fizike i astronomije, kao i za pravljenje astroloških prognoza.

Kao što sugerišu savremeni naučnici, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su rešili kvadratne jednačine. Desilo se to četiri veka pre dolaska naše ere. Naravno, njihovi proračuni su se suštinski razlikovali od onih koji su trenutno prihvaćeni i ispostavili se da su mnogo primitivniji. Na primjer, mesopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Takođe nisu bili upoznati sa drugim suptilnostima koje su poznate bilo kom studentu našeg vremena.

Možda čak i ranije od babilonskih naučnika, mudrac iz Indije, Baudhajama, preuzeo je rješenje kvadratnih jednačina. To se dogodilo oko osam vekova pre dolaska Hristove ere. Istina, jednačine drugog reda, metode za rješavanje koje je on dao, bile su najjednostavnije. Pored njega, za slična pitanja u stara vremena su se zanimali i kineski matematičari. U Evropi su kvadratne jednačine počele da se rešavaju tek početkom 13. veka, ali su ih kasnije u svom radu koristili veliki naučnici kao što su Newton, Descartes i mnogi drugi.

Među cjelokupnim predmetom školskog programa algebre, jedna od najobimnijih tema je tema kvadratnih jednačina. U ovom slučaju, kvadratna jednačina se razumije kao jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0 (čita: pomnoženo sa x na kvadrat plus be x plus ce jednako je nuli, gdje je a nije jednako nuli). U ovom slučaju, glavno mjesto zauzimaju formule za pronalaženje diskriminanta kvadratne jednadžbe navedenog tipa, što se podrazumijeva kao izraz koji vam omogućava da odredite prisustvo ili odsustvo korijena u kvadratnoj jednadžbi, kao i njihov broj (ako postoji).

Formula (jednačina) diskriminanta kvadratne jednačine

Općenito prihvaćena formula za diskriminant kvadratne jednadžbe je sljedeća: D \u003d b 2 - 4ac. Izračunavanjem diskriminanta pomoću naznačene formule ne može se samo odrediti prisutnost i broj korijena kvadratne jednadžbe, već se može odabrati i metod za pronalaženje ovih korijena, kojih ima nekoliko ovisno o vrsti kvadratne jednadžbe.

Šta to znači ako je diskriminanta nula \ Formula korijena kvadratne jednadžbe ako je diskriminanta nula

Diskriminanta se, kako slijedi iz formule, označava latiničnim slovom D. U slučaju kada je diskriminanta nula, treba zaključiti da je kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0 , ima samo jedan korijen, koji se izračunava iz pojednostavljene formule. Ova formula se primjenjuje samo kada je diskriminanta nula i izgleda ovako: x = –b/2a, gdje je x korijen kvadratne jednačine, b i a su odgovarajuće varijable kvadratne jednačine. Da biste pronašli korijen kvadratne jednadžbe, potrebno je podijeliti negativnu vrijednost varijable b dvostrukom vrijednošću varijable a. Rezultirajući izraz će biti rješenje kvadratne jednadžbe.

Rješavanje kvadratne jednadžbe preko diskriminanta

Ako se pri izračunavanju diskriminanta po gornjoj formuli dobije pozitivna vrijednost (D je veći od nule), tada kvadratna jednadžba ima dva korijena, koji se izračunavaju pomoću sljedećih formula: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. Najčešće se diskriminanta ne izračunava zasebno, već se korijenski izraz u obliku diskriminantne formule jednostavno zamjenjuje u vrijednost D, iz koje se izvlači korijen. Ako varijabla b ima parnu vrijednost, tada za izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0, možete koristiti i sljedeće formule: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, gdje je k = b/2.

U nekim slučajevima, za praktično rješenje kvadratnih jednadžbi, možete koristiti Vieta teoremu, koja kaže da je za zbir korijena kvadratne jednadžbe oblika x 2 + px + q \u003d 0 vrijednost x 1 + x 2 \u003d -p bit će istinito, a za proizvod korijena navedene jednadžbe - izraz x 1 x x 2 = q.

Može li diskriminant biti manji od nule?

Prilikom izračunavanja vrijednosti diskriminanta može se naići na situaciju koja ne spada ni u jedan od opisanih slučajeva – kada diskriminant ima negativnu vrijednost (odnosno manju od nule). U ovom slučaju smatra se da kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0, nema realne korijene, stoga će njeno rješenje biti ograničeno na izračunavanje diskriminante, a gornje formule za korijeni kvadratne jednadžbe u ovom slučaju neće primjenjivati volju. Istovremeno, u odgovoru na kvadratnu jednačinu piše da „jednačina nema realnih korijena“.

Video objašnjenja:

Kopyevskaya ruralna srednja škola

10 načina za rješavanje kvadratnih jednačina

Rukovodilac: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

nastavnik matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne jednačine u Evropi XIII - XVII vijeka

1.6 O Vietinoj teoremi

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Zaključak

Književnost

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina kopna i zemljanih radova vojnog karaktera, kao i razvojem astronomije i sama matematika. Kvadratne jednačine su uspjele riješiti oko 2000 godina prije Krista. e. Babilonci.

Primjenjujući modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, navedeno u vavilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni.

Uprkos visokom nivou razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode za rešavanje kvadratnih jednačina.

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine.

Diofantova aritmetika ne sadrži sistematsko izlaganje algebre, ali sadrži sistematski niz zadataka, praćenih objašnjenjima i rešavanih sastavljanjem jednačina različitih stepeni.

Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 11."Pronađi dva broja znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96"

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta zadatka proizlazi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda njihov proizvod ne bi bio 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti više od polovine njihovog zbir, tj. 10+x, drugi je manji, tj. 10's. Razlika između njih 2x .

Otuda jednačina:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12 , ostalo 8 . Rješenje x = -2 jer Diofant ne postoji, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj problem riješimo odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznatog, onda ćemo doći do rješenja jednačine

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznatu; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi za kvadratne jednačine se već nalaze u astronomskom traktu "Aryabhattam", koji je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

U jednačini (1), koeficijenti, osim za a, također može biti negativan. Brahmaguptino pravilo se u suštini poklapa s našim.

U staroj Indiji javna takmičenja u rješavanju teških problema bila su uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže se sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba zasjeniti slavu drugoga na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme.“ Zadaci su često bili obučeni u poetsku formu.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII veka. Bhaskara.

Zadatak 13.

“Razžureno jato majmuna I dvanaest u vinovoj lozi...

Pojevši snagu, zabavio se. Počeli su skakati, vješati se...

Osmi dio njih u kvadratu Koliko je majmuna bilo,

Zabavljati se na livadi. Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje ukazuje da je znao za dvovrijednost korijena kvadratnih jednačina (slika 3).

Jednačina koja odgovara problemu 13 je:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod maskom:

x 2 - 64x = -768

i, da bi dopunio lijevu stranu ove jednadžbe u kvadrat, on sabira obje strane 32 2 , dobijajući tada:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmiju

Al-Khorezmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. ax 2 + c = b X.

2) "Kvadrati su jednaki broju", tj. ax 2 = s.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ah = s.

4) "Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima", tj. ax 2 + c = b X.

5) "Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ah 2+ bx = s.

6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj. bx + c \u003d sjekira 2.

Za al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su zbrajanja, a ne oduzimanja. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor iznosi metode za rješavanje ovih jednačina, koristeći metode al-jabr i al-muqabala. Njegove odluke se, naravno, ne poklapaju u potpunosti s našim. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti, na primjer, da prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al-Horezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerovatno zato što ono nije bitno u konkretnim praktičnim problemima. Prilikom rješavanja kompletnih kvadratnih jednadžbi, al-Khorezmi postavlja pravila za rješavanje, a zatim i geometrijske dokaze, koristeći određene numeričke primjere.

Zadatak 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (pod pretpostavkom da je korijen jednadžbe x 2 + 21 = 10x).

Autorovo rješenje glasi otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od proizvoda, ostaje 4. Uzmite korijen od 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5, vi ćete dobiti 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Traktat al - Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sistematski navedena klasifikacija kvadratnih jednačina i date formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u Evropi XIII - XVII vekovima

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina po modelu al-Horezmija u Evropi su prvi put izložene u "Knjizi Abacusa", koju je 1202. godine napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako u zemljama islama tako i u staroj Grčkoj, odlikuje se i potpunošću i jasnoćom izlaganja. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi zadaci iz "Knjige Abakusa" ušli su u gotovo sve evropske udžbenike 16. - 17. vijeka. i dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

x 2+ bx = sa,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b , With je u Evropi formulisao M. Stiefel tek 1544. godine.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Uzmite u obzir, pored pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII veku. Zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, način rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan izgled.

1.6 O Vietinoj teoremi

Teoremu koja izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njenih korijena, koji nosi ime Vieta, on je prvi put formulirao 1591. godine na sljedeći način: „Ako B + D pomnoženo sa A - A 2 , jednako BD, onda A jednaki AT i jednaki D ».

Da biste razumeli Vietu, morate to zapamtiti ALI, kao i svaki samoglasnik, za njega je značio nepoznato (naš X), samoglasnici AT, D- koeficijenti za nepoznato. Na jeziku moderne algebre, Vietina formulacija iznad znači: ako

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Izražavajući odnos između korijena i koeficijenata jednačina općim formulama ispisanim pomoću simbola, Viet je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednačina. Međutim, simbolika Viete je još uvijek daleko od svog modernog oblika. Nije prepoznao negativne brojeve, pa je pri rješavanju jednačina razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednačina. Svi znamo rješavati kvadratne jednačine od škole (8. razred) do mature.