Oprema razreda: bilješke s predavanja.

Kriteriji evaluacije

Radni nalog

Vježba 1.

Pročitajte 9. predavanje

Zadatak 2.

Predavanje 9

neodređeni integral iz ove funkcije:

10 .

( dx)" = d ( dx)=f(x) dx

20. Neodređeni integral diferencijala funkcije jednak je ovoj funkciji plus proizvoljna konstanta:

30. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka neodređenog integrala.

40. Neodređeni integral algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru neodređenih integrala članova funkcija:

50. Ako je a konstanta, formula je važeća

Pogledajte sadržaj dokumenta
"Tehnika integracije Direktna integracija"

Praktičan rad№ 7

Tema: Tehnika integracije. Direktna integracija

Ciljevi:

proučavati formule i pravila za izračunavanje neodređenog integrala

naučiti rješavati primjere za direktnu integraciju

Oprema razreda: bilješke s predavanja.

Kriteriji evaluacije

ocjena "5" postavlja se za pravilno izvršenje svih zadataka iz rada

Za izvršenje zadatka 1 i tačno rješenje bilo kojih deset primjera iz zadatka 2 daje se oznaka "4".

Za izvršenje zadatka 1 i tačno rješenje bilo kojih sedam primjera iz zadatka 2 daje se oznaka "3".

Radni nalog

Vježba 1.

Pročitajte 9. predavanje

Koristeći predavanja, odgovorite na pitanja i zapišite odgovore u svoju bilježnicu:

1. Koja svojstva neodređenog integrala znate?

2. Upišite glavne formule integracije

3. Koji slučajevi su mogući sa direktnom integracijom?

Zadatak 2.

Riješite primjere za samostalno rješavanje

Predavanje 9

Tema „Neodređeni integral. Direktna integracija»

Funkcija F(x) naziva se antiderivativna za funkciju f(x) ako je F"(x) = f(x).

Svaka kontinuirana funkcija f(x) ima beskonačan skup antiderivata koji se međusobno razlikuju po konstantnom članu.

Opšti izraz F(x) + C totaliteta svih antiderivata za funkciju f(x) naziva se neodređeni integral iz ove funkcije:

dx \u003d F (x) + C, ako je d (F (x) + C) = dx

Osnovna svojstva neodređenog integrala

1 0 .Izvod neodređenog integrala jednak je integrandu, a diferencijal od njega jednak je integrandu:

( dx)" = d ( dx)=f(x) dx

2 0 . Neodređeni integral diferencijala funkcije jednak je toj funkciji plus proizvoljna konstanta:

3 0 . Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka neodređenog integrala.

4 0 .Neodređeni integral algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru neodređenih integrala članova funkcija:

+dx

5 0 . Ako je a konstanta, formula je važeća

Osnovne integracijske formule (tabelarni integrali)

4.

5.

7.

9.=-ctgx+C

12. = arcsin + C

Prilikom primjene formula (3), (10). (11) predznak apsolutne vrijednosti upisuje se samo u slučajevima kada izraz pod predznakom logaritma može imati negativnu vrijednost.

Svaku od formula je lako provjeriti. Kao rezultat diferencijacije desne strane dobija se integrand.

Direktna integracija.

Direktna integracija se zasniva na direktnoj upotrebi tablice integrala. Evo sljedećih slučajeva:

1) ovaj integral se nalazi direktno odgovarajućim tabelarnim integralom;

2) nakon primjene svojstava 3 0 i 4 0 ovaj integral se reducira na jedan ili više tabličnih integrala;

3) nakon elementarnih identičnih transformacija nad integrandom i primjenom svojstava 3 0 i 4 0, ovaj integral se svodi na jedan ili više tabličnih integrala.

Primjeri.

Na osnovu svojstva 3 0, konstantni faktor 5 se uzima iz predznaka integrala i, koristeći formulu 1, dobijamo

Rješenje. Koristeći svojstvo 3 0 i formulu 2, dobijamo

6

Rješenje. Koristeći svojstva 3 0 i 4 0 i formule 1 i 2, imamo

X + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C

Integraciona konstanta C jednaka je algebarskom zbroju tri integracione konstante, budući da svaki integral ima svoju proizvoljnu konstantu (C 1 - C 2 + C 3 = C)

Rješenje. Dobili smo kvadriranje i integraciju svakog člana

Koristeći trigonometrijsku formulu 1 + ctg 2 x =

= = - ctgx - x + C

Rješenje. Oduzimanjem i dodavanjem broja 9 u brojiocu integrala dobijamo

= = + = - =

X + 9 + C = - x +

Primjeri za samostalno rješavanje

Izračunaj integrale koristeći direktnu integraciju:

Kontrola znanja učenika:

provjeriti praktičan rad;

Zahtjevi za izradu praktičnog rada:

Zadatak mora biti popunjen u svesci za praktičan rad.

Poslati rad nakon nastave

Metoda direktne integracije zasniva se na transformaciji integrala, primjeni svojstava neodređenog integrala i redukciji integrala na tabelarni oblik.

Na primjer:

Ispitivanje

Ispitivanje

2. Metoda zamjene (varijabilna zamjena)

Ova metoda se zasniva na uvođenju nove varijable. Napravimo zamjenu u integralu:

;

Dakle, dobijamo:

Na primjer:

1)

pregled:

2)

Ispitivanje(na osnovu svojstva #2 neodređenog integrala):

Integracija po dijelovima

Neka u i v su diferencibilne funkcije. Otkrijmo diferencijal proizvoda ovih funkcija:

,

gdje

Integriramo rezultirajući izraz:

Na primjer:

Ispitivanje(na osnovu svojstva #1 neodređenog integrala):

2)

Mi odlučujemo

Ispitivanje(na osnovu svojstva #1 neodređenog integrala):

PRAKTIČNI DIO

Zadaci za kućno rešenje

Pronađite integral:

a) ; e) ;

u) ; h)

G) ; i)

e) ; do)

a) ; e) ;

in) ; h) ;

e) ; do) .

a) ; in) ; e)

b) ; G) ; e)

Zadaci za rješavanje na praktičnoj nastavi:

I. Metoda direktne integracije

a) ; i) ;

b) ; h) ;

u) ; i)

G) ; do)

e) ; m)

II. Metoda zamjene (varijabilna zamjena)

G) ; do) ;

e) ; l);

III. Metoda integracije po dijelovima

TEMA #4

DEFINITIVNI INTEGRAL

U matematičkim proračunima, često je potrebno pronaći prirast antiderivativne funkcije kada se njen argument promijeni unutar datih granica. Takav problem se mora riješiti pri izračunavanju površina i volumena različitih figura, pri određivanju prosječne vrijednosti funkcije, pri izračunavanju rada promjenjive sile. Ovi problemi se mogu riješiti izračunavanjem odgovarajućih definitivnih integrala.

Svrha lekcije:

1. Naučite izračunati definitivni integral koristeći Newton-Leibniz formulu.

2. Biti sposoban primijeniti koncept određenog integrala za rješavanje primijenjenih problema.

TEORIJSKI DIO

POJAM DEFINITIVNOG INTEGRALA I NJEGOVO GEOMETRIJSKO ZNAČENJE

Razmotrite problem pronalaženja površine krivolinijskog trapeza.

Neka je data neka funkcija y=f(x), čiji je grafikon prikazan na slici.

Slika 1. Geometrijsko značenje određenog integrala.

na osovini 0x izaberite tačke “a" i "u" i vratimo okomice od njih do sjecišta sa krivom. Slika omeđena krivom, okomicama i osom 0x nazvan krivolinijski trapez. Razbijmo interval na nekoliko malih segmenata. Odaberimo proizvoljan segment. Zaokružimo krivolinijski trapez koji odgovara ovom segmentu u pravougaonik. Površina takvog pravokutnika je definirana kao:

Tada će površina svih završenih pravokutnika u intervalu biti jednaka:

;

Ako je svaki od segmenata dovoljno mali i teži nuli, tada će ukupna površina pravokutnika težiti površini krivolinijskog trapeza:

;

Dakle, problem izračunavanja površine krivolinijskog trapeza svodi se na određivanje granice sume.

Integralni zbir je zbir proizvoda prirasta argumenta na vrijednost funkcije f(x) uzeti u nekoj tački intervala unutar kojeg se argument mijenja. Matematički, problem nalaženja granice integralne sume, ako prirast nezavisne varijable teži nuli, dovodi do koncepta određenog integrala.

Funkcija f(x ) neki interval od x=a prije x=v je integrabilan ako postoji broj na koji teži integralni zbir kao Dh®0 . U ovom slučaju, broj J pozvao definitivni integral funkcije f(x) u intervalu:

;

gdje ] a, in[ je oblast integracije,

a je donja granica integracije,

in je gornja granica integracije.

Dakle, sa gledišta geometrije, definitivni integral je površina figure ograničena grafom funkcije u određenom intervalu] a, in [ i x-osa.

U ovoj temi ćemo detaljno govoriti o svojstvima neodređenog integrala io pronalaženju samih integrala pomoću navedenih svojstava. Radićemo i sa tabelom neodređenih integrala. Materijal predstavljen ovdje je nastavak teme "Neodređeni integral. Početak". Da budem iskren, integrali se rijetko nalaze u testovima koji se mogu uzeti pomoću tipičnih tablica i (ili) jednostavnih svojstava. Ova svojstva se mogu uporediti sa alfabetom čije je poznavanje i razumijevanje neophodno za razumijevanje mehanizma rješavanja integrala u drugim temama. Često se naziva integracija pomoću tablica integrala i svojstava neodređenog integrala direktnu integraciju.

Do čega vodim: funkcije se mijenjaju, ali formula za pronalaženje derivacije ostaje nepromijenjena, za razliku od integrala, za koji su već navedene dvije metode.

Idemo dalje. Da biste pronašli izvod $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ sve isto važi i za formulu $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, u koju morate zamijeniti $u=x^(-\frac(1)(2))$, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$. Ali pronaći integral $\int x^(-\frac(1)(2) )\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ zahtijeva novu metodu - Čebiševljeve zamjene.

I na kraju: da biste pronašli derivaciju funkcije $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$, formula $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" $ je opet primjenjivo, u koje zamjenjujemo $\sin x$ i $\frac(1)(x)$ umjesto $u$ i $v$, respektivno, dok $\int \sin x\cdot\frac(1 )(x) dx$ nije uzeto. Tačnije, nije izraženo u terminima konačnog broja elementarnih funkcija.

Da rezimiramo: tamo gdje je bila potrebna jedna formula za pronalaženje izvoda, četiri su bile potrebne za integral (i to nije granica), au drugom slučaju, integral je uopće odbio da se pronađe. Promijenili smo funkciju - bila je potrebna nova metoda integracije. Odavde imamo tabele sa više stranica u referentnim knjigama. Odsustvo opšte metode (pogodne za "ručno" rešavanje) dovodi do obilja posebnih metoda koje su primenljive samo za integraciju sopstvene, izuzetno ograničene klase funkcija (u daljim temama ćemo se detaljno pozabaviti ovim metodama). Iako ne mogu da ne primetim prisustvo Risch algoritma (savetujem vam da pročitate opis na Wikipediji), on je pogodan samo za programsku obradu neodređenih integrala.

Pitanje #3

Ali ako ima toliko ovih svojstava, kako mogu naučiti uzimati integrale? Sa derivatima je bilo lakše!

Za sada postoji samo jedan način za osobu: riješiti što više primjera različitim metodama integracije, tako da kada se pojavi novi neodređeni integral, možete izabrati metodu rješenja za njega, na osnovu svog iskustva. Razumijem da odgovor nije baš ohrabrujući, ali nema drugog načina.

Svojstva neodređenog integrala

Nekretnina #1

Izvod neodređenog integrala jednak je integrandu, tj. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

Ovo svojstvo je sasvim prirodno, jer su integral i derivacija međusobno inverzne operacije. Na primjer, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ desno)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ i tako dalje.

Nekretnina #2

Neodređeni integral diferencijala neke funkcije jednak je ovoj funkciji, tj. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

Obično se ovo svojstvo doživljava pomalo teško, jer se čini da ispod integrala nema "ništa". Da biste to izbjegli, možete zapisati navedeno svojstvo na sljedeći način: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Primjer korištenja ovog svojstva: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ ili, ako želite, u ovom obliku: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

Nekretnina #3

Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala, tj. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (pretpostavljamo da je $a\neq 0$).

Nekretnina je prilično jednostavna i, možda, ne zahtijeva komentare. Primjeri: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

Nekretnina #4

Integral zbira (razlike) dvije funkcije jednak je zbiru (razlici) integrala ovih funkcija:

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Primjeri: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

U standardnim testovima obično se koriste svojstva br. 3 i br. 4, pa ćemo se na njima detaljnije zadržati.

Primjer #3

Pronađite $\int 3 e^x dx$.

Koristimo svojstvo br. 3 i vadimo konstantu, tj. broj $3$, za predznak integrala: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Sada otvorimo tablicu integrala i zamjenom $u=x$ u formulu br. 4 dobijamo: $\int e^x dx=e^x+C$. Ovo implicira da je $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$. Pretpostavljam da će čitatelj odmah imati pitanje, pa ću ovo pitanje formulirati posebno:

Pitanje #4

Ako je $\int e^x dx=e^x+C$ onda $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\desno) = 3e^x+3C$! Zašto je napisano samo $3e^x+C$ umjesto $3e^x+3C$?

Pitanje je sasvim razumno. Poenta je da se integralna konstanta (tj. taj isti broj $C$) može predstaviti kao bilo koji izraz: glavna stvar je da ovaj izraz "prođe kroz" cijeli skup realnih brojeva, tj. promijenjeno iz $-\infty$ u $+\infty$. Na primjer, ako je $-\infty≤ C ≤ +\infty$, onda $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, tako da se konstanta $C$ može predstaviti kao $\frac( C)(3)$. Možemo napisati da je $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$, a zatim $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\desno)=3e^x+C$. Kao što vidite, ovdje nema kontradikcije, ali se mora paziti kada mijenjate oblik integralne konstante. Na primjer, ako predstavite konstantu $C$ kao $C^2$, to bi bila greška. Poenta je da je $C^2 ≥ 0$, tj. $C^2$ se ne mijenja iz $-\infty$ u $+\infty$, ne "prolazi" kroz sve realne brojeve. Slično, bilo bi pogrešno predstaviti konstantu kao $\sin C$, jer $-1≤ \sin C ≤ 1$, tj. $\sin C$ ne "prolazi" kroz sve vrijednosti realne ose. U budućnosti nećemo posebno raspravljati o ovom pitanju, već ćemo jednostavno napisati konstantu $C$ za svaki neodređeni integral.

Primjer #4

Pronađite $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$.

Koristimo imovinu broj 4:

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

Sada uzimamo konstante (brojeve) iz predznaka integrala:

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$

Zatim radimo sa svakim dobijenim integralom posebno. Prvi integral, tj. $\int \sin x dx$, lako je pronaći u tabeli integrala pod brojem 5. Zamjenom $u=x$ u formulu #5, dobijamo: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.

Da biste pronašli drugi integral $\int\frac(dx)(x^2+9)$, potrebno je primijeniti formulu br. 11 iz tablice integrala. Zamjenom $u=x$ i $a=3$ u njega dobijamo: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x )( 3)+C$.

I, konačno, da bismo pronašli $\int x^3dx$, koristimo formulu br. 1 iz tabele, zamjenjujući u nju $u=x$ i $\alpha=3$: $\int x^3dx=\frac( x^(3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

Svi integrali uključeni u izraz $4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$ su pronađeni. Ostaje samo da ih zamijenite:

$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3 )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

Problem rešen, odgovor je: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. Dozvolite mi da dodam jednu malu napomenu ovom problemu:

Samo mala napomena

Možda nikome neće trebati ovaj umetak, ali ipak ću spomenuti da je $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$. One. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9)$.

Pogledajmo primjer u kojem koristimo formulu br. 1 iz tablice integrala za interkaliranje iracionalnosti (drugim riječima, korijena).

Primjer #5

Pronađite $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$.

Za početak ćemo uraditi iste radnje kao u primjeru br. 3, naime: dekomponiramo integral na dva i iz predznaka integrala izvadimo konstante:

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^) 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

Pošto je $\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$, onda je $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. Da bismo pronašli ovaj integral, primjenjujemo formulu br. 1, zamjenjujući $u=x$ i $\alpha=\frac(4)(7)$ u nju: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. Možete opciono predstaviti $\sqrt(x^(11))$ kao $x\cdot\sqrt(x^(4))$, ali to nije potrebno.

Okrenimo se sada drugom integralu, tj. $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Budući da je $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $, onda se razmatrani integral može predstaviti u sljedećem obliku: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$. Da bismo pronašli rezultujući integral, primenjujemo formulu br. 1 iz tabele integrala, zamenjujući u nju $u=x$ i $\alpha=-\frac(6)(11)$: $\int x^(-\ frac(6)(11 ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x^ (\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Zamjenom dobijenih rezultata dobijamo odgovor:

$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^( 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$

Odgovori: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

I na kraju, uzmimo integral koji potpada pod formulu br. 9 tabele integrala. Primjer 6, na koji ćemo se sada obratiti, mogao bi se riješiti i na drugi način, ali će o tome biti riječi u narednim temama. Za sada ćemo ostati u okviru primjene tabele.

Primjer #6

Pronađite $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$.

Za početak, uradimo istu operaciju kao i prije: izvadimo konstantu (broj $12$) iz predznaka integrala:

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

Rezultirajući integral $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ je već blizak tabličnom integralu $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) )$ (formula br. 9 tabele integrala). Razlika našeg integrala je u tome što prije $x^2$ ispod korijena postoji koeficijent $7$, što tablični integral ne dozvoljava. Stoga, morate se riješiti ove sedam tako što ćete je premjestiti izvan korijenskog znaka:

$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)( 7)-x^2\desno)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

Ako uporedimo tablični integral $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ i $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)- x^ 2)) $ postaje jasno da imaju istu strukturu. Samo u integralu $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ umjesto $u$ je $x$, a umjesto $a^2$ je $\frac (15)(7)$. Pa, ako je $a^2=\frac(15)(7)$ onda $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. Zamjena $u=x$ i $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ u formulu $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin \ frac(u)(a)+C$, dobijamo sljedeći rezultat:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

Ako uzmemo u obzir da je $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$, onda se rezultat može prepisati bez "trokatnice" razlomci:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

Problem riješen, odgovor primljen.

Odgovori: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

Primjer #7

Pronađite $\int\tg^2xdx$.

Postoje metode za integraciju trigonometrijskih funkcija. Međutim, u ovom slučaju možete se snaći poznavanjem jednostavnih trigonometrijskih formula. Pošto je $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$, onda je $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ desno)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. Dato je $\sin^2x=1-\cos^2x$, dobijamo:

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

Tako $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Proširujući rezultujući integral u zbir integrala i primjenjujući tablične formule, imat ćemo:

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

Odgovori: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

Pošto ćemo sada govoriti samo o neodređenom integralu, izostavićemo termin „neodređeno“ radi kratkoće.

Da biste naučili kako izračunati integrale (ili, kako kažu, integrirati funkcije), prvo morate naučiti tablicu integrala:

Tabela 1. Tabela integrala

2. ( ),u>0. 2a. (α=0); 2b. (α=1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10a. 11. 11a. 12. 13. 13a.

Osim toga, trebat će vam sposobnost izračunavanja derivacije date funkcije, što znači da morate zapamtiti pravila diferencijacije i tablicu izvoda glavnih elementarnih funkcija:

Tabela 2. Tabela derivacija i pravila diferencijacije:

6.a .

(grijeh i) = cos i  i (cos u) = – sin i i

A potrebna nam je i sposobnost da pronađemo diferencijal funkcije. Podsjetimo da je diferencijal funkcije
pronađite po formuli
, tj. diferencijal funkcije jednak je proizvodu derivacije ove funkcije i diferencijala njenog argumenta. Korisno je imati na umu sljedeće poznate relacije:

Tabela 3. Tabela diferencijala

1. (b= Konst) 2. ( ) 3. 4. 5. (b= Konst) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Štaviše, možete koristiti ove formule, čitajući ih s lijeva na desno i s desna na lijevo.

Razmotrimo sukcesivno tri osnovne metode za izračunavanje integrala. Prvi se zove metoda direktne integracije. Zasniva se na upotrebi svojstava neodređenog integrala i uključuje dvije glavne tehnike: proširenje integrala u algebarski zbir jednostavnije i dovodeći pod znak diferencijala, a ove metode se mogu koristiti i samostalno iu kombinaciji.

ALI) Razmislite algebarska dekompozicija sume- ova tehnika uključuje korištenje identičnih transformacija integrala i linearnih svojstava neodređenog integrala:
i.

Primjer 1 Pronađite integrale:

a)
; b)
;

u)
G)

e)
.

Rješenje.

a)Transformiramo integrand dijeljenjem člana po članu brojioca sa nazivnikom:

Ovdje se koristi svojstvo stupnjeva:
.

b) Prvo transformiramo brojilac razlomka, a zatim podijelimo brojilac sa nazivnikom član po član:

Svojstvo stepeni se takođe koristi ovde:
.

Evo korištene imovine:
,
.

.

Ovdje se koriste formule 2 i 5 iz Tabele 1.

Primjer 2 Pronađite integrale:

a)
; b)
;

u)
G)

e)
.

Rješenje.

a)Transformiramo integrand koristeći trigonometrijski identitet:

.

Ovdje se ponovo koristi podjela brojila po član imenilac i formule 8 i 9 iz Tabele 1.

b) Na sličan način transformiramo koristeći identitet
:

.

c) Prvo, podijelimo brojilac sa nazivnikom član po član i uzmemo konstante iz predznaka integrala, zatim koristimo trigonometrijski identitet
:

d) Primijenite formulu za snižavanje stepena:

,

e) Koristeći trigonometrijske identitete, transformiramo:

B) Razmotrimo tehniku ​​integracije, koja se zove str oduzimajući pod znakom diferencijala. Ova tehnika se zasniva na svojstvu invarijantnosti neodređenog integrala:

ako
, zatim za bilo koju diferencijabilnu funkciju i=i(X) se dešava:
.

Ovo svojstvo vam omogućava da značajno proširite tablicu najjednostavnijih integrala, budući da, na temelju ovog svojstva, formule u Tablici 1 vrijede ne samo za nezavisnu varijablu i, ali iu slučaju kada i je diferencijabilna funkcija neke druge varijable.

Na primjer,
, ali takođe
, i
, i
.

Or
i
, i
.

Suština metode je izdvajanje diferencijala određene funkcije u datom integrandu tako da ovaj razlikovni diferencijal, zajedno sa ostatkom izraza, formira tabelarnu formulu za ovu funkciju. Ako je potrebno, konstante se mogu dodati na odgovarajući način za takvu konverziju. Na primjer:

(u posljednjem primjeru piše ln(3 + x 2) umjesto ln|3 + x 2 | , budući da je izraz 3 + x 2 je uvijek pozitivno).

Primjer 3 Pronađite integrale:

a)
; b)
; u)
;

G)
; e)
; e)
;

i)
; h)
.

Rješenje.

a).

Ovdje se koriste formule 2a, 5a i 7a iz Tabele 1, od kojih se posljednje dvije dobivaju samo zamjenom pod predznakom diferencijala:

Integrirajte funkcije prikaza
javlja se vrlo često u izračunavanju integrala složenijih funkcija. Kako ne biste svaki put ponavljali gore opisane korake, preporučujemo da zapamtite odgovarajuće formule date u Tabeli 1.

.

Ovdje se koristi formula 3 iz Tabele 1.

c) Slično, uzimajući u obzir da , transformiramo:

.

Ovdje se koristi formula 2 u Tabeli 1.

G)

.

e) ;

e)

.

i) ;

h)

.

Primjer 4 Pronađite integrale:

a)
b)

u)
.

Rješenje.

a) Hajde da transformišemo:

Formula 3 iz Tabele 1 se također koristi ovdje.

b) Koristite formulu redukcije
:

Ovdje se koriste formule 2a i 7a iz Tabele 1.

Ovdje se, uz formule 2 i 8 tabele 1, koriste i formule iz tabele 3:
,
.

Primjer 5 Pronađite integrale:

a)
; b)

u)
; G)
.

Rješenje.

a) Rad
može se dopuniti (vidi formule 4 i 5 u Tabeli 3) na diferencijal funkcije
, gdje a i b- bilo koje konstante,
. Zaista, gde
.

tada imamo:

.

b) Koristeći formulu 6 tabele 3, imamo
, kao i
, što znači da je prisutnost u integrandu proizvoda
znači nagoveštaj: ispod znaka diferencijala treba dodati izraz
. Dakle, dobijamo

c) Kao u stavu b), proizvod
može se dopuniti diferencijalu funkcije
. Tada dobijamo:

.

d) Prvo, koristimo svojstva linearnosti integrala:

Primjer 6 Pronađite integrale:

a)
; b)
;

u)
; G)
.

Rješenje.

a)S obzirom na to
(formula 9 tabele 3), transformišemo:

b) Koristeći formulu 12 iz tabele 3, dobijamo

c) Uzimajući u obzir formulu 11 tabele 3, vršimo transformaciju

d) Koristeći formulu 16 tabele 3, dobijamo:

.

Primjer 7 Pronađite integrale:

a)
; b)
;

u)
; G)
.

Rješenje.

a)Svi integrali predstavljeni u ovom primjeru imaju zajedničku osobinu: integrand sadrži kvadratni trinom. Stoga će se metoda izračunavanja ovih integrala zasnivati ​​na istoj transformaciji – odabiru punog kvadrata u ovom kvadratnom trinomu.

.

b)

.

u)

G)

Metoda sabiranja pod znakom diferencijala je usmena implementacija općenitije metode izračunavanja integrala, koja se zove metoda zamjene ili promjene varijable. Zaista, svaki put, odabirom odgovarajuće formule iz Tabele 1 za funkciju dobijenu kao rezultat podvođenja pod diferencijalni predznak, mentalno smo zamijenili slovom i funkcija pod diferencijalnim predznakom. Stoga, ako integracija podvođenjem pod znak diferencijala ne radi dobro, možete direktno napraviti promjenu varijable. Više o tome u sljedećem paragrafu.