Pojava teorije vjerovatnoće kao nauke. Teorija vjerovatnoće

Neki programeri, nakon rada na razvoju konvencionalnih komercijalnih aplikacija, razmišljaju o tome da savladaju mašinsko učenje i postanu analitičari podataka. Često ne razumiju zašto određene metode funkcioniraju, a većina metoda mašinskog učenja izgleda kao magija. U stvari, mašinsko učenje je zasnovano na matematičkoj statistici, a ona je zasnovana na teoriji verovatnoće. Stoga ćemo u ovom članku obratiti pažnju na osnovne koncepte teorije vjerovatnoće: dotaknut ćemo se definicija vjerovatnoće, distribucije i analizirati nekoliko jednostavnih primjera.

Možda znate da je teorija vjerovatnoće uslovno podijeljena na 2 dijela. Teorija diskretne vjerovatnoće proučava fenomene koji se mogu opisati distribucijom sa konačnim (ili prebrojivim) brojem mogućih ponašanja (bacanja kocke, novčića). Kontinuirana teorija vjerovatnoće proučava pojave raspoređene na nekom gustom skupu, na primjer, na segmentu ili u krugu.

Predmet teorije vjerovatnoće moguće je razmotriti na jednostavnom primjeru. Zamislite sebe kao programera pucačina. Sastavni dio razvoja igara u ovom žanru je i mehanika pucanja. Jasno je da će šuter u kojem svo oružje puca apsolutno precizno biti malo zanimljiv za igrače. Stoga je potrebno oružju dodati širenje. Ali jednostavno randomiziranje pogodaka oružja neće omogućiti fino podešavanje, tako da će podešavanje balansa igre biti teško. U isto vrijeme, koristeći nasumične varijable i njihove distribucije, možete analizirati kako će oružje funkcionirati s danim širenjem i pomoći u potrebnim prilagodbama.

Prostor elementarnih ishoda

Pretpostavimo da iz nekog slučajnog eksperimenta koji možemo ponoviti mnogo puta (na primjer, bacanje novčića), možemo izvući neke formalizirane informacije (glave ili repove). Ova informacija se naziva elementarni ishod i preporučljivo je razmotriti skup svih elementarnih ishoda, koji se često označavaju slovom Ω (Omega).

Struktura ovog prostora u potpunosti ovisi o prirodi eksperimenta. Na primjer, ako uzmemo u obzir pucanje na dovoljno veliku kružnu metu, prostor elementarnih ishoda će biti krug, radi pogodnosti, postavljen sa centrom na nuli, a ishod će biti tačka u ovom krugu.

Osim toga, oni razmatraju skupove elementarnih ishoda - događaja (na primjer, pogodak u "najboljih deset" je koncentrični krug malog radijusa sa metom). U diskretnom slučaju, sve je prilično jednostavno: možemo dobiti bilo koji događaj, uključujući ili isključujući elementarne ishode u konačnom vremenu. U kontinuiranom slučaju, međutim, sve je mnogo komplikovanije: potrebna nam je neka dovoljno dobra porodica skupova za razmatranje, nazvana algebra, po analogiji s jednostavnim realnim brojevima koji se mogu sabirati, oduzimati, dijeliti i množiti. Skupovi u algebri se mogu sjeći i kombinirati, a rezultat operacije će biti u algebri. Ovo je veoma važno svojstvo za matematiku koja stoji iza svih ovih koncepata. Minimalna porodica se sastoji od samo dva skupa - praznog skupa i prostora elementarnih ishoda.

Mjera i vjerovatnoća

Vjerovatnoća je način donošenja zaključaka o ponašanju vrlo složenih objekata bez razumijevanja kako oni rade. Dakle, vjerovatnoća je definirana kao funkcija događaja (iz te vrlo dobre porodice skupova), koji vraća broj - neku karakteristiku koliko često se takav događaj može dogoditi u stvarnosti. Za određenost, matematičari su se složili da ovaj broj treba da leži između nule i jedan. Osim toga, ovoj funkciji se nameću zahtjevi: vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula, vjerovatnoća cjelokupnog skupa ishoda je jedinica, a vjerovatnoća kombinovanja dva nezavisna događaja (disjunktnih skupova) jednaka je zbroju vjerovatnoća . Drugi naziv za vjerovatnoću je mjera vjerovatnoće. Najčešće korištena Lebesgueova mjera, koja generalizira koncepte dužine, površine, zapremine na bilo koju dimenziju (n-dimenzionalni volumen), te je stoga primjenjiva na široku klasu skupova.

Zajedno, skup skupa elementarnih ishoda, porodice skupova i mjere vjerovatnoće naziva se prostor vjerovatnoće. Pogledajmo kako možemo konstruirati prostor vjerovatnoće za primjer gađanja mete.

Razmislite o pucanju na veliku okruglu metu radijusa R koja se ne može promašiti. Kao skup elementarnih događaja, stavili smo krug sa centrom u ishodištu koordinata poluprečnika R. Pošto ćemo koristiti područje (Lebesgueova mjera za dvodimenzionalne skupove) da opišemo vjerovatnoću događaja, koristićemo porodicu mjerljivih (za koje ova mjera postoji) skupova.

Napomena U stvari, ovo je tehnička tačka i u jednostavnim problemima proces određivanja mere i porodice skupova ne igra posebnu ulogu. Ali potrebno je shvatiti da ova dva objekta postoje, jer u mnogim knjigama o teoriji vjerovatnoće teoreme počinju riječima: “ Neka je (Ω,Σ,P) prostor vjerovatnoće…».

Kao što je gore navedeno, vjerovatnoća cjelokupnog prostora elementarnih ishoda mora biti jednaka jedan. Površina (dvodimenzionalna Lebesgueova mjera, koju ćemo označiti sa λ 2 (A), gdje je A događaj) kruga, prema poznatoj formuli iz škole, je π * R 2 . Tada možemo uvesti vjerovatnoću P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) , a ova vrijednost će već biti između 0 i 1 za bilo koji događaj A.

Ako pretpostavimo da je jednako vjerovatno pogoditi bilo koju tačku mete, potraga za vjerovatnoćom da strijelac pogodi neko područje mete svodi se na pronalaženje površine ovog skupa (dakle možemo zaključiti da je vjerovatnoća pogađanje određene tačke je nula, jer je površina tačke nula).

Na primer, želimo da znamo kolika je verovatnoća da će strelac pogoditi "desetku" (događaj A - strelac je pogodio pravi set). U našem modelu, "deset" je predstavljeno kružnicom sa centrom na nuli i poluprečnika r. Tada je vjerovatnoća pada u ovaj krug P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .

Ovo je jedna od najjednostavnijih vrsta problema "geometrijske vjerovatnoće" - većina ovih problema zahtijeva pronalaženje područja.

slučajne varijable

Slučajna varijabla je funkcija koja pretvara elementarne ishode u realne brojeve. Na primjer, u razmatrani problem možemo uvesti slučajnu varijablu ρ(ω) — udaljenost od tačke udara do centra mete. Jednostavnost našeg modela omogućava nam da eksplicitno specificiramo prostor elementarnih ishoda: Ω = (ω = (x,y) brojevi takvi da je x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Tada je slučajna varijabla ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Sredstva apstrakcije iz prostora vjerovatnoće. Funkcija distribucije i gustina

Dobro je kada je struktura prostora dobro poznata, ali u stvarnosti to nije uvijek tako. Čak i ako je struktura prostora poznata, ona može biti složena. Za opisivanje slučajnih varijabli, ako je njihov izraz nepoznat, postoji koncept funkcije distribucije, koja se označava sa F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Funkcija distribucije ima nekoliko svojstava:

1. Prvo, to je između 0 i 1.
2. Drugo, ne smanjuje se kada se njegov argument x poveća.
3. Treće, kada je broj -x vrlo velik, funkcija distribucije je blizu 0, a kada je sam x velik, funkcija distribucije je blizu 1.

Vjerovatno značenje ove konstrukcije nije baš jasno na prvo čitanje. Jedno od korisnih svojstava je da funkcija distribucije omogućava traženje vjerovatnoće da vrijednost uzima vrijednost iz intervala. Dakle, P (slučajna varijabla ξ uzima vrijednosti iz intervala ) = F ξ (b)-F ξ (a) . Na osnovu ove jednakosti možemo istražiti kako se ova vrijednost mijenja ako su granice a i b intervala bliske.

Neka je d = b-a , tada je b = a+d . Dakle, F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Za male vrijednosti d, gornja razlika je također mala (ako je distribucija kontinuirana). Ima smisla razmotriti relaciju p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d . Ako se za dovoljno male vrijednosti d ovaj omjer malo razlikuje od neke konstante p ξ (a) , koja ne ovisi o d, onda u ovom trenutku slučajna varijabla ima gustoću jednaku p ξ (a) .

Napomena Čitaoci koji su se ranije susreli sa konceptom derivacije mogu primetiti da je p ξ (a) izvod funkcije F ξ (x) u tački a . U svakom slučaju, koncept derivata možete proučiti u članku posvećenom ovoj temi na web stranici Mathprofi.

Sada se značenje funkcije distribucije može definirati na sljedeći način: njena derivacija (gustina p ξ , koju smo definirali gore) u tački a opisuje koliko će često slučajna varijabla pasti u mali interval sa središtem u tački a (okolina tačke a) u poređenju sa susjedstvima drugih tačaka. Drugim riječima, što brže raste funkcija distribucije, vjerojatnije je da će se takva vrijednost pojaviti u slučajnom eksperimentu.

Vratimo se na primjer. Možemo izračunati funkciju distribucije za slučajnu varijablu, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , koja označava udaljenost od centra do tačke slučajnog pogotka u metu. Po definiciji, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Možemo pronaći gustoću p ρ ove slučajne varijable. Odmah primjećujemo da je izvan intervala nula, jer funkcija distribucije na ovom intervalu je nepromijenjena. Na krajevima ovog intervala gustina nije određena. Unutar intervala, može se pronaći pomoću tablice izvedenica (na primjer, sa web stranice Mathprofi) i elementarnih pravila diferencijacije. Derivat od t 2 /R 2 je 2t/R 2 . To znači da smo pronašli gustinu na cijeloj osi realnih brojeva.

Još jedno korisno svojstvo gustoće je vjerovatnoća da funkcija uzima vrijednost iz intervala izračunava se korištenjem integrala gustoće u tom intervalu (o čemu se radi u člancima o pravilnim, nepravilnim, neodređenim integralima na web stranici Mathprofi ).

Pri prvom čitanju, raspon raspona funkcije f(x) može se smatrati površinom krivolinijskog trapeza. Njegove strane su fragment ose Ox, jaz (horizontalne koordinatne ose), vertikalni segmenti koji spajaju tačke (a,f(a)), (b,f(b)) na krivulji sa tačkama (a, 0), (b,0 ) na x-osi. Zadnja strana je fragment grafa funkcije f od (a,f(a)) do (b,f(b)) . Možemo govoriti o integralu po intervalu (-∞; b] , kada će se za dovoljno velike negativne vrijednosti, a, vrijednost integrala u intervalu promijeniti zanemarljivo malo u odnosu na promjenu broja a. Integral preko intervali se određuju na sličan način. Priručnik tehničkog prevodioca

Teorija vjerovatnoće- postoji dio matematike koji proučava odnose između vjerovatnoća (vidi Vjerovatnoća i statistika) različitih događaja. Navodimo najvažnije teoreme vezane za ovu nauku. Vjerovatnoća pojave jednog od nekoliko nespojivih događaja jednaka je ... ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

TEORIJA VEROVATNOSTI- matematički nauka koja dozvoljava, prema vjerovatnoći nekih slučajnih događaja (vidi), da se pronađu vjerovatnoće slučajnih događaja povezanih sa k. l. način sa prvim. Moderna TV na osnovu aksiomatike (vidi Aksiomatska metoda) A. N. Kolmogorova. Na… … Ruska sociološka enciklopedija

Teorija vjerovatnoće- grana matematike u kojoj se, prema datim vjerovatnoćama nekih slučajnih događaja, pronalaze vjerovatnoće drugih događaja, koji su na neki način povezani sa prvim. Teorija vjerovatnoće također proučava slučajne varijable i slučajne procese. Jedan od glavnih…… Koncepti savremene prirodne nauke. Pojmovnik osnovnih pojmova

teorija vjerovatnoće- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teorija vjerovatnoće vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teorija vjerovatnoće, f pranc. theorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Teorija vjerovatnoće- ... Wikipedia

Teorija vjerovatnoće- matematička disciplina koja proučava obrasce slučajnih pojava... Počeci moderne prirodne nauke

TEORIJA VEROVATNOSTI- (teorija vjerovatnoće) vidi Vjerovatnoća ... Veliki sociološki sociološki rečnik

Teorija vjerovatnoće i njene primjene- (“Teorija verovatnoće i njene primene”), naučni časopis Odeljenja za matematiku Akademije nauka SSSR. Objavljuje originalne članke i kratka saopštenja o teoriji vjerovatnoće, općim pitanjima matematičke statistike i njihovoj primjeni u prirodnim znanostima i ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Knjige

• Teorija vjerovatnoće. , Venttsel E.S. Knjiga je udžbenik namijenjen ljudima koji su upoznati s matematikom u okviru redovnog srednjoškolskog kursa i zainteresiranima za tehničke primjene teorije vjerovatnoće, u ... Kupite za 2056 UAH (samo Ukrajina)
• Teorija vjerovatnoće. , Wentzel E.S. Ova knjiga će biti proizvedena u skladu s vašom narudžbom korištenjem tehnologije Print-on-Demand. Knjiga je udžbenik namijenjen osobama koje poznaju matematiku u obimu običnih...

Teorija vjerovatnoće je grana matematike koja proučava obrasce slučajnih pojava: slučajne događaje, slučajne varijable, njihova svojstva i operacije nad njima.

Dugo vremena teorija vjerovatnoće nije imala jasnu definiciju. Formulisan je tek 1929. Pojava teorije vjerovatnoće kao nauke pripisuje se srednjem vijeku i prvim pokušajima matematičke analize kockanja (bacanje, kocka, rulet). Francuski matematičari iz 17. veka Blaise Pascal i Pierre de Fermat otkrili su prve probabilističke obrasce koji se javljaju prilikom bacanja kockica dok su proučavali predviđanje dobitaka u kockanju.

Teorija vjerovatnoće je nastala kao nauka iz vjerovanja da određene pravilnosti leže u osnovi masivnih slučajnih događaja. Teorija vjerovatnoće proučava ove obrasce.

Teorija vjerovatnoće bavi se proučavanjem događaja, čiji se nastanak ne zna sa sigurnošću. Omogućava vam da procenite stepen verovatnoće nastanka nekih događaja u poređenju sa drugim.

Na primjer: nemoguće je nedvosmisleno odrediti rezultat bacanja kovanice glavom ili repom, ali pri ponovljenom bacanju ispadne približno isti broj grla i repa, što znači da je vjerovatnoća da će kovanica pasti ", jednaka do 50%.

test u ovom slučaju se naziva implementacija određenog skupa uslova, odnosno u ovom slučaju bacanje novčića. Izazov se može odigrati neograničen broj puta. U ovom slučaju, kompleks uslova uključuje slučajne faktore.

Rezultat testa je događaj. Događaj se dešava:

1. Pouzdan (uvijek se javlja kao rezultat testiranja).
2. Nemoguće (nikad se ne dešava).
3. Nasumično (može ili ne mora da se pojavi kao rezultat testa).

Na primjer, prilikom bacanja novčića, nemoguć događaj - novčić će završiti na ivici, slučajni događaj - gubitak "glava" ili "repova". Specifični rezultat testa se zove elementarni događaj. Kao rezultat testa, javljaju se samo elementarni događaji. Zove se ukupnost svih mogućih, različitih, specifičnih ishoda testa elementarni prostor za događaje.

Osnovni koncepti teorije

Vjerovatnoća- stepen mogućnosti nastanka događaja. Kada razlozi da se neki mogući događaj zaista dogodi nadjačaju suprotne razloge, onda se ovaj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerovatnim ili nevjerovatnim.

Slučajna vrijednost- ovo je vrijednost koja, kao rezultat testa, može uzeti jednu ili drugu vrijednost, a ne zna se unaprijed koju. Na primjer: broj vatrogasnih stanica po danu, broj pogodaka sa 10 hitaca itd.

Slučajne varijable se mogu podijeliti u dvije kategorije.

1. Diskretna slučajna varijabla naziva se takva količina koja, kao rezultat testa, može poprimiti određene vrijednosti s određenom vjerojatnošću, tvoreći prebrojiv skup (skup čiji se elementi mogu numerisati). Ovaj skup može biti konačan ili beskonačan. Na primjer, broj hitaca prije prvog pogotka u metu je diskretna slučajna varijabla, jer ova vrijednost može poprimiti beskonačan, iako prebrojiv broj vrijednosti.
2. Kontinuirana slučajna varijabla je veličina koja može uzeti bilo koju vrijednost iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala. Očigledno, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan.

Prostor vjerovatnoće- koncept koji je uveo A.N. Kolmogorov tridesetih godina prošlog veka da formalizuje koncept verovatnoće, što je dovelo do brzog razvoja teorije verovatnoće kao rigorozne matematičke discipline.

Prostor vjerovatnoće je trostruki (ponekad uokviren ugaonim zagradama: , gdje

Ovo je proizvoljan skup, čiji se elementi nazivaju elementarni događaji, ishodi ili tačke;
- sigma-algebra podskupova koji se nazivaju (slučajni) događaji;
- vjerovatnoća mjera ili vjerovatnoća, tj. sigma-aditivna konačna mjera takva da .

De Moivre-Laplaceova teorema- jedna od graničnih teorema teorije vjerovatnoće, koju je ustanovio Laplace 1812. Ona navodi da je broj uspjeha u ponavljanju istog slučajnog eksperimenta sa dva moguća ishoda približno normalno raspoređen. Omogućava vam da pronađete približnu vrijednost vjerovatnoće.

Ako je za svaki od nezavisnih pokušaja vjerovatnoća pojave nekog slučajnog događaja jednaka () i predstavlja broj pokušaja u kojima se on stvarno dogodi, tada je vjerovatnoća valjanosti nejednakosti blizu (za velike ) vrijednost Laplaceovog integrala.

Funkcija distribucije u teoriji vjerojatnosti- funkcija koja karakterizira distribuciju slučajne varijable ili slučajnog vektora; vjerovatnoća da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju ili jednaku x, gdje je x proizvoljan realan broj. Pod određenim uslovima, on u potpunosti određuje slučajnu varijablu.

Očekivana vrijednost- prosječna vrijednost slučajne varijable (ovo je distribucija vjerovatnoće slučajne varijable, razmatrana u teoriji vjerovatnoće). U engleskoj književnosti označava se sa, u ruskoj -. U statistici se često koristi notacija.

Neka su dati prostor vjerovatnoće i slučajna varijabla definirana na njemu. To je, po definiciji, mjerljiva funkcija. Zatim, ako postoji Lebesgueov integral od nad prostorom, onda se to naziva matematičko očekivanje, ili srednja vrijednost, i označava se sa .

Varijanca slučajne varijable- mjera širenja date slučajne varijable, odnosno njenog odstupanja od matematičkog očekivanja. Označeno u ruskoj literaturi i u stranoj. U statistici se često koristi oznaka ili. Kvadratni korijen varijanse naziva se standardna devijacija, standardna devijacija ili standardni raspon.

Neka je slučajna varijabla definirana na nekom prostoru vjerovatnoće. Onda

gdje simbol označava matematičko očekivanje.

U teoriji vjerovatnoće nazivaju se dva slučajna događaja nezavisni ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog. Slično, pozivaju se dvije slučajne varijable zavisan ako vrijednost jednog od njih utječe na vjerovatnoću vrijednosti drugog.

Najjednostavniji oblik zakona velikih brojeva je Bernoullijeva teorema, koja kaže da ako je vjerovatnoća događaja ista u svim pokušajima, onda kako se broj pokušaja povećava, učestalost događaja teži vjerovatnoći događaja i prestaje biti nasumičan.

Zakon velikih brojeva u teoriji vjerovatnoće kaže da je aritmetička sredina konačnog uzorka iz fiksne distribucije blizu teorijske srednje očekivane te distribucije. U zavisnosti od vrste konvergencije, razlikuje se slab zakon velikih brojeva, kada dolazi do konvergencije u verovatnoći, i jak zakon velikih brojeva, kada se konvergencija gotovo sigurno dešava.

Opšte značenje zakona velikih brojeva je da zajedničko djelovanje velikog broja identičnih i neovisnih slučajnih faktora dovodi do rezultata koji, u krajnjoj liniji, ne ovisi o slučaju.

Metode za procjenu vjerovatnoće zasnovane na analizi konačnog uzorka zasnivaju se na ovoj osobini. Dobar primjer je predviđanje izbornih rezultata na osnovu ankete uzorka birača.

Centralne granične teoreme- klasa teorema u teoriji vjerovatnoće koja kaže da zbir dovoljno velikog broja slabo zavisnih slučajnih varijabli koje imaju približno istu skalu (nijedan od pojmova ne dominira, ne daje odlučujući doprinos zbiru) ima distribuciju blizu normalno.

Budući da se mnoge slučajne varijable u aplikacijama formiraju pod utjecajem nekoliko slabo zavisnih slučajnih faktora, njihova se raspodjela smatra normalnom. U ovom slučaju mora se uzeti u obzir uslov da nijedan od faktora nije dominantan. Centralne granične teoreme u ovim slučajevima opravdavaju primjenu normalne distribucije.

"Slučajnost nije slučajna"... Zvuči kao što je filozof rekao, ali u stvari, proučavanje slučajnosti je sudbina velike nauke matematike. U matematici je slučajnost teorija vjerovatnoće. U članku će biti predstavljene formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove nauke.

Šta je teorija vjerovatnoće?

Teorija vjerovatnoće je jedna od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.

Da bude malo jasnije, dajmo mali primjer: ako bacite novčić gore, on može pasti glavom ili repom. Sve dok je novčić u zraku, obje ove mogućnosti su moguće. Odnosno, vjerovatnoća mogućih posljedica je u korelaciji 1:1. Ako se jedna izvuče iz špila sa 36 karata, tada će vjerovatnoća biti označena kao 1:36. Čini se da nema šta istraživati ​​i predviđati, posebno uz pomoć matematičkih formula. Ipak, ako više puta ponovite određenu radnju, tada možete identificirati određeni obrazac i na osnovu njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.

Da sumiramo sve navedeno, teorija vjerovatnoće u klasičnom smislu proučava mogućnost nastanka jednog od mogućih događaja u numeričkom smislu.

Sa stranica istorije

Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su se prvi put pojavili pokušaji predviđanja ishoda kartaških igara.

U početku, teorija vjerovatnoće nije imala nikakve veze sa matematikom. To je bilo opravdano empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji su se mogli reproducirati u praksi. Prvi radovi iz ove oblasti kao matematičke discipline pojavili su se u 17. veku. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo su proučavali kockanje i vidjeli određene obrasce, o kojima su odlučili ispričati javnosti.

Istu tehniku ​​izmislio je Christian Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. On je uveo pojam "teorije vjerovatnoće", formule i primjere koji se smatraju prvima u historiji discipline.

Od velikog značaja su radovi Jacoba Bernoullija, Laplaceove i Poissonove teoreme. Učinili su teoriju vjerovatnoće više kao matematičku disciplinu. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su svoj današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerovatnoće je postala jedna od matematičkih grana.

Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće. Razvoj

Glavni koncept ove discipline je "događaj". Događaji su tri vrste:

• Pouzdan. One koje će se ipak dogoditi (novčić će pasti).
• Nemoguće. Događaji koji se neće desiti ni u kom scenariju (novčić će ostati da visi u vazduhu).
• Slučajno. Oni koji će se desiti ili neće. Na njih mogu uticati različiti faktori koje je vrlo teško predvidjeti. Ako govorimo o novčiću, onda nasumični faktori koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, njegov oblik, početni položaj, sila bacanja itd.

Svi događaji u primjerima su označeni velikim latiničnim slovima, s izuzetkom R, koji ima drugačiju ulogu. Na primjer:

• A = "studenti su došli na predavanje."
• Ā = "studenti nisu došli na predavanje".

U praktičnim zadacima događaji se obično bilježe riječima.

Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova jednaka mogućnost. Odnosno, ako bacite novčić, moguće su sve varijante početnog pada dok ne padne. Ali događaji takođe nisu jednako vjerovatni. Ovo se dešava kada neko namerno utiče na ishod. Na primjer, "označene" karte za igranje ili kockice, u kojima je pomaknut centar gravitacije.

Događaji su također kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju pojavu jedan drugog. Na primjer:

• A = "student je došao na predavanje."
• B = "student je došao na predavanje."

Ovi događaji su nezavisni jedan od drugog i pojava jednog od njih ne utiče na pojavu drugog. Nespojivi događaji su definisani činjenicom da pojava jednog isključuje nastanak drugog. Ako govorimo o istom novčiću, onda gubitak "repova" onemogućava pojavu "glava" u istom eksperimentu.

Akcije na događaje

Događaji se mogu množiti i sabirati, respektivno, u disciplinu se uvode logički vezivi "AND" i "OR".

Iznos je određen činjenicom da se ili događaj A, ili B, ili oba mogu dogoditi u isto vrijeme. U slučaju kada su nekompatibilni, zadnja opcija je nemoguća, ili A ili B će ispasti.

Umnožavanje događaja se sastoji u pojavi A i B u isto vrijeme.

Sada možete dati nekoliko primjera kako biste bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku.

Vježba 1: Firma se nadmeće za ugovore za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi:

• A = "firma će dobiti prvi ugovor."
• A 1 = "firma neće primiti prvi ugovor."
• B = "firma će dobiti drugi ugovor."
• B 1 = "firma neće dobiti drugi ugovor"
• C = "firma će dobiti treći ugovor."
• C 1 = "firma neće dobiti treći ugovor."

Pokušajmo izraziti sljedeće situacije koristeći radnje na događaje:

• K = "firma će primiti sve ugovore."

U matematičkom obliku, jednačina će izgledati ovako: K = ABC.

• M = "firma neće dobiti nijedan ugovor."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Komplikujemo zadatak: H = "firma će dobiti jedan ugovor." Kako se ne zna koji će ugovor firma dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je zabilježiti čitav niz mogućih događaja:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je niz događaja u kojima firma ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Drugi mogući događaji se također bilježe odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava gomilu "ILI". Ako gornji primjer prevedemo na ljudski jezik, tada će kompanija dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Slično, možete napisati i druge uslove u disciplini "Teorija vjerovatnoće". Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami.

Zapravo, vjerovatnoća

Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerovatnoća događaja centralni koncept. Postoje 3 definicije vjerovatnoće:

• klasična;
• statistički;
• geometrijski.

Svaki od njih ima svoje mjesto u proučavanju vjerovatnoća. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred) uglavnom koriste klasičnu definiciju, koja zvuči ovako:

• Vjerovatnoća situacije A jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju njenom nastanku i broja svih mogućih ishoda.

Formula izgleda ovako: P (A) \u003d m / n.

I, zapravo, događaj. Ako se pojavi suprotno od A, može se napisati kao Ā ili A 1 .

m je broj mogućih povoljnih slučajeva.

n - svi događaji koji se mogu dogoditi.

Na primjer, A \u003d "izvucite karticu odijela srca." U standardnom špilu ima 36 karata, od kojih je 9 od srca. U skladu s tim, formula za rješavanje problema će izgledati ovako:

P(A)=9/36=0,25.

Kao rezultat toga, vjerovatnoća da će iz špila bude izvučena karta u obliku srca biće 0,25.

na višu matematiku

Sada je postalo malo poznato šta je teorija vjerovatnoće, formule i primjeri rješavanja zadataka koji se sreću u školskom programu. Međutim, teorija vjerovatnoće se nalazi iu višoj matematici, koja se predaje na univerzitetima. Najčešće operišu geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenim formulama.

Teorija vjerovatnoće je veoma interesantna. Formule i primjeri (viša matematika) bolje je početi učiti od malog - od statističke (ili učestalosti) definicije vjerovatnoće.

Statistički pristup nije u suprotnosti sa klasičnim pristupom, ali ga neznatno proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti s kojim stepenom vjerovatnoće će se događaj dogoditi, onda je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko će se često događati. Ovdje se uvodi novi koncept “relativne frekvencije” koji se može označiti sa W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Ako se za predviđanje izračunava klasična formula, onda se statistička izračunava prema rezultatima eksperimenta. Uzmimo, na primjer, mali zadatak.

Odjel za tehnološku kontrolu provjerava kvalitet proizvoda. Među 100 proizvoda utvrđeno je da su 3 loše kvalitete. Kako pronaći vjerovatnoću frekvencije kvalitetnog proizvoda?

A = "izgled kvalitetnog proizvoda."

W n (A)=97/100=0,97

Dakle, frekvencija kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 provjerenih proizvoda, 3 su se pokazala lošeg kvaliteta. Od 100 oduzmemo 3, dobijemo 97, ovo je količina kvalitetnog proizvoda.

Malo o kombinatorici

Druga metoda teorije vjerovatnoće naziva se kombinatorika. Njegov osnovni princip je da ako se određeni izbor A može napraviti na m različitih načina, a izbor B na n različitih načina, onda se izbor A i B može napraviti množenjem.

Na primjer, postoji 5 puteva od grada A do grada B. Postoje 4 rute od grada B do grada C. Na koliko načina se može doći od grada A do grada C?

Jednostavno je: 5x4 = 20, odnosno postoji dvadeset različitih načina da dođete od tačke A do tačke C.

Hajde da otežamo zadatak. Na koliko načina postoji kartanje u pasijansu? U špilu od 36 karata, ovo je početna tačka. Da biste saznali broj načina, trebate "oduzeti" jednu kartu od početne točke i pomnožiti.

To jest, 36x35x34x33x32…x2x1= rezultat ne stane na ekran kalkulatora, tako da se jednostavno može označiti kao 36!. Potpišite "!" pored broja označava da se čitav niz brojeva međusobno množi.

U kombinatorici postoje koncepti kao što su permutacija, smještaj i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu.

Uređeni skup elemenata skupa naziva se raspored. Položaji se mogu ponavljati, što znači da se jedan element može koristiti više puta. I bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m elementi koji učestvuju u postavljanju. Formula za postavljanje bez ponavljanja će izgledati ovako:

A n m =n!/(n-m)!

Veze od n elemenata koje se razlikuju samo po redosledu postavljanja nazivaju se permutacije. U matematici to izgleda ovako: P n = n!

Kombinacije n elemenata po m su takvi spojevi u kojima je bitno koji su elementi bili i koliki je njihov ukupan broj. Formula će izgledati ovako:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernulijeva formula

U teoriji vjerovatnoće, kao i u svakoj disciplini, postoje radovi istaknutih istraživača u svojoj oblasti koji su je podigli na novi nivo. Jedan od ovih radova je Bernoullijeva formula, koja vam omogućava da odredite vjerovatnoću da će se određeni događaj dogoditi pod nezavisnim uvjetima. Ovo sugerira da pojava A u eksperimentu ne ovisi o pojavljivanju ili nepostojanju istog događaja u prethodnim ili narednim testovima.

Bernulijeva jednačina:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Vjerovatnoća (p) pojave događaja (A) je nepromijenjena za svako ispitivanje. Vjerovatnoća da će se situacija desiti tačno m puta u n broj eksperimenata će se izračunati po formuli koja je prikazana gore. Shodno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q.

Ako se događaj A dogodi p broj puta, prema tome, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Dakle, q je broj koji ukazuje na mogućnost da se događaj ne dogodi.

Sada znate Bernoullijevu formulu (teoriju vjerovatnoće). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prvi nivo).

Zadatak 2: Posjetilac trgovine će obaviti kupovinu sa vjerovatnoćom od 0,2. 6 posetilaca je samostalno ušlo u radnju. Kolika je vjerovatnoća da će posjetitelj obaviti kupovinu?

Rješenje: Pošto nije poznato koliko posjetitelja treba da izvrši kupovinu, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerovatnoće koristeći Bernoullijevu formulu.

A = "posjetilac će izvršiti kupovinu."

U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je navedeno u zadatku). Prema tome, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (jer u radnji ima 6 kupaca). Broj m će se promijeniti od 0 (nijedan kupac neće izvršiti kupovinu) na 6 (svi posjetitelji trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobijamo rješenje:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nijedan od kupaca neće izvršiti kupovinu sa vjerovatnoćom od 0,2621.

Kako se još koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerovatnoće)? Primjeri rješavanja problema (drugi nivo) u nastavku.

Nakon gornjeg primjera, postavljaju se pitanja gdje su C i p otišli. U odnosu na p, broj na stepen od 0 će biti jednak jedan. Što se tiče C, može se naći po formuli:

C n m = n! /m!(n-m)!

Pošto je u prvom primjeru m = 0, respektivno, C=1, što u principu ne utiče na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati kolika je vjerovatnoća da će dva posjetitelja kupiti robu.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija vjerovatnoće nije tako komplikovana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri prikazani gore, izravan je dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova jednačina se koristi za izračunavanje malo vjerojatnih slučajnih situacija.

osnovna formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

U ovom slučaju, λ = n x p. Evo tako jednostavne Poissonove formule (teorija vjerovatnoće). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema.

Zadatak 3 O: Fabrika je proizvela 100.000 delova. Izgled neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerovatnoća da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova?

Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj i stoga se za izračunavanje koristi Poissonova formula (teorija vjerovatnoće). Primjeri rješavanja problema ove vrste se ne razlikuju od drugih zadataka discipline, potrebne podatke zamjenjujemo u gornju formulu:

A = "slučajno odabrani dio će biti neispravan."

p = 0,0001 (prema uslovu zadavanja).

n = 100000 (broj delova).

m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formuli i dobivamo:

100000 R (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.

Baš kao i Bernoullijeva formula (teorija vjerovatnoće), primjeri rješenja za koje su gore napisani, Poissonova jednačina ima nepoznato e. U suštini, može se naći po formuli:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e.

De Moivre-Laplaceova teorema

Ako je u Bernoullijevoj šemi broj pokušaja dovoljno velik, a vjerovatnoća pojave događaja A u svim šemama jednaka, tada se vjerovatnoća pojave događaja A određeni broj puta u nizu pokušaja može pronađeno po Laplaceovoj formuli:

R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), primjeri zadataka koji će vam pomoći u nastavku.

Prvo nalazimo X m , zamjenjujemo podatke (svi su oni gore navedeni) u formulu i dobivamo 0,025. Pomoću tabela nalazimo broj ϕ (0,025), čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formuli:

P 800 (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Dakle, vjerovatnoća da će letak pogoditi tačno 267 puta je 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja zadataka uz pomoć kojih će biti dati u nastavku, je jednadžba koja opisuje vjerovatnoću događaja, na osnovu okolnosti koje bi se mogle povezati s njim. Glavna formula je sljedeća:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B su određeni događaji.

P(A|B) - uslovna verovatnoća, odnosno događaj A može se desiti, pod uslovom da je događaj B tačan.

R (V|A) - uslovna verovatnoća događaja V.

Dakle, završni dio kratkog kursa "Teorija vjerojatnosti" je Bayesova formula, primjeri rješavanja problema s kojima su u nastavku.

Zadatak 5: U magacin su doneti telefoni tri firme. Istovremeno, deo telefona koji se proizvodi u prvoj fabrici je 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Takođe je poznato da je prosečan procenat neispravnih proizvoda u prvoj fabrici 2%, u drugoj - 4%, au trećoj - 1%. Potrebno je pronaći vjerovatnoću da će slučajno odabrani telefon biti neispravan.

A = "slučajno uzet telefon."

B 1 - telefon koji je prva fabrika napravila. Shodno tome, pojavit će se uvodni B 2 i B 3 (za drugu i treću tvornicu).

Kao rezultat, dobijamo:

P (B 1) = 25% / 100% = 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - tako da smo pronašli vjerovatnoću svake opcije.

Sada morate pronaći uslovne vjerovatnoće željenog događaja, odnosno vjerovatnoću neispravnih proizvoda u firmama:

P (A / B 1) = 2% / 100% = 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Sada zamjenjujemo podatke u Bayesovu formulu i dobivamo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Članak predstavlja teoriju vjerovatnoće, formule i primjere rješavanja problema, ali ovo je samo vrh ledenog brega jedne ogromne discipline. I nakon svega napisanog, logično će biti postaviti pitanje da li je teorija vjerovatnoće potrebna u životu. Prostoj osobi je teško odgovoriti, bolje je pitati nekoga ko je uz njenu pomoć više puta pogodio džekpot.

Što se tiče svojstava stvarnih događaja, ona su formulisana u vizuelnim prikazima. Najraniji radovi naučnika u oblasti teorije verovatnoće datiraju iz 17. veka. Istražujući predviđanje dobitaka u kockanju, Blaise Pascal i Pierre Fermat otkrili su prve probabilističke obrasce koji se javljaju prilikom bacanja kocke. Pod uticajem pitanja koja su oni postavljali i razmatrali, Kristijan Hajgens se takođe bavio rešavanjem istih problema. Istovremeno, nije bio upoznat s korespondencijom između Paskala i Fermata, pa je sam izmislio tehniku ​​rješenja. Njegov rad, koji uvodi osnovne koncepte teorije vjerovatnoće (koncept vjerovatnoće kao količine slučaja; matematičko očekivanje za diskretne slučajeve, u obliku cijene slučaja), a koristi i teoreme sabiranja i množenja vjerovatnoća ( nije eksplicitno formulisan), objavljivan je dvadeset godina prije (1657.) objavljivanja pisama Pascala i Fermata (1679.).

Važan doprinos teoriji vjerovatnoće dao je Jacob Bernoulli: dao je dokaz zakona velikih brojeva u najjednostavnijem slučaju nezavisnih ispitivanja. U prvoj polovini 19. veka, teorija verovatnoće je počela da se primenjuje na analizu grešaka u posmatranju; Laplace i Poisson su dokazali prve granične teoreme. U drugoj polovini 19. veka glavni doprinos dali su ruski naučnici P. L. Čebišev, A. A. Markov i A. M. Ljapunov. Za to vrijeme razvijeni su zakon velikih brojeva, centralna granična teorema i teorija Markovljevih lanaca. Teorija vjerovatnoće dobila je svoj moderni oblik zahvaljujući aksiomatizaciji koju je predložio Andrej Nikolajevič Kolmogorov. Kao rezultat toga, teorija vjerovatnoće je dobila rigorozni matematički oblik i konačno se počela doživljavati kao jedna od grana matematike.

Osnovni koncepti teorije

vidi takođe

Napišite recenziju na članak "Teorija vjerovatnoće"

Bilješke

Introductory Links

• Teorija vjerojatnosti // Velika sovjetska enciklopedija: [u 30 tomova] / pogl. ed. A. M. Prokhorov. - 3. izd. - M. : Sovjetska enciklopedija, 1969-1978.
• - članak iz enciklopedije "Okrug svijeta"

Književnost

ALI

• Akhtyamov, A. M. "Ekonomske i matematičke metode": udžbenik. dodatak Bashk. stanje un-t. - Ufa: BSU, 2007.
• Akhtyamov, A. M. Teorija vjerovatnoće. - M.: Fizmatlit, 2009

B

• Borovkov, A. A. "matematička statistika", M.: Nauka, 1984.
• Borovkov, A. A. "teorija vjerovatnoće", M.: Nauka, 1986.
• Buldyk, G. M. , Mn., viši. škola, 1989.
• Bulinski, A. V., Shiryaev, A. N. "Teorija slučajnih procesa", M.: Fizmatlit, 2003.
• Bekareva, N. D. „Teorija verovatnoće. Bilješke sa predavanja", Novosibirsk NSTU
• Bavrin, I. I. "Viša matematika" (2. dio "Elementi teorije vjerojatnosti i matematičke statistike"), M.: Nauka, 2000.

AT

• Wentzel E. S. Teorija vjerovatnoće.- M.: Nauka, 1969. - 576 str.
• Wentzel E. S. Teorija vjerovatnoće. - 10. izd., izbrisano.. - M.: "Akademija", 2005. - 576 str. - ISBN 5-7695-2311-5.

G

• Gikhman II, Skorokhod AV Uvod u teoriju slučajnih procesa. - M.: Nauka, 1977.
• Gmurman, V. E. "Teorija vjerovatnoće i matematička statistika": Proc. dodatak - 12. izd., prerađeno - M.: Visoko obrazovanje, 2006.-479 str.: il (Osnovi nauka).
• Gmurman, V. E. "Vodič za rješavanje problema iz teorije vjerovatnoće i matematičke statistike": Proc. dodatak - 11. izd., revidirano. - M.: Visoko obrazovanje, 2006.-404 str. (Osnove nauka).
• Gnedenko, B.V. "Kurs teorije vjerovatnoće", - M.: Nauka, 1988.
• Gnedenko, B.V. "Kurs teorije vjerovatnoće", URSS. M.: 2001.
• Gnedenko B. V., Khinčin A. Ya., 1970.
• Gursky E.I. "Zbirka zadataka iz teorije vjerovatnoće i matematičke statistike", - Minsk: Viša škola, 1975.

D

• P. E. Danko, A. G. Popov, T. Ya. Kozhevnikov. Viša matematika u vježbama i zadacima. (U 2 dijela) - M.: Vyssh.shk, 1986.

E

• A. V. Efimov, A. E. Pospelov i drugi. Dio 4 // Zbirka zadataka iz matematike za visokoškolske ustanove. - 3. izd., revidirano. i dodatni.. - M.: "Fizmatlit", 2003. - T. 4. - 432 str. - ISBN 5-94052-037-5.

To

• Kolemaev, V. A. i drugi. "Teorija vjerovatnoće i matematička statistika", - M.: Viša škola, 1991.
• Kolmogorov, A. N. "Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće", M.: Nauka, 1974.
• Koršunov, D. A., Foss, S. G. "Zbirka zadataka i vježbi iz teorije vjerovatnoće", Novosibirsk, 1997.
• Korshunov, D. A., Chernova, N. I. "Zbirka zadataka i vježbi iz matematičke statistike", Novosibirsk. 2001.
• Kremer N. Sh Teorija vjerovatnoće i matematička statistika: Udžbenik za srednje škole. - 2. izd., revidirano. i dodatne - M: UNITY-DANA, 2004. - 573 str.
• Kuznjecov, A. V. "Primjena kriterija dobrosti u matematičkom modeliranju ekonomskih procesa", Minsk: BGINH, 1991.

L

• Liholetov I. I., Matskevich I. E. "Vodič za rješavanje problema u višoj matematici, teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici", Mn.: Vysh. škola, 1976.
• Likholetov I. I. "Viša matematika, teorija vjerovatnoće i matematička statistika", Mn.: Vysh. škola, 1976.
• Loev M.V "teorija vjerovatnoće", - M .: Izdavačka kuća strane književnosti, 1962.

M

• Mankovsky B. Yu., "Tabela vjerovatnoća".
• Matskevič I. P., Svirid G. P. “Viša matematika. Teorija vjerovatnoće i matematička statistika", Mn.: Vysh. škola, 1993.
• Matskevich I. P., Svirid G. P., Buldyk G. M. Zbirka zadataka i vježbi iz više matematike. Teorija vjerovatnoće i matematička statistika", Mn.: Vysh. škola, 1996.
• Meyer P.-A. Vjerovatnoća i potencijali. Izdavačka kuća Mir, Moskva, 1973.
• Mlodinov L.

P

• Prokhorov, A. V., V. G. Ushakov, N. G. Ushakov. "Problemi teorije problema", Nauka. M.: 1986.
• Prokhorov Yu. V., Rozanov Yu. A. "teorija vjerovatnoće", - M.: Nauka, 1967.
• Pugačev, V. S. "Teorija vjerovatnoće i matematička statistika", Nauka. M.: 1979.

R

• Rotar V.I., "teorija vjerovatnoće", - M.: Viša škola, 1992.

OD

• Sveshnikov A. A. i drugi, "Zbirka zadataka iz teorije vjerovatnoće, matematičke statistike i teorije slučajnih funkcija", - M.: Nauka, 1970.
• Svirid, G. P., Makarenko, Ya. S., Shevchenko, L. I. "Rješenje problema matematičke statistike na PC-u", Mn., Vysh. škola, 1996.
• Sevastjanov B. A., "Kurs teorije vjerovatnoće i matematičke statistike", - M.: Nauka, 1982.
• Sevastjanov, B. A., Čistjakov, V. P., Zubkov, A. M. "Zbirka problema iz teorije vjerovatnoće", M.: Nauka, 1986.
• Sokolenko A.I., "Viša matematika", udžbenik. M.: Akademija, 2002.

F

• Feller, W. "Uvod u teoriju vjerovatnoće i njene primjene".

X

• Khamitov, G. P., Vedernikova, T. I. "Vjerovatnoća i statistika", BSUEP. Irkutsk: 2006.

H

• Čistjakov, V.P. "Kurs teorije vjerovatnoće", M., 1982.
• Černova, N. I. "Teorija verovatnoće", Novosibirsk. 2007.

W

• Sheinin O. B. Berlin: NG Ferlag, 2005, 329 str.
• Shiryaev, A. N. "Vjerovatnoća", Nauka. M.: 1989.
• Shiryaev, A. N. "Osnove stohastičke finansijske matematike u 2 toma.", FASIS. M.: 1998.

Klasična analiza Teorija funkcija Diferencijal i integralne jednačine

Izvod koji karakteriše teoriju vjerovatnoće

"Imamo li majstorov hleb, brate?" ona je pitala.
„Hleb Gospodnji je ceo“, reče Dron ponosno, „naš princ nije naredio da ga proda.
„Dajte ga seljacima, dajte mu sve što im treba: dajem vam dozvolu u ime vašeg brata“, rekla je princeza Marija.
Dron nije odgovorio i duboko je udahnuo.
- Dajte im ovaj hleb, ako će im biti dovoljno. Distribuirajte sve. Zapovijedam ti u ime brata i kažem im: što je naše, tako je i njihovo. Nećemo štedeti ništa za njih. Tako ti kažeš.
Drone je pažljivo zurio u princezu dok je govorila.
"Otpusti me, majko, za ime Boga, pošalji mi ključeve da prihvatim", rekao je. - Odležao je dvadeset i tri godine, nije učinio ništa loše; odustani, za ime Boga.
Princeza Meri nije razumela šta želi od nje i zašto je tražio da bude otpušten. Odgovorila mu je da nikada ne sumnja u njegovu privrženost i da je spremna učiniti sve za njega i za seljake.

Sat vremena kasnije, Dunjaša je došla do princeze sa vestima da je Dron došao i da su se svi seljaci, po naređenju princeze, okupili u štali, želeći da razgovaraju sa gospodaricom.
„Da, nikada ih nisam zvala“, rekla je princeza Marija, „samo sam rekla Dronuški da im podeli hleb.
- Samo zaboga, princezo majko, naredi im da se oteraju i ne idi k njima. Sve je to obmana", rekla je Dunjaša, "ali Jakov Alpatič će doći, a mi ćemo otići ... i nemate ništa protiv ...
- Kakva obmana? upitala je princeza iznenađeno.
„Da, znam, samo me slušaj, za ime Boga. Samo pitaj dadilju. Kažu da ne pristaju da odu po vašoj naredbi.
- Ništa ne govoriš. Da, nikad nisam naredila da odem... - rekla je princeza Marija. - Zovi Dronušku.
Dron, koji je došao, potvrdio je Dunjašine reči: seljaci su došli po nalogu princeze.
„Da, nikad ih nisam zvala“, rekla je princeza. Mora da si im krivo rekao. Samo sam ti rekao da im daš hleb.
Drone je uzdahnuo bez odgovora.
„Ako im kažete, oni će otići“, rekao je.
„Ne, ne, ja ću otići do njih“, rekla je princeza Marija
Uprkos odvraćanju Dunjaše i medicinske sestre, princeza Meri je izašla na verandu. Dron, Dunjaša, medicinska sestra i Mihail Ivanovič krenuli su za njom. „Vjerovatno misle da im nudim hljeb da ostanu na svojim mjestima, a ja ću otići, ostavljajući ih na milost i nemilost Francuzima“, mislila je princeza Marija. - Obećaću im mesec dana u stanu u blizini Moskve; Sigurna sam da bi Andre na mom mjestu učinio još više “, pomislila je, približavajući se gomili na pašnjaku kraj štale u sumrak.
Gomila, koja se nagomilala, počela se mešati, a kape su brzo skinute. Princeza Meri, spustivši oči i zaplevši stopala u haljinu, priđe im blizu. Toliko je raznolikih starih i mladih očiju bilo uprto u nju i toliko je bilo različitih lica da princeza Marija nije vidjela nijedno lice i, osjećajući potrebu da odjednom razgovara sa svima, nije znala šta da radi. Ali opet, spoznaja da je ona predstavnica oca i brata dala joj je snagu i hrabro je započela svoj govor.
„Veoma mi je drago što ste došli“, počela je princeza Marija, ne podižući oči i ne osećajući kako joj srce brzo i snažno kuca. „Dronuška mi je rekla da te je rat uništio. Ovo je naša zajednička tuga i neću štedjeti ništa da vam pomognem. Ja idem sam, jer je ovde vec opasno i neprijatelj je blizu... jer... dajem vam sve, prijatelji moji, i molim vas da uzmete sve, sav naš hleb, da ne biste imali potreba. A ako vam je rečeno da vam dajem kruha da ostanete ovdje, onda to nije istina. Naprotiv, molim vas da sa svom imovinom odete u naše prigradsko naselje, a tamo preuzimam na sebe i obećavam vam da nećete biti u nevolji. Biće vam date kuće i hleb. Princeza je stala. U gomili su se čuli samo uzdasi.
„Ne radim to sama“, nastavila je princeza, „radim ovo u ime svog pokojnog oca, koji je vama bio dobar gospodar, i za mog brata i njegovog sina.
Ponovo je stala. Niko nije prekidao njenu tišinu.
- Jao nam je zajedničko, a sve ćemo podijeliti na pola. Sve što je moje je tvoje”, rekla je, gledajući oko sebe u lica koja su stajala pred njom.
Sve oči su je gledale sa istim izrazom, čije značenje nije mogla da razume. Bilo da se radilo o radoznalosti, predanosti, zahvalnosti ili strahu i nepovjerenju, izraz na svim licima bio je isti.
„Mnogi su zadovoljni vašom milošću, samo što ne moramo da uzimamo gospodarev hleb“, reče glas iza.
- Da zašto? - rekla je princeza.
Niko nije odgovorio, a princeza Meri je, osvrćući se oko gomile, primetila da su sada sve oči koje je srela odmah pale.
- Zašto ne želiš? ponovo je upitala.
Niko se nije javio.
Princeza Marija se osećala teško od ove tišine; pokušala je uhvatiti nečiji pogled.
- Zašto ne govoriš? - obrati se princeza starcu, koji je, oslonjen na štap, stajao ispred nje. Reci mi ako misliš da ti treba još nešto. Učinit ću sve“, rekla je uhvativši mu pogled. Ali on je, kao da je ljut na ovo, potpuno spustio glavu i rekao:
- Zašto se slažemo, ne treba nam hleb.
- Pa, treba li da prekinemo sve? Ne slažem se. Ne slažem se... Ne postoji naš pristanak. Žao nam je, ali nema naše saglasnosti. Idi sam, sam...” čulo se u masi sa raznih strana. I opet se isti izraz pojavio na svim licima ove gomile, i sada to vjerovatno više nije bio izraz radoznalosti i zahvalnosti, već izraz ogorčene odlučnosti.
„Da, nisi razumeo, zar ne“, rekla je princeza Marija sa tužnim osmehom. Zašto ne želiš da ideš? Obećavam da ću te ugostiti, nahraniti. I ovdje će te neprijatelj uništiti...
Ali njen glas je bio prigušen glasovima gomile.
- Nema naše saglasnosti, neka ruše! Ne uzimamo vaš hleb, nema naše saglasnosti!
Princeza Marija je ponovo pokušala da uhvati nečiji pogled iz gomile, ali ni jedan pogled nije bio uperen na nju; oči su je očigledno izbegavale. Osećala se čudno i neprijatno.
„Vidi, pametno me naučila, prati je do tvrđave!“ Uništite kuće i u ropstvo i idite. Kako! Daću ti hleba! čuli su se glasovi u gomili.
Princeza Marija, spustivši glavu, napusti krug i uđe u kuću. Ponovivši naređenje Dronu da sutra treba imati konja za polazak, otišla je u svoju sobu i ostala sama sa svojim mislima.

Dugo je te noći kneginja Marija sjedila kraj otvorenog prozora u svojoj sobi, slušala zvuke seljaka koji su govorili iz sela, ali nije mislila na njih. Osjećala je da, koliko god mislila o njima, ne može ih razumjeti. Neprestano je razmišljala o jednoj stvari - o svojoj tuzi, koja je sada, nakon prekida brige o sadašnjosti, za nju već postala prošlost. Sada je mogla da se seti, mogla je da plače i da se moli. Kako je sunce zalazilo, vjetar je utihnuo. Noć je bila mirna i prohladna. U dvanaest sati počeše da se stišaju glasovi, zapeva petao, iza lipa poče izlaziti pun mjesec, diže se svježa, bijela rosna magla, i tišina zavlada selom i kućom.
Jedna za drugom zamišljala je slike bliske prošlosti - bolesti i poslednjih trenutaka njenog oca. I sa tužnom radošću ona je sada zadržala na ovim slikama, tjerajući od sebe sa užasom samo jednu posljednju ideju o njegovoj smrti, koju - osjećala je - nije mogla zamisliti ni u svojoj mašti u ovom tihom i tajanstvenom času noć. I te su joj se slike ukazivale s takvom jasnoćom i tako detaljno da su joj se činile ili stvarnost, ili prošlost, ili budućnost.
Tada je živo zamislila trenutak kada ga je udario moždani udar i kada ga za ruke vuku iz bašte u Ćelavim planinama, a on nešto mrmlja nemoćnim jezikom, trzajući sedim obrvama i nemirno i bojažljivo gledajući u nju.
„Želeo je da mi još tada kaže ono što mi je rekao na dan svoje smrti“, pomislila je. “Uvek je mislio šta mi je rekao.” I sada se sa svim detaljima prisjetila one noći na Ćelavim planinama uoči udarca koji mu se dogodio, kada je princeza Marija, sluteći nevolju, protiv njegove volje ostala s njim. Nije spavala i noću je na vrhovima prstiju sišla dolje i, odlazeći do vrata cvjetnice, u kojoj je te noći proveo njen otac, slušala je njegov glas. Govorio je nešto Tihonu iscrpljenim, umornim glasom. Činilo se da želi razgovarati. „Zašto me nije pozvao? Zašto mi nije dozvolio da budem ovde umesto Tihona? mislila je tada i sada princeza Marija. - Nikad nikome sada neće reći sve što mu je bilo u duši. Nikada se za njega i za mene neće vratiti ovaj trenutak kada bi rekao sve što je hteo da izrazi, a ja, a ne Tihon, slušao bih ga i razumeo. Zašto onda nisam ušao u sobu? pomislila je. “Možda bi mi tada rekao šta je rekao na dan svoje smrti. Čak je i tada, u razgovoru sa Tihonom, dva puta pitao za mene. Hteo je da me vidi, a ja sam stajao tamo, ispred vrata. Bio je tužan, bilo je teško razgovarati sa Tihonom, koji ga nije razumio. Sjećam se kako mu je pričao o Lizi, kao da je živa - zaboravio je da je mrtva, a Tihon ga je podsjetio da je više nema, a on je viknuo: "Budalo." Bilo mu je teško. Iza vrata sam čuo kako je, stenjajući, legao na krevet i glasno viknuo: „Bože moj! Zašto onda nisam otišao gore? Šta bi on meni uradio? Šta bih izgubio? Ili bi se možda tada utješio, rekao bi mi ovu riječ. A princeza Marija izgovorila je naglas tu ljubaznu reč koju joj je izgovorio na dan svoje smrti. “Čovječe ona nka! - Princeza Marija je ponovila ovu reč i jecala suze koje su joj olakšale dušu. Sada je vidjela njegovo lice ispred sebe. A ne lice koje je poznavala otkad pamti, a koje je oduvek videla izdaleka; i to lice - plaho i slabašno, koje je poslednjeg dana, sagnuvši se prema ustima da čuje šta govori, prvi put pomno pregledalo sa svim svojim borama i detaljima.