Jednačina koja opisuje harmonijske oscilacije. oscilatorno kretanje

Promjene u vremenu prema sinusoidnom zakonu:

gdje X- vrijednost fluktuirajuće količine u trenutku t, ALI- amplituda , ω - kružna frekvencija, φ je početna faza oscilacija, ( φt + φ ) je ukupna faza oscilacija. Istovremeno, vrijednosti ALI, ω i φ - trajno.

Za mehaničke vibracije s oscilirajućom vrijednošću X su, posebno, pomak i brzina, za električne oscilacije - napon i jačina struje.

Harmonične oscilacije zauzimaju posebno mjesto među svim vrstama oscilacija, jer je to jedina vrsta oscilacija čiji se oblik ne izobličuje pri prolasku kroz bilo koji homogeni medij, odnosno, harmonijski će biti i valovi koji se šire iz izvora harmonijskih oscilacija. Bilo koja neharmonična vibracija može se predstaviti kao zbir (integral) različitih harmonijskih vibracija (u obliku spektra harmonijskih vibracija).

Energetske transformacije tokom harmonijskih vibracija.

U procesu oscilacija dolazi do prijelaza potencijalne energije Wp u kinetičku Wk i obrnuto. U položaju maksimalnog odstupanja od ravnotežnog položaja, potencijalna energija je maksimalna, a kinetička energija nula. Kako se vraćamo u ravnotežni položaj, brzina oscilirajućeg tijela raste, a sa njom raste i kinetička energija, dostižući maksimum u ravnotežnom položaju. Potencijalna energija tada pada na nulu. Dalje kretanje vrata događa se smanjenjem brzine, koja pada na nulu kada otklon dostigne svoj drugi maksimum. Potencijalna energija se ovdje povećava do svoje početne (maksimalne) vrijednosti (u odsustvu trenja). Dakle, oscilacije kinetičke i potencijalne energije se javljaju dvostrukom (u poređenju sa oscilacijama samog klatna) frekvencijom i nalaze se u antifazi (tj. između njih postoji fazni pomak jednak π ). Ukupna energija vibracija W ostaje nepromijenjena. Za tijelo koje oscilira pod djelovanjem elastične sile, jednako je:

gdje v m- maksimalna brzina tijela (u ravnotežnom položaju), x m = ALI- amplituda.

Zbog prisustva trenja i otpora medija, slobodne oscilacije se gube: njihova energija i amplituda se smanjuju s vremenom. Stoga se u praksi češće koriste ne slobodne, već prisilne oscilacije.

Razmotrili smo nekoliko fizički potpuno različitih sistema i pobrinuli se da se jednačine kretanja svedu na isti oblik

Razlike između fizičkih sistema se manifestuju samo u različitim definicijama količine iu drugačijem fizičkom smislu varijable x: može biti koordinata, ugao, naelektrisanje, struja itd. Imajte na umu da u ovom slučaju, kao što sledi iz same strukture jednačine (1.18), veličina uvek ima dimenziju inverznog vremena.

Jednačina (1.18) opisuje tzv harmonijske vibracije.

Jednadžba harmonijskih oscilacija (1.18) je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda (pošto sadrži drugi izvod varijable x). Linearnost jednačine to znači

ako ima neku funkciju x(t) je rješenje ove jednadžbe, onda funkcija Cx(t)će također biti njegovo rješenje ( C je proizvoljna konstanta);

if funkcije x 1 (t) i x 2 (t) su rješenja ove jednadžbe, zatim njihov zbir x 1 (t) + x 2 (t) također će biti rješenje iste jednačine.

Dokazuje se i matematička teorema prema kojoj jednačina drugog reda ima dva nezavisna rješenja. Sva ostala rješenja, prema svojstvima linearnosti, mogu se dobiti kao njihove linearne kombinacije. Lako je direktnom diferencijacijom provjeriti da nezavisne funkcioniraju i zadovoljavaju jednačinu (1.18). Dakle, generalno rješenje ove jednačine je:

gdje C1,C2 su proizvoljne konstante. Ovo rješenje se može predstaviti iu drugom obliku. Uvodimo količinu

i definisati ugao kao:

Tada se opće rješenje (1.19) zapisuje kao

Prema formulama trigonometrije, izraz u zagradama je

Konačno stižemo opšte rešenje jednačine harmonijskih oscilacija kao:

Nenegativna vrijednost A pozvao amplituda oscilovanja, - početna faza oscilacije. Poziva se cijeli kosinusni argument - kombinacija faza oscilovanja.

Izrazi (1.19) i (1.23) su savršeno ekvivalentni, tako da možemo koristiti bilo koji od njih iz razloga jednostavnosti. Oba rješenja su periodične funkcije vremena. Zaista, sinus i kosinus su periodični sa periodom . Stoga se različita stanja sistema koji vrši harmonijske oscilacije ponavljaju nakon određenog vremenskog perioda t*, za koju faza oscilovanja dobija prirast koji je višekratnik :

Otuda to sledi

Najmanje od ovih vremena

pozvao period oscilovanja (Sl. 1.8), a - njegov kružni (ciklički) frekvencija.

Rice. 1.8.

Takođe koriste frekvencija oklevanje

Prema tome, kružna frekvencija je jednaka broju oscilacija po sekundi.

Dakle, ako je sistem na vrijeme t karakteriziran vrijednošću varijable x(t), tada će istu vrijednost varijabla imati nakon određenog vremenskog perioda (slika 1.9), tj

Ista vrijednost će se, naravno, ponoviti nakon nekog vremena. 2T, ZT itd.

Rice. 1.9. Period oscilacije

Opće rješenje uključuje dvije proizvoljne konstante ( C 1 , C 2 ili A, a), čije vrijednosti treba odrediti sa dva početni uslovi. Obično (iako ne nužno) njihovu ulogu igraju početne vrijednosti varijable x(0) i njen derivat.

Uzmimo primjer. Neka rješenje (1.19) jednadžbe harmonijskih oscilacija opisuje kretanje opružnog klatna. Vrijednosti proizvoljnih konstanti zavise od načina na koji smo klatno izveli iz ravnoteže. Na primjer, povukli smo oprugu na daljinu i pustio loptu bez početne brzine. U ovom slučaju

Zamena t = 0 u (1.19) nalazimo vrijednost konstante Od 2

Rešenje tako izgleda:

Brzina opterećenja se nalazi diferenciranjem s obzirom na vrijeme

Zamena ovde t = 0, pronađite konstantu Od 1:

Konačno

Upoređujući sa (1.23), nalazimo da je amplituda oscilacije, a njena početna faza je jednaka nuli: .

Sada dovodimo klatno iz ravnoteže na drugi način. Udarimo teret, tako da dobije početnu brzinu, ali se praktički ne pomiče tokom udara. Tada imamo druge početne uslove:

naše rešenje izgleda tako

Brzina tereta će se mijenjati prema zakonu:

stavimo to ovdje:

Pokreti koji imaju određeni stepen ponavljanja nazivaju se fluktuacije.

Ako se vrijednosti fizičkih veličina koje se mijenjaju u procesu kretanja ponavljaju u pravilnim intervalima, onda se takvo kretanje naziva periodično. U zavisnosti od fizičke prirode oscilatornog procesa, razlikuju se mehaničke i elektromagnetne oscilacije. Prema načinu pobude, vibracije se dijele na: besplatno(unutarnji) koji se javlja u sistemu koji se predstavlja u blizini ravnotežnog položaja nakon nekog početnog udara; prisiljen- nastaju pod periodičnim spoljnim uticajem.

Uslovi za nastanak slobodnih oscilacija: a) kada se telo ukloni iz ravnotežnog položaja, u sistemu mora nastati sila koja traži da ga vrati u ravnotežni položaj; b) sile trenja u sistemu moraju biti dovoljno male.

ALI amplituda A je modul maksimalnog odstupanja oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja.

Oscilacije tačke koje se javljaju sa konstantnom amplitudom nazivaju se neprigušen, i fluktuacije sa postepeno opadajućom amplitudom – fading.

Vrijeme koje je potrebno da se dogodi potpuna oscilacija naziva se period(T).

Frekvencija periodične oscilacije je broj kompletnih oscilacija u jedinici vremena:

Jedinica frekvencije oscilacije - herca(Hz). Herc je frekvencija oscilacija, čiji je period jednak 1 s: 1 Hz = 1 s -1 .

cikličnoili kružna frekvencija periodične oscilacije je broj potpunih oscilacija koje se javljaju u jednom vremenu 2p sa: . \u003d rad / s.

Harmonic- to su oscilacije koje su opisane periodičnim zakonom:

ili (1)

gdje je veličina koja se periodično mijenja (pomak, brzina, sila, itd.), A je amplituda.

Sistem čiji zakon kretanja ima oblik (1) naziva se harmonijski oscilator . Sinus ili kosinus argument pozvao faza oscilovanja. Faza oscilacije određuje pomak u trenutku t. Početna faza određuje pomak tijela u trenutku početka odbrojavanja.

Uzmite u obzir ofset x oscilirajuće tijelo oko ravnotežnog položaja. Jednačina harmonične oscilacije:

Prvi izvod u odnosu na vrijeme daje izraz za brzinu tijela: ; (2)

Brzina dostiže svoju maksimalnu vrijednost u trenutku kada =1: . Pomak tačke u ovom trenutku je rano na nuli = 0 (slika 17.1, b).

Ubrzanje se također mijenja s vremenom prema harmonijskom zakonu:

gdje je maksimalna vrijednost ubrzanja. Znak minus znači da je ubrzanje usmjereno u smjeru suprotnom od pomaka, tj. promjena ubrzanja i pomaka u antifazi (slika 17.1 in). Može se vidjeti da brzina dostiže svoju maksimalnu vrijednost kada oscilirajuća tačka prođe ravnotežni položaj. U ovom trenutku, pomak i ubrzanje su nula.

1.18. HARMONIČKE OSCILACIJE I NJIHOVE KARAKTERISTIKE

Definicija harmonijskih vibracija. Karakteristike harmonijskih oscilacija: pomak iz ravnotežnog položaja, amplituda oscilacija, faza oscilacija, frekvencija i period oscilacija. Brzina i ubrzanje oscilirajuće tačke. Energija harmonijskog oscilatora. Primjeri harmonijskih oscilatora: matematički, opružni, torzijski i fizički klatna.

Akustika, radiotehnika, optika i druge grane nauke i tehnologije zasnivaju se na doktrini oscilacija i talasa. Važnu ulogu igra teorija oscilacija u mehanici, posebno u proračunima čvrstoće aviona, mostova, pojedinih vrsta mašina i sklopova.

fluktuacije su procesi koji se ponavljaju u pravilnim intervalima (međutim, nisu svi procesi koji se ponavljaju fluktuacije!). U zavisnosti od fizičke prirode procesa koji se ponavlja, razlikuju se mehaničke, elektromagnetne, elektromehaničke itd. oscilacije. Tokom mehaničkih vibracija, položaji i koordinate tijela se periodično mijenjaju.

Obnavljanje sile - sila pod čijom se akcijom odvija oscilatorni proces. Ova sila teži da vrati tijelo ili materijalnu tačku koja je odstupila od položaja mirovanja u prvobitni položaj.

Ovisno o prirodi udara na tijelo koje oscilira, razlikuju se slobodne (ili prirodne) vibracije i prisilne vibracije.

U zavisnosti od prirode uticaja na oscilirajući sistem, razlikuju se slobodne oscilacije, prisilne oscilacije, autooscilacije i parametarske oscilacije.

besplatno (vlastiti) Oscilacije se nazivaju one oscilacije koje se javljaju u sistemu koji je prepušten samom sebi nakon što mu je dat pritisak, ili je izvučen iz ravnoteže, tj. kada na oscilirajuće tijelo djeluje samo povratna sila.Primjer su vibracije loptice okačene na niti. Da biste izazvali vibracije, morate ili gurnuti loptu, ili je, pomjerajući je u stranu, pustiti. U slučaju da ne dođe do disipacije energije, slobodne oscilacije se ne prigušuju. Međutim, stvarni oscilatorni procesi su prigušeni, jer na oscilirajuće tijelo djeluju sile otpora kretanju (uglavnom sile trenja).

· prinuđen nazivaju se takve vibracije tokom kojih je oscilirajući sistem izložen vanjskoj sili koja se periodično mijenja (na primjer, vibracije mosta koje nastaju kada ljudi koji hodaju u korak prelaze preko njega). U mnogim slučajevima, sistemi vrše oscilacije koje se mogu smatrati harmonijskim.

· Samooscilacije , kao i prinudne oscilacije, one su praćene vanjskim silama koje djeluju na oscilirajući sistem, međutim, trenutke vremena kada se ti efekti izvode postavlja sam oscilirajući sistem. Odnosno, sam sistem kontroliše spoljašnji uticaj. Primjer samooscilatornog sistema je sat u kojem klatno prima udare zbog energije podignute težine ili uvrnute opruge, a ti udari nastaju u trenucima prolaska klatna kroz srednji položaj.

· Parametrijski oscilacije se izvode s periodičnom promjenom parametara oscilirajućeg sistema (osoba koja se ljulja na ljuljašci povremeno podiže i spušta svoje težište, čime se mijenjaju parametri sistema). Pod određenim uslovima sistem postaje nestabilan - nasumično odstupanje od ravnotežnog položaja dovodi do pojave i rasta oscilacija. Ova pojava se naziva parametarska pobuda oscilacija (tj. oscilacije se pobuđuju promjenom parametara sistema), a same oscilacije se nazivaju parametarskim.

Unatoč različitoj fizičkoj prirodi, oscilacije karakteriziraju iste pravilnosti, koje se proučavaju općim metodama. Važna kinematička karakteristika je oblik vibracija. Određuje se oblikom funkcije vremena, koja opisuje promjenu jedne ili druge fizičke veličine tokom oscilacija. Najvažnije su one fluktuacije kod kojih se fluktuirajuća vrijednost mijenja s vremenom prema zakonu sinusa ili kosinusa . Zovu se harmonično .

Harmonične vibracije nazivaju se oscilacije u kojima se oscilirajuća fizička veličina mijenja prema sinusnom (ili kosinusnom) zakonu.

Ova vrsta oscilacija je posebno važna iz sljedećih razloga. Prvo, oscilacije u prirodi i tehnologiji često imaju karakter vrlo blizak harmonijskom. Drugo, periodični procesi drugačijeg oblika (sa različitom vremenskom zavisnošću) mogu se predstaviti kao preklapanje, ili superpozicija, harmonijskih oscilacija.

Jednačina harmonskog oscilatora

Harmonične oscilacije opisane su periodičnim zakonom:

Rice. 18.1. harmonijske oscilacije

W

ovdje
- karakteriše promijeniti bilo koja fizička veličina tokom oscilacija (pomak položaja klatna iz ravnotežnog položaja; napon na kondenzatoru u oscilatornom krugu, itd.), A - amplituda oscilovanja ,
- faza oscilovanja , - početna faza ,
- ciklička frekvencija ; vrijednost
takođe pozvan vlastiti frekvencija oscilovanja. Ovaj naziv naglašava da je ova frekvencija određena parametrima oscilatornog sistema. Zove se sistem čiji zakon kretanja ima oblik (18.1). jednodimenzionalni harmonijski oscilator . Pored gore navedenih veličina, za karakterizaciju oscilacija uvode se sljedeći koncepti: period , tj. vrijeme jedne oscilacije.

(Period oscilacije T naziva se najmanji vremenski period nakon kojeg se stanja oscilirajućeg sistema ponavljaju (izvršava se jedna potpuna oscilacija) i faza oscilovanja dobija prirast 2p).

i frekvencije
, koji određuje broj oscilacija u jedinici vremena. Jedinica frekvencije je frekvencija takve oscilacije, čiji je period 1 s. Ova jedinica se zove hertz (Hz ).

Frekvencija oscilovanjan naziva recipročna vrednost perioda oscilovanja - broj kompletnih oscilacija u jedinici vremena.

Amplituda- maksimalna vrijednost pomaka ili promjene varijable tokom oscilatornog ili talasnog kretanja.

Faza oscilovanja- argument periodične funkcije ili opis harmonijskog oscilatornog procesa (ω - kutna frekvencija, t- vrijeme, - početna faza oscilacija, odnosno faza oscilacija u početnom trenutku vremena t = 0).

Prvi i drugi vremenski izvod harmonijski oscilirajuće veličine također izvode harmonijske oscilacije iste frekvencije:

U ovom slučaju se kao osnova uzima jednačina harmonijskih oscilacija, napisana prema kosinusnom zakonu. U ovom slučaju, prva jednačina (18.2) opisuje zakon po kojem se mijenja brzina oscilirajuće materijalne tačke (tijela), druga jednačina opisuje zakon po kojem se mijenja ubrzanje oscilirajuće tačke (tijela).

Amplitude
i
jednake respektivno
i
. oklevanje
ispred
u fazi do ; i oklevanje
ispred
na . Vrijednosti A i može se odrediti iz datih početnih uslova
i
:

,
. (18.3)

Energija oscilatora oscilatora

P

Rice. 18.2. Opružno klatno

Hajde sada da vidimo šta se dešava energija vibracija . Kao primjer harmonijskih oscilacija, razmotrite jednodimenzionalne oscilacije koje izvodi tijelo mase m Pod uticajem elastična snagu
(na primjer, opružno klatno, vidi sl. 18.2). Sile različite prirode od elastičnih, ali u kojima je zadovoljen uslov F = -kx, nazivaju se kvazielastična. Pod uticajem ovih sila, tela vrše i harmonijske oscilacije. neka:

pristrasnost:
brzina:
ubrzanje:

One. jednadžba za takve oscilacije ima oblik (18.1) sa prirodnom frekvencijom
. Kvazielastična sila je konzervativan . Stoga ukupna energija takvih harmonijskih oscilacija mora ostati konstantna. U procesu oscilacija dolazi do transformacije kinetičke energije E to u potencijal E P i obrnuto, štaviše, u trenucima najvećeg odstupanja od ravnotežnog položaja ukupna energija je jednaka maksimalnoj vrijednosti potencijalne energije, a kada sistem prođe kroz ravnotežni položaj, ukupna energija je jednaka maksimumu vrijednost kinetičke energije. Hajde da saznamo kako se kinetička i potencijalna energija mijenjaju s vremenom:

Kinetička energija:

Potencijalna energija:

(18.5)

S obzirom da tj. , posljednji izraz se može napisati kao:

Tako se ispostavlja da je ukupna energija harmonijske oscilacije konstantna. Iz relacija (18.4) i (18.5) također slijedi da su prosječne vrijednosti kinetičke i potencijalne energije jednake jedna drugoj i polovina ukupne energije, budući da su prosječne vrijednosti
i
za period su 0,5. Koristeći trigonometrijske formule, može se dobiti da se kinetička i potencijalna energija mijenjaju sa frekvencijom
, tj. sa frekvencijom dvostruko većom od frekvencije harmonika.

Primjeri harmonijskog oscilatora su opružna klatna, fizička klatna, matematička klatna i torzijska klatna.

1. Opružno klatno- ovo je opterećenje mase m, koje je okačeno na apsolutno elastičnu oprugu i vrši harmonijske oscilacije pod djelovanjem elastične sile F = -kx, gdje je k krutost opruge. Jednadžba gibanja klatna ima oblik ili (18.8) Iz formule (18.8) slijedi da opružno klatno vrši harmonijske oscilacije prema zakonu x = Acos (ω 0 t + φ) s cikličkom frekvencijom

(18.9) i tačka

(18.10) Formula (18.10) je tačna za elastične oscilacije u granicama u kojima je ispunjen Hookeov zakon, odnosno ako je masa opruge mala u odnosu na masu tijela. Potencijalna energija opružnog klatna, koristeći (18.9) i formulu potencijalne energije iz prethodnog odjeljka, je (vidi 18.5)

2. fizičko klatno- ovo je kruto tijelo koje oscilira pod dejstvom gravitacije oko fiksne horizontalne ose koja prolazi kroz tačku O, koja se ne poklapa sa centrom mase C tela (slika 1).

18.3 Fizičko klatno

Ako se klatno od ravnotežnog položaja odbije za određeni ugao α, tada se, koristeći jednadžbu dinamike rotacionog kretanja krutog tijela, određuje moment M povratne sile (18.11) gdje je J moment inercije klatno oko ose koja prolazi kroz tačku vešanja O, l je rastojanje između ose i centra mase klatna, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα je povratna sila (znak minus označava da su pravci F τ i α su uvijek suprotni; sinα ≈ α jer se oscilacije klatna smatraju malim, tj. klatno odstupa od ravnotežnog položaja za male uglove). Zapisujemo jednačinu (18.11) kao

Ili uzimajući (18.12) dobijamo jednačinu

Identično kao (18.8), čije rješenje nalazimo i zapisujemo kao:

(18.13) Iz formule (18.13) proizilazi da za male oscilacije fizičko klatno vrši harmonijske oscilacije sa cikličkom frekvencijom ω 0 i periodom

(18.14) gdje je vrijednost L=J/(m l) - . Tačka O" na nastavku prave OS, koja je odvojena od tačke O suspenzije klatna na udaljenosti smanjene dužine L, naziva se zamahni centar fizičko klatno (slika 18.3). Primjenom Steinerove teoreme za moment inercije ose nalazimo

To jest, OO "je uvijek veće od OS. Tačka vješanja O klatna i centar ljuljanja O" imaju svojstvo zamjenjivosti: ako se tačka vešanja pomeri u centar ljuljanja, tada će stara tačka vešanja O biti novi centar ljuljanja, a period oscilovanja fizičkog klatna se neće promeniti.

3. Matematičko klatno je idealizovani sistem koji se sastoji od materijalne tačke mase m, koja je okačena na nerastezljivu bestežinsku nit, i koja osciluje pod dejstvom gravitacije. Dobra aproksimacija matematičkog klatna je mala, teška lopta koja je okačena na dugačku, tanku nit. Moment inercije matematičkog klatna

(8) gdje l je dužina klatna.

Budući da je matematičko klatno poseban slučaj fizičkog klatna, ako pretpostavimo da je sva njegova masa koncentrisana u jednoj tački - centru mase, onda, zamjenom (8) u (7), nalazimo izraz za period malih oscilacija matematičkog klatna (18.15) Upoređujući formule (18.13 ) i (18.15), vidimo da ako je smanjena dužina L fizičkog klatna jednaka dužini l matematičko klatno, onda su periodi oscilovanja ovih klatna isti. znači, smanjena dužina fizičkog klatna je dužina takvog matematičkog klatna, u kojoj se period oscilovanja poklapa sa periodom oscilovanja datog fizičkog klatna. Za matematičko klatno (materijalna tačka sa masom m okačen na bestežinski nerastegljivi konac dužine l u polju gravitacije sa ubrzanjem slobodnog pada jednakim g) pri malim uglovima odstupanja (koji ne prelaze 5-10 ugaonih stepeni) od ravnotežnog položaja, frekvencija prirodne oscilacije:
.

4. Telo okačeno na elastični konac ili drugi elastični element koji oscilira u horizontalnoj ravni je torzijsko klatno.

Ovo je mehanički oscilatorni sistem koji koristi sile elastičnih deformacija. Na sl. 18.4 prikazuje ugaoni analog linearnog harmonijskog oscilatora koji vrši torzijske vibracije. Horizontalno postavljen disk visi na elastičnom navoju pričvršćenom u središtu mase. Kada se disk rotira za ugao θ, javlja se moment sila M elastična torzijska deformacija:

gdje I = IC je moment inercije diska oko ose koja prolazi kroz centar mase, ε je kutno ubrzanje.

Po analogiji s opterećenjem na oprugu, možete dobiti.

Opće informacije o vibracijama

Poglavlje 6 Vibraciono kretanje

fluktuacije Procesi koji se razlikuju u različitom stepenu ponavljanja nazivaju se.

Takvo svojstvo ponovljivosti posjeduju, na primjer, njihanje klatna sata, vibracije žice ili nožica kamerona, napon između ploča kondenzatora u krugu radio prijemnika itd.

Ovisno o fizičkoj prirodi procesa koji se ponavlja, razlikuju se oscilacije:

– mehanički;

– elektromagnetna;

– elektromehanički itd.

U zavisnosti od prirode uticaja na oscilirajući sistem, razlikuju se:

– besplatno (ili vlastito);

- prisilno;

– samooscilacije;

su parametarske oscilacije.

besplatno ili vlastiti nazivaju se takve oscilacije koje se javljaju u sistemu prepuštenom samom sebi nakon što mu je dat pritisak ili je izvučen iz ravnoteže. Primjer je oscilacija lopte okačene na niti (klatno).

prinuđen nazivaju se takve vibracije tokom kojih je oscilirajući sistem izložen vanjskoj sili koja se periodično mijenja.

Samooscilacije praćeni su uticajem spoljašnjih sila na oscilujući sistem, međutim, trenutke vremena kada se ti uticaji vrše zadaje sam oscilujući sistem - sam sistem kontroliše spoljašnji uticaj. Primjer samooscilatornog sistema je sat u kojem klatno prima udare zbog energije podignute težine ili uvrnute opruge, a ti udari nastaju u trenucima prolaska klatna kroz srednji položaj.

At parametarski oscilacija usled spoljašnjih uticaja, dolazi do periodične promene nekog parametra sistema, na primer dužine niti klatna.

Najjednostavniji su harmonijske vibracije, tj. takve oscilacije kod kojih se oscilirajuća veličina (na primjer, devijacija klatna) mijenja s vremenom prema zakonu sinusa ili kosinusa.

Najvažnije među oscilatornim kretanjima je takozvano jednostavno ili harmonijsko oscilatorno kretanje.

Priroda takvog kretanja najbolje se otkriva uz pomoć sljedećeg kinematičkog modela. Pretpostavimo da je geometrijska tačka M rotira jednoliko oko kruga poluprečnika a sa konstantnom ugaonom brzinom (slika 6.1). Njena projekcija N po prečniku, npr. po osovini X, osciliraće iz ekstremnog položaja u drugi ekstremni položaj i nazad. Takva fluktuacija tačke N zove se jednostavna ili harmonijska oscilacija.

Da biste to opisali, morate pronaći koordinate x bodova N kao funkcija vremena t. Pretpostavimo da je u početnom trenutku vremena poluprečnik OM formiran sa osom X kut . Nakon vremena t, ovaj ugao će se povećati i postati jednak . Od sl. 6.1. to je jasno

. (6.1)

Ova formula analitički opisuje harmonijsko oscilatorno kretanje tačke N duž prečnika.

Vrijednost a daje maksimalno odstupanje oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja. To se zove amplituda fluktuacije. Poziva se vrijednost 0 ciklička frekvencija. Vrijednost se poziva faza fluktuacije, a njegova vrijednost na , tj. vrijednost - primarni faza. Nakon što je vrijeme prošlo

faza se povećava, a oscilirajuća tačka se vraća u prvobitni položaj zadržavajući početni smjer kretanja. Vrijeme T nazvan periodom oscilovanja.

Brzina oscilirajuće tačke može se naći diferenciranjem izraza (6.1) s obzirom na vrijeme. Ovo daje

Diferencirajući drugi put, dobijamo ubrzanje

ili, koristeći (6.1),

Sila koja deluje na materijalnu tačku tokom harmonijskog oscilovanja je jednaka

. (6.6)

Ona je proporcionalna devijaciji x i ima suprotan smjer. Uvek je usmeren ka ravnotežnom položaju.

Razmotrimo harmonijske oscilacije tereta na oprugi čiji je jedan kraj fiksiran, a tijelo mase okačeno na drugi m(Sl. 6.2). Neka je dužina nedeformisane opruge. Ako je opruga rastegnuta ili stisnuta na dužinu l, onda postoji sila F teži da vrati tijelo u položaj ravnoteže. Za male tenzije, Hookeov zakon- sila je proporcionalna istezanju opruge: . Pod ovim uslovima, jednačina kretanja tela ima oblik

Konstantno k pozvao koeficijent elastičnost ili krutost opruge. Znak minus znači da je snaga F usmjerena u smjeru suprotnom od pomaka x, odnosno u ravnotežni položaj.

Prilikom izvođenja jednačine (6.7) pretpostavljalo se da na tijelo ne djeluju druge sile. Pokažimo da kretanje tijela ovješenog na oprugu u jednoličnom gravitacionom polju podliježe istoj jednadžbi. Označimo u ovom slučaju slovom X izduženje opruge, odnosno razlika. Opruga vuče teret prema gore sa silom, sila gravitacije - prema dolje. Jednačina kretanja ima oblik

Označimo produženje opruge u ravnotežnom položaju. Onda . Eliminišući težinu, dobijamo . Zadržavamo oznaku , tada će jednačina kretanja poprimiti prethodni oblik (6.7). Vrijednost x i dalje znači pomak tereta iz ravnotežnog položaja. Međutim, položaj ravnoteže se pomera gravitacijom. Osim toga, u prisustvu gravitacije, značenje količine se mijenja. Sada to znači rezultantu zateznih sila opruge i težine tereta. Ali sve to ne utiče na matematičku stranu procesa. Stoga se može raspravljati kao da gravitacije uopće nema. Ovako ćemo to uraditi.

Rezultirajuća sila ima isti oblik kao i sila u izrazu (6.6). Ako stavimo , tada jednačina (6.7) postaje

. (6.8)

Ova jednačina se poklapa sa jednačinom (6.5). Funkcija (6.1) je rješenje takve jednadžbe za bilo koje vrijednosti konstanti a i a. Ovo je generalno rješenje. Iz navedenog slijedi da će opterećenje opruge vršiti harmonijske oscilacije kružne frekvencije

i tačka

. (6.10)

Oscilacije opisane jednačinom (6.8) su besplatno(ili vlastiti).

Potencijalna i kinetička energija tijela date su izrazima

. (6.11)

Svaki od njih se mijenja tokom vremena. Međutim, njihov zbir E mora ostati konstantan tokom vremena:

(6.12)

Sve što je ovdje navedeno je primjenjivo na harmonijske vibracije bilo kojeg mehaničkog sistema sa jednim stepenom slobode. Trenutni položaj mehaničkog sistema sa jednim stepenom slobode može se odrediti korišćenjem bilo koje veličine q, nazvana generalizovana koordinata, na primer, ugao rotacije, pomeranje duž određene linije, itd. Derivat generalizovane koordinate u odnosu na vreme naziva se generalizovana brzina. Kada se razmatraju vibracije mehaničkih sistema sa jednim stepenom slobode, pogodnije je uzeti za početnu ne Newtonovu jednačinu kretanja, već energetsku jednačinu. Pretpostavimo da je mehanički sistem takav da su njegove potencijalne i kinetičke energije izražene formulama oblika

, (6.14)

gdje su d i b pozitivne konstante (parametri sistema). Tada zakon održanja energije vodi do jednačine

. (6.15)

Razlikuje se od jednačine (6.12) samo u smislu notacije, što nije bitno u matematičkom razmatranju. Iz matematičke istovjetnosti jednačina (6.12) i (6.15) proizilazi da su njihova opšta rješenja ista. Dakle, ako se energetska jednačina svede na oblik (6.15), onda

, (6.16)

odnosno generalizovana koordinata q vrši harmonijsku oscilaciju kružne frekvencije