Izračunavanje određenog integrala metodom pravougaonika. Numerička integracija

Jekaterinburg

Izračunavanje određenog integrala

Uvod

Zadatak numeričke integracije funkcija je izračunavanje približne vrijednosti određenog integrala:

na osnovu niza vrijednosti integrala.( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

Formule za numerički proračun jednog integrala nazivaju se kvadraturne formule, dvostruke i višestruke - kubaturne.

Uobičajena tehnika za konstruisanje kvadraturnih formula je zamjena integranda f(x) na segmentu interpolirajućom ili aproksimirajućom funkcijom g(x) relativno jednostavnog oblika, na primjer, polinomom, nakon čega slijedi analitička integracija. Ovo vodi do prezentacije

Zanemarujući preostali član R[f], dobijamo približnu formulu

Označimo sa y i = f(x i) vrijednost integrala u različitim točkama na . Kvadraturne formule su formule zatvorenog tipa ako je x 0 =a, x n =b.

Kao približnu funkciju g(x), smatramo interpolacijski polinom na u obliku Lagrangeovog polinoma:

, pri čemu , gdje je preostali član Lagrangeove interpolacijske formule.

Formula (1) daje

, (2)

. (3)

U formuli (2) veličine () se nazivaju čvorovi, () - težine, - greška kvadraturne formule. Ako se težine () kvadraturne formule izračunaju po formuli (3), tada se odgovarajuća kvadraturna formula naziva kvadraturnom formulom interpolacijskog tipa.

Sažmite.

1. Težine () kvadraturne formule (2) za dati raspored čvorova ne zavise od tipa integrala.

2. U kvadraturnim formulama tipa interpolacije, preostali član R n [f] se može predstaviti kao vrijednost određenog diferencijalnog operatora na funkciji f(x). Za

3. Za polinome do reda n uključujući, kvadraturna formula (2) je tačna, tj. . Najviši stepen polinoma za koji je kvadraturna formula tačna naziva se stepen kvadraturne formule.

Razmotrimo posebne slučajeve formula (2) i (3): metoda pravokutnika, trapeza, parabola (Simpsonova metoda). Nazivi ovih metoda su zbog geometrijske interpretacije odgovarajućih formula.

Metoda pravougaonika

Definitivni integral funkcije funkcije f(x): numerički je jednak površini krivolinijskog trapeza ograničenog krivuljama y=0, x=a, x=b, y=f(x) (slika 1).

Rice. 1 Površina ispod krive y=f(x) Za izračunavanje ove površine, cijeli interval integracije se dijeli na n jednakih podintervala dužine h=(b-a)/n. Površina ispod integranda je približno zamijenjena zbirom površina pravokutnika, kao što je prikazano na slici (2).

Rice. 2 Površina ispod krive y=f(x) aproksimirana je zbirom površina pravokutnika
Zbir površina svih pravougaonika izračunava se po formuli

Metoda predstavljena formulom (4) naziva se metoda lijevog okvira, a metoda predstavljena formulom (5) naziva se metoda desnog okvira:

Greška u izračunavanju integrala određena je vrijednošću koraka integracije h. Što je korak integracije manji, to je integralni zbir S tačnije aproksimira vrijednost integrala I. Na osnovu toga se gradi algoritam za izračunavanje integrala sa datom tačnošću. Smatra se da integralni zbir S predstavlja vrijednost integrala I sa tačnošću eps, ako razlika u apsolutnoj vrijednosti između integralnih zbira i izračunatih korakom h i h/2 ne prelazi eps.

Za pronalaženje određenog integrala pomoću metode srednjih pravokutnika, površina ograničena linijama a i b podijeljena je na n pravokutnika s istim osnovama h, visine pravokutnika bit će točke presjeka funkcije f(x) sa sredine pravougaonika (h/2). Integral će biti numerički jednak zbiru površina n pravougaonika (slika 3).

Rice. 3 Površina ispod krive y=f(x) aproksimirana je zbirom površina pravokutnika

n je broj particija segmenta.

Trapezoidna metoda

Za pronalaženje određenog integrala metodom trapeza, površina krivolinijskog trapeza se također dijeli na n pravokutnih trapeza sa visinama h i osnovama y 1, y 2, y 3,..y n, gdje je n broj pravougaoni trapez. Integral će biti numerički jednak zbiru površina pravokutnih trapeza (slika 4).

Rice. 4 Površina ispod krive y=f(x) aproksimirana je zbirom površina pravokutnih trapeza.

n je broj particija

(6)

Greška formule trapeza se procjenjuje brojem

Greška formule trapeza opada brže s rastom od greške formule pravokutnika. Stoga vam formula trapeza omogućava da dobijete veću preciznost od metode pravokutnika.

Simpsonova formula

Ako za svaki par segmenata konstruišemo polinom drugog stepena, a zatim ga integrišemo na segmentu i koristimo svojstvo aditivnosti integrala, dobijamo Simpsonovu formulu.

U Simpsonovoj metodi za izračunavanje definitivnog integrala, cijeli interval integracije je podijeljen na podintervale jednake dužine h=(b-a)/n. Broj segmenata particije je paran broj. Zatim, na svakom paru susjednih podintervala, podintegralna funkcija f(x) se zamjenjuje Lagrangeovim polinomom drugog stepena (slika 5).

Rice. 5 Funkcija y=f(x) na segmentu je zamijenjena polinomom 2. reda

Razmotrimo integrand na intervalu . Zamenimo ovaj integrand sa Lagrangeovim interpolacionim polinomom drugog stepena koji se poklapa sa y= u tačkama:

Integriramo se u segmentu .:

Uvodimo promjenu varijabli:

S obzirom na zamjenske formule,

Nakon integracije, dobijamo Simpsonovu formulu:

Dobivena vrijednost za integral poklapa se sa površinom krivolinijskog trapeza ograničenog osom, pravim linijama i parabolom koja prolazi kroz tačke. Na segmentu će Simpsonova formula izgledati ovako:

U formuli parabole, vrijednost funkcije f (x) u neparnim podijeljenim tačkama x 1, x 3, ..., x 2 n -1 ima koeficijent 4, u parnim tačkama x 2, x 4, .. ., x 2 n -2 - koeficijent 2 i na dvije granične točke x 0 \u003d a, x n \u003d b - koeficijent 1.

Geometrijsko značenje Simpsonove formule: površina krivolinijskog trapeza ispod grafa funkcije f(x) na segmentu je približno zamijenjena zbrojem površina figura koje leže ispod parabola.

Ako funkcija f(x) ima kontinuirani izvod četvrtog reda, tada apsolutna vrijednost greške Simpsonove formule nije veća od

gdje je M najveća vrijednost na segmentu. Pošto n 4 raste brže od n 2 , greška Simpsonove formule opada sa povećanjem n mnogo brže od greške formule trapeza.

Računamo integral

Ovaj integral je lako izračunati:

Uzmimo n jednako 10, h=0,1, izračunajmo vrijednosti integrala u tačkama particije, kao i polucijele tačke .

Prema formuli srednjih pravougaonika dobijamo I pravougaonik = 0,785606 (greška je 0,027%), prema trapezoidnoj formuli I zamka = 0,784981 (greška je oko 0,054. Prilikom korišćenja metode desnog i levog pravougaonika greška je više od 3%.

Da bismo uporedili tačnost približnih formula, još jednom izračunavamo integral

ali sada po Simpsonovoj formuli za n=4. Segment podijelimo na četiri jednaka dijela s točkama x 0 = 0, x 1 = 1/4, x 2 = 1/2, x 3 = 3/4, x 4 = 1 i izračunamo približno vrijednosti funkcije f (x) \u003d 1 / ( 1+x) u ovim tačkama: y 0 =1,0000, y 1 =0,8000, y 2 =0,6667, y 3 =0,5714, y 4 =0,5000.

Po Simpsonovoj formuli dobijamo

Procijenimo grešku dobijenog rezultata. Za integrand f(x)=1/(1+x) imamo: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , odakle slijedi da je na segmentu . Stoga možemo uzeti M=24, a greška rezultata ne prelazi 24/(2880× 4 4)=0,0004. Upoređujući približnu vrijednost sa tačnom, zaključujemo da je apsolutna greška rezultata dobivenog Simpsonovom formulom manja od 0,00011. Ovo je u skladu s gornjom procjenom greške i, osim toga, ukazuje da je Simpsonova formula mnogo preciznija od formule trapeza. Stoga se Simpsonova formula za približno izračunavanje određenih integrala češće koristi od formule trapeza.

Poređenje metoda za tačnost

Uporedimo metode u smislu tačnosti, za ovo ćemo izračunati integral funkcija y=x, y=x+2, y=x 2 , pri n=10 i n=60, a=0, b=10 . Tačna vrijednost integrala je redom: 50, 70, 333.(3)

Tabela 1

Tabela 1 pokazuje da je najtačniji integral koji se nalazi Simpsonovom formulom, pri izračunavanju linearnih funkcija y=x, y=x+2, tačnost se postiže i metodama srednjih pravougaonika i metodom trapeza, metodom desnog pravougaonika je manje tačna. Tabela 1 pokazuje da sa povećanjem broja particija n (povećanjem broja integracija) raste tačnost približnog izračunavanja integrala

Zadatak za laboratorijske radove

1) Napisati programe za izračunavanje određenog integrala koristeći metode: srednji, pravi pravougaonik, trapez i Simpsonova metoda. Izvršite integraciju sljedećih funkcija:

na segmentu sa korakom , ,

3. Izvršiti varijantu pojedinačnog zadatka (tabela 2)

Tabela 2 Opcije pojedinačnih zadataka

	Funkcija f(x)	Segment integracije

2) Izvršiti komparativnu analizu metoda.

Izračunavanje određenog integrala: Smjernice za laboratorijski rad iz discipline "Računarska matematika" / komp. I.A. Selivanova. Jekaterinburg: GOU VPO USTU-UPI, 2006. 14 str.

Smjernice su namijenjene studentima svih oblika obrazovanja specijalnosti 230101 – „Računari, kompleksi, sistemi i mreže“ i diplomcima smjera 230100 – „Računarstvo i računarska tehnologija“. Sastavila Selivanova Irina Anatoljevna

grafička slika:

Izračunajmo približnu vrijednost integrala. Za procjenu tačnosti koristimo proračun metodom lijevog i desnog pravokutnika.

Izračunajte korak prilikom dijeljenja na 10 dijelova:

Tačke razdvajanja segmenta su definisane kao.

Izračunavamo približnu vrijednost integrala koristeći formule lijevog pravokutnika:

0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486

Izračunavamo približnu vrijednost integrala koristeći formule pravih pravokutnika:

0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342

Rješenje graničnog problema za običnu diferencijalnu jednadžbu metodom sweep-a.

Za približno rješenje obične diferencijalne jednadžbe može se koristiti metoda sweep-a.

Zamislite linearni d.p.

y""+p(x)y"+q(x)y=f(x) (1)

sa linearnim graničnim uslovima u dve tačke

Hajde da uvedemo notaciju:

Metoda sweep-a sastoji se od "pokretanja naprijed", u kojem se određuju koeficijenti:

Nakon izvođenja "poteza naprijed", oni prelaze na izvršavanje "pokreta unazad", koji se sastoji u određivanju vrijednosti željene funkcije prema formulama:

Koristeći metodu sweep-a, sastaviti rješenje graničnog problema za običnu diferencijalnu jednačinu sa tačnošću; Korak h=0,05

2; A=1; =0; B=1,2;

Dirichletov problem za Laplaceovu jednačinu metodom mreže

Pronađite kontinuiranu funkciju u(x, y) koja zadovoljava Laplaceovu jednačinu unutar pravokutnog područja

i preuzimanja granice regiona zadate vrednosti, tj.

gdje su f l , f 2 , f 3 , f 4 date funkcije.

Uvodeći notaciju, aproksimiramo parcijalne izvode i na svakom unutrašnjem čvoru mreže centralnim diferencijskim izvodima drugog reda

i zamijeniti Laplaceovu jednačinu sa jednačinom konačnih razlika

Greška zamjene diferencijalne jednadžbe s razlikovnom je .

Jednačine (1) zajedno sa vrijednostima u graničnim čvorovima čine sistem linearnih algebarskih jednadžbi za približne vrijednosti funkcije u(x, y) u čvorovima mreže. Ovaj sistem ima najjednostavniji oblik kada:

Prilikom dobijanja jednadžbi mreže (2) korištena je šema čvorova prikazana na slici 1. 1. Skup čvorova koji se koristi za aproksimaciju jednačine u tački naziva se šablon.

Slika 1

Numeričko rješenje Dirichletovog problema za Laplaceovu jednadžbu u pravokutniku sastoji se u pronalaženju približnih vrijednosti željene funkcije u(x, y) na unutrašnjim čvorovima mreže. Za određivanje veličina potrebno je riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina (2).

U ovom radu rješava se Gauss--Seidelovom metodom, koja se sastoji u konstruiranju niza iteracija oblika

(superskript s označava broj iteracije). Za , niz konvergira do tačnog rješenja sistema (2). Kao uslov za završetak iterativnog procesa može se uzeti

Dakle, greška približnog rješenja dobivenog mrežnom metodom sastoji se od dvije greške: greške aproksimacije diferencijalne jednadžbe razlikom; greška koja je rezultat približnog rješenja sistema razlika jednadžbi (2).

Poznato je da ovdje opisana razlika shema ima svojstvo stabilnosti i konvergencije. Stabilnost sheme znači da male promjene u početnim podacima dovode do malih promjena u rješenju problema razlike. Samo takve šeme ima smisla primjenjivati u stvarnim proračunima. Konvergencija sheme znači da kada korak mreže teži nuli (), rješenje problema razlike teži u određenom smislu rješenju originalnog problema. Dakle, odabirom dovoljno malog koraka h, može se proizvoljno točno riješiti originalni problem.

Koristeći metodu mreže, sastaviti približno rješenje Dirichletovog problema za Laplaceovu jednačinu u kvadratu ABCD sa vrhovima A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); korak h=0,02. Kada rješavate problem, koristite iterativni Libmanov proces usrednjavanja dok se ne dobije odgovor s tačnošću od 0,01.

1) Izračunajte vrijednosti funkcije na stranama:

1. Na strani AB: prema formuli. u(0;0)=0 u(0;0.2)=9.6 u(0;0.4)=16.8 u(0;0.6)=19.2 u(0;0.8)=14.4 u(0;1)=0
2. BC strana=0
3. Na strani CD=0

4. Na strani AD: po formuli u(0;0)=0 u(0.2;0)=29.376 u(0.4;0)=47.542 u(0.6;0)=47.567 u(0.8;0)=29.44 u(1;0)=0
2) Da bismo odredili vrijednosti funkcije u unutrašnjim tačkama regije koristeći metodu mreže, datu Laplaceovu jednačinu u svakoj tački zamjenjujemo jednadžbom konačne razlike prema formuli

Koristeći ovu formulu, napravićemo jednadžbu za svaku unutrašnju tačku. Kao rezultat, dobijamo sistem jednačina.

Rješenje ovog sistema se izvodi iterativnom metodom Liebmanovog tipa. Za svaku vrijednost sastavljamo niz koji gradimo do konvergencije u stotinkama. Zapišimo relacije uz pomoć kojih ćemo pronaći elemente svih nizova:

Za proračune pomoću ovih formula potrebno je odrediti početne vrijednosti koje se mogu pronaći na bilo koji način.

3) Da bismo dobili početno približno rješenje problema, pretpostavljamo da je funkcija u(x,y) ravnomjerno raspoređena duž horizontala područja.

Prvo, razmotrite horizontalnu liniju sa graničnim tačkama (0;0,2) i (1;0,2).

Označimo željene vrijednosti funkcije u unutrašnjim točkama kroz.

Pošto je segment podijeljen na 5 dijelova, korak mjerenja funkcije

Tada dobijamo:

Slično, nalazimo vrijednosti funkcije u unutrašnjim točkama drugih horizontala. Za horizontalu, sa graničnim tačkama (0;0,4) i (1;0,4) imamo

Za horizontalu sa graničnim tačkama (0;0,6) i (1;0,6) imamo

Konačno, nalazimo vrijednosti za horizontalu sa graničnim točkama (0;0,8) i (1;0,8).

Sve dobijene vrijednosti prikazat ćemo u sljedećoj tabeli, koja se zove nul uzorak:

Procjena preostalog člana formule:

ili

Servisni zadatak. Servis je namijenjen za online izračunavanje određenog integrala pomoću formule pravokutnika.

Uputstvo. Unesite integrand f(x) , kliknite Riješi. Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku. Predložak rješenja je također kreiran u Excelu. Ispod je video uputstvo.

Pravila unosa funkcije

Primjeri
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3) Ovo je najjednostavnija kvadraturna formula za izračunavanje integrala, koja koristi jednu vrijednost funkcije

(8.5.1)
gdje ; h=x 1 -x 0 .
Formula (8.5.1) je centralna formula za pravougaonike. Izračunajmo ostatak. Proširimo funkciju y=f(x) u tački ε 0 u Taylorov red:
(8.5.2)
gdje ; . Integriramo (8.5.2):

(8.5.3)

U drugom članu, integrand je neparan, a granice integracije su simetrične u odnosu na tačku ε 0 . Dakle, drugi integral je jednak nuli. Dakle, iz (8.5.3) slijedi .
Budući da drugi faktor integranda ne mijenja predznak, onda po teoremi srednje vrijednosti dobijamo , gdje . Nakon integracije dobijamo . (8.5.4)
Upoređujući s ostatkom formule trapeza, vidimo da je greška formule pravokutnika dva puta manja od greške formule trapeza. Ovaj rezultat je tačan ako u formuli pravokutnika uzmemo vrijednost funkcije u sredini.
Dobijamo formulu pravokutnika i preostali član za interval . Neka je mreža x i =a+ih, i=0,1,...,n, . Razmotrimo mrežu ε i =ε 0 +ih, i=1,2,..,n, ε 0 =a-h/2. Onda . (8.5.5)
Preostali rok .
Geometrijski, formula pravokutnika može se predstaviti sljedećom slikom:

Ako je funkcija f (x) data u tabeli, tada se koristi ili leva formula pravokutnika (za uniformnu mrežu)

ili desnu formulu pravougaonika

.
Greška ovih formula se procjenjuje kroz prvi izvod. Za interval, greška je

; .
Nakon integracije dobijamo .

Primjer. Izračunajte integral za n=5:
a) prema trapezoidnoj formuli;
b) prema formuli pravougaonika;
c) prema Simpsonovoj formuli;
d) prema Gausovoj formuli;
e) prema formuli Čebiševa.
Izračunajte grešku.
Rješenje. Za 5 integracijskih čvorova, korak mreže će biti 0,125.
Prilikom rješavanja koristit ćemo tablicu vrijednosti funkcija. Ovdje je f(x)=1/x.

	x		f(x)
x0	0.5	y0	2
x1	0.625	y1	1.6
x2	0.750	y2	1.33
x3	0.875	y3	1.14
x4	1.0	y4	1

a) trapezoidna formula:
I=h/2×;
I=(0,125/2)×= 0.696;
R= [-(b-a)/12]×h×y¢¢(x);
f¢¢(x)=2/(x 3).
Maksimalna vrijednost drugog izvoda funkcije na intervalu je 16: max (f¢¢(x)), xn=2/(0,5 3)=16, dakle
R=[-(1-0,5)/12]×0,125×16=- 0.0833;
b) formula pravougaonika:
za formulu leve strane I=h×(y0+y1+y2+y3);
I=0,125×(2+1,6+1,33+1,14)= 0.759;
R=[(b-a)/6]×h 2×y¢¢(x);
R=[(1-0,5)/6]×0,125 2×16= 0.02;
c) Simpsonova formula:
I=(2h/6)×(y0+y4+4×(y1+y3)+2×y2);
I=(2×0,125)/6×(2+1+4×(1,6+1,14)+2×1,33)= 0.693;
R=[-(b-a)/180]×h 4×y (4) (x);
f(4)(x)=24/(x5)=768;
R=[-(1-0,5)/180]×(0,125) 4×768 = - 5.2 e-4;
d) Gausova formula:
I=(b-a)/2×;
x i =(b+a)/2+t i (b-a)/2
(A i , t i - tabelarne vrijednosti).

				t (n=5)		A (n=5)
x1	0.9765	y1	1.02	t1	0.90617985	A 1	0.23692688
x2	0.8846	y2	1.13	t2	0.53846931	A2	0.47862868
x3	0.75	y3	1.33	t3	0	A 3	0.56888889
x4	0.61	y4	1.625	t4	-0.53846931	A4	0.47862868
x5	0.52	y5	1.91	t5	-0.90617985	A5	0.23692688

I=(1-0,5)/2×(0,2416+0,5408+0,7566+0,7777+0,4525)= 0.6923;
e) Čebiševljeva formula:
I=[(b-a)/n] ×S f(x i), i=1..n,
x i =(b+a)/2+[ t i (b-a)]/2 - neophodno smanjenje intervala integracije na interval [-1;1].
Za n=5

t1	0.832498
t2	0.374541
t3	0
t4	-0.374541
t5	-0.832498

Nađimo x vrijednosti i vrijednosti funkcije u ovim točkama:

x1	0,958	f(x1)	1,043
x2	0,844	f(x2)	1,185
x3	0,75	f(x3)	1,333
x4	0,656	f(x4)	1,524
x5	0,542	f(x5)	1,845

Zbir vrijednosti funkcije je 6.927.
I=(1-0,5)/5×6,927=0,6927.

Uglavnom formula lijevog pravokutnika na segmentu kao što slijedi (21) :

U ovoj formuli x 0 =a, x n =b, budući da bilo koji integral općenito izgleda ovako: (vidi formulu 18 ).

h se može izračunati pomoću formule 19 .

y 0 ,y 1 ,...,y n-1 x 0 , x 1 ,..., x n-1 (x i =x i-1 +h).

Formula pravih pravougaonika.

Uglavnom formula pravougaonika na segmentu kao što slijedi (22) :

U ovoj formuli x 0 =a, x n =b(vidi formulu za lijeve pravokutnike).

h se može izračunati koristeći istu formulu kao u formuli za lijeve pravokutnike.

y 1 ,y 2 ,...,y n su vrijednosti odgovarajuće funkcije f(x) u tačkama x 1 , x 2 ,..., x n (x i =x i-1 +h).

Formula srednjeg pravougaonika.

Uglavnom formula srednjeg pravougaonika na segmentu kao što slijedi (23) :

Gdje x i =x i-1 +h.

U ovoj formuli, kao iu prethodnim, h je potrebno pomnožiti zbir vrijednosti funkcije f (x), ali ne samo zamjenom odgovarajućih vrijednosti x 0 ,x 1 ,...,x n-1 u funkciju f(x) i dodajući svakoj od ovih vrijednosti h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2) i onda ih samo zameniti u datu funkciju.

h se može izračunati koristeći istu formulu kao u formuli za lijeve pravokutnike." [ 6 ]

U praksi se ove metode provode na sljedeći način:

Mathcad ;

excel .

Mathcad ;

excel .

Da biste izračunali integral koristeći formulu prosječnih pravokutnika u Excelu, morate izvršiti sljedeće korake:

Nastavite sa radom u istom dokumentu kao pri izračunavanju integrala koristeći formule lijevog i desnog pravokutnika.

Unesite tekst xi+h/2 u ćeliju E6 i f(xi+h/2) u ćeliju F6.

Unesite formulu =B7+$B$4/2 u ćeliju E7, kopirajte ovu formulu prevlačenjem u raspon ćelija E8:E16

Unesite formulu =ROOT(E7^4-E7^3+8) u ćeliju F7, kopirajte ovu formulu povlačenjem u raspon ćelija F8:F16

Unesite formulu =SUM(F7:F16) u ćeliju F18.

Unesite formulu =B4*F18 u ćeliju F19.

Unesite tekst prosjeka u ćeliju F20.

Kao rezultat, dobijamo sljedeće:

Odgovor: vrijednost datog integrala je 13,40797.

Na osnovu dobijenih rezultata možemo zaključiti da je formula za srednje pravougaonike najtačnija od formula za desni i levi pravougaonik.

1. Monte Carlo metoda

"Glavna ideja Monte Carlo metode je da se slučajni testovi ponavljaju mnogo puta. Karakteristična karakteristika Monte Carlo metode je korištenje slučajnih brojeva (numeričkih vrijednosti neke slučajne varijable). Takvi brojevi se mogu dobiti korištenjem metode Monte Carlo". generatori slučajnih brojeva Na primjer, programski jezik Turbo Pascal ima standardnu funkciju nasumično, čije su vrijednosti slučajni brojevi ravnomjerno raspoređeni na segmentu . To znači da ako podijelite navedeni segment na određeni broj jednakih intervala i izračunate vrijednost slučajne funkcije veliki broj puta, tada će približno isti broj slučajnih brojeva pasti u svaki interval. U programskom jeziku bazena, sličan senzor je rnd funkcija. U tabeli MS Excel, funkcija RAND vraća ravnomjerno raspoređen slučajni broj veći ili jednak 0 i manji od 1 (mijenja se kada se ponovno izračuna)" [ 7 ].

Da biste ga izračunali, morate koristiti formulu () :

Gdje su (i=1, 2, …, n) slučajni brojevi koji leže u intervalu .

Za dobijanje takvih brojeva na osnovu niza slučajnih brojeva x i ravnomerno raspoređenih u intervalu , dovoljno je izvršiti transformaciju x i =a+(b-a)x i .

U praksi se ova metoda provodi na sljedeći način:

Da biste izračunali integral Monte Carlo metodom u Excelu, morate izvršiti sljedeće korake:

U ćeliju B1 unesite tekst n=.

U ćeliju B2 unesite tekst a=.

U ćeliju B3 unesite tekst b=.

Unesite broj 10 u ćeliju C1.

Unesite broj 0 u ćeliju C2.

U ćeliju C3 unesite broj 3.2.

U ćeliju A5 unesite I, u B5 - xi, u C5 - f (xi).

Ćelije A6:A15 popunjavaju se brojevima 1,2,3, ..., 10 - pošto je n=10.

Unesite formulu =RAND()*3.2 u ćeliju B6 (brojevi se generiraju u rasponu od 0 do 3.2), kopirajte ovu formulu povlačenjem u raspon ćelija B7:B15.

Unesite formulu =ROOT(B6^4-B6^3+8) u ćeliju C6, kopirajte ovu formulu tako što ćete je prevući u raspon ćelija C7:C15.