Jednačine. Online jednadžbe X 5 0 rješenje

4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = 0

Prvo morate pronaći jedan korijen koristeći metodu odabira. Obično je to djelitelj slobodnog člana. U ovom slučaju, djelitelji broja 6 su ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ broj 1

-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ broj -1 nije korijen polinoma

2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ broj 2 je korijen polinoma

Pronašli smo 1 od korijena polinoma. Koren polinoma je 2, što znači da originalni polinom mora biti djeljiv sa x - 2. Da bismo izvršili podjelu polinoma, koristimo Hornerovu shemu:

	4	-19	19	6
2

Koeficijenti originalnog polinoma su prikazani u gornjem redu. Korijen koji smo pronašli nalazi se u prvoj ćeliji drugog reda 2. Drugi red sadrži koeficijente polinoma koji je rezultat dijeljenja. Računaju se ovako:

4 -19 19 6 2 4	U drugu ćeliju drugog reda upisujemo broj 1, jednostavnim pomicanjem iz odgovarajuće ćelije prvog reda.
4 -19 19 6 2 4 -11	2 ∙ 4 - 19 = -11
4 -19 19 6 2 4 -11 -3	2 ∙ (-11) + 19 = -3
4 -19 19 6 2 4 -11 -3 0	2 ∙ (-3) + 6 = 0

Posljednji broj je ostatak dijeljenja. Ako je jednako 0, onda smo sve ispravno izračunali.

Dakle, faktorirali smo originalni polinom:

4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2)(4x 2 - 11x - 3)

A sada sve što ostaje je pronaći korijene kvadratne jednadžbe

4x 2 - 11x - 3 = 0
D = b 2 - 4ac = (-11) 2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ jednadžba ima 2 korijena

Pronašli smo sve korijene jednačine.

da rešavam matematiku. Pronađite brzo rješavanje matematičke jednačine u modu online. Web stranica www.site dozvoljava riješiti jednačinu skoro svaki dat algebarski, trigonometrijski ili transcendentalna jednadžba online. Kada proučavate gotovo bilo koju granu matematike u različitim fazama, morate odlučiti jednačine online. Da biste odmah dobili odgovor, i što je najvažnije tačan, potreban vam je resurs koji vam to omogućava. Hvala sajtu www.site rješavajte jednačine na mreži trajat će nekoliko minuta. Glavna prednost www.site kod rješavanja matematičkih jednačine online- ovo je brzina i tačnost pruženog odgovora. Stranica je u stanju riješiti bilo koje algebarske jednadžbe online, trigonometrijske jednadžbe online, transcendentalne jednadžbe na mreži, i jednačine sa nepoznatim parametrima u modu online. Jednačine služe kao moćan matematički aparat rješenja praktični problemi. Uz pomoć matematičke jednačine moguće je izraziti činjenice i odnose koji na prvi pogled mogu izgledati zbunjujuće i složene. Nepoznate količine jednačine može se naći formulisanjem problema u matematički jezik u formi jednačine I odlučiti primljen zadatak u modu online na web stranici www.site. Bilo koji algebarska jednačina, trigonometrijska jednačina ili jednačine koji sadrži transcendentalno funkcije koje možete lako odlučiti online i dobiti tačan odgovor. Kada studirate prirodne nauke, neminovno se susrećete sa potrebom rješavanje jednačina. U ovom slučaju, odgovor mora biti tačan i mora se dobiti odmah u režimu online. Stoga za rješavanje matematičkih jednačina na mreži preporučujemo stranicu www.site, koja će postati vaš nezamjenjiv kalkulator rješavati algebarske jednadžbe online, trigonometrijske jednadžbe online, i transcendentalne jednadžbe na mreži ili jednačine sa nepoznatim parametrima. Za praktične probleme pronalaženja korijena raznih matematičke jednačine resurs www.. Rješavanje jednačine online sami, korisno je provjeriti primljeni odgovor koristeći online rješavanje jednačina na web stranici www.site. Morate ispravno napisati jednačinu i odmah dobiti online rješenje, nakon čega ostaje samo da uporedite odgovor sa vašim rješenjem jednačine. Provjera odgovora neće trajati više od jedne minute, to je dovoljno riješiti jednačinu na mreži i uporedi odgovore. Ovo će vam pomoći da izbjegnete greške u odluka i na vrijeme ispraviti odgovor rješavanje jednačina na mreži bilo algebarski, trigonometrijski, transcendentalno ili jednačina sa nepoznatim parametrima.

I. Linearne jednadžbe

II. Kvadratne jednadžbe

sjekira 2 + bx +c= 0, a≠ 0, inače jednačina postaje linearna

Korijeni kvadratne jednadžbe mogu se izračunati na različite načine, na primjer:

Dobri smo u rješavanju kvadratnih jednačina. Mnoge jednačine viših stupnjeva mogu se svesti na kvadratne jednačine.

III. Jednačine svedene na kvadratne.

promjena varijable: a) bikvadratna jednačina sjekira 2n+ bx n+ c = 0,a ≠ 0,n ≥ 2

2) simetrična jednačina stepena 3 – jednačina oblika

3) simetrična jednačina stepena 4 – jednačina oblika

sjekira 4 + bx 3 + cx 2 +bx + a = 0, a≠ 0, koeficijenti a b c b a ili

sjekira 4 + bx 3 + cx 2 –bx + a = 0, a≠ 0, koeficijenti a b c (–b) a

Jer x= 0 nije korijen jednadžbe, tada je moguće podijeliti obje strane jednačine sa x 2, onda dobijamo: .

Izvođenjem zamjene rješavamo kvadratnu jednačinu a(t 2 – 2) + bt + c = 0

Na primjer, riješimo jednačinu x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x+ 1 = 0, podijelite obje strane sa x 2 ,

, nakon zamjene dobijamo jednačinu t 2 – 2t – 3 = 0

– jednačina nema korijena.

4) Jednačina oblika ( x–a)(x–b)(x–c)(x–d) = Sjekira 2 , koeficijenti ab = cd

Na primjer, ( x+2)(x +3)(x+8)(x+12) = 4x 2. Množenjem 1–4 i 2–3 zagrade dobijamo ( x 2 + 14x+ 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2, podijelite obje strane jednačine sa x 2, dobijamo:

Imamo ( t+ 14)(t + 11) = 4.

5) Homogena jednačina stepena 2 - jednačina oblika P(x,y) = 0, gde je P(x,y) polinom, čiji svaki član ima stepen 2.

Odgovor: -2; -0,5; 0

IV. Sve gore navedene jednačine su prepoznatljive i tipične, ali šta je sa jednadžbama proizvoljnog oblika?

Neka je zadan polinom P n( x) = a n x n+ a n-1 x n-1 + ...+ a 1x+ a 0 , gdje a n ≠ 0

Razmotrimo metodu smanjenja stepena jednačine.

Poznato je da ako koeficijenti a su cijeli brojevi i a n = 1, zatim cjelobrojni korijeni jednadžbe P n( x) = 0 su među djeliteljima slobodnog člana a 0 . Na primjer, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x+ 5 = 0, djelitelji broja 5 su brojevi 5; -5; 1; -1. Onda P 4 (1) = 0, tj. x= 1 je korijen jednadžbe. Spustimo stepen jednačine P 4 (x) = 0 dijeljenjem polinoma sa “uglom” sa faktorom x –1, dobijamo

P 4 (x) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).

Isto tako, P 3 (1) = 0, onda P 4 (x) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x+5), tj. jednačina P 4 (x) = 0 ima korijen x 1 = x 2 = 1. Pokažimo kraće rješenje ove jednačine (koristeći Hornerovu šemu).

	1	2	–2	–6	5
1	1	3	1	–5	0
1	1	4	5	0

znači, x 1 = 1 znači x 2 = 1.

Dakle, ( x– 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0

sta smo uradili? Snizili smo stepen jednačine.

V. Razmotrite simetrične jednačine stepena 3 i 5.

A) sjekira 3 + bx 2 + bx + a= 0, očigledno x= –1 je korijen jednačine, tada spuštamo stepen jednačine na dva.

b) sjekira 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a= 0, očigledno x= –1 je korijen jednačine, tada spuštamo stepen jednačine na dva.

Na primjer, pokažimo rješenje jednačine 2 x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0

	2	3	–5	–5	3	2
–1	2	1	–6	1	2	0
1	2	3	–3	–2	0
1	2	5	2	0

x = –1

Dobijamo ( x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x+ 2) = 0. To znači da su korijeni jednačine: 1; 1; -1; –2; –0,5.

VI. Evo liste različitih jednačina koje treba riješiti u razredu i kod kuće.

Predlažem čitaocu da sam riješi jednačine 1–7 i dobije odgovore...

Kvadratne jednačine se izučavaju u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplikovano. Sposobnost njihovog rješavanja je apsolutno neophodna.

Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, imajte na umu da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:

1. Oni nemaju korijene;
2. Imati tačno jedan korijen;
3. Imaju dva različita korijena.

Ovo je bitna razlika između kvadratnih jednačina i linearnih, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko korijena ima jednačina? Postoji divna stvar za ovo - diskriminatorno.

Diskriminantno

Neka je data kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminanta jednostavno broj D = b 2 − 4ac.

Ovu formulu morate znati napamet. Sada nije važno odakle dolazi. Još jedna stvar je važna: po znaku diskriminanta možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. naime:

1. Ako je D< 0, корней нет;
2. Ako je D = 0, postoji tačno jedan korijen;
3. Ako je D > 0, postojaće dva korena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne njihove znakove, kako iz nekog razloga mnogi vjeruju. Pogledajte primjere i sve ćete sami razumjeti:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Napišimo koeficijente za prvu jednačinu i nađemo diskriminanta:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, tako da jednačina ima dva različita korijena. Drugu jednačinu analiziramo na sličan način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant je negativan, nema korijena. Zadnja preostala jednačina je:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nula - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da su koeficijenti zapisani za svaku jednačinu. Da, dugo je, da, zamorno je, ali nećete miješati šanse i praviti glupe greške. Odaberite za sebe: brzinu ili kvalitet.

Usput, ako se snađete, nakon nekog vremena nećete morati zapisivati ​​sve koeficijente. Takve operacije ćete izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednačina - općenito, ne toliko.

Korijeni kvadratne jednadžbe

Sada pređimo na samo rješenje. Ako je diskriminanta D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Hajde da ih pronađemo:

Druga jednačina:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Hajde da ih nađemo

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(poravnati)\]

Konačno, treća jednačina:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednačina ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se greške javljaju prilikom zamjene negativnih koeficijenata u formulu. Ovdje će opet pomoći gore opisana tehnika: pogledajte formulu doslovno, zapišite svaki korak - i vrlo brzo ćete se riješiti grešaka.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Dešava se da se kvadratna jednačina malo razlikuje od onoga što je dato u definiciji. Na primjer:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Lako je primijetiti da ovim jednačinama nedostaje jedan od pojmova. Takve kvadratne jednadžbe još je lakše riješiti od standardnih: ne zahtijevaju čak ni izračunavanje diskriminanta. Dakle, hajde da predstavimo novi koncept:

Jednačina ax 2 + bx + c = 0 naziva se nepotpuna kvadratna jednačina ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.

Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b = c = 0. U ovom slučaju, jednačina ima oblik ax 2 = 0. Očigledno, takva jednačina ima jedan korijen: x = 0.

Razmotrimo preostale slučajeve. Neka je b = 0, onda ćemo dobiti nepotpunu kvadratnu jednačinu oblika ax 2 + c = 0. Transformirajmo je malo:

Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnog broja, posljednja jednakost ima smisla samo za (−c /a) ≥ 0. Zaključak:

1. Ako je u nepotpunoj kvadratnoj jednadžbi oblika ax 2 + c = 0 nejednakost (−c /a) ≥ 0 zadovoljena, postojaće dva korena. Formula je data gore;
2. Ako (−c /a)< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban – u nepotpunim kvadratnim jednačinama uopšte nema složenih proračuna. Zapravo, nije potrebno čak ni zapamtiti nejednakost (−c /a) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti šta se nalazi na drugoj strani znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, korijena uopće neće biti.

Pogledajmo sada jednačine oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će postojati dva korijena. Dovoljno je faktorisati polinom:

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada

Proizvod je nula kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Odatle potiču korijeni. U zaključku, pogledajmo nekoliko od ovih jednačina:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0

Prvo morate pronaći jedan korijen koristeći metodu odabira. Obično je to djelitelj slobodnog člana. U ovom slučaju, djelitelji broja 12 su ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Počnimo da ih zamjenjujemo jednu po jednu:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ broj 1

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ broj -1 nije korijen polinoma

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ broj 2 je korijen polinoma

Pronašli smo 1 od korijena polinoma. Koren polinoma je 2, što znači da originalni polinom mora biti djeljiv sa x - 2. Da bismo izvršili podjelu polinoma, koristimo Hornerovu shemu:

	2	5	-11	-20	12
2

Koeficijenti originalnog polinoma su prikazani u gornjem redu. Korijen koji smo pronašli nalazi se u prvoj ćeliji drugog reda 2. Drugi red sadrži koeficijente polinoma koji je rezultat dijeljenja. Računaju se ovako:

2 5 -11 -20 12 2 2	U drugu ćeliju drugog reda upisujemo broj 2, jednostavnim pomicanjem iz odgovarajuće ćelije prvog reda.
2 5 -11 -20 12 2 2 9	2 ∙ 2 + 5 = 9
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7	2 ∙ 9 - 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6	2 ∙ 7 - 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Posljednji broj je ostatak dijeljenja. Ako je jednako 0, onda smo sve ispravno izračunali.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)

Ali ovo nije kraj. Možete pokušati proširiti polinom na isti način 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.

Opet tražimo korijen među djeliteljima slobodnog člana. Brojevi djelitelji -6 su ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ broj 1 nije korijen polinoma

-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ broj -1 nije korijen polinoma

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ broj 2 nije korijen polinoma

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ broj -2 je korijen polinoma

Upišimo pronađeni korijen u našu Horner shemu i počnimo popunjavati prazne ćelije:

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2	U drugu ćeliju trećeg reda upisujemo broj 2, jednostavnim pomicanjem iz odgovarajuće ćelije drugog reda.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5	-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3	-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0	-2 ∙ (-3) - 6 = 0

Dakle, faktorirali smo originalni polinom:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)

Polinom 2x 2 + 5x - 3 takođe može biti faktorizovan. Da biste to učinili, možete riješiti kvadratnu jednačinu kroz diskriminantu, ili možete potražiti korijen među djeliteljima broja -3. Na ovaj ili onaj način, doći ćemo do zaključka da je korijen ovog polinoma broj -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	U drugu ćeliju četvrtog reda upisujemo broj 2, jednostavnim pomicanjem iz odgovarajuće ćelije trećeg reda.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) - 3 = 0

Dakle, dekomponovali smo originalni polinom na linearne faktore:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)

A korijeni jednačine su.