Vrste linearnih jednadžbi. Rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Sistem linearnih jednačina je unija od n linearnih jednačina, od kojih svaka sadrži k varijabli. Napisano je ovako:

Mnogi, kada se prvi put suoče s višom algebrom, pogrešno vjeruju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem varijabli. U školskoj algebri to je obično slučaj, ali za višu algebru to, općenito govoreći, nije istina.

Rješenje sistema jednačina je niz brojeva (k 1 , k 2 , ..., k n ), koji je rješenje svake jednačine sistema, tj. pri zamjeni u ovu jednačinu umjesto varijabli x 1 , x 2 , ..., x n daje tačnu numeričku jednakost.

Prema tome, riješiti sistem jednačina znači pronaći skup svih njegovih rješenja ili dokazati da je ovaj skup prazan. Budući da broj jednačina i broj nepoznatih možda nisu isti, moguća su tri slučaja:

1. Sistem je nekonzistentan, tj. skup svih rješenja je prazan. Prilično rijedak slučaj koji se lako otkriva bez obzira na to kojom metodom se sistem rješava.
2. Sistem je konzistentan i definisan, tj. ima tačno jedno rešenje. Klasična verzija, poznata još od škole.
3. Sistem je konzistentan i nedefinisan, tj. ima beskonačno mnogo rješenja. Ovo je najteža opcija. Nije dovoljno reći da "sistem ima beskonačan skup rješenja" - potrebno je opisati kako je taj skup uređen.

Varijabla x i se naziva dozvoljenom ako je uključena u samo jednu jednačinu sistema, i to sa koeficijentom 1. Drugim riječima, u preostalim jednačinama koeficijent za varijablu x i mora biti jednak nuli.

Ako u svakoj jednačini odaberemo jednu dozvoljenu varijablu, dobićemo skup dozvoljenih varijabli za cijeli sistem jednačina. Sam sistem, napisan u ovom obliku, takođe će se zvati dozvoljenim. Uopšteno govoreći, jedan te isti početni sistem može se svesti na različite dozvoljene sisteme, ali nas to sada ne zanima. Evo primjera dozvoljenih sistema:

Oba sistema su dozvoljena u odnosu na varijable x 1 , x 3 i x 4 . Međutim, sa istim uspjehom može se tvrditi da je drugi sistem dozvoljen u odnosu na x 1 , x 3 i x 5 . Dovoljno je prepisati najnoviju jednačinu u obliku x 5 = x 4 .

Sada razmotrite opštiji slučaj. Pretpostavimo da imamo k varijabli ukupno, od kojih je r dozvoljeno. Tada su moguća dva slučaja:

1. Broj dozvoljenih varijabli r jednak je ukupnom broju varijabli k: r = k. Dobijamo sistem od k jednačina u kojem je r = k dozvoljenih varijabli. Takav sistem je kolaborativan i određen, jer x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Broj dozvoljenih varijabli r manji je od ukupnog broja varijabli k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Dakle, u gornjim sistemima varijable x 2 , x 5 , x 6 (za prvi sistem) i x 2 , x 5 (za drugi) su slobodne. Slučaj kada postoje slobodne varijable bolje je formulirati kao teorem:

Imajte na umu: ovo je veoma važna tačka! U zavisnosti od toga kako pišete konačni sistem, ista varijabla može biti i dozvoljena i slobodna. Većina naprednih nastavnika matematike preporučuje pisanje varijabli leksikografskim redom, tj. rastući indeks. Međutim, ne morate uopće slijediti ovaj savjet.

Teorema. Ako su u sistemu od n jednačina varijable x 1 , x 2 , ..., x r dozvoljene, a x r + 1 , x r + 2 , ..., x k su slobodne, tada:

1. Ako postavimo vrijednosti slobodnih varijabli (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), a zatim pronađemo vrijednosti x 1 , x 2 , . .., x r , dobijamo jedno od rješenja.
2. Ako su vrijednosti slobodnih varijabli u dva rješenja iste, onda su i vrijednosti dozvoljenih varijabli iste, tj. rješenja su jednaka.

Šta je značenje ove teoreme? Da bi se dobila sva rješenja dozvoljenog sistema jednačina, dovoljno je izdvojiti slobodne varijable. Tada ćemo, dodjeljujući različite vrijednosti slobodnim varijablama, dobiti gotova rješenja. To je sve - na ovaj način možete dobiti sva rješenja sistema. Drugih rješenja nema.

Zaključak: dozvoljeni sistem jednačina je uvijek konzistentan. Ako je broj jednačina u dozvoljenom sistemu jednak broju varijabli, sistem će biti određen, a ako je manji, biće neodređen.

I sve bi bilo u redu, ali postavlja se pitanje: kako iz originalnog sistema jednačina dobiti riješeno? Za ovo postoji

Prvo morate razumjeti šta je to.

Postoji jednostavna definicija linearna jednačina, koji se daje u običnoj školi: "jednačina u kojoj se varijabla pojavljuje samo u prvom stepenu." Ali to nije sasvim tačno: jednačina nije linearna, čak nije ni svedena na takvu, već je svedena na kvadratnu.

Preciznija definicija je: linearna jednačina je jednačina koja ekvivalentne transformacije može se svesti na oblik gdje naslov="(!LANG:a,b u bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Zapravo, da bi se razumjelo da li je jednadžba linearna ili ne, mora se prvo pojednostaviti, odnosno dovesti do oblika u kojem će njena klasifikacija biti nedvosmislena. Zapamtite, s jednačinom možete učiniti sve što ne mijenja svoje korijene - to jest ekvivalentna transformacija. Od najjednostavnijih ekvivalentnih transformacija možemo razlikovati:

1. proširenje zagrada
2. donoseći slično
3. množenje i/ili dijeljenje obje strane jednačine brojem koji nije nula
4. sabiranje i/ili oduzimanje od oba dijela istog broja ili izraza*

Ove transformacije možete obaviti bezbolno, bez razmišljanja o tome hoćete li "pokvariti" jednačinu ili ne.
*Posebno tumačenje posljednje transformacije je "prenošenje" pojmova iz jednog dijela u drugi s promjenom predznaka.

Primjer 1:
(otvorene zagrade)
(dodati oba dijela i oduzmi/prenesi sa promjenom predznaka broja lijevo, a promjenljivih desno)
(navedite slične)
(podijelite sa 3 obje strane jednačine)

Tako smo dobili jednačinu koja ima iste korijene kao i originalna. Podsjećamo čitaoca na to "riješi jednačinu" znači pronaći sve njegove korijene i dokazati da drugih nema, i "koren jednadžbe"- ovo je broj koji će, kada se zameni nepoznatom, pretvoriti jednačinu u pravu jednakost. Pa, u posljednjoj jednadžbi, pronalaženje broja koji pretvara jednadžbu u ispravnu jednakost je vrlo jednostavno - ovo je broj. Nijedan drugi broj neće ovu jednačinu učiniti identitetom. odgovor:

Primjer 2:
(pomnožite obje strane jednačine sa , pazeći da ne množimo sa : title="(!LANG:x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(otvorene zagrade)
(premjesti uslove)
(navedite slične)
(podijeliti oba dijela sa )

Ovako se rješavaju sve linearne jednadžbe. Za mlađe čitaoce, najvjerovatnije, ovo objašnjenje se činilo komplikovanim, pa nudimo verziju "linearne jednadžbe za 5. razred"

Sistemi jednačina se široko koriste u ekonomskoj industriji u matematičkom modeliranju različitih procesa. Na primjer, kod rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (problem transporta) ili smještaja opreme.

Sistemi jednačina se koriste ne samo u oblasti matematike, već iu fizici, hemiji i biologiji, kada se rešavaju problemi određivanja veličine populacije.

Sistem linearnih jednačina je pojam za dvije ili više jednačina sa više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednačine postaju istinite jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednačina

Jednačine oblika ax+by=c nazivaju se linearne. Oznake x, y su nepoznanice, čija se vrijednost mora pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednačine.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem njenog grafika izgledat će kao prava linija, čije su sve točke rješenje polinoma.

Vrste sistema linearnih jednačina

Najjednostavniji su primjeri sistema linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcionalne varijable.

Riješite sistem jednačina - to znači pronaći takve vrijednosti (x, y) za koje sistem postaje istinska jednakost, ili utvrditi da ne postoje odgovarajuće vrijednosti za x i y.

Par vrijednosti (x, y), napisan kao koordinate tačke, naziva se rješenjem sistema linearnih jednadžbi.

Ako sistemi imaju jedno zajedničko rješenje ili ne postoji rješenje, nazivaju se ekvivalentnim.

Homogeni sistemi linearnih jednačina su sistemi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka "jednako" ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sistem nije homogen.

Broj varijabli može biti mnogo veći od dvije, tada bi trebalo govoriti o primjeru sistema linearnih jednačina sa tri ili više varijable.

Suočeni sa sistemima, školarci pretpostavljaju da se broj jednačina nužno mora podudarati sa brojem nepoznanica, ali to nije tako. Broj jednačina u sistemu ne zavisi od varijabli, može ih biti proizvoljno veliki broj.

Jednostavne i složene metode za rješavanje sistema jednačina

Ne postoji opšti analitički način rješavanja ovakvih sistema, sve metode su bazirane na numeričkim rješenjima. Školski predmet matematike detaljno opisuje metode kao što su permutacija, algebarsko sabiranje, supstitucija, kao i grafička i matrična metoda, rješenja Gaussovom metodom.

Osnovni zadatak u nastavi metoda rješavanja je naučiti kako pravilno analizirati sistem i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sistem pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe primjene određene metode.

Rješenje primjera sistema linearnih jednačina 7. razreda opšteobrazovnog programa prilično je jednostavno i detaljno je objašnjeno. U svakom udžbeniku matematike, ovom dijelu se posvećuje dovoljno pažnje. Rješenje primjera sistema linearnih jednačina po metodi Gauss-a i Cramera detaljnije se proučava na prvim kursevima visokoškolskih ustanova.

Rješenje sistema metodom supstitucije

Radnje metode zamjene imaju za cilj izražavanje vrijednosti jedne varijable kroz drugu. Izraz se zamjenjuje u preostalu jednačinu, a zatim se svodi na jedan oblik varijable. Akcija se ponavlja u zavisnosti od broja nepoznatih u sistemu

Dajemo primjer sistema linearnih jednadžbi 7. klase metodom zamjene:

Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x je izražena kroz F(X) = 7 + Y. Rezultirajući izraz, zamijenjen u 2. jednačinu sistema umjesto X, pomogao je da se dobije jedna varijabla Y u 2. jednačini . Rješenje ovog primjera ne izaziva poteškoće i omogućava vam da dobijete vrijednost Y. Zadnji korak je provjera dobivenih vrijednosti.

Nije uvijek moguće riješiti primjer sistema linearnih jednačina zamjenom. Jednačine mogu biti složene i izraz varijable u terminima druge nepoznate bit će previše glomazan za dalje proračune. Kada postoji više od 3 nepoznate u sistemu, rešenje zamene je takođe nepraktično.

Rješenje primjera sistema linearnih nehomogenih jednadžbi:

Rješenje korištenjem algebarskog sabiranja

Prilikom traženja rješenja sistema metodom sabiranja vrši se sabiranje član po član i množenje jednačina različitim brojevima. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednačina sa jednom promenljivom.

Primjena ove metode zahtijeva praksu i promatranje. Nije lako riješiti sistem linearnih jednadžbi metodom sabiranja s brojem varijabli 3 ili više. Algebarsko sabiranje je korisno kada jednadžbe sadrže razlomke i decimalne brojeve.

Algoritam akcije rješenja:

1. Pomnožite obje strane jednačine nekim brojem. Kao rezultat aritmetičke operacije, jedan od koeficijenata varijable mora postati jednak 1.
2. Dodajte rezultirajući izraz pojam po član i pronađite jednu od nepoznatih.
3. Zamijenite rezultirajuću vrijednost u 2. jednadžbu sistema da biste pronašli preostalu varijablu.

Metoda rješenja uvođenjem nove varijable

Nova varijabla se može uvesti ako sistem treba da pronađe rješenje za najviše dvije jednačine, broj nepoznatih također ne smije biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednačina se rješava s obzirom na unesenu nepoznatu, a rezultirajuća vrijednost se koristi za određivanje originalne varijable.

Iz primjera se može vidjeti da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sistema na standardni kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminanta.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminanta koristeći dobro poznatu formulu: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željeni diskriminant, b, a, c su množitelji polinoma. U datom primjeru, a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminanta veća od nule, postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminanta manja od nule, postoji samo jedno rješenje: x= -b / 2*a.

Rješenje za rezultirajuće sisteme nalazi se metodom sabiranja.

Vizuelna metoda za rješavanje sistema

Pogodno za sisteme sa 3 jednačine. Metoda se sastoji u crtanju grafikona svake jednačine uključene u sistem na koordinatnoj osi. Koordinate tačaka preseka krivih biće opšte rešenje sistema.

Grafička metoda ima niz nijansi. Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja sistema linearnih jednadžbi na vizuelni način.

Kao što se može vidjeti iz primjera, za svaku liniju su konstruirane dvije tačke, vrijednosti varijable x odabrane su proizvoljno: 0 i 3. Na osnovu vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Tačke sa koordinatama (0, 3) i (3, 0) označene su na grafikonu i povezane linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednačinu. Tačka preseka pravih je rešenje sistema.

U sljedećem primjeru potrebno je pronaći grafičko rješenje za sistem linearnih jednačina: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Kao što se vidi iz primjera, sistem nema rješenja, jer su grafovi paralelni i ne seku se cijelom dužinom.

Sistemi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruišu, postaje očigledno da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći da li sistem ima rješenje ili ne, uvijek je potrebno izgraditi graf.

Matrica i njene varijante

Matrice se koriste za kratko zapisivanje sistema linearnih jednačina. Matrica je posebna vrsta tabele ispunjene brojevima. n*m ima n - redova i m - kolona.

Matrica je kvadratna kada je broj kolona i redova jednak. Matrica-vektor je matrica sa jednim stupcem sa beskonačno mogućim brojem redova. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nultim elementima naziva se identitet.

Inverzna matrica je takva matrica, kada se pomnoži s kojom se originalna pretvara u jediničnu, takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu.

Pravila za transformaciju sistema jednačina u matricu

Što se tiče sistema jednačina, koeficijenti i slobodni članovi jednačina zapisuju se kao brojevi matrice, jedna jednačina je jedan red matrice.

Red matrice se naziva ne-nula ako barem jedan element reda nije jednak nuli. Stoga, ako se u bilo kojoj od jednadžbi razlikuje broj varijabli, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznate koja nedostaje.

Kolone matrice moraju striktno odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu upisati samo u jedan stupac, na primjer prvi, koeficijent nepoznatog y - samo u drugi.

Prilikom množenja matrice svi elementi matrice se sukcesivno množe brojem.

Opcije za pronalaženje inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je prilično jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 inverzna matrica i |K| - matrična determinanta. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sistem ima rješenje.

Determinanta se lako izračunava za matricu dva po dva, potrebno je samo pomnožiti elemente dijagonalno jedan s drugim. Za opciju "tri po tri" postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu, ili se možete sjetiti da trebate uzeti po jedan element iz svakog reda i svake kolone kako se brojevi stupaca i redova elemenata ne bi ponavljali u proizvodu.

Rješenje primjera sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućava smanjenje glomaznih unosa pri rješavanju sistema sa velikim brojem varijabli i jednačina.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni članovi.

Rješenje sistema Gaussovom metodom

U višoj matematici Gaussova metoda se proučava zajedno sa Cramer metodom, a proces pronalaženja rješenja za sisteme naziva se Gauss-Cramerova metoda rješavanja. Ove metode se koriste za pronalaženje varijabli sistema sa velikim brojem linearnih jednačina.

Gausova metoda je vrlo slična rješenjima zamjene i algebarskog sabiranja, ali je sistematičnija. U školskom predmetu se koristi Gausovo rješenje za sisteme od 3 i 4 jednačine. Svrha metode je da se sistem dovede u oblik obrnutog trapeza. Algebarskim transformacijama i supstitucijama, vrijednost jedne varijable se nalazi u jednoj od jednadžbi sistema. Druga jednačina je izraz sa 2 nepoznate, a 3 i 4 - sa 3 i 4 varijable, respektivno.

Nakon dovođenja sistema u opisani oblik, dalje rješenje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednačine sistema.

U školskim udžbenicima za 7. razred primjer Gaussovog rješenja je opisan na sljedeći način:

Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) su dobijene dvije jednačine 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješenje bilo koje od jednadžbi će vam omogućiti da saznate jednu od varijabli x n.

Teorema 5, koja se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednačina sistema zamijeni ekvivalentnom, onda će i rezultirajući sistem biti ekvivalentan izvornom.

Gaussovu metodu teško je razumjeti učenicima srednjih škola, ali je jedan od najzanimljivijih načina da se razvije domišljatost djece koja studiraju u naprednom studijskom programu na časovima matematike i fizike.

Radi lakšeg snimanja proračuna, uobičajeno je učiniti sljedeće:

Koeficijenti jednadžbi i slobodni termini su zapisani u obliku matrice, pri čemu svaki red matrice odgovara jednoj od jednačina sistema. odvaja lijevu stranu jednačine od desne. Rimski brojevi označavaju brojeve jednačina u sistemu.

Prvo zapisuju matricu s kojom će raditi, a zatim sve radnje koje se izvode s jednim od redova. Rezultirajuća matrica se upisuje nakon znaka "strelica" i nastavlja izvoditi potrebne algebarske operacije dok se ne postigne rezultat.

Kao rezultat toga, treba dobiti matricu u kojoj je jedna od dijagonala 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica se svodi na jedan oblik. Ne smijemo zaboraviti napraviti proračune s brojevima obje strane jednačine.

Ova notacija je manje glomazna i omogućava vam da vas ne ometa navođenje brojnih nepoznanica.

Besplatna primjena bilo koje metode rješenja zahtijevat će brigu i određeno iskustvo. Ne primjenjuju se sve metode. Neki načini pronalaženja rješenja su poželjniji u određenom području ljudske djelatnosti, dok drugi postoje u svrhu učenja.

Linearne jednadžbe. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Linearne jednadžbe.

Linearne jednačine nisu najteža tema u školskoj matematici. Ali postoje neki trikovi koji mogu zbuniti čak i obučenog učenika. Hoćemo li to shvatiti?)

Linearna jednadžba se obično definira kao jednačina oblika:

sjekira + b = 0 gdje a i b- bilo koji broj.

2x + 7 = 0. Evo a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Ovdje a=0,1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Ovdje a=12, b=1/2

Ništa komplikovano, zar ne? Pogotovo ako ne primjećujete riječi: "gdje su a i b bilo koji brojevi"... A ako primijetite, ali nemarno razmislite o tome?) Uostalom, ako a=0, b=0(da li su mogući brojevi?), onda dobijamo smiješan izraz:

Ali to nije sve! ako, recimo, a=0, a b=5, ispada nešto sasvim apsurdno:

Ono što opterećuje i podriva samopouzdanje u matematici, da...) Pogotovo na ispitima. Ali od ovih čudnih izraza, također morate pronaći X! Koji uopšte ne postoji. I, iznenađujuće, ovaj X je vrlo lako pronaći. Naučit ćemo kako to učiniti. U ovoj lekciji.

Kako prepoznati linearnu jednačinu po izgledu? Zavisi kakav je izgled.) Trik je u tome što se linearne jednačine ne nazivaju samo jednadžbama oblika sjekira + b = 0 , ali i sve jednadžbe koje se transformacijama i simplifikacijama svode na ovaj oblik. I ko zna da li je smanjen ili ne?)

U nekim slučajevima može se jasno prepoznati linearna jednačina. Recimo, ako imamo jednačinu u kojoj postoje samo nepoznate u prvom stepenu, da brojevi. A jednačina nije razlomci podijeljeni sa nepoznato , važno je! I podjela po broj, ili brojčani razlomak - to je to! Na primjer:

Ovo je linearna jednadžba. Ovdje postoje razlomci, ali nema x u kvadratu, u kocki, itd., a nema x u nazivnicima, tj. br podjela sa x. A evo jednačine

ne može se nazvati linearnim. Ovdje su svi x u prvom stepenu, ali postoji podjela po izrazu sa x. Nakon pojednostavljenja i transformacija, možete dobiti i linearnu jednačinu, i kvadratnu, i sve što želite.

Ispostavilo se da je nemoguće pronaći linearnu jednačinu u nekom zamršenom primjeru dok je gotovo ne riješite. To je uznemirujuće. Ali u zadacima se po pravilu ne pitaju za oblik jednačine, zar ne? U zadacima su jednačine uređene odlučiti. Ovo me čini srećnom.)

Rješenje linearnih jednadžbi. Primjeri.

Cjelokupno rješenje linearnih jednačina sastoji se od identičnih transformacija jednačina. Inače, ove transformacije (čak dvije!) leže u osnovi rješenja sve matematičke jednačine. Drugim riječima, odluka bilo koji Jednačina počinje istim ovim transformacijama. U slučaju linearnih jednadžbi, ono (rješenje) na ovim transformacijama završava se potpunim odgovorom. Ima smisla pratiti vezu, zar ne?) Štaviše, postoje i primjeri rješavanja linearnih jednačina.

Počnimo s najjednostavnijim primjerom. Bez ikakvih zamki. Recimo da trebamo riješiti sljedeću jednačinu.

x - 3 = 2 - 4x

Ovo je linearna jednadžba. X-ovi su svi na prvi stepen, nema dijeljenja sa X. Ali, zapravo, nije nas briga šta je jednačina. Moramo to riješiti. Shema je ovdje jednostavna. Sakupite sve sa x-ovima na lijevoj strani jednačine, sve bez x-ova (brojeva) na desnoj strani.

Da biste to učinili, morate izvršiti transfer - 4x na lijevu stranu, uz promjenu predznaka, naravno, ali - 3 - nadesno. Usput, ovo je prva identična transformacija jednačina. Iznenađen? Dakle, nisu pratili link, ali uzalud ...) Dobijamo:

x + 4x = 2 + 3

Dajemo slično, smatramo:

Šta nam je potrebno da bismo bili potpuno srećni? Da, tako da je čisto X na lijevoj strani! Pet stane na put. Riješite se pet sa druga identična transformacija jednačina. Naime, oba dijela jednačine podijelimo sa 5. Dobijamo gotov odgovor:

Elementarni primjer, naravno. Ovo je za zagrevanje.) Nije baš jasno zašto sam se setio identičnih transformacija ovde? UREDU. Uzimamo bika za rogove.) Hajde da odlučimo nešto impresivnije.

Na primjer, evo ove jednadžbe:

Gdje da počnemo? Sa X - lijevo, bez X - desno? Moglo bi biti tako. Mali koraci duž dugog puta. A možete odmah, na univerzalan i moćan način. Osim ako, naravno, u vašem arsenalu postoje identične transformacije jednačina.

Postavljam vam ključno pitanje: Šta vam se najviše ne sviđa u ovoj jednačini?

95 ljudi od 100 će odgovoriti: razlomci ! Odgovor je tačan. Pa hajde da ih se riješimo. Tako da počinjemo odmah sa druga identična transformacija. Čime je potrebno pomnožiti razlomak s lijeve strane tako da se nazivnik potpuno smanji? Tako je, 3. A desno? Sa 4. Ali matematika nam omogućava da pomnožimo obje strane sa isti broj. Kako da izađemo? Pomnožimo obje strane sa 12! One. na zajednički imenilac. Tada će se tri smanjiti, a četiri. Ne zaboravite da svaki dio trebate pomnožiti u potpunosti. Evo kako izgleda prvi korak:

Proširivanje zagrada:

Bilješka! Brojač (x+2) Uzeo sam u zagrade! To je zato što se kada se množe razlomci, brojilac množi s cjelinom, u potpunosti! A sada možete smanjiti razlomke i smanjiti:

Otvaranje preostalih zagrada:

Nije primjer, već čisto zadovoljstvo!) Sada se prisjećamo čarolije iz nižih razreda: sa x - lijevo, bez x - desno! I primijenite ovu transformaciju:

Evo nekih poput:

I oba dijela podijelimo sa 25, tj. ponovo primijeni drugu transformaciju:

To je sve. odgovor: X=0,16

Imajte na umu: da bismo izvornu zbunjujuću jednadžbu doveli u ugodan oblik, koristili smo dva (samo dva!) identične transformacije- prevođenje lijevo-desno sa promjenom predznaka i množenjem-dijeljenjem jednačine istim brojem. Ovo je univerzalni način! Radićemo na ovaj način bilo koji jednačine! Apsolutno bilo koji. Zato stalno ponavljam ove identične transformacije.)

Kao što vidite, princip rješavanja linearnih jednadžbi je jednostavan. Uzimamo jednačinu i pojednostavljujemo je uz pomoć identičnih transformacija dok ne dobijemo odgovor. Ovdje su glavni problemi u proračunima, a ne u principu rješenja.

Ali... U procesu rješavanja najelementarnijih linearnih jednadžbi ima takvih iznenađenja da ih mogu dovesti u jaku omamljenost...) Na sreću, takva iznenađenja mogu biti samo dva. Nazovimo ih posebnim slučajevima.

Posebni slučajevi u rješavanju linearnih jednačina.

Prvo iznenađenje.

Pretpostavimo da naiđete na elementarnu jednačinu, nešto poput:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Pomalo dosadno prenosimo sa X na lijevo, bez X - na desno... Sa promjenom predznaka, sve je chin-chinar... Dobijamo:

2x-5x+3x=5-2-3

Vjerujemo, i... oh moj! Dobijamo:

Sama po sebi, ova jednakost nije sporna. Nula je zaista nula. Ali X je nestao! I moramo napisati u odgovoru, čemu je x jednako. Inače, rešenje se ne računa, da...) Slepa ulica?

Smiren! U takvim sumnjivim slučajevima spašavaju najopštija pravila. Kako riješiti jednačine? Šta znači riješiti jednačinu? Ovo znači, pronađite sve vrijednosti x koje će nam, kada se zamijene u originalnu jednadžbu, dati tačnu jednakost.

Ali imamo tačnu jednakost već dogodilo! 0=0, gdje stvarno?! Ostaje da shvatimo pri kojim x-ovima se ovo dobija. U koje se vrijednosti x mogu zamijeniti početni jednadžba ako su ova x i dalje smanjiti na nulu? Hajde?)

Da!!! Xs se mogu zamijeniti bilo koji!Šta želiš. Najmanje 5, najmanje 0,05, najmanje -220. I dalje će se smanjiti. Ako mi ne vjerujete, možete provjeriti.) Zamijenite bilo koje vrijednosti x u početni jednačinu i izračunaj. Sve vreme će se dobiti čista istina: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tako dalje.

Evo vašeg odgovora: x je bilo koji broj.

Odgovor se može napisati različitim matematičkim simbolima, suština se ne mijenja. Ovo je potpuno tačan i potpun odgovor.

Drugo iznenađenje.

Uzmimo istu elementarnu linearnu jednačinu i promijenimo samo jedan broj u njoj. Evo šta ćemo odlučiti:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Nakon istih identičnih transformacija, dobijamo nešto intrigantno:

Volim ovo. Riješio linearnu jednačinu, dobio čudnu jednakost. Matematički gledano, imamo pogrešna jednakost. A jednostavno rečeno, to nije tačno. Rave. Ali ipak, ova glupost je sasvim dobar razlog za ispravno rješenje jednadžbe.)

Opet, razmišljamo na osnovu opštih pravila. Šta će nam dati x, kada se zameni u originalnu jednačinu ispravan jednakost? Da, nijedan! Takvih X-ova nema. Šta god zamijenite, sve će se smanjiti, gluposti će ostati.)

Evo vašeg odgovora: nema rješenja.

Ovo je takođe savršeno validan odgovor. U matematici se takvi odgovori često javljaju.

Volim ovo. Sada se nadam da vam gubitak X-ova u procesu rješavanja bilo koje (ne samo linearne) jednadžbe neće nimalo smetati. Stvar je poznata.)

Sada kada smo riješili sve zamke u linearnim jednačinama, ima smisla riješiti ih.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

I tako dalje, logično je upoznati se sa jednadžbama drugih vrsta. Sljedeći na redu su linearne jednačine, čije svrsishodno učenje počinje na časovima algebre u 7. razredu.

Jasno je da prvo treba objasniti šta je linearna jednačina, dati definiciju linearne jednačine, njene koeficijente, pokazati njen opći oblik. Tada možete shvatiti koliko rješenja linearna jednadžba ima ovisno o vrijednostima koeficijenata i kako se pronalaze korijeni. To će vam omogućiti da prijeđete na rješavanje primjera i na taj način konsolidirate proučavanu teoriju. U ovom članku ćemo učiniti ovo: detaljno ćemo se zadržati na svim teorijskim i praktičnim točkama u vezi s linearnim jednadžbama i njihovim rješenjem.

Recimo odmah da ćemo ovdje razmatrati samo linearne jednadžbe s jednom varijablom, a u posebnom članku proučavat ćemo principe rješavanja linearne jednadžbe u dvije varijable.

Navigacija po stranici.

Šta je linearna jednačina?

Definicija linearne jednačine je data oblikom njene notacije. Štaviše, u različitim udžbenicima matematike i algebre, formulacije definicija linearnih jednačina imaju neke razlike koje ne utiču na suštinu problema.

Na primjer, u udžbeniku algebre za 7. razred Yu. N. Makarycheva i drugih, linearna jednačina je definirana na sljedeći način:

Definicija.

Tipska jednadžba ax=b, gdje je x varijabla, a i b neki brojevi, se poziva linearna jednačina sa jednom promenljivom.

Navedimo primjere linearnih jednadžbi koje odgovaraju glasovnoj definiciji. Na primjer, 5 x=10 je linearna jednadžba s jednom promjenljivom x, ovdje je koeficijent a 5, a broj b je 10. Drugi primjer: −2.3 y=0 je takođe linearna jednačina, ali sa varijablom y, gdje je a=−2.3 i b=0. I u linearnim jednačinama x=−2 i −x=3,33 a nisu eksplicitno prisutne i jednake su 1 i −1, respektivno, dok je u prvoj jednačini b=−2 i u drugoj - b=3,33 .

Godinu dana ranije, u udžbeniku matematike N. Ya. Vilenkina, linearne jednačine sa jednom nepoznatom, pored jednačina oblika a x = b, razmatrane su i jednačine koje se mogu svesti na ovaj oblik prenošenjem članova iz jednog dela jednadžbe na drugu sa suprotnim predznakom, kao i smanjenjem sličnih članova. Prema ovoj definiciji, jednačine oblika 5 x=2 x+6, itd. takođe su linearni.

Zauzvrat, sljedeća definicija je data u udžbeniku algebre za 7 razreda A. G. Mordkovicha:

Definicija.

Linearna jednadžba sa jednom varijablom x je jednadžba oblika a x+b=0, gdje su a i b neki brojevi, koji se nazivaju koeficijenti linearne jednačine.

Na primjer, linearne jednačine ove vrste su 2 x−12=0, ovdje je koeficijent a jednak 2, a b jednako -12 i 0,2 y+4,6=0 sa koeficijentima a=0,2 i b =4,6. Ali u isto vrijeme, postoje primjeri linearnih jednadžbi koje imaju oblik ne a x+b=0, već a x=b, na primjer, 3 x=12.

Hajde da, da ubuduće ne bude bilo kakvih neslaganja, pod linearnom jednačinom sa jednom promenljivom x i koeficijentima a i b razumećemo jednačinu oblika a x+b=0 . Čini se da je ova vrsta linearne jednadžbe najopravdanija, jer linearne jednačine jesu algebarske jednačine prvi stepen. A sve ostale gore navedene jednadžbe, kao i jednadžbe koje se svode na oblik a x+b=0 uz pomoć ekvivalentnih transformacija, zvat će se jednadžbe koje se svode na linearne jednačine. Sa ovim pristupom, jednačina 2 x+6=0 je linearna jednačina, a 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, itd. su linearne jednačine.

Kako riješiti linearne jednačine?

Sada je vrijeme da shvatimo kako se rješavaju linearne jednačine a x+b=0. Drugim riječima, vrijeme je da saznamo da li linearna jednadžba ima korijene, i ako ima, koliko i kako ih pronaći.

Prisustvo korijena linearne jednadžbe ovisi o vrijednostima koeficijenata a i b. U ovom slučaju, linearna jednačina a x+b=0 ima

• jedini korijen na a≠0 ,
• nema korijena za a=0 i b≠0 ,
• ima beskonačno mnogo korijena za a=0 i b=0, u kom slučaju je bilo koji broj korijen linearne jednadžbe.

Objasnimo kako su ovi rezultati dobijeni.

Znamo da je za rješavanje jednadžbi moguće prijeći sa izvorne jednadžbe na ekvivalentne jednačine, odnosno na jednačine s istim korijenima ili, kao i originalna, bez korijena. Da biste to učinili, možete koristiti sljedeće ekvivalentne transformacije:

• prijenos člana iz jednog dijela jednačine u drugi sa suprotnim predznakom,
• kao i množenje ili dijeljenje obje strane jednačine istim brojem koji nije nula.

Dakle, u linearnoj jednadžbi sa jednom promenljivom oblika a x+b=0, možemo pomeriti pojam b sa leve na desnu stranu sa suprotnim predznakom. U ovom slučaju, jednačina će imati oblik a x=−b.

A onda se naslućuje podjela oba dijela jednačine brojem a. Ali postoji jedna stvar: broj a može biti jednak nuli, u kom slučaju je takva podjela nemoguća. Da bismo se pozabavili ovim problemom, prvo ćemo pretpostaviti da je broj a različit od nule, a malo kasnije ćemo posebno razmotriti slučaj nule a.

Dakle, kada a nije jednako nuli, tada možemo podijeliti oba dijela jednačine a x=−b sa a , nakon čega se pretvara u oblik x=(−b):a , ovaj rezultat se može napisati pomoću puna linija kao .

Dakle, za a≠0, linearna jednačina a·x+b=0 je ekvivalentna jednadžbi , iz koje je vidljiv njen korijen.

Lako je pokazati da je ovaj korijen jedinstven, odnosno da linearna jednadžba nema drugih korijena. Ovo vam omogućava da uradite suprotnu metodu.

Označimo korijen sa x 1 . Pretpostavimo da postoji još jedan korijen linearne jednadžbe, koji označavamo x 2, i x 2 ≠ x 1, koji zbog definicije jednakih brojeva kroz razliku je ekvivalentno uslovu x 1 − x 2 ≠0 . Kako su x 1 i x 2 korijeni linearne jednačine a x+b=0, tada se javljaju numeričke jednakosti a x 1 +b=0 i a x 2 +b=0. Od ovih jednakosti možemo oduzeti odgovarajuće dijelove, što nam svojstva numeričkih jednakosti dozvoljavaju, imamo a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , odakle je a (x 1 −x 2)+( b−b)=0, a zatim a (x 1 − x 2)=0 . A ova jednakost je nemoguća, jer i a≠0 i x 1 − x 2 ≠0. Tako smo došli do kontradikcije, koja dokazuje jedinstvenost korijena linearne jednačine a·x+b=0 za a≠0 .

Dakle, riješili smo linearnu jednačinu a x+b=0 sa a≠0 . Prvi rezultat dat na početku ovog pododjeljka je opravdan. Postoje još dva koja ispunjavaju uslov a=0.

Za a=0 linearna jednačina a·x+b=0 postaje 0·x+b=0. Iz ove jednadžbe i svojstva množenja brojeva sa nulom, slijedi da bez obzira koji broj uzmemo kao x, kada ga zamenimo u jednačinu 0 x+b=0, dobijamo numeričku jednakost b=0. Ova jednakost je tačna kada je b=0, au ostalim slučajevima kada je b≠0 ova jednakost je netačna.

Prema tome, za a=0 i b=0, bilo koji broj je korijen linearne jednadžbe a x+b=0, jer pod ovim uvjetima, zamjena bilo kojeg broja umjesto x daje tačnu numeričku jednakost 0=0. A za a=0 i b≠0, linearna jednadžba a x+b=0 nema korijena, jer pod ovim uvjetima, zamjena bilo kojeg broja umjesto x dovodi do netačne numeričke jednakosti b=0.

Gore navedena opravdanja omogućavaju formiranje niza akcija koje omogućavaju rješavanje bilo koje linearne jednadžbe. dakle, algoritam za rješavanje linearne jednačine je:

• Prvo, pisanjem linearne jednadžbe, nalazimo vrijednosti koeficijenata a i b.
• Ako je a=0 i b=0, onda ova jednadžba ima beskonačno mnogo korijena, naime, bilo koji broj je korijen ove linearne jednadžbe.
• Ako je a različito od nule, onda
• koeficijent b se prenosi na desnu stranu sa suprotnim predznakom, dok se linearna jednačina pretvara u oblik a x=−b ,
• nakon čega su oba dijela rezultirajuće jednadžbe podijeljena brojem različitom od nule a, što daje željeni korijen originalne linearne jednačine.

Napisani algoritam je iscrpan odgovor na pitanje kako riješiti linearne jednadžbe.

U zaključku ovog paragrafa, vrijedi reći da se sličan algoritam koristi za rješavanje jednačina oblika a x=b. Njegova razlika je u tome što se kada a≠0 oba dijela jednačine odmah dijele ovim brojem, ovdje je b već u željenom dijelu jednačine i ne treba ga prenositi.

Za rješavanje jednačina oblika a x=b koristi se sljedeći algoritam:

• Ako je a=0 i b=0, onda jednačina ima beskonačno mnogo korijena, koji su bilo koji brojevi.
• Ako je a=0 i b≠0, onda originalna jednadžba nema korijena.
• Ako je a različit od nule, tada su obje strane jednadžbe podijeljene nenultim brojem a, iz kojeg se nalazi jedini korijen jednadžbe jednak b / a.

Primjeri rješavanja linearnih jednačina

Pređimo na praksu. Hajde da analiziramo kako se primenjuje algoritam za rešavanje linearnih jednačina. Predstavimo rješenja tipičnih primjera koji odgovaraju različitim vrijednostima koeficijenata linearnih jednadžbi.

Primjer.

Riješite linearnu jednačinu 0 x−0=0 .

Rješenje.

U ovoj linearnoj jednačini, a=0 i b=−0, što je isto kao i b=0. Dakle, ova jednadžba ima beskonačno mnogo korijena, bilo koji broj je korijen ove jednačine.

odgovor:

x je bilo koji broj.

Primjer.

Da li linearna jednadžba 0 x+2.7=0 ima rješenja?

Rješenje.

U ovom slučaju, koeficijent a je jednak nuli, a koeficijent b ove linearne jednačine jednak je 2,7, odnosno različit je od nule. Prema tome, linearna jednadžba nema korijen.