Jednadžba visine trougla i njegove dužine. Kako naučiti rješavati probleme u analitičkoj geometriji? Tipičan problem s trokutom na ravni Jednadžbe medijana trokuta na osnovu koordinata njegovih vrhova

Šta je funkcija? Ovo je zavisnost jedne količine od druge. U matematičkoj funkciji najčešće postoje dvije nepoznanice: nezavisna i zavisna, odnosno x i y.

Šta to znači? To znači da x može poprimiti apsolutno bilo koju vrijednost, a y će joj se prilagoditi, mijenjajući se u skladu s koeficijentima funkcije.

Postoje situacije u kojima funkcija ima više varijabli. Zavisna je uvijek 1, ali može postojati nekoliko faktora koji utiču na to. Takvu funkciju nije uvijek moguće prikazati na grafu. U najboljem slučaju, možete grafički prikazati zavisnost y od 2 varijable.

Koji je najlakši način da se predstavi zavisnost y(x)?

Da, vrlo jednostavno. Zamislite razmaženo dijete i bogatu majku punu ljubavi. Zajedno dođu u radnju i počnu moliti slatkiše. Ko zna koliko će bombona dečak danas zahtevati?

Niko, ali u zavisnosti od broja bombona povećava se iznos koji će mama platiti na blagajni. U ovom slučaju, zavisna varijabla je iznos u čeku, a nezavisna varijabla je broj slatkiša koje dječak želi danas.

Vrlo je važno shvatiti da jedna vrijednost funkcije y uvijek odgovara 1 vrijednosti argumenta x. Ali, kao i kod korijena kvadratne jednadžbe, ove vrijednosti se mogu podudarati.

Jednačina prave linije

Zašto nam je potrebna jednačina prave ako govorimo o jednadžbi dužina stranica trougla?

Da, jer je svaka strana trougla segment. Segment je ograničeni dio prave linije. To jest, možemo specificirati jednačine pravih linija. I na mjestima njihovog sjecišta, ograničite linije, odsijecajući ravne linije i pretvarajući ih u segmente.

Jednačina linije izgleda ovako:

$$y_1=a_1x+b_1$$

$$y_2=a_2x+b_2$$

$$y_3=a_3x+b_3$$

Jednadžba stranica trougla

Potrebno je pronaći jednačinu za dužine stranica trougla sa vrhovima u tačkama A(3,7); B(5,3); C(12;9)

Sve koordinate su pozitivne, što znači da će se trokut nalaziti u 1 koordinatnom kvadrantu.

Napravimo jednadžbe za svaku od linija trougla jednu po jednu.

Prvi red će biti AB. Zamjenjujemo koordinate tačaka u jednadžbu prave linije umjesto x i y. Tako dobijamo sistem od dvije linearne jednadžbe. Nakon što ga riješite, možete pronaći vrijednost koeficijenata za funkciju:

A(3,7) ; B(5,3):

Iz prve jednačine izražavamo b i zamjenjujemo ga u drugu.

Zamenimo vrednost a i nađemo b.

b=7-3a=7-3*(-2)=7+6=13

Napravimo jednačinu za pravu liniju.

Kreirajmo preostale dvije jednačine na isti način.

B(5,3); C(12;9)

9=12a+b=12a+3-5a

$$b=3-5*(6\over7)=-(9\over7)$$

$$y=(6\over7)x-(9\over7)$$

A(3,7) ; C(12;9)

9=12a+b=12a+7-3a=9a+7

$$b=7-(6\over9)=(57\over9)$$

$$y=(2\over9)x+(57\over9)$$

Napišimo jednačinu za dužine stranica trokuta:

$$y=(6\over7)x-(9\over7)$$

$$y=(2\over9)x+(57\over9)$$

Šta smo naučili?

Naučili smo što je funkcija, razgovarali o funkciji prave linije i naučili da izvedemo jednadžbe stranica trokuta iz koordinata njegovih vrhova.

Testirajte na temu

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.8. Ukupno primljenih ocjena: 45.

Primjer. Dati su vrhovi trougla ABC.
Naći: 1) dužinu stranice AB; 2) jednačine stranica AB i AC i njihovi ugaoni koeficijenti; 3) Unutrašnji ugao A u radijanima sa tačnošću od 0,01; 4) jednačina za visinu CD-a i njegovu dužinu; 5) jednačina kružnice kojoj je visina CD prečnik; 6) sistem linearnih nejednačina koje definišu trougao ABC.

Dužina stranice trougla:
|AB| = 15
|AC| = 11.18
|BC| = 14.14
Udaljenost d od tačke M: d = 10
Date su koordinate vrhova trougla: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Dužina stranica trougla
Udaljenost d između tačaka M 1 (x 1 ; y 1) i M 2 (x 2 ; y 2) određena je formulom:

8) Jednačina prave
Prava linija koja prolazi kroz tačke A 1 (x 1 ; y 1) i A 2 (x 2 ; y 2) predstavljena je jednadžbama:

Jednačina prave AB
ili
ili y = -3 / 4 x -7 / 4 ili 4y + 3x +7 = 0
Jednadžba linije AC
Kanonska jednadžba linije: ili
ili y = 1 / 2 x + 9 / 2 ili 2y -x - 9 = 0
Jednadžba prave BC
Kanonska jednadžba linije: ili
ili y = -7x + 42 ili y + 7x - 42 = 0
3) Ugao između pravih linija
Jednačina prave AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Jednadžba linije AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Ugao φ između dvije prave, dat jednadžbama sa ugaonim koeficijentima y = k 1 x + b 1 i y 2 = k 2 x + b 2, izračunava se po formuli:

Nagibi ovih linija su -3/4 i 1/2. Koristimo formulu i uzmimo njenu desnu stranu po modulu:

tg φ = 2
φ = arktan(2) = 63,44 0 ili 1,107 rad.
9) Jednačina visine kroz vrh C
Prava koja prolazi kroz tačku N 0 (x 0 ;y 0) i okomita na pravu liniju Ax + By + C = 0 ima vektor pravca (A;B) i stoga je predstavljena jednadžbama:

Ova jednačina se može naći i na drugi način. Da bismo to uradili, pronađimo nagib k 1 prave AB.
AB jednadžba: y = -3 / 4 x -7 / 4, tj. k 1 = -3 / 4
Nađimo ugaoni koeficijent k okomice iz uslova okomitosti dvije prave: k 1 *k = -1.
Zamjenom nagiba ove prave umjesto k 1, dobijamo:
-3 / 4 k = -1, odakle je k = 4 / 3
Kako okomica prolazi kroz tačku C(5,7) i ima k = 4 / 3, tražićemo njenu jednačinu u obliku: y-y 0 = k(x-x 0).
Zamjenom x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 dobijamo:
y-7 = 4 / 3 (x-5)
ili
y = 4 / 3 x + 1 / 3 ili 3y -4x - 1 = 0
Nađimo tačku preseka sa pravom AB:
Imamo sistem od dve jednačine:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Iz prve jednačine izražavamo y i zamjenjujemo ga u drugu jednačinu.
Dobijamo: x = -1; y=-1
D(-1;-1)
9) Dužina visine trougla povučena iz temena C
Udaljenost d od tačke M 1 (x 1 ;y 1) do prave Ax + By + C = 0 jednaka je apsolutnoj vrijednosti veličine:

Pronađite udaljenost između tačke C(5;7) i prave AB (4y + 3x +7 = 0)

Dužina visine se može izračunati pomoću druge formule, kao rastojanje između tačke C(5;7) i tačke D(-1;-1).
Udaljenost između dvije tačke izražava se u koordinatama po formuli:

5) jednačina kružnice kojoj je visina CD prečnik;
Jednadžba kružnice polumjera R sa centrom u tački E(a;b) ima oblik:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Pošto je CD prečnik željene kružnice, njeno središte E je središte segmenta CD. Koristeći formule za dijeljenje segmenta na pola, dobijamo:

Dakle, E(2;3) i R = CD / 2 = 5. Koristeći formulu, dobijamo jednačinu željenog kruga: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) sistem linearnih nejednačina koje definišu trougao ABC.
Jednadžba linije AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Jednadžba linije AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Jednadžba linije BC: y = -7x + 42

Kako naučiti rješavati probleme u analitičkoj geometriji?
Tipičan problem sa trouglom na ravni

Ova lekcija je kreirana o pristupu ekvatoru između geometrije ravnine i geometrije prostora. Trenutno postoji potreba da se sistematiziraju prikupljene informacije i odgovori na vrlo važno pitanje: kako naučiti rješavati probleme u analitičkoj geometriji? Poteškoća je u tome što možete smisliti beskonačan broj zadataka iz geometrije, a nijedan udžbenik neće sadržavati sve mnoštvo i raznolikost primjera. Nije derivat funkcije sa pet pravila diferencijacije, tabelom i nekoliko tehnika...

Postoji rješenje! Neću glasno govoriti o tome da sam razvio nekakvu grandioznu tehniku, međutim, po mom mišljenju, postoji efikasan pristup problemu koji se razmatra, koji čak i potpunoj lutki omogućava postizanje dobrih i odličnih rezultata. Barem, opći algoritam za rješavanje geometrijskih problema se vrlo jasno uobličio u mojoj glavi.

ŠTA TREBA ZNATI I MOĆI URADITI
za uspješno rješavanje geometrijskih problema?

Od ovoga nema bijega - kako ne biste nasumično gurali dugmad nosom, morate savladati osnove analitičke geometrije. Stoga, ako ste tek počeli učiti geometriju ili ste je potpuno zaboravili, počnite s lekcijom Vektori za lutke. Pored vektora i radnji s njima, morate znati osnovne koncepte geometrije ravnine, posebno, jednačina prave u ravni i . Geometrija prostora je prikazana u člancima Jednačina ravnine, Jednačine prave u prostoru, Osnovni zadaci na pravoj liniji i ravni i neke druge lekcije. Zakrivljene linije i prostorne plohe drugog reda se donekle izdvajaju i s njima nema toliko specifičnih problema.

Pretpostavimo da student već ima osnovna znanja i vještine u rješavanju najjednostavnijih zadataka analitičke geometrije. Ali to se dešava ovako: pročitate izjavu o problemu, i... želite da zatvorite celu stvar u potpunosti, bacite je u dalji ugao i zaboravite na to, kao ružan san. Štaviše, to u osnovi ne zavisi od nivoa vaših kvalifikacija i ja se s vremena na vreme susrećem sa zadacima za koje rešenje nije očigledno. Šta učiniti u takvim slučajevima? Nema potrebe da se plašite zadatka koji ne razumete!

Prvo, treba instalirati - Da li je ovo „ravni“ ili prostorni problem? Na primjer, ako uvjet uključuje vektore s dvije koordinate, onda je, naravno, ovo geometrija ravnine. A ako je učitelj zahvalnog slušaoca napunio piramidom, onda je jasno da postoji geometrija prostora. Rezultati prvog koraka su već prilično dobri, jer smo uspjeli odrezati ogromnu količinu informacija nepotrebnih za ovaj zadatak!

Sekunda. Uvjet će vas obično ticati neke geometrijske figure. Zaista, prošetajte hodnicima svog matičnog univerziteta, i vidjet ćete mnogo zabrinutih lica.

U „ravnim“ problemima, da ne spominjemo očigledne tačke i linije, najpopularnija figura je trougao. Analiziraćemo ga vrlo detaljno. Slijedi paralelogram, a mnogo rjeđi su pravougaonik, kvadrat, romb, krug i drugi oblici.

U prostornim problemima mogu letjeti iste ravne figure + same ravnine i uobičajene trokutaste piramide sa paralelepipedima.

Drugo pitanje - Znate li sve o ovoj figuri? Pretpostavimo da uslov govori o jednakokračnom trouglu, a vi se vrlo nejasno sjećate o kakvoj se vrsti trougla radi. Otvaramo školski udžbenik i čitamo o jednakokračnom trouglu. Šta da se radi... doktor je rekao romb, to znači romb. Analitička geometrija je analitička geometrija, ali problem će se riješiti geometrijskim svojstvima samih figura, poznatog nam iz školskog programa. Ako ne znate koliki je zbir uglova trougla, možete dugo patiti.

Treće. UVIJEK pokušajte pratiti crtež(na nacrtu/završnoj kopiji/mentalno), čak i ako to uvjet ne zahtijeva. U "ravnim" problemima, Euclid je sam naredio da uzme ravnalo i olovku - i to ne samo da bi razumio stanje, već i u svrhu samotestiranja. U ovom slučaju, najpogodnija skala je 1 jedinica = 1 cm (2 ćelije u bilježnici). Da ne pričamo o nemarnim studentima i matematičarima koji se vrte u grobovima - u ovakvim problemima gotovo je nemoguće pogriješiti. Za prostorne zadatke izvodimo šematski crtež, koji će također pomoći u analizi stanja.

Crtež ili šematski crtež vam često omogućava da odmah vidite način rješavanja problema. Naravno, za ovo morate znati osnove geometrije i razumjeti svojstva geometrijskih oblika (vidi prethodni pasus).

Četvrto. Razvoj algoritma rješenja. Mnogi geometrijski problemi su višestepeni, tako da je rješenje i njegov dizajn vrlo pogodan za razlaganje na tačke. Često vam algoritam pada na pamet odmah nakon što pročitate uslov ili završite crtež. U slučaju poteškoća počinjemo sa PITANJEM zadatka. Na primjer, prema uvjetu “treba konstruirati pravu liniju...”. Ovdje je najlogičnije pitanje: "Šta je dovoljno znati da se konstruiše ova prava linija?" Pretpostavimo, "znamo tačku, moramo znati vektor smjera." Postavljamo sljedeće pitanje: „Kako pronaći ovaj vektor smjera? Gdje?" itd.

Ponekad postoji "bug" - problem nije riješen i to je to. Razlozi zaustavljanja mogu biti sljedeći:

– Ozbiljan jaz u osnovnom znanju. Drugim riječima, ne znate i/ili ne vidite neku vrlo jednostavnu stvar.

– Nepoznavanje svojstava geometrijskih figura.

- Zadatak je bio težak. Da, dešava se. Nema smisla pariti se satima i skupljati suze u maramicu. Potražite savjet od svog nastavnika, kolega studenata ili postavite pitanje na forumu. Štaviše, bolje je konkretizirati njenu izjavu - o onom dijelu rješenja koji ne razumijete. Vapaj u obliku "Kako riješiti problem?" ne izgleda baš dobro... i, prije svega, zbog vlastite reputacije.

Peta faza. Odlučujemo-provjeravamo, odlučujemo-provjeravamo, odlučujemo-provjeravamo-dajemo odgovor. Korisno je provjeriti svaku tačku zadatka odmah nakon što se završi. Ovo će vam pomoći da odmah uočite grešku. Naravno, niko ne zabranjuje brzo rješavanje cijelog problema, ali postoji rizik da se sve ponovo prepiše (često nekoliko stranica).

Ovo su, možda, sva glavna razmatranja kojih se treba pridržavati prilikom rješavanja problema.

Praktični dio časa prikazan je iz geometrije ravni. Biće samo dva primera, ali neće se činiti dovoljno =)

Hajde da prođemo kroz nit algoritma koji sam upravo pogledao u svom malom naučnom radu:

Primjer 1

Zadata su tri vrha paralelograma. Pronađite vrh.

Počnimo da razumijemo:

Prvi korak: Očigledno je da je riječ o "ravnom" problemu.

Drugi korak: Problem se bavi paralelogramom. Da li se svi sjećaju ove paralelogramske figure? Nema potrebe da se smiješite, mnogi se obrazuju sa 30-40-50 ili više godina, pa se i jednostavne činjenice mogu izbrisati iz sjećanja. Definicija paralelograma nalazi se u primjeru br. 3 lekcije Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora.

Treći korak: Napravimo crtež na kojem ćemo označiti tri poznata vrha. Smiješno je da nije teško odmah konstruirati željenu tačku:

Izgradnja je, naravno, dobra, ali rješenje mora biti formulirano analitički.

Četvrti korak: Razvoj algoritma rješenja. Prva stvar koja pada na pamet je da se tačka može naći kao presek linija. Ne znamo njihove jednačine, pa ćemo se morati pozabaviti ovim pitanjem:

1) Suprotne strane su paralelne. Po bodovima Nađimo vektor smjera ovih stranica. Ovo je najjednostavniji problem o kojem se raspravljalo na času. Vektori za lutke.

Bilješka: ispravnije je reći "jednačina prave koja sadrži stranu", ali ovdje i dalje radi kratkoće koristit ću izraze "jednačina stranice", "vektor smjera stranice" itd.

3) Suprotne strane su paralelne. Pomoću tačaka nalazimo vektor smjera ovih stranica.

4) Kreirajmo jednadžbu prave linije koristeći tačku i vektor smjera

U paragrafima 1-2 i 3-4, mi smo zapravo dva puta riješili isti problem, o tome se govorilo u primjeru br. 3 lekcije Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni. Moglo se ići dužom rutom - prvo pronaći jednadžbe linija i tek onda iz njih "izvući" vektore smjera.

5) Sada su jednačine pravih poznate. Ostaje samo da se sastavi i reši odgovarajući sistem linearnih jednačina (vidi primere br. 4, 5 iste lekcije Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni).

Tačka je pronađena.

Zadatak je prilično jednostavan i njegovo rješenje je očigledno, ali postoji kraći put!

Drugo rješenje:

Dijagonale paralelograma su prepolovljene točkom preseka. Označio sam tačku, ali da ne bih zatrpao crtež, nisam crtao same dijagonale.

Kreirajmo jednačinu za bočnu tačku po tačku:

Da biste provjerili, trebali biste mentalno ili na nacrtu zamijeniti koordinate svake tačke u rezultirajuću jednačinu. Sada pronađimo nagib. Da bismo to učinili, prepisujemo opću jednadžbu u obliku jednadžbe s koeficijentom nagiba:

Dakle, nagib je:

Slično, nalazimo jednačine stranica. Ne vidim puno smisla opisivati istu stvar, pa ću odmah dati gotov rezultat:

2) Pronađite dužinu stranice. Ovo je najjednostavniji problem koji se obrađuje u nastavi. Vektori za lutke. Za bodove koristimo formulu:

Koristeći istu formulu lako je pronaći dužine drugih stranica. Provjera se može obaviti vrlo brzo sa običnim ravnalom.

Koristimo formulu .

Nađimo vektore:

ovako:

Usput, usput smo pronašli dužine stranica.

Kao rezultat:

Pa, čini se da je istina, da biste bili uvjerljivi, možete pričvrstiti kutomjer na ugao.

Pažnja! Nemojte brkati ugao trougla sa uglom između pravih linija. Ugao trokuta može biti tup, ali ugao između pravih ne može (vidi poslednji pasus članka Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni). Međutim, da biste pronašli ugao trokuta, možete koristiti i formule iz gornje lekcije, ali hrapavost je u tome što te formule uvijek daju oštar ugao. Uz njihovu pomoć riješio sam ovaj problem u nacrtu i dobio rezultat. I na konačnom primjerku morao bih napisati dodatne izgovore, to .

4) Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačku paralelnu sa pravom.

Standardni zadatak, detaljno razmotren u primjeru br. 2 lekcije Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni. Iz opšte jednačine prave Izvadimo vodeći vektor. Kreirajmo jednadžbu prave linije koristeći vektor tačke i smjera:

Kako pronaći visinu trougla?

5) Napravimo jednadžbu za visinu i pronađemo njenu dužinu.

Ne možete pobjeći od strogih definicija, pa ćete morati ukrasti školski udžbenik:

Visina trougla naziva se okomica povučena iz vrha trokuta na pravu koja sadrži suprotnu stranu.

Odnosno, potrebno je napraviti jednadžbu za okomicu povučenu iz vrha u stranu. Ovaj zadatak je razmatran u primjerima br. 6, 7 lekcije Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni. Iz Eq. ukloniti normalni vektor. Sastavimo jednadžbu visine koristeći tačku i vektor smjera:

Napominjemo da ne znamo koordinate tačke.

Ponekad se jednadžba visine nalazi iz omjera ugaonih koeficijenata okomitih linija: . U ovom slučaju, tada: . Sastavimo visinsku jednačinu koristeći tačku i ugaoni koeficijent (pogledajte početak lekcije Jednačina prave linije na ravni):

Dužina visine se može pronaći na dva načina.

Postoji kružni tok:

a) naći – tačka preseka visine i stranice;
b) pronađite dužinu segmenta koristeći dvije poznate tačke.

Ali na času Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni razmatrana je pogodna formula za udaljenost od tačke do prave. Tačka je poznata: , poznata je i jednačina prave: , Dakle:

6) Izračunajte površinu trokuta. U prostoru se površina trokuta tradicionalno izračunava pomoću vektorski proizvod vektora, ali ovdje nam je dat trokut na ravni. Koristimo školsku formulu:
– Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove osnove i visine.

U ovom slučaju:

Kako pronaći medijanu trougla?

7) Napravimo jednačinu za medijanu.

Medijan trougla naziva se segment koji povezuje vrh trougla sa sredinom suprotne stranice.

a) Pronađite tačku - sredinu stranice. Koristimo formule za koordinate sredine segmenta. Poznate su koordinate krajeva segmenta: , zatim koordinate sredine: