Vrste matrica. Stepwise Matrix View

ODA. Pravougaoni sto sa t linije i P kolone realnih brojeva se zove matrica veličina t×n. Matrice se označavaju velikim latiničnim slovima: A, B, ..., a niz brojeva se razlikuje okruglim ili uglastim zagradama.

Brojevi uključeni u tablicu nazivaju se matričnim elementima i označavaju se malim latiničnim slovima s dvostrukim indeksom, gdje i- broj reda j– broj kolone na čijem se preseku element nalazi. Općenito, matrica se piše na sljedeći način:

Razmatraju se dvije matrice jednaka ako su im odgovarajući elementi jednaki.

Ako je broj redova matrice t jednak broju njegovih kolona P, tada se matrica zove kvadrat(inače pravougaone).

Size Matrix
naziva se matrica reda. Size Matrix

naziva se matrica stupaca.

Elementi matrice sa jednakim indeksima (
itd.), obrazac glavna dijagonala matrice. Druga dijagonala se zove bočna dijagonala.

Kvadratna matrica se zove dijagonala ako su svi njegovi elementi koji se nalaze izvan glavne dijagonale jednaki nuli.

Poziva se dijagonalna matrica čiji su dijagonalni unosi jednaki jedan single matricu i ima standardnu oznaku E:

Ako su svi elementi matrice koji se nalaze iznad (ili ispod) glavne dijagonale jednaki nuli, kaže se da matrica ima trokutasti oblik:

§2. Matrične operacije

1. Transpozicija matrice - transformacija u kojoj se redovi matrice zapisuju kao kolone uz zadržavanje njihovog poretka. Za kvadratnu matricu, ova transformacija je ekvivalentna simetričnom preslikavanju u odnosu na glavnu dijagonalu:

2. Matrice iste dimenzije mogu se sabrati (oduzeti). Zbir (razlika) matrica je matrica iste dimenzije, čiji je svaki element jednak zbiru (razlici) odgovarajućih elemenata originalnih matrica:

3. Bilo koja matrica se može pomnožiti brojem. Proizvod matrice brojem je matrica istog reda, čiji je svaki element jednak umnošku odgovarajućeg elementa originalne matrice ovim brojem:

4. Ako je broj stupaca jedne matrice jednak broju redova druge, tada možete prvu matricu pomnožiti drugom. Proizvod takvih matrica je matrica, čiji je svaki element jednak zbroju parnih proizvoda elemenata odgovarajućeg reda prve matrice i elemenata odgovarajuće kolone druge matrice.

Posljedica. Eksponencijacija matrice to>1 je proizvod matrice A to jednom. Definirano samo za kvadratne matrice.

Primjer.

Svojstva operacija nad matricama.

(A+B)+C=A+(B+C);
k(A+B)=kA+kV;
A(B+C)=AB+AC;
(A+B)C=AC+BC;
k(AB)=(kA)B=A(kV);
A(BC)=(AB)C;
(kA) T =kA T;
(A + B) T \u003d A T + B T;
(AB) T =B T A T;

Gore navedena svojstva su slična svojstvima operacija nad brojevima. Postoje i specifična svojstva matrica. To uključuje, na primjer, karakteristično svojstvo množenja matrice. Ako proizvod AB postoji, onda proizvod BA

Možda ne postoji

Može se razlikovati od AB.

Primjer. Kompanija proizvodi proizvode dva tipa A i B i koristi tri vrste sirovina S 1 , S 2 i S 3 . Stope potrošnje sirovina date su matricom N=
, gdje n ij- količina sirovina j potrošeno na proizvodnju jedinice proizvoda i. Plan proizvodnje je dat matricom C = (100 200), a jedinični trošak svake vrste sirovine je dat matricom . Odrediti troškove sirovina potrebnih za planiranu proizvodnju i ukupne troškove sirovina.

Rješenje. Trošak sirovina definiran je kao proizvod matrica C i N:

Ukupni trošak sirovina izračunavamo kao proizvod S i P.

Matrica je pravokutna tablica brojeva koja se sastoji od m žice iste dužine ili n kolone iste dužine.

aij- element matrice koji se nalazi u i -ti red i j -th kolona.

Radi kratkoće, matrica se može označiti jednim velikim slovom, na primjer, ALI ili AT.

Općenito, matrica veličine m× n napiši ovako

primjeri:

Ako je broj redaka u matrici jednak broju stupaca, tada se matrica naziva kvadrat, a broj njegovih redova ili stupaca se poziva u redu matrice. U gornjim primjerima, druga matrica je kvadratna - njen red je 3, a četvrta matrica - njen red je 1.

Poziva se matrica u kojoj broj redova nije jednak broju stupaca pravougaona. U primjerima, ovo je prva matrica i treća.

glavna dijagonala Kvadratna matrica je dijagonala koja ide od gornjeg lijevog do donjeg desnog ugla.

Zove se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli trouglasti matrica.

Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi, osim možda onih na glavnoj dijagonali, jednaki nuli, naziva se dijagonala matrica. Na primjer, ili.

Poziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni unosi jednaki jedan single matrica i označena je slovom E. Na primjer, matrica identiteta 3. reda ima oblik .

nazad na sadržaj

(36) 85. Šta su linearne operacije nad matricama? Primjeri.

U svim slučajevima kada se uvode novi matematički objekti, potrebno je dogovoriti pravila djelovanja na njima, kao i odrediti koji se objekti smatraju međusobno jednakim.

Priroda objekata je nebitna. To mogu biti realni ili kompleksni brojevi, vektori, matrice, nizovi ili nešto drugo.

Standardne operacije uključuju linearne operacije, i to: množenje brojem i sabiranje; u ovom konkretnom slučaju - množenje matrica brojem i sabiranje matrica.

Prilikom množenja matrice brojem, svaki element matrice se množi tim brojem, a sabiranje matrice podrazumijeva zbrajanje u paru elemenata koji se nalaze na ekvivalentnim pozicijama.

Terminološki izraz „linearna kombinacija<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

matrice A = || a i j|| i B = || a i j|| smatraju se jednakima ako imaju iste dimenzije i njihovi odgovarajući matrični elementi su parno jednaki:

Matrično dodavanje Operacija sabiranja je definirana samo za matrice iste veličine. Rezultat sabiranja matrice A = || a i j|| i B = || b i j|| je matrica C = || c i j|| , čiji su elementi jednaki zbiru odgovarajućih elemenata matrice.

Matrica je označena velikim latiničnim slovima ( ALI, AT, IZ,...).

Definicija 1. Pravougaona tabela oblika,

koji se sastoji od m linije i n kolone se zove matrica.

Element matrice, i – broj reda, j – broj kolone.

Vrste matrica:

elementi na glavnoj dijagonali:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. Determinante 2., 3. i n-tog reda

Neka su date dvije kvadratne matrice:

Definicija 1. Determinanta drugog reda matrice ALI 1 je broj označen sa ∆ i jednak , gdje

Primjer. Izračunajte determinantu 2. reda:

Definicija 2. Determinanta 3. reda kvadratne matrice ALI 2 naziva se broj oblika:

Ovo je jedan od načina za izračunavanje determinante.

Primjer. Izračunati

Definicija 3. Ako se determinanta sastoji od n-redova i n-stupaca, onda se naziva determinanta n-tog reda.

Svojstva determinanti:

Odrednica se ne mijenja tokom transpozicije (tj. ako se redovi i kolone u njoj zamjenjuju uz održavanje redoslijeda).

Ako se bilo koja dva reda ili dvije kolone zamijene u determinanti, tada determinanta mijenja samo predznak.

Zajednički faktor bilo kojeg reda (kolone) može se izvaditi iz predznaka determinante.

Ako su svi elementi bilo kojeg reda (stupca) determinante jednaki nuli, tada je determinanta jednaka nuli.

Determinanta je nula ako su elementi bilo koja dva reda jednaki ili proporcionalni.

Determinanta se ne mijenja ako se odgovarajući elementi drugog reda (kolone) pomnožene istim brojem dodaju elementima bilo kojeg reda (kolone).

Primjer.

Definicija 4. Poziva se determinanta dobijena iz datog brisanjem kolone i reda minor odgovarajući element. M ij element a ij .

Definicija 5. Algebarsko sabiranje element a ij , naziva se izraz

§3. Matrične akcije

Linearne operacije

1) Prilikom dodavanja matrica, dodaju se njihovi istoimeni elementi.

Prilikom oduzimanja matrica oduzimaju se njihovi istoimeni elementi.

Prilikom množenja matrice brojem, svaki element matrice se množi tim brojem:

3.2 Množenje matrice.

Posao matrice ALI na matricu AT je nova matrica čiji su elementi jednaki zbroju proizvoda elemenata i-tog reda matrice ALI na odgovarajuće elemente j-te kolone matrice AT. Matrični proizvod ALI na matricu AT može se pronaći samo ako je broj stupaca matrice ALI jednak je broju redova matrice AT. U suprotnom, rad je nemoguć.

komentar:

(ne podliježe svojstvu komutativnosti)

§ 4. Inverzna matrica

Inverzna matrica postoji samo za kvadratnu matricu, a matrica mora biti nesingularna.

Definicija 1. Matrica ALI pozvao nedegenerisan ako determinanta ove matrice nije jednaka nuli

Definicija 2. ALI-1 zove inverzna matrica za datu nesingularnu kvadratnu matricu ALI, ako se množenjem ove matrice sa datom oba na desnoj strani, onda na lijevoj, dobije matrica identiteta.

Algoritam za izračunavanje inverzne matrice

1 način (koristeći algebarske dodatke)

Primjer 1:

Matrice. Vrste matrica. Operacije nad matricama i njihovim svojstvima.

Determinanta matrice n-tog reda. N, Z, Q, R, C,

Matrica reda m*n je pravokutna tablica brojeva koja sadrži m-redova i n-kolona.

Jednakost matrice:

Dvije matrice se nazivaju jednakima ako je broj redova i stupaca jedne od njih jednak broju redova i stupaca druge i, respektivno. elementi ovih matrica su jednaki.

Napomena: Elementi sa istim indeksima se podudaraju.

Vrste matrica:

Kvadratna matrica: kaže se da je matrica kvadratna ako je broj redaka jednak broju stupaca.

Pravokutni: kaže se da je matrica pravokutna ako broj redova nije jednak broju stupaca.

Matrica reda: matrica reda 1*n (m=1) ima oblik a11,a12,a13 i naziva se matrica reda.

Kolona matrice:………….

Dijagonala: dijagonala kvadratne matrice, koja ide od gornjeg lijevog do donjeg desnog kuta, odnosno koja se sastoji od elemenata a11, a22 ...... - naziva se glavna dijagonala. (definicija: kvadratna matrica, čiji su svi elementi jednaki nuli, osim onih koji se nalaze na glavnoj dijagonali, naziva se dijagonalna matrica.

Identitet: Dijagonalna matrica se naziva identitetom ako se svi elementi nalaze na glavnoj dijagonali i jednaki su 1.

Gornji trokutasti: A=||aij|| naziva se gornja trokutasta matrica ako je aij=0. Pod uslovom i>j.

Donji trougaoni: aij=0. i

Nula: Ovo je matrica čiji su Els 0.

Operacije na matricama.

1. Transpozicija.

2. Množenje matrice brojem.

3. Sabiranje matrice.

4. Množenje matrice.

Osnovna sv-va akcija na matrice.

1.A+B=B+A (komutativnost)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (asocijativnost)

3.a(A+B)=aA+aB (distributivnost)

4.(a+b)A=aA+bA (distributivna)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.)

6.AB≠BA (bez komun.)

7.A(BC)=(AB)C (asocijativno) – izvršava se ako je def. Izvode se matrični proizvodi.

8.A(B+C)=AB+AC (distributivni)

(B+C)A=BA+CA (distributivna)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Determinanta kvadratne matrice - definicija i njena svojstva. Dekompozicija determinante u redove i kolone. Metode za izračunavanje determinanti.

Ako matrica A ima red m>1, tada je determinanta ove matrice broj.

Algebarski komplement Aij elementa aij matrice A je manji Mij pomnožen brojem

TEOREMA 1: Determinanta matrice A jednaka je zbiru proizvoda svih elemenata proizvoljnog reda (kolone) i njihovih algebarskih komplementa.

Osnovna svojstva determinanti.

1. Determinanta matrice se neće promijeniti kada se transponira.

2. Prilikom permutiranja dva reda (kolone) determinanta mijenja predznak, ali se njena apsolutna vrijednost ne mijenja.

3. Determinanta matrice koja ima dva identična reda (kolone) je 0.

4. Kada se red (kolona) matrice množi brojem, njena determinanta se množi ovim brojem.

5. Ako se jedan od redova (kolona) matrice sastoji od 0, tada je determinanta ove matrice 0.

6. Ako su svi elementi i-tog reda (kolone) matrice predstavljeni kao zbir dva člana, onda se njena determinanta može predstaviti kao zbir determinanti dvije matrice.

7. Determinanta se neće promeniti ako se, odnosno, elementi jedne kolone (reda) dodaju elementima druge kolone (reda) prethodnim množenjem. za isti broj.

8. Zbir proizvoljnih elemenata bilo kojeg stupca (reda) determinante na odgovarajući algebarski komplement elemenata drugog stupca (reda) je 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Metode za izračunavanje determinante:

1. Po definiciji ili teoremi 1.

2. Redukcija na trouglasti oblik.

Definicija i svojstva inverzne matrice. Izračunavanje inverzne matrice. Matrične jednačine.

Definicija: Kvadratna matrica reda n naziva se inverzna matrici A istog reda i označava se

Da bi matrica A imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da je determinanta matrice A različita od 0.

Svojstva inverzne matrice:

1. Jedinstvenost: za datu matricu A njen inverz je jedinstven.

2. matrična determinanta

3. Operacija uzimanja transpozicije i uzimanja inverzne matrice.

Matrične jednadžbe:

Neka su A i B dvije kvadratne matrice istog reda.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Koncept linearne zavisnosti i nezavisnosti matričnih kolona. Svojstva linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti sistema stubova.

Kolone A1,A2…An se nazivaju linearno zavisne ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija jednaka 0. koloni.

Kolone A1,A2…An se nazivaju linearno nezavisnim ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija jednaka 0. koloni.

Linearna kombinacija se naziva trivijalna ako su svi koeficijenti S(l) jednaki 0 i netrivijalna u suprotnom.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. Da bi kolone bile linearno zavisne, potrebno je i dovoljno da neka kolona bude linearna kombinacija drugih kolona.

Neka 1 od kolona https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src="> bude linearna kombinacija drugih kolona.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> su linearno zavisne, tada su svi stupci linearno zavisni.

4. Ako je sistem kolona linearno nezavisan, onda je i bilo koji njegov podsistem linearno nezavisan.

(Sve što se kaže o kolonama važi i za redove).

Matrix minors. Osnovni maloljetnici. Matrix rang. Metoda rubnih minora za izračunavanje ranga matrice.

Minor reda matrice A je determinanta čiji se elementi nalaze na presjeku k-redova i k-redova matrice A.

Ako su svi minori reda k matrice A = 0, tada je i svaki minor reda k + 1 jednak 0.

Osnovni mol.

Rang matrice A je red njenog baznog minora.

Metoda graničnih minora: - Biramo element matrice A koji nije nula (ako takav element ne postoji, tada je rang A = 0)

Graničimo prethodni mol 1. reda sa molom 2. reda. (Ako ovaj minor nije jednak 0, tada je rang >=2) Ako je rang ovog minora =0, tada graničimo odabrani minor 1. reda sa ostalim minorima 2. reda. (Ako su svi minori 2. reda = 0, tada je rang matrice = 1).

Matrični rang. Metode za određivanje ranga matrice.

Rang matrice A je red njenog baznog minora.

Metode obračuna:

1) Metoda obrubljivanja minora: -Izaberite element matrice A koji nije nula (ako takvog elementa nema, onda je rang = 0) - Obrubite prethodni minor 1. reda sa minorom 2. reda..gif" width= "40" visina="22" >r+1 Mr+1=0.

2) Dovođenje matrice u stepenasti oblik: ova metoda se zasniva na elementarnim transformacijama. Pod elementarnim transformacijama, rang matrice se ne mijenja.

Sljedeće transformacije se nazivaju elementarne transformacije:

Permutacija dva reda (kolona).

Množenje svih elemenata neke kolone (reda) brojem koji nije =0.

Zbrajanje svim elementima određene kolone (reda) elemenata druge kolone (reda), prethodno pomnoženih istim brojem.

Osnovna mala teorema. Neophodan i dovoljan uslov da determinanta bude jednaka nuli.

Osnovni minor matrice A je minor najvećeg k-tog reda različitog od 0.

Osnovna mala teorema:

Osnovni redovi (kolone) su linearno nezavisni. Svaki red (kolona) matrice A je linearna kombinacija osnovnih redova (kolona).

Napomene: Redovi i kolone na čijem presjeku se nalazi osnovni minor nazivaju se osnovnim redovima, odnosno stupcima.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Neophodni i dovoljni uslovi da determinanta bude jednaka nuli:

Da bi determinanta n-tog reda = 0, potrebno je i dovoljno da njeni redovi (kolone) budu linearno zavisni.

Sistemi linearnih jednadžbi, njihova klasifikacija i oblici označavanja. Cramerovo pravilo.

Razmotrimo sistem od 3 linearne jednadžbe sa tri nepoznate:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!}

naziva se determinanta sistema.

Sastavljamo još tri determinante na sljedeći način: zamjenjujemo sukcesivno 1, 2 i 3 stupca u determinanti D kolonom slobodnih članova

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}

Dokaz. Dakle, razmotrite sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate. Pomnožimo prvu jednačinu sistema sa algebarskim komplementom A11 elementa a11, drugu jednačinu sa A21 i treću sa A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!}

Razmotrimo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednačine. Po teoremi o proširenju determinante u smislu elemenata 1. stupca

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!}

Slično, može se pokazati da i .

Konačno, to je lako uočiti

Dakle, dobijamo jednakost: .

Shodno tome, .

Jednakosti i se izvode na sličan način, odakle slijedi tvrdnja teoreme.

Sistemi linearnih jednačina. Uvjet kompatibilnosti za linearne jednadžbe. Kronecker-Capelli teorema.

Rješenje sistema algebarskih jednačina je takav skup od n brojeva C1,C2,C3……Cn, koji, kada se zameni u originalni sistem umjesto x1,x2,x3…..xn, pretvara sve jednačine sistem u identitete.

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje.

Zajednički sistem se naziva definitivnim ako ima jedinstveno rješenje, a neodređenim ako ima beskonačno mnogo rješenja.

Uslovi kompatibilnosti sistema linearnih algebarskih jednačina.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

TEOREMA: Da bi sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih bio konzistentan, neophodno je i dovoljno da rang proširene matrice bude jednak rangu matrice A.

Napomena: Ova teorema daje samo kriterije za postojanje rješenja, ali ne ukazuje na način pronalaženja rješenja.

10 pitanje.

Sistemi linearnih jednačina. Osnovna metoda je opšta metoda za pronalaženje svih rješenja sistema linearnih jednačina.

A=a21 a22…..a2n

Osnovni manji metod:

Neka je sistem konzistentan i RgA=RgA’=r. Neka je osnovni mol naslikan u gornjem lijevom uglu matrice A.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Napomene: Ako je rang glavne matrice i razmatrane jednak r=n, tada je u ovom slučaju dj=bj i sistem ima jedinstveno rješenje.

Homogeni sistemi linearnih jednačina.

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi naziva se homogenim ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli.

AX=0 je homogen sistem.

AX = B je nehomogen sistem.

Homogeni sistemi su uvijek konzistentni.

X1 =x2 =..=xn =0

Teorema 1.

Homogeni sistemi imaju nehomogena rješenja kada je rang matrice sistema manji od broja nepoznatih.

Teorema 2.

Homogeni sistem n-linearnih jednačina sa n-nepoznatima ima rešenje različito od nule kada je determinanta matrice A jednaka nuli. (detA=0)

Osobine rješenja homogenih sistema.

Svaka linearna kombinacija rješenja homogenog sistema sama je rješenje za ovaj sistem.

α1C1 +α2C2 ; α1 i α2 su neki brojevi.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, tj. k (A C1) = 0; (AC2) = 0

Za nehomogen sistem ovo svojstvo ne vrijedi.

Fundamentalni sistem odlučivanja.

Teorema 3.

Ako je rang matričnog sistema jednačine sa n-nepoznatima r, onda ovaj sistem ima n-r linearno nezavisnih rješenja.

Neka je osnovni mol u gornjem lijevom uglu. Ako je r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Sistem od n-r linearno nezavisnih rješenja homogenog sistema linearnih jednačina sa n-nepoznatima ranga r naziva se osnovni sistem rješenja.

Teorema 4.

Svako rješenje sistema linearnih jednačina je linearna kombinacija rješenja osnovnog sistema.

S = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Ako je r

12 pitanje.

Opšte rješenje nehomogenog sistema.

Spavanje (generalno neuniformno) \u003d COO + SCH (privatno)

AX=B (heterogeni sistem); AX=0

(ASoo) + ASch = ASch = B, jer je (ASoo) = 0

Spavanje \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Mid

Gaussova metoda.

Ovo je metoda sukcesivnog eliminacije nepoznanica (varijabli) - sastoji se u tome da se uz pomoć elementarnih transformacija izvorni sistem jednadžbi svodi na ekvivalentni sistem postupnog oblika, iz kojeg se sve ostale varijable nalaze sekvencijalno. , počevši od posljednjih varijabli.

Neka je a≠0 (ako to nije slučaj, onda se to postiže preuređivanjem jednačina).

1) isključimo varijablu x1 iz druge, treće ... n-te jednačine, pomnožimo prvu jednačinu odgovarajućim brojevima i dobijene rezultate dodamo 2., 3. ... n-toj jednadžbi, tada dobijamo:

Dobijamo sistem koji je ekvivalentan originalnom.

2) isključiti varijablu x2

3) izuzimamo varijablu x3, itd.

Nastavljajući proces sekvencijalne eliminacije varijabli x4;x5...xr-1 dobijamo za (r-1)-ti korak.

Broj nula posljednjeg n-r u jednadžbi znači da njihova lijeva strana izgleda ovako: 0x1 +0x2+..+0xn

Ako barem jedan od brojeva vr+1, vr+2… nije jednak nuli, tada je odgovarajuća jednakost nekonzistentna i sistem (1) nije konzistentan. Dakle, za bilo koji konzistentan sistem, ovaj vr+1 … vm je jednak nuli.

Posljednje n-r jednačine u sistemu (1;r-1) su identiteti i mogu se zanemariti.

Moguća su dva slučaja:

a) broj jednačina sistema (1; r-1) jednak je broju nepoznatih, tj. r = n (u ovom slučaju sistem ima trouglasti oblik).

b)r

Prelazak iz sistema (1) u ekvivalentni sistem (1; r-1) naziva se direktnim potezom Gaussove metode.

O pronalaženju varijable iz sistema (1; r-1) - obrnutim tokom Gaussove metode.

Gaussove transformacije se zgodno izvode tako što se ne implementiraju pomoću jednačina, već s proširenom matricom njihovih koeficijenata.

13 pitanje.

slične matrice.

Razmotrićemo samo kvadratne matrice reda n/

Za matricu A se kaže da je slična matrici B (A~B) ako postoji nesingularna matrica S takva da je A=S-1BS.

Svojstva sličnih matrica.

1) Matrica A je slična samoj sebi. (A~A)

Ako je S=E onda EAE=E-1AE=A

2) Ako je A~B, onda B~A

Ako je A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3) Ako je A~B i istovremeno B~C, onda A~C

S obzirom da je A=S1-1BS1, i B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, gdje je S3 = S2S1

4) Determinante sličnih matrica su jednake.

S obzirom da je A~B, potrebno je dokazati da je detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (smanjenje) = detB.

5) Rangovi sličnih matrica su isti.

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti matrica.

Broj λ se naziva svojstvena vrijednost matrice A ako postoji vektor X različit od nule (stupac matrice) takav da je AX = λ X, vektor X se naziva svojstveni vektor matrice A, a skup svih svojstvenih vrijednosti naziva se spektar matrice A.

Svojstva sopstvenih vektora.

1) Kada množimo svojstveni vektor brojem, dobijamo svojstveni vektor sa istom svojstvenom vrednošću.

AX \u003d λ X; H≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) = α (λ X) = \u003d λ (α X)

2) Sopstveni vektori sa parom različitim sopstvenim vrednostima su linearno nezavisni λ1, λ2,.. λk.

Neka se sistem sastoji od 1. vektora, napravimo induktivni korak:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - pomnožite sa A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0

S1 λ1 H1 +S2 λ2 H2 + .. +Sn λn Hn = 0

Pomnožite sa λn+1 i oduzmite

C1 X1 +C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0

S1 λ1 H1 +S2 λ2 H2 + .. +Sn λn Hn+ Sn+1 λn+1 Hn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Potrebno je da C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Karakteristična jednačina.

A-λE se zove karakteristična matrica za matricu A.

Da bi vektor X različit od nule bio svojstveni vektor matrice A, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ, potrebno je da bude rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi (A - λE)X = 0

Sistem ima netrivijalno rješenje kada je det (A - XE) = 0 - ovo je karakteristična jednačina.

Izjava!

Karakteristične jednadžbe sličnih matrica se poklapaju.

det(S-1AS - λE) = det(S-1AS - λ S-1ES) = det(S-1 (A - λE)S) = det S-1 det(A - λE) detS= det(A - λE)

Karakteristični polinom.

det(A – λE) - funkcija u odnosu na parametar λ

det(A – λE) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Ovaj polinom se naziva karakterističnim polinomom matrice A.

Posljedica:

1) Ako su matrice A~B, onda je zbir njihovih dijagonalnih elemenata isti.

a11+a22+..+ann = v11+v22+..+vnn

2) Skup svojstvenih vrijednosti sličnih matrica se poklapa.

Ako su karakteristične jednadžbe matrica iste, onda one nisu nužno slične.

Za matricu A

Za matricu B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Da bi se matrica A reda n mogla dijagonalizovati, potrebno je da postoje linearno nezavisni sopstveni vektori matrice A.

Posljedica.

Ako su sve vlastite vrijednosti matrice A različite, onda je ona dijagonalizirana.

Algoritam za pronalaženje svojstvenih vektora i svojstvenih vrijednosti.

1) sastaviti karakterističnu jednačinu

2) pronaći korijene jednačina

3) sastaviti sistem jednačina za određivanje sopstvenog vektora.

λi (A-λi E)X = 0

4) pronaći osnovni sistem rješenja

x1,x2..xn-r, gdje je r rang karakteristične matrice.

r = Rg(A - λi E)

5) svojstveni vektor, svojstvene vrijednosti λi se zapisuju kao:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, gdje je C12 + C22 + ... C2n ≠0

6) provjeravamo da li se matrica može svesti na dijagonalni oblik.

7) pronaći Ag

Ag = S-1AS S=

15 pitanje.

Osnova linije, ravni, prostora.

DIV_ADBLOCK410">

Modul vektora je njegova dužina, odnosno udaljenost između A i B (││, ││). Modul vektora je jednak nuli, kada je ovaj vektor nula (│ō│=0)

4.Ort vektor.

Orth datog vektora je vektor koji ima isti smjer kao i dati vektor i ima modul jednak jedan.

Jednaki vektori imaju jednake ortove.

5. Ugao između dva vektora.

Ovo je manji dio površine, ograničen sa dvije zrake koje izlaze iz iste tačke i usmjerene su u istom smjeru kao i dati vektori.

Sabiranje vektora. Množenje vektora brojem.

1) Sabiranje dva vektora

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Množenje vektora skalarom.

Proizvod vektora i skalara je novi vektor koji ima:

a) = proizvodi modula pomnoženog vektora sa apsolutnom vrijednošću skalara.

b) smjer je isti kao pomnoženi vektor ako je skalar pozitivan, a suprotan ako je skalar negativan.

λ a(vektor)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Svojstva linearnih operacija na vektorima.

1. Zakon o komunitativnosti.

2. Zakon asocijativnosti.

3. Sabiranje sa nulom.

a(vektor)+ō= a(vektor)

4. Sabiranje sa suprotnim.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. Zakon distributivnosti.

Izraz vektora u smislu njegovog modula i jediničnog vektora.

Maksimalni broj linearno nezavisnih vektora naziva se baza.

Osnova na liniji je bilo koji vektor različit od nule.

Osnova na ravni su bilo koja dva nekalenarna vektora.

Baza u prostoru je sistem bilo koja tri nekoplanarna vektora.

Koeficijent proširenja vektora u nekoj bazi nazivamo komponente ili koordinate vektora u datoj bazi.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> izvrši sabiranje i množenje skalarom, a zatim kao rezultat bilo koji broj takvih radnji koje dobijamo:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> se nazivaju linearno zavisnim ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija jednaka ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> se nazivaju linearno nezavisnim ako ne postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija.

Svojstva linearno zavisnih i nezavisnih vektora:

1) sistem vektora koji sadrži nulti vektor je linearno zavisan.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> su linearno zavisne, neki vektor mora biti linearna kombinacija drugih vektora.

3) ako su neki od vektora iz sistema a1 (vektor), a2 (vektor) ... ak (vektor) linearno zavisni, tada su svi vektori linearno zavisni.

4) ako su svi vektori https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Linearne operacije u koordinatama.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λa3)DIV_ADBLOCK413">

Skalarni proizvod 2 vektora je broj jednak proizvodu vektora i kosinusa ugla između njih.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0 ako i samo ako su vektori ortogonalni ili je bilo koji od vektora jednak 0.

4. Distributivnost (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Izraz skalarnog proizvoda a i b u smislu njihovih koordinata

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Kada je uslov () , h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> i zove se treći vektor koji zadovoljava sljedeće jednačine:

3. - tačno

Vektorska svojstva proizvoda:

4. Vektorski proizvod koordinatnih vektora

ortonormalna osnova.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Često se koriste 3 simbola za označavanje ortonormalne osnove

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Ako je ortonormalna baza, onda

DIV_ADBLOCK414">

Prava linija u avionu. Međusobni raspored 2 prave linije. Udaljenost od tačke do prave linije. Ugao između dvije linije. Uslov paralelnosti i okomitosti 2 prave.

1. Poseban slučaj lokacije 2 prave na ravni.

1) - jednačina ravne paralelne ose OX

2) - jednačina prave paralelne osi OS

2. Međusobni raspored 2 prave linije.

Teorema 1 Neka su jednačine pravih date u odnosu na afini koordinatni sistem

A) Tada je potreban i dovoljan uslov kada se sijeku:

B) Tada je neophodan i dovoljan uslov za činjenicu da su prave paralelne uslov:

B) Tada je neophodan i dovoljan uslov da se linije spoje u jednu je uslov:

3. Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Udaljenost od tačke do prave u odnosu na kartezijanski koordinatni sistem:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Ugao između dvije prave linije. Okomito stanje.

Neka su 2 prave date u odnosu na Dekartov koordinatni sistem opštim jednačinama.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Ako , tada su linije okomite.

24 pitanje.

avion u svemiru. Uvjet komplonarnosti za vektor i ravan. Udaljenost od tačke do ravni. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije ravni.

1. Uvjet komplonarnosti za vektor i ravan.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:Untitled4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:Untitled5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Ugao između 2 ravni. Okomito stanje.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Ako , tada su ravnine okomite.

25 pitanje.

Prava linija u prostoru. Različite vrste jednačina prave u prostoru.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Vektorska jednadžba prave linije u prostoru.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Kanonska jednadžba je direktna.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:Untitled3.jpg" width="56" height="51"> !}

28 pitanje.

Elipsa. Izvođenje jednadžbe kanonske elipse. Forma. Svojstva

Elipsa je geometrijsko mjesto tačaka za koje je zbir udaljenosti od dvije fiksne udaljenosti, koje se nazivaju fokusi, za dati broj 2a veći od udaljenosti 2c između žarišta.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="(!LANG:image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="image043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

na sl.2 r1=a+ex r2=a-ex

Ur-e tangenta na elipsu

DIV_ADBLOCK417">

Kanonska jednadžba hiperbole

Forma i sv.

y=±b/a pomnožiti s korijenom (x2-a2)

Osa simetrije hiperbole su njene ose

Segment 2a - realna osa hiperbole

Ekscentricitet e=2c/2a=c/a

Ako je b=a dobijamo jednakokračnu hiperbolu

Asimptota je prava ako, uz neograničeno uklanjanje tačke M1 duž krive, udaljenost od tačke do prave teži nuli.

lim d=0 za x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

tangent hiperbole

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

parabola - lokus tačaka jednako udaljenih od tačke koja se zove fokus i date prave koja se zove direktrisa

Kanonska parabola jednadžba

svojstva

os simetrije parabole prolazi kroz njen fokus i okomita je na direktrisu

ako rotirate parabolu, dobićete eliptični paraboloid

sve parabole su slične

Pitanje 30. Istraživanje jednačine opšteg oblika krive drugog reda.

Tip krivulje def. sa vodećim pojmovima A1, B1, C1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->kriva paraboličnog tipa

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

Ako je E=0 => Ax2+2Dx+F=0

tada se x1=x2 - spaja u jedno

x1≠x2 - prave su paralelne Oy

x1≠x2 i imaginarne korijene, nema geometrijsku sliku

C≠0 A=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

Zaključak: parabolična kriva je ili parabola, ili 2 paralelne prave, ili imaginarna, ili se spajaju u jednu.

2.AC>0 -> kriva eliptičkog tipa

Dopunjujući originalnu jednačinu punim kvadratom, transformiramo je u kanonski, zatim dobivamo slučajeve

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - elipsa

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - imaginarna elipsa

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - tačka sa koordinatom x0 y0

Zaključak: kriva el. tip je ili elipsa, ili imaginarni, ili tačka

3. AC<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 hiperbola, realna os je paralelna

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 hiperbola, realna osa paralelna sa Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ur-e od dva reda

Zaključak: kriva hiperboličkog tipa je ili hiperbola ili dvije prave

Matrice u matematici su jedan od najvažnijih objekata od primijenjenog značaja. Često izlet u teoriju matrica počinje riječima: "Matrica je pravokutna tablica ...". Ovu ekskurziju ćemo započeti iz malo drugačijeg ugla.

Telefonski imenici bilo koje veličine i sa bilo kojim brojem pretplatničkih podataka nisu ništa drugo do matrice. Ove matrice izgledaju ovako:

Jasno je da svi koristimo takve matrice skoro svaki dan. Ove matrice dolaze u različitim brojevima redova (razlikuje se kao imenik koji izdaje telefonska kompanija, koji može sadržavati hiljade, stotine hiljada, pa čak i milione redova, i novu bilježnicu koju ste upravo započeli, koja ima manje od deset redova) i kolone (imenik službenika neke organizacije u kojem mogu postojati kolone kao što su pozicija i broj kancelarije i ista vaša bilježnica, gdje možda nema podataka osim imena, pa samim tim ima samo dvije kolone - ime i broj telefona).

Sve vrste matrica se mogu sabirati i množiti, a na njima se mogu izvoditi i druge operacije, ali nema potrebe za sabiranjem i množenjem telefonskih imenika, nema koristi od toga, a osim toga, možete pomjerati svoj um.

Ali vrlo mnogo matrica se može i treba sabirati i množiti i na ovaj način se mogu rješavati razni hitni zadaci. U nastavku su primjeri takvih matrica.

Matrice u kojima su stupci proizvodnja jedinica određene vrste proizvoda, a redovi su godine u kojima se bilježi proizvodnja ovog proizvoda:

Možete dodati matrice ove vrste, koje uzimaju u obzir proizvodnju sličnih proizvoda različitih preduzeća, kako biste dobili zbirne podatke za industriju.

Ili matrice koje se sastoje, na primjer, od jedne kolone, u kojoj su redovi prosječna cijena određene vrste proizvoda:

Matrice posljednje dvije vrste mogu se množiti, a rezultat je matrica reda koja sadrži troškove svih vrsta proizvoda po godinama.

Matrice, osnovne definicije

Pravougaona tabela koja se sastoji od brojeva raspoređenih u m linije i n kolone se zove mn-matrica (ili jednostavno matrica ) i napisano ovako:

(1)

U matrici (1) brojevi se nazivaju svojim elementi (kao u odrednici, prvi indeks označava broj reda, drugi - stupca, na čijem se presjeku nalazi element; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matrica se zove pravougaona , ako .

Ako m = n, tada se matrica zove kvadrat , a broj n je njegov u redu .

Determinanta kvadratne matrice A naziva se determinanta čiji su elementi elementi matrice A. Označava se simbolom | A|.

Kvadratna matrica se zove nespecijalan (ili nedegenerisan , ne-jednina ) ako njegova determinanta nije jednaka nuli, i poseban (ili degenerisati , singular ) ako je njegova determinanta nula.

Matrice se pozivaju jednaka ako imaju isti broj redova i kolona i svi odgovarajući elementi su isti.

Matrica se zove null ako su svi njegovi elementi jednaki nuli. Nulta matrica će biti označena simbolom 0 ili .

Na primjer,

matrica redova (ili mala slova ) se zove 1 n-matrica, i matrica stupaca (ili columnar ) – m 1-matrica.

Matrix A", koji se dobija iz matrice A zamena redova i kolona u njemu se zove transponovano u odnosu na matricu A. Dakle, za matricu (1), transponovana matrica je

Prijelaz na matrični rad A", transponirano u odnosu na matricu A, naziva se transpozicija matrice A. Za mn-matrica transponovana je nm-matrica.

Matrica transponovana u odnosu na matricu je A, to je

(A")" = A .

Primjer 1 Pronađite Matrix A", transponirano u odnosu na matricu

i saznati da li su determinante originalne i transponovane matrice jednake.

glavna dijagonala Kvadratna matrica je zamišljena linija koja povezuje njene elemente, za koju su oba indeksa ista. Ovi elementi se nazivaju dijagonala .

Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli se naziva dijagonala . Nisu svi dijagonalni elementi dijagonalne matrice nužno različiti od nule. Neki od njih mogu biti jednaki nuli.

Kvadratna matrica u kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jednaki istom broju različitom od nule, a svi ostali jednaki nuli naziva se skalarnu matricu .

matrica identiteta naziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici. Na primjer, matrica identiteta trećeg reda je matrica

Primjer 2 Podaci matrice:

Rješenje. Izračunajmo determinante ovih matrica. Koristeći pravilo trouglova, nalazimo

Matrična determinanta B izračunaj po formuli

Lako to shvatamo

Dakle, matrice A i su nesingularni (nedegenerirani, nesingularni) i matrica B- poseban (degenerisan, jednina).

Determinanta matrice identiteta bilo kojeg reda očito je jednaka jedan.

Riješite sami problem matrice, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 3 Matrični podaci

Odredi koji su od njih nesingularni (nedegenerisani, nesingularni).

Primjena matrica u matematičkom i ekonomskom modeliranju

U obliku matrica, strukturirani podaci o određenom objektu se jednostavno i zgodno zapisuju. Matrični modeli se kreiraju ne samo za pohranjivanje ovih strukturiranih podataka, već i za rješavanje raznih problema s tim podacima korištenjem linearne algebre.

Dakle, dobro poznati matrični model ekonomije je input-output model koji je uveo američki ekonomista ruskog porijekla Vasilij Leontijev. Ovaj model se zasniva na pretpostavci da je ceo proizvodni sektor privrede podeljen na nčiste industrije. Svaka od industrija proizvodi samo jednu vrstu proizvoda, a različite industrije proizvode različite proizvode. Zbog ovakve podjele rada između industrija, postoje međuindustrijski odnosi, čiji je smisao da se dio proizvodnje svake industrije prenosi u druge industrije kao proizvodni resurs.

Obim proizvodnje i-ta industrija (mjerena određenom jedinicom mjere) koja je proizvedena u izvještajnom periodu, označava se i naziva se ukupna proizvodnja i th industrija. Problemi su prikladno smješteni n-komponentni red matrice.

Broj jedinica proizvoda i-th industrija koju treba potrošiti j-th industrija za proizvodnju jedinice svoje proizvodnje, označava se i naziva koeficijent direktnih troškova.