Magični kvadrat Albrechta Durera. "Melanholija I" - najmisterioznija gravura Albrechta Dürera, u kojoj su šifrirane tajne poruke

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

1

14

15

4

12

7

6

9

8

11

10

5

13

2

3

16

Durer (Durer) Albrecht (1471-1528), njemački slikar, crtač, graver, teoretičar umjetnosti.

studirao sa ocem.
Otac, zlatar, želio je uključiti sina u rad u juvelirskoj radionici, ali Albrecht nije izrazio nikakvu želju. Voleo je i privlačio ga je slikanje.

Kod nirnberškog umjetnika Wolgemuta Durer je savladao ne samo slikarstvo, već i graviranje na drvetu.
Inspirisan djelima umjetnika Martina Schongauera, kojeg nikada nije upoznao, Albrecht je mnogo putovao i svuda je učio, učio, učio...

Ali došlo je vrijeme kada je Albrecht trebao da se oženi. A onda je izabrao Agnes Frey, ćerku očevog prijatelja, iz stare i poštovane nirnberške porodice. Brak sa Agnes je bio bez djece, a supružnici su bili različitog karaktera, što je porodicu činilo nesrećnom.

Ipak, otvorio je vlastiti posao i značajan dio svojih gravura izradio u svojoj radionici.
U Veneciji su kružile glasine o njegovoj ljubavi prema oba pola... Možda je Dürer praktikovao istopolnu ljubav sa srdačnim prijateljem, poznavaocem antičke književnosti Pirkheimerom.

Duga, vruća uvijena kosa, časovi plesa, strah od sifilisa u Veneciji i kupovine lijeka za ovu bolest u Holandiji, elegantna odjeća, sitna sujeta u svemu što se tiče njegove ljepote i izgleda, melanholija, narcizam i egzibicionizam, Kristov kompleks , brak bez djece, potčinjavanje svojoj ženi, nježno prijateljstvo sa slobodnjakom Pirkheimerom, kojeg je i sam u listopadskom pismu iz 1506. godine u šali predložio da kastrira -

sve je to u Direru spojeno sa nežnom brigom za majku i braću, sa dugogodišnjim napornim radom, čestim pritužbama na siromaštvo, bolest, nesreću, koje ga navodno progone.

Budite vjerni Bogu!
Budite zdravi
I večni život na nebu
Kao Blažena Djevica Marija.
Albrecht Dürer vam kaže -
Pokajte se za grijehe
Do poslednjeg dana posta,
I začepi đavola usta
Porazite nečiste.
Neka vam Gospod Isus Hrist pomogne
Budite sigurni da ste dobri!
Razmislite više o smrti
O sahrani vaših tijela.
To užasava dušu
Odvlači pažnju od zla
I grešni svijet
Od ugnjetavanja mesa
I đavolji podstreki...

Kada je 1498. Koberger objavio"apokalipsa",

Durer je stvorio 15 drvoreza koji su mu doneli evropsku slavu.Upoznavanje sa venecijanskom školom imalo je snažan uticaj na umetnikov slikarski stil.
U Veneciji je umjetnik pogubljen po narudžbi njemačkih trgovaca "Festival ružinih vijenaca" a zatim i drugi prijedlozi, slike koje su ostavile neizbrisiv utisak raznovrsnošću boja i tema.

samog cara Maksimilijan I

bio je zadivljen umjetnošću Albrechta Dürera.
Durer se držao stavova „ikonoklasta, međutim, u kasnijim radovima A. Durera neki istraživači nalaze simpatije prema protestantizmu.

Na kraju svog života Direr je mnogo radio kao slikar, u tom periodu stvorio je najdublja dela u kojima se manifestuje poznavanje holandske umetnosti.

Jedna od najvažnijih slika poslednjih godina - diptih "Četiri apostola", koju je umjetnik predstavio Gradskom vijeću 1526. godine.

U Holandiji, Dürer je postao žrtva nepoznate bolesti (moguće malarije), od koje je patio do kraja života.

Albrech je napravio takozvani magični kvadrat, prikazan na jednoj od njegovih najsavršenijih gravura -"Melanholija". Merit Durer leži u tome što je uspio da u iscrtani kvadrat upiše brojeve od 1 do 16 na način da se zbroj 34 dobije ne samo zbrajanjem brojeva okomito, vodoravno i dijagonalno, već i u sve četiri četvrtine, u središnjem četverokutu. pa čak i kada se dodaju četiri kutne ćelije. Dürer je također uspio u tabeli zaključiti godinu nastanka gravure "» (1514).

U djelima Albrechta Dürera postoje tri poznata drvoreza, koja prikazuju karte južne i sjeverne hemisfere zvjezdanog neba i istočne Zemljine hemisfere, koje su postale prve u povijesti štampane na tipografski način.

Godine 1494. knjiga Sebastiana Branta izlazi pod simboličnim naslovom"Brod budala" (Das Narrenschiff oder das Schiff von Narragonia).
Tokom putovanja Rajnom, koje su obavezne za radioničarskog šegrta, Dürer je napravio nekoliko štafelajnih gravura u duhu kasne gotike, ilustracije za „Brod budala“ S. Branta,

na kojoj flota prelazi more. Ima puno budala okolo. Ovdje se smiju glupim mornarima i brodovima Carstva.

Vjeruje se da je pored A. Durera na projektu istovremeno radilo nekoliko crtača-rezbara ... Slika "Brod budala"- napisao poznati umjetnikHieronymus Bosch.

Durerov crtež "Brod budala"

Gore desno su budale na zaprežnim kolima, dole brod plovi po moru okružen čamcima, a na brodu i u čamcima sve budale.
Mnoge ilustracije za "Brod budala", kako primećuju komentatori, IMAJU MALO ODNOSA SA SADRŽAJOM SAME KNJIGE.
Kako se ispostavilo, sama Brantova knjiga izabrana je samo kao povod, povod za objavljivanje velikog broja gravura (sto šesnaest) na temu "Brod budala".

Have Albrecht Dürer i takva slika kao "Praznik Svih Svetih" (Landauer Oltarpiece) 1511. Kunsthistorisches Museum, Beč. Ova slika je takođe donela veliku slavu umetniku.

Sea Miracle, 1498 Metropolitan Museum of Art, New York

MAGIC SQUARE

Kina se smatra rodnim mjestom magičnih kvadrata. U Kini postoji Feng Shui učenje, prema kojem boja, oblik i fizička lokacija svakog elementa u prostoru utiču na tok Qi-ja, usporavajući ga, preusmjeravajući ili ubrzavajući, što direktno utiče na nivo energije stanovnika. Da bi saznali tajne svijeta, bogovi su poslali caru Yu (Yu) najstariji simbol, trg Lo Shu (Lo - rijeka).

MAGIC SQUARE LO SHU

Legenda kaže da je prije otprilike četiri hiljade godina velika kornjača Šu izronila iz uzburkanih voda rijeke Lo. Ljudi koji su prinosili žrtve rijeci vidjeli su kornjaču i odmah je prepoznali kao božanstvo. Razmišljanja drevnih mudraca izgledala su toliko razumna caru Yuu da je naredio da se lik kornjače ovjekovječi na papiru i zapečatio ga svojim carskim pečatom. Inače, kako bismo znali za ovaj događaj?

Ova kornjača je zapravo bila posebna jer je imala čudan uzorak tačaka na oklopu. Tačke su primijenjene uredno, što je drevne filozofe navelo na ideju da kvadrat s brojevima na oklopu kornjače služi kao model prostora - mapa svijeta koju je sastavio mitski osnivač kineske civilizacije Huangdi. Zaista, zbir brojeva u kolonama, redovima, obje dijagonale kvadrata je isti M=15 i jednak je broju dana u svakom od 24 ciklusa kineske solarne godine.

Parni i neparni brojevi se izmjenjuju: osim toga, 4 parna broja (napisana odozdo prema gore u opadajućem redoslijedu) nalaze se u četiri ugla, a 5 neparnih brojeva (napisanih odozdo prema gore u rastućem redoslijedu) formiraju križ u središtu kvadrata. Pet elemenata krsta odražavaju zemlju, vatru, metal, vodu i drvo. Zbir bilo koja dva broja odvojena centrom jednaka je Ho Ti broju, tj. deset.

Parni brojevi (Zemljani simboli) Luo Shua bili su ispisani na tijelu kornjače kao crne tačke, ili Yin simboli, a neparni brojevi (Nebeski simboli) kao bijele tačke, ili Jang simboli. Zemlja 1 (ili voda) je ispod, vatra 9 (ili nebo) je iznad. Moguće je da je moderna slika broja 5, smještena u centar kompozicije, posljedica kineskog simbola dualnosti Yang i Yin.

MAGIČNI TRG IZ KHAJURAKA

Istočna soba

Magija Josepha Rudyarda Kiplinga, koji je stvorio slike Mowglija, Bagheere, Balooa, Shere Khana i, naravno, Tobaccoa, započela je uoči dvadesetog stoljeća. Pola veka ranije, u februaru 1838. godine, mladi britanski oficir u Bengalskim inženjerima, T.S. Bert, zainteresovan za razgovor slugu koji su nosili njegovu palanku, skrenuo je sa puta i naišao na drevne hramove u džunglama Indije.

Na stepenicama hrama Vishwanath, policajac je pronašao natpis koji svjedoči o drevnosti građevina. Ubrzo kasnije, energični general-major A. Cunningham nacrtao je detaljne planove za Khajuraho. Počela su iskopavanja koja su kulminirala senzacionalnim otkrićem 22 hrama. Hramove su podigli maharadži iz njihove dinastije Chandel. Nakon propasti njihovog kraljevstva, džungla je progutala zgrade na hiljadu godina. Pronađen među slikama golih bogova i boginja, kvadrat četvrtog reda zadivio je maštu.

Ne samo da je ovaj kvadrat imao isti zbir u redovima, kolonama i dijagonalama i bio je jednak 34. Oni su se poklapali i u izlomljenim dijagonalama koje su nastale kada je kvadrat savijen u torus, i to u oba smjera. Za takvo čarobnjaštvo brojeva, takvi kvadrati se nazivaju "đavolski" (ili "pandiagonalni", ili "nasik").

Naravno, to je svjedočilo o neobičnim matematičkim sposobnostima njihovih tvoraca, superiornijim od kolonijalista. Ono što su ljudi u bijelim šljemovima neizbježno osjećali.

DUREROV MAGIČNI KVADRAT

Čuveni nemački umetnik ranog 16. veka, Albrecht Durer, napravio je prvi magični kvadrat 4x4 u evropskoj umetnosti. Zbir brojeva u bilo kojem redu, koloni, dijagonali i, iznenađujuće, u svakoj četvrtini (čak i u središnjem kvadratu), pa čak i zbir brojeva uglova je 34. Dva srednja broja u donjem redu označavaju datum slika (1514). Ispravke su napravljene u srednjim kvadratima prve kolone - brojevi su deformisani.

Na slici sa okultnim krilatim mišem Saturnom, magični kvadrat je sastavljen od krilatog uma Jupitera, koji se međusobno suprotstavljaju. Polje je simetrično, jer je zbir bilo koja dva broja uključena u njega, smještena simetrično oko njegovog centra, 17. Ako zbrojite četiri broja dobivena potezom šahovskog viteza, bit će 34. Zaista, ovo polje , svojim besprekornim redom, odražava melanholiju koja je obuzela umetnika.

Jutarnji san.

Evropljane je sa nevjerovatnim brojčanim kvadratima upoznao vizantijski pisac i lingvista Moshopoulos. Njegov rad je bio poseban esej na tu temu i sadržavao je primjere autorovih magičnih kvadrata.

ORGANIZACIJA MAGIČNIH KVADRATA

Sredinom XVI vijeka. u Evropi su se pojavili radovi u kojima su se magični kvadrati pojavljivali kao objekti matematičkih istraživanja. Nakon toga uslijedila su mnoga druga djela, posebno poznatih matematičara, osnivača moderne nauke, kao što su Stiefel, Basche, Pascal, Fermat, Bessie, Euler, Gauss.

Magično, ili magični kvadrat, je kvadratna tablica ispunjena sa n 2 broja na takav način da je zbir brojeva u svakom redu, svakoj koloni i obje dijagonale isti. Definicija je uslovna, jer su i stari ljudi pridavali važnost, na primjer, boji.

normalno zove se magični kvadrat ispunjen cijelim brojevima od 1 do n 2 . Normalni magični kvadrati postoje za sve redove osim n = 2, iako je slučaj n = 1 trivijalan - kvadrat se sastoji od jednog broja.

Zove se zbir brojeva u svakom redu, koloni i dijagonali magična konstanta M. Magijska konstanta normalnog magičnog kvadrata zavisi samo od n i data je sa

M = n (n 2 + 1) / 2

Prve vrijednosti magijskih konstanti date su u tabeli

Ako su zbroji brojeva u kvadratu jednaki samo u redovima i stupcima, onda se zove semi-magical. Magični kvadrat se zove asocijativni ili simetrično, ako je zbir bilo koja dva broja koja se nalaze simetrično oko centra kvadrata n 2 + 1.

Postoji samo jedan normalan kvadrat trećeg reda. Mnogi narodi su ga poznavali. Raspored brojeva na trgu Lo Shu sličan je simboličkim oznakama duhova u Kabali i znakovima indijske astrologije.

Poznat i kao kvadrat Saturna. Neka tajna društva u srednjem vijeku su u njoj vidjela "Kabalu devet komora". Bez sumnje, nijansa zabranjene magije je mnogo značila za očuvanje njegovih slika.

Bio je važan u srednjovjekovnoj numerologiji, često se koristio kao amajlija ili alat za proricanje. Svaka njegova ćelija odgovara mističnom slovu ili drugom simbolu. Čitajući zajedno duž određene linije, ovi znakovi su prenosili okultne poruke. Brojevi koji čine datum rođenja stavljeni su u ćelije kvadrata i potom dešifrovani u zavisnosti od značenja i lokacije brojeva.

Među pandiagonalnim, kako ih još zovu, razlikuju se đavolski magični kvadrati, simetrični - idealni. Đavolji kvadrat ostaje đavolji ako se okreće, reflektira, linija se preuređuje odozgo prema dolje i obrnuto, ako se stupac precrta s desne ili lijeve strane i pripiše mu na suprotnoj strani. Ukupno ima pet transformacija, shema potonje prikazana je na slici.

Postoji 48 đavolskih kvadrata 4x4 do rotacija i refleksija. Ako uzmemo u obzir i simetriju pod toričkim paralelnim translacijama, tada ostaju samo tri suštinski različita đavolja kvadrata 4 × 4:

Claude F. Bragdon, poznati američki arhitekta, otkrio je da povezivanjem jedne po jedne ćelije sa samo parnim ili samo neparnim brojem polilinijskih magičnih kvadrata, u većini slučajeva dobijamo elegantan uzorak. Uzorak koji je izmislio za ventilacionu rešetku na plafonu Privredne komore u Ročesteru u Njujorku, gde je živeo, napravljen je od magičnog slomljenog talismana Lo-Shu. Bragdon je koristio "magične linije" kao uzorke za dizajn tkanina, korica knjiga, arhitektonskih ukrasa i ukrasnih pokrivala za glavu.

Ako postavite mozaik od identičnih đavolskih kvadrata (svaki kvadrat mora biti blizu susjeda), onda ćete dobiti nešto poput parketa, u kojem će brojevi u bilo kojoj grupi ćelija 4x4 formirati đavolji kvadrat. Brojevi u četiri ćelije, koji slijede jedan za drugim, bez obzira kako su raspoređeni - okomito, horizontalno ili dijagonalno - u zbiru uvijek daju konstantu kvadrata. Moderni matematičari takve kvadrate nazivaju "savršenim".

LATINSKI TRG

Latinski kvadrat je vrsta nepravilnih matematičkih kvadrata ispunjenih sa n različitih simbola na način da se svih n simbola pojavljuju u svakom redu i svakoj koloni (svaki jednom).

Latinski kvadrati postoje za bilo koje n. Bilo koji latinski kvadrat je tablica množenja (Cayleyeva tablica) kvazigrupe. Naziv "latinski kvadrat" potiče od Leonharda Eulera, koji je koristio latinična slova umjesto brojeva u tabeli.

Dva latinska kvadrata se zovu ortogonalno, ako su svi uređeni parovi simbola (a,b) različiti, gdje je a simbol u nekoj ćeliji prvog latinskog kvadrata, a b simbol u istoj ćeliji drugog latinskog kvadrata.

Ortogonalni latinski kvadrati postoje za bilo koji red osim 2 i 6. Za n kao prost stepen, postoji skup od n–1 ortogonalnih latinskih kvadrata u paru. Ako su svi elementi u svakoj dijagonali latinskog kvadrata različiti, onda se takav latinski kvadrat naziva dijagonala. Parovi ortogonalnih dijagonalnih latiničnih kvadrata postoje za sve redove osim 2, 3 i 6. Latinski kvadrat je uobičajen u problemima rasporeda jer nema ponovljenih brojeva u redovima i kolonama.

Kvadrat parova elemenata dva ortogonalna latinska kvadrata naziva se grčko-latinski na kvadrat. Takvi kvadrati se često koriste za konstruisanje magičnih kvadrata i u naprednim problemima rasporeda.

Proučavajući grčko-latinske kvadrate, Ojler je dokazao da kvadrati drugog reda ne postoje, ali su pronađeni kvadrati od 3, 4 i 5 reda. Nije našao ni jedan kvadrat 6. reda. On je pretpostavio da ne postoje kvadrati parnih redova koji nisu djeljivi sa 4 (tj. 6, 10, 14, itd.). 1901. godine, Gaston Terry brutalna sila potvrdio je hipotezu za 6. red. Ali 1959. godine hipotezu su pobili E. T. Parker, R. C. Bowes i C. S. Schrickhard, koji su otkrili grčko-latinski kvadrat reda 10.

ARTHUR CLARK'S POLIMINO

Polyomino - po svojoj složenosti, naravno, spada u kategoriju najtežih matematičkih kvadrata. Evo kako o njemu piše pisac naučne fantastike A. Clark - u nastavku je odlomak iz knjige "Earthly Empire". Očigledno je da je Clark, živeći na svom ostrvu, živio na Cejlonu – a njegova filozofija odvajanja od društva je sama po sebi zanimljiva, ponio se zabavom koju podučava dječakova baka i prenio je na nas. Dajmo draže ovom živopisnom opisu od dostupnih sistematizacija, koje prenose, možda, suštinu, ali ne i duh igre.

„Sada si dovoljno veliki dečko, Dankane, da razumeš ovu igru... ipak, to je mnogo više od igre. Suprotno riječima njegove bake, igra nije impresionirala Duncana. Pa, šta se može učiniti sa pet bijelih plastičnih kvadrata?

„Pre svega“, nastavi baka, „treba da proveriš koliko različitih šara možeš da sastaviš od kvadrata.

“Da li bi oni trebali biti na stolu?” upita Duncan.

- Da, trebalo bi da lažu, dodiruju se. Ne možete preklapati jedan kvadrat s drugim.

Duncan je počeo postavljati kvadrate.

"Pa, mogu ih sve rasporediti u pravu liniju", počeo je.

Dječak je brzo napravio pola tuceta kombinacija, pa još jednu i odjednom je otkrio da ponavljaju postojeće.

Možda sam glup, ali to je sve.

Duncan je propustio najjednostavniju figuru - križ, za stvaranje kojeg je bilo dovoljno položiti četiri kvadrata na stranama petog, središnjeg.

„Većina ljudi počinje od krsta“, nasmešila se baka. „Po mom mišljenju, požurio si da se proglasiš glupim. Bolje razmislite: može li biti još cifara?

Koncentrirajući se na pomicanje kvadrata, Duncan je pronašao još tri komada, nakon čega je prestao tražiti.

„Sada je to sve sigurno“, rekao je samouvereno.

Šta možete reći o takvoj figuri?

Lagano pomerajući kvadrate, baka ih je sastavila kao grbavo slovo F.

- A evo još jednog.

Duncan se osjećao kao totalni idiot, a riječi njegove bake bile su melem za njegovu zbunjenu dušu:

- Ti si jednostavno super. Zamislite samo, propustili ste samo dvije brojke. A ukupan broj figura je dvanaest. Ni više ni manje. Sada ih sve poznaješ. Tražite barem cijelu vječnost - drugu nećete naći.

Baka je gurnula pet bijelih kvadrata u kut i položila desetak plastičnih komada jarkih boja na stol. To je bilo istih dvanaest figura, ali već u gotovom obliku, a svaka se sastojala od pet kvadrata. Dankan je već bio spreman da prizna da druge figure zaista ne postoje.

Ali pošto je baka postavila te raznobojne pruge, igra se nastavlja, a Duncana je čekalo još jedno iznenađenje.

„Sada, Duncane, slušaj pažljivo. Ovi komadi se nazivaju pentomino. Ime dolazi od grčke riječi "penta", što znači "pet". Sve figure su jednake po površini, jer se svaka sastoji od pet identičnih kvadrata. Ima dvanaest figura, pet kvadrata, dakle, ukupna površina će biti jednaka šezdeset kvadrata. Ispravno?

- MMM da.

- Slušaj dalje. Šezdeset je divan okrugli broj koji se može formirati na nekoliko načina. Najlakše je pomnožiti deset sa šest. Ova kutija ima takvu površinu: deset kvadrata stane vodoravno, a šest okomito. Dakle, svih dvanaest figura treba da stane u njega. Baš kao složena slika - zagonetka.

Dankan je očekivao trik. Baka je obožavala verbalne i matematičke paradokse, a nisu svi bili koncept njene desetogodišnje žrtve. Ali ovoga puta nije bilo paradoksa. Dno kutije je uvučeno u šezdeset kvadrata, što znači... Stani! Područje je područje, ali brojke imaju različite obrise. Pokušajte ih staviti u kutiju!

"Ovaj zadatak ostavljam vama da odlučite sami", objavila je baka, videći kako on utučeno pomera pentomine po dnu kutije. "Vjerujte mi, mogu se prikupiti.

Ubrzo je Duncan počeo snažno sumnjati u riječi svoje bake. Lako je uspio ubaciti deset figura u kutiju, a jednom je uspio ugurati jedanaestu. Ali obrisi praznog prostora nisu se poklapali sa obrisima dvanaeste figure koju je dječak okretao u rukama. Bio je krst, a preostala figura je ličila na slovo Z...

Za pola sata Dankan je već bio na ivici očaja. Baka je bila uronjena u dijalog sa svojim kompjuterom, ali ga je s vremena na vrijeme sa zanimanjem pogledala, kao da je htjela reći: "Nije tako lako kao što ste mislili."

Sa deset godina, Dankan je bio izuzetno tvrdoglav. Većina njegovih vršnjaka odavno bi odustala od pokušaja. (Tek nekoliko godina kasnije shvatio je da mu je baka graciozno izvršila psihološki test.) Duncan je izdržao skoro četrdeset minuta bez pomoći...

Tada je baka ustala od kompjutera i sagnula se nad slagalicu. Njeni prsti su pomerali U, X i L oblike...

Dno kutije je potpuno popunjeno! Svi dijelovi slagalice su na pravim mjestima.

Naravno da ste već znali odgovor! reče Dankan ogorčeno.

- Odgovor? Baka je upitala: "Šta mislite na koliko načina možete staviti pentomino u ovu kutiju?"

Evo je, zamka. Dankan je petljao skoro sat vremena ne pronalazeći rešenje, iako je za to vreme isprobao najmanje stotinu opcija. Mislio je da postoji samo jedan način. Može li ih biti... dvanaest? Ili više?

"Pa šta mislite koliko načina može postojati?" Baka je ponovo upitala.

"Dvadeset", ispali Dankan, misleći da baki sada neće smetati.

- Pokušaj ponovo.

Dankan je osetio opasnost. Ispostavilo se da je zabava mnogo lukavija nego što je mislio, a dječak je mudro odlučio da ne rizikuje.

"Zapravo, ne znam", rekao je, odmahujući glavom.

„A ti si prijemčiv dečak", ponovo se nasmešila baka. „Intuicija je opasan dirigent, ali ponekad nemamo drugog. Mogu vas zadovoljiti: ovdje je nemoguće pogoditi tačan odgovor. Postoji preko 2.000 različitih načina da se pentomino stave u ovu kutiju. Tačnije, dvije hiljade trista trideset devet. I šta kažete na to?

Malo je vjerovatno da ga je baka prevarila. Ali Duncan je bio toliko shrvan svojom nesposobnošću da pronađe rješenje da se nije mogao suzdržati i izlanuo je:

- Ne vjerujem!

Helen je retko pokazivala iritaciju. Kada ju je Duncan na neki način uvrijedio, jednostavno je postala hladna i distancirana. Međutim, sada se baka samo nacerila i kucnula nešto po tastaturi kompjutera.

„Pogledaj ovde“, predložila je.

Na ekranu se pojavio set od dvanaest obojenih pentomina, ispunjavajući pravougaonik deset puta šest. Nekoliko sekundi kasnije, zamijenjena je drugom slikom, gdje su komadi, najvjerovatnije, već bili locirani na drugačiji način (Duncan nije mogao reći sa sigurnošću, jer se nije sjećao prve kombinacije). Ubrzo se slika ponovo promijenila, pa još jedna i još jedna... To se nastavilo sve dok baka nije zaustavila program.

„Čak i pri velikoj brzini, kompjuteru će trebati pet sati da prođe kroz sve puteve“, objasnila je baka. „Možete mi vjerovati na riječ: svi su različiti. Da nije bilo kompjutera, sumnjam da bi ljudi pronašli sve načine jednostavnim sortiranjem opcija.

Duncan je dugo gledao u dvanaest varljivo jednostavnih figura. Polako je svario bakine riječi. Bilo je to prvo matematičko otkriće u njegovom životu. Ono što je tako bezobzirno smatrao običnom djetinjom igrom, odjednom su se pred njim počeli otvarati beskrajni putevi i horizonti, iako bi i najdarovitije desetogodišnje dijete teško da bi moglo osjetiti bezgraničnost ovog svemira.

Ali tada su Duncanovo oduševljenje i strahopoštovanje bili pasivni. Prava eksplozija intelektualnog užitka nastupila je kasnije, kada je samostalno pronašao svoj prvi način slaganja pentomina. Duncan je nekoliko sedmica svuda sa sobom nosio plastičnu kutiju. Sve svoje slobodno vrijeme provodio je samo uz pentomino. Brojke se pretvaraju u Duncanove lične prijatelje. Zvao ih je slovima na koja su ličili, iako je u nekim slučajevima sličnost bilo više nego daleka. Pet cifara - F, I, L, P, N išlo je nasumično, ali je preostalih sedam ponovilo niz latiničnog pisma: T, U, V, W, X, Y, Z.

Jednog dana, u stanju geometrijskog transa ili geometrijskog zanosa koji se nikada više nije ponovio, Duncan je pronašao pet stilskih opcija za manje od sat vremena. Možda čak ni Njutn, Ajnštajn ili Čen Cu, u svojim trenucima istine, nisu osećali ništa više srodstvo sa bogovima matematike nego Dankan Mekenzi.

Ubrzo je shvatio, i to sam, bez bakinih nagovještaja, da se pentomino mogu polagati u pravougaonik s različitim veličinama stranica. Duncan je vrlo lako pronašao nekoliko opcija za pravougaonike 5 x 12 i 4 x 15. Zatim se čitavu sedmicu mučio pokušavajući da uklopi dvanaest oblika u duži i uži pravougaonik 3 x 20. Iznova i iznova je počeo da popunjava podmukli prostor i ... dobiti rupe u pravougaoniku i "dodatne" figure.

Shrvan, Dankan je posetio svoju baku, gde ga je čekalo novo iznenađenje.

„Drago mi je zbog vaših eksperimenata“, rekla je Helen. „Istražili ste sve mogućnosti, pokušavajući da izvedete opšti obrazac. To je ono što matematičari uvijek rade. Ali varate se: postoje rješenja za pravougaonik tri puta dvadeset. Ima ih samo dva, a ako nađete jednog, moći ćete pronaći i drugog.

Inspirisan bakinim pohvalama, Dankan je nastavio da "lovi pentomine" sa novom snagom. Nedelju dana kasnije, počeo je da shvata kakav je nepodnošljiv teret stavio na svoja ramena. Broj načina na koje je dvanaest komada moglo biti raspoređeno bio je ogroman za Duncana. Štaviše, na kraju krajeva, svaka figura je imala četiri pozicije!

I opet se pojavio svojoj baki, izlažući joj sve svoje poteškoće. Da postoje samo dvije opcije za pravougaonik 3x20, koliko bi vremena trebalo da ih pronađe?

„Ako hoćete, odgovorit ću vam“, rekla je baka. „Kada biste se ponašali kao kompjuter bez mozga, radeći jednostavno nabrajanje kombinacija i na svaku trošili jednu sekundu, trebalo bi vam...“ Ovdje je namjerno zastala.“ Trebalo bi vam više od šest miliona... da, više od šest miliona godina.

Zemlja ili Titan? Pitanje je odmah palo u Duncanovu glavu. Međutim, koja je razlika?

„Ali ti se razlikuješ od kompjutera bez mozga“, nastavila je baka. „Odmah vidiš očigledno neprikladne kombinacije i zato ne moraš gubiti vreme da ih proveravaš. Pokušaj ponovo.

Duncan je poslušao, već bez entuzijazma i vjere u uspjeh. A onda mu je sinula briljantna ideja.

Carl se odmah zainteresirao za pentomino i prihvatio je izazov. Uzeo je kutiju sa figurama od Duncana i nestao na nekoliko sati.

Kada ga je Carl nazvao, prijatelj je izgledao pomalo uznemireno.

“Jeste li sigurni da ovaj problem zaista ima rješenje?” - pitao.

- Apsolutno siguran. Ima ih dvoje. Zar još niste našli barem jednu? Mislio sam da si odličan u matematici.

“Zamislite samo, razumijem, i stoga znam kakav posao vrijedi vaš zadatak. Moramo testirati... milion milijardi mogućih kombinacija.

“Kako ste znali da ih je toliko mnogo?” upita Dankan, zadovoljan što je barem nekako uspio natjerati prijatelja da se zbunjeno počeše po glavi.

Carl je zaškiljio na list papira ispunjen dijagramima i brojkama.

“Ako izuzmete nevažeće kombinacije i uzmete u obzir simetriju i mogućnost rotacije... dobićete faktorijel... ukupan broj permutacija... još uvijek ne razumijete. Pokazaću vam sam broj.

Pred kameru je podigao još jedan list papira, na kojem je bio prikazan impresivan niz brojeva u velikoj veličini:

1 004 539 160 000 000.

Dankan nije znao ništa o faktorijalima, ali Karla nije sumnjala u tačnost njegovih proračuna. Dugi broj mu se veoma dopao.

„Dakle, hteli ste da napustite ovaj zadatak?“ upita Duncan oprezno.

- Sta jos! Samo sam htela da ti pokažem koliko je to teško.

Carlovo lice odavalo je mračnu odlučnost. Nakon što je izgovorio te riječi, onesvijestio se.

Sljedećeg dana Dankan je bio u jednom od najvećih šokova u svom dječaštvu. Karlovo iznemoglo lice, sa upaljenim očima, gledalo ga je sa ekrana. Činilo se da je imao neprospavanu noć.

„Pa, ​​to je sve“, objavio je umornim, ali trijumfalnim glasom.

Duncan je jedva mogao vjerovati svojim očima. Činilo mu se da su šanse za uspjeh zanemarljive. Čak se i sam uvjerio u to. I odjednom... Ispred njega je ležao pravougaonik tri puta dvadeset ispunjen sa svih dvanaest pentomina.

Tada je Carl zamijenio i preokrenuo dijelove na krajevima, ostavljajući središnji dio netaknutim. Prsti su mu lagano drhtali od umora.

„To je drugo rešenje“, objasnio je on. „A sada idem u krevet. Dakle, laku noć ili dobro jutro, šta god želite.

Poniženi Dankan je dugo zurio u prazan ekran. Nije znao u kom pravcu se Carl kreće tražeći rješenje zagonetke. Ali znao je da je njegov prijatelj izašao kao pobednik. Protiv svega.

Nije zavidio na pobjedi svog prijatelja. Duncan je previše volio Karla i uvijek se radovao njegovim uspjesima, iako se i sam često pokazao kao autsajder. Ali bilo je nešto drugačije u večerašnjem trijumfu njegovog prijatelja, nešto gotovo magično.

Duncan je prvi put vidio moć intuicije. Bio je suočen s misterioznom sposobnošću uma da probije granice činjenica i odbaci logiku koja se miješa. Za nekoliko sati, Carl je obavio ogroman posao, nadmašivši najbrži računar.

Nakon toga, Duncan je saznao da svi ljudi imaju takve sposobnosti, ali ih koriste izuzetno rijetko - možda jednom u životu. Kod Karla je ovaj dar bio izuzetno razvijen... Od tog trenutka Duncan je počeo ozbiljno shvaćati argumente svog prijatelja, čak i one najsmješnije i najnečuvenije sa stanovišta zdravog razuma.

To je bilo prije dvadeset godina. Duncan se nije sjećao gdje su nestali plastični komadi pentomina. Možda su ostali s Karlom.

Bakin poklon postao je njihova nova inkarnacija, sada u obliku komada raznobojnog kamena. Nevjerojatna, blijedoružičasta nijansa granita bila je s brda Galileja, opsidijana - s Huygensove visoravni, a pseudo-mramora - sa grebena Herschel. A među njima... Duncan je isprva mislio da je pogriješio. Ne, tako je: to je bio najrjeđi i najmisteriozniji mineral Titana. Baka je napravila kameni pentomino krst od titanita. Ovaj plavo-crni, sa zlatnim inkluzijama mineral ne može se pobrkati ni sa čim. Duncan nikada nije vidio tako velike komade i mogao je samo nagađati kolika je njihova vrijednost.

„Ne znam šta da kažem“, promrmljao je. „Kakva lepota. Ovo je prvi put da vidim ovo.

Zagrlio je bakina mršava ramena i odjednom osjetio da drhte i da ona ne može zaustaviti ovo drhtanje. Duncan ju je pažljivo držao u naručju sve dok joj ramena nisu prestala drhtati. U takvim trenucima riječi nisu potrebne. Duncan je jasnije nego prije shvatio: on je bio posljednja ljubav u razorenom životu Helen Mackenzie. A sada odleti, ostavljajući je samu sa svojim uspomenama.

VELIKI MAGIČNI KVADRAT

Kineski matematičar Jang Hui iz 13. veka bio je upoznat sa Paskalovim trouglom (aritmetičkim trouglom). Ostavio je prezentaciju metoda za rješavanje jednačina 4. i višeg stepena, postoje pravila za rješavanje potpune kvadratne jednačine, zbrajanje progresija i tehnike za građenje magičnih kvadrata. Uspio je konstruirati magični kvadrat šestog reda, a potonji se pokazao gotovo asocijativnim (samo dva para centralno suprotnih brojeva u njemu ne daju 37).

Benjamin Franklin je dizajnirao kvadrat 16x16 koji je, osim što ima konstantan zbir od 2056 u svim redovima, stupcima i dijagonalama, imao još jedno dodatno svojstvo. Ako iz lista papira izrežemo kvadrat 4×4 i položimo ovaj list na veliki kvadrat tako da 16 ćelija većeg kvadrata upadne u ovaj prorez, tada će se zbroj brojeva koji se pojavljuju u ovom utoru, gdje god stavite to će biti isto - 2056.

Najvrednije kod ovog kvadrata je to što ga je prilično lako pretvoriti u savršen magični kvadrat, dok izgradnja savršenih magičnih kvadrata nije lak zadatak. Franklin je ovaj kvadrat nazvao "najšarmantnijom magijom od svih magičnih kvadrata koje su čarobnjaci ikada stvorili."