Jednačina kretanja harmonijskih vibracija. Harmonične oscilacije – Hipermarket znanja

Mehaničke vibracije. Oscilacijski parametri. Harmonične vibracije.

Oklevanje je proces koji se ponavlja tačno ili približno u određenim intervalima.

Posebnost oscilacija je obavezno prisustvo stabilnog ravnotežnog položaja na putanji, u kojoj je zbir svih sila koje djeluju na tijelo jednak nuli, naziva se ravnotežni položaj.

Matematičko klatno je materijalna tačka okačena na tanku, bestežinsku i nerastezljivu nit.

Parametri oscilatornog kretanja.

1. Offset ili koordinata (x) – odstupanje od ravnotežnog položaja u datom

trenutak vremena.	[x ]=m

2. Amplituda ( Xm) – maksimalno odstupanje od ravnotežnog položaja.

[ X m ]=m

3. period oscilacije ( T) - vrijeme potrebno da se završi jedna potpuna oscilacija.

[T ]=c.

0 " style="margin-left:31.0pt;border-collapse:collapse">

Matematičko klatno

Opružno klatno

m

https://pandia.ru/text/79/117/images/image006_26.gif" width="134" height="57 src="> Frekvencija (linearna) ( n ) – broj kompletnih oscilacija u 1 s.

[n]= Hz

5. Ciklična frekvencija ( w ) – broj kompletnih oscilacija u 2p sekunde, tj. za otprilike 6,28 s.

w = 2pn ; [w] =0 " style="margin-left:116.0pt;border-collapse:collapse">

https://pandia.ru/text/79/117/images/image012_9.jpg" width="90" height="103">

Senka na ekranu se koleba.

Jednadžba i graf harmonijskih vibracija.

Harmonične vibracije - to su oscilacije kod kojih se koordinata mijenja tokom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image014_7.jpg" width="254" height="430 src="> x=Xmgrijeh(w t+j 0 )

x=Xmcos(w t+j 0 )

x – koordinata,

Xm – amplituda vibracije,

w – ciklična frekvencija,

w t +j 0 = j – faza oscilovanja,

j 0 – početna faza oscilacija.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image016_4.jpg" width="247" height="335 src=">

Grafikoni su različiti samo amplituda

Grafikoni se razlikuju samo po periodu (učestalosti)

https://pandia.ru/text/79/117/images/image018_3.jpg" width="204" height="90 src=">

Ako se amplituda oscilacija ne mijenja tokom vremena, oscilacije se nazivaju neprigušeni.

Prirodne vibracije ne uzimaju u obzir trenje, ukupna mehanička energija sistema ostaje konstantna: E k + E n = E krzno = konst.

Prirodne oscilacije su neprigušene.

Kod prisilnih oscilacija, energija koja se kontinuirano ili periodično dovodi iz vanjskog izvora nadoknađuje gubitke koji nastaju zbog rada sile trenja, a oscilacije mogu biti neprigušene.

Kinetička i potencijalna energija tijela pretvaraju se jedna u drugu tokom vibracija. Kada je odstupanje sistema od ravnotežnog položaja maksimalno, potencijalna energija je maksimalna, a kinetička energija nula. Prilikom prolaska kroz ravnotežni položaj, obrnuto je.

Frekvencija slobodnih oscilacija određena je parametrima oscilatornog sistema.

Frekvencija prisilnih oscilacija određena je frekvencijom vanjske sile. Amplituda prisilnih oscilacija također ovisi o vanjskoj sili.

Rezonancija c

Rezonancija naziva se naglo povećanje amplitude prisilnih oscilacija kada se frekvencija vanjske sile poklapa sa frekvencijom prirodnih oscilacija sistema.

Kada se frekvencija w promjene sile poklopi sa prirodnom frekvencijom w0 oscilacija sistema, sila vrši pozitivan rad u cijelom, povećavajući amplitudu oscilacija tijela. Na bilo kojoj drugoj frekvenciji, tokom jednog dela perioda sila radi pozitivan rad, au drugom delu perioda negativan rad.

Tokom rezonancije, povećanje amplitude oscilacija može dovesti do uništenja sistema.

1905. godine, pod kopitima eskadrile gardijske konjice, srušio se Egipatski most preko rijeke Fontanke u Sankt Peterburgu.

Samooscilacije.

Autooscilacije su neprigušene oscilacije u sistemu, podržane unutrašnjim izvorima energije u odsustvu uticaja spoljašnje promene sile.

Za razliku od prisilnih oscilacija, frekvencija i amplituda samooscilacija određuju se osobinama samog oscilatornog sistema.

Samooscilacije se razlikuju od slobodnih oscilacija po nezavisnosti amplitude od vremena i od početnog kratkotrajnog uticaja koji pobuđuje proces oscilovanja. Samooscilirajući sistem se obično može podijeliti na tri elementa:

1) oscilatorni sistem;

2) izvor energije;

3) povratni uređaj koji reguliše protok energije iz izvora u oscilatorni sistem.

Energija koja se isporučuje iz izvora tokom perioda jednaka je energiji izgubljenoj u oscilatornom sistemu tokom istog vremena.

Oscilacije pokreti ili procesi koji se odlikuju određenom ponovljivošću tokom vremena nazivaju se. Oscilacije su rasprostranjene u okolnom svijetu i mogu imati vrlo različitu prirodu. To mogu biti mehaničke (klatno), elektromagnetne (oscilatorno kolo) i druge vrste vibracija.
Besplatno, ili vlastiti Oscilacije se nazivaju oscilacije koje se javljaju u sistemu prepuštenom samom sebi, nakon što je eksternim uticajem doveden iz ravnoteže. Primjer je oscilacija lopte okačene na niti.

Posebna uloga u oscilatornim procesima ima najjednostavniji oblik oscilacija - harmonijske vibracije. Harmonične oscilacije su u osnovi jedinstvenog pristupa proučavanju oscilacija različite prirode, budući da su oscilacije koje se nalaze u prirodi i tehnologiji često bliske harmonijskim, a periodični procesi drugačijeg oblika mogu se predstaviti kao superpozicija harmonijskih oscilacija.

Harmonične vibracije nazivaju se takve oscilacije kod kojih se oscilirajuća veličina mijenja s vremenom prema zakonu sine ili kosinus.

Harmonic Equationima oblik:

gdje je A - amplituda vibracije (veličina najvećeg odstupanja sistema od ravnotežnog položaja); -kružna (ciklička) frekvencija. Poziva se argument kosinusa koji se periodično mijenja faza oscilovanja . Faza oscilovanja određuje pomak oscilirajuće veličine iz ravnotežnog položaja u datom trenutku t. Konstanta φ predstavlja vrijednost faze u trenutku t = 0 i naziva se početna faza oscilovanja . Vrijednost početne faze određena je izborom referentne tačke. Vrijednost x može imati vrijednosti u rasponu od -A do +A.

Vremenski interval T kroz koji se ponavljaju određena stanja oscilatornog sistema, nazvan periodom oscilovanja . Kosinus je periodična funkcija sa periodom od 2π, dakle, tokom perioda T, nakon kojeg će faza oscilovanja dobiti prirast jednak 2π, stanje sistema koji vrši harmonijske oscilacije će se ponoviti. Ovaj vremenski period T naziva se period harmonijskih oscilacija.

Period harmonijskih oscilacija je jednak : T = 2π/ .

Naziva se broj oscilacija u jedinici vremena frekvencija vibracija ν.
Harmonska frekvencija je jednako: ν = 1/T. Jedinica frekvencije herca(Hz) - jedna oscilacija u sekundi.

Kružna frekvencija = 2π/T = 2πν daje broj oscilacija u 2π sekundi.

Grafički, harmonijske oscilacije se mogu prikazati kao zavisnost x od t (slika 1.1.A), a metoda rotirajuće amplitude (metoda vektorskog dijagrama)(Sl.1.1.B) .

Metoda rotirajuće amplitude omogućava vam da vizualizirate sve parametre uključene u jednadžbu harmonijskih vibracija. Zaista, ako je vektor amplitude A lociran pod uglom φ prema x-osi (vidi sliku 1.1. B), tada će njegova projekcija na x-osu biti jednaka: x = Acos(φ). Ugao φ je početna faza. Ako je vektor A dovesti u rotaciju s ugaonom brzinom jednakom kružnoj frekvenciji oscilacija, tada će se projekcija kraja vektora kretati duž x osi i poprimiti vrijednosti u rasponu od -A do +A, a koordinata ove projekcije će mijenjati se tokom vremena u skladu sa zakonom:
.

Dakle, dužina vektora jednaka je amplitudi harmonijske oscilacije, smjer vektora u početnom trenutku formira ugao sa x osom jednak početnoj fazi oscilacija φ, a promjena ugla smjera sa vremenom jednaka je fazi harmonijskih oscilacija. Vrijeme za koje vektor amplitude napravi jedan puni okret jednako je periodu T harmonijskih oscilacija. Broj obrtaja vektora u sekundi jednak je frekvenciji oscilovanja ν.

>>Harmonične vibracije

§ 22 HARMONIČKE VIBRACIJE

Znajući kako su ubrzanje i koordinata tijela koje oscilira međusobno povezani, moguće je, na osnovu matematičke analize, pronaći ovisnost koordinate o vremenu.

Ubrzanje je drugi izvod koordinate u odnosu na vrijeme. Trenutna brzina tačke, kao što znate iz kursa matematike, je derivacija koordinata tačke u odnosu na vreme. Ubrzanje tačke je izvod njene brzine u odnosu na vreme, ili drugi izvod koordinate u odnosu na vreme. Prema tome, jednačina (3.4) se može napisati na sljedeći način:

gdje je x " - drugi izvod koordinate u odnosu na vrijeme. Prema jednačini (3.11), za vrijeme slobodnih oscilacija, koordinata x se mijenja s vremenom tako da je drugi izvod koordinate u odnosu na vrijeme direktno proporcionalan samoj koordinati i suprotan je predznakom.

Iz kursa matematike je poznato da su drugi izvodnici sinusa i kosinusa s obzirom na njihov argument proporcionalni samim funkcijama, uzetim sa suprotnim predznakom. Matematička analiza dokazuje da nijedna druga funkcija nema ovo svojstvo. Sve ovo nam omogućava da opravdano tvrdimo da se koordinata tijela koje vrši slobodne oscilacije mijenja tokom vremena prema zakonu sinusa ili pasina. Slika 3.6 prikazuje promjenu koordinata tačke tokom vremena prema kosinusnom zakonu.

Periodične promjene fizičke veličine u zavisnosti od vremena, koje se dešavaju prema zakonu sinusa ili kosinusa, nazivaju se harmonijskim oscilacijama.

Amplituda oscilacija. Amplituda harmonijskih oscilacija je modul najvećeg pomaka tijela iz njegovog ravnotežnog položaja.

Amplituda može imati različite vrijednosti u zavisnosti od toga koliko smo pomaknuli tijelo iz ravnotežnog položaja u početnom trenutku vremena, ili od brzine kojom se tijelo prenosi. Amplituda je određena početnim uslovima, tačnije energijom koja se prenosi na tijelo. Ali maksimalne vrijednosti sinusnog modula i kosinusnog modula jednake su jedan. Stoga se rješenje jednačine (3.11) ne može izraziti jednostavno kao sinus ili kosinus. Trebao bi biti u obliku proizvoda amplitude oscilacije x m po sinusnom ili kosinusnom.

Rješenje jednadžbe koja opisuje slobodne vibracije. Zapišimo rješenje jednačine (3.11) u sljedećem obliku:

a drugi izvod će biti jednak:

Dobili smo jednačinu (3.11). Prema tome, funkcija (3.12) je rješenje izvorne jednačine (3.11). Rješenje ove jednadžbe će također biti funkcija

Grafikon tjelesnih koordinata u odnosu na vrijeme prema (3.14) je kosinusni val (vidi sliku 3.6).

Period i frekvencija harmonijskih oscilacija. Prilikom osciliranja, pokreti tijela se periodično ponavljaju. Vremenski period T tokom kojeg sistem završava jedan potpuni ciklus oscilacija naziva se period oscilacija.

Poznavajući period, možete odrediti frekvenciju oscilacija, odnosno broj oscilacija u jedinici vremena, na primjer u sekundi. Ako se jedna oscilacija dogodi u vremenu T, tada je broj oscilacija u sekundi

U Međunarodnom sistemu jedinica (SI), frekvencija oscilovanja je jednaka jedan ako postoji jedna oscilacija u sekundi. Jedinica frekvencije naziva se herc (skraćeno: Hz) u čast njemačkog fizičara G. Herca.

Broj oscilacija u 2 s je jednak:

Količina je ciklična, ili kružna, frekvencija oscilacija. Ako je u jednačini (3.14) vrijeme t jednako jednom periodu, onda je T = 2. Dakle, ako je u trenutku t = 0 x = x m, tada u vrijeme t = T x = x m, tj. kroz vremenski period jednak jedan perioda, oscilacije se ponavljaju.

Frekvencija slobodnih vibracija određena je prirodnom frekvencijom oscilatornog sistema 1.

Zavisnost frekvencije i perioda slobodnih oscilacija o svojstvima sistema. Prirodna frekvencija vibracije tijela pričvršćenog za oprugu, prema jednačini (3.13), jednaka je:

Što je veća krutost opruge k, to je veća, a što je manja, veća je tjelesna masa m. Ovo je lako razumjeti: kruta opruga daje veće ubrzanje tijelu i brže mijenja brzinu tijela. I što je tijelo masivnije, sporije mijenja brzinu pod utjecajem sile. Period oscilovanja je jednak:

Imajući skup opruga različite krutosti i tijela različite mase, lako je iz iskustva provjeriti da formule (3.13) i (3.18) ispravno opisuju prirodu zavisnosti i T od k i m.

Zanimljivo je da period oscilovanja tela na oprugi i period oscilovanja klatna pri malim uglovima otklona ne zavise od amplitude oscilacija.

Modul koeficijenta proporcionalnosti između ubrzanja t i pomaka x u jednačini (3.10), koja opisuje oscilacije klatna, je, kao i u jednačini (3.11), kvadrat ciklične frekvencije. Prema tome, prirodna frekvencija oscilacije matematičkog klatna pri malim uglovima odstupanja niti od vertikale zavisi od dužine klatna i ubrzanja gravitacije:

Ovu formulu je prvi dobio i eksperimentalno testirao holandski naučnik G. Huygens, savremenik I. Newtona. Vrijedi samo za male kutove skretanja navoja.

1 Često ćemo u nastavku, radi sažetosti, jednostavno nazivati ​​cikličnu frekvenciju frekvencijom. Možete razlikovati cikličnu frekvenciju od normalne frekvencije notacijom.

Period oscilovanja se povećava sa povećanjem dužine klatna. Ne zavisi od mase klatna. To se lako može eksperimentalno provjeriti s raznim klatnama. Može se otkriti i ovisnost perioda oscilovanja o ubrzanju gravitacije. Što je g manji, duži je period oscilovanja klatna i, prema tome, sat klatna teče sporije. Tako će sat sa klatnom u obliku utega na štapu zaostajati za skoro 3 s dnevno ako se podigne iz podruma na gornji sprat Moskovskog univerziteta (visina 200 m). A to je samo zbog smanjenja ubrzanja slobodnog pada s visinom.

U praksi se koristi zavisnost perioda oscilovanja klatna od vrednosti g. Mjerenjem perioda oscilovanja, g se može vrlo precizno odrediti. Ubrzanje gravitacije mijenja se s geografskom širinom. Ali čak i na određenoj geografskoj širini nije svuda isto. Uostalom, gustina zemljine kore nije svuda ista. U područjima gdje se pojavljuju guste stijene, ubrzanje g je nešto veće. Ovo se uzima u obzir pri traženju minerala.

Dakle, željezna ruda ima veću gustinu u odnosu na obične stijene. Mjerenja ubrzanja gravitacije u blizini Kurska, provedena pod vodstvom akademika A. A. Mihajlova, omogućila su razjašnjavanje lokacije željezne rude. Prvo su otkriveni magnetnim mjerenjima.

Svojstva mehaničkih vibracija koriste se u uređajima većine elektronskih vaga. Tijelo koje se vaga postavlja se na platformu ispod koje je ugrađena kruta opruga. Kao rezultat, nastaju mehaničke vibracije, čija frekvencija se mjeri odgovarajućim senzorom. Mikroprocesor povezan sa ovim senzorom pretvara frekvenciju oscilovanja u masu tijela koje se vaga, jer ta frekvencija ovisi o masi.

Rezultirajuće formule (3.18) i (3.20) za period oscilovanja pokazuju da period harmonijskih oscilacija zavisi od parametara sistema (krutost opruge, dužina navoja, itd.)

Myakishev G. Ya., Physics. 11. razred: vaspitni. za opšte obrazovanje institucije: osnovne i profilne. nivoi / G. Ya Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; uređeno od V. I. Nikolaeva, N. A. Parfentieva. - 17. izd., revidirano. i dodatne - M.: Obrazovanje, 2008. - 399 str.: ilustr.

Kompletan spisak tema po razredima, kalendarski plan prema školskom planu i programu fizike online, video materijal o fizici za 11. razred download

Sadržaj lekcije beleške sa lekcija podrška okvirnoj prezentaciji lekcija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike, grafike, tabele, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, ukrštene riječi, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za radoznale jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku, elementi inovacije u lekciji, zamjena zastarjelog znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu; Integrisane lekcije

§ 6. MEHANIČKE VIBRACIJEOsnovne formule

Harmonic Equation

Gdje X - pomicanje oscilirajuće tačke iz ravnotežnog položaja; t- vrijeme; A,ω, φ - amplituda, ugaona frekvencija, početna faza oscilacija, respektivno; - faza oscilacija u ovom trenutku t.

Ugaona frekvencija

gdje su ν i T frekvencija i period oscilacija.

Brzina tačke koja vrši harmonijske oscilacije je

Ubrzanje tokom harmonijskih oscilacija

Amplituda A rezultujuća oscilacija dobijena zbrajanjem dve oscilacije sa istim frekvencijama, koje se javljaju duž jedne prave linije, određena je formulom

Gdje a 1 I A 2 - amplitude vibracijskih komponenti; φ 1 i φ 2 su njihove početne faze.

Početna faza φ rezultirajuće oscilacije može se naći iz formule

Frekvencija otkucaja koja nastaje pri sabiranju dvije oscilacije koje se javljaju duž jedne prave linije s različitim, ali sličnim frekvencijama ν 1 i ν 2,

Jednadžba putanje tačke koja učestvuje u dvije međusobno okomite oscilacije sa amplitudama A 1 i A 2 i početnim fazama φ 1 i φ 2,

Ako su početne faze φ 1 i φ 2 komponenti oscilovanja iste, tada jednačina putanje ima oblik

odnosno tačka se kreće pravolinijski.

U slučaju da je fazna razlika , jednačina poprima oblik

odnosno tačka se kreće duž elipse.

Diferencijalna jednadžba harmonijskih oscilacija materijalne tačke

Ili, gdje je m masa tačke; k- koeficijent kvazielastične sile ( k=Tω 2).

Ukupna energija materijalne tačke koja vrši harmonijske oscilacije je

Period oscilovanja tela okačenog na oprugu (opružno klatno)

Gdje m- tjelesna masa; k- krutost opruge. Formula vrijedi za elastične vibracije u granicama u kojima je zadovoljen Hookeov zakon (sa malom masom opruge u odnosu na masu tijela).

Period oscilovanja matematičkog klatna

Gdje l- dužina klatna; g- ubrzanje gravitacije. Period oscilovanja fizičkog klatna

Gdje J- moment inercije oscilirajućeg tijela u odnosu na osu

oklijevanje; A- udaljenost centra mase klatna od ose oscilovanja;

Smanjena dužina fizičkog klatna.

Date formule su tačne za slučaj infinitezimalnih amplituda. Za konačne amplitude, ove formule daju samo približne rezultate. Pri amplitudama ne većim od, greška u vrijednosti perioda ne prelazi 1%.

Period torzionih vibracija tijela okačenog na elastični navoj je

Gdje J- moment inercije tijela u odnosu na osu koja se poklapa s elastičnim navojem; k- krutost elastične niti, jednaka omjeru momenta elastičnosti koji nastaje kada je konac uvijen prema kutu pod kojim je konac uvrnut.

Diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija, ili,

Gdje r- koeficijent otpora; δ - koeficijent slabljenja: ; ω 0 - prirodna ugaona frekvencija oscilacija *

Jednačina prigušenih oscilacija

Gdje A(t)- amplituda prigušenih oscilacija u ovom trenutku t;ω je njihova ugaona frekvencija.

Ugaona frekvencija prigušenih oscilacija

O Zavisnost amplitude prigušenih oscilacija od vremena

Gdje A 0 - amplituda oscilacija u trenutku t=0.

Dekrement logaritamskih oscilacija

Gdje A(t) I A(t+T)- amplitude dvije uzastopne oscilacije razdvojene u vremenu periodom.

Diferencijalna jednadžba prisilnih oscilacija

gdje je vanjska periodična sila koja djeluje na oscilirajuću materijalnu tačku i uzrokuje prisilne oscilacije; F 0 - vrijednost njegove amplitude;

Amplituda prisilnih oscilacija

Rezonantna frekvencija i rezonantna amplituda i

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1. Tačka oscilira po zakonu x(t)= , Gdje A=2 vidi Odrediti početnu fazu φ if

x(0)= cm i X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Rješenje. t Koristimo jednačinu kretanja i izrazimo pomak u ovom trenutku

=0 kroz početnu fazu:

Odavde nalazimo početnu fazu:

* U prethodno datim formulama za harmonijske vibracije, ista veličina je označena jednostavno ω (bez indeksa 0). x Zamijenimo date vrijednosti u ovaj izraz (0) iφ= = O:

. Vrijednost argumenta je zadovoljena sa dvije vrijednosti ugla:

Da bismo odlučili koja od ovih vrijednosti ugla φ također zadovoljava uvjet, prvo nalazimo: t Zamjena vrijednosti u ovaj izraz

=0 i naizmjenično vrijednosti početnih faza i , nalazimo T kao i uvijek A

>0 i ω>0, tada samo prva vrijednost početne faze zadovoljava uvjet. Dakle, željena početna faza Koristeći pronađenu vrijednost φ, konstruiramo vektorski dijagram (slika 6.1). Primjer 2. T Materijalna tačka sa masom ν =5 g vrši harmonijske oscilacije sa frekvencijom kao i uvijek=0,5 Hz. Amplituda oscilacije =3 cm Odrediti: 1) brzinu υ tačke u trenutku kada je pomak x= = 1,5 cm; 2) maksimalna sila F max koja deluje na tačku; 3) Fig. 6.1 ukupna energija E

oscilirajuća tačka.

i dobijamo formulu brzine uzimajući prvi vremenski izvod pomaka: A 2 , Za izražavanje brzine kroz pomak potrebno je isključiti vrijeme iz formula (1) i (2). Da bismo to učinili, kvadriramo obje jednadžbe i prvu podijelimo sa

drugi na A 2 ω 2 i dodajte: , Nakon što smo riješili posljednju jednačinu za υ

naći ćemo

Nakon što smo izvršili proračune koristeći ovu formulu, dobijamo Znak plus odgovara slučaju kada se smjer brzine poklapa s pozitivnim smjerom ose X, znak minus - kada se smjer brzine poklapa sa negativnim smjerom ose

X.

Pomak za vrijeme harmonijske oscilacije, pored jednačine (1), može se odrediti i jednačinom

Ponavljajući isto rješenje sa ovom jednačinom, dobijamo isti odgovor.

Gdje 2. Pronalazimo silu koja djeluje na tačku koristeći Newtonov drugi zakon: A -

ubrzanje tačke, koje dobijamo uzimanjem vremenskog izvoda brzine:

Zamjenom izraza ubrzanja u formulu (3) dobijamo

Otuda maksimalna vrijednost sile T I Zamjenom vrijednosti π, ν u ovu jednačinu, Nakon što smo riješili posljednju jednačinu za υ

3. Ukupna energija oscilirajuće tačke je zbir kinetičke i potencijalne energije izračunate za bilo koji trenutak u vremenu.

Najlakši način da se izračuna ukupna energija je u trenutku kada kinetička energija dostigne svoju maksimalnu vrijednost. U ovom trenutku potencijalna energija je nula. Dakle, ukupna energija E oscilirajuća tačka jednaka je maksimalnoj kinetičkoj energiji

Maksimalnu brzinu određujemo iz formule (2), postavljajući: . Zamjenom izraza za brzinu u formulu (4) nalazimo

Zamjenom vrijednosti količina u ovu formulu i izračunima, dobijamo

ili µJ.

Primjer 3. Na krajevima dužine tanke šipke l= 1 m i masa m 3 =400 g ojačane male kuglice sa masama m 1 =200 g I m 2 =300g. Štap oscilira oko horizontalne ose, okomito

u odnosu na štap i prolazi kroz njegovu sredinu (tačka O na slici 6.2). Definišite period T oscilacije koje vrši štap.

Rješenje.

Gdje J- Period oscilovanja fizičkog klatna, kao što je štap sa kuglicama, određen je relacijom T - l njegova masa; - WITH

udaljenost od centra mase klatna do ose. J Moment inercije ovog klatna jednak je zbiru momenata inercije kuglica J 2 1 i J 3:

i štap

Uzimajući lopte kao materijalne tačke, izražavamo njihove momente inercije: J 3 = = . Budući da os prolazi kroz sredinu štapa, njen moment inercije u odnosu na ovu osu J 1 , J 2 Zamjena rezultirajućih izraza J I

3 u formulu (2), nalazimo ukupan moment inercije fizičkog klatna:

Nakon što smo izvršili proračune koristeći ovu formulu, nalazimo

Rice. 6.2 Masu klatna čine mase kuglica i masa štapa: l njegova masa; Razdaljina X Naći ćemo centar mase klatna iz ose oscilovanja na osnovu sljedećih razmatranja. Ako os usmjeriti duž štapa i poravnati početak koordinata sa tačkom O, l zatim traženu udaljenost

jednak koordinati centra mase klatna, tj. m 1 , m 2 , m, l Zamjena vrijednosti količina

i nakon proračuna nalazimo

Nakon proračuna pomoću formule (1), dobijamo period oscilovanja fizičkog klatna: Primjer 4. l Fizičko klatno je štap dužine T 1 = 1 m i masa 3 With T 1 . pričvršćen na jedan od njegovih krajeva obručem prečnika i mase Horizontalna osa

Oz T klatno prolazi kroz sredinu štapa okomito na njega (slika 6.3). Definišite period

oscilacije takvog klatna.

Gdje J- Rješenje. Period oscilovanja fizičkog klatna, kao što je štap sa kuglicama, određen je relacijom T - l Period oscilovanja fizičkog klatna određuje se formulom - moment inercije klatna u odnosu na osu oscilovanja;

C J 1 udaljenost od centra mase klatna do ose oscilovanja. J 2:

Moment inercije štapa u odnosu na os okomitu na štap i koja prolazi kroz njegovo središte mase određuje se formulom. U ovom slučaju t= 3T 1 i

Moment inercije obruča nalazimo koristeći Steinerov teorem, gdje J- moment inercije oko proizvoljne ose; J 0 - moment inercije oko ose koja prolazi kroz centar mase paralelno datoj osi; 2. Pronalazimo silu koja djeluje na tačku koristeći Newtonov drugi zakon: razmak između naznačenih osa. Primjenjujući ovu formulu na obruč, dobivamo

Zamjenjivanje izraza J 1 i J 2 u formulu (2), nalazimo moment inercije klatna u odnosu na os rotacije:

Rice. 6.2 Masu klatna čine mase kuglica i masa štapa: l njegova masa; od ose klatna do njegovog centra mase je jednako

Zamjena izraza u formulu (1) J, l s i masu klatna, nalazimo period njegovih oscilacija:

Nakon izračunavanja pomoću ove formule dobijamo T=2,17 s.

Primjer 5. Sabiraju se dvije oscilacije istog smjera, izražene jednadžbama; X 2 = =, gdje A 1 = 1 cm, kao i uvijek 2 =2 cm, s, s, ω = =. 1. Odrediti početne faze φ 1 i φ 2 oscilatornih komponenti

Baniya. 2. Pronađite amplitudu A i početna faza φ rezultirajuće oscilacije. Napišite jednačinu za rezultirajuću vibraciju.

Rješenje. 1. Jednačina harmonijske vibracije ima oblik

Hajde da transformišemo jednadžbe navedene u iskazu problema u isti oblik:

Iz poređenja izraza (2) sa jednakošću (1) nalazimo početne faze prve i druge oscilacije:

Drago mi je i drago.

2. Odrediti amplitudu A rezultujuće oscilacije, zgodno je koristiti vektorski dijagram predstavljen u pirinač. 6.4. Prema kosinusnoj teoremi, dobijamo

gdje je fazna razlika između komponenti oscilacija. Budući da, dakle, zamjenom pronađenih vrijednosti φ 2 i φ 1 dobijamo rad.

Zamenimo vrednosti A 1 , A 2 i u formulu (3) i izvršite proračune:

kao i uvijek= 2,65 cm.

Odredimo tangentu početne faze φ rezultujuće oscilacije direktno sa Sl. 6.4: , odakle dolazi početna faza

Zamenimo vrednosti A 1 , A 2 , φ 1, φ 2 i izvršite proračune:

Pošto su ugaone frekvencije dodatih oscilacija iste, rezultujuća oscilacija će imati istu frekvenciju ω. To nam omogućava da zapišemo jednačinu rezultirajuće oscilacije u obliku , gdje kao i uvijek=2,65 cm, , rad.

Primjer 6. Materijalna tačka učestvuje istovremeno u dve međusobno okomite harmonijske oscilacije, čije su jednačine

Gdje a 1 = 1 cm, kao i uvijek 2 =2 cm, . Naći jednačinu putanje tačke. Konstruirajte putanju poštujući skalu i naznačite smjer kretanja točke.

Rješenje. Da bismo pronašli jednačinu za putanju tačke, eliminiramo vrijeme t iz datih jednačina (1) i (2). Da biste to učinili, koristite

Koristimo formulu. U ovom slučaju, dakle

Budući da prema formuli (1) , zatim jednadžba putanje

Dobiveni izraz je jednadžba parabole čija se os poklapa sa osom Oh. Iz jednadžbi (1) i (2) slijedi da je pomicanje točke duž koordinatnih osa ograničeno i kreće se od -1 do +1 cm duž ose Oh i od -2 do +2 cm duž ose OU.

Za konstruiranje putanje koristimo jednačinu (3) za pronalaženje vrijednosti y, odgovara rasponu vrijednosti Znak plus odgovara slučaju kada se smjer brzine poklapa s pozitivnim smjerom ose zadovoljavajući uslov cm, i kreiramo tabelu:

X , CM

Nakon što smo nacrtali koordinatne osi i odabrali skalu, crtamo je na ravni xOy pronađene tačke. Povezujući ih glatkom krivom, dobijamo putanju tačke koja osciluje u skladu sa jednačinama kretanja (1) i (2) (slika 6.5).

Da bismo naznačili smjer kretanja tačke, pratit ćemo kako se njen položaj mijenja tokom vremena. U početnom trenutku t=0 koordinate tačke su jednake x(0)=1 cm i y(0)=2 cm U nekom narednom trenutku, na primjer kada t 1 =l s, koordinate tačaka će se promijeniti i postati jednake X(1)= -1 cm, y( t )=0. Poznavajući položaje tačaka u početnim i narednim (bliskim) trenucima vremena, možete naznačiti smjer kretanja točke duž putanje. Na sl. 6.5 ovaj smjer kretanja je označen strelicom (od tačke A do porekla). Nakon trenutka t 2 = 2 s oscilirajuća tačka će doći do tačke D, kretat će se u suprotnom smjeru.

Zadaci

Kinematika harmonijskih oscilacija

6.1. Jednačina tačkastih oscilacija ima oblik , gdje je ω=π s -1, τ=0,2 s. Definišite period T i početna faza φ oscilacija.

6.2. Definišite period T, frekvencija v i početna faza φ oscilacija, date jednadžbom, gdje je ω=2,5π s -1, τ=0,4 s.

6.3. Tačka oscilira po zakonu, gdje kao i uvijek x(0)=2 masovni medij ; 2) x(0) = cm i ; 3) x(0)=2cm i ; 4) x(0)= i . Konstruirajte vektorski dijagram za trenutak t=0.

6.4. Tačka oscilira po zakonu, gdje kao i uvijek=4 cm Odrediti početnu fazu φ ako: 1) x(0)= 2 masovni medij ; 2) x(0)= cm i ; 3) X(0)= cm i ; 4) x(0)=cm i . Konstruirajte vektorski dijagram za trenutak t=0.

Imaju matematički izraz. Njihova svojstva karakteriše skup trigonometrijskih jednačina, čija je složenost određena složenošću samog oscilatornog procesa, svojstvima sistema i sredine u kojoj se javljaju, odnosno spoljašnjim faktorima koji utiču na oscilatorni proces.

Na primjer, u mehanici, harmonijska oscilacija je kretanje koje karakterizira:

Jasan karakter;

Neravnina;

Kretanje fizičkog tijela koje se odvija duž sinusoidne ili kosinusne putanje, ovisno o vremenu.

Na osnovu ovih svojstava možemo dati jednačinu za harmonijske vibracije, koja ima oblik:

x = A cos ωt ili oblik x = A sin ωt, gdje je x vrijednost koordinata, A je vrijednost amplitude vibracije, ω je koeficijent.

Ova jednadžba harmonijskih vibracija je fundamentalna za sve harmonijske vibracije, koje se razmatraju u kinematici i mehanici.

Indikator ωt, koji je u ovoj formuli pod znakom trigonometrijske funkcije, naziva se faza i određuje lokaciju oscilirajuće materijalne tačke u datom određenom trenutku vremena na datoj amplitudi. Kada se razmatraju ciklične fluktuacije, ovaj indikator je jednak 2l, pokazuje količinu unutar vremenskog ciklusa i označava se w. U ovom slučaju, jednačina harmonijskih oscilacija ga sadrži kao indikator veličine ciklične (kružne) frekvencije.

Jednačina harmonijskih oscilacija koju razmatramo, kao što je već napomenuto, može imati različite oblike, u zavisnosti od niza faktora. Na primjer, evo ove opcije. Da bismo razmotrili slobodne harmonijske oscilacije, treba uzeti u obzir činjenicu da ih sve karakterizira prigušenje. U različitim zemljama, ovaj fenomen se manifestuje na različite načine: zaustavljanje tijela u pokretu, zaustavljanje zračenja u električnim sistemima. Najjednostavniji primjer koji pokazuje smanjenje oscilatornog potencijala je njegova konverzija u toplinsku energiju.

Jednačina koja se razmatra ima oblik: d²s/dt² + 2β x ds/dt + ω²s = 0. U ovoj formuli: s je vrijednost oscilirajuće veličine koja karakteriše svojstva određenog sistema, β je konstanta koja pokazuje prigušenje koeficijent, ω je ciklička frekvencija.

Upotreba ovakve formule omogućava nam da pristupimo opisu oscilatornih procesa u linearnim sistemima sa jedne tačke gledišta, kao i da dizajniramo i simuliramo oscilatorne procese na naučnom i eksperimentalnom nivou.

Na primjer, poznato je da u završnoj fazi svojih manifestacija oni prestaju biti harmonični, odnosno kategorije frekvencije i perioda za njih postaju jednostavno besmislene i ne odražavaju se u formuli.

Klasičan način proučavanja harmonijskih oscilacija je u svom najjednostavnijem obliku sistem koji je opisan sljedećom diferencijalnom jednačinom harmonijskih oscilacija: ds/dt + ω²s = 0. Ali raznolikost oscilatornih procesa prirodno dovodi do činjenice da postoji velika broj oscilatora. Navodimo njihove glavne vrste:

Oscilator opruge je običan teret određene mase m, koji je okačen na elastičnu oprugu. Izvodi harmonijski tip, koji se opisuje formulom F = - kx.

Fizički oscilator (klatno) je čvrsto tijelo koje vrši oscilatorna kretanja oko statičke ose pod utjecajem određene sile;

- (praktički se ne nalazi u prirodi). Predstavlja idealan model sistema koji uključuje oscilirajuće fizičko tijelo određene mase, koje je okačeno na krutu bestežinsku nit.